Persamaan Logistik Stokastik - · PDF fileIsi Kuliah Persamaan Logistik Derau Putih dan Gerak...
Transcript of Persamaan Logistik Stokastik - · PDF fileIsi Kuliah Persamaan Logistik Derau Putih dan Gerak...
Persamaan Logistik Stokastik
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Sanata Dharma Yogyakarta
26. April 2014
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 1 / 35
Isi Kuliah
Persamaan Logistik
Derau Putih dan Gerak Brown
Persamaan Diferensial Stokastik
Persamaan Logistik Stokastik
Perluasan Model Logistik Stokastik
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 2 / 35
Persamaan Logistik
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 3 / 35
Model Pertumbuhan Populasi
Model Malthus (1798):
dN(t)
dt= rN(t) N(0) = N0 > 0,
dengan
N(t) adalah banyaknya individu di dalam populasi pada waktu t
r adalah laju pertumbuhan intrinsik
Solusi:N(t) = N0e
rt
Tidak realistis!Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 4 / 35
Model Pertumbuhan Populasi
Persamaan Logistik / Model Verhulst (1845):
Gb. 1 : sumber: en.wikipedia.org
dN(t)
dt= r(t)N(t)
(1− N(t)
K
), N(0) = N0 > 0, (1)
dengan
r : [0,∞)→ R fungsi terintegral lokal adalah laju pertumbuhan individudalam populasiK > 0 adalah kapasitas ambang untuk mengakomodasi faktor-faktor dayadukung ekosistem seperti ketersediaan makanan dan air, temperatur,kelembaban, intensitas cahaya, kehadiran predator, penyakit, dsb.
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 5 / 35
Persamaan logistik (1) adalah PD nonlinear, tapi dapat diselesaikan denganpemisahan variabel.Solusi:
N(t) =N0K
N0 + (K − N0)e−∫ t0 r(s) ds
Khususnya, jika r(t) = r konstan:
N(t) =N0K
N0 + (K − N0)e−rt(2)
Perilaku jangka panjang:
r > 0: kurva solusi berbentuk sigmoid dan bersifat stabil asimtotik menuju keK :
limt→∞
N(t) = K
r = 0: populasi statis (sesuai dengan kondisi awal N0):
limt→∞
N(t) = N0
r < 0: terjadi pengurangan laju pertumbuhan per kapita dan kurva solusisecara asimtotik menuju ke nol (kepunahan populasi):
limt→∞
N(t) = 0.
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 6 / 35
Kurva solusi persamaan logistik (kurva logistik) untuk laju pertumbuhan r > 0:
Gb.2. : sumber: gummy-stu.org
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 7 / 35
Kurva solusi persamaan logistik (kurva logistik) untuk laju pertumbuhan r > 0dengan berbagai kondisi awal:
Gb.3. : sumber: fr.wikipedia.org
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 8 / 35
Beberapa modikasi model logistik:1 Persamaan logistik dengan ambang kepunahan
Pada kenyataannya kepunahan populasi dapat terjadi apabila ukuran populasiterlalu kecil, sebab:
predasi dapat menghabiskan sisa individu dalam populasi,mencari pasangan untuk berkembang biak menjadi sulit,kurangnya keanekaragaman genetik yang mengakibatkan populasi rentanterhadap penyakit epidemik, dsb.
dN(t)
dt= r(t)N(t)
(N(t)
L− 1
)(1− N(t)
K
), 0 < L < K , N(0) = N0 > 0
2 Persamaan logistik stokastikPada kenyataannya parameter-parameter dalam persamaan logistik tidaksepenuhnya dapat ditentukan, ada faktor-faktor eksternal yang bersifatprobabilistik. Jadi perlu dipertimbangkan adanya derau (noise)):
dNt
dt= Nt
(1− Nt
K
)(α(t) + σ(t) · Dt)
N0 = Y > 0
Kita tidak tahu perilaku eksak dari derau Dt , hanya distribusi peluang dari Dt
yang diketahui.
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 9 / 35
kurva logistik deterministik vs stokastik
deterministik:
stokastik:
Gb. 4 : sumber: wolfram.comHerry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 10 / 35
Beberapa pertanyaan (matematis) yang muncul
Apa artinya dan formulasi matematika dari:
Kuantitas acak Nt untuk setiap waktu t => peubah acak (random variable)
Keluarga kuantitas acak (Nt)t≥0 yang diindeks oleh waktu t => prosesstokastik (stochastic processes)
Derau Dt => derau putih Gaussian (Gaussian white noise) (turunan darigerak Brown)
Integral stokastik ∫ T
0
Nt · Dt dt
=> integral Ito atau integral Stratonovich
Persamaan diferensial stokastik
dNt = Nt
(1− Nt
K
)(α(t) + σ(t) · Dt) dt
=> persamaan integral stokastik
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 11 / 35
Derau Putih dan Gerak Brown
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 12 / 35
Tonggak sejarah gerak Brown dan derau putih
1 R. Brown (1827): percobaan serbuk sari tumbuhan pada larutan
2 L. Bachelier (1900): pemodelan bursa saham Paris dengan gerak Brown
3 A. Einstein (1905): teori pertama gerak Brown terkait dengan persamaanpanas/difusi
4 N. Wiener (1923): fondasi matematika yang rigor untuk gerak Brown
5 K. Ito (1942): penemuan kalkulus stokastik (integral terhadap gerak Brown)
6 F. Black dan M. Scholes (1973): Rumus Black-Scholes untuk harga opsitipe Eropa dalam keuangan
7 T. Hida (1976): fondasi matematika yang rigor untuk derau putih (whitenoise analysis)
8 L. Streit (1983): Pemecahan masalah integral Feynman di dalam mekanikakuantum dengan analisis derau putih
9 M. Scholes dan R. Merton (1997): Nobel Ekonomi untuk rumusBlack-Scholes
10 W. Werner (2006): Medali Field untuk masalah self-intersection gerakBrown dimensi tinggi
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 13 / 35
Derau Putih (White Noise)
Derau: takperiodik, kompleks, tidak menyenangkan, suara atau sinyal yangrusak (corrupted)
Derau putih: derau akustik atau elektrik yang memuat semua frekuensi yangdapat didengar dengan intensitas yang sama
Putih berarti derau tersebut tersusun dari semua frekuensi pada spektrumyang dapat didengar, terdistribusi secara acak. Hal ini analog dengan cahayaputih yang tersusun dari semua warna pada spektrum visual.
Di dalam penerapan, derau putih digunakan sebagai sebuah idealisasimatematis dari fenomena-fenomena yang memuat uktuasi yang mendadakdan sangat besar.
Derau putih Gaussian (Gaussian white noise): terkait dengan teori bahwaderau putih adalah turunan (terhadap waktu) dari gerak Brown.
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 14 / 35
Derau Putih dan Gerak Brown:
Gb. 5 : sumber: http://technion.ac.il/ pavel/
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 15 / 35
Gerak Brown adalah proses stokastik B = (Bt)t≥0 yang terdenisi pada sebuahruang peluang (Ω,F ,P) sehingga:
1 B0 = 0 P-hampir pasti2 B memiliki kenaikan yang bebas (independent increments)3 Bt − Bs ∼ N (0, t − s) (normally distributed)4 P-hampir pasti t 7→ Bt(ω) kontinu
Gb. 6 : sumber:math.uiuc.edu
Partikel Brownian tidak memiliki laju:
Bt+ε − Bt
ε∼ N (0,
1
ε) =⇒ dBt
dt= limε→0
Bt+ε − Bt
εtidak ada!
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 16 / 35
Fakta:
Dengan peluang satu, trayektori (lintasan sampel) gerak Brownian bersifatkontinu dimana-mana tapi tidak terdiferensial dimana-mana. => integralRiemann-Stieltjes tidak bisa digunakan
Gerak Brown bersifat serupa diri (self-similar) => terkait dengan fraktal
Gerak Brown adalah proses Markov => tidak punya memori
Gerak Brown adalah proses Gaussian => Kajian probabilistik dan analitiknyarelatif mudah
Derau putih adalah proses Gaussian Dt yang saling bebas pada waktu yangberbeda dan memiliki distribusi identik dengan rata-rata 0 dan variansi ∞, dalamarti:
E(DtDs) =
∫Re i(t−s)x dx = δ(t − s)
Denisi ini belum dapat diterima 100%.
Teori derau putih yang rigor secara matematika adalah melalui teoridistribusi (generalized function) stokastik pada sebuah ruang vektortopologi berdimensi takhingga. (T. Hida,1976).
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 17 / 35
Persamaan Diferensial Stokastik
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 18 / 35
Persamaan diferensial dengan derau
dXt = f (t,Xt) dt + σ(t,Xt)Dt dt, X0 = Y
dituliskan sebagai persamaan diferensial stokastik
dXt = f (t,Xt) dt + σ(t,Xt) dBt , X0 = Y
dan diinterpretasikan (dimaknai secara matematis) sebagai persamaan integral
stokastik
Xt = Y +
∫ t
0
f (s,Xs) ds︸ ︷︷ ︸integral deterministik
+
∫ t
0
σ(s,Xs) dBs︸ ︷︷ ︸integral stokastik
integral deterministik : integral Riemann, integral Lebesgue, integral Henstock,dsbintegral stokastik : integral Wiener, integral Ito, integral Stratonovich, integralRusso-Vallois, dsb
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 19 / 35
Teorema Eksistensi-Ketunggalan Solusi dalam kalkulus Ito
Theorem
Diberikan persamaan diferensial stokastik
dXt = f (t,Xt) dt + σ(t,Xt) dBt , X0 = Y (3)
dengan
1 fungsi f (t, x) dan σ(t, x) terukur pada [0,T ]× R2 terdapat K > 0 sehingga untuk setiap t ∈ [0,T ] dan x , y ∈ R:
1 |f (t, x)− f (t, y)|+ |σ(t, x)− σ(t, y)| ≤ K |x − y |,2 |f (t, x)|2 + |σ(t, x)|2 ≤ K(1+ |x |2)
3 peubah acak Y memenuhi E(Y 2) <∞ dan, untuk setiap t > 0, bebasterhadap gerak Brown B
Maka terdapat sebuah solusi Xt dari (3) yang terdenisi pada [0,T ] yang kontinuP-hampir pasti, teradaptasi terhadap ltrasi yang dibangun oleh Y dan Bs , s ≤ t,memenuhi supt∈[0,T ] E(X 2
t ) <∞, serta merupakan proses Markov. Lebih lanjut,solusi ini bersifat tunggal lintasan-demi-lintasan, yakni apabila X dan Z dua
solusi, maka P(supt∈[0,T ] |Xt − Zt | = 0
)= 1.
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 20 / 35
Rumus Ito
Proses Ito adalah proses stokastik Xt yang dapat dituliskan dalam bentuk
dXt = f (t) dt + σ(t) dBt
dengan∫ t
0|f (s)| ds <∞ dan
∫ t
0|σ(s)|2 ds <∞.
Theorem
Apabila Xt adalah proses Ito dan g(t, x) ∈ C 2 ([0,∞)× R), makaY (t) = g(t,Xt) juga merupakan proses Ito dan berlaku
dY (t) =∂g
∂t(t,Xt) dt +
∂g
∂x(t,Xt) dXt +
1
2
∂2g
∂x2(t,Xt) (dXt)
2,
dengan (dXt)2 ditentukan menurut aturan
dt.dt = dt.dBt = dBt .dt = 0, dBt .dBt = dt.
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 21 / 35
Persamaan Logistik Stokastik
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 22 / 35
Penurunan persamaan logistik stokastik
Dari persamaan logistik
dN(t)
dt= r(t)N(t)
(1− N(t)
K
), N(0) = N0 > 0
dengan memperhatikan gangguan acak (derau) pada laju pertumbuhan
r(t) = α(t) + σ(t).Dt (4)
diperoleh persamaan logistik dengan derau
dNt
dt= Nt
(1− Nt
K
)(α(t) + σ(t) · Dt) , N0 = Y > 0
Kita pilih derau Dt adalah derau putih Gaussian, jadi dapat dipandang
Dt=dBt
dt.
Dengan demikian diperoleh persamaan logistik stokastik
dNt = Nt
(1− Nt
K
)(α(t) dt + σ(t)dBt) , N0 = Y > 0 (5)
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 23 / 35
Eksistensi-Ketunggalan Solusi Positif
Theorem
Untuk setiap kondisi awal N0 sehingga N0 ∈ (0,K ) P-hampir pasti, terdapatdengan tunggal solusi positif yang kontinu seragam dari persamaan logistikstokastik (5).
Ide bukti:
Teorema eksistensi-ketunggalan umum
Rumus Ito
Teorema Kolmogorov-Chentsov : Diberikan X = (Xt)t≥0 adalah prosesGaussian terpusat dan terdapat C , η > 0 sehingga untuk setiap s, t ≥ 0
E((Xt − Xs)2
)≤ C |t − s|η.
Maka untuk setiap β ∈(0, η
2
), terdapat modikasi Z dari X yang bersifat
kontinu Hölder order β.
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 24 / 35
Jelas bahwa Nt = 0 dan Nt = K adalah solusi dari (5). Sekarang, kita misalkanNt 6= 0 dan Nt 6= K .Sebut
g(t, x) := ln x ,
maka
g(t,Nt) = ln
(K − Nt
Nt
)= ln(K − Nt)− ln(Nt).
Selanjutnya, rumus Ito memberikan
dg(t,Nt)
= − dNt
k − Nt− (dNt)
2
2(K − Nt)2− dNt
Nt+
(dNt)2
2N2t
= −
((α(t)− σ(t)2
2+σ(t)2
2
(Nt
K
)2
+ σ(t)2Nt
K
)dt + σ(t) dBt
)
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 25 / 35
Jadi,K − Nt
Nt= CeΦt (6)
dengan
C =K − N0
N0
dan
Φt = −∫ t
0
((α(s)− 1
2σ(s)2 +
σ(s)2
2
(Ns
K
)2
+ σ(s)2Ns
K
)ds + σ(s) dBs
).
Terhadap kebergantungan terhadap kondisi awal, ada 2 kasus:1 0 < N0 < K , maka C > 0 P-hampir pasti, sehingga 0 < Nt < K , t ≥ 0,
P-hampir pasti, dan (6) menjadi
Nt =KN0
N0 + (K − N0)eΦt
2 0 < K < N0, maka C < 0 P-hampir pasti, sehingga 0 < k < Nt , t ≥ 0,P-hampir pasti, dan (6) menjadi
Nt =KN0
N0 − (K − N0)eΦt
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 26 / 35
Kasus khusus, apabila α(t) = α dan σ(t) = σ, maka
Nt =KN0
N0 ± (K − N0)eΨt
dengan
Ψt = −(αt − 1
2σ2t +
σ2
2K 2
∫ t
0
(Ns)2 ds +σ2
K
∫ t
0
Ns ds + σBt
).
Lebih lanjut, apabila σ = 0, maka diperoleh solusi persamaan logistikdeterministik (2):
Nt =KN0
N0 ± (K − N0)e−αt
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 27 / 35
Kestabilan solusi
Theorem
Diketahui Nt adalah solusi positif yang kontinu seragam dari persamaan logistikstokastik (5) dengan kondisi awal N0 ∈ (0,K ). Maka
1 Jika α > σ2, makalimt→∞
E(K − Nt)2 = 0
2 Jika α > σ2
2, maka
limt→∞
E(Nt) = K
3 Jika α < −σ2, makalimt→∞
E(Nt)2 = 0
4 Jika α < −σ2
2, maka
limt→∞
E(Nt) = 0
Ide bukti:
Metofe fungsi Lyapunov
Rumus ItoHerry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 28 / 35
Perluasan Model Logistik Stokastik
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 29 / 35
Cara memperluas model logistik stokastik
Salah satu cara memperbaiki model logistik stokastik adalah melihat kembalipersamaan logistik dengan derau
dNt
dt= Nt
(1− Nt
K
)(α(t) + σ(t) · Dt) , N0 = Y > 0
dan mempertimbangkan penggunaan derau Dt selain derau putih Gaussian.
Jadi, diperhatikan persamaan logistik stokastik
dNt = Nt
(1− Nt
K
)(α(t) dt + σ(t)dXt) , N0 = Y > 0
dengan Xt adalah sebuah proses stokastik yang lebih umum dari gerak Brown danditentukan berdasarkan permasalahan real yang dihadapi.
Secara umum, ada 2 macam proses stokastik yang biasa digunakan:
1 proses Levy
2 gerak Brown fraksional
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 30 / 35
Gerak Brown Fraksional
Gerak Brown fraksional dengan parameter Hurst H ∈ (0, 1) adalah prosesGaussian terpusat BH
t yang terdenisi pada sebuah ruang peluang (Ω,F ,P)dengan fungsi kovariansi
E(BHt BH
s ) =1
2
(t2H + s2H − |t − s|2H
).
Gb. 5 : sumber: iopscience.iop.org
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 31 / 35
Fakta:
Jika H = 1
2, maka BH
t = Bt=> gerak Brown fraksional adalah perumumandari gerak Brown
Untuk semua a > 0, BHat =d aHBH
t => serupa-diri dengan order H: sifatfraktal
Untuk semua h > 0, BHt+h − BH
h =d BHt => kenaikan stasioner
P-hampir pasti trayektori gerak Brown fraksional bersifat kontinu Hölderdengan order < H dan tidak terdiferensial di mana-mana => integralRiemann-Stieltjes tidak bisa digunakan
Untuk H 6= 1
2, BH
t bukan semimartingale => kalkulus Ito tidak bisadigunakan!
Untuk H 6= 1
2, BH
t bukan proses Markov => memiliki memori! +: bergunauntuk pemodelan telekomunikasi, lalu lintas internet, keuangan, geologi, dsb,-: alat2 analitik seperti semigrup operator tidak dapat digunakan.
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 32 / 35
Beberapa cara untuk mendenisikan kalkulus stokastik terhadap gerak Brownfraksional:
Kalkulus lintasan-demi-lintasan (pathwise calculus) => integral Young
Kalkulus Malliavin (Malliavin calculus) => kalkulus variasi stokastik
Analisis derau putih (white noise analysis/Hida calculus) => gerak Brownfraksional didenisikan di ruang distribusi stokastik menggunakan operatorintegral/diferensial fraksional
Semuanya adalah area penelitian yang masih sangat aktif dan terus
berkembang
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 33 / 35
Daftar Pustaka
B. Oksendal. Stochastic Dierential Equations, 6th ed. , Springer, 2005
I. Karatzas and S. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed,Springer, 1999
T. Hida, H-H. Kuo, J. Pottho, and L. Streit. White Noise. An InniteDimensional Calculus, Kluwer, 1993
A. Tsoularis. Analysis of Logistic Growth Model, Res. Lett. Inf. Math. Sci.,(2001) 2, 23-46.
H. Schurz. Modeling, Analysis and Discretization of Stochastic LogisticEquations, Int. J. Num. Anal. and Mod., (2011) 4(2), 178-197.
M. Khodabin and N. Kiaee. Stochastic Dynamical Logistic PopulationGrowth Model, J. Math. Sci.: Advances and Applications, (2011) 11(1),11-29.
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 34 / 35
Terima kasih
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 35 / 35