Sistemas de control TI-2233
Miguel Rodríguez
4ª clase
Sistemas de control Steady –state response• Definiciones importantes– Steady state response: respuesta a la forzadora o
respuesta en estado estacionario, es la salida del sistema después que pasan los efectos debido al cambio de estados ( transición) .
– Transient response : Respuesta de un sistema al impulso ó a un cambio de estado.
– Overshoot: cuando una señal excede su valor de estado estacionario. Sobrepico.
– Settling Time: Tiempo de estabilización.– Rise time: Tiempo en que una señal alcanza un
determinado valor.
Sistemas de control Steady –state response
Sistemas de control Step input
• Entradas de pruebas– La señal escalón (Step input)
– La transformada de Laplace:
00
01)()(
t
ttstu
ssU /1)(
dttfesF st
0
)()(
Sistemas de control impulse input
• Entrada impulso
• Integremos el impulso en el tiempo
• La transformada de Laplace es:
)()( ttu
)()(
)()()()(
01)()(
00
00
tsdt
dt
tsdt
ddtt
dt
dtsdtt
tdttdttu
1)( sU
Sistemas de control Unit ramp input
• Entrada rampa
• La transformada de Laplace
0:0
0:)()(
t
tttrtu
2
1)()(s
sRsU
Sistemas de control Unit ramp input
• Entrada parabólica
• La transformada de Laplace
0:0
0:)()( 2
2
t
ttptu
t
3
1)()(s
sPsU
Sistemas de control Polynomial input
• Generalización de la entrada a través de un polinomio
;!
)(
;!!2
)(
0
2
210
p
i
i
i
p
p
i
tdtu
p
td
tdtddtu
0t
Sistemas de control Sinusoidal input
• Señal sinusoidal
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta al escalón
– Solución en el tiempo
sas
KsY
as
KsG
1)()(
00
taea
K
a
Kty 0
00
)(
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta al escalón– Solución en el tiempo (Sistema de primer orden)
taea
K
a
Kty 0
00
)(
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta al escalón– Valor en estado estacionario
0000
0
1)(lim
)(lim)(lim
a
K
sas
KsssY
tfssF
ss
ts
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas• Respuesta a la rampa
– Teorema del valor final
– Solución en el tiempo (Tarea: comprobar la solución)
20
1)(
sas
KsY
0
20
0
1)(lim
ss sas
KsssY
taea
K
at
a
Kty 0
000
1)(
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta sobre amortiguada, dado un sistema que
tiene 2 raíces reales en el denominador:
• Aplicamos un escalón a la entrada
))(()(
012
ss
K
asas
KsG
)(
1
)()(
1
)(
1
1)(
012
sss
K
sasas
KsY
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta sobre amortiguada
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta Críticamente amortiguada, las dos raíces
del denominador están en el mismo lugar
– Aplicando un escalón
2)()(
s
KsG
22
2
)()(
11
1
)()(
sss
K
ss
KsY
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta Críticamente amortiguada
]1[)(2
tt teeK
ty
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta subamortiguada; Asumiendo que el
sistema tiene raíces complejas
– Aplicando un escalón a la entrada
22222 )()(2))(()(
ws
K
wss
K
jwsjws
KsG
222222
22
)()(
)(1
1
)()(
wsws
s
sw
K
sws
KsY
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta subamortiguada: en el dominio del
tiempo
wtewtew
Kty tt sin)cos(1)(
22
)sin()(
1)(2/122
22
wte
w
w
w
Kty t
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta subamortiguada• El denominador de la función de transferencia se
escribe normalmente de la siguiente manera:
• Donde es la relación de amortiguamiento y n es la frecuencia natural, siguiendo con nuestra notación tenemos que:
)(22 22222 wssss nn
222/ wy nn
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta subamortiguada• Relación de amortiguamiento
)(22 22222 wssss nn
10
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Términos usados:
• Retardo (delay time) es el tiempo que necesita la salida a la respuesta de un escalón para alcanzar el 50% de su valor final.
• Tiempo de subida (rise time) el tiempo que necesita la salida desde el 10% hasta el 90% del valor en estado estacionario.
• Tiempo de establecimiento (settling time) es el tiempo que se toma la salida a la respuesta de un escalón para alcanzar un valor estacionario, normalmente a un 5% del valor de estado estacionario.
• Overshoot, Máximo rebasamiento, es la máxima diferencia entre el valor de estado estacionario y la transiente.
ioestacionar estado devalor
100%overshoot máximo
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden–Máximo valor de overshoot. Derivamos la función y(t) e igualamos a cero.
– La solución depende del seno, y es para los valores:
– Los mínimos y máximos son definido por:
0sin)(
wtew
K
dt
tdy t
.,2,1,0,/ etciwit
wii ew
Kiy /1
22)1()(
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Errores– El desempeño de un sistema es normalmente
evaluado en termino de el error entre lo demandado o requerido y la señal de salida.• Error en la medición
• Error en el modelado
• Interferencias del ruido
• Error de estado estacionario.
Sistemas de control Tipos de Errores
• Error del sistema
• Ejemplos
)(
)()(
011
1
011
10 asasass
bsbsbsKsG
nn
nq
mm
m
Sistemas de control Tipos de Errores
• Error de estado estacionario
– Ejemplo: Halle el error en estado estacionario, señal de entrada escalón.
)(sE
)2(
3)(0 s
sG
Sistemas de control Tipos de Errores• Error de estado estacionario (entrada rampa)
• Tarea: realice la misma operación para una señal de entrada parabólica.
2
1)(s
sV
Sistemas de control Tipos de Errores
• Error de estado estacionarioTipo de sistema Entrada escalón
unidadEntrada rampa
unidadEntrada parábola
unida
0
1 0
2 0 0
3 0 0 0
sK11
rK
1
aK1
Sistemas de control Tipos de Errores
• Error transitorio:– Es el valor del error durante la respuesta del
transitorio. Y se puede hallar restándole al error del sistema el error de estado estacionario.
Error transitorio al escalón.
)(|)()()( 0 sssEsEsE sT
Sistemas de control Tipos de Errores
• Perturbaciones (Disturbances):
)()(
1)(
)()( sN
KssV
Ks
KsY
– Perturbaciones. Ejemplo:
• Hallar K y para que la salida del sistema sea críticamente amortiguada y el rechazo a perturbaciones de 1/10. Entradas escalón.
Sistemas de control Perturbaciones
40;400
;1,2
)()()1(
)()(
2
232
K
Knn
sNKsKss
ssV
Kss
KsY
– Perturbaciones • A la salida:
Sistemas de control Perturbaciones
)()(
)()(
)()( sN
Ks
ssV
Ks
KsY
)(
1
s+ +
+
-
V(s) Y(s)
N(s)
Sistemas de control Sensibilidad– Sensibilidad: Variación de la salida en función a
las variaciones en el tiempo del sistema o el control.
• Ejemplo: Señal de entrada Invariante en un sistema a lazo abierto.
)(/)(
)(/)(
sGsG
sYsYSYG
Sistemas de control Sensibilidad– Sensibilidad a lazo cerrado
– Tarea: Hallar la sensibilidad de la salida debido a variaciones en la función de transferencia del control
)(
)(
)(
)(
sY
sG
sG
sYSYG
22 )()(1
)(
)()(1
)()()()()(1)(
)(
)(
)()()(1
)()(
sHsG
sV
sHsG
sVsHsGsHsGsV
sG
sY
sVsHsG
sGsY
)(
)(
)(
)(
sY
sH
sH
sYSYG
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