Bl. 01
Blatt
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Datum Name
Quadratur des Kreises
21.10.17Annäherung an π durchSinus/Tangens/goldener Schnitt
N°_PA
Kontr.
- -
Material:Kreise und Linien...
Oberflächenbehandlung: lackiertMaßstab 1: 5 (DIN A2)
KAG
[π/10] ~
314
,159
2217
[π / 4] ~ 785,3980542
[π /
4] ~
785,39
8054
2Quadratur des Kreisesauf 6 Kommastellen genau:
d =
2 x
r =
1000
Konstruktion mit Zirkel und Lineal.Zur Anwendung kommen:Sinus und Tangenswie die Teilung im goldenen Schnitt Phi().
Pi() = 3,141592653589790
Mathematisch ermittelt: 314,159221665064
Wert / 100 3,14159221665064
Abweichung zu Pi() 0,00000043693915
Teilung imgoldenen SchnittPhi()-1 = 0,6168033988749895..
500 = r
Pi() = 3,141592653589790
Phi() - 1 = 0,6180339887498950
graphisch ermitteltesQuadrat mit annäherndselben Flächeninhaltals der Basiskreis:Genauigkeit ~ 6 Dezimalstellen.
36°
Tan(36
°)
Sin(36
°)
Detail-1
500
61,80339887 %
100%
Detail-1:Teilung im goldenen Schnitt
π / 4 = 0,78539816339745
Diese recht einfache und gute Annäherung an π ist die Basisfür weiterfolgende Verbesserungen!
Der Grundstein für solche Annäherungen erfolgte in der Erkenntnis,dass die Innkreis-Umkreis Annäherung um "X" Potenzen genauer wird,wenn nicht mit dem Mittelwert von Tan - (Tan-Sin)/2 gerechnet wird,sondern mit annähernd 1/3 und noch genauer, wenn auch der goldene Schnittmiteinbezogen wird.Ein n-Eck mit 480 Ecken kommt konventionell gerechnet Tan - (Tan-Sin)/2 aufeine Genauigkeit von nur 3 Dezimalstellen.Durch Einsatz von 1/3 Teilung und den goldenen Schnitt bekommt manfür ein n-Eck mit 480 Ecken eine Genauigkeit von >=14 Dezimalstellen !!
Siehe hierzu später weitere Konstruktionen!
Bl. 02
Blatt
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Datum Name
Quadratur des Kreises
21.10.17Annäherung an π durchSinus/Tangens/Fibonacci
N°_PA
Kontr.
- -
Material:Kreise und Linien...
Oberflächenbehandlung: lackiertMaßstab 1: 5 (DIN A2)
KAG
89
144
233
377
500 = r[π
/10] ~
314
,159
2654
[π / 4] ~ 785,3981634
[π /
4] ~
785,39
8163
4
26 74
100
Quadratur des Kreisesauf 10 Kommastellen genau,
gerundetauf 11 Dezimalstellen!!π ~ 3,14159265358
d =
2 x
r =
1000
Pi() = 3,141592653589790
Mathematisch ermittelt: 314,159265357522
Wert / 100 3,14159265357522
Abweichung zu Pi() 0,00000000001457
Konstruktion mit Zirkel und Lineal.Zur Anwendung kommen:Sinus und Tangenswie zweiFibonacci-Brüche: [89/144] und [233/377]mit dem Faktor 26% zu 74% gesteckt.
Pi() = 3,141592653589790
Phi() - 1 = 0,6180339887498950
Fibonacci-Reihe
3 0,60000000000000
5 0,62500000000000
8 0,61538461538462
13 0,61904761904762
21 0,61764705882353
34 0,61818181818182
55 0,61797752808989
89 0,61805555555556
144 0,61802575107296
233 0,61803713527852
377 0,61803278688525
Detail-1
Detail-3
Detail-2
36°
Tan
(36°
)
Sin(36°
)
graphisch ermitteltesQuadrat mit annäherndselben Flächeninhaltals der Basiskreis:Genauigkeit: ~ 10 Dezimalstellen.
graphisch ermitteltesQuadrat mit annäherndselben Flächeninhaltals der Basiskreis:Genauigkeit: ~ 10 Dezimalstellen.
89
144
26% 74%
233
377
Detail-1:Teilung oben imFibonacci-Verhältnis:89 / 144.
Detail-2:Teilung unten imFibonacci-Verhältnis:233 / 377.
Detail-3:Streckung derFibonacci-Teilungenim Verhältnis 26 / 74.
500
π / 4 = 0,78539816339745
Bl. 03
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Datum Name
Quadratur des Kreises
29.10.17Annäherung an π durchSinus/Tangens/Fibonacci
N°_PA
Kontr.
- -
Material:Kreise und Linien...
Oberflächenbehandlung: lackiertMaßstab 1: 8 (DIN A2)
KAG
π / 4 = 0,78539816339745
(D x
Pi)
/ 16
~
314,159
2604
α = 22,50°
r = 800
89
55
27,5 = = 27,5
= 1/3 = 1/3 = 1/3
SinW =
Sin(α
) x
r =
306,14
6745
9
Tan
W =
Tan
(α) x
r =
331,37
08499
(D x Pi) / 4~ 1256,6370416 ~ D x 0,785398151 ~ 0,999999984 %
Quadratur des Kreisesauf 7 Kommastellen genau,
π ~ 3,14159260402Basis: 8-Eck.
graphisch ermitteltesQuadrat mit annäherndselben Flächeninhaltals der Basiskreis:Genauigkeit: ~ 7 Dezimalstellen.ca. 1,5 dm² auf 1 km².
Konstruktion mit Zirkel und Lineal.Zur Anwendung kommen:Sinus und Tangenswie ein Fibonacci-Bruch: [55/89] für n-Eck = 8bzw. [3/5] für n-Eck >=12.
a = 60,8963740
3 x T = 1581,1837047
T = 527,0612349
h =
8,0125
145
β = 1,8059451°
t = 254,1224698
b = 18,8162953
HDiff
=
25,224
1040
Fibonacci - Bruch
Für 8-Eck gilt:
Für n-Eck >=12 gilt:
Fibonacci - Bruch
Nach herkömmlicherAnnäherung von Pi() durch die Innkreis-Umkreis-Methode= Mittelwert vom Sin- und Tan-Wert,kommt ein n-Eck von 480 Eckenlediglich auf eine Genauigkeit von:3,141603... und somit lediglich auf 3 Kommastellen Genauigkeit.
Diese Methode ist somit um POTENZEN genauerund könnte auch Einzug in Lehrbücher finden.
Hier ist noch nicht die Grenze erreicht !!Durch Modifikation und Zerlegendes Teilverhältnisses (b / a) inAnwendug von Fibonacci-Brüchenkann bereits bei einem n-Eck von 90 Eckeneine Genauigkeit von >=14 Dezimalstellen erreicht werden !!
Beispiele folgen !!
Ein n-Eck von 90 Ecken wird mit einem Winkel von 2° gezeichnet.Im entsprechenden Maßstab können solche Konstruktionensomit in einem halbwegs tauglichen CADgraphisch auf zumindest 10 Dezimalstellen ermittelt werden!
Zudem ist durch solche Konstruktionender Zusammenhang zw. Pi() / Phi undder Fibonacci-Reihe eindeutig aufgezeigtund visuell darstellbar!
Die Formeln können hierzu leicht hergeleitet werden!!
Erreichbare Genauigkeit:
n-Eck: Pi()-Konstr. Abw. zu Pi() gerundet Anz. Dezi:
40 3,14159266 0,00000001 7
60 3,1415926542 0,000000001 8
90 3,1415926536 0,0000000001 9
120 3,1415926536 0,00000000001 10
180 3,14159265359 0,000000000001 11
220 3,141592653590 0,0000000000003 12
270 3,141592653590 0,0000000000001 12
300 3,14159265359 0,00000000000004 13
360 3,141592653590 0,00000000000001 13
400 3,141592653590 0,00000000000001 13
480 3,141592653589790 0,000000000000000 14
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