7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
1/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
TAJUK 1 SISTEM PERSAMAAN DAN KETAKSAMAAN LINEAR
SINOPSIS
Tajuk ini membekalkan pelajar dengan pengetahuan tentang persamaan dan ketaksamaanlinear.
HASIL PEMBELAJARAN
Menyelesaikan sistem persamaan dan ketaksamaan linear
Menggunakan konsep sistem persamaan dan ketaksamaan linear untuk menyelesaikan
masalah yang berkaitan.
KERANGKA TAJUK 11.1 Penyelesaian Persamaan Linear
- Kaedah Penghapusan
- Kaedah Pengantian
- Kaedah Gauss-Jordan
1.2 Ketaksamaan dan Pengaturcaraan Linear
- Sistem Homogenus
- Penggunaan Sistem Persamaan dan Ketaksamaan Linear
1
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
2/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
Sistem Persamaan Linear
Pengenalan
Sedar atau tidak matematik memain peranan yang sangat banyak dalam kehidupan harian kita,
jika diperhatikan dan diteliti apa yang berlaku dalam kehidupan kita berkait rapat dengan sistempersamaan linear terutamanya dalam bidang sains, industri dan juga permasalahan
ekonomi.Permasalahan tersebut boleh diringkaskan dalam bentuk sistem persamaan linear dan
sistem ini perlu diselesaikan dengan beberapa kaedah. Modul ini adalah untuk membantu
pelajar menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dengan menggunakan beberapa
kaedah dan juga aplikasinya dalam kehidupan seharian.
Persamaan Linear
Ungkapan algebra telah diperkenalkan sejak kita berada di sekolah menengah lagi, malahperkataan persamaan linear adalah bukan asing bagi pelajar matematik itu sendiri. Sebelum
kita pergi lebih lanjut lagi marilah kita melihat dahulu apakah yang dimaksudkan persamaan
linear dan apakah jenis-jenis penyelesaianya. Persamaan linear adalah satu persamaan yang
mempunyai pembolehubah berdarjah satu, secara algebra persamaan linear dalam dua
pembolehubah boleh ditulis sebagai ax + by = c dengan a,b dan c adalah pemalar dan secara
geometrinya apabila dilakarkan ia akan membentuk satu garis lurus seperti yang di gambarkan
di dalam Rajah 1a, manakala jika persamaan linear yang mempunyai tiga pembolehubah ia
ditulis sebagai ax + by + cz = d dengan a,b,c dan d adalah pemalar dan apabila ia dilakarkan iaakan membentuk satu satah dalam ruang tiga dimensi seperti di gambarkan dalam rajah 1b.
2
x
y
ax + by = c
x
y
zRajah 1a Rajah 1b
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
3/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
Selain itu persamaan linear ini tidak terhad kepada dua atau tiga pembolehubah sahaja, ia
boleh jadi empat , lima dan banyak pembolehubah. Secara umumnya persamaan linear boleh
ditakrifkan seperti berikut:
Contoh 1
Persamaan-persamaan berikut adalah linear
(a) 3x 4y = -1,merupakan persamaan linear dengan dua pemboleh ubah
(b) r s - t = 9,
merupakan persamaan linear dengan tiga pemboleh ubah
(c) x 1 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 5,
merupakan persamaan linear dengan empat pemboleh ubah.
Daripada contoh 1 di atas kita lihat bahawa darjah tertinggi bagi setiap pembolehubah adalah
satu.
Contoh 2
Persamaan-persamaan berikut adalah bukan persamaan linear
(a) x + 3y 2 = 4
(b) 2y sin x = 0
(c) + 2x 2 x 3 = 3
(d) x + 2xy z = 1
Dalam contoh 2 ini
(a) darjah tertinggi bagi y adalah 2 maka ia adalah bukan linear
(b) sin x adalah merupakan fungsi trigonometri maka ia bukan linear
(c) darjah bagi x 1 adalah maka ia juga bukan linear
3
Takrif 1 : Persamaan Linear
Persamaan linear dengan n pemboleh ubah x 1, x 2, . . . ,x n adalah persamaan berbentuk
a 1x1 + a 2x2 + . . . + a nxn = b
dengan a 1, a 2, . . . , a n dan b adalah nombor nyata.
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
4/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
(d) hasil darab pemboleh ubah x dan y menghasilkan jumlah darjahnya adalah dua, maka ia
bukan linear.
Anda telah mencuba aktiviti di atas?
Adakah anda telah memberi jawapan yang betul?
Sekarang lihat panduan ini:
Semak pembolehubah bagi persamaan tersebut
(i) Persamaan linear tidak mempunyai pemboleh ubah yang di darab atau punca kuasa
seperti xy, xyz, .
(ii) Darjah tertinggi bagi pembolehubah adalah satu. Maka sebutan berbentuk seperti x 2, y 3
z 4 adalah bukan persamaan linear.
(iii) Pemboleh ubah yang melibatkan fungsi logaritma, fungsi eksponen dan fungsi
trigonometri seperti log 10x, e x dan sinx adalah bukan persamaan linear.
Ya, mungkin anda telah memberi jawapan yang betul. tahniah!.
Penyelesaian Persamaan linear
Penyelesaian bagi persamaan linear a 1x1 + a 2x2 + . . . + a nxn = b ialah s 1,s 2,s 3...s n supaya
a 1x1 + a 2x2 + . . . + a nxn = b adalah benar. Ini bermakna x 1 = s 1, x 2 = s 2, x 3 = s 3... x n = s n.
Contoh3
Cari penyelesaian bagi setiap persamaan yang berikut:
(i) 3x + 2y = 1
4
Aktiviti 1.1.1
Tentukan sama ada persamaan berikut adalah linear atau tidak dan nyatakan sebabnya.
(a) x + 3y = 5
(b) x 1 + 3x 22 = 8 x 3
(c) x + 2y z = 3
(d) 3x 1 -4x 3 = x 2 +3x 4
(e) 3x + 2y z + xyz = 4
(f) x + 2y -3z = sin , dengan adalah pemalar.
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
5/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
(ii) x -3y +2z = 5
Penyelesaian
(i) persamaan tersebut boleh ditulis sebagai 2y = 1 3x
y = - x
yang mana x adalah pembolehubah bebas dan y adalah pembolehubah
bersandar,untuk menyelesaikan persamaan ini kita gantikan x dengan nilai t, dan ia
menjadi
y = - t
dan ini dikatakan persamaan berparameter t yang mana t boleh digantikan dengan
sebarang nilai nyata. Sebagai contoh t = 0, y = dan jika t = 1, = = -1 dan seterusnya.
(ii) persamaan ini pula boleh di tulis sebagai x = 5+3y - 2z yang mana y dan z adalah
pemboleh ubah bebas dan x adalah pembolehubah bersandar. Untuk menyelesaikan
persamaan tersebut, kita gantian y = r, dan z = s dan ianya menjadi
x = 5+3r 2s,
contoh penyelesaiannya ialah katakan r = 1 dan s = 1, maka x =6 dan sebagainya.
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Sedikit sebanyak kita telah memahami apa itu persamaan linear. Seterusnya kita akan mengkaji
pula sistem persamaan linear dan juga jenis-jenis penyelesaian bagi sistem ini. Sebelum itu
marilah kita lihat takrifannya.
5
Takrif 2: Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear yang mempunyai m persamaan dan n pembolehubah adalahsistem berbentuk
a 11 x1 + a 12x2 + . . . + a 1nxn = b 1a 21 x1 + a 22x2 + . . . + a 2nxn = b 2
. . . . .
. . . . .
. . . . .a m1 x1 + a m2x2 + . . . + a mnxn = b m
dengan a ij adalah pekali bagi pembolehubah x j, dan b i adalah pemalar.Penyelesaian persamaan linear adalah merupakan s 1,s 2,...,s n yang memuaskan setiap
persamaan linear dalam sistem di atas.
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
6/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
Sebagai contoh, pertimbangkan sistem persamaan linear yang mempunyai dua pembolehubah
x + 2y = 7
2x - 3y = 0
mempunyai penyelesaian [3,2] dimana ianya memuaskan kedua-dua persamaan tersebut.
Cuba anda gantikan nilai x = 3 dan y = 2 dalam kedua-dua persamaan tersebut, apakah ia
memenuhi atau memuaskan persamaan itu? ya.
Bagaimana jika anda gantikan nilai x = 1 dan y = 3 dalam kedua-dua persamaan tersebutadakah ia memuaskan kedua-duanya, dengan kata lain [1,3] bukan merupakan penyelesaian
kepada sistem persamaan linear tersebut kerana ia hanya memuaskan persamaan linear yang
pertama sahaja.
Contoh 3
Selesaikan sistem persamaan linear berikut:
2x + y = 4
x y = -1Penyelesaian:
Dengan menambahkan kedua-dua persamaan tersebut memberikan
3x = 3, oleh itu
x = 1.
Kemudian gantikan x = 1 kedalam persamaan ke dua kita dapati y = 2, maka[1,2] merupakan
penyelesaian kepada kedua-dua persamaan linear tersebut dan ini adalah hanya satu-satunya
penyelesaian untuk sistem persamaan tersebut. Secara geometri penyelesaian sistem
persamaan ini boleh digambarkan seperti berikut:
6
x
y
x y = -12x + y = 4
(1,2)
2
1
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
7/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
Contoh 4
Selesaikan sistem persamaan linear berikut:
x y = 2
2x 2y = 4
Penyelesaian:Persamaan yang kedua dalam sistem di atas adalah dua kali ganda dari persamaan
yang pertama.Oleh itu penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah
bedasarkan persamaan yang pertama iaitu x y = 2, ini boleh diwakili parameter
[2 + t, t] bagi sebarang nilai nyata t. Ini memberikan sistem mempunyai penyelesaian
yang tak terhingga.
Penyelesaian sistem persamaan ini boleh digambarkan seperti berikut:
Contoh 5
7
x
yx y = 2
2x 2y = 4
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
8/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
Selesaikan sistem persamaan linear berikut:
x + y = 1
x + y = 2
Penyelesaian:
Sebagai contoh mari kita gantikan x = 0 pada persamaan yang pertama, didapati
y = 1 dan apabila x = 0 digantikan dalam persamaan kedua didapati y = 2, ini
tidak boleh berlaku kerana satu nilai x tidak boleh mempunyai dua nilai y yang
berbeza pada satu titik.Oleh itu sistem ini tidak mempunyai penyelesaian.
Penyelesaian sistem persamaan ini boleh digambarkan seperti berikut:
Perhatikan ketiga-tiga contoh di atas, sistem dalam contoh 3, 4 dan 5 mengambarkan
hanya ada tiga kemungkinan bilangan penyelesaian dalam sistem persamaan linear
dengan pekali nombor nyata.Sistem persamaan linear dikatakan konsisten jika ia
mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. Sistem yang tidak mempunyai
penyelesaian adalah tak konsisten .
Sebagai kesimpulan, Sistem Persamaan Linear dengan pekali nombor nyata
mempunyai sama ada
(a) penyelesaian unik,
(b) penyelesaian tak terhingga,
8
x
y
x + y = 1 x + y = 2
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
9/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
(c) tiada penyelesaian.
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear ini boleh diringkaskan seperti dalam Rajah 1 di
bawah.
Rajah 2
1.2.1 Kesetaraan Sistem Persaman Linear
Pertimbangkan dua sistem berikut:
(a) 3x 1 + 2x 2 x 3 = -2 (b) 3x 1 + 2x 2 x 3 = -2
x2 = 3 -3x 1 x 2 + x 3 = 52x 3 = 4 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 2
Sistem (a) boleh di selesaikan dengan mudah iaitu dengan menggunakan kaedah
pengantian kebelakang (back-substitution);
dari persamaan ke tiga kita dapati
x3 = 2, x 2 = 3, dan
9
Aktiviti 1.2.1
Tentukan sama ada sistem persamaan linear berikut adalah mempunyai
penyelesaian unik,penyelesaian tak terhingga atau tiada penyelesaian.
(a) x + y = 0 (c) 3x 6y = 3
2x + y = 3 -x + 2y = 1
(b) x 2y = 7 (d) 0.10x 0.05y = 0.20
3x + y = 7 -0.06x + 0.03y = -0.12
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
10/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
seterusnya gantikan ke dalam persamaan yang pertama pada sistem tersebut.
Maka kita dapati,
3x 1 + 2(3) (2) = -2
3x 1 = -6
x1 = -2Jadi penyelesaian bagi sistem tersebut ialah (-2,3,2)
Bagaimana pula dengan sistem (b) cuba anda selesaikan.
Pad sistem (b) cuba kita tambahkan persamaan pertama dan persamaan kedua,
tambahkan
Hasilnya ialah, x 2 = 3, dan
Tambahkan persamaan pertama pada persamaan ketiga
tambahkan
Hasilnya ialah, 2x 3 = 4
Jika kita susun semula didapati sistem (b) menjadi seperti berikut:
3x 1 + 2x 2 x 3 = -2
x2 = 32x 3 = 4
Dan bandingkan sistem baru ini setara dengan sistem (a) dan penyelesaianya adalah
sama seperti penyelesaian dalam sistem (a).
10
Takrif 1.2.2
Dua sistem persamaan yang mempunyai pemboleh ubah yang sama dikatakan setara jikamempunyai set penyelesaian yang sama.
Aktiviti 1.2.2
Tentukan sama ada pasangan sistem persamaan linear berikut adalah setara atau tidak.
(a) x 1 + 2x 2 = 4 4x 1 + x 2 = 6
3x 1 x 2 = 2 dan 3x 1 x 2 = 2
4x 1 + x 2 = 6 x 1 + 2x 2 = 4
(b) x + y + 2z = 9 2y 7z = -17
2x + 4y 3z = 1 dan x + y + 2z = 9
3x + 6y 5z = 0 3y 11z = -27
(c) x + 2y = -3 3y + 2z = 4
2x + 3y 2z = -19 dan x + 2y = -3
-x +6z = 9 y + 3z = 3
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
11/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
Setelah kita melihat kesetaraan sistem persamaan linear yang telah dijelaskan di atasmaka sekarang kita cuba lihat apakah sebenarnya yang berlaku disebalik kesetaraan
tersebut.
Pertimbangkan sistem berikut:
3x 1 + 2x 2 x 3 = -2
-3x 1 x 2 + x 3 = 5
3x 1 + 2x 2 + x 3 = 2
Kita telah mempelajari bahawa sistem persamaan ini boleh ditulis dalam bentuk matrisseperti AX =B, maka;
Jika kita susun pekali matriks A dan matriks B seperti berikut;
Bentuk susunan matriks seperti ini dinamakan matriks imbuhan (augmented)
Sekarang kita lihat bagai mana proses kesetaraan sistem itu berlaku;
3x 1 + 2x 2 x 3 = -2
-3x 1 x 2 + x 3 = 5
3x 1 + 2x 2 + x 3 = 2
Maka, sistem akan menjadi
11
tambahkan persamaan pertama
dengan persamaan kedua
tambahkan baris pertama dengan
baris kedua
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
12/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
3x 1 + 2x 2 x 3 = -2
x2 = 3
3x 1 + 2x 2 + x 3 = 2
Maka, sistem akan menjadi
3x 1 + 2x 2 x 3 = -2
x2 = 3
-2x 3 = -4
Maka, sistem akan menjadi
3x 1 + 2x 2 x 3 = -2
x2 = 3
2x 3 = 4
Akhirnya kita dapati sistem persamaan asal di atas telah terturun menjadi
3x 1 + 2x 2 x 3 = -2
x2 = 3
2x 3 = 4
Dan boleh diselesaikan dengan mudah.
1.2.2 Operasi Baris Permulaan
Cuba kita lihat contoh yang telah dilalui semasa proses mencari kesetaraan di atas, jika
12
tolakkan persamaan pertama
dengan persamaan ketigatolakkan baris pertama dengan
baris ketiga
Daraban persamaan ketiga
dengan (-1)darabkan baris pertama dengan (-
1)
Cuba berbincang dengan rakan anda, bagai mana andadapatkan sistem persamaan yang setara seperti dalamaktiviti 1.2.2
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
13/31
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
14/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
7y + 6z = 10 atau dalam bentuk matriks imbuhan
2z = 4
Setelah sistem itu berada dalam bentuk segitiga kita akan mudah membuat pengantian
kebelakang untuk memyelesaikan sistem tersebut. seperti contoh di atas kita gantikan daribelakang, 2z = 4, maka z = 2
Gantikan z = 2 kedalam persamaan kedua didapati
7y + 6(2) = 10, maka 7y = -2 dan y =
Seterusnya gantikan kedalam perssamaan pertama, didapati
x + 2( ) + 2 = 3, dan x =
maka penyelesaian sistem tersebut adalah ( , , 2)
sekarang marilah kita teruskan dengan Operasi Baris Permulaan. Lihat contoh-contoh berikut:
Contoh 7
Selesaikan sistem persamaan linear berikut:
x + 2y + z = 8
2x + y - z = 1x + y - 2z = -3
Penyelesaian:
Tukarkan sistem di atas kepada bentuk matriks imbuhan seperti berikut;
,
untuk menjadikan matriks imbuhan ini berbentuk segitiga kita akan sifarkan semua
pemasukan pada lajur pertama kecuali pelopor lajur pertama tersebut.
(-2)B 1 + B 2
14
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
15/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
(-2)B 1 + B 3
Kemudian kita sifarkan pemasukan lajur kedua yang terletak dibawah pelopor baris
kedua.
(-1)B 2 + B 3
Maka sistem linear di atas adalah setara dengan
x + 2y + z = 8-3y + -3z = -15
-z = -4
Jadi, dengan menggunakan kaedah pengantian kebelakang,
z = 4, y = 1 dan x =2.
1.2.3 Bentuk Eselon Baris
Sebelum ini kita telah mempelajari suatu kaedah untuk menurunkan suatu sistem linear
n x n ke bentuk segitiga.Maka kita diperkenalkan pula dengan Bentuk Eselon Baris(B.E.B).
1.2.4 Bentuk Eselon Baris Terturun (B.E.B.T)
15
Takrif 1.2.5
Suatu matriks dikatakan berada dalam Bentuk Eselon Baris jika;
Semua baris sifar berada pada baris paling bawah matriks.
Pemasukan pelopor pada setiap baris bukan sifar adalah pada sebelah kanan lajur
yang mengandungi pemasukan pelopor pada baris sebelumnya.
Jika lajur mengandungi pemasukan pelopor pada baris tertentu, maka semua
kemasukan pada lajur dibawahnya adalah sifar.
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
16/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
Jika sesuatu matriks Bentuk Eselon Baris memenuhi dua ciri-ciri tambahan berikut kita
katakan ia adalah Bentuk eselon Baris Terturun.
Jika lajur mengandungi pemasukan pelopor pada sebarang baris , maka semua
kemasukan pada lajur tersebut adalah sifar.
pemasukan baris bukan sifar adalah satu.
Berikut adalah contoh matriks Bentuk Eselon Baris (B.E.B)
, , , .
Berikut pula adalah contoh matriks Bentuk Baris echelon terturun
, , , .
1.2.5 Kaedah Penghapusan Gauss
Algorithma yang digunakan untuk menurunkan sebarang matriks imbuhan menjadi
matriks Bentuk Eselon Baris adalah dipanggil kaedah Penghapusan Gauss.
Dalam teknik Penghapusan Gauss, kita turunkan matriks imbuhan bagi sistem linear
16
Aktiviti 1.2.3
Tentukan sama ada matriks yang diberi berikut adalah Bentuk Eselon Baris. Jika ia,
nyatakan sama ada ia juga berada dalam Bentuk Eselon Baris Terturun.
(a) (b)
(c) (d)
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
17/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
menjadi matriks Baris Eselon Baris. Kemudan, kita selesaikan sistem linear yang
setara dengan matriks Baris Eselon Baris itu menggunakan teknik yang dipanggil
penggantian kebelakang .
Contoh: 8Selesaikan sistem
2x 2 + 3x 3 = 8
2x 1 + 3x 2 + x 3 = 5
x1 x 2 2x 3 = -5
Penyelesaian:
Matriks imbuhannya ialah
Kita teruskan dengan menurunkan matriks ini kepada Bentuk Eselon Baris, seperti
berikut:
B1 B3
Sekarang mari kita jadikan sifar pada pemasukan kedua dalam lajur pertama:
2B 1 + B 2
Seterusnya kita darabkan dengan pada baris kedua untuk jadikan pemasukan pelopor
baris kedua adalah 1.
17
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
18/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
B2
Apa yang harus dilakukan seterusnya ialah perlu sifarkan pada pemasukan pada baris
ketiga lajur kedua.
2B 2 + B 3
Hasilnya matriks imbuhan yang asal telah berada dalam bentuk eselon baris.
Sistem linear itu adalah setara dengan :
x1 x 2 - 2x 3 = -5
3x 2 + x 3 = 3
x3 = 2
dan penggantian kebelakang memberikan
x3 = 2,
jadi x 2 = 3 - x 3= 3 2
= 1, dan seterusnya
x1 = -5 + x 2 + 2x 3
= -5 + 1 + 4
= 0.
Kita tulis jawapan dalam bentuk vektor sebagai
1.2.6 Kaedah Penghapusan Gauss-Jordan
Kaedah ini adalah lanjutan dari kaedah Penghapusan Gauss, yang mana sesuatu
sistem persamaan linear kita lakukan operasi baris sehingga kepada Bentuk Eselon
Baris Terturun (B.E.B.T)
18
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
19/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
Contoh:9
Selesaikan sistem
x + 3y - z = 8
2x + y + z = 33x - 2y - 2z = 1
Penyelesaian:
Matriks imbuhannya ialah
Kita teruskan dengan menurunkan matriks ini kepada Bentuk Eselon Baris Terturun
Seperti berikut:
2B 1 + B 2
Sekarang mari kita jadikan sifar pada pemasukan ketiga dalam lajur pertama:
3B 1 + B 3
Seterusnya kita darabkan dengan - pada baris kedua untuk jadikan pemasukan
pelopor baris kedua adalah 1.
B2
Apa yang harus dilakukan seterusnya ialah perlu sifarkan pada pemasukan pada baris
ketiga lajur kedua.
19
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
20/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
(11)B 2 + B 3
Hasilnya matriks imbuhan yang asal telah berada dalam bentuk eselon baris, namun
bagi penyelesaian secara Gauss-Jordan kita kena teruskan Operasi Baris Permulaan
ini sehingga kebentuk Bentuk eselon Baris Terturun.
Apa yang harus dilakukan seterusnya ialah perlu jadikan pelopor pemasukan baris
ketiga sebagai 1.
(- B 3
Seterusnya sifarkan pemasukan lajur ketiga yang berada di atas pelopor baris ketiga.
( ) B 3 + B 2
(1) B 3 + B 1
Akhirnya kita sifarkan pula pemasukan lajur kedua yang berada di atas pelopor baris
kedua.
(-3) B 2 + B 1
Maka sistem persamaan linear yang asal adalah setara dengan,
x = 1
y = 2
z = -1
dan penyelesaiannya ialah .
20
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
21/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
Sistem linear itu adalah setara dengan :
x1 x 2 - 2x 3 = -5
3x 2 + x 3 = 3
x3 = 2
dan penggantian kebelakang memberikan
x3 = 2,
jadi x 2 = 3 - x 3
= 3 2
= 1, dan seterusnya
x1 = -5 + x 2 + 2x 3
= -5 + 1 + 4= 0.
Kita tulis jawapan dalam bentuk vektor sebagai
21
Aktiviti 1.2.4
Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan kaedah
Gaus-Jordan.
(a) x y + z = 3 (b) 2x + y z = 1
2x y + z = 4 x + y z = 0
x + 2y z = -1 3x + y + 2z = 2
(c) x y + z = 1 (d) 3x + y = 7
3x + y = 4 x z = 0
y 2z = -1 y - 2z = -8
(e) x + 2y + z = 4 (f) x + 2y 3z = -5
3x y - z = 2 5x + y z = -11
(g) 2x 2y + 3z + t = 2 (h) x + y + 2z + t = 1x + y + z + t = 5 x + 2y + z + t = 2
-x + 2y 3z + 2t = 2 2x + y + z + t = 4
x + y + 2z - t = 4 x + y + z + 2t = 3
(i) x + y + t = 4 (j) x - y + 2z + t = 3
x z + t = 2 3x - 2y - z - t = 4
2x + 2y + z + 2t = 8 2x + y + 2z - t = 10
x - y + z + t = -2 x + 2y + z - 3t = 8
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
22/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
1.2.7 Penggunaan
Keguanaan sistem persamaan linear adalah sangat banyak, ia boleh digunakan untuk
menyelesaikan masalah-masalah seperti dalam bidang ekonomi, fizik , kimia , biologi
dan pelbagai lagi.
Contoh 10Seorang ahli biologi meletakkan ke dalam tabung uji tiga jenis bakteria (dilabelkan
dengan I,II dan III), dimana mereka di beri tiga jenis makanan yang berbeza (a,B dan C).
Setiap hari 2300 unit makanan A, 800 unit makanan B, dan 1500 unit makanan C
diletakan ke dalam tabung uji berkenaan dan setiap bakteria menggunakan beberapa
unit makanan sehari, seperti yang ditunjukkan dalam jadual 1. Berapa banyak bakteria
bagi setiap jenis perlu diletakkan supaya hidup di dalam tabung uji dan menggunakan
kesemua makanan tersebut?
Bakteria
Jenis 1
Bakteria
Jenis 2
Bakteria
Jenis 3
Makanan A
Makanan B
Makanan C
2
1
1
2
2
3
4
0
1
Jadual 1
Penyelesaian:
Biarkan x, y dan z bilangan bakteria jenis 1,II dan III, masing-masing. Bedasarkan
maklumat di dalam jadual 1, Bakteria jenis I memerlukan 2 unit A setiap hari, bakteria
jenia II memerlukan 2 unit A setiap hari dan bakteria jenis III memerlukan 4 unit A sehari.
Maka kita boleh tulis dalam bentuk persamaan linear sebagai:
22
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
23/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
2x + 2y + 4z = 2300
Dengan cara yang sama kita boleh dapati persamaan untuk makanan B dan C seperti
berikut:
X + 2y = 800 dan
X + 3y + z = 1500dengan menggunakan kaedah Gaus-Jordan kita selesaikan seoerti berikut:
Persamaan di atas boleh ditulis dalam bentuk matriks imbuhan
dan selesaikan dengan Operasi Baris Permulaan sehingga ke
Bentuk Eselon Baris Terturun , iaitu:
Jadi, x = 100, y = 350 dan z = 350. Ini bermakna ahli biologi tersebut perlu meletakkan
100 bakteria jenis I , 350 bakteria jenis II dan 350 bakteria jenis III kedalam tabung uji
jika ia mahu semua makanan tersebut dihabiskan.
Contoh: 11
Rajah 3
Di dalam bidang rangkaian letrik kita boleh mengiraatau menentukan amaun arus di
dalam setiap cabang dalam sebutan rintangan dan voltan. Perhatikan rajah 3 berikut,
simbol mewakili sel atau bateri (diukur dalam sukatan volt) , arus akan keluar dari
pangkalan bateri yang bertanda mencancang panjang. Sementara itu simbol
mewakili perintang tang diukur dalam unit ohm.Simbol mewakili nod dan i mewakili
23
8 volt
9 volt
2 ohms4 ohms
2 ohms5 ohms
i1
i3
i2
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
24/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
arsu diantara nod-nod. Anak panah menunjukkan arah aliran arus. Untuk menentukan
arus, hukum Kirchhoff digunakan:
1. Pada setiap nod jumlah arus yang masuk adalah bersamaan dengan
jumlah arus yang keluar.
2. Pada setiap gelung tertutup hasil tambah algebra voltan mestilahbersamaan dengan hasil tambah algebra voltan yang menyusut.
Voltan , V = iR, dimana i adalah arus dalam ampere dan R adalah rintangan dalam
Ohms.
Jadi kita lihat dari rajah 1 didapati:
i1 i 2 + i3 = 0 (nod A)
- i1 + i2 i 3 = 0 (nod B)
Dari hukum kedua,4i1 + 2i 2 = 8 (gelung atas)
2i2 + 5i 3 = 9 (gelung bawah)
Persamaan linear di atas boleh diwakili oleh matriks imbuhan
Seterusnya turunkan ke Bentuk Eselon Baris Terturun ia menjadi;
Maka kita dapati, i 1 = 1, i 2 = 2 dan i 3 = 1.
Contoh 12
Pembakaran amonia (NH 3) dalam oksigen akan menghasilkan gas nitrogen (N 2) dan
air. Dapatkan persamaan kimia yang seimbang bagi tindakbalas ini.
Penyelesaian
24
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
25/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
Biar kita namakan bilangan molekul-molekul amonia,oksigen, nitrogen dan air sebagai
w,x,y dan z masing-masig, jadi persamaan tindakbalas ditulis sebagai;
wNH 3 + xO 2 y N 2 + zH 2O
Dengan membandingkan bilangan nitrogen,hidrogen dan oksigen didalam tindakbalas
dan hasil, kita mendapati tiga persamaan linear;
Nitrigen : w = 2y
Hidrogen: 3w = 2z
Oksigen: 2x = z
Seterusnya jika ditulis semula, ia menjadi sistem;
w - 2y = 0
3w 2z = 0
2x z = 0
Dalam bentuk matriks imbuhan,
Kemudian lakukan operasi baris permulaan sehingga menjadi bentuk eselon baris
terturun, .
Maka, kita dapati
w = z,
x = z dan,
y = z.
dengan menggantikan z = 6, kita akan dapati nilai integer yangpaling kecil bagi w,x dan
y, iaitu w = 4, x = 3, y = 2 dan z = 6.
Maka persamaan tindakbalas yang seimbang ialah
4NH 3 + 3O 2 2N 2 + 6H 2O
25
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
26/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
Contoh: 13 (Analisis rangkaian)
Dalam kebanyakan situasi harian, pelbagai rangkaian yang kita dapati seperti rangkaian
prngankutan, komunikasi, ekonomi dan lain-lain. Rangkaian-rangkaian ini seperti
rangkaian jalan raya, ia mempunyai simpang iaitu pertemuan antara beberapa cabang jalan.Pertemuan antara cabang ini dikenali sebagai nod. rajah 2 menerangkan
berkenaan Keabadian aliran iaitu setiap aliran masuk sama dengan aliran keluar.
Rajah 4
Dari rajah 4 di atas, kita lihat dua aliran masuk dan dua aliran keluar dari nod. Maka dari
sini kita boleh bina persamaan , iaitu aliran masuk f 1 + f 2 dan aliran keluar adalah
20 + 30 jadi keseluruhannya f 1 + f 2 = 50.
Mari kita lihat contoh seterusnya.
26
20
30
5
10 A B 10
20 5
30CD
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
27/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
Rajah 5
Rajah 5 menujukkan aliran air paip diukur dalam unit liter per minit. Jelaskan
kemungkinan-kemungkinan aliran air paip tersebut.
Penyelesaian:Pada setiap nod kita bina persamaan linear yang mungkin.
nod A : f 1 + f 4 = 15
nod B : f 1 f 2 = 10
nod C : f 2 + f 3 = 25
nod D : f 3 f 4 = 20
Dengan menggunakan kaedah Penghapusan Gauss-Jordan kita turunkan matriks
imbuhan ke bentuk eselob baris terturun.
Maka kita dapati,
f 1 + f 4 = 15
f 2 + f 4 = 5
f 3 f 4 = 20
biarkan f 4 = w, maka
f 1 = 15 w
f 2 = 5 w
f 3 = 20 + w
f 4 = w
Bedasarkan sistem persamaan linear dia atas , kita dapati w boleh mempunyai
sebarang nilai. Namun begitu realitinya ini adalah sistem aliran paip maka sudah tentu
tiada nilai negatif. Sekarang cuba kita gantikan;w = 5, maka f 1 = 10, f 2 = 0, f 3 = 25 dan f 4 = 5
Sebenarnya dari sistem di atas kita boleh mencari nilai maksimum dan minimum, cuba
pertimbangkan pada persamaan pertama sudah pasti w 15 (kerana f 1 tidak boleh
menjadi negatif), dan dari persamaan kedua pula w 5 (juga kerana f 2 tidak boleh
menjadi negatif). Maka kekangan w 5 adalah lebih kuat. Oleh itu kita dapati bahawa
27
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
28/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
0 t 5. Kombinasi dari persamaan di atas kita dapati
10 f 1 15
0 f 2 5
20 f 3 25 dan
0 f 4 5
2 Sistem Ketaksamaan Linear Dan Pengatucaraan Linear
Melukis ketaksamaan linear dalam dua pembolehubah
Menyelesaikan ketaksamaan Linear dengan menggunakan grraf
Penggunaan
Contoh: 14Grafkan set penyelesaian bagi sistem
y 2x 3 dan 2x 3y > 5
Penyelesaian:
Graf bagi ketaksamaan y 2x 3 meliputi graf garis bagi persamaan y = 2x 3 dan
semua titik di bawahnya. Manakala graf bagi ketaksamaan 2x 3y > 5 mengandungi
hanya titik-titik yang berada di bawahnya sahaja (tidak termasuk titik-titik yang berada di
atas garisan). Penyelesaian keseluruhan adalah titik yang memenuhi kedua-duaketasamaan tersebut. ( kawasan berlorek dalam rajah 4).
y = 2x 3 , 3y = 2x 5
28
x y0 -3
2 1
x y4 1
-2 -3
y = 2x 3
3y = 2x 5
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
29/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
Rajah 6
Contoh 15
Firdaus dan Dania berkerja sambilan untuk mengeluarkan bekas jam. Firdaus
menggunakan 4 jam sehari dan Dania pula 2 jam sehari untuk menyiapkan satu bekas
jam besar berdiri. Untuk membina satu bekas jan dindidng pula, Firdaus bekerja selama3 jam dan Dania 4 jam. Kedua-dua mereka tidak boleh bekerja lebih daripada 20 jam
seminggu. Jika mereka mendapat sebanyak RM80 untuk setiap jam besar berdiri dan
RM64 untuk setiap jam diding, berapa banakkah tiap-tiap satunya patut mereka bina
setiap minggu untuk memaksimum keuntungan mereka.
Penyelesaian:
Maklumat si atas boleh diringkaskan seperti berikut:
Masa untuk sebuah
Jam Besar Berdiri
Masa Untuk sebuah
jam didingFirdaus
Dania
4 jam
2 jam
3 jam
4 jam
Katakan x adalah bekas jam besar berdiri dan y adalah bekas jam dinding
Keuntungan , P = 80x + 64y
x 0
y 0
4x + 3y 20
2x + 4y 20
Kekangan x 0 dan y 0 menunjukkan bahawa bilangan bekas jam tidak
29
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
30/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
mungkin negatif.
Rantau berlorek R, adalah seperti yang ditunjukkan dalam graf di bawah.
Dari graf tersebut kita dapati bucu-bucu (0,0),(0,5), (2,4) dan (5,0) adalah merupakan
titik ekstremun, untuk menentukan keuntungan maksimum kita uji titik-titik ini.
Pada titik (0,0) P = 80(0) + 64(0) = 0
Pada titik (0,5) P = 80(0) + 64(5) = 329
Pada titik (2,4) P = 80(2) + 64(4) = 416
Pada titik (5,0) P = 80(5) + 64(0) = 400
Dari ujian di atas didapati keuntungan maksimum berlaku pada titik (2,4) ini bermakauntuk mendapat keuntungan maksimu Firdaus dan Dania mesti menyiapkan 2 bekas
jam besar berdiri dan 4 bekas jam dinding setiap minggu, iaitu mereka mendapat
keuntungan pada tahap RM400 seminggu.
30
2x + 4y = 20
4x + 3y = 20
(2,4)
(5,0)
(0,5)
(0,0)
R
Aktiviti 1.3.1
1. Tunjukkan secara graf set penyelesaian bagi setiap sistem ketaksamaanberikut:
(a) y x 2 (b) x + y < 2
Y < -2x + 3 x + y 1
(c) 2x + 3y 5 (d) x + y 1
3x + y 1 x y 1
X 0 x y 0
x 2
2. Seorang penjuak pakaian menyediakan 20 hingga 30 helai jaket
kulit dan 30 hingga 50 helai jaket kain. Dalam kedainya tedapat ruang untuk
menyimpan sehingga 60 helai jaket. Keuntungan daripada sehelai jaket kulit ialah
RM50 dan RM40 daripada jaket kain. Jika pekedai itu boleh menjual semua jaket
ini, berapa banyakkah setiap jaket perlu disediakan untuk memaksimumkan
keuntungan?
7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear
31/31
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
Aktiviti 1.2.4Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan kaedah
Gaus-Jordan.
(a) x y + z = 3 (b) 2x + y z = 1
2x y + z = 4 x + y z = 0
x + 2y z = -1 3x + y + 2z = 2
(c) x y + z = 1 (d) 3x + y = 73x + y = 4 x z = 0
y 2z = -1 y - 2z = -8
(e) x + 2y + z = 4 (f) x + 2y 3z = -5
3x y - z = 2 5x + y z = -11
(g) 2x 2y + 3z + t = 2 (h) x + y + 2z + t = 1
x + y + z + t = 5 x + 2y + z + t = 2-x + 2y 3z + 2t = 2 2x + y + z + t = 4
x + y + 2z - t = 4 x + y + z + 2t = 3
(i) x + y + t = 4 (j) x - y + 2z + t = 3
x z + t = 2 3x - 2y - z - t = 4
2 2 2 8 2 2 10
Top Related