8/18/2019 presentasi relasi
1/36
Relasi Part IIAtika Kautsar Ilaf
Dwiki Raynaldo E
Hudi Javariawan
Mutia Sayyidah
S. Abdurrahan
8/18/2019 presentasi relasi
2/36
Jenis-Jenis Relasi
Misalkan R adalah suatu relasi !adahi!unan A. R disebut relasi yan"
• Re#eksi$
• Sietris
• %ransiti$
• Irre#eksi$
• Asietris
• Antisietris
8/18/2019 presentasi relasi
3/36
Petun'uk(ntuk en"etahui 'enis)'enis relasi dala bentuk"ra$* !etun'uknya +
• Jika relasi refeksi * aka ada loop !ada tiaptitik . Sedan"kan irrefeksi semua titiknyatidak memiliki loop. Jika tidak keduanya aka
disebut relasi tidak re#eksi$ dan tidak irre#eksi$ • Jika relasi simetris* aka tia! garis yan"
menghubungkan 2 titik eru!akan "aris dalam 2 arah. Sedan"kan asimetris tia! garis
ya" menghubungkan 2 titik eru!akan "arisdalam 1 arah. Jika tidak keduanya aka disebutrelasi tidak sietris dan tidak asietris
• Jika relasi transiti * aka eiliki si$at* 'ika a
berhubun"an den"an b* b berhubun"an den"an,* aka a berhubun"an den"an ,
8/18/2019 presentasi relasi
4/36
-ontoh
Misal A/0*1*2*34. Relasi R* S* dan %didefnisikan !ada hi!unan A seba"ai berikut
• R/50*06*50*16*50*36*51*06*51*16*52*26*53*06*53*364
• S/50*06*50*26*50*36*52*364
• %/50*16*52*364
Manakah diantara relasi)relasi tersebut bersi$at
re#eksi$* sietris* dan transiti$7
8/18/2019 presentasi relasi
5/36
Relasi R
• Re#eksi$ iya
• Sietris iya
• %ransiti$ tidakMetode !ebuktian +
isal +
ada an""ota R yan" berbentuk
x R y dan x R z 5se!erti 50*06dan 50*166 sehin""a !reis !benar* teta!i tidak ada an""otaR yan" berbentuk x R z . Karena!reis 8 salah akakesi!ulannya salah* sehin""a
relasi tersebut tidak transiti$
R/50*06*50*16*50*36*51*06* 51*16*52*26*53*06*53*364
8/18/2019 presentasi relasi
6/36
Relasi S
S/50*06*50*26*50*36*52*364
• Re#eksi$ tidak
• Sietris tidak
• %ransiti$ iyaMetode !ebuktian +
isal +
ada an""ota R yan" berbentuk x R y dan x R z 5se!erti 50*06dan 50*266 sehin""a !reis !
benar* dan ada an""ota R yan"berbentuk x R z 5se!erti 50*266aka !reis 8 benar. Karena!reis ! dan 8 benar akakesi!ulannya benar* sehin""arelasi tersebut transiti$
0 1
23
8/18/2019 presentasi relasi
7/36
Relasi %
• %/50*16*52*364 • Re#eksi$ tidak• Sietris tidak
• %ransiti$ Metode !ebuktian +
isal +
Karena tidak ada an""ota Ryan" berbentuk x R y dan x R
z aka !reis ! salah* dantidak ada an""ota R yan"berbentuk x R z aka !reis8 benar. Karena !reis ! * 8salah aka kesi!ulannyabenar* sehin""a relasitersebut transiti$
0 1
23
8/18/2019 presentasi relasi
8/36
-ontoh
Misal A /Mahasiswa !eserta kuliah Matdis4
Suatu relasi R didefnisikan !ada A den"anaturan berikut +
A!akah R bersi$at re#eksi$7 Sietris7 %ransiti$7
•
8/18/2019 presentasi relasi
9/36
Jawab
• R re#eksi$ berarti bahwa setia! ahasiswa !esertakuliah Matdis lebih tua dari dirinya sendiri )9 salah*sehin""a R tersebut tidak re#eksi$
• R sietris berarti bahwa 'ika ahasiswa : lebih tua
dari ahasiswa y 5 x R y 6 aka ahasiswa y lebihtua dari ahasiswa : 5 y R x 6 )9 salah * karena 'ikaahasiswa : lebih tua dari y aka ahasiswa ylebih uda dari ahasiswa :* sehin""a R tersebuttidak sietris
• R transiti$ berarti bahwa 'ika ahasiswa : lebih tuadari ahasiswa y (x R y 6, ahasiswa y lebih tua dariahasiswa ; (y R z 6, aka ahasiswa : lebih tuadari ahasiswa ; 5 x R z 6* sehin""a relasi R tersebuttransiti$
8/18/2019 presentasi relasi
10/36
Relasi Ekuivalensi• Salah satu alat yan" di!akai dala !roses
abstraksi* yaitu eniadakan !erbedaan)!erbedaan tidak relevan yan" ter'adi danen"abil si$at !entin" yan" dibutuhkan.
• 2 ob'ek dikatakan ekuivalen a!abila!erbedaan diantara keduanya tidakdi!ersoalkan. -ontoh !ebayaran di kasir
• Ekuivalensi ter"antun" konteks. -ontoh
!enyi!anan uan" dala do!et.• Ekuivalensi da!at diartikan 'u"a seba"ai
,ara eba"i sesuatu en'adi bebera!akelas yan" berbeda.
8/18/2019 presentasi relasi
11/36
•
8/18/2019 presentasi relasi
12/36
-ontoh
Misal A/0*1*2*3*=4. Relasi R !adadidefnisikan sbb>
R/50*06*50*=6*51*16*51*36*52*265=*0653*36*53*16*5=*=64
%un'ukan R relasi ekuivalensi dan ,arilah seuakelasnya.
8/18/2019 presentasi relasi
13/36
Jawab
• Akan ditun'ukkan bahwa R eru!akanekuivalensi.
a. Re#eksi$ 9R re#eksi$ karena seuaeleen dala A berelasi den"an dirinyasendiri* yan" ditun'ukkan den"an adanyaloo! !ada setia! eleen tersebut.
b. Sietris9%a!ak bahwa seua "arisyan" ehubun"kan 2 titik berbeda selalu
ber!asan"an 5isalnya 0 dan => 1 dan 36,. %ransiti$9Den"an elihat !ada seua
keun"kinan dala R* a!abila : R y dany R ; 55:*;6 an""ota R.
8/18/2019 presentasi relasi
14/36
• ?0@ /: A B : R 04 /0*=4
• ?1@ /: A B : R 14 /1*34
• ?2@ /: A B : R 04 /24
•
?3@ /: A B : R 04 /1*34• ?=@ /: A B : R 04 /0*=4
%erlihat bahwa ?0@ ?=@ dan ?1@ ?3@sehin""a kelas)kelas ekuivalen yan" berbeda
dala R adalah /0*=4*/1*34 dan /24. Dilihatdari "ra$nya* kelas ekuivalen eru!akanba"ian ba"ian yan" ter!isah.
8/18/2019 presentasi relasi
15/36
-ontoh
Misal A/a*b*,*d4. Relasi R !ada didefnisikansbb>
R/5a*a6*5a*d6*5a*,6*5,*a6*5d*a65,*,6*5d*d6*5b*b64
%entukan a!akah relasi R tersebut eru!akanrelasi ekuivalensiC
8/18/2019 presentasi relasi
16/36
Jawab
• Re#eksi$9ta!ak bahwa ada loo! !adasetia! titik* 'adi R re#eksi$.
• Sietris9ta!ak bahwa "arisyan"ehubun"kan 2 titik berbeda selalu dala 2arah* 'adi R sietris.
• %ransiti$ 9ada "aris dari , ke a dan a ke d. 'ika R transiti$* aka harus ada "aris dari , ked* teta!i tidak ada "aris dari , ke d* aka R
tidak transiti$.
8/18/2019 presentasi relasi
17/36
Tutupan (Closure
• Kadan" suatu relasi R diko!osisikan den"an
dirinya sendiri* dan dilakukan berkali)kali.• Rk relasi R diko!osisikan den"an dirinya
sendiri sebanyak k kali.
R1 R dan Rk Rk)1 R* untuk k 1
Kadan" suatu relasi tidak transiti$* untukebuat transiti$
harus dilakukan !enabahan an""ota)an""otatertentu (tutupan
Transiti ! R " Tutupan transiti refeksi (R#* di!eroleh
den"an ,ara
en""abun"kan tutu!an transiti$ den"an
seua eleen yan"
8/18/2019 presentasi relasi
18/36
1.Misalkan A/a*b*,*d4 dandidefnisikan seba"ai
R /5a*b6*5b*,65,*d64
-arilah tutu!an transiti$ dan tutu!an transiti$re#eksi$nya
-ontoh
AxA R ⊆
8/18/2019 presentasi relasi
19/36
Jawab
R /5a*b6*5b*,65,*d64
R2 /5a*,6*5b*d64
R3 R2.R /5a*d64
R=
/5 64 Jadi Rk / 4 untuk k9 3
Maka RF R(R2(R3(G/5a*b6*5b*,6*5,*d6*5a*,6*
5b*d6* 5a*d64
RH/5a*b6*5b*,6*5,*d6*5a*,6*5b*d6* 5a*d6*5a*a6*5b*b6*5,*,6*5d*d64
8/18/2019 presentasi relasi
20/36
-ontoh
Misal A/a*b*,*d*e4. Relasididefnisikan sbb
R/5a*a6*5a*b6*5b*,6*5,*d6*5,*e6*5d*e64
-arilah tutu!an transiti$ se,ara lan"sun" danelalui "ra$
AxA R ⊆
8/18/2019 presentasi relasi
21/36
Jawab
Se,ara lan"sun"
R /5a*a6*5a*b6*5b*,65,*d6*5,*e6*5d*e64
R2 /5a*a6*5a*b6*5a*,6*5b*d6*5a*e6*5b*e64
R3
/5a*a6*5a*b6*5a*,6*5a*d6*5a*e6*5b*e64R= R2.R /5a*a6*5a*b6*5a*,6*5a*d6*5a*e6*4
RI R2.R /5a*a6*5a*b6*5a*,6*5a*d6*5a*e6*4
RFR(R2(R3(G/5a*a6*5a*b6*5b*,65,*d6*5,*e6*
5d*e6*5a*,6*5b*d6*5b*e6*5a*d6*5a*e64
8/18/2019 presentasi relasi
22/36
Misal R relasi biner yan" didefnisikan !adahi!unan A.
R relasi !artial order 'ika dan hanya 'ika Rre#eksi$*
antisietris dan transiti$. Sibol + .
Hi!unan A beserta relasi !artial order disebut !artial ordet
set 5!oset6
-ontoh
Misalkan relasi BL adalah relasi !eba"i !adahi!unan
bilan"an bulat !ositi$ A.
5aBb berarti adalah $aktor dari b atau bkeli!atan dari a6
$artial %rder &et dan Total %rder
( ) baaRb Aba |, ⇔∈∀
8/18/2019 presentasi relasi
23/36
-ontoh
Misal A/2*3*N*O4 dan adalah relasieba"iL !ada A* aka /52*26*52*N6*52*O6*53*36*53*N6*5N*N6*5O*O64
%entukan a!akah relasi R tersebut eru!akanrelasi !artial orderC
8/18/2019 presentasi relasi
24/36
Jawab
• Akan ditun'ukkan bahwa R eru!akanekuivalensi.
a. Re#eksi$ 9R re#eksi$ karena seuaeleen dala A berelasi den"an dirinyasendiri* yan" ditun'ukkan den"an adanyaloo! !ada setia! eleen tersebut.
b. Antisietris9 'ika aRb dan bRa akaab
,. %ransiti$9Den"an elihat !ada seuakeun"kinan dala R* a!abila : R y dany R ; 55:*;6 an""ota R.
8/18/2019 presentasi relasi
25/36
'iagram asse
Perhatikan relasi BL !ada hi!unan
A/1*2*3**1O4.Qabar "ra$ 53N26.
Qra$ relasi !artial order selalu euat loo! !adasetia!
titiknya dan euat "aris yan" bisa di,a!ai lewatsi$at transiti$.
Qra$ yan" dihasilkan ruit. Ada "ra$ yan" lebihsederhana
dia"ra Hasse-ara ebuat dia"ra Hasse.
1. Mulai den"an "ra$ berarah relasi diana seua!anah enu'u ke te!at yan" lebih atas
2. Hilan"kan loo! !ada setia! titik
8/18/2019 presentasi relasi
26/36
-ontoh
Misalkan A/a*b*,4 dan P5A6 adalah hi!unankuasa dari
hi!unan A. Perhatikan relasi hi!unanba"ian5 6 yan"
didefnisikan sbb+
uatlah dia"ra Hassenya.
⊆
( ) ( )( )V xU x xV U A P V U ∈⇒∈∀⇔⊆∈∀
)(,
8/18/2019 presentasi relasi
27/36
Dia"ra Hasse
Dala relasi !artial order* 2 buah eleen un"kinberelasi
5da!at dibandin"kanko!arabel6 un"kin 'u"a tidakberelasi
5tidak da!at dibandin"kannon)ko!arabel6.
Jika seua eleen dala relasi !artial order berelasi total
order.
Misalkan 5A* 6 adalah !oset.
1. a Є A disebut eleen aksial bila dan hanya bila a
seua eleen yan" ko!arabel den"an a 5daladia"ra Hasse letaknya lebih atas6
2. a Є A disebut eleen terbesar 5greatest 6 dala A biladan hanya bila a seua eleen A
8/18/2019 presentasi relasi
28/36
Dia"ra Hasse
3. a Є A disebut eleen inial bila dan hanya bila a seua eleen yan" ko!arabel den"an a.
=. a Є A disebut eleen terke,il 5least 6 dala A biladan hanya bila a seua eleen A
-ontohMisalkan A/a*b*,*d*e*$*"*h*i4. Relasi !artial order
yan"
didefnisikan !ada hi!unan A di"abarkan dala
dia"raHasse berikut+ 5hal 3NN6
-arilah eleen)eleen aksial* inial* "reatestdan least
8/18/2019 presentasi relasi
29/36
• Perluasan dari konse! aksial* inial*least* dan "reates dari hi!unan)hi!unanba"ian !oset.
Jika a*b dua eleen !oset 5A*6.
• , Є A disebut batas atas dari a dan b 'ikadan hanya 'ika a , dan b ,.
• , Є A disebut batas atas dari a dan b 'ikadan hanya 'ika a , dan b ,.
.
)atti*e
8/18/2019 presentasi relasi
30/36
-ontoh + Perhatikan Poset den"an dia"ra Hassedibawah ini
'
h
k
$
i
"
b , e
a
d
- atas atas dari $ dan "adalah h* i* '* k.
- atas bawah dari $ dan" adalah a.
8/18/2019 presentasi relasi
31/36
atti,e
, Є A disebut batas atas terke,il 5least upperbound(6 dari a dan b 'ika dan hanya 'ika+
, batas atas dari a dan b Jika d batas atas dari a dan b yan" lain* aka ,
d
, Є A disebut batas bawah terbesar 5greatestlower boundQ6Dari a dan b 'ika dan hanya 'ika+
, batas bawah dari a dan b Jika d batas atas dari a dan b yan" lain* akad ,.
Dala suatu !oset* kalau!un ada(Q !asti tun""al.
Suatu !oset disebut atti,e a!abilasetia! eleen dala hi!unannyaeiliki ( dan Q.
8/18/2019 presentasi relasi
32/36
atti,e
-ontoh '
h
k
$
i
"
b , e
a
d
8/18/2019 presentasi relasi
33/36
atihan
1. Misalkan A/1*2*34 dan relasi R ditun'ukkandala atriks dibawah ini. A!akah relasitersebut bersi$at re#eksi$* sietris* dantransiti$7
2. Manakah di yan" antara ke)N 'enis relasiyan" ter!enuhi dala relasi R yan"dinyatakan dala "ra$ "abar dibawah ini7
•
8/18/2019 presentasi relasi
34/36
atihan
3. Manakah di antara relasi !ada /0*1*2*34berikut yan" eru!akan relasi Ekuivalensi7
%entukan syarat relasi Ekuivalensi yan" tidakdi!enuhi !ada relasi yan" bukan relasi
EkuivalensiCa6 /50*06*51*16*52*26*53*364
b6 /50*06*50*26*52*06*52*26*52*36*53*26*53*364
,6 /50*06*51*16*51*26*52*16*52*26*53*364
d6 /50*06*51*16*51*36*52*26*52*36*53*16*53*26*53*364
e6 /50*06*51*16*50*26*51*06*51*16*51*26*52*06*52*26*53*364
8/18/2019 presentasi relasi
35/36
atihan
=. Misalkan A /51*36*52*=6*5)=*)O6*53*6*51*6*53*N64. Didenifsikan relasi biner R !ada Asbb+untuk seua 5a*b6*5,*d6TA* 5a*b6R5,*d6
adb, %entukan a!akah R eru!akan relasiEkuivalensi. Jika ya* ,arilah kelas)kelasekuivalensinyaC
. -arilah tutu!an transiti$ relasi dari /51*16*51*36*52*16*52*36*52*=6*53*26*53*=6*5=*164
N. -arilah tutu!an re#eksi$ dari /51*26*52*36*52*=6*53*164 !ada hi!unan /1*2*3*=4
8/18/2019 presentasi relasi
36/36
Top Related