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SIMPLE による流れの数値

Suhas V. Patanker

Numerical Heat Transfer and Fluid Flow

1980 Hemisphere Publishing Corporation

流体運動の計算 (SIMPLE method)流体運動の計算 (SIMPLE method)

(Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equation)

スタッガード格子：Staggared grid

スカラー量（例：圧力、ボイド率）の格子

ベクトル量(例：速度)の格子

離散化 : 有限体積法

discretization : finite difference

アルゴリズムSolution algorithm

スタート

圧力を仮定

運動方程式から速度を求める

上で求めた速度が連続の式を満足するかどうかチェック

データセーブ

End

yes

tt Δ+

圧力補正

no

連続の式 Continuity equation連続の式 Continuity equation

( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

+∂∂ w

zv

ytεεε

zxyx →→ 21

0m

const.

=→=

&

εαρ

c

c

( ) ( ) mnuxt cccc &−=

∂∂

+∂∂ αραρ

１次元 one dimension

( ) ( ) mnuxt icc

icc &−=

∂∂

+∂∂ ραρα

多次元 multi-dimensional

座標系 Coordinate system

y

z

v

w 重力gravity

ＣＶ内の質量の単位時間当たりの増加率

=流入する質量と流出する質量の差

粒子から流体として放出される質量

+x

u

1 2

検査面ＣＶControl volume

( ) ( ) ( ) ( )iicc

eij

jciiV

icijcc

jicc

vmng

xvu

xpuu

xu

t&−+

∂∂

+−−∂∂

−=∂∂

+∂∂

αρ

ταβααραρ

pgzpeij

c

c

→−==

→==

ρτ

εαρρ

,0 0,m

const.

&zxyx

→→

2

1

( ) ( ) ( ) iiV

iij

j

vuxpuu

xu

t−−

∂∂

−=∂∂

+∂∂

ρβ

ρεεε座標系 Coordinate system

y

z

v

w gravity

運動量方程式Momentum equation （多次元）運動量方程式Momentum equation （多次元）

( ) ( ) ( ) iiV

iij

j

vuxpuu

xu

t−−

∂∂

−=∂∂

+∂∂

ρβ

ρεεε座標系 Coordinate system

y

z

v

w gravity

( ) iiiV Kvu →−− β

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε yKypvw

zvv

yv

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂ direction: −y

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε zKzpww

zvw

yw

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

direction: −z

運動方程式 Equation of motion運動方程式 Equation of motion

連続の式 equation of continuity連続の式 equation of continuity

運動方程式 equation of motion運動方程式 equation of motion

( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

+∂∂ w

zv

ytεεε

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε yKypvw

zvv

yv

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε zKzpww

zvw

yw

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

座標系 Coordinate system

y

z

v

w重力

方向−y:

方向−z:

zy KK , 流体が粒子から受ける力（単位体積当り）粒子が流体から受ける抵抗の反作用粒子・流体間運動量交換

ε : ボイド率（流体体積分率）

j1,i −

1j1,i −+1ji, −1j1,i −−

j1,i +ji,

1j1,i ++1ji, +1j1,i +−

j1,i +

1j1,i ++1ji, +

ji,

1j1,i +−

j1,i −

1j1,i −− 1ji, − 1j1,i −+

1ji, − 1j1,i −+

j1,i +ji,

1j1,i ++1ji, +1j1,i +−

j1,i −

1j1,i −−

：速度 w の定義点

スタッガード格子staggered gridスタッガード格子staggered grid

P E

N

W

S

：スカラー量（圧力・ボイド）の定義点

：速度 v の定義点

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε yKypvw

zvv

yv

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

方向−y:

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε zKzpww

zvw

yw

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

方向−z:

運動量方程式の差分化discretization of momentum equations運動量方程式の差分化discretization of momentum equations

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε yKypvw

zvv

yv

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

方向−y

( ) ( ) ( )

tzyK

dtdydzyp

dtdzdyvwz

dtdydzvvy

dtdydzvt

ytt

t

tt

t

tt

t

tt

t

ΔΔΔ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫Δ+

Δ+Δ+Δ+

ρρε

εεε

n

s

e

w

e

w

n

s

n

s

e

w

e

w

n

s

P E

N

W

S

j1,i −

1ji, − 1j1,i −+

j1,i +ji,

1j1,i ++1ji, +1j1,i +−

1j1,i −−

: 検査面

yΔ

zΔ

検査面内で運動方程式を積分する。Integrate the equation of motion in the control volume

：速度 v の定義点

：スカラー量（圧力・ボイド）の定義点

w

s

n

p e

( ) ( ) ( ){ } zyvvdtdydzvt

tt

t

ΔΔ−=∂∂

∫ ∫ ∫Δ+

p0

p

e

w

n

s

εεε ( )0 : 時間 t における値

( ) dtdydzvvy

tt

t∫ ∫ ∫Δ+

∂∂n

s

e

w

ε ( ) ( ) tzvvtzvv ΔΔ−ΔΔ= we εε

( ) dtdzdyvwz

tt

t∫ ∫ ∫Δ+

∂∂e

w

n

s

ε

dtdydzyptt

t∫ ∫ ∫Δ+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−n

s

e

w ρε

P wE,e →→

( )PEp pp −=ρε

( ) tzpp ΔΔ−= PEp

ρε

tJtJ Δ−Δ= we

( ) ( ) tyvwtyvw ΔΔ−ΔΔ= sn εε tJtJ Δ−Δ= sn

( ) ( ) ( )we vvvvvv e

wεεε −=

( ) ( ) ( )sn vwvwvw n

sεεε −=

( )wepp ppp e

w−−=−

ρε

ρε

( ) ( ){ } ( ) zyK

zppJJJJzyt

vv y ΔΔ+Δ−−=−+−+ΔΔΔ

−

ρρεεε

PEp

snwe

p0

p

連続の式を同じ検査面において積分する。Integrate the equation of continuity in the same control volume

( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

+∂∂ w

zv

ytεεε

)1(

direction−y

P E

N

W

S

j1,i −

1ji, − 1j1,i −+

j1,i +ji,

1j1,i ++1ji, +1j1,i +−

1j1,i −−

w

s

n

p e

( ) ( ) ( ){ } zydtdydzt

tt

t

ΔΔ−=∂∂

∫ ∫ ∫Δ+

p0

p

e

w

n

s

εεε

( ) dtdydzvy

tt

t∫ ∫ ∫Δ+

∂∂n

s

e

w

ε ( ) ( ) tzvtzv ΔΔ−ΔΔ= we εε

( ) dtdzdywz

tt

t∫ ∫ ∫Δ+

∂∂e

w

n

s

ε

tFtF Δ−Δ= we

( ) ( ) tywtyw ΔΔ−ΔΔ= sn εε

( ) ( ) ( )we vvv e

wεεε −=

( ) ( ) ( )sn www n

sεεε −=

( )0 : value at time t

( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

+∂∂ w

zv

ytεεε Integrate the equation of continuity in

the same control volume

{ }0snwe

p0

p =−+−+ΔΔΔ

−FFFFzy

tεε

)2(

tFtF Δ−Δ= sn

( ) zv Δeε ( ) zv Δwε ( ) yw Δnε ( ) yw Δsε

( ) ( ){ } ( ) zyK

zppJJJJzyt

vv y ΔΔ+Δ−−=−+−+ΔΔΔ

−

ρρεεε

PEp

snwe

p0

p )1(

)2()1( p ×− v

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zyK

zppFvJFvJFvJFvJvvtzy y

p ΔΔ+Δ−−=−−−+−−−+−ΔΔΔ

ρρε

ε PEp

spsnpnwpwepe0

pp0

( ) zvvJe Δ= eε

( ) zvvJw Δ= wε

( ) ywvJn Δ= nε

( ) ywvJs Δ= sε

( ) zvFe Δ= eε

( ) zvFw Δ= wε

( ) ywFs Δ= sε

( ) ywFn Δ= nε

zvee Δ= ε zvv

Δ+

= ++ 2

j1,iji,j1,iε

zvww Δ= ε zvv

Δ+

= −

2j1,iji,

ji,ε

ywnn Δ= ε yww

Δ++++

= +++++

24j1,iji,1j1,i1ji,j1,iji, εεεε

ywss Δ= ε yww

Δ++++

= −+−+−+

241j1,i1-ji,1j1,i1ji,j1,iji, εεεε

ji,j1,i −

1ji, − 1j1,i −+

j1,i +

1j1,i ++1ji, +

1j1,i −−

1j1,i +−

w p

s

n

e

: 速度の定義点 : 圧力とボイドの定義点

j1,i −

1j1,i −+1ji, −1j1,i −−

j1,i +ji,

1j1,i ++1ji, +1j1,i +−

PE

N

W

S

epw

n

s

( ) zvvJ ee Δ= ε ( ) ee vzv ⋅Δ= εji, ,0 vvF ee =>

j1,i ,0 +=< vvF ee

: e -面を通過する流量eF

eee vFJ ⋅

….不安定 unstable

=

[ ] [ ]0,max0,max j1,iji, ee FvFv −−= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zyK


p ΔΔ+Δ−−=−−−+−−−+−ΔΔΔ

ρρε

ε PEp

spsnpnwpwepe0

pp0

[ ] [ ]0,max0,max ji,ji, eeep FvFvFv −−=

[ ]( )j1,iji,0,max +−−=−∴ vvFFvJ eepe

2j1,iji, ++ vv

上流値upwind

ee vF ⋅=

ji,j1,i −

1ji, − 1j1,i −+

j1,i +

1j1,i ++1ji, +

1j1,i −−

1j1,i +−

w p

s

n

e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zyK


p ΔΔ+Δ−−=−−−+−−−+−ΔΔΔ

ρρε

ε PEp

spsnpnwpwepe0

pp0

[ ]( )j1,iji,0,max +−−=− vvFFvJ eepe

[ ]( )ji,j1,-i0,max vvFFvJ wwpw −=−

[ ]( )1ji,ji,0,max +−−=− vvFFvJ nnpn

[ ]( )ji,1-ji,0,max vvFFvJ ssps −=−

ea

wa

na

sa

( ) zppbvavavavava ysnwep Δ−+

+++++= ++

+−+ j1,iji,j1,iji,

1-ji,1ji,j1,ij1,iji, 21 εερ

2j1,i

0ji,

0++

ΔΔΔ

++++=εε

tzyaaaaa snwep

zyK

vtzyb y

y ΔΔ++

ΔΔΔ

= +

ρεε ji,

ji,0j1,i

0ji,

0

2

j1,i +

1j1,i ++1ji, +

ji,

1j1,i +−

j1,i −

1j1,i −− 1ji, − 1j1,i −+

: w の定義点

( ) yppbwawawawawa zsnwep Δ−+

+++++= ++

+−+ 1ji,ji,1ji,ji,


21ji,

0ji,

0++

ΔΔΔ

++++=εε

tzyaaaaa snwep

zyK

wtzyb z

z ΔΔ++

ΔΔΔ

= +

ρεε ji,

ji,01ji,

0ji,

0

2

[ ]0,max ee Fa −=

[ ]0,max ww Fa =

[ ]0,max ss Fa =

[ ]0,max nn Fa −=

e

s

n

w p

( ) yppbawwa zpz Δ−+

++= ++∑ 1ji,ji,

1ji,ji,ji,ji, 2

1 εερ

( ) zppbavva ypy Δ−+

++= ++∑ j1,iji,

j1,iji,ji,ji, 2

1 εερ

運動方程式の差分化のまとめ運動方程式の差分化のまとめ

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε yKypvw

zvv

yv

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂direction: −y

( ) ( ) ( )ρρ

εεεε zKzpww

zvw

yw

t+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂direction: −z


+++++= ++




+++++= ++



∑av

ji, pya

∑awji, pza

連続の式の差分化discretization of continuity equations

連続の式の差分化discretization of continuity equations

( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

+∂∂ w

zv

ytεεε

( ) 02222 1-ji,

1ji,ji,ji,

1ji,ji,j1,-i

j1,iji,ji,

j1,iji,ji,

0ji, =Δ

+−Δ

++Δ

+−Δ

++−

ΔΔΔ −+−+ ywywzvzvtzy εεεεεεεε

εε

( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

+∂∂ w

zv

ytεεε

P E

N

W

S

: 検査面

yΔ

zΔ

制御面において連続の式を積分する。

( ) ( ) ( ) 0e

w

n

s

n

s

e

w

e

w

n

s

=∂∂

+∂∂

+∂∂

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫Δ+Δ+Δ+

dtdzdywz

dtdydzvy

dtdydzt

tt

t

tt

t

tt

t

εεε

: 圧力とボイドの定義点

: w の定義点: v の定義点

ew

s

n

SIMPLE 法の解法アルゴリズムSIMPLE 法の解法アルゴリズム

( ) (3) 02222 1-ji,

1ji,ji,ji,

1ji,ji,j1,-i

j1,iji,ji,

j1,iji,ji,

0ji, =Δ

+−Δ

++Δ

+−Δ

++−


εε

( ) (1) 2

1j1,iji,

j1,iji,ji,ji, zppbavva ypy Δ−

+++= +

+∑εε

ρ

( ) (2) 2

11ji,ji,

j1,iji,ji,ji, yppbawwa zpz Δ−

+++= +

+∑εε

ρ

1. 先ず圧力を適当に仮定し、式 (1) と (2) から速度ｖ、ｗを求める。

2. もし１で計算した速度が正しかったら、これらの速度値は連続の式 (3)を満足するはずである。代入して調べる。

3. 連続の式が満足されない場合、満足するように圧力を補正する。

4. 補正した圧力を用いて、再び式 (1) と (2) から速度ｖ、ｗを求める。 .

5. 再び、ｖ、ｗを連続の式に代入し、連続の式が満足されるか否か調べる。

満足されない場合、圧力を補正する。

6. 連続の式が満足されるまで上の計算を繰り返す。.

運動方程式momentum equation

圧力と速度の補正圧力と速度の補正

( ) (1) 2

1j1,iji,

j1,iji,ji,ji, zppbavva ypy Δ−

+++= +

+∑εε

ρ

vvv ′+= *

www ′+= *

ppp ′+= *

仮定値

補正値仮定値を式 (1)に代入

( ) )(1 2

1j1,i

*ji,

*j1,iji,*ji,

*ji, ′Δ−

+++= +

+∑ zppbavva ypy

εερ

(1)-(1)’

( ) zppvavapy Δ′−′+

+′=′ ++∑ j1,iji,

j1,iji,ji,ji, 2

1 εερ

を省略∑ ′va

( ) )(1 2

1j1,iji,

j1,iji,

ji, ji, ′′Δ′−′

+=′ +

+ zppa

vpy

εερ

：圧力の補正値と速度の補正値の関係

圧力と速度の補正圧力と速度の補正

( ) (2) 2

11ji,ji,

1ji,ji,ji,ji, yppbawwa zpz Δ−

+++= +

+∑εε

ρ

vvv ′+= *

www ′+= *

ppp ′+= *

補正値

仮定値

仮定値を式 (2)に代入

( ) )(2 2

11ji,

*ji,

*1ji,ji,*ji,

*ji, ′Δ−

+++= +

+∑ yppbawwa zpz

εερ

(2)-(2)’

( ) yppwawapz Δ′−′+

+′=′ ++∑ 1ji,ji,

1ji,ji,ji,ji, 2

1 εερ

を省略∑ ′wa

( ) )(2 2

11ji,ji,

1ji,ji,

ji, ji, ′′Δ′−′

+=′ +

+ yppa

wpz

εερ

：圧力の補正値と速度の補正値の関係

( ) )(2 2

11ji,ji,

1ji,ji,

ji, ji, ′′Δ′−′

+=′ +

+ yppa

wpz

εερ

( ) )(1 2

1j1,iji,

j1,iji,

ji, ji, ′′Δ′−′

+=′ +

+ zppa

vpy

εερ

( ) 2

1j1,iji,

j1,iji,

ji,

ji,*

ji,ji,*

ji, zppa

vvvvpy

Δ′−′+

+=′+= ++εε

ρ

( ) yppa

wwwwpz

Δ′−′+

+=′+= ++

1ji,ji,1ji,ji,

ji,

ji,*

ji,ji,*

ji, 21 εερ

( ) (3) 02222 1-ji,

1ji,ji,ji,

1ji,ji,j1,-i

j1,iji,ji,

j1,iji,ji,

0ji, =Δ

+−Δ

++Δ

+−Δ

++−


εε

連続の式

となる。が正しい場合、と 0 b w ** =v

)(3 1-ji,1ji,j1,ij1,iji, ′+′+′+′+′=′ +−+ bpcpcpcpcpc snwep

22

j1,iji,

ji, 21 z

ac

pye Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += +εε

ρ2

2j1,iji,

j1,-i 21 z

ac

pyw Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += −εε

ρ

22

j1,iji,

ji, 21 y

ac

pzn Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += +εε

ρ2

21-ji,ji,

1-ji, 21 y

ac

pzs Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

εερ

snwep ccccc +++=

( ) ywywzvzvtzyb Δ

++Δ

+−Δ

++Δ

+−−

ΔΔΔ

= −+−+1-ji,

*1ji,ji,ji,

*1ji,ji,j1,-i

*j1,iji,ji,

*j1,iji,ji,

0ji, 2222

εεεεεεεεεε

(4)

の場合、式(3)‘を用いて補正値を求める。0≠b p

緩和係数relaxation factor

Rα

ppp R ′+= α*

1>Rα

1<Rα

を仮定* p

を計算とを用いてと式 ** )(2 )(1 wv′′

を計算を用いて式 (4) b

δ<b

End

yes

を計算を用いて式 )(3 p′′no

p=p*+p’を用いてpを更新、このpをp*と置き直し、式(1)’ ,(2)’ に代入する。


+++++= ++




+++++= ++



bpcpcpcpcpc snwep +′+′+′+′=′ +−+ 1-ji,1ji,j1,ij1,iji,

方向−z

方向−y

圧力補正

線形代数方程式linear algebraic equations

未知数 unknown: v, w, p’


+++++= ++



方向−y

三重対角行列アルゴリズムTDMA (Tri-Diagonal Matrix Algorithm)

三重対角行列アルゴリズムTDMA (Tri-Diagonal Matrix Algorithm)

ji, j1,i +j1,i −

1ji, +

1ji, −

既知

最新の値（１つ前の走査）∴既知として扱う

未知数の数 = 3

境界 (i=0, i=I, j=0, j=J) における値も既知

kj1,iji,j1,i Avavava epw =−+− +−

1,121,1,10 Avavava epw ′=−+−

2,132,1,11 Avavava epw =−+−

3,143,1,12 Avavava epw =−+−

1-II,11,1-I2,1-I Avavava epw ′=−+−

1,121,1 Avava ep =−

•••

11,1 φ→v 22,1 φ→v 33,1 φ→v 44,1 φ→v

1-I1,1-I2,1-I Avava pw =+−

境界値 ∴既知

境界値 ∴既知

1n1,1-I −→φv

1j : Example =

2-I1,1-I2,1-I3,1-I Avavava epw =−+−

注：各係数は異なる

⋅⋅⋅ 0 0 0 0 2,11,1 aa

⋅⋅⋅ 0 0 0 0 3,22,21,2 aaa

⋅⋅⋅ 0 0 0 0 0 4,33,32,3 aaa

⋅⋅⋅ 0 0 0 0 0 0 5,44,43,4 aaa

0 0 0 0 1-n2,n2n2,n3n2,n −−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ aaa

1-n1,-n2n1,-n 0 0 0 0 aa −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

••

••

••

1φ

3φ2φ

4φ

2n−φ

1-nφ

•

•

•

1A

3A2A

4A

2n−A

1-nA

•

•

•

=

三重対角行列Tri-Diagonal Matrix三重対角行列Tri-Diagonal Matrix

2j : Example =kj1,iji,j1,i Avavava epw =−+− +−

1,221,2,20 Avavava epw ′=−+−

2,232,2,21 Avavava epw =−+−

3,243,2,22 Avavava epw =−+−

1-II,21,2-I2,2-I Avavava epw ′=−+−

1,221,2 Avava ep =−

•••

11,2 φ→v 22,2 φ→v 33,2 φ→v 44,2 φ→v

1-I1,2-I2,2-I Avava pw =+−

境界値 ∴既知

境界値 ∴既知

1n1,2-I −→φv

2-I1,2-I2,2-I3,2-I Avavava epw =−+−

注：各係数は異なる

⋅⋅⋅ 0 0 0 0 2,11,1 aa

⋅⋅⋅ 0 0 0 0 3,22,21,2 aaa

⋅⋅⋅ 0 0 0 0 0 4,33,32,3 aaa

⋅⋅⋅ 0 0 0 0 0 0 5,44,43,4 aaa

0 0 0 0 1-n2,n2n2,n3n2,n −−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ aaa

1-n1,-n2n1,-n 0 0 0 0 aa −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

••

••

••

1φ

3φ2φ

4φ

2n−φ

1-nφ

•

•

•

1A

3A2A

4A

2n−A

1-nA

•

•

•

=

Tri-Diagonal MatrixTri-Diagonal Matrix

1 2 1-I2-I0i = I0j =

2

1

J1-J2-J

境界条件が与えられている

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