Produtos Notáveis e Fatoração
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Prática de ensino de matemática I
José Ricardo Gomes da Silva Júnior
Produtos Notáveis e Fatoração
No cálculo algébrico, alguns produtos aparecem com muita frequência. Como por exemplo:(x + y) . (x – y)(x + y) . (x + y) ou (x + y)²(x – y) . (x – y) ou (x – y)²Pela importância que representam no cálculo algébrico, esses produtos são chamados produto notáveis.
Produto Notáveis
Vejamos, a seguir, uma experiência que podemos fazer trabalhando com esses produtos quando consideramos, por exemplo, a expressão (10 + 3)², cujo valor podemos determinar.
(10 + 3)² = (13)² = 13.13 = 169Consideremos as seguintes figuras
unidade 10 unidades = dezena 10 dezenas = centena
Tomando essas figuras, vamos representar o número 169, lembrando que169 = 100 + 60 +9 = 1 centena + 6 dezenas + 9 unidade.
Assim, teremos:
100 + 60 + 9Reunindo essas figuras, podemos obter um quadrado da seguinte maneira:
(10 +3)
100(10²)
9 = 3²
(10 +3)10
10
3
10.3
10.3
Observando que cada lado desse quadrado mede (10 + 3) unidades, podemos escrever:
(10 +3)² = 10² +10.3+10.3 + 3²Ou ainda:
(10 +3)² = 10² +2.(10.3) + 3²
Vamos considerar a expressão (x + y).(x + y) ou (x+y)²:
(x + y)² = (x + y).(x + y) = x² + xy + yx + y² = x² +2xy + y²
Geometricamente, podemos encontrar a mesma igualdade.
Quadrado da soma de dois termos
Sua área poderá ser expressa pela soma das áreas das figuras que formam o quadrado.
(x + y)² ou x² + 2xy + y²Portanto:
(x + y)² = x² + 2xy + y²
xy
y²
x²
xy
x
x
y
y
Tanto algebricamente como geometricamente fica demonstrado que:
(x + y)² = x² + 2xy + y²
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
quadrado da soma de 2 termos
quadrado do 1º termo
duas vezes o produto do 1º pelo 2º
quadrado do 2º termo
Vamos representar geometricamente a expressão (x + 3)²
3
3
x
x
Observe que:x² representa a área do quadrado de lado x3² representa a área do quadrado de lado 33x representa a área do retângulo de lado 3 e x(x + 3)² representa a área do quadrado de lado (x+3)
(x +3)² = x² + 2.(3x) + 3²
Represente geometricamente:
1. (x + 2)²
2. (x + 2).(x + 3)
Vamos considerar a expressão (x – y). (x – y) ou(x – y)²:
(x – y)² = (x – y).(x – y) = x² - xy – xy +y² = x² - 2xy + y²Daí, temos a seguinte igualdade:
Geometricamente, podemos encontrar a mesma igualdade.
Quadrado da diferença de dois termos
(x – y)² = x² - 2xy + y²
Dados dois segmentos, de medidas x e y, com x > y. usando os dois segmentos, podemos construir um quadrado.
O quadrado de lado (x – y) tem sua área expressa por (x – y)² oux² - y(x – y) – y(x – y) – y² = x² - xy +y² - xy +y² - y² = x² - 2xy + y²
Portanto:(x – y)² = x² - 2xy + y²
y(x – y)
y²y(x – y)
(x – y)²
y
x
(x – y)
Tanto algebricamente como geometricamente fica demonstrado que:
(x - y)² = x² - 2xy + y²
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
quadrado da diferença de 2 termos
quadrado do 1º termo
duas vezes o produto do 1º pelo 2º
quadrado do 2º termo
Considere a expressão (x + y).(x – y):
(x + y).(x – y) = x² -xy +xy – y² = x² - y²
Daí, temos a seguinte igualdade:
(x + y).(x – y) = x² - y²
Geometricamente, podemos obter a mesma igualdade.
Produto da soma pela diferença de dois termos
Dado dois segmentos de medidas x e y, façamos um retângulo de lados (x +y) e (x – y).
(x – y).(x+y)
(x + y)
(x - y)
x y
(x + y).(x – y) = x² - y²
Como as áreas de ambas as figuras são iguais, podemos escrever a igualdade como:
(x² - y²)
y
y
x -y
x - y
x
Tanto algebricamente como geometricamente fica demonstrado que:
(x + y) . (x - y) = x² - y²
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
Soma dos termos
quadrado do 1º termo
Diferença dos termos
quadrado do 2º termo
Resolva:
1. (x – 5)²
2. (x – 3)²
3. (x – 2).(x + 2)
4. João tinha um terreno de área x² metros², um certo dia houve uma redução de 4 metros no tanto no lado direito quanto na parte inferior do terreno, fazendo com que a área do terreno passasse a ser 144 m². determine o valor da área do terreno antes da redução.
Considere o número 90. utilizando a multiplicação, podemos escrever esse número de varias maneiras.
90 = 2.45 = 3.30 = 5.18 = 6.15 = 9.10 = 2.3³.5
Tomando como base esses conhecimentos vamos considerar a figura abaixo:
Fatoração
Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais fatores
1 2
ba
c
ac + bc = c.(a + b)
Fatorar um polinômio, quando possível, significa escrever esse polinômio como uma multiplicação de
dois ou mais polinômios.
área do quadrado ABCD + área do retângulo CEFD = área do retângulo ABEF
ou seja, x² + x.y = x.(x + y)Notamos que x é um fator que aparece em todos os termos do polinômio e foi colocado, como fator comum, em evidência.
Fatoração pela colocação de um fator em evidência
A D F
ECB
x
x y
Quando todos os termos de um polinômio têm um fator em comum, podemos colocá-lo em evidência. A
forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que se obtém dividido cada termo do
polinômio dado pelo fator comum.
Observe as três figuras seguintes:
Como as três figuras têm a mesma área , podemos escrever: ax + bx + ay + by = x.(a + b) + y.(a + b) = (a + b).(x + y)
Fatoração por agrupamento
x.( a+b)
y. (a+b)ay
bx
by
ax
y
x
a b
y
x
a + b a + b
x+ y
Polinômio Forma fatorada do polinômio
Vejamos como podemos fazer algebricamente para escrever o polinômio ax + bx + ay + by na forma fatorada.
ax + bx + ay + by agrupamos os termos que possuem termos semelhantes.
x.(a + b) + y.( a + b) em cada grupo colocamos os fatores comuns em evidência.
(x + y).(a + b) colocamos, novamente, em evidência o fator comum
Prática de ensino de matemática I
José Ricardo Gomes da Silva Júnior
Produtos Notáveis e Fatoração