U n i v e r s i d a d A u t ó n o m
a d e M
a d r i d
U n i v e r s i d a d A u t ó n o m
a d e M
a d r i d
Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 2
Densidad del agua a 18ºC
( ) 3cmg002000.0600998.0 −±=d
60998.0=d
3cmg60998.0 −=d
...000605998.0)cmg/(...000595998.0 3 <≤ −d
pero no estamos muy seguros de si el intervalo de confianza es éste u otro
...000602998.0)cmg/(...000598998.0 3 ≤≤ −d
y estamos razonablemente seguros de que éste es el intervalo de confianza
• ¿Qué quiere decir esto exactamente?• ¿Cómo hemos obtenido el intervalo de confianza?
U n i v e r s i d a d A u t ó n o m
a d e M
a d r i d
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a d e M
a d r i d
Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 3
Tratamiento de datos experimentalesTratamiento de datos experimentales
•• Exactitud y precisiónExactitud y precisión
•• Fuentes de errorFuentes de error
•• Estimación de la imprecisión de una variable medida Estimación de la imprecisión de una variable medida directamentedirectamente
•• Imprecisión de una variable determinada indirectamente: Imprecisión de una variable determinada indirectamente: propagación de errorespropagación de errores
•• Ajustes por mínimos cuadradosAjustes por mínimos cuadrados
U n i v e r s i d a d A u t ó n o m
a d e M
a d r i d
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a d e M
a d r i d
Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 4
Datos experimentales: Exactitud y precisión Datos experimentales: Exactitud y precisión
Dos acepciones del término “error experimental”Dos acepciones del término “error experimental”
•• ExactitudExactitud: grado de aproximación al valor verdadero: grado de aproximación al valor verdadero–– El valor verdadero es desconocido, normalmenteEl valor verdadero es desconocido, normalmente
–– Pueden conocerse datos más exactos que sirvan de referenciaPueden conocerse datos más exactos que sirvan de referencia
•• PrecisiónPrecisión: grado de reproducibilidad de los datos: grado de reproducibilidad de los datos–– Qué valor se obtendrá al hacer una nueva medida con un Qué valor se obtendrá al hacer una nueva medida con un cierto montaje experimentalcierto montaje experimental
•• Rango en el que caerá, con una probabilidad del 95% (Rango en el que caerá, con una probabilidad del 95% (p.ejp.ej.) .)
U n i v e r s i d a d A u t ó n o m
a d e M
a d r i d
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a d e M
a d r i d
Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 5
Datos experimentales: Exactitud y precisión Datos experimentales: Exactitud y precisión
Tipos de errores según sus fuentesTipos de errores según sus fuentes
•• ExactitudExactitud–– Determinada por:Determinada por:
•• Errores Errores sistemáticossistemáticos (diseño y montaje experimental)(diseño y montaje experimental)
•• Errores Errores personalespersonales (pericia)(pericia)
•• PrecisiónPrecisión–– Determinada por:Determinada por:
•• Errores de Errores de escalaescala (resolución del instrumental y del diseño)(resolución del instrumental y del diseño)
•• Errores Errores accidentalesaccidentales (fluctuaciones imprevisibles e inevitables)(fluctuaciones imprevisibles e inevitables)
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a d r i d
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a d e M
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Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 6
Datos experimentales: Exactitud y precisión Datos experimentales: Exactitud y precisión
Error absolutoError absoluto
•• ExactitudExactitud
•• PrecisiónPrecisión
verdaderomedido xxx −=∆
∆∆
∆+∆
=∆
),max( accidentalescala
accidentalescala
xx
ó
xx
x
Error relativoError relativo %100medidomedido
⋅∆
=∆
==x
x
x
xx xεδ
xxx ∆±= medido
U n i v e r s i d a d A u t ó n o m
a d e M
a d r i d
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a d e M
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Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 7
Datos experimentales: Precisión Datos experimentales: Precisión
•• Variable Variable xx medida directamentemedida directamente
–– El error de escala El error de escala ∆∆xxescalaescala se obtiene del instrumental se obtiene del instrumental
–– El error accidental El error accidental ∆∆xxaccidentalaccidental se estima estadísticamentese estima estadísticamente
Estimación de los errores (imprecisiones)Estimación de los errores (imprecisiones)
•• Variable Variable zz determinada indirectamentedeterminada indirectamente
–– El error de escala El error de escala ∆∆zzescalaescala se obtiene por se obtiene por propagaciónpropagación
–– El error accidental El error accidental ∆∆zzaccidentalaccidental se estima estadísticamentese estima estadísticamente
U n i v e r s i d a d A u t ó n o m a d e M a d r i dU n i v e r s i d a d A u t ó n o m a d e M a d r i d
Tratamiento de datos experim
entales
Luis Seijo
8
...2315798421
.47
verd
=x
U n i v e r s i d a d A u t ó n o m
a d e M
a d r i d
U n i v e r s i d a d A u t ó n o m
a d e M
a d r i d
Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 9
...2315798421.47verd =x
Inexactas,imprecisas
337 ±=x
U n i v e r s i d a d A u t ó n o m
a d e M
a d r i d
U n i v e r s i d a d A u t ó n o m
a d e M
a d r i d
Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 10
...2315798421.47verd =x
Inexactas,más precisas
237 ±=x
U n i v e r s i d a d A u t ó n o m
a d e M
a d r i d
U n i v e r s i d a d A u t ó n o m
a d e M
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Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 11
...2315798421.47verd =x
Exactas,imprecisas
346 ±=x
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a d e M
a d r i d
U n i v e r s i d a d A u t ó n o m
a d e M
a d r i d
Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 12
...2315798421.47verd =x
Exactas,más precisas
246 ±=x
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a d e M
a d r i d
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Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 13
246 ±=x
Obtención del valor medido y estimación del error Obtención del valor medido y estimación del error en una serie de medidas directasen una serie de medidas directas
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a d e M
a d r i d
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a d e M
a d r i d
Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 14
246 ±=x
Obtención del valor medido y estimación del error Obtención del valor medido y estimación del error en una serie de medidas directasen una serie de medidas directas
461
1
medido === ∑=
n
i
ixn
xx 2accidentalescala =∆+∆=∆ xxx
=∆ escalax (intervalo leído)/2
=∆ accidentalx
(2, 3 ó 4 datos)∑=
−=n
i
i xxn 1
1
∑=
− −−
==n
i
in xxn
s1
2
1 )(1
1σDesviación
estándar
(más datos)n
t nn 11
95−−=
σ
n
n 12 −=σ
(muchos datos)
nσ= (a menudo)
Función t de Student
1
95
−nt (probabilidad del 95% de que, tras n medidas, una nueva medida caiga dentro del intervalo)
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a d e M
a d r i d
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Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 15
FunciónFunción tt de Studentde Student
P[-t<x<t]: Probabilidad de que, tras n medidas, una nueva medida de x resulte entre –t y +t.
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Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 16
Filtrado de medidas directasFiltrado de medidas directas
1.1. Medir Medir n valores de valores de x: : x1, x2, ..., xn
2.2. Calcular Calcular xmedido y y ∆xaccidental
3.3. Rechazar aquellos valores que cumplan:Rechazar aquellos valores que cumplan:
|xi-xmedido| >2.5 ∆xaccidental
4.4. Repetir desde 2.Repetir desde 2.
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Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 17
Propagación de erroresPropagación de errores
Estimación del error de una variable Estimación del error de una variable zz determinada indirectamentedeterminada indirectamente
,xx ∆± yy ∆± zz ∆±
Casos:
yxz += yxz ∆+∆=∆yxz −=
yxz ⋅= yxz =y
y
x
x
z
z ∆+
∆=
∆yxz εεε +=
xaz = xaz ∆=∆
axz =
x
xz
∆=∆
xz a εε =
xz ln= xz ε=∆
&
&
Ej.:
rq
pyxz
ln4
3π=
rr
r
q
q
p
p
y
y
x
x
z
z
ln43
∆+
∆+
∆+
∆+
∆=
∆
x
x
z
z ∆=
∆
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Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 18
Ajustes por mínimos cuadradosAjustes por mínimos cuadrados
Variación de la presión de vapor del metanol con la temperatura
¿Existe alguna función ¿Existe alguna función yy==ff((xx) que represente bien esta relación entre ) que represente bien esta relación entre xx e e yy? ?
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a d r i d
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a d r i d
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Ajustes por mínimos cuadradosAjustes por mínimos cuadrados
bxay +=
?=a
?=b
Quizá una línea recta... ¿Cuál?Quizá una línea recta... ¿Cuál?
.cte1
Rln
vap+
∆−=
T
HP
Variación de la presión de vapor del metanol con la temperatura
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a d r i d
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Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 20
Ajustes por mínimos cuadradosAjustes por mínimos cuadrados
,...),;( baxfy =
{ }niii yx
,1,
=Datos:
Relación aproximada:
Encontrar los valores de los parámetros (a,b,...) que dan la mejor función
aproximada (que relaciona los valores de x con los de y)Objetivo:
Criterio: [ ]∑=
−=n
i
ii baxfyba1
22 ,...),;(,...),(χ
{ } ,...,,...),(min,...,
2baba
ba→χ
Caso de una recta (regresión lineal): bxay +=
xxxy SSa = xayb −=
∑ −−= ))(( yyxxS iixy ∑ −= 2)( xxS ixx
xx
n
S
sta
2
95
−=∆
∑ −=−
22 )]([2
1ii xfys
n
∑∆=∆ 21ix
nab
∑ −
−=
2
22
)(
)2(
yy
snR
i
def.
∑ −= 2)( yyS iyy
parámetros:
precisiones:
coef. de correlación
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Tratamiento de datos experimentales Luis Seijo 21
Ajustes por mínimos cuadradosAjustes por mínimos cuadrados
bxay +=
.cte1
Rln
vap+
∆−=
T
HP
Ka )904225( ±−=
9.08.16 ±=b
99998.02 =R
Variación de la presión de vapor del metanol con la temperatura
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