1

Probabilistik dan Stokastik

Teknik IndustriUniversitas Brawijaya

Terminologi

Variabel acak (random variable) adalah sebuah fungsi yang dinotasikan sebuah bilangan nyata (real number) untuk setiap elemen dalam satu ruang sampel (sample space)

X(i) dengan X(i) Di manaX(i) : variabel acak : ruang sampel : bilangan nyata

2

Terminologi

Percobaan acak (random trial) adalah sebuah nilai informasi yang menginterpretasikan keluaran (chance outcome) yang muncul dalam studi investigasi ilmiah melalui pengamatan (observation) dan eksperimen (experiment) yang dapat dilakukan berulang-ulang dalam kondisi yang sama

3

Terminologi

Sampel (sample) adalah sebuah atau beberapa elemen yang menjadi anggota dari ruang sampel (member of sample space) atau bagian dari populasi (selection of population)

Ruang sampel (sample space) adalah himpunan semua kemungkinan keluaran (possible outcome) percobaan acak (random trial)

4

Terminologi

Populasi (population) adalah himpunan semua objek, percobaan, pengamatan, data, keluaran, atau nilai yang memiliki kesamaan kondisi umum (common state) dalam rentang (range) tertentu dengan parameter identik

5

Terminologi

Kejadian (event) adalah bagian dari ruang sampel (sample space) sebagai keluaran dari beberapa percobaan (random trial)

A Di manaA : Kejadian : ruang sampel

6

Terminologi

Probabilitas (probability) adalah tingkat kemungkinan kemunculan keluaran bagian dari kejadian (event) yang diamati.

0 < P(A) < 1dengan P() = 0 dan P() = 1Di manaA : Kejadian : ruang sampel

7

Terminologi

Proses stokastik (stochastic process) adalah proses dinamis dengan perubahan state yang bersifat probabilistik terhadap waktu

Proses hitung (counting process) proses kemunculan sejumlah kejadian hingga waktu tertentu.

N(t) = counting process dengan t > 0

8

Terminologi

Pengelompokkan proses stokastik

9

Terminologi

Proses StokastikBernoulli ProcessPoisson ProcessNonhomogeneous Poisson ProcessCompound Poisson ProcessRenewal ProcessBirth-Death Process

10

11

Non-Homogeneous Poisson Process (NHPP)

Poisson Process

Renewal CountingProcess

HomogeneousContinuous TimeMarkov Chain

HomogeneousDiscrete TimeMarkov Chain

Semi-Markov Process

Markov RegenerativeProcess

Non-HomogeneousContinuous TimeMarkov Chain

Compound Poisson Process

Bernoulli Process

Ukuran dataNominalOrdinalIntervalRasio

12

Macam

VariabelBerdasarkan kebebasan

Variabel bebas (independent variable)Variabel terikat (dependent variable)

Berdasarkan kontinyuitasVariabel diskrit (discrete variable)Variabel kontinyu (continuous variable)

13

Operasi KejadianHimpunan kosong (null set)A = Himpunan bagian (subset atau inclusion)A BBagian (Element) A BIrisan (intersection) A BGabungan (union) A B

14

Komplem

en KejadianKomplemen kejadian (complement of event) adalah semua keluaran dalam ruang sampel (sample space) yang tidak menjadi anggota dari kejadian (event)

A A’ = dan A A’ = Di manaA : KejadianA’ : Komplemen kejadian : ruang sampel

15

Kejadian Bebas Ekslusif

Bebas ekslusif (mutually exclusive atau disjoint) merupakan tidak terdapatnya keluaran yang menjadi anggota ganda dalam dua atau beberapa kejadian (event) berbeda

A B = Di manaA : Kejadian A B : Kejadian B

16

Aksioma Kejadian

A = A = AA A’ = A A’ = ’ = ’ = (A’)’ = A(A B)’ = A’ B’(A B)’ = A’ B’

17

A B

Penghitungan Keluaran Sam

pelPermutasi : banyaknya kemungkinan keluaran n sampel dari N dengan memperhatikan susunan atau urutan

Kombinasi : banyaknya kemungkinan keluaran n sampel dari N tanpa memperhatikan susunan atau urutan

18

)!(!nN

NPnN

)!(!!

nNnN

nN

Penghitungan Keluaran Sam

pelPermutasi dalam lingkaran

Permutasi kejadian terbatas

Kombinasi partisi atau pengelompokkan

19

)!1( n

!!...!!!

321 knnnnN

!!...!!!

321 knnnnN

Probabilitas KejadianProbabilitas kejadian tunggal

Probabilitas kejadian gabungan

Probabilitas kejadian kondisional

20

NnAP )(

)()()()( BAPBPAPBAP

)()()|(

BPBAPBAP

Probabilitas KejadianProbabilitas irisan dua kejadian independen (mutually independent)

Probabilitas gabungan kejadian bebas eksklusif (mutually exclusive)

21

)().()( BPAPBAP

)(...)()()...( 2121

n

n

APAPAPAAAP

22

Akhir Perkuliahan…Akhir Perkuliahan…

… … Ada Yang DitanyakanAda Yang Ditanyakan