Colégio SantistaColégio SantistaMatemática- Prof . Marcos Matemática- Prof . Marcos
FatoraçãoFatoração
7ª Série
Unidade Temática:
Produtos Notáveis
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Produtos Notáveis:Produtos Notáveis:
Quadrado da Soma de dois termos: bb
aa
bbaa
2)( ba +
2b
2a
ba.
ba.
22 ..2 bbaa ++Soma das Áreas=
)).(( baba ++=
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Produtos Notáveis:Produtos Notáveis:
Quadrado da diferença de dois
termos:
bb
aa
bbaa
2)( ba −
2)( ba −
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Produtos Notáveis:Produtos Notáveis:
Quadrado da diferença de dois
termos.a - ba - b
a - ba - b
2)( ba −
2)( ba −
22 ..2 bbaa +−
Calculando a área que sobrou teremos:
)).(( baba −−=
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Produtos Notáveis:Produtos Notáveis:
Diferença de quadrados:
22 ba −
bb
aa
aa
bb
2a
2b
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Após a subtração da maior área pela menor área, marcamos com uma diagonal separando a área restante dividindo-a em duas partes, que são dois trapézios.
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Após separarmos as áreas, registramos algebricamente as partes que sobraram (lados do trapézio).
bb
aa
aa
bb
a - ba - b
a - ba - b
Diferença de quadrados:
ba.+ba.−
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Agora se juntarmos os trapézios
formaremos um retângulo de lado (a + b) e (a - b) e se
calcularmos a sua área vamos encontrar
(a2 - b2).
a + ba + b
a -
ba
- b
)).(( baba −+ 2a= = 22 ba −
bb
2b−
22 ba −
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aa
bb
bbaaaa
bb
Considere um cubo de aresta “a + b”, como o da figura ao lado.
O volume de um cubo de arestas ℓ é ℓ3, então o volume do cubo representado pela figura é (a+b)3.
O Cubo da soma de dois termos:
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Vamos separar as partes em que o cubo está dividido:
Um cubo de aresta “a”.Volume: a3.
aa
aaa3
aa
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Três paralelepípedos que têm arestas a, a e b. Cada paralelepípedo tem volume a2b. O volume dos três paralelepípedos é 3a2b.
bb
bb
aa22bbaa
aa22bb
aa22 bb
aa
aa
aa
bb
aa
aa
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Três paralelepípedos que têm arestas a, b e b. Cada paralelepípedo tem volume ab2. O volume dos três paralelepípedos é 3ab2.
abab22
abab22
bb
bb
aa
bb
aa
aabb
bb
abab22
bb
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Um cubo de aresta “b”.Volume: b3.b3bb
bbbb
aa22 bb
aa22bb
a3
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Somando todos esses volumes temos:
abab22
3a 3b+ba23+ 23ab+
Como o volume do todo é igual à soma dos volumes das partes,
temos:
32233 33)( babbaaba +++=+
aa22bb
abab22
abab22
b3
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Esse mesmo resultado pode ser obtido através do seguinte cálculo:
=++=+ 23 )(.)()( bababa
=+++= )2(.)( 22 bababa
Aplicando a propriedade distributiva:Aplicando a propriedade distributiva:
3a 3b+ba2+ 22ab+ba22+ 2ab+
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Portanto:
32233 33)( babbaaba +++=+
1º 1º
TermoTermo
2º Termo2º Termo
Cubo do 1º Termo.Cubo do 1º Termo.
Cubo 2º Termo.Cubo 2º Termo.
3 x ( o quadrado do 1º termo) x (23 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º termo).º termo).
3 x (1º termo) x (3 x (1º termo) x (o quadrado do o quadrado do 22º termo).º termo).
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Esse mesmo resultado pode ser obtido através do seguinte cálculo: =−−=− 23 )(.)()( bababa
=+−−= )2(.)( 22 bababa
Aplicando a propriedade distributiva:Aplicando a propriedade distributiva:
3a 3b−ba2− 22ab+ba22− 2ab+
O Cubo da diferença de dois termos:
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Portanto:
32233 33)( babbaaba −+−=−
1º 1º
TermoTermo
2º Termo2º Termo
Cubo do 1º Termo.Cubo do 1º Termo.
Cubo 2º Termo.Cubo 2º Termo.
3 x ( o quadrado do 1º termo) x (23 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º termo).º termo).
3 x (1º termo) x (3 x (1º termo) x (o quadrado do o quadrado do 22º termo).º termo).
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Hora da revisão:Hora da revisão:
Diferença de quadrados:
Quadrado da soma de dois termos:
Quadrado da diferença de dois termos:
2)( ba + 22 ..2 bbaa ++2)( ba − 22 ..2 bbaa +−
)).(( baba −+
=22 ba −
=
=Cubo da soma de dois termos:
Cubo da diferença de dois termos:32233 33)( babbaaba −+−=−
32233 33)( babbaaba +++=+
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=).( axx + 2x
Fator Comum
Fatoração:
xx
aaxx
2x xa.
+ xa.
Calculando-se a Área:
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Fator ComumFatoração:
=)2.(2 +aa 2.2 a
2a2a
44aa
22aa.4
+ a.4
aa
Colocando o fator em evidência
teremos:
Fazendo o fator comum entre as
áreas encontraremos :2a
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por agrupamento:por agrupamento:
amam
bb
aa
mm nn
)).(( nmba ++ ma.= na. nb.mb.+ + +
Fatoração:
bmbm
anan
bnbn
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Fazendo o fator comum entre os Fazendo o fator comum entre os termos apresentados, volta-se ao início. termos apresentados, volta-se ao início.
)).(( nmba ++
=ma. na.+ + nb.mb. + ).( nma + ).( nmb ++
=
Aplicando o fator comum duplamente:Aplicando o fator comum duplamente:
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