Relasi & Fungsi

22

Click here to load reader

description

Relasi dan Fungsi

Transcript of Relasi & Fungsi

Page 1: Relasi & Fungsi

RELASI

Page 2: Relasi & Fungsi

PENGERTIAN RELASI

Misalkan A dan B suatu himpunan. Jika anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. Ditulis R : A→B.

Misalnya

Lebih dari

Setengah dari

Faktor dari

Kurang dari

dll

Page 3: Relasi & Fungsi

CONTOH

Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 } . Jika himpunan A ke himpunan B dinyatakan relasi “ kurang dari “ , maka lebih jelasnya dapat ditunjukkan pada gambar di bawah :

1 .2 .3 .4 .

.1 .2 .3

BAKurang dari

Diagram disamping dinamakan diagram panah . Arah relasi ditunjukkan dengan anak panah dan nama relasinya adalah

“ kurang dari “

Page 4: Relasi & Fungsi

MENYATAKAN RELASI

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara .

DIAGRAM PANAH

DIAGRAM CARTESIUS

HIMPUNAN PASANGAN BERURUTAN

Page 5: Relasi & Fungsi

DIAGRAM PANAHDiketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram panah yang menyatakan relasi dari P dan Q dengan hubungan “Faktor Dari” .

. 2

. 4

. 6

. 8

1 .

2 .

3 .

4 .

QPFaktor dari

Jawab:

Page 6: Relasi & Fungsi

Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan B = { 1, 2, 3, … , 10 } .Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : kuadrat dari.

HIMPUNAN PASANGAN BERURUTAN

R={ (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) }Jawab:

Page 7: Relasi & Fungsi

DIAGRAM CARTESIUSDiketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B = { 1, 2, 3, …, 10 }.Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : Satu lebihnya dari .

1

1 2 3 4 5 6 7 98 100

23456789

10H

imp

un

an

B

Himpunan A

Jawab:

Page 8: Relasi & Fungsi

ISTILAH-ISTILAH DALAM RELASI

Daerah asal atau biasa disebut dengan domain

suatu relasi adalah himpunan tidak kosong dimana sebuah relasi

didefinisikan.

Daerah kawan atau biasa disebut dengan kodomain suatu relasi

adalahhimpunan tidak kosong dimana anggota domain

memiliki pasangan sesuai relasi

yang didefinisikan.

Daerah hasil atau biasa disebut dengan

range suatu relasi adalah sebuah

himpunan bagian dari daerah kawan

(kodomain) yang anggotanya adalahpasangan anggota

domain yang memenuhi relasi

yang didefinisikan.

Page 9: Relasi & Fungsi

SIFAT-SIFAT RELASI

1. Sifat ReflektifMisalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P.

Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk setiap p ∈ P berlaku (p, p) ∈ R.

Contoh: Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan Pdengan hasil relasi adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}.Relasi R tersebut bersifat reflektif sebab setiap anggota himpunan P berpasanganatau berelasi dengan dirinya sendiri.

Page 10: Relasi & Fungsi

SIFAT-SIFAT RELASI

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (x, y) ∈ R berlaku (y, x) ∈ R.

2. Sifat Simetris

Contoh :

Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R = {(1,1) , (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat simetris sebab untuk setiap (x,y) ∈ R, berlaku (y,x) ∈ R.

Page 11: Relasi & Fungsi

SIFAT-SIFAT RELASI

3. Sifat TransitifMisalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R

bersifat transitif, apabila untuk setiap (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈ R.

Contoh:

Diberikan himpuan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat transitif sebab (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈ R.

Page 12: Relasi & Fungsi

SIFAT-SIFAT RELASI

4. Sifat AntisimetrisMisalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi

R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) ∈ R dan (y,x) ∈ R berlaku x = y.

Diberikan himpunan C = {2, 4, 5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = { (a,b) ∈ a kelipatan b, a,b ∈ C} sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris.

Contoh:

Page 13: Relasi & Fungsi

SIFAT-SIFAT RELASI

5. Sifat EkuivalensiMisalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R

disebut relasi ekivalensi jika dan hanya jika relasi R memenuhi sifat refleksif, simetris, dan transitif.

Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh karena itu relasi R merupakan relasi ekivalensi.

Contoh:

Page 14: Relasi & Fungsi

FUNGSI

Page 15: Relasi & Fungsi

Sebuah fungsi f : x y adalah suatu aturan yang memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan (daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi tersebut .

PENGERTIAN FUNGSI

Page 16: Relasi & Fungsi

. 1

. 2

. 3

. 4

. 5

0 .

2 .

4 .

6 .

BA

Daerah kawan/kodomain

Daerah asal/Domain

Daerah hasil/Range

CONTOH

Page 17: Relasi & Fungsi

Dari contoh tersebut dapat disimpulkan bahwa :

1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan { 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).

Page 18: Relasi & Fungsi

NOTASI FUNGSI

Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan huruf kecil f , g , h , dan sebagainya.

Misal : f : x y dibaca f memetakkan x ke y ,maka y = f(x) dibaca sama dengan f

dari x digunakan untuk menunjukkan bahwa y

adalah fungsi dari x .

Page 19: Relasi & Fungsi

MENYATAKAN FUNGSI

Sama halnya dengan Relasi, suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan 3 cara. yaitu : Diagram Panah, Diagram Cartesius, dan Himpunan Pasangan Berurutan.

Page 20: Relasi & Fungsi

CONTOHDiketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 } a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan oleh : a

1 , i 2 , u 1 , e 4 , o 2 . b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius c . Nyatakan pula f sebagai himpunan pasangan berurutan . . 1

. 2

. 3

. 4

a .

i .

u .

e .

o .

BA

a.

Jawab:

Diagram panah

Page 21: Relasi & Fungsi

b.

1

a i u e o0

2

34

5

6

7

8

9

10

Diagram cartesius

Page 22: Relasi & Fungsi

{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }

c.Himpunan pasangan berurutan