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Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ ıa Departamento de F´ ısica Pauta Certamen N o 1 1 er Semestre 2015 Movimiento Oscilatorio, Amortiguado y Forzado, Mec´anica de Ondas y Sonido Problema 1 (25 ptos.) El sistema de amortiguaci´ on de un auto est´ a dise˜ nado para que no permita m´ as de una oscilaci´ on con amplitud sobre el 10 % de la inicial, resultante de la pasada de una rueda sobre alguna irregularidad del terreno. Considerando que hay amortiguadores en las cuatro ruedas y considerando 1 Tonelada la masa total del autom´ ovil. a) Si la fuerza de roce se puede modelar como b ˙ y, encuentre la ecua- ci´ on de movimiento de la masa m. b) ¿Con respecto a qu´ e punto la masa m oscila?, escriba un sistema de coordenadas apropiado. c) Encuentre los valores de b (constante proporcional a la velocidad) y k (constante el´ astica) que permiten cumplir con la especificaci´ on ecnica de amortiguamiento. Figura 1.1: Esquema del sistema masa - resorte del automovil, por rueda. Problema 1 SOLUCI ´ O N: a) En la figura 1.2 se modela el problema, consideran- do que la rueda del auto no se mueve verticalmente. Sobre cada rueda descansa una masa m equivalen- te a 1/4 de la masa total del auto. En la figura se muestra: k: Rigidez del resorte. b: Constante de amortiguamiento o roce en fun- ci´ on de la velocidad de la masa. o : Largo natural del resorte. y: Coordenada de posici´ on de la masa a partir del largo natural del resorte. Luego se realiza el DCL sobre la masa m consi- derando la situaci´ on de la figua 1.2 y con ˙ y> 0 obteni´ endose: Figura 1.2: Modelo del problema 1 ısica General III FIS-130 / 2015-1 1/ 14

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Fısica

Pauta Certamen No11er Semestre 2015

Movimiento Oscilatorio, Amortiguado y Forzado, Mecanica de Ondas y Sonido

Problema 1 (25 ptos.)

El sistema de amortiguacion de un auto esta disenado para que nopermita mas de una oscilacion con amplitud sobre el 10 % de la inicial,resultante de la pasada de una rueda sobre alguna irregularidad delterreno. Considerando que hay amortiguadores en las cuatro ruedas yconsiderando 1 Tonelada la masa total del automovil.

a) Si la fuerza de roce se puede modelar como by, encuentre la ecua-cion de movimiento de la masa m.

b) ¿Con respecto a que punto la masa m oscila?, escriba un sistemade coordenadas apropiado.

c) Encuentre los valores de b (constante proporcional a la velocidad)y k (constante elastica) que permiten cumplir con la especificaciontecnica de amortiguamiento.

𝒎

Figura 1.1: Esquema delsistema masa - resorte del

automovil, por rueda.Problema 1

SOLUCION:

a) En la figura 1.2 se modela el problema, consideran-do que la rueda del auto no se mueve verticalmente.Sobre cada rueda descansa una masa m equivalen-te a 1/4 de la masa total del auto. En la figura semuestra:

k: Rigidez del resorte.

b: Constante de amortiguamiento o roce en fun-cion de la velocidad de la masa.

`o: Largo natural del resorte.

y: Coordenada de posicion de la masa a partirdel largo natural del resorte.

Luego se realiza el DCL sobre la masa m consi-derando la situacion de la figua 1.2 y con y > 0obteniendose:

𝑦 𝒎

𝑘 𝑏

ℓ𝑜

��

Figura 1.2: Modelo del problema 1

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Donde:

Fk: Fuerza del resorte

Fa: Fuerza del amortiguador.

W : Fuerza peso de la masa m.

Haciendo sumatoria de fuerzas en el eje y:∑Fy = W − Fk − Fa = my (1)

Como y tambien mide la deformacion del resorte y con Fa = byy W = mg, la ecuacion (1) queda:

mg − ky − by = my (2)

Normalizando la ecuacion (2) se obtiene la Ecuacion del Mo-vimiento:

𝐹𝑘

𝒎

𝐹𝑎

𝑊

𝑦

Figura 1.3: DLC de la masa m

y +b

my +

k

my = mg (3)

En el caso de que la posicion de la masa m (y) hubiese sido medida a partir de la posicion deequilibrio del sistema, la ecuacion del movimiento del sistema queda definida como:

y +b

my +

k

my = 0 (4)

b) Debido a que la masa m esta sometida al campo gravitatorio ~g, la masa oscilara con respecto ala posicion en donde su fuerza peso se anule con la fuerza proporcionada por el resorte, el cualse encuentra comprimido en un valor δo, condicion que se llama Posicion de Equilibrio. Dichaposicion se obtiene realizado un DCL sobre la masa, cuando esta no se encuentra en movimiento.

Haciendo sumatoria en direccion y sentido de y:∑Fy = W − Fko = 0

Donde Fko es la fuerza del resorte en la posicion de equilibrio.Entonces:

mg − kδo = 0 =⇒ δo =mg

k

Para poder detectar dicha posicion de equilibrio, el sistemaapropiado a escoger es uno que mida la posicion de la masam a partir de `o, ası el sistema oscila con respecto al punto:

yeq =mg

k

𝒎

𝐹𝑘𝑜

𝑊

��

Figura 1.4: DLC masa m enreposo.

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En la siguiente figura se muestra el punto con que oscila la masa m, representado por la lıneasegmentada gruesa:

𝑦𝑒𝑞

𝒎

𝑘 𝑏

ℓ𝑜

�� 𝑦

Figura 1.5: Sistema fuera de la posicion de equilibrio.

c) Segun la especificacion tecnica de diseno, el amotiguamiento debe ser tal que el sistema no permitamas de una oscilacion con una amplitud sobre un 10 % de la inicial. Considerando que un mayoramortiguamiento incurre en un mayor costo para el diseno del automovil y que el sistema permiteoscilaciones, se considera que el sistema se encuentra sub - amortiguado, es decir:

γ2 < ω2n (5)

con:

γ2 =

(b

2m

)2

∧ ω2n =

k

m

Obtenidos de la Ecuacion del Movimiento (3) o (4).

La solucion de la Ecuacion del Movimiento para un sistema sub - amortiguado es:

y(t) = Aoe−γt cos(ωdt+ φ) + yeq (6)

Con:ωd =

√ω2n − γ2

Esta solucion es valida considerando de que y se mide desde la posicion de `o. Luego la condicionde diseno define que para una segunda oscilacion que ocurre en un tiempo t = 2T , con T comoel periodo, la amplitud debe ser:

Ao10

> Aoe−2γT (7)

ln

(1

10

)> −2γT (8)

Entonces con el periodo T , igual a:

T =2π

ωd

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Se tiene reemplazando en la ecuacion (8):

ln

(1

10

)> −2

b

2m

ωd

ln

(1

10

)> −2

b

2m

2π√ω2n − γ2

ln(10)

√k

m− b2

4m2<

2πb

m

ln2(10)

(k

m− b2

4m2

)<

4b2π2

m2

ln2(10)

(4km− b2

4m2

)<

4b2π2

m2

b2(16π2 + ln2(10)) > 4km ln2(10)

Entonces:

b2 >4km ln2(10)

16π2 + ln2(10)(9)

Reemplazando m = 250[kg] y el valor de π, se obtiene:

b >√

32,484 · k (10)

Con k en unidades [N/m]

PUNTAJE:

a) 2 ptos. : DLC de la masa m en movimiento.2 ptos. : Sumatoria de fuerzas en el eje y con las fuerzas definidas.5 ptos. : Ecuacion del Movimiento.

b) 2 ptos. : Definicion del sistema de coordenadas apropiado.1 ptos. : DLC del sistema en reposo.4 ptos. : Posicion de equilibrio.

c) 2 ptos. : Definir la solucion del problema.2 ptos. : Identificar los parametros del problema (γ y ωd)2 ptos. : Definir desigualdad con el tiempo para el cual debe cumplirse (t = 2T ).3 ptos. : Condicion entre b y k.

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Problema 2 (25 ptos.)

El sistema masa-resorte de la figura tiene masa m =10[Kg] y k = 100[KN/m]. Una vez en movimiento, el siste-ma experimenta una fuerza de roce que es proporcional a lavelocidad de la masa cx , en donde c es la constante de amorti-guamiento, c = 500[(N ·s)/m]. Inicialmente el sistema esta enreposo con el resorte sin estirar y en t = 0 se le aplica a lamasa una fuerza F (t) = 1000 cos(120t)[N ]

a) Encuentre la ecuacion de movimiento de la masa m.

b) Encuentre la amplitud A de la masa m, cuando el siste-ma se encuentre en un regimen estacionario.

c) Si la fuerza aplicada ahora es F (t) = 1000 cos(ωt)[N ],encuentre el valor de ω que maximiza la amplitud deoscilacion. Figura 2.2: Sistema del problema 2.

SOLUCION:

a) En la figura 2.1 se definen los parametros que determinan la posicion de la masa m en el tiempo:

��

𝒎

𝑘 𝑐 ℓ𝑜

0

𝑥

𝑥𝑜

𝐹(𝑡)

Figura 2.2: Definicion de los parametros del sistema del problema 2.

Donde:

`o : Largo natural del resorte.

x : Posicion de la masa m a partir del largo natural del resorte.

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xo : Posicion de equilibrio del sistema.

x se define de tal forma que tambien este sea un parametro de medicion de la deformacion quesufre el resorte.

Luego se realiza el DCL sobre la masa m para la situacion mostrada en la figura 2.2 en dondex > 0:

Haciendo la sumatoria de fuerzas para el eje x:∑Fx = W + F (t)− Fk − Fa = mx (11)

Donde

Fk: Fuerza del resorte.

Fa: Fuerza de amortiguamiento.

F (t): Fuerza externa.

W : Fuerza Peso.

Expresando las fuerzas en la ecuacion (11):

mg + 1000 cos(120t)− kx− bx = mx (12)

𝒎

𝐹𝑘

𝑊

��

𝐹(𝑡)

𝐹𝑎

𝑥

Figura 2.3: DLC de la masa m.

Normalizando la ecuacion (12) se obtiene la ecuacion diferencial del movimiento caracterıstica:

x+c

mx+

k

mx = g +

1000

mcos(120t) (13)

Observe que la ecuacion (13) del movimiento corresponde a la ecuacion caracterıstica del movi-miento amortiguado y forzado:

x+ 2γx+ ω2nx = C +

Fom

cos(ωt) (14)

en donde existe una constante en la igualdad. Dicha constante se debe a que grado de libertad xno se mide desde la posicion de equilibrio. Reemplazando el valor de la masa m, de las constantesc y k, y la gravedad g, la ecuacion del movimiento del sistema es:

x+ 50x+ 10000x = 9, 81 + 100 cos(120t) (15)

Las unidades de la ecuacion (15) se encuentran definidas con respecto al sistema internacional.

b) El regimen estacionario corresponde a la fase del movimiento en donde el amortiguamiento hadejado de actuar (acuerdese que el efecto del amortiguamiento desaparece con el tiempo) y soloexiste el movimiento causado por la fuerza externa, el cual permanece en el tiempo (fase estacio-naria), cuya amplitud A esta definida como para el caso de movimiento lineal:

A =

Fom√

(ω2 − ω2n)2 + (2γω)2

(16)

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Donde:

ω2n = 10000[rad2/s2] ω = 120[rad/s] 2γ = 50[rad/s] Fo = 1000[N ]

que se obtienen de la ecuacion (15) segun la forma de la ecuacion caracterıstica de este movimiento(ecuacion (14)). Entonces:

A =

1000

10√(1202 − 10000)2 + (50 · 120)2

[m] = 0,01344[m] (17)

Tenga en cuenta que esta es la amplitud asociada al movimiento sinusoidal que causa la fuerzaexterna sobre la masa. En estricto rigor el maximo desplazamiento que tiene la masa m en la faseestacionaria es:

xmax = A+ xo

c) Si γ es muy pequeno en comparacion a la frecuencia natural ωn, la amplitud A se maximi-zara cuando ωse iguale a la frecuencia natural ωn, fenomeno llamado Resonancia. Entonces se

debe verifica que la razonγ

ωnsea pequena:

γ

ωn=

50

100= 0,5

Se observa que dicha razon no es pequena por lo cual el maximo no ocurre en Resonancia. Sedebe derivar la ecuacion (16) en funcion de ω e igualar a 0 para encontrar el valor maximo.

∂A

∂ω= − Fo

2m· 4ω(ω2 − ω2

n)− 8ωγ2

[(ω2 − ω2n)2 + (2γω)2]3/2

= 0 (18)

=⇒ 4ω(ω2 − ω2n)− 8ωγ2 = 0 =⇒ ω(ω2 − ω2

n − 2γ2) = 0

Descartando la opcion de ω = 0, el valor que debe tomar ω para maximizar A es:

ω =√ω2n + 2γ2 =

√10000 + 2 · 625[rad/s] = 75

√2[rad/s] ≈ 106,1[rad/s] (19)

PUNTAJE:

a) 1 ptos. : Definicion del grado de libertad x.2 ptos. : DLC de la masa m.2 ptos. : Sumatoria de fuerza.5 ptos. : Ecuacion de Equilibro.

b) 2 ptos. : Definicion de la ecuacion de A.2 ptos. : Calculo de los parametros que determinan A.3 ptos. : Valor A.

c) 3 ptos. : Derivada de A con respecto a ω4 ptos. : Valor de ω.

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Problema 3 (25 ptos.)

La figura 3.1 muestra dos cuerdas de largo L y 2L respectivamente, unidas y de diferente densidadlineal en t = 0. Posteriormente la masa M es levemente empujada hacia arriba una distancia Ai porlo que empieza a oscilar con frecuencia ω1 . La oscilacion de la masa M genera una onda que empiezaa viajar hacia la izquierda por la primera cuerda con velocidad v1. Las cuerdas estan sometidas a lamisma tension T .

a) Encuentre la ecuacion de onda incidente que viaja por la cuerda 1, en funcion de los datos dados:

Ai = 0,075[m], ω1 = 2[rad/s], T = 144[N ], µ1 = 9[Kg/m], µ2 = 4[Kg/m], L = 2[m]

b) Indique el numero de ondas que se pueden observar si toma una foto cuando hayan transcurrido1,5[s]. No es necesario escribirlas matematicamente, solo nombrelas.

c) Encuentre la velocidad transversal maxima en la mitad de la cuerda 2, cuando pasa la primeraonda por ella.

Figura 3.1: Sistema de cuerdas en oscilacion. Problema 3.

SOLUCION:

a)

Figura 3.2: Definicion de la posicion del sistema de cuerdas.

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Considerando el sentido del eje x que aparece en la figura 3.2 y que la masa empieza a oscilara partir del reposo dada una deformacion inicial, la ecuacion que define a la onda incidente queviaja por la primera cuerda tiene la forma:

ψi(x, t) = Ai cos(ω1t− k1x+ φ) (20)

Donde:∧ ω1 = 2πf =⇒ 2π =

ωif

Y:

ki =2π

λ1=

ω1

fλ1(21)

El valor de la longitud de la onda incidente λi se obtiene a partir de la ecuacion que define lavelocidad de propagacion de la onda:

λ1 =v1f

=⇒ k1 =ω1

v1(22)

Donde v1 es la velocidad de propagacion de la onda en la cuerda 1. Por ende para encontar elvalor de k1 solo se debe encontrar la velocidad de propagacion v1 que no depende de la onda, sino de las condiciones mecanicas de la cuerda 1:

v1 =

√T

µ1=

√144[N ]

9[kg/m]= 4[m/s]

Reemplazando v1 y ω1 en la ecuacion (22):

k1 =2[rad/s]

4[m/s]= 0,5[m−1]

Como por otro lado como la ecuacion en t = 0 parte del reposo y con maxima amplitud Ai, elangulo de desfase φ es igual a 0. Entonces la ecuacion que describe la onda incidente es:

ψi(x, t) = 0,075[m] cos(2t− 0,5x) (23)

con t en segundos y x en metros.

b) Para conocer el numero de ondas que existe por cada cuerda transcurrido 1,5[s] se debe conocer lasvelocidades de propagacion de las ondas en cada cuerda. Ya se conoce la velocidad de propagacionde las ondas en la cuerda 1 (v1) por lo que solo falta conocer la velocidad de propagacion de lasondas en la cuerda 2:

v2 =

√T

µ2=

√144[N ]

4[kg/m]= 6[m/s]

Conocidas las velocidades de propagacion se procede a calcular el tiempo que demoran las ondasen recorrer de un extremo a otro las cuerdas.

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Tiempo que demora en recorrer una onda la cuerda 1 (t1)

t1 =L

v1=

2[m]

4[m/s]= 0,5[s]

Tiempo que demora en recorrer una onda la cuerda 2 (t2)

t2 =2L

v2=

4[m]

6[m/s]= 0, 6[s]

Definiendo el tiempo tf = 1, 5[s] se analizara por parte las ondas que existen para cada cuerdaen funcion de la suma lineal de los tiempos t1 y t2.

Para un tiempo t = t1 < tf , la onda incidente llega a la cuerda 2, produciendose una onda trans-mitida en la cuerda 2 y otra reflejada en la cuerda 1. Entonces en el instante posterior a t = t1existiran 1 onda en la cuerda 2 y 2 en la cuerda 1.

Ya en un tiempo t = 2 · t1 = 1[s] < tf la onda reflejada en la cuerda 2 llega a la masa M , por loque esta se refleja, por otro lado la onda transmitida en la cuerda 2, aun no ha llegado al otroextremo de la cuerda. Entonces en el instante posterior a tiempo t = 2 · t1 existiran 3 ondas enla cuerda 1 y 1 onda en la cuerda 2.

Para un tiempo t = t1 + t2 = 1,16[s] < tf la onda transmitida alcanza llegar al extremo izquierdode la cuerda dos, produciendose una reflexion de esta. Por otro lado la onda reflejada de la ondareflejada de la incidente en la cuerda 1, aun no ha llegado a la union de las cuerdas. Por lo tanto pa-ra el instante posterior a t = t1+t2 < tf existiran 2 ondas en la cuerda 2 y 3 ondas en la cuerda 1.

Ahora para un tiempo t = 3 · t1 = 1,5[s] la onda reflejada de la reflejada de la incidente en lacuerda 1 llega al punto de union de las cuerdas, pero no se puede observar la existencia de unanueva onda reflejada, por otro lado en la cuerda 2, la onda reflejada aun no alcanza el punto deunion de las cuerdas.

Por lo tanto para un tiempo t = 1,5[s] se pueden observar 3 ondas en la cuerda 1 y 2 ondas en lacuerda 2.

c) La primera onda transmitida en la cuerda 2 presentara una funcion de la forma:

ψt(x, t) = At cos(ω2t− k2x+ ϕ) (24)

Pero como la frecuencia se conserva independiente del medio de propagacion ω2 = ω1, entoncesla ecuacion (24) queda:

ψt(x, t) = At cos(ω1t− k2x+ ϕ) (25)

Luego la velocidad transversal de un punto en la cuerda 2 cuando solo actua la primera ondatransmitida es:

∂ψi∂t

= −Atω1 sin(ω1t− kx+ ϕ) (26)

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En la ecuacion (26) se observa que la maxima velocidad transversal que experimenta un puntocualquiera de la cuerda 2 es:

vmax = Atω1 (27)

En donde At corresponde a la amplitud de la onda transmitida la cual se obtiene de la ecuacion querelaciona la amplitud de la onda incidente Ai con la transmitida At en funcion de las velocidadesde propagacion.

At =2v2

v1 + v2·Ai =

2 · 64 + 6

· 0,075[m] = 0,090[m]

Entonces la maxima velocidad transversal que experimenta el punto medio de la cuerda 2 cuandopasa solo la primera onda transmitida es:

vmax = 0,090 · 2[m/s] = 0,180[m/s] (28)

PUNTAJE:

a) 1 ptos. : Definir parametro de posicion x.2 ptos. : Definir forma de la funcion de la onda incidente.3 ptos. : Valor de la constante k1.4 ptos. : Funcion de la onda incidente en el tiempo y espacio.

b) 1 ptos. : Velocidad de propagacion en la cuerda 2 (v2).2 ptos. : Tiempos de propagacion de las ondas en cada cuerda (t1 y t2).4 ptos. : Analisis y cantidad de ondas en cada cuerda para un tiempo t = 1,5[s].

c) 2 ptos. : Expresion de la velocidad transversal en la cuerda 2.2 ptos. : Determinacion de la amplitud de la onda transmitida inicial (At).4 ptos. : Velocidad transversal maxima (vmax).

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Problema 4 (25 ptos.)

Los cazadores de tornados usan detectores Doppler para detectar tornados y tormentas. Si undetector Doppler se coloca sobre un camion que se mueve a velocidad v1, emite una onda sonora confrecuencia f1 y recibe el eco de la onda reflejada en la tormenta con frecuencia f2. ¿Con que velocidadVT se acerca o se aleja la tormenta del detector Doppler?. Considere que la velocidad del sonido en elaire es v.

SOLUCION:

Segun la ecuacion del efecto Doppler un receptor, en movimiento o no, escucha un sonido con unafrecuencia fr emitido de un emisor en movimiento como:

fr =v + vrvr + ve

· fe

Donde:

vr : Velocidad del receptor.

ve : Velocidad del emisor.

v : Velocidad del sonido en el medio por donde se propaga (en este caso el aire).

fe : Frecuencia emitida.

fr : Frecuencia captada por el receptor.

En esta ecuacion se considera sentido positivo desde el receptor al emisor. Se deben analizar 2 situa-ciones, cuando el tornado se aleja del camion y cuando se acerca.

1o El Tornado se acerca al camion.

Inicialmente el emisor es el camion y el receptor es el tornado.

Figura 4.1: Sistema Emisor Camion - Receptor Tornado alejandose.

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El el sentido positivo en este caso es desde el tornado al camion. Entonces segun la ecuacion de efectoDoppler se tiene que la frecuencia que siente el tornado frT es:

frT =v + VTv − v1

· f1

Luego el tornado se convierte en emisor producto de la reflexion del sonido en el:

Figura 4.2: Sistema Emisor Tornado acercandose - Receptor Emisor.

entonces la frecuencia f2 que recibe el camion es:

f2 =v + v1v − VT

· frT

Luego reemplazando frT en la ecuacion anterior se tiene que f2 es:

f2 =v + v1v − VT

· v + VTv − v1

· f1 (29)

Despejando VT de la ecuacion (29) se obtiene que la velocidad del tornado (como magnitud):

VT =vf1(v + v1) + vf2(v1 − v)

f2(v1 − v)− f1(v + v1)(30)

2o El Tornado se aleja al camion.

Al igual que el caso anterior inicialmente el emisor es el camion y el receptor el tornado:

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Fısica

Figura 4.3: Sistema Emisor Camion - Receptor Tornado alejandose.

Entonces, aplicando la ecuacion de efecto Doppler se tiene:

frT =v − VTv − v1

· f1

Luego el tornado se convierte en emisor producto de la reflexion del sonido en el:

entonces la frecuencia f2 que recibe el camion es:

f2 =v + v1v + VT

· frT

reemplazando frT en la ecuacion anterior se tiene que f2 es:

f2 =v + v1v + VT

· v − VTv − v1

· f1 (31)

Despejando VT de la ecuacion (31) se obtiene que la velocidad del tornado (como magnitud):

VT =vf1(v − v1) + vf2(v1 − v)

(f1 − f2)(v1 + v)(32)

Cabe mencionar que si en tanto en la ecuacion (29) o (32) el resultado es negativo, significara que lahipotesis inicial de si se esta acercando o alejando el tornado es incorrecta. En el caso de asumir que eltornado se acerca y da VT < 0, entonces el tornado en realidad se aleja y se debe ocupar la ecuacion32, y viceversa.

PUNTAJE:

1 ptos: Definir sentido positivo.

Para cada caso:

3 ptos : Frecuencia receptor tornado frT .3 ptos : Frecuencia receptor camion f2.3 ptos : Ecuacion que define el valor de la magnitud de VT .3 ptos : Determinacion de VT .

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