19

2.4 Relasi dan Fungsi

Relasi dan fungsi adalah pokok dari matematika. Relasi menggambarkan

hubungan sederhana antara dua himpunan. Sedangkan fungsi akan diterangkan pada

bahasan berikutnya, sebagai suatu relasi yang khusus.

Relasi

Hubungan antara beberapa objek atau bilangan dapat dianalisa menggunakan

ide dari teori himpunan. Sebagai contoh, pada himpunan {1, 2, 3, 4}, kita dapat

menyatakan suatu hubungan “ a adalah pembagi b “ dengan mendaftar semua

pasangan berurutan (a,b) untuk setiap hubungan yang sesuai, yaitu {(1,1), (1,2),

(1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (4,4)}. Pada bagian ini kita akan mempelajari tentang

sifat-sifat dari relasi.

Relasi digunakan pada matematika untuk

merepresentasikan suatu hubungan antara dua bilangan

atau objek. Sebagai contoh, ketika kita membilang, “3

kurang dari 7”, “2 faktor dari 6”, dan “segitiga ABC

adalah sebangun dengan segitiga DEF”, kita menyatakan

hubungan antara pasangan bilangan-bilangan ke dalam

dua kasus pertama dan segitita-segitiga sebagai hal

berikutnya. Lebih umum lagi, konsep dari relasi tersebut

dapat diterapkan untuk sebarang himpunan. Suatu

himpunan pasangan berurutan dapat digunakan untuk

menyatakan bahwa pasangan tertentu dari suatu objek

adalah berhubungan. Sebagai contoh, himpunan

{(Hawai, 50), (Alaska, 49), (New Meksiko, 48) daftar

dari Negara bagian baru dari United State dan urutan

menjadi Negara bagian. Relasi tersebut dapat dinyatakan

secara lisan “__________ adalah Negara bagian ke

________ yang bergabung dengan United State” ;

sebagai contoh,”Alaska adalah Negara bagian ke 49 yang

bergabung dengan United state”.

Gambar 2.36

Gambar 2.37

20

Secara diagram untuk menotasikan hubungan melalui dari diagram panah.

Ketika relasi dapat dinyatakan dalam sebuah himpunan tunggal, suatu digram panah

dapat digunakan pada himpunan tersebut dengan dua cara. Sebagai contoh, relasi

“adalah faktor dari” dari himpunan {2, 4, 6, 8} bisa ditampilkan dalam dua cara

yang ekuivalen pada gambar 2.36, menggunakan satu himpunan pada bagian (a)

dan menggandakannya pada bagian (b). Keuntungan menggunakan dua himpunan

dalam suatu digram panah adalah bahwa relasi antara dua himpunan berbeda dapat

digambarkan.

Secara formal, relasi R dari himpunan A ke himpuan B adalah himpunan

bagian dari A x B, Cartesian produk dari A dan B. jika A = B, kita menyebutnya

bahwa R adalah suatu relasi pada A. Pada paragraph sebelumnya, “adalah faktor

dari” himpunan A dan B adalah sama, yaitu himpunan {2, 4, 6, 8}. Relasi terakhir

ini dijelaskan dengan pasangan berurut di bawah ini.

R = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (4,4), (4,8), (6,6), (8,8)}

Perhatikan bahwa R adalah himpunan bagian dari {2, 4, 6, 8} x {2, 4, 6, 8}

Pada masalah suatu relasi R pada himpunan A, dimana R ⊆ A × A, ada tiga

sifat yang digunakan yang memungkinkan adanya suatu relasi.

1. SIFAT REFLEKSIF

Suatu relasi R pada suatu himpuan A dikatakan refleksif jika (a,a) ϵ R

untuk setiap a ϵ A. kita katakan bahwa R refleksif jika setiap anggota di A direlasikan

dengan dirinya sendiri. Secara umum, dalam suatu diagram panah, suatu relasi

dikatakan refleksif jika setiap anggota di A memiliki titik panah ke dirinya sendiri

(gambar 2.38)

Gambar 2.38

21

2. SIFAT SIMETRIK

Suatu relasi R pada suatu himpunan A dikatakan simetrik jika untuk setiap

(a,b) ϵ R, kemudian (b,a) ϵ R juga, dapat dikatakan, jika a direlasikan ke b, maka b

derelasikan a. Dimana R menjadi relasi “ adalah lawan dari “ pada himpunan A = {1,

-1, 2. -2}. Kemudian R = {(1,-1), (-1,1), (2,-2), (-2,2)}, bahwa R mempunyai semua

pasangan berurutan yang mungkin (a,b) dari A × A jika a adalah lawan dari b.

Diagram panah dari relasi ini ditunjukkan pada gambar 2.39.

3. SIFAT TRANSITIF

Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan transitif jika untuk setiap (a,b) ϵ

R dan (b,c) ϵ R, maka (a,c) ϵ R. dengan kata lain, suatu relasi dikatakan trasitif jika

untuk setiap a, b, c di A, jika a terhubung dengan b dan b terhubung dengan c, maka

a terhubung dengan c. bandingkan relasi “ adalah faktor dari “ pada himpunan {2,

4, 6, 8}. Dengan memperhatikan bahwa 2 faktor dari 4, dan 4 faktor dari 8, dan 2

faktor dari 8. Juga 2 faktor dari 4, dan 4 faktor dari 12, dan 2 faktor dari 12.

Permasalahan terakhir untuk pertimbangan, bahwa keterlibatan 2, 6, dan 12 juga

benar. Demikian “adalah faktor dari” adalah relasi transitif pada himpunan {2, 4, 6,

8, 12}. Dalam diagram garis, suatu relasi dikatakan transitif jika ada suatu panah “a

ke b” dan panah “b ke c”, maka juga ada ada suatu panah “a ke c” (gambar 2.40).

Sekarang bandingkan relasi “mempunyai angka yang satuan yang sama”

pada himpunan bilangan {1, 2, 3, …, 40}. Jelas, bahwa setiap bilangan mempunya

angka satuan yang sama dengan dirinya sendiri, maka relasi itu dapat dikatakan

Gambar 2.39

Gambar 2.40

22

refleksif, itu juga simetrik, dan transitif. Relasi pada suatu himpunan yang refleksif,

simetrik, dan juga transitif disebut dengan dengan relasi ekuivalen. Oleh karena itu

relasi “punya angka yang satuan yang sama” adalah suatu relasi ekuivalen pada

himpunan {1, 2, 3, …, 40}. Masih banyak lagi relasi ekuivalen dalam matematika.

Beberapa yang umum adalah “adalah sama dengan” pada himpunan bilangan dan

“adalah kongruen dengan” dan “adalah sebangun dengan” pada himpunan bangun

geometri.

Salah satu sifat penting dari relasi ekuivalen R pada himpunan A adalah

bahwa relasi tersebut membagi suatu bagian dari himpunan A ke dalam himpuanan

yang tidak kosong, pasangan himpunan bagian yang saling lepas (i.e., irisan dari dua

himpunan bagian tersebut ∅). Sebagai contoh, jika bilangan yang berpasangan

dengan bilangan lainnya pada paragraph sebelumnya dikumpulkan ke dalam suatu

himpunan, relasi R pada himpunan {1, 2, 3, …, 40} adalah ditunjukkan dalam

himpunan tidak kosong berikut, pasangan himpunan bagian saling lepas.

{{1, 11, 21, 31,}, {2, 12, 22, 32}, …, {10, 20, 30, 40}}

Semua angggota himpunan yang mempunya angka satuan sama dikumpulkan dalam

kelompok sama.

Secara formal, suatu bagian dari himpunan A adalah suatu himpunan yang tidak

kosong, himpunan bagian- bagian yang saling lepas, dengan gabungannya adalah A.

Himpunan bagian tersebut dikelompokkan dengan relasi “mempunyai angka yang

satuan yang sama” pada suatu himpunan bangun datar yang ditunjukkan dalam

gambar 2.41. catatan, semua persegi dikelompokkan bersama, jika mereka memiliki

“bentuk sama”.

Gambar 2.41

Gambar 2.41

23

Fungsi

Dengan sederhana dapat dikatakan, fungsi adalah suatu relasi yang khusus. Konsep

yang digarisbawahi dari fungsi ditunjukkan pada definisi berikut.

DEFINISI

Suatu fungsi adalah suatu relasi yang memasangkan masing-masing anggota

himpunan pertama dengan suatu anggota himpunan kedua denga suatu cara

sedemikian sehingga tidak ada anggota pada himpunan pertama yang dipasangkan

dengan dua anggota himpunan kedua.

Konsep suatu fungsi adalah menemukan matematis dan masyarakat secara

terus-menerus. Contoh sederhana dalam masyarakat sebagai berikut (1) seseorang

yang dipasangkan dengan nomor keamanannya (2) setiap barang pada suatu toko

yang dipasangkan dengan nomor barcode khusus, dan (3) setiap rumah pada suatu

jalan yang dipasangkan dengan suatu alamat khusus.

Dari contoh-contoh yang kita periksa sebelumnya pada bagian ini, relasi

didefinisikan “ _________ adalah factor dari __________ “ adalah bukan suatu

fungsi karena 2, pada himpunan pertama adalah factor dari banyak bilangan dan oleh

karena itu maka terhubung dengan lebih dari satu pada himpunan kedua. Diagram

panah pada gambar 2.36(b) juga menunjukkan hal ini, karena 2 pada pada himpunan

pertama mempunyai 4 panah darinya.

Ingatlah bahwa urutan adalah daftar nomor, disebut syarat, disusun dalam

urutan, di mana syarat pertama disebut syarat perlu. Sebagai contoh, urutan

bilangan genap berturut-turut disusun dalam urutan naik 2, 4, 6, 8, 10,. . . . Cara lain

untuk menunjukkan urutan ini adalah dengan menggunakan panah:

1 2, 2 4, 3 6, 4 8, 5 10, . . .

Di sini, anak panah menunjuk ke setiap bilangan kelipatannya. Menggunakan

variabel, relasi ini dapat direpresentasikan sebagai n 2n. Tidak hanya relasi yang

dikatakan fungsi, fungsi terbentuk setiap kali setiap perhitungan bilangan mengarah

ke satu dan hanya satu anggota himpunan.

Beberapa barisan khusus dapat diklasifikasikan menurut aturan mereka

bertemu. Barisan 2, 4, 6, 8,. . . , Masing-masing aturan menambah 2 pada anggota

sebelumnya. Jenis barisan tersebut, di mana mempunyai beda yang tetap dengan

24

setiap bilangan, ini disebut barisan aritmatika. Dengan menggunakan variabel, suatu

barisan aritmatika dapat dituliskan sebagai berikut

a, a + d, a + 2d, …

Dimana a adalah syarat perlu dan d adalah penjumlah dengan beda yang teratur.

Bilangan d disebut beda umum dari barisan.

Pada barisan 1, 3, 9, 27,. . . , Masing-masing anggota setelah yang pertama

dapat ditemukan dengan mengalikan anggota sebelumnya dengan 3. Ini adalah

contoh dari barisan geometri. Dengan menggunakan variabel, barisan geometri dapat

dituliskan sebagai berikut

a, ar, ar2, ar

3, …

bilangan r , yang mana berkelipatan untuk setiap anggota secara terurut, disebut

dengan rasio umum barisan. Tabel 2.4 menunjukkan aturan umum barisan

aritmetika dan geometri.

TABEL 2.4

Aturan 1 2 3 4 … N

Barisan

Aritmetika

a a + d a + 2d a + 3d … a + (n-

1)d

…

Barisan

Geometri

a ar ar2 ar

3 … ar

n-1 …

Dengan menggunakan tabel ini, barisan ke-400 dari barisan aritmetik 8, 12, 16 dapat

ditemukan dengan memperhatikan bahwa a = 8 dan d = 4; sehingga barisan ke-

400nya adalah 8 + (400 - 1) 4 = 1604. Barisan ke -10 dari barisan geometri 4, 8, 16,

32,. . . dapat ditemukan dengan memperhatikan bahwa a = 4 dan r = 2, sehingga

barisan ke-10nya adalah 4 . 210-1

= 2048.

CONTOH 2.17 : 1. Tentukan yang mana di antara barisan di bawah ini yang

termasuk barisan aritmetika, geometri, atau bukan keduanya. Kemudian tentukan

beda umum atau rasio yang dapat dipakai untuk menemukan barisan ke-10.

a. 5, 10, 20, 40, 80, …

b. 7, 20, 33, 46, 59, …

c. 2, 3, 6, 18, 108, 1944, …

25

SOLUSI

a. Barisan 5, 10, 20, 40, 80, … dapat ditulis 5, 5.2, 5.22 , 5.2

3 , 5.2

4 , … maka ini

disebut barisan geometri dengan rasio 2. Barisan ke-10 adalah 5.29 = 2560.

b. Pola pengurutan barisan 7, 20, 33, 46, 59, … mempunyai beda umum 13. Maka

ini dinamakan barisan aritmetika, yang mana barisan ke-10nya adalah 7 + 9.(13) =

124

c. Barisan 2, 3, 6, 18, 108, 1944, … terbentuk dengan mengalikan dua barisan

sebelumnya untuk membentuk barisan berikutnya. Contoh, 6 . 18 = 108. Barisan ini

bukan merupakan barisan aritmetika maupun geometri. Dengan menggunakan notasi

eksponen, barisan ini adalah 2, 3, 2 × 3, 2 × 32 , 2

2 × 3

3 , 2

3 × 3

5 , 2

5× 3

8 , 2

8 × 3

13 ,

213

× 321

, 221

× 334

(barisan ke-10).

2. Bilangan persegi panjang adalah bilangan-bilangan yang merepresentasikan suatu

susunan di mana jumlah titik pada sisi yang lebih pendek adalah satu kurangnya

dari jumlah titik pada sisi panjang (Gambar 2.42). Enam angka pertama persegi

panjang adalah 2, 6, 12, 20, 30, dan 42. Panjang sisi yang pendek dari susunan ke-

n adalah n dan sisi yang lebih panjang adalah n + 1. Dengan demikian jumlah

persegi panjang ke-n adalah n (n + 1), atau n2 + n.

3. Gambar 2.43 menampilkan sebuah kubus 3 × 3 × 3 yang terdiri dari tiga lapisan

dari sembilan kubus satuan maka total semuanya ada 27 kubus satuan. Tabel 2.5

menunjukkan beberapa contoh di mana sebuah kubus besar terbentuk dari kubus

satuan. Secara umum, jika ada kubus satuan n kubus satuan sepanjang setiap sisi

kubus besar, kubus besar tersebut terdiri dari batu n3 kubus satuan.

Gambar 2.42 Gambar 2.43

26

TABEL 2.5

Banyak kubus satuan di

sisi

1 2 3 4 5 6 …

Banyak kubus satuan

kubus besar

1 8 27 64 125 216 …

4. Amuba berkembang biak sendiri dengan cara membelah diri menjadi dua

amuba. Tabel 2.6 menunjukkan hubungan antara jumlah pemembelahan dan jumlah

amuba setelah pembelahan itu, dimulai dari satu amuba. Perhatikan bagaimana

jumlah amuba tumbuh pesat. Pertumbuhan pesat seperti yang dijelaskan dalam tabel

ini disebut pertumbuhan eksponensial.

TABEL 2.6

BANYAK

PEMBELAHAN

BANYAK

AMUBA

1 2

2 4

3 8

4 16

… …

… …

… …

n 2n

NOTASI FUNGSI

Suatu fungsi, f, yang memasangkan anggota

himpunan A ke anggota himpunan B ditulis f : A

B. jika a ϵ A, maka notasi fungsi untuk setiap

anggota di B yang tepasangkan dengan a disebut

f(a), baca “f dari a” (gambar 2.44). Bandingkan

bagaimana masing-masing contoh sebelumnya 1

sampai 4 memenuhi definisi fungsi.

Gambar 2.44

27

1. Bilangan genap: memasangkan setiap n dengan dua kali lipatnya, yaitu 2n; dapat

ditulis, f(n) = 2n

2. Bilangan persegi panjang : Jika ada n titik di sisi pendek, terdapat n + 1 titik di

sisi panjang. banyak titik pada persegi panjang ke-n adalah n (n + 1), dapat kita

tulis f (n) = n (n + 1). Jadi f (n) = n (n + 1) adalah fungsi yang hasilnya adalah

bilangan persegi panjang.

3. Kubus : memasangkan setiap n dengan kubus tersebut; yaitu, f(n) = n3.

4. Amuba : memasangkan setiap banyaknya pembelahan n dengan banyaknya am

umuba, 2n. yaitu f(n) = 2

n

CATATAN : Tidak diwajibkan untuk menggunakan f untuk menyatakan fungsi dan

n sebagai variabel dalam f (n). Misalnya, fungsi persegi panjang dapat ditulis r(x) =

x (x + 1) atau R (t) = t (t + 1). Fungsi untuk kubus dapat ditulis C (r) = r3. Artinya,

suatu fungsi dapat diwakili oleh huruf besar atau huruf kecil. Namun, variabelnya

biasanya ditulis dengan huruf kecil.

CONTOH 2.18 : Nyatakan relasi di bawah ini menggunakan notasi fungsi.

a. Biaya naik taksi adalah $ 1,75 ditambah 75 sen per seperempat mil.

b. Ukuran derajat dalam Fahrenheit sebagai fungsi dari derajat Celcius, mengingat

bahwa dalam Fahrenheit itu 32O lebih dari 1,8 kali derajat diukur dalam Celcius.

c. Jumlah berat otot, dalam hal berat badan, mengingat bahwa untuk setiap 5 pon

berat badan mewakili 2 pon otot.

d. Modal sebesar $ 1000 setelah t tahun dengan bunga majemuk 7% pertahun,

diketahui bahwa jumlah tersebut akan menjadi 1,07t kali modal awal.

SOLUSI

a. C(m) = 1,75 + 4m (0,75), di mana m adalah jauh perjalanan dalam mil.

b. F (c) =1.8c + 32, di mana c adalah derajat Celcius

c. M (b) =5

2b Mana b adalah berat badan.

d. P (t) = 1000(1.07t), Di mana t adalah lama waktu menabung dalam tahun.

28

REPRESENTASI DARI FUNGSI

Jika f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, himpunan A

disebut domain dari f dan himpunan B disebut kodomain. Fungsi penggandaan, f (n)

= 2n, dapat didefinisikan untuk mendapatkan himpunan bilangan sebagai domain

dan kodomain. Perhatikan bahwa hanya angka genap yang terdapat dalam kodomain

fungsi tersebut. Himpunan semua elemen di kodomain yang merupakan pasangan

fungsi dari unsur domain disebut daerah hasil (range) fungsi tersebut. Fungsi

menggandakan sebagaimana telah dijelaskan memiliki domain {1, 2, 3,. . },

kodomain {1, 2, 3,. . }, dan daerah hasil {2, 4, 6,. . } (Gambar 2.45). Perhatikan

bahwa range harus menjadi himpunan bagian dari kodomain tersebut. Namun,

kodomain dan range mungkin sama. Sebagai contoh, jika A = {a, e, i, o, u}, B = {1,

2, 3, 4, 5}, dan g fungsi yang memasangkan setiap huruf sesuai urutan abjad A

dengan lima angka, maka g (a) = 1, g (e) = 2, g (i)= 3, g (o)= 4, dan g (u) = 5

(Gambar 2.46). Berikut range g adalah B. Dengan notasi g : A B digunakan untuk

menunjukkan domain, A, dan kodomain, B, dari fungsi g.

Suatu fungsi dapat memasangkan lebih dari satu anggota dari domain ke

anggota yang sama pada kodomain. Misalnya, untuk himpunan A dan B dalam

paragraf sebelumnya, suatu huruf huruf bisa dipasangkan dengan 1 jika berada dalam

paruh pertama dari alfabet dan 2 jika pada paruh kedua. Jadi a, e, dan i akan

dipasangkan dengan 1 sedangkan o dan u akan dipasangkan dengan 2.

FUNGSI SEBAGAI DIGRAM PANAH

Karena fungsi adalah contoh dari relasi, maka fungsi dapat direpresentasikan

sebagai diagram panah ketika himpunan A dan B adalah himpunan terbatas dengan

sedikit anggota. Diagram panah yang berhubungan dengan fungsi pada Gambar 2.46

Gambar 2.45

Gambar 2.46

29

ini ditunjukkan pada Gambar 2.47. Untuk menjadi suatu fungsi, tepat satu panah

yang bisa keluar dari setiap anggota di domain dan mengarah ke salah satu anggota

pada kodomain. Namun, tidak semua elemen pada kodomain yang bisa dikenai

panah. Misalnya, dalam fungsi yang ditampilkan pada Gambar 2.46, jika B diubah

menjadi {1, 2, 3, 4, 5,. . },. bilangan 6, 7, 8,. . . . tidak akan terkena panah. Di sini

kodomain dari fungsi akan menjadi himpunan bilangan dan rangenya adalah

himpunan {1, 2, 3, 4, 5}.

FUNGSI SEBAGAI TABEL

Fungsi pada Gambar 2.46, di mana B adalah himpunan {1, 2, 3, 4, 5}, juga

dapat dinyatakan melalui tabel (Gambar 2.48). Perhatikan bagaimana ketika

seseorang menyatakan fungsi dengan cara tersebut, itu tersirat bahwa kodomain dan

range adalah sama, yaitu B.

FUNGSI SEBAGAI MESIN

Suatu cara dinamis untuk memvisualisasikan

konsep fungsi adalah melalui penggunaan mesin.

"Input"-nya adalah anggota domain dan "output"-nya

adalah anggota range. Mesin fungsi dalam Gambar

2.49 membutuhkan bilangan untuk dimasukkan ke

dalam mesin, bagian yang berbentuk segiempat, dan

kemudian outputnya juga pada bagian tersebut.

Misalnya, jika 3 adalah input, maka output yang

dihasilkan adalah 9. Dalam kasus ini, 3 merupakan

anggota domain sedangkan 9 merupakan anggota

range.

Gambar 2.47 Gambar 2.48

Gambar 2.49

Gambar 2.50

30

FUNGSI SEBAGAI RUMUS

Sebagai contoh, rumus untuk menentukan luas lingkaran adalah L = πr2 ,

dimana r adalah jari-jari, kita terkadang menuliskan rumus ini dengan L(r) = πr2.

Biasanya rumus ini digunakan untuk menentukan suatu fungsi ketika domainnya

beranggota tak hingga banyak. Pada rumus L(r) = πr2, kita punya domain dari fungsi

luas tersebut adalah banyak bilangan yang digunakan untuk menghitung luasnya,

tidak hanya untuk bilangan bulat: A(1) = π, A(2) = 4π, A(0,5) = (0,5)2π = 0,25π, dan

sebagainya.

FUNGSI SEBAGAI TRANSFORMASI GEOMETRI

Bagian tertentu dari geometri dapat dipelajari dengan lebih mudah melalui

fungsi. Sebagai contoh, bangun geometri dapat digeser, diputar, dicerminkan untuk

menghasilkan bentuk lain (gambar 2.51). Seperti itu transformasi dapat dipandang

sebagai suatu fungsi yang memasangkan masing-masing titik pada suatu bidang ke

titik tertentu pada bidang tersebut. Transformasi geometri tentangt bidang akan

dipelajari pada BAB 16.

Gambar 2.51

DIGESER DIPUTAR DICERMINKAN