Post on 20-Oct-2015
GRAĐEVINSKI FAKULTEGRAĐEVINSKI FAKULTEТТ KatedraKatedra
za geodezijuza geodeziju
i i geoinformatikugeoinformatiku
Doc.Doc.
drdr
ZagorkaZagorka
GospaviGospavićć,
dipl.geod.inž.
ŠŠkolska 200kolska 2009/109/10
KONTROLA GEOMETRIJE INŽENJERSKIH OBJEKATA
‐
TESTIRANJEM
HIPOTEZA ‐
UVOD
Suština kontrole geometrije objekata sastoji se u tome da se dokaže
podudarnost kontrolisane figure sa unapred zadatom apriornom
(projektovanom) figurom.
Klasične geodetske
merne
metode
i postupci
objekat
(
telo
)
zamenjuju
skupom diskretnih
tačaka na površini objekta iz kojih se onda
ocenjuju
geometrijski
parametri
objekta.
Kao zamenu
oblika
realnog
objekta
umesto
njegovog
stvarnog
oblika
dobijamo
skup koordinata
merenih
tačaka, iz kojih ocenjujemo
karakteristične
parametre
geometrijske
figure (zamene
realnog modela), čije
ocene zavise
od
broja
i pozicije
merenih
(karakterističnih) tačaka.
Opšti oblik linearnih hipoteza
Statistička svojstva ocena u Gaus‐Markovljevom modelu:
duArrrnPvv
fPvvs
AAQPQQsK
KNvQsKKxNx
KAxNl
TT
Txvvv
v
xxxu
l
−==−
==
−==
=
−
×
)(,ˆ
,
),0(~ˆ),,(~ˆ
),(~
2
ˆ1
ˆˆ20ˆ
ˆ
ˆ20ˆˆ1
1,1,,0 ˆ: muum wxHH =⋅ 1,1,, ˆ: muuma wxHH ≠⋅
),(~| 020
fkFHskRT h
⋅= ),,('~|2
0
λfkFHskRT ah
⋅=
Opšti oblik linearnih hipoteza
Pri čemu :
1,, ˆ uum xH ⋅ ‐
predstavlja m linearnih funkcija, gde je rang(H)=k
1,mw ‐
vektor poznatih veličina (konstanti)
wxHd −= ˆVeličina naziva se odstupanje od hipoteze
dd QsK 20= T
xd HHQQ ˆ=Pri čemu su:
)ˆ()ˆ( 11 wxHQwxHdQdR dT
dT
h −−== −−Tada za kvadratnu formu važi:
Pri čemu je:
)ˆ()ˆ(1 120
wxHQwxHs d
T −−= −λ parametar necentralnosti F (χ2) rasporeda
TESTIRANJE PODUDARNOSTI (pripadnosti figuri)
Geodetska kontrola geometrije predstavlja statističko testiranje pripadnosti
diskretnih tačaka određenoj geometrijskoj figuri koja je u k‐
dimenzionalnom sistemu određena sa r potrebnih i dovoljnih nezavisnih
elemenata.
Skup m tačaka međusobno povezanih elementima (rastojanjima,
uglovima i sl.) predstavlja geometrijsku figuru.
Broj nezavisnih elemenata (r), potrebnih i dovoljnih za određenost figure od m
tačaka u k‐dimenz. koordinatnom sistemu:
Broj nezavisnih elemenata, r , potrebnih i dovoljnih za određenost figure, naziva
se rang figure, a razlika d=km‐r defekt figure.
Da bi se proverila podudarnost neke geometrijske figure sa zadatom
(projektovanom) figurom, potrebno je formirati r nezavisnih
linearnih jednačina!
Takve jednačine predstavljaju funkcionalni odnos između elemenata figure i
ukoliko nisu linearne potreno ih je linearizovati razvijanjem u red.
TESTIRANJE PODUDARNOSTI (pripadnosti figuri)
Testiranje
pripadnosti
figuri
po
položaju
u suštini
predstavlja
statističku
proveru
svake
koordinate
sa
zadatom.
TESTIRANJE PODUDARNOSTI (pripadnosti figuri)
Testiranje po položaju:Testiranje pripadnosti figuri po položaju u suštini predstavlja statističku
proveru koordinata tačaka figure
sa zadatim
(projektovanim).
Testiranje po obliku:Testiranje pripadnosti figuri po obliku predstavlja statističku proveru
karakterističnih uglovnih elemenata figure sa zadatim(projektovanim).
Testiranje po obliku i veličini:Testiranje pripadnosti figuri po obliku i veličini
predstavlja statističku
proveru karakterističnih uglovnih i linearnih (dužinskih) elemenata
figure sa zadatim(projektovanim).
1. Primer
Jednakost dva raspona:
2 2 2 22 41 3 2 1 2 1 4 3 4 3idL d d Y Y X X Y Y X X∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − + − − − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 1 2 2 3 3 4 4
2 2 2 2 4 4 4 41 1 1 1 3 3 3 3
L L L L L L L LHY X Y X Y X Y X
H B A B A B A B A
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − − −⎣ ⎦
ji
jiB νsin−= j
ijiA νcos−=
( ) ( )0
1
0.9520
/,
Td
H
d Q d kT F k
σ
−
= ≈ ∞
2. Primer
Jednakost raspona sa projektovanom
vrednošću:
2 221 2 1 2 1id прој пројL d d Y Y X X d∧ ∧ ∧ ∧ ∧⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − + − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
21 пројd d∧
−d=
1 1 2 2
2 2 1 11 1 2 2
L L L LHY X Y X
H B A B A
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂= ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
ji
jiB νsin−= j
ijiA νcos−=
( ) ( )0
1
0.9520
/,
Td
H
d Q d kT F k
σ
−
= ≈ ∞
3. Primer
Paralelnost dve prave:
2 4 4 32 11 3
2 1 4 3
ipY YY YL arctg arctg
X X X Xν ν
∧ ∧∧ ∧∧ ∧
∧ ∧ ∧ ∧
−−= − = −
− −
d= 2 41 3ν ν∧ ∧⎡ ⎤−⎢ ⎥
⎣ ⎦
1 1 2 2 3 3 4 4
2 2 2 2 4 4 4 41 1 1 1 3 3 3 3
L L L L L L L LHY X Y X Y X Y X
H b a b a b a b a
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − − −⎣ ⎦
ji
jij
i Sa
νρ sin=
ji
jij
i Sb
νρ cos−=
( ) ( )0
1
0.9520
/,
Td
H
d Q d kT F k
σ
−
= ≈ ∞
4. Primer
Vertikalnost prave
(ose objekta):
101 1020
101 102
ˆ ˆ:
ˆ ˆY Y
H M MX X
⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
101 102
101 102
ˆ ˆ:
ˆ ˆa
Y YH M M
X X
⎡ ⎤ ⎡ ⎤≠⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 2 1 2 2 10; 0L Y Y L X X∧ ∧ ∧ ∧
= − = = − = 2 1
2 1
[mm]Y Y
dX X
∧ ∧
∧ ∧
⎡ ⎤−⎢ ⎥=⎢ ⎥
−⎣ ⎦
1 1 1 1
1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
1 0 1 0;
0 1 0 1
L L L LY X Y X
H HL L L LY X Y X
∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ −⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
( ) ( )0
1
0.9520
/,
Td
H
d Q d kT F k
σ
−
= ≈ ∞
5. Primer‐
pravougli trougao A‐B‐C ‐
Po položaju: r=2mA
C
B
α β
H=E=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
100000010000001000000100000010000001 ( ) ( )
0
1
0.9520
/,
Td
H
d Q d kT F k
σ
−
= ≈ ∞
0HFT →<
aHFT →>
0
ˆˆˆˆˆˆ
:0 =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
CprojC
CprojC
BprojB
BprojB
AprojA
AprojA
yyxxyyxxyyxx
MH 0
ˆˆˆˆˆˆ
:0 ≠
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
CprojC
CprojC
BprojB
BprojB
AprojA
AprojA
yyxxyyxxyyxx
MH
ˆˆˆˆˆˆ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
CprojC
CprojC
BprojB
BprojB
AprojA
AprojA
yyxxyyxxyyxx
6. Primer‐
pravougli trougao A‐B‐C ‐
Po obliku i veličini: r=2m‐3
A
C
B
α β
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
xCf
yBf
xAf
yAf
xCf
yBf
xAf
yAf
xCf
yBf
xAf
yAf
3....333
2....222
1....111
H=
( ) ( )0
1
0.9520
/,
Td
H
d Q d kT F k
σ
−
= ≈ ∞
0HFT →<
aHFT →>
0,ˆ,ˆ
90ˆ:0 =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−−
projddprojddMH
cACA
BABA
oα0
,ˆ,ˆ
90ˆ:0 ≠
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−−
projddprojddMH
cACA
BABA
oαf1
f2
f3⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=
−−
−−
projddprojddd
cACA
BABA
,ˆ,ˆ
90ˆ oα
a
a
b
Po obliku: r=2m‐4
0
0
ˆ 90ˆ 45
dα
β
⎡ ⎤−= ⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
f1
f2
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
xCf
yBf
xAf
yAf
xCf
yBf
xAf
yAf
2....222
1....111
H=
7.Primer‐
pravougli trougao A‐B‐C ‐
A
C
B
α β
( ) ( )0
1
0.9520
/,
Td
H
d Q d kT F k
σ
−
= ≈ ∞
0HFT →<
aHFT →>
045ˆ90ˆ
:0 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
o
o
βα
MH 045ˆ90ˆ
:0 ≠⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
o
o
βα
MH