BAB I
BAB I
PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
ORDE PERTAMA
1.1 Konsep Dasar
Persamaan differensial biasa adalah suatu persamaan yang mengandung satu atau beberapa turunan dari y (x) yang tidak diketahui dan dapat mengandung y (x) itu sendiri, fungsi x tertentu lainnya dan konstanta. Dengan menyelesaikan presamaan differensial tersebut kita akan dapat menentukan y (x). Sebagai berikut:
y' = sin x
(1)
y + 6y = 0
(2)
x2 y''' y' + 4 ex y'' = (x2 + 4)y2
(3)
Adalah persamaan differensial biasa. Kata biasa membedakannya dari persamaan differensial parsial, dimana fungsi yang tidak diketahui terdiri dari dua peubah bebas atau lebih sebagai contoh:
= 0
Adalah persamaan differensial persial, karena mengandung dua peubah bebas, yaitu x dan y.
Suatu persamaan differensial dikatakan mempunyai orde ke n jika turunan ke n dari y merupakan turunan tertinggi pada persamaan itu. Persamaan (1) adalah persamaan differensial orde lama, persamaan (2) adalah persamaan differensial orde kedua dan persamaan (3) adalah orde ketiga.
Contoh 1.2
Selesaikan persamaan differensial 9 y y' + 4 x = 0
Penyelesaian :
9 y y' + 4 x = 0 9 y y' = -4 x
9 y (dy/dx) = -4 x 9 y dy = -4 x dx
Contoh 1.3
Selesaikan persamaan differensial y' = 1 + y2
Penyelesaian :
y' = 1 + y2
= 1 + y2dy = (1 + y2) dx
= dx
arc tan y = x + c y = tan (x + c)
Dalam penerapan di bidang rekayasa, kita sering memerlukan penyelesaian khusus y (x) yang memenuhi kondisi awal tertentu, misalnya y (xo) = yo (baca " untuk x = xo, maka y = yo "). Suatu persamaan differensial dengan kondisi awal tertentu disebut masalah atau persoalan nilai awal. Untuk menyelesaikan persoalan nilai awal, terlebih dahulu kita selesaikan persamaan umum. Selanjutnya dengan menggunakan kondisi awal kita dapat mencari penyelesaian khusus.
Contoh 1.4
Selesaikan persoalan nilai awal berikut ini
y =
y (1) = 3
Pers. Diffkondisi awal
Penyelesaian :
y' =
y2 x2 = 2 c
Syarat : y (1) = 3 9 1 = 2 c
c = 4
Jadi penyelesaian khusus adalah : y2 x 2 = 8
1.2 Reduksi menjadi Persamaan Differensial dengan Peubah Terpisah
Persamaan differensial order pertama tertentu dapat diubah menjadi persamaan differensial dengan peubah terpisah melalui perubahan peubah yang sederhana yang berbentuk
y' = g
Persamaan (1,4) sering disebut persamaan homogen. Untuk mentransformasikan persamaan (1,4) menjadi persamaan differensial dengan peubah terpisah, maka kita gunakan sebuah peubah baru u, yaitu:
u =
dimana y dan u adalah fungsi x.
Sehingga
y = u . x
Dengan differensiasi kita dapatkan
y = u x' + u x'
Bila persamaan (1.5) dimasukkan ke persamaan (1,4), maka:
u' x + u x' = g (u)
x du + u dx = g (u) dx
Jika kita lakukan integrasi dan mengganti u dengan y/x, maka kita peroleh penyelesaian umum dari persamaan (1.4).
Contoh 1.5
Selesaikan 2 xyy' y' + x2 = 0
Penyelesaian :
Dengan membaginya dengan x2 didapat:
2
u =
y' = u' x + u x'
2 u (u' x + u x') u2 + 1 = 0
2 x u u' + 2 u2 x' u2 + 1 = 0 ( x' =
2 x u u' + u2 + 1 = 0
2 x u + u2 + 1 = 0
2
In (u2 + 1) = - ln |x| + ln c
u2 + 1 = ( + 1 =
y2 + x2 = c x
1.3 Persamaan Differensial Eksak
Suatu persamaan differensial orde pertama yang berbentuk
M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0
(1,6)
dikatakan eksak jika ruas kiri persamaan tersebut merupakan differensial total atau differensial eksak
du = dx +dy
(1.7)
dari suatu fungsi u (x,y) sehingga persamaan (1.6) dapat ditulis:
du = 0
(1.8)
dengan jalan integrasi, kita dapat memperoleh penyelesaian umum dari persamaan (1.8) dalam bentuk
u (x,y) = c1
(1.9)
dari persamaan (1.6) dan (1.7) maka :
= M
(1.10)
= N
(1.11)
Selanjutnya :
sehingga :
Dari persamaan (1.10) dan (1.11) didapat :
u =
u =
Jika , maka persamaan differensial tidak eksak.
Contoh 1.6
Selesaikan (x3 + 3 xy2) dx + (3 x2 y + y3) dy = 0
Penyelesaian :
M = x3 + 3 xy2 ( = 6 xy
N = 3 x2 + y + y3 ( = 6 xy
Karena =, maka persamaan differensial adalah eksak
u =
= x4+x2 y2 + k (y)
= 3x2 y + = N
3x2 y + = 3x2 y + y3
EMBED Equation.3 dk = y3 dy
k = y4 + c*
u =
dari persamaan (1.9)
u = c1
sehingga,u =
1.4 Faktor Integrasi
Jika persamaan differensial tidak memenuhi persyaratan sebagai persamaan differensial eksak, maka persamaa differensial tersebut harus dikalikan dengan faktor integrasi agar menjadi eksak.
Misal persamaan differensial
M (x,y) dx + N(x,y)
(1.13)
tidak eksak. Oleh karena kita harus menentukan faktor integrasi F(x,y) dan menggalikannya dengan persamaan (1.13), sehingga didapat :
F M dx + F N dy = 0
(1.14)
Agar dapat memenuhi persamaan differensial eksak, maka ;
(FM) = (FM)
(1.15)
M FF
(1.16)
Ada dua cara untuk menentukan faktor integrasi, yaitu faktor integrasi yang hanya terdiri dari peubah x saja atau peubah y saja.
Jika kita menginginkan faktor integrasi hanya merupakan fungsi x, maka persamaan (1.16) menjadi.
FF
N
Jika dimisalkan maka :
dx
F(x) = e
Jika kita menginginkan faktor integrasi sebagai fungsi y, maka persamaan (1.16) menjadi
M
Jika maka :
dy
F(y) = e
Contoh 1.6
Selesaikan persoalan nilai awal berikut ini
3 y dx + 2 x dy = 0 ; y(1) = 4
Penyelesaian :
M = 3 y
N = 2 x
tidak aksak
P = 3 y
Q = 2 x
R =
=
F(x) =
F(x) =
Selanjutnya F(x) dikalikan dengan persamaan differensial :
F(x) (3y) dx + F(x) 2x dy = 0
3 y dx + 2 dy = 0
M = 3 y
N = 2
eksak
u = y) dx + k (y) = c1
2x3/2 + k' (y) = 2 x3/2
( k' (y) = 0
k' (y) = c*
jadi u = 2 x3/2 y + c* = c1
2 x3/2 y + c1- c* = c2y =
Kondisi awal : y (1) = 4
4 =
Sehingga : y =
1.5 Persamaan Differensial Linear Orde Pertama
Persamaan differensial yang mempunyai bentuk,
y' + p (x) y = r (x)
(1.21)
disebut persamaan differensial linear orde pertama. Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi,
(p y r) dx + dy = 0
(1.22)
Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan (1.22) adalah dengan jalan mengalikannya dengan faktor integrasi F. Dengan mengacu pada persamaan (1.13)(1.18) maka didapat,
F =
(1.23)
=
= p = p F
(1.24)
Dengan mengalikan pers. (1.23) didapat,
F+ y= F r
F y = dx + c
Contoh 1.8
Selesaikan persamaan
Penyelesaian :
p = 1 ; r = exF = = = = exF y = dx + c
ex y = dx + c
=
y = e-x1.7 Persamaan Bernoulli-Reduksi menjadi Persamaan Linear
Persamaan yang berbentuk,
y' + p (x) y = g (x) ya
(1.26)
adalah persamaan Bernoulli, dimana a adalah bilangan riil sembarang. Jika a = 0 atau 1, maka pers. (1.26) adalah linear. Akan tetapi a 0 atau 1 maka pers.(1.26) non linear.
Untuk menyelesaikan persamaan (1.26), kita harus menentukan,
u' = y1-a
(1.27)
Setelah melakukan differensiasi persamaan (1.27) didapat,
u' = (1-a) y1-a y'
(1.28)
Dari persamaan (1.26),
u' = (1 a) y-a (g ya p y)
= (1 a) (g p y1-a)
= (1 a) (g p u)
= (1 a) g (1 a ) p u
u' + (1 a) p u = (1 a) g
Contoh 1.9Selesaikan persamaan : y' + y = y2Penyelesaian :
p = 1 ; g = 1 ; a = 2
( u = y1-a = y-1 =
u' u = -1 (
ln (u 1) = x + c1u 1 = c2 ex ( =c2 ex + 1
y =
1.8 Trayektori Ortogonal dari Rumpun Kurva
Jika diberikan suatu rumpun kurva, maka kita dapat menentukan rumpun kurva lainnya yang memotong secara tegak lurus dari rumpun kurva yang diberikan. Rumpun kurva tersebut dinamakan trayektori ortogonal dari rumpun kurva yang diberikan.
Jika suatu rumpun kurva diberikan oleh persamaan,
F (x, y, c) = 0
(1.29)
maka harus ditentukan persamaan differensial dalam bentuk :
y' = f (x, y) = 0
(1.29)
Persamaan (1.30) disebut juga kemiringan rumpun kurva pada persamaan (1.29).
Selanjutnya ditentukan harga c dari persamaan (1.29) dan kemudian dimasukkan ke persamaan (1.30). Kemiringan trayektori ortogonal adalah berbanding terbalik negatif dari persamaan (1.30), yaitu:
y' = -
(1.30)
Contoh 1.10
Gambarkan rumpun kurva serta trayektori ortogonal dari persamaan:
y = c x2Penyelesaian :
y = c x2 ( c =y/x2y' = 2 c x = y' + = 0
2y dy + x dx = 0
y2 + =c*
BAB II
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINEAR
ORDE KEDUA
2.1 Persamaan Linear Homogen
Suatu persamaan differensial orde kedua yang memenuhi persamaan
y" + p(x) y' + q (x) y = r (x)
(2.1)
disebut linear, jika tidak maka disebut non linear. Cirri khs persamaan (2.1) adalah linear pada fungsi y yang tidak diketahui dan turunannya. Sedangkan, p, q, dan r dapat merupakan fungsi sembarang dari peubah x. jika suku pertama pertama mempunyai bentuk f (x) y", maka harus kita bagi dengan (f(x) agar dapat dicapai bentuk standar seperti persamaan (2.1).
Jika r (x) pada persamaan (2.1) sama dengan nol maka,
y" p (x) y' q (x) y = 0
(2.2)
dan disebut homogen. Jika r (x) 0 maka dikatakan tak homogen. Sebagai contoh,
y" + 9 y = e-x cos x
adalah persamaan differensial homogen.
Suatu persamaan differensial orde kedua yang tidak dapat ditulis dalam bentuk persamaan (2.1) disebut persamaan differensial orde kedua tak linear. Sebagai contoh,
y" y + y' = 0
y" -
adalah persamaan-persamaan differensial orde kedua tak linear.
2.2 Persamaaan Linear Homogen dengan Koefisien Konstan
Persamaan,
y" + a y = b y = 0
(2.3)
adalah persamaan linear homogen dimana a dan b mempunyai harga yang konstan.
Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan (2.3) adalah dengan jalan menggunakan notasi operator D, dimana
D =
; D2 =
Oleh karena itu persamaan (2.3) dapat ditulis menjadi,
(D2 + a D + b) y = 0
(2.4)
Jika kita ganti D dengan r maka,
(r2 + a r + b) y = 0
(2.5)
Persamaan (2.4) (2.5) hanya dapat dipenuhi jika,
D2 + a D + b = 0
(2.6)
dan
r2 + a r + b = 0
(2.7)
Persamaan (2.7) disebut persamaan karakteristik dari persamaan (2.3).
Setelah ditentukan akar-akarnya, yaitu r1 dan r2, maka persamaan (2.7) dapat ditulis menjadi,
r2 + a r + b = (r-r1) (r-r2)
(2.8)
sedangkan persamaan (2.6) menjadi,
D2 + a D + b = (D r1) (D r2)
(2.9)
Berdasarkan persamaan (2.9), maka persamaan (2.4) dapat ditulis menjadi,
(D r1) (D r2) y = 0
(2.10)
Jika dimisalkan
( D r2) y = u
(2.11)
maka, menjadi persamaan (2.10( menjadi
( D r1) y = 0
(2.12)
Persoalan Nilai Awal
_945134130.unknown
_1272974854.unknown
_1272975885.unknown
_1272976964.unknown
_1272977185.unknown
_1272977946.unknown
_1272978072.unknown
_1272978789.unknown
_1272978815.unknown
_1272978078.unknown
_1272977975.unknown
_1272977384.unknown
_1272977813.unknown
_1272977244.unknown
_1272977093.unknown
_1272977137.unknown
_1272977006.unknown
_1272976145.unknown
_1272976423.unknown
_1272976639.unknown
_1272976178.unknown
_1272976039.unknown
_1272976095.unknown
_1272976033.unknown
_1272975518.unknown
_1272975775.unknown
_1272975865.unknown
_1272975645.unknown
_1272975091.unknown
_1272975121.unknown
_1272974897.unknown
_1272973338.unknown
_1272973680.unknown
_1272973779.unknown
_1272974795.unknown
_1272974810.unknown
_1272974690.unknown
_1272973715.unknown
_1272973410.unknown
_1272973548.unknown
_1272973366.unknown
_945134976.unknown
_1272973072.unknown
_1272973243.unknown
_1272973327.unknown
_1272973232.unknown
_945135980.unknown
_1272534858.unknown
_1272535358.unknown
_945136050.unknown
_945136065.unknown
_945136179.unknown
_945136236.unknown
_945136132.unknown
_945136051.unknown
_945135753.unknown
_945135851.unknown
_945135908.unknown
_945135930.unknown
_945135838.unknown
_945135710.unknown
_945135716.unknown
_945135743.unknown
_945135572.unknown
_945134453.unknown
_945134869.unknown
_945134949.unknown
_945134512.unknown
_945134312.unknown
_945134343.unknown
_945134178.unknown
_945130962.unknown
_945131533.unknown
_945131942.unknown
_945132010.unknown
_945134054.unknown
_945131982.unknown
_945131765.unknown
_945131906.unknown
_945131715.unknown
_945131301.unknown
_945131348.unknown
_945131490.unknown
_945131325.unknown
_945131145.unknown
_945131185.unknown
_945131116.unknown
_945122308.unknown
_945126848.unknown
_945130503.unknown
_945130765.unknown
_945130875.unknown
_945130604.unknown
_945127743.unknown
_945130183.unknown
_945130316.unknown
_945128333.unknown
_945128354.unknown
_945128002.unknown
_945127094.unknown
_945127235.unknown
_945127061.unknown
_945126053.unknown
_945126178.unknown
_945126202.unknown
_945126083.unknown
_945125475.unknown
_945125505.unknown
_945122348.unknown
_945121255.unknown
_945122195.unknown
_945122267.unknown
_945121751.unknown
_945121188.unknown
_945121232.unknown
_945119208.unknown
Top Related