P a g e | 1www.MathsBankTutor.com

รวมข้อสอบ PAT1 เวกเตอร์1) กาํหนดให้ ABCD M เป็นจุดบนดา้น AD ADAM

5

1 และ N เป็นจุดบน

เสน้ทแยงมุม AC ACAN6

1 ถา้ ADbABaMN แลว้ a + b (PAT 1 มี

นา 52)

1)15

22)

5

1

3)3

1 4) 1

2) กาํหนดให้ u และ v vu 2 vu 2

แลว้ vu PAT 1 มีนา 52)

1)5

4

2) 0

3)5

14)

5

3

P a g e | 2www.MathsBankTutor.com

3) กาํหนดให้ u และ v vu 3 vu 3

แลว้เวกเตอร์ vu 5 PAT 1 กรกฎาคม 52)

1) 3 หน่วย 2) 23 หน่วย3) 4 หน่วย 4) 24 หน่วย

4) กาํหนดให้ u และ v vuvu ถา้ vubuuva 232 แลว้ค่าของ a

(PAT 1 กรกฎาคม 52)

1)

2

1,0 2)

1,2

1

3)

2

3,1 4)

2,2

3

P a g e | 3www.MathsBankTutor.com

5) กาํหนดให้ u และ v เป็ u v และ vu vu

ก. vu

ข. vu 2 vu 2

(Pat 1 ตุลาคม 2552)

1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก .ผิด และ ข. ผิด

6) กาํหนดให้ ABC D เป็นจุดบนดา้น AC และ F เป็นจุดบนดา้น BC ถา้ ACAD4

1 ,

BCBF3

1 และ BCbABaDF แลว้

b

a มีค่าเท่าใด (Pat 1 ตุลาคม 2552)

P a g e | 4www.MathsBankTutor.com

7) ให้ a และ b เป็นเวกเตอร์ กาํหนดโดย kpjia 32

1 และ kpjipb 22 p เป็นจาํนวน

จริง ถา้ a b และขนาดของ b เท่ากบั 3 แลว้ ค่าของ p (Pat มีนาคม 2553, 6

คะแนน)

1)

2

3,3 2)

0,

2

3

3)

2

3,0 4)

3,

2

3

8) ให้ vu , และ w เป็นเวกเตอร์ กาํหนดโดย kjdivkjiu 2,32 kcjbiaw a,

b, c และ d เป็นจาํนวนจริงถา้ krjqiwvwvuwu ,3,2 q, r เป็นจาํนวนจริง และ w ขนานกบั

kji3

1

2

1

3

2 แลว้ค่าของ cba 24 เท่ากบัเท่าใด (Pat มีนาคม 2553, 6 คะแนน)

P a g e | 5www.MathsBankTutor.com

9) กาํหนด u และ v เป็นเวกเตอร์ 3,3 vjiu และ 4 vu ค่าของ vu

(Pat 1 กรกฎาคม 53, 5 คะแนน)1) 6 2) 10

3) 13 4) 4

10) กาํหนดให้ jiu 52 และ jiv 2 ให้ w 11wu และ 8wv ถา้

w ทาํมุมกบัเวกเตอร์ ji 5 แลว้ 2sintan เท่ากบัเท่าใด (Pat 1 กรกฎาคม 53,

7 คะแนน)

P a g e | 6www.MathsBankTutor.com

11) กาํหนดให้ u , v และ w เป็นเวกเตอร์ในระนาบและ x, y เป็นจาํนวนจริงu = x i + jy , jiv 34 และ w = 2 i + j

ถา้ 2vu =

22vu และ 5x+5y= 21

แลว้หาค่าของ u w (Pat 1 ตุลาคม 2553 5 คะแนน)1) 5 2) 63) 10 4) 14

12) กาํหนดให้ u , v และ w เป็นเวกเตอร์ในระนาบ ถูกตอ้ง (Pat 1 ตุลาคม 2553 5 คะแนน)

1) vvuuvu 2

2) ถา้ 22 vuvu แลว้ u v

3) ถา้ 4,3,0 vuwvu และ w =7 แลว้ 12vu

4)222

vuvu

P a g e | 7www.MathsBankTutor.com

13) กาํหนดให้ u และ v 3,1 vu

และ u ทาํมุม 60 กบั v

ค่าของvu

vu

2(Pat 1 มีนาคม 2554 5 คะแนน)

1)19

132)

7

13

3) 1 4)19

7

14) กาํหนดให้ )6,4(),,( BbaA และ )4,1( C ABC ถา้ P เป็นจุดบนดา้น AB

A เท่ากบั5

3 ของระยะระหวา่ง A และ B และเวกเตอร์ jiCP

2 แลว้ a + b เท่ากบัเท่าใด

(Pat 1 มีนาคม 2554 7 คะแนน)

P a g e | 8www.MathsBankTutor.com

15) กําหนดให้ ba , , และ c 0 cba

เวกเตอร์ b ทํามมุ 125 กบัเวกเตอร์ a และ เวกเตอร์ c ทํามมุ 110 กบัเวกเตอร์ a ดงัรูป

(แนว Pat 1ต.ค. 54/ 5 คะแนน)

1.

35cot

20cot135cos ceca 2.

20cot

35cot120cos ceca

3.

35tan

20tan135cos ceca 4.

20tan

35tan120cos ceca

16) ให้ ABC P AC

และ Q เป็นจดุบนด้าน AB โดยแบง่สว่นของเส้นตรง AB ตามอตัราสว่น AQ:QB = 1:2

ถ้าให้ jiAB 36 และ jiBC 32 แล้ว PQ (Pat 1ต.ค. 54/ 5 คะแนน)

1. ji 2 2. ji 2

3. ji 2 4. ji 2

P a g e | 9www.MathsBankTutor.com

17) ให้จดุ A จดุ B และจดุ C มีพิกดัเป็น (3,0),(3+ 3 , 1) และ (a, b) ตามลาํดบั ถ้าจดุ C เป็นจดุ4 เวกเตอร์ AC ทํามมุ 60 กบั เวกเตอร์ AB และขนาดของเวกเตอร์ AC เป็น

32 เทา่ของขนาดของ AB เวกเตอร์ แล้ว 22 ba เทา่กบัเทา่ใด (แนว Pat 1ต.ค. 54/ 7 คะแนน)

18) กําหนดให้จดุ A(-1, 1), B(2, 5) และ C(2, -3) ABC ให้ L เป็นA และจดุ B ลากสว่นเส้นตรง CD L D แล้วเวกเตอร์

AD (แนว Pat 1มี.ค. 55/ 5 คะแนน)

1. ji 4325

7 2. ji 43

25

7

3. ji 4325

7 4. ji 43

25

7

P a g e | 10www.MathsBankTutor.com

19) กําหนดให้ u และ v

(ก)222

vuvu

(ข) ถ้า u v แล้ว 222vuvu

(แนว Pat 1มี.ค. 55/ 5 คะแนน)

1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู แต ่ ข. ผิด3. ก. ผิด แต ่ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

20) กําหนดให้ vu , และ w 0 wvu , 8wu และ

2wv ถ้าเวกเตอร์ w ทํามมุ3

1arcsin กบัเวกเตอร์ u และเวกเตอร์ w ทํามมุ

3

2arcsin

กบัเวกเตอร์ v แล้ว คา่ของ 22vu (แนว Pat 1ต.ค. 55/ 5 คะแนน)

1. 6 2. 103. 14 4. 18

P a g e | 11www.MathsBankTutor.com

21) A(-3, 2) มีแกนสมมาตรขนานแกน x และโฟกสั F อยูบ่นเส้นตรง L

01434 yx L baB , 0a

แล้วผลคณูของเวกเตอร์ FBAF เทา่กบัเทา่ใด (แนว Pat 1ต.ค. 55/ 7 คะแนน)

22) กาํหนดให้ O เป็นจุดกาํเนิด A = (1, – 4, – 3) และ B = (3, – 6, 2) ถา้ C เป็นจุดบน OB AC

กบั OB แลว้ OC ยาวเท่าใด (แนว 7 วชิาสามญั 55, 2 คะแนน)

P a g e | 12www.MathsBankTutor.com

23) กาํหนดให้ u และ v

มุมเป็น u และ v มีค่าเท่ากบั 3 ตารางหน่วย ถา้ u และ v มีขนาด 1 และ 5 หน่วย ตามลาํดบั แลว้ )(2 vuvu (แนว 7 วชิาสามญั 55, 4 คะแนน)

1. –27 2. –193. 0 4. 195. 27

24) ถา้ kjiu 32 และ kjiwv 42 แลว้ค่าของ wuv เท่ากบัเท่าใด (แนว 7 วชิาสามญั56, 2 คะแนน)

P a g e | 13www.MathsBankTutor.com

25) กาํหนดให้ A, B และ C เป็นจุดในระบบพิกดัฉาก 3 มิติจงพิจารณาขอ้ความ 4

(1) 0 CABCAB

(2) BCABBCAB

(3) BACABCAB

(4) BCABCACABCAB

(แนว 7 วชิาสามญั 56, 4 คะแนน)

1. 0 (ไม่มีขอ้ความใดถูก) 2. 1

3. 2 4. 35. 4

26)

(ก) ใหเ้วกเตอร์ kcjbiaw ba, และ c เป็นจาํนวนจริง และใหเ้วกเตอร์ kjiu 2

และ kjiv ถา้เวกเตอร์ w u และเวกเตอร์ v แลว้ 1 cba

(ข) ใหเ้วกเตอร์ jiu 2 และ jbiav เป็นเวกเตอร์ในระนาบ ถา้5

3v และ 3 vu

แลว้เวกเตอร์ u ทาํมุม 60 กบัเวกเตอร์ v

(แนวจริง PAT1 มี.ค. 56, 5 คะแนน)

1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

P a g e | 14www.MathsBankTutor.com

27) กาํหนดให้ ba , และ c

jixa5

12 , jyib 6 และ jic 2 x และ y เป็นจาํนวนจริง

ถา้ 5 cb ,เวกเตอร์ a b และ 0ca แลว้ค่าของ 25 ba เท่ากบัเท่าใด (แนว

PAT1 มี.ค. 56, 7 คะแนน)

P a g e | 15www.MathsBankTutor.com

เฉลย1) 12) 13) 44) 25) 16) 97) 28) 39) 210) 211) 212) 313) 214) 315) 416) 317) 9318) 319) 320) 421) 322) 323) 224) 825) 426) 427) 144

P a g e | 16www.MathsBankTutor.com

รวมข้อสอบสอบเข้ามหาวทิยาลยั1) ถา้ jbiau โดย a > 0 ถา้ u ji 2 แลว้มุมระหวา่งเวกเตอร์ u กบัเวกเตอร์

ji 3 (มุมแหลม) (ต.ค.41/3)

2) ถา้ 25 vu และ 26 vu

แลว้ vu (มี.ค.42/3)

1) 3 2) 6 3) 8 4) 12

P a g e | 17www.MathsBankTutor.com

3) กาํหนดให้ ABC E BACE 2 ถา้ CAbCBaBE a, b

เป็นค่าคงตวัแลว้ b – a (มี.ค.42/3)1) -1 2) 2 3) 3 4) 5

4) กาํหนดให้ O เป็นจุดกาํเนิด jiOBjiOA 25,43 จากจุด A OB D

แลว้ OD (ต.ค.42/3)

1) )25(29

7ji 2) )25(

29

7ji

3) )25(29

8ji 4) )25(

29

8ji

P a g e | 18www.MathsBankTutor.com

5) ถา้ u และ v ทาํมุมกนั 60 และ 13,37 vuvu แลว้ vu

(ต.ค.42/3)

1) 5 2) 7 3) 37 4) 50

6) ให้ jivjiu 2,3 ถา้ เป็นมุมระหวา่ง )( vu

และ )( vu แลว้ cos มีค่าเท่ากบัขอ้ใด

(มี.ค.43/3)

1)5

12)

5

23)

5

14)

5

2

P a g e | 19www.MathsBankTutor.com

7) กาํหนดให้ 3 vu และ 2vu

ก. vu ข. 3

22 vu

(มี.ค.43/3)

1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

8) ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ และ เป็นมุมระหวา่ง u และ v ถา้ u + v u - 2 v และu + 2 v 2u - v และ 2u แลว้ cos (ต.ค.43/ 1)

1)10

12)

6

13)

4

14)

2

1

P a g e | 20www.MathsBankTutor.com

9) กาํหนดจุด A(3, -2) , B(9, 4) และ O(0, 0) ถา้แบ่งส่วนของเสน้ตรง AB เป็น 3 C และ D

แลว้ ODOC มีค่าเท่าใด (ต.ค.43/ 2)

10) ให้ jbiau a > 0 และ b > 0 และ 14)25( jiu ถา้ u ทาํมุม กบัเวกเตอร์ i และ

5

3cos แลว้ a + b (มี.ค.44/3)

1) 7 2) 14 3) 18 4) 21

P a g e | 21www.MathsBankTutor.com

11) ให้ A, B , C เป็นจุดในระนาบ และ O jiOA 23 และ jiOB 52 ถา้

ABAC3

2 แลว้

2

OC (มี.ค.44/3)

1)9

1132)

9

983)

9

1934)

9

153

12) กาํหนดให้ 4,5,2

2 vuvuu ถา้ เป็นมุมระหวา่ง u และ v แลว้

(ต.ค.44/3)

1)

6,0

2)

4,

6

3)

3,

4

4)

2,

3

P a g e | 22www.MathsBankTutor.com

13) กาํหนดจุด A(1, 1), B(4, 10), C(7, 9) และ D AB3

2

AB

ADถา้ คือมุม

ระหวา่ง CA และ DC แลว้ cos (ต.ค.44/3)

1)5

22)

10

23)

5

24)

10

2

14) กาํหนดจุด P(-1, 2), R(3, 3), O(0, 0) และ Q เป็นจุดบนส่วนของเสน้ตรง PR PRPQ3

1 ถา้

A(x, y) 2 OA OQ และ 5OA หน่วย แลว้ x + y เท่ากบัขอ้ใด(มี.ค.45/3)

1)10

62)

2

63)

10

64)

2

6

P a g e | 23www.MathsBankTutor.com

15) กาํหนดให้ ABC CABCAB 5 ถา้ M และ N BC

และ AC ตามลาํดบัแลว้พิจารณ

ก. )(2

1ACBCMN ข. 0BNAM

ถูก (มี.ค.45/3)

1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

16) กาํหนดให้ ABC 2,1 CABC ถา้ ),2(3

1CBCAu เป็นมุมระหวา่ง u

และ CB และ4

1ˆcos ACB แลว้ cos (ต.ค.45/3)

1)4

52)

2

53)

24

54)

22

5

P a g e | 24www.MathsBankTutor.com

17) กาํหนดให้ ABC bCAaBCcAB ,, ถา้ a2 + b2 +c2 = 13 แลว้

ABCACABCBCAB (ต.ค.45/3)

1)2

132)

2

13 3)

3

134)

3

13

18) ถา้ uvjiu ,34 และ 8 vu

แลว้ vu มีค่าเท่าใด (มี.ค.46/2)

P a g e | 25www.MathsBankTutor.com

19) ให้ A, B เป็นจุดสองจุดบนเสน้ตรง y = 2x ถา้จุด C(-2, 1) ทาํให้ 0CBCA และ CBCA แลว้ รูปABC (มี.ค.46/3)

1) 52 ตารางหน่วย 2) 10 ตารางหน่วย3) 5 ตารางหน่วย 4) 10 ตารางหน่วย

20) กาํหนดเวกเตอร์ cba

,,

jia

24 , jiba

46

และ jcicc

21 0,0 21 cc และ 172c

ถา้ c )( ba

แลว้ 21 cc มีค่าเท่ากบัเท่าใด (ต.ค.46/2)

P a g e | 26www.MathsBankTutor.com

21) กาํหนดให้ ABC D เป็นจุดบนดา้น BC 3:1: BCBD พิจารณา

ก. BCABAD 23

ข.2

6

1BCBCAD

ถูก (ต.ค.46/2)

1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

22) ให้ A, B, C D เป็นจุดบนเสน้ตรง BC BD : DC = 2 : 1

ถา้ ACABcACbABaAD 222

a, b, c เป็นจาํนวนจริง และ 0 ACAB แลว้222 cba (Ent’มี.ค.47: 3 คะแนน)

1)81

312)

81

323)

27

104)

27

11

P a g e | 27www.MathsBankTutor.com

23) กาํหนดใหเ้วกเตอร์

4

1

a

8 และ

3

5= b

4

1+ c

a

8 ถา้ เป็นมุมระหวา่ง

เวกเตอร์

0

a และ

c

b แลว้ 2cos เท่ากบัเท่าใด (Ent’มี.ค.47: 2 คะแนน)

24) ถา้ jn

in

vn 2

11

1 n = 1, 2, 3, … , 99

แลว้ค่าของ

99

11

nnn vv (Ent’ต.ค.47: 3 คะแนน)

1) (1, 1.2) 2) (1.2, 1.4) 3) (1.4, 1.6) 4) (1.6, 1.8)

P a g e | 28www.MathsBankTutor.com

25) ให้ A, B, C

ก. 0 CABCAB

ข. 222 ABCABC

ถูก (Ent’ต.ค.47: 3 คะแนน)

1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

26) กาํหนดให้ wvu ,, 025 wvu jiu 43 และ u

ฉากกบั v ถา้ เป็นมุมระหวา่ง u และ w แลว้ค่าของ cosw เท่ากบัเท่าใด (Ent’มี.ค.48: 2 คะแนน)

P a g e | 29www.MathsBankTutor.com

27) กาํหนดให้ jiu 43

jbiaw w มีทิศทางเดียวกนักบั u

และ 10w แลว้ a + b เท่ากบัเท่าใด (A-NET’ก.พ.49: 2 คะแนน)

28) กาํหนดให้ kiu 3

kxjv 2 x เป็นจาํนวนจริง

และ kjiw 3

ถา้ vu , และ w อยูบ่นระนาบเดียวกนั แลว้ x (A-NET’ก.พ.49: 3 คะแนน)1) -12 2) -8 3) 8 4) 16

.

P a g e | 30www.MathsBankTutor.com

29) ให้ kjbiau

2 และ jbiav

32 a, b เป็นจาํนวนเตม็บวก และ เป็นมุมระหวา่ง u และ

v ถา้ 3u

และ3

1cos แลว้ vu

(A-NET’มีค.50: 3 คะแนน)

1) kji

1086 2) kji

1086

3) kji

10412 4) kji

10412

30) กาํหนดให้ P(-8, 5), Q(-15, -19), R(1, -7) เป็นจุดบนระนาบ ถา้ jbiav (a, b เป็นจาํนวนจริง) เป็น

RP̂Q แลว้b

a(A-NET’มีค.50:

3 คะแนน)1) 2 2) -2

3)11

24)

11

2

P a g e | 31www.MathsBankTutor.com

31) O(0, 0, 0), A(1, 5, 7), B(2a, -b, -1) และ C(a, 3b, 2) โดยa และ b เป็นจาํนวนเตม็ ถา้ OA OB และ OC และ เป็นมุมระหวา่ง OB

และ OC ถูก (A-NET’มี.ค.51: 3 คะแนน)

1)73

5sin

2) 21OCOB

3)2

35 หน่วย

4) 75 ลูกบาศกห์น่วย

32) กาํหนดให้ u และ v ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย ์และ vuvu ถา้ uv3

1 แลว้ มุมระหวา่งเวกเตอร์

vu และเวกเตอร์ vu (A-NET’ มี.ค.52 : 3 คะแนน)1) 302) 45

3) 604) 90

P a g e | 32www.MathsBankTutor.com

เฉลย1. ตอบ 45

2. ตอบ 2)

3. ตอบ 4)

4. ตอบ 2)

5. ตอบ 2)

6. ตอบ 1)

7. ตอบ 2)

8. ตอบ 1)

9. ตอบ 35

10. ตอบ 2)

11. ตอบ 1)

12. ตอบ 2)

13. ตอบ 1)

14. ตอบ 2)

15. ตอบ 2)

16. ตอบ 4)

17. ตอบ 2)

18. ตอบ 7

19. ตอบ 3)

20. ตอบ 10

21. ตอบ 3)

22. ตอบ 4)

23. ตอบ 0.8

24. ตอบ 3)

25. ตอบ 2)

26. ตอบ 2.5

27. ตอบ 14

28. ตอบ 4)

29. ตอบ 1)

30. ตอบ 4)

31. ตอบ 4)

32. ตอบ 3)