问题 1 确定一条直线的要素：

1. 定位2. 定向 方向向量、法向量、另一点、

斜率 (倾斜角不是直角 )。

这便是直线的点方向式、点法向式、点斜式的由来，斜截式是点斜式的特例。

直线过定点

方程 ax+by+c=0(a， b不全为 0)叫做直线方程的一般式，任何一条直线的方程都可以化成一般式。

问题 2 直线的一般式方程

问题 2 ：直线方程归纳

名 称 已知条件 标准方程 适用范围

点方向式

点法向式

点斜式

斜截式

一般式

v

yy

u

xx 00

点 P(x0,y0)和方向向量

(u,v)

不垂直于x、 y轴的直

线点 P(x0,y0)和法向量

(a,b)

0)()( 00 yybxxa 任意直线

点 P(x0,y0)和斜率 k

yy0=k(xx0)不垂直于

x轴的直线

斜率 k和在 y轴上的截距 b y=kx+b

不垂直于x轴的直线

两个独立的条件 ax+by+c=0 a， b不全为

0

例：已知直线 l过点 P(3,4)，求满足下列条件的直线 l的方程：（ 1）过另一点 Q(a,1)；

O x

y

P(3,4)

1

解：当 a=3时， l： x=3；当 a3时， 3

3

ak

).3(3

34:

x

ayl

)3,3( aPQ解法二：

直线 l的法向量为 (3,a+3)，

直线 l的方程为 3(x+3)+(a+3)(y4)=0.

（ 2）坐标原点 O到直线 l的距离最大；

分析：当 OP与直线 l垂直时，点 O 到直线 l的距离最大。

O x

y

P(3,4)

)4,3(OPl的一个法向量为解：直线

直线 l的方程为 3(x+3)4(y4)=0.

即 3x4y+25=0.

(3)到两点 A(2,6)、 B(4,2)距离相等；

O x

y

P(3,4)A(2,6)

B(4,2)

解： (1)直线 l与 AB平行， )8,6( AB

8

4

6

3:

yx

l 即 4x3y+24=0

(2)直线 l过 AB的中点，

AB的中点坐标为 (1,2)，

)3()1(3

244:

xyl

即 x+y1=0

(4)直线 l与 x轴负半轴、 y轴正半轴围成直角三角形，且使三角形的面积最小。

O x

y

P(3,4)

A

B

解：设直线方程为 y4=k(x+3) (k>0) 斜率 k 存在

),0,4

3(k

Ax 轴交于点直线与

),43,0( kBy轴交于点直线与

)43)(4

3(2

1||||

2

1 k

kOBOAS AOB

)16

924(2

1

kk

)16

9224(2

1

kk 24

.243

4169 min Sk

kk 时，即当且仅当

)3(3

44: xyl

已知直线 l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线 l的方程：(1)过定点 A(3， 4)； (2)斜率为 .6

1

A

O x

y分析：选择适当的直线方程的形式。解：设直线方程为 y4=k(x+3), 斜率 k 存在

B

B(0,3k+4)令 x=0，得y=3k+4,令 y=0，得 x= ,

34

k

)0,34

( k

C

C,3|34

||43|2

1||||

2

1 k

kCOBOS BOC

|9k2+24k+16|=6|k|, .3

8

3

2 kk 或

).3(3

84)3(

3

24 xyxy 或直线方程为

(2) 设直线方程的形式为 ，bxy 6

1

),,0( bBy轴的交点为直线与

),0,6( bCx 轴的交点为直线与

,3|6|||2

1||||

2

1 bbOCOBS BOC

b=1.

直线方程的形式为 ，1.6

1 xy

4．注重数形结合、分类讨论思想的运用．

1．求直线方程需要两个独立的条件 .

2 ．求直线方程的方法：① 直接法；②待定系数法 .

3．注意各种直线方程的适用范围，求解时要防止可能产生的遗漏情况 .

1. 必做题：练习册：复习题 A/1,2,3,6,102. 思考题：尝试用多种方法求直线 l的方程。已知直线 l过点 P(3,4)，与两坐标轴的负半轴围成的面积最小。

3. 选做题：已知 A(1,0)、 B(0,1)，动直线 l过定点 P(1,1)且与△ AOB的斜边、直角边分别交于不同的两点M、 N，设直线 l的斜率为 k，用 k表示△ AMN的面积 S(k)，并求 S(k)的最大值。