Download - SIMPLE による流れの数値 - www … · SIMPLE による流れの数値 Suhas V. Patanker Numerical Heat Transfer and Fluid Flow 1980 Hemisphere Publishing Corporation

SIMPLE による流れの数値

Suhas V. Patanker

Numerical Heat Transfer and Fluid Flow

1980 Hemisphere Publishing Corporation

流体運動の計算 (SIMPLE method)流体運動の計算 (SIMPLE method)

(Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equation)

スタッガード格子：Staggared grid

スカラー量（例：圧力、ボイド率）の格子

ベクトル量(例：速度)の格子

離散化 : 有限体積法

discretization : finite difference

アルゴリズムSolution algorithm

スタート

圧力を仮定

運動方程式から速度を求める

上で求めた速度が連続の式を満足するかどうかチェック

データセーブ

End

yes

tt Δ+

圧力補正

no

連続の式 Continuity equation連続の式 Continuity equation

( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

+∂∂ w

zv

ytεεε

zxyx →→ 21

0m

const.

=→=

&

εαρ

c

c

( ) ( ) mnuxt cccc &−=

∂∂

+∂∂ αραρ

１次元 one dimension

( ) ( ) mnuxt icc

icc &−=

∂∂

+∂∂ ραρα

多次元 multi-dimensional

座標系 Coordinate system

y

z

v

w 重力gravity

ＣＶ内の質量の単位時間当たりの増加率

=流入する質量と流出する質量の差

粒子から流体として放出される質量

+x

u

1 2

検査面ＣＶControl volume

( ) ( ) ( ) ( )iicc

eij

jciiV

icijcc

jicc

vmng

xvu

xpuu

xu

t&−+

∂∂

+−−∂∂

−=∂∂

+∂∂

αρ

ταβααραρ

pgzpeij

c

c

→−==

→==

ρτ

εαρρ

,0 0,m

const.

&zxyx

→→

2

1

( ) ( ) ( ) iiV

iij

j

vuxpuu

xu

t−−

∂∂

−=∂∂

+∂∂

ρβ

ρεεε座標系 Coordinate system

y

z

v

w gravity

運動量方程式Momentum equation （多次元）運動量方程式Momentum equation （多次元）

( ) ( ) ( ) iiV

iij

j

vuxpuu

xu

t−−

∂∂

−=∂∂

+∂∂

ρβ

ρεεε座標系 Coordinate system

y

z

v

w gravity

( ) iiiV Kvu →−− β

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε yKypvw

zvv

yv

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂ direction: −y

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε zKzpww

zvw

yw

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

direction: −z

運動方程式 Equation of motion運動方程式 Equation of motion

連続の式 equation of continuity連続の式 equation of continuity

運動方程式 equation of motion運動方程式 equation of motion

( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

+∂∂ w

zv

ytεεε

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε yKypvw

zvv

yv

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε zKzpww

zvw

yw

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

座標系 Coordinate system

y

z

v

w重力

方向−y:

方向−z:

zy KK , 流体が粒子から受ける力（単位体積当り）粒子が流体から受ける抵抗の反作用粒子・流体間運動量交換

ε : ボイド率（流体体積分率）

j1,i −

1j1,i −+1ji, −1j1,i −−

j1,i +ji,

1j1,i ++1ji, +1j1,i +−

j1,i +

1j1,i ++1ji, +

ji,

1j1,i +−

j1,i −

1j1,i −− 1ji, − 1j1,i −+

1ji, − 1j1,i −+

j1,i +ji,

1j1,i ++1ji, +1j1,i +−

j1,i −

1j1,i −−

：速度 w の定義点

スタッガード格子staggered gridスタッガード格子staggered grid

P E

N

W

S

：スカラー量（圧力・ボイド）の定義点

：速度 v の定義点

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε yKypvw

zvv

yv

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

方向−y:

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε zKzpww

zvw

yw

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

方向−z:

運動量方程式の差分化discretization of momentum equations運動量方程式の差分化discretization of momentum equations

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε yKypvw

zvv

yv

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

方向−y

( ) ( ) ( )

tzyK

dtdydzyp

dtdzdyvwz

dtdydzvvy

dtdydzvt

ytt

t

tt

t

tt

t

tt

t

ΔΔΔ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫Δ+

Δ+Δ+Δ+

ρρε

εεε

n

s

e

w

e

w

n

s

n

s

e

w

e

w

n

s

P E

N

W

S

j1,i −

1ji, − 1j1,i −+

j1,i +ji,

1j1,i ++1ji, +1j1,i +−

1j1,i −−

: 検査面

yΔ

zΔ

検査面内で運動方程式を積分する。Integrate the equation of motion in the control volume

：速度 v の定義点

：スカラー量（圧力・ボイド）の定義点

w

s

n

p e

( ) ( ) ( ){ } zyvvdtdydzvt

tt

t

ΔΔ−=∂∂

∫ ∫ ∫Δ+

p0

p

e

w

n

s

εεε ( )0 : 時間 t における値

( ) dtdydzvvy

tt

t∫ ∫ ∫Δ+

∂∂n

s

e

w

ε ( ) ( ) tzvvtzvv ΔΔ−ΔΔ= we εε

( ) dtdzdyvwz

tt

t∫ ∫ ∫Δ+

∂∂e

w

n

s

ε

dtdydzyptt

t∫ ∫ ∫Δ+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−n

s

e

w ρε

P wE,e →→

( )PEp pp −=ρε

( ) tzpp ΔΔ−= PEp

ρε

tJtJ Δ−Δ= we

( ) ( ) tyvwtyvw ΔΔ−ΔΔ= sn εε tJtJ Δ−Δ= sn

( ) ( ) ( )we vvvvvv e

wεεε −=

( ) ( ) ( )sn vwvwvw n

sεεε −=

( )wepp ppp e

w−−=−

ρε

ρε

( ) ( ){ } ( ) zyK

zppJJJJzyt

vv y ΔΔ+Δ−−=−+−+ΔΔΔ

−

ρρεεε

PEp

snwe

p0

p

連続の式を同じ検査面において積分する。Integrate the equation of continuity in the same control volume

( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

+∂∂ w

zv

ytεεε

)1(

direction−y

P E

N

W

S

j1,i −

1ji, − 1j1,i −+

j1,i +ji,

1j1,i ++1ji, +1j1,i +−

1j1,i −−

w

s

n

p e

( ) ( ) ( ){ } zydtdydzt

tt

t

ΔΔ−=∂∂

∫ ∫ ∫Δ+

p0

p

e

w

n

s

εεε

( ) dtdydzvy

tt

t∫ ∫ ∫Δ+

∂∂n

s

e

w

ε ( ) ( ) tzvtzv ΔΔ−ΔΔ= we εε

( ) dtdzdywz

tt

t∫ ∫ ∫Δ+

∂∂e

w

n

s

ε

tFtF Δ−Δ= we

( ) ( ) tywtyw ΔΔ−ΔΔ= sn εε

( ) ( ) ( )we vvv e

wεεε −=

( ) ( ) ( )sn www n

sεεε −=

( )0 : value at time t

( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

+∂∂ w

zv

ytεεε Integrate the equation of continuity in

the same control volume

{ }0snwe

p0

p =−+−+ΔΔΔ

−FFFFzy

tεε

)2(

tFtF Δ−Δ= sn

( ) zv Δeε ( ) zv Δwε ( ) yw Δnε ( ) yw Δsε

( ) ( ){ } ( ) zyK

zppJJJJzyt

vv y ΔΔ+Δ−−=−+−+ΔΔΔ

−

ρρεεε

PEp

snwe

p0

p )1(

)2()1( p ×− v

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zyK

zppFvJFvJFvJFvJvvtzy y

p ΔΔ+Δ−−=−−−+−−−+−ΔΔΔ

ρρε

ε PEp

spsnpnwpwepe0

pp0

( ) zvvJe Δ= eε

( ) zvvJw Δ= wε

( ) ywvJn Δ= nε

( ) ywvJs Δ= sε

( ) zvFe Δ= eε

( ) zvFw Δ= wε

( ) ywFs Δ= sε

( ) ywFn Δ= nε

zvee Δ= ε zvv

Δ+

= ++ 2

j1,iji,j1,iε

zvww Δ= ε zvv

Δ+

= −

2j1,iji,

ji,ε

ywnn Δ= ε yww

Δ++++

= +++++

24j1,iji,1j1,i1ji,j1,iji, εεεε

ywss Δ= ε yww

Δ++++

= −+−+−+

241j1,i1-ji,1j1,i1ji,j1,iji, εεεε

ji,j1,i −

1ji, − 1j1,i −+

j1,i +

1j1,i ++1ji, +

1j1,i −−

1j1,i +−

w p

s

n

e

: 速度の定義点 : 圧力とボイドの定義点

j1,i −

1j1,i −+1ji, −1j1,i −−

j1,i +ji,

1j1,i ++1ji, +1j1,i +−

PE

N

W

S

epw

n

s

( ) zvvJ ee Δ= ε ( ) ee vzv ⋅Δ= εji, ,0 vvF ee =>

j1,i ,0 +=< vvF ee

: e -面を通過する流量eF

eee vFJ ⋅

….不安定 unstable

=

[ ] [ ]0,max0,max j1,iji, ee FvFv −−= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zyK


p ΔΔ+Δ−−=−−−+−−−+−ΔΔΔ

ρρε

ε PEp

spsnpnwpwepe0

pp0

[ ] [ ]0,max0,max ji,ji, eeep FvFvFv −−=

[ ]( )j1,iji,0,max +−−=−∴ vvFFvJ eepe

2j1,iji, ++ vv

上流値upwind

ee vF ⋅=

ji,j1,i −

1ji, − 1j1,i −+

j1,i +

1j1,i ++1ji, +

1j1,i −−

1j1,i +−

w p

s

n

e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zyK


p ΔΔ+Δ−−=−−−+−−−+−ΔΔΔ

ρρε

ε PEp

spsnpnwpwepe0

pp0

[ ]( )j1,iji,0,max +−−=− vvFFvJ eepe

[ ]( )ji,j1,-i0,max vvFFvJ wwpw −=−

[ ]( )1ji,ji,0,max +−−=− vvFFvJ nnpn

[ ]( )ji,1-ji,0,max vvFFvJ ssps −=−

ea

wa

na

sa

( ) zppbvavavavava ysnwep Δ−+

+++++= ++

+−+ j1,iji,j1,iji,

1-ji,1ji,j1,ij1,iji, 21 εερ

2j1,i

0ji,

0++

ΔΔΔ

++++=εε

tzyaaaaa snwep

zyK

vtzyb y

y ΔΔ++

ΔΔΔ

= +

ρεε ji,

ji,0j1,i

0ji,

0

2

j1,i +

1j1,i ++1ji, +

ji,

1j1,i +−

j1,i −

1j1,i −− 1ji, − 1j1,i −+

: w の定義点

( ) yppbwawawawawa zsnwep Δ−+

+++++= ++

+−+ 1ji,ji,1ji,ji,


21ji,

0ji,

0++

ΔΔΔ

++++=εε

tzyaaaaa snwep

zyK

wtzyb z

z ΔΔ++

ΔΔΔ

= +

ρεε ji,

ji,01ji,

0ji,

0

2

[ ]0,max ee Fa −=

[ ]0,max ww Fa =

[ ]0,max ss Fa =

[ ]0,max nn Fa −=

e

s

n

w p

( ) yppbawwa zpz Δ−+

++= ++∑ 1ji,ji,

1ji,ji,ji,ji, 2

1 εερ

( ) zppbavva ypy Δ−+

++= ++∑ j1,iji,

j1,iji,ji,ji, 2

1 εερ

運動方程式の差分化のまとめ運動方程式の差分化のまとめ

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε yKypvw

zvv

yv

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂direction: −y

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε zKzpww

zvw

yw

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂direction: −z


+++++= ++




+++++= ++



∑av

ji, pya

∑awji, pza

連続の式の差分化discretization of continuity equations

連続の式の差分化discretization of continuity equations

( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

+∂∂ w

zv

ytεεε

( ) 02222 1-ji,

1ji,ji,ji,

1ji,ji,j1,-i

j1,iji,ji,

j1,iji,ji,

0ji, =Δ

+−Δ

++Δ

+−Δ

++−

ΔΔΔ −+−+ ywywzvzvtzy εεεεεεεε

εε

( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

+∂∂ w

zv

ytεεε

P E

N

W

S

: 検査面

yΔ

zΔ

制御面において連続の式を積分する。

( ) ( ) ( ) 0e

w

n

s

n

s

e

w

e

w

n

s

=∂∂

+∂∂

+∂∂

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫Δ+Δ+Δ+

dtdzdywz

dtdydzvy

dtdydzt

tt

t

tt

t

tt

t

εεε

: 圧力とボイドの定義点

: w の定義点: v の定義点

ew

s

n

SIMPLE 法の解法アルゴリズムSIMPLE 法の解法アルゴリズム

( ) (3) 02222 1-ji,

1ji,ji,ji,

1ji,ji,j1,-i

j1,iji,ji,

j1,iji,ji,

0ji, =Δ

+−Δ

++Δ

+−Δ

++−


εε

( ) (1) 2

1j1,iji,

j1,iji,ji,ji, zppbavva ypy Δ−

+++= +

+∑εε

ρ

( ) (2) 2

11ji,ji,

j1,iji,ji,ji, yppbawwa zpz Δ−

+++= +

+∑εε

ρ

1. 先ず圧力を適当に仮定し、式 (1) と (2) から速度ｖ、ｗを求める。

2. もし１で計算した速度が正しかったら、これらの速度値は連続の式 (3)を満足するはずである。代入して調べる。

3. 連続の式が満足されない場合、満足するように圧力を補正する。

4. 補正した圧力を用いて、再び式 (1) と (2) から速度ｖ、ｗを求める。 .

5. 再び、ｖ、ｗを連続の式に代入し、連続の式が満足されるか否か調べる。

満足されない場合、圧力を補正する。

6. 連続の式が満足されるまで上の計算を繰り返す。.

運動方程式momentum equation

圧力と速度の補正圧力と速度の補正

( ) (1) 2

1j1,iji,

j1,iji,ji,ji, zppbavva ypy Δ−

+++= +

+∑εε

ρ

vvv ′+= *

www ′+= *

ppp ′+= *

仮定値

補正値仮定値を式 (1)に代入

( ) )(1 2

1j1,i

*ji,

*j1,iji,*ji,

*ji, ′Δ−

+++= +

+∑ zppbavva ypy

εερ

(1)-(1)’

( ) zppvavapy Δ′−′+

+′=′ ++∑ j1,iji,

j1,iji,ji,ji, 2

1 εερ

を省略∑ ′va

( ) )(1 2

1j1,iji,

j1,iji,

ji, ji, ′′Δ′−′

+=′ +

+ zppa

vpy

εερ

：圧力の補正値と速度の補正値の関係

圧力と速度の補正圧力と速度の補正

( ) (2) 2

11ji,ji,

1ji,ji,ji,ji, yppbawwa zpz Δ−

+++= +

+∑εε

ρ

vvv ′+= *

www ′+= *

ppp ′+= *

補正値

仮定値

仮定値を式 (2)に代入

( ) )(2 2

11ji,

*ji,

*1ji,ji,*ji,

*ji, ′Δ−

+++= +

+∑ yppbawwa zpz

εερ

(2)-(2)’

( ) yppwawapz Δ′−′+

+′=′ ++∑ 1ji,ji,

1ji,ji,ji,ji, 2

1 εερ

を省略∑ ′wa

( ) )(2 2

11ji,ji,

1ji,ji,

ji, ji, ′′Δ′−′

+=′ +

+ yppa

wpz

εερ

：圧力の補正値と速度の補正値の関係

( ) )(2 2

11ji,ji,

1ji,ji,

ji, ji, ′′Δ′−′

+=′ +

+ yppa

wpz

εερ

( ) )(1 2

1j1,iji,

j1,iji,

ji, ji, ′′Δ′−′

+=′ +

+ zppa

vpy

εερ

( ) 2

1j1,iji,

j1,iji,

ji,

ji,*

ji,ji,*

ji, zppa

vvvvpy

Δ′−′+

+=′+= ++εε

ρ

( ) yppa

wwwwpz

Δ′−′+

+=′+= ++

1ji,ji,1ji,ji,

ji,

ji,*

ji,ji,*

ji, 21 εερ

( ) (3) 02222 1-ji,

1ji,ji,ji,

1ji,ji,j1,-i

j1,iji,ji,

j1,iji,ji,

0ji, =Δ

+−Δ

++Δ

+−Δ

++−


εε

連続の式

となる。が正しい場合、と 0 b w ** =v

)(3 1-ji,1ji,j1,ij1,iji, ′+′+′+′+′=′ +−+ bpcpcpcpcpc snwep

22

j1,iji,

ji, 21 z

ac

pye Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += +εε

ρ2

2j1,iji,

j1,-i 21 z

ac

pyw Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += −εε

ρ

22

j1,iji,

ji, 21 y

ac

pzn Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += +εε

ρ2

21-ji,ji,

1-ji, 21 y

ac

pzs Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

εερ

snwep ccccc +++=

( ) ywywzvzvtzyb Δ

++Δ

+−Δ

++Δ

+−−

ΔΔΔ

= −+−+1-ji,

*1ji,ji,ji,

*1ji,ji,j1,-i

*j1,iji,ji,

*j1,iji,ji,

0ji, 2222

εεεεεεεεεε

(4)

の場合、式(3)‘を用いて補正値を求める。0≠b p

緩和係数relaxation factor

Rα

ppp R ′+= α*

1>Rα

1<Rα

を仮定* p

を計算とを用いてと式 ** )(2 )(1 wv′′

を計算を用いて式 (4) b

δ<b

End

yes

を計算を用いて式 )(3 p′′no

p=p*+p’を用いてpを更新、このpをp*と置き直し、式(1)’ ,(2)’ に代入する。


+++++= ++




+++++= ++



bpcpcpcpcpc snwep +′+′+′+′=′ +−+ 1-ji,1ji,j1,ij1,iji,

方向−z

方向−y

圧力補正

線形代数方程式linear algebraic equations

未知数 unknown: v, w, p’


+++++= ++



方向−y

三重対角行列アルゴリズムTDMA (Tri-Diagonal Matrix Algorithm)

三重対角行列アルゴリズムTDMA (Tri-Diagonal Matrix Algorithm)

ji, j1,i +j1,i −

1ji, +

1ji, −

既知

最新の値（１つ前の走査）∴既知として扱う

未知数の数 = 3

境界 (i=0, i=I, j=0, j=J) における値も既知

kj1,iji,j1,i Avavava epw =−+− +−

1,121,1,10 Avavava epw ′=−+−

2,132,1,11 Avavava epw =−+−

3,143,1,12 Avavava epw =−+−

1-II,11,1-I2,1-I Avavava epw ′=−+−

1,121,1 Avava ep =−

•••

11,1 φ→v 22,1 φ→v 33,1 φ→v 44,1 φ→v

1-I1,1-I2,1-I Avava pw =+−

境界値 ∴既知

境界値 ∴既知

1n1,1-I −→φv

1j : Example =

2-I1,1-I2,1-I3,1-I Avavava epw =−+−

注：各係数は異なる

⋅⋅⋅ 0 0 0 0 2,11,1 aa

⋅⋅⋅ 0 0 0 0 3,22,21,2 aaa

⋅⋅⋅ 0 0 0 0 0 4,33,32,3 aaa

⋅⋅⋅ 0 0 0 0 0 0 5,44,43,4 aaa

0 0 0 0 1-n2,n2n2,n3n2,n −−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ aaa

1-n1,-n2n1,-n 0 0 0 0 aa −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

••

••

••

1φ

3φ2φ

4φ

2n−φ

1-nφ

•

•

•

1A

3A2A

4A

2n−A

1-nA

•

•

•

=

三重対角行列Tri-Diagonal Matrix三重対角行列Tri-Diagonal Matrix

2j : Example =kj1,iji,j1,i Avavava epw =−+− +−

1,221,2,20 Avavava epw ′=−+−

2,232,2,21 Avavava epw =−+−

3,243,2,22 Avavava epw =−+−

1-II,21,2-I2,2-I Avavava epw ′=−+−

1,221,2 Avava ep =−

•••

11,2 φ→v 22,2 φ→v 33,2 φ→v 44,2 φ→v

1-I1,2-I2,2-I Avava pw =+−

境界値 ∴既知

境界値 ∴既知

1n1,2-I −→φv

2-I1,2-I2,2-I3,2-I Avavava epw =−+−

注：各係数は異なる

⋅⋅⋅ 0 0 0 0 2,11,1 aa

⋅⋅⋅ 0 0 0 0 3,22,21,2 aaa

⋅⋅⋅ 0 0 0 0 0 4,33,32,3 aaa

⋅⋅⋅ 0 0 0 0 0 0 5,44,43,4 aaa

0 0 0 0 1-n2,n2n2,n3n2,n −−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ aaa

1-n1,-n2n1,-n 0 0 0 0 aa −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

••

••

••

1φ

3φ2φ

4φ

2n−φ

1-nφ

•

•

•

1A

3A2A

4A

2n−A

1-nA

•

•

•

=

Tri-Diagonal MatrixTri-Diagonal Matrix

1 2 1-I2-I0i = I0j =

2

1

J1-J2-J

境界条件が与えられている