§8.3 空间点、直线、平面之间 的位置关系

要点梳理1. 平面的基本性质 公理 1 ：如果一条直线上的 在一个平面内， 那么这条直线在这个平面内 .

公理 2 ：过 的三点，有且只有一个平面 .

公理 3 ：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有 过该点的公共直线 .

两点

不共线

一条

基础知识 自主学习

2. 直线与直线的位置关系 （ 1 ）位置关系的分类

（ 2 ）异面直线所成的角 ① 定义：设 a,b 是两条异面直线，经过空间中任 一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b, 把 a′ 与 b′ 所成的 叫做异面直线 a,b 所成的角 ( 或夹角 ).

② 范围： .

一个平面内不同在异面直线

共面直线

:

平行相交

任何

2π,0

锐角或直角

3. 直线与平面的位置关系有 、 、 三种情况 .

4. 平面与平面的位置关系有 、 两种情况 .

5. 平行公理 平行于 的两条直线互相平行 .

6. 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角 .

平行 相交 在平面内

平行 相交

同一条直线

相等或互补

基础自测1. 若三个平面两两相交，且三条交线互相平行， 则这三个平面把空间分成（ ） A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分 解析 如图所示 , 三个平面 α 、 β 、 γ 两两相 交，交线分别是 a 、 b 、 c 且 a∥b∥c. 则 α 、 β 、 γ 把空间分成 7 部分 .

C

2. 直线 a,b,c 两两平行，但不共面，经过其中两条 直线的平面的个数为（ ） A.1 B.3 C.6 D.0

解析 以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但 不共面，显然经过其中的两条直线的平面有 3 个 .

B

3. 分别在两个平面内的两条直线的位置关系是 （ ） A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上都有可能 解析 如图所示， a∥b,c 与 d 相交 ,a 与 d 异面 .

D

4. 如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方 体的十二条棱中共有异面直线（ ） A.12 对 B.24 对 C.36 对 D.48 对 解析 如图所示，与 AB 异面的直线 有 B1C1 ， CC1 ， A1D1 ， DD1 四条，

因为各棱具有相同的位置且正方体 共有 12 条棱，排除两棱的重复计

算，共有异面直线 .242412 对

B

5. 下列命题中不正确的是 . ① 没有公共点的两条直线是异面直线； ② 分别和两条异面直线都相交的两直线异面； ③ 一条直线和两条异面直线中的一条平行，则 它和另一条直线不可能平行； ④ 一条直线和两条异面直线都相交，则它们可 以确定两个平面 .

解析 没有公共点的两直线平行或异面 , 故①错；命题②错 , 此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线 a 和 b 异面， c∥a, 则 c 与 b 不可能平行，用反证法证明如下：若 c∥b, 又 c∥a, 则 a∥b ，这与 a,b 异面矛盾，故 c b; 命题④也正确，若 c

与两异面直线 a,b 都相交，由公理 3 可知， a,c 可能确定一个平面 ,b,c 也可确定一个平面，这样 ,a,b,c 共确定两个平面 .

答案 ①②

题型一 平面的基本性质 如图所示，空间四边形 ABCD

中 ,E 、 F 、 G 分别在 AB 、 BC 、 CD 上 ,

且满足 AE∶EB=CF∶FB=2∶1 ， CG∶GD=3∶1 ，过 E 、 F 、 G 的平 面交 AD 于 H ，连接 EH.

（ 1 ）求 AH∶HD ； （ 2 ）求证： EH 、 FG 、 BD 三线共点 .

证明线共点的问题实质上是证明点在 线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面 的交线 ,点看作是两平面的公共点 ,由公理 3得证 .

【例1】

思维启迪

题型分类 深度剖析

(1) 解 ∴ EF∥AC.

∴EF∥ 平面 ACD. 而 EF 平面 EFGH ，且平面 EFGH∩ 平面 ACD=GH ，∴EF∥GH. 而 EF∥AC ，∴AC∥GH.

即 AH∶HD=3∶1.

（ 2 ）证明 ∵ EF∥GH, 且

∴EF≠GH ，∴四边形 EFGH 为梯形 .

令 EH∩FG=P ，则 P∈EH ，而 EH 平面 ABD ，P∈FG,FG 平面 BCD, 平面 ABD∩ 平面 BCD=BD,

∴P∈BD.∴EH 、 FG 、 BD 三线共点 .

,2FBCF

EBAE

,3GDCG

HDAH

,41

,31 ACGH

ACEF

所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点 .

（ 1）证明三线共点的依据是公理 3.

（ 2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题 .实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理 .

探究提高

知能迁移 1 如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠ BAD=∠FAB

=90°,BC AD,BE FA ， G 、 H

分别为 FA 、 FD 的中点 .

（ 1 ）证明：四边形 BCHG 是平行四边形； （ 2 ） C 、 D 、 F 、 E 四点是否共面？为什么？ （ 1 ）证明 由已知 FG=GA ， FH=HD ， 可得 GH AD. 又 BC AD,∴GH BC,

∴ 四边形 BCHG 为平行四边形 .

（ 2 ）解 方法一 由 BE AF ， G 为 FA 中点知， BE FG ， ∴ 四边形 BEFG 为平行四边形，∴ EF∥BG.

21

21

21

21

21

由（ 1 ）知 BG CH ，∴ EF∥CH ，∴EF 与 CH 共面 .

又 D∈FH ，∴ C 、 D 、 F 、 E 四点共面 .

方法二 如图所示，延长 FE ，DC 分别与 AB 交于点 M ， M′ ，∵BE AF ，∴ B 为 MA 中点 .

∵BC AD ，∴B 为 M′A 中点，∴M 与 M′ 重合，即 FE 与 DC 交于点 M （ M′ ），∴C 、 D 、 F 、 E 四点共面 .

21

21

题型二 异面直线的判定 (12 分 ) 如图所示，正方体 ABCD

—A1B1C1D1 中， M 、 N 分别是 A1B1 、

B1C1 的中点 . 问：

（ 1 ） AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； （ 2 ） D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由 .

（ 1）易证 MN∥AC，∴ AM与 CN不异 面 .

（ 2）由图易判断 D1B和 CC1 是异面直线，证明时

常用反证法 .

【例2】

思维启迪

解 （ 1 ）不是异面直线 . 理由：连接 MN 、 A1C1 、 AC.

∵M 、 N 分别是 A1B1 、 B1C1 的中点，

∴MN∥A1C1.

又∵ A1A C1C ，∴ A1ACC1 为平行四边形 .

∴A1C1∥AC ，∴ MN∥AC ，

∴A 、 M 、 N 、 C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线 .

（ 2 ）是异面直线 . 证明如下：∵ABCD—A1B1C1D1 是正方体，

∴B 、 C 、 C1 、 D1 不共面 .

［ 3 分］

［ 6 分］

假设 D1B 与 CC1 不是异面直线，

则存在平面 α ，使 D1B 平面 α ， CC1 平面 α ，

∴D1 、 B 、 C 、 C1∈α ，与 ABCD—A1B1C1D1 是正

方体矛盾 .

∴ 假设不成立，即 D1B 与 CC1 是异面直线 .

解决这类开放型问题常用的方法有直接法 (即由条件入手，经过推理、演算、变形等 ),

如第（ 1）问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直接法较难说明问题 ,这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否定假设，则两直线是异面的 .

探究提高

［ 10 分］

［ 12 分］

知能迁移 2 (1) 如图是一几何体的平面展开图， 其中四边形 ABCD 为正方形， E 、 F 分别为 PA 、 PD 的中点 , 在此几何体中 , 给出下面四个结论： ① 直线 BE 与直线 CF 是异面直线； ② 直线 BE 与直线 AF 是异面直线； ③ 直线 EF∥ 平面 PBC ； ④ 平面 BCE⊥ 平面 PAD.

其中正确结论的序号是（ ） A.①② B.②③ C.①④ D.②④

解析 由 EF∥AD∥BC ，知 BE 、 CF 共面， ① 错；②正确；③正确；④错 . 故选 B.

B

（ 2 ）如图，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中， M 、 N

分别为棱 C1D1 、 C1C 的中点，有以下四个结论：

① 直线 AM 与 CC1 是相交直线；

② 直线 AM 与 BN 是平行直线；③ 直线 BN 与 MB1 是异面直线；

④ 直线 AM 与 DD1 是异面直线 .

其中正确的结论为 （注：把你认为正确的结论的序号都填上） .

解析 直线 AM 与 CC1 是异面直线，直线 AM 与 BN

也是异面直线，故①②错误 .

③④

题型三 求异面直线所成的角 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，

（ 1 ）求 AC 与 A1D 所成角的大小；

（ 2 ）若 E 、 F 分别为 AB 、 AD 的中点，求 A1C1

与 EF 所成角的大小 .

（ 1）平移 A1D到 B1C，找出 AC与 A1D所

成的角，再计算 .

（ 2）可证 A1C1 与 EF垂直 .

【例3】

思维启迪

解 (1) 如图所示 , 连接 B1C, 由 ABCD—A1B1C1D1

是正方体，

易知 A1D∥B1C ，从而 B1C 与 AC 所成的锐角或直角

就是 AC 与 A1D 所成的角 .

∵AB1=AC=B1C ，∴∠ B1CA=60°.

即 A1D 与 AC 所成角为 60°.

(2) 如图所示 , 连接 AC 、 BD, 在正方体 ABCD— A1B1C1D1 中 ,AC⊥BD ， AC∥A1C1,

∵E 、 F 为 AB 、 AD 的中点，∴EF∥BD ，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.

即 A1C1 与 EF 所成的角为 90°.

求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移 .计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行 .

探究提高

知能迁移 3 （ 2009· 全国Ⅰ理， 7 ）已知三棱 柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等， A1 在

底面 ABC 上的射影 D 为 BC 的中点 , 则异面直线AB

与 CC1 所成的角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.

解析 方法一 如图 (1),A1D ⊥ 平面

ABC ，且 D 为 BC 的中点 , 设三棱柱的各

棱长为 1 ，则 AD= ，由 A1D ⊥ 平面

ABC 知 A1D= ,Rt△A1BD 中，易求 A1B=

43

45

47

43

23

21

.22

41

41

图（ 1 ）

∵CC1∥AA1 ，∴ AB 与 AA1 所成的角即为 AB 与 CC1

所成的角 . 在△ A1BA 中 , 由余弦定理可知

cos∠A1AB=

∴AB 与 CC1 所成的角的余弦值为

方法二 如图（ 2 ） , 建立空间直角坐标系，因

为 A1D⊥ 平面 ABC ， AD⊥BC ，由 AA1=1

知

.43

11221

11

.43

,23AD

.2

11 DA

.43

,cos

),0,21

,23

(

),21,0,

23

(

),0,21

,0(

),0,0,23

().21,0,0(

1

1

1

ABAA

AB

AA

B

AA 又故

图（ 2 ）

答案 D

方法与技巧1. 主要题型的解题方法 （ 1 ）要证明“线共面”或“点共面”可先由部 分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点 也在这个平面内（即“纳入法”） .

（ 2 ）要证明“点共线”可将线看作两个平面的 交线 , 只要证明这些点都是这两个平面的公共 点 , 根据公理 3 可知这些点在交线上 , 因此共线 .

2. 判定空间两条直线是异面直线的方法 （ 1 ）判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连 线和平面内不经过该点 B 的直线是异面直线 .

思想方法 感悟提高

（ 2 ）反证法：证明两线不可能平行、相交或证 明两线不可能共面，从而可得两线异面 .

3. 求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通 过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题 来解决 . 根据空间等角定理及推论可知，异面直 线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的 顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取 其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或 异面线段的端点 .总之，顶点的选择要与已知量 有关，以便于计算，具体步骤如下：

(1)利用定义构造角，可固定一条 , 平移另一 条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点 选在特殊的位置上； (2) 证明作出的角即为所求角； (3)利用三角形来求解 .

失误与防范1. 异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线 .

而不是分别在两个平面内 . 一定要理解定义 .

2. 求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成 角的范围是（ 0° ， 90° ］ .

一、选择题1. 已知平面外一点 P 和平面内不共线三点 A 、 B 、 C,A′ 、 B′ 、 C′ 分别在 PA 、 PB 、 PC 上 , 若延长 A′B′ 、 B′C′ 、 A′C′ 与平面分别交于 D 、 E 、 F 三点，则 D 、 E 、 F 三点 （ ） A. 成钝角三角形 B. 成锐角三角形 C. 成直角三角形 D. 在一条直线上 解析 D 、 E 、 F 为已知平面与平面 A′B′C′

的公共点，由公理 2 知， D 、 E 、 F 共线 .

D

定时检测

2. 关于直线和平面的四个命题中不正确的是（ ） A. 平行于同一平面的两个平面一定平行 B. 平行于同一直线的两条直线一定平行 C.垂直于同一直线的两条直线一定平行 D.垂直于同一平面的两条直线一定平行 解析 垂直于同一直线的两条直线不一定平 行，还可能相交或异面 .

C

3. 已知 α 、 β 是两个不同的平面，直线 ，直 线 ，命题 p:a 与 b 没有公共点，命题 q:α∥β ，则 p 是 q 的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当 a,b 都平行于 α 与 β 的交线时， a 与 b无 公共点， 但 α 与 β 相交 .当 α∥β 时， a 与 b 一定无公共 点，∴ qp ，但 p q.

ba

B

4. 若 P 是两条异面直线 l 、 m 外的任意一点 , 则 ( )

A. 过点 P 有且仅有一条直线与 l 、 m 都平行 B. 过点 P 有且仅有一条直线与 l 、 m 都垂直 C. 过点 P 有且仅有一条直线与 l 、 m 都相交 D. 过点 P 有且仅有一条直线与 l 、 m 都异面 解析 对于选项 A ，若过点 P 有直线 n 与 l,m 都 平行，则 l∥m ，这与 l,m 异面矛盾； 对于选项 B ，过点 P 与 l 、 m 都垂直的直线，即过P

且与 l 、 m 的公垂线段平行的那一条直线； 对于选项 C ，过点 P 与 l 、 m 都相交的直线有一条 或零条； 对于选项D ，过点 P 与 l 、 m 都异面的直线可能有 无数条 .

B

5. 正四面体 PABC 中， M 为棱 AB 的中点 ,

则 PA 与 CM 所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.

解析 如图所示，取 PB 中点 N ， 连接 CN 、 MN.

∠CMN 为 PA 与 CM 所成的角 （或所成角的补角）， 设 PA=2 ，则 CM= ， MN=1 ， CN= ， ∴cos∠CMN=

23

43

63

33

3

3

.63

C

6. 正四棱锥 S—ABCD 的侧棱长为 ，底面边长 为 ， E 为 SA 的中点，则异面直线 BE 和 SC 所成的 角为 ( )

A.30° B.45° C.60° D.90°

解析 设 AC 中点为 O ，则 OE∥SC ，连结 BO ， 则∠ BEO （或其补角）即为异面直线 BE 和 SC

所成的角，

2

3

.60,2

1cos,

.2

,24

6

223

21

cos,

,2

6

2

1,

2

2

2

1

222

BEOBEOBEO

BE

AEAB

BEAEAB

SA

ABASAB

BDBOSCEO

中

中

答案 C

二、填空题7. 如图所示，在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中 ,

D 是 AC 的中点 ,AA1∶AB= ∶1, 则异面 直线 AB1 与 BD 所成的角为 . 解析 在平面 ABC 内，过 A 作 DB 的平行线 AE ， 过 B 作 BH⊥AE 于 H ， 连接 B1H ，则在 Rt△AHB1 中， ∠B1AH 为 AB1 与 BD 所成角， 设 AB=1 ，则 A1A= ，

∴B1A= ， AH=BD= ，

∴cos∠B1AH=

∴∠B1AH=60°.

323

,21

1

ABAH

60°2

2

8. 在图中， G 、 H 、 M 、 N 分别是正三棱柱的顶点或 所在棱的中点，则表示直线 GH 、 MN 是异面直线 的图形有 .( 填上所有正确答案的序号 )

解析 图（ 1 ）中，直线 GH∥MN ；图（ 2 ）中， G 、 H 、 N 三点共面，但 M 面GHN ，因此直线 GH 与 MN 异面；图（ 3 ）中，连接 MG ， GM∥HN ，因此 GH 与 MN

共面；图（ 4 ）中， G 、 M 、 N 共面，但 H 面 GMN ，∴GH 与 MN 异面 .

所以图（ 2 ）、（ 4 ）中 GH 与 MN 异面 .

答案 （ 2 ）（ 4 ）

9. 已知 a 、 b 为不垂直的异面直线 ,α 是一个平面，则 a 、 b 在 α 上的射影可能是①两条平行直线；②两 条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线 及其外一点 . 则在上面的结论中，正确结论的编号 是 （写出所有正确结论的编号） .

解析 ①、②、④对应的 情况如下： 用反证法证明③不可能 .

①②④

三、解答题10. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中， E 为 AB 的中点，

F 为 A1A 的中点，

求证：（ 1 ） E 、 C 、 D1 、 F 四点共面；

（ 2 ） CE 、 D1F 、 DA 三线共点 .

证明 （ 1 ）分别连结 EF 、 A1B 、 D1C.

∵E 、 F 分别是 AB 和 AA1 的中点，∴ EF

A1B.

又 A1D1 B1C1 BC ，

∴ 四边形 A1D1CB 为平行四边形 .

∴A1B∥CD1 ，从而 EF∥CD1.

∴EF 与 CD1 确定一个平面 .

∴E 、 F 、 D1 、 C 四点共面 .

21

21

（ 2 ）∵ EF CD1 ，∴直线 D1F 和 CE必

相交 ,

设 D1F∩CE=P.

∵P∈D1F 且 D1F 平面 AA1D1D ，

∴P∈ 平面 AA1D1D.

又 P∈EC 且 CE 平面 ABCD ，∴P∈ 平面 ABCD ，即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点，

而平面 ABCD∩ 平面 AA1D1D=AD ，

∴P∈AD.∴CE 、 D1F 、 DA 三线共点 .

21

11. 已知 E 和 F 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的

棱 AA1

和棱 CC1 上的点 , 且 AE=C1F, 求证 : 四边形 EBFD1

是 平行四边形 .

证明 如图所示 , 在 DD1 上取一点 G,

使 D1G=A1E ，则易知 A1E D1G ，

∴ 四边形 A1EGD1 为平行四边形，

∴EG A1D1. 又∵ A1D1 B1C1 ，

B1C1 BC ，∴ EG BC ，

∴ 四边形 GEBC 是平行四边形，∴ EB GC.

又∵ D1G FC,∴ 四边形 D1GCF 是平行四边形 ,

∴GC D1F ，∴ EB D1F ，

∴ 四边形 EBFD1 是平行四边形 .

12. 如图所示，在四面体 ABCD 中， E 、 F 分别是线段 AD 、 BC 上的点，

AB=CD=3 ， ，

求 AB 、 CD 所成角的大小 .

解 如图所示，在线段 BD 上取一

点 G ，使 连接 GF 、 GE 、 EF.

,21

FCBF

EDAE

.21

GDGB

,232

,//,21

ABGE

ABGEFCBF

GDBG

EDAE

且

7EF

∴∠EGF=120°.

由 GF∥CD,GE∥AB 可知 ,AB 与 CD 所成的角应是∠ EGF 的补角为 60°.

,21

122712

cos,

,131

,//

22

EGFEGF

CDGFCDGF，

中在

且同理

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