PAUTA CONTROL N1 , Prof. Marcelo Ruiz.
Considere una barra homognea y rgida de masa m y largo . Tal barra se encuentra unida a un
resorte de constante elstica que no est deformado cuando la barra est en la posicin horizontal
, como muestra la figura.
a- Encuentre la ecuacin de movimiento cuando la barra pequeas oscilaciones
b- Identifique la frecuencia angular de la ecuacin de movimiento.
Solucin:
A-
Mtodo 1 :
La figura no muestra la posicin de equilibrio ya que el resorte est sin estirar, por tanto se analiza
la posicin mediante esttica.
0 =
4 cos()
4 cos() = 0
4 cos() (
4)
2
sen() cos() = 0
Luego se asume por tanto sen() cos() 1
L/4 L/4 L/2
k
m
L/4
L/2
P
4 (
4)
2
= 0
=4
( ) (1)
Ahora se debe aplicar una perturbacin al sistema para generar oscilaciones en torno al punto de
equilibrio, por tanto la referencia ser posicionada en el ngulo .
Se realiza sumatoria de torque respecto al pivote para determinar la ec. de movimiento del sistema.
0 =
4cos( + )
4cos( + ) =
4cos( + ) (
4)
2
cos( + ) sen( + ) =
Se sabe que (
+ ) (
+ ) 1 ; (
+ ) (
+ )
4 (
4)
2
( + ) = (2)
Reemplazando (1) en (2):
4 (
4)
2
(4
+ ) =
0 + 2
16= 0 (3)
Se calcula la inercia usando el teorema de los ejes paralelos
0 = + 2
0 =2
12+ (
4)
2
= 72
48 (4)
L/4
L/2
P
Reemplazando (4) en (3) y simplificando:
+3
7 = 0
Siendo esta la ecuacin del sistema con respecto al eje ngulo de equilibrio ()
Mtodo 2
Se considera una perturbacin del sistema soltndo desde el reposo en la posicin horizontal
(0) = 0 . De esa forma se obtiene un trmino constante en la ecuacin diferencial , que origina
como solucin particular un factor constante , cuyo valor es el ngulo de equilibrio al aplicar las
condiciones iniciales.
Se genera sumatoria de torque respecto al eje :
4 cos()
4 cos() =
4 cos() (
4)
2
sen() cos() =
72
48 + (
4)
2
4 = 0
+3
7
12
7= 0
Si se desea la solucin de la EDO se tiene dos partes, la homognea y la particular.
La solucin particular es = 4
, cuyo valor es la posicin que tomar el sistema en
estado estacionario (asumiendo que la energa se disipa) ; notar que est solucin es idntica en
el mtodo 1.
Mtodo 3 (Energa)
= + + +
=
2(
4())
2
2
322
L/4
L/2
P
=
4
= 72
962
Entonces
= 72
962 +
2
322
4
Dado que no existe variacin de la energa respecto al tiempo, por ser un sistema ideal sin disipacin,
entonces
= 0
=
722
96+
2 2
32
4= 0
72
48+
2
16
4= 0
+ 3
7
12
7 = 0
B-
En cualquiera de los 3 mtodos anteriores es de obviar que le frecuencia angular es la misma.
+ 2 + = 0
Entonces = 3
7 [rad/s]
BONUS
Inercia de una barra respecto a un eje que pasa por su centro de masa.
I = 2
La expresin diferencial de la masa para una barra cuya rea es despreciable es =
=
2
2
2
=
3(
3
8+
3
8) =
2
12
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