Richiami di teoria: formula diTaylor
Sviluppi notevoli di McLaurin
ex = 1 + x +12!
x2 + · · · +1n!
xn + o (xn), x → 0
sin x = x− 13!
x3 +15!
x5 + · · · +(−1)n
(2n + 1)!x2n+1 + o
(x2n+2
), x → 0
cos x = 1− 12!
x2 +14!
x4 + · · · +(−1)n
(2n)!x2n + o
(x2n+1
), x → 0
(1 + x)α = 1 + αx +
(α
2
)x2 + · · · +
(α
n
)xn + o (xn), α ∈ R, x → 0
dove
(α
n
)=
α(α− 1) · · · (α− (n− 1))n!
,
11− x
= (1− x)−1 = 1 + x + x2 + · · · + xn + o (xn), x → 0
log (1 + x) = x− 12x2 +
13x3 + · · · +
(−1)n−1
nxn + o (xn), x → 0
arctanx = −13x3 +
15x5 + · · · +
(−1)n
2n + 1x2n+1 + o
(x2n+2
), x → 0
sinhx = x +13!
x3 +15!
x5 + · · · +1
(2n + 1)!x2n+1 + o
(x2n+2
), x → 0
coshx = 1 +12!
x2 +14!
x4 + · · · +1
(2n)!x2n + o
(x2n+1
), x → 0
1
2 Richiami di teoria: formula di Taylor
Algebra degli “o” piccolo
Siano A ⊆ R, f, g : A → R due funzioni e x0 ∈ R∪{±∞} un punto di accumulazione
per A. Allora per x → x0 si ha che
1) o(k f(x)) = k o(f(x)) = o(f(x)), k 6= 0;
2) o(f(x)) + o(f(x)) = o(f(x));
3) o(o(f(x)
)= o(f(x));
4) o(f(x) + o(f(x)
)= o(f(x));
5) o(f(x)) · o(g(x)) = o(f(x)g(x));
6)[o(f(x))
]p= o (fp(x)) , per ogni p ∈ R per cui ha senso;
7)o(f(x))
g(x)= o
(f(x)g(x)
);
8)[f(x) + o(f(x)
]p= fp(x) + o (fp(x)) , per ogni p ∈ R per cui ha senso.