1
Physics of Fluids 4
Viscous flows
Bernoulli (2) Sound velocity
2
Inhoud
Navier-Stokes vergelijking
Bernoulli
Analytische oplossing van een visceuze stroming
Geluidssnelheid
3
Massabehoud
Impulsbehoud: Navier-Stokes vergelijking
vt
0
verandering in de tijd
letterlijk stroming(in – uit)
vvv p v g
t
productie= krachten
4
Impulsbehoud: Navier-Stokes vergelijking
massa instroom m linkervlak in tijdsinterval t:
m (x,y,z) u(x,y,z) t yz
deze massa heeft een snelheid u in de x-
richting
dan is de impuls mu die in het kubusje
stroomt:
(mu)in (x,y,z) u(x,y,z) u(x,y,z) tyzimpuls uitstroom rechtervlak
(mu)uit (x+x,y,z) u(x+x,y,z) u(x+x,y,z)
tyzverandering impuls in x-richting per
tijdseenheid t
€
mu( )in− mu( )uit
Δt=
∂ρuu∂x
5
massa instroom m onderste vlak in tijdsinterval t:
m (x,y,z) w(x,y,z) t xy
Impulsbehoud: Navier-Stokes vergelijking
verandering impuls in z-richting per
tijdseenheid t
€
mu( )in− mu( )uit
Δt=
∂ρuw∂z
deze massa heeft een snelheid u in de x-
richting
dan is de impuls mu die in het kubusje
stroomt:
(mu)in (x,y,z) u(x,y,z) w(x,y,z) t xyimpuls uitstroom bovenste vlak
(mu)uit (x,y,z+z) u(x,y,z+z) w(x,y,z+z) t
xy
6
Incompressibele stroming: Navier-Stokes
vergelijking
€
∂u∂x
+∂v∂y
+∂w∂z
= 0
€
∂u∂t
+u∂u∂x
+v∂u∂y
+w∂u∂z
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟= −
∂p∂x
+ρgx +μ∂ 2u
∂x2+
∂ 2u
∂y2+
∂ 2u
∂z2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
∂v∂t
+u∂v∂x
+v∂v∂y
+w∂v∂z
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟= −
∂p∂y
+ρgy +μ∂ 2v
∂x2+
∂ 2v
∂y2+
∂ 2v
∂z2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
∂w∂t
+u∂w∂x
+v∂w∂y
+w∂w∂z
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟= −
∂p∂z
+ρgz +μ∂ 2w
∂x2+
∂ 2w
∂y2+
∂ 2w
∂z2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
∇•r
u = 0
€
Dr u
Dt= ρ
∂r u
∂t+
r u • ∇( )
r u
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥= −∇p+ρ
r g +μ∇2 r
u
niet lineaire termen
visceuze krachten
snelheid u in x-richting
snelheid v in y-richting
snelheid w in z-richting
7
Hydrostatic equilibrium
€
∂p∂z
= −ρgz
€
Dr u
Dt= ρ
∂r u
∂t+
r u • ∇( )
r u
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥= −∇p+ρ
r g +μ∇2 r
u
Zero velocity: (u,v,w)=0
€
rg = 0,0,−gz( )
8
Voorwaarden voor toepassen Bernoulli
€
pρ
+V 2
2+ gz = C
€
Dr u
Dt= ρ
∂r u
∂t+
r u • ∇( )
r u
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥= −∇p+ρ
r g +μ∇2 r
u
Steady state:
€
∂ ru
∂t= 0
Viscositeit: =0
Bernoulli: som is constant langs een
stroomlijn
9
Pythagoras beker
http://www.youtube.com/watch?v=4q9Jim1abMo
10
Pythagoras beker
Waarom loopt het glas leeg?
11
Verklaring Bernoulli
Op stroomlijn geldt
€
p1
ρ+
V12
2+ gh1 =
p2
ρ+
V22
2+ gH =
p3
ρ+
V32
2− gh2
h1
h2
z
0
Druk p1 = p3 = patm
€
patm
ρ+
V12
2+ gh1 =
p2
ρ+
V22
2+ gH =
patm
ρ+
V32
2− gh2
€
pρ
+V 2
2+ gz = C
Incompressibel
Steady-state
Wrijvingsloze stroming
Snelheid V1 << V2 = V3
€
patm
ρ+ gh1 =
p2
ρ+
V22
2+ gH =
patm
ρ+
V22
2− gh2
12
Verklaring Bernoulli
h1
h2
z
0
Snelheid
€
V2 = 2g h1 +h2( )
€
patm
ρ+ gh1 =
p2
ρ+
V22
2+ gH =
patm
ρ+
V22
2− gh2
13
Verklaring Bernoulli
h1
h2
z
0
Snelheid
€
V2 = 2g h1 +h2( )
€
patm
ρ+ gh1 =
p2
ρ+
V22
2+ gH =
patm
ρ+
V22
2− gh2
Druk
€
p2 − patm = −ρg H +h2( ) < 0
14
Viscositeit
source: Munson et al
€
τ = dudy
15
Wanneer mogen we viscositeit verwaarlozen?
€
∂u∂x
+∂w∂z
= 0
€
u∂u∂x
+w∂u∂z
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟= −
∂p∂x
+μ∂ 2u
∂x2+
∂ 2u
∂z2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
u∂w∂x
+w∂w∂z
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟= −
∂p∂z
−ρg+μ∂ 2w
∂x2+
∂ 2w
∂z2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Veronderstel twee-dimensionale, steady-state pijpstroming in de x- en z-
richting.
De zwaartekrachtsversnelling is neerwaarts in de z-richting, g=(0,0,-g)
16
Bepaal karakteristieke waarden
stromingsvariabelen
De fysische variabelen zijn u, w, x, z, en p
De "karakteristieke" waarden voor deze variabelen zijn
Snelheid V bijvoorbeeld gemiddelde stroming in een pijp
Lengteschaal L bijvoorbeeld diameter van de pijp
Druk p0 druk "ergens "in de pijp, tov atmosferische druk ~ V2
17
Introduceer dimensieloze variabelen
€
u* =uV
€
w* =wV
€
p* =pp0
€
x* =xL
€
z* =zL
Substitutie levert
€
∂u∂x
=∂Vu*
∂x*
∂x*
∂x=
VL
∂u*
∂x*
€
∂2u
∂x2=
VL
∂
∂x*
∂u*
∂x*
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟∂x*
∂x=
V
L2
∂ 2u*
∂x* 2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
18
Introduceer dimensieloze variabelen
€
u* =uV
€
w* =wV
€
p* =pp0
€
x* =xL
€
z* =zL
Substitueer in de vergelijkingen
€
VL
∂u*
∂x+
VL
∂w*
∂z= 0
€
∂u*
∂x+
∂w*
∂z= 0
€
V 2
Lu* ∂u*
∂x*+w* ∂u*
∂z*
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟= −
p0
L∂p*
∂x*+
μV
L2
∂ 2u*
∂x* 2+
∂ 2u*
∂z* 2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
V 2
Lu* ∂w*
∂x*+w* ∂w*
∂z*
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟= −
p0
L∂p*
∂z*−ρg +
μV
L2
∂ 2w*
∂x* 2+
∂ 2w*
∂z* 2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟€
× L
ρV 2
€
× L
ρV 2
19
Reynolds getal
€
∂u*
∂x*+
∂w*
∂z*= 0
€
u* ∂u*
∂x*+w* ∂u*
∂z*= −
∂p*
∂x*+
1Re
∂ 2u*
∂x* 2+
∂ 2u*
∂z* 2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
u* ∂w*
∂x*+w* ∂w*
∂z*= −
∂p*
∂z*−
Lg
V 2+
1Re
∂ 2w*
∂x* 2+
∂ 2w*
∂z* 2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
Re ≅ρVL
μ=
ρV 2
μV / L=
traagheidviscositeit
Uit de schaalanalyse kunnen we concluderen dat visceuze
krachten mogen worden verwaarloosd indien Re>>1
Osborne Reynolds (1842-1912)
20
Reynolds getal
€
Re ≅ρVL
μ=
ρV 2
μV / L=
traagheidviscositeit
€
Re < 2100
€
Re > 4000€
2100 > Re > 4000
Typische Reynolds getallen
21
Visceuze stroming tussen twee platen
Probleemstelling
Stroming is incompressibel
Snelheidsvector parallel aan twee oneindig lange platen met vaste
afstand 2h
No-slip conditie op platen
Stroming is steady state
Visceuze krachten mogen niet verwaarloosd worden
source: Munson et al
22
Visceuze stroming tussen twee platen
€
∂u∂x
+∂v∂y
+∂w∂z
= 0
Probleemstelling
1. Stroming is incompressibel
2. Snelheidsvector parallel aan twee platen: v=w=0
3. Oneindig lange platen: (anders kan u naar oneindig gaan)
€
∂u∂z
= 0
23
Visceuze stroming tussen twee platen
€
∂u∂x
= 0
Probleemstelling
1. Stroming is incompressibel
2. Snelheidsvector parallel aan twee platen: v=w=0
3. Oneindig lange platen:
€
∂u∂z
= 0
€
∂u∂t
+u∂u∂x
+v∂u∂y
+w∂u∂z
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟= −
∂p∂x
+ρgx +μ∂ 2u
∂x2+
∂ 2u
∂y2+
∂ 2u
∂z2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
∂v∂t
+u∂v∂x
+v∂v∂y
+w∂v∂z
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟= −
∂p∂y
+ρgy +μ∂ 2v
∂x2+
∂ 2v
∂y2+
∂ 2v
∂z2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
∂w∂t
+u∂w∂x
+v∂w∂y
+w∂w∂z
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟= −
∂p∂z
+ρgz +μ∂ 2w
∂x2+
∂ 2w
∂y2+
∂ 2w
∂z2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
4. Steady state:
€
∂∂t
= 0
5. Zwaartekracht: g=(0,-
g ,0)
24
Visceuze stroming tussen twee platen
€
∂u∂x
= 0
Probleemstelling
1. Stroming is incompressibel
2. Snelheidsvector parallel aan twee platen: v=w=0
3. Oneindig lange platen:
€
∂u∂z
= 0
€
0 = −∂p∂x
+μ∂ 2u
∂y2
€
0 = −∂p∂y
−ρg
€
0 = −∂p∂z
4. Steady state:
€
∂∂t
= 0
5. Zwaartekracht: g=(0,-
g,0)
25
Visceuze stroming tussen twee platen
€
0 = −∂p∂x
+μ∂ 2u
∂y2
€
0 = −∂p∂y
−ρg
€
0 = −∂p∂z
Integratie
€
p = −ρgy+ f1 x( )
Hydrostatische druk in de y-richting
Integratie
€
∂u∂y
=1μ
∂p∂x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟y+c1
Integratie
€
u =1
2μ∂p∂x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟y2 +c1y+c2
26
Visceuze stroming tussen twee platen
€
u =1
2μ∂p∂x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟y2 +c1y+c2
"No-slip" randvoorwaarde: u(y=±h)0
€
u(y = −h) =1
2μ∂p∂x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟h2 −c1h+c2 = 0
€
u(y = h) =1
2μ∂p∂x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟h2 +c1h +c2 = 0
Trek deze vergelijkingen van elkaar
af
€
c1 = 0
€
c2 = −1
2μ∂p∂x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟h2
€
u =1
2μ∂p∂x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ y2 −h2( )Oplossing snelheidsprofiel:
27
Visceuze stroming tussen twee platen
De volume flux (per eenheid van lengte in de z-richting)€
u =1
2μ∂p∂x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ y2 −h2( )
De gemiddelde snelheid
€
U =1
2hudy
−h
h
∫ = −h2
3μ∂p∂x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
€
q = udy−h
h
∫ =1
2μ∂p∂x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ y2 −h2( )dy
−h
h
∫ = −2h3
3μ∂p∂x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
€
∂p∂x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟< 0
De maximale snelheid
€
Umax = u y = 0( ) = −h2
2μ∂p∂x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟=
32
U
28
Visceuze stroming in een pijp:
Poiseuille stroming
Bij een verhoging van het hematocrietgehalte (verhouding
bloedcellen/bloedplasma) van 40 naar 60, bijvoorbeeld door EPO,
kan de viscositeit van bloed met een factor 3 toenemen
€
vz =1
4μ∂p∂z
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ r2 − R2( )
€
Q = 2π vzrdr0
R
∫ = −πR4
8μ∂p∂z
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
29
Samenvatting
Bernoulli toepassen
Dimensieloos maken van vergelijkingen
Analytische vergelijking van een visceuze stroming
Top Related