OSNOVNI STATISTIČKO OSNOVNI STATISTIČKO ANALITIČKI POKAZATELJIANALITIČKI POKAZATELJI
Metodama deskriptivne statistike skup vrijednosti Metodama deskriptivne statistike skup vrijednosti numeričke varijable nastoji se opisati s pomoću numeričke varijable nastoji se opisati s pomoću manjeg broja brojčanih pokazatelja ili parametara. manjeg broja brojčanih pokazatelja ili parametara. Općenito se numerički pokazatelji mogu svrstati u tri Općenito se numerički pokazatelji mogu svrstati u tri skupine:skupine:
Srednje vrijednosti (mjere centralne tendencije)Srednje vrijednosti (mjere centralne tendencije)
Mjere disperzije (rasipanja)Mjere disperzije (rasipanja)
Mjere oblika raspodjele (mjere asimetrije, mjera Mjere oblika raspodjele (mjere asimetrije, mjera zaobljenosti)zaobljenosti)1
2
Srednja vrijednost je konstanta oko koje se Srednja vrijednost je konstanta oko koje se gomilaju vrijednosti numeričke varijable. S gomilaju vrijednosti numeričke varijable. S obzirom da postoje različiti kriteriji za njeno obzirom da postoje različiti kriteriji za njeno izračunavanje govori se o različitim srednjim izračunavanje govori se o različitim srednjim vrijednostima.vrijednostima.
Mjere disperzije su pokazatelji stupnja Mjere disperzije su pokazatelji stupnja varijabilnosti podataka.varijabilnosti podataka.
Mjerama asimetrije izražava se simetričnost, Mjerama asimetrije izražava se simetričnost, odnosno asimetričnost rasporeda vrijednosti odnosno asimetričnost rasporeda vrijednosti numeričke varijable oko aritmetičke sredine, a numeričke varijable oko aritmetičke sredine, a mjerom zaobljenosti uspoređuje se zaobljenost mjerom zaobljenosti uspoređuje se zaobljenost distribucije frekvencija sa zaobljenosti normalne distribucije frekvencija sa zaobljenosti normalne distribucije.distribucije.
SREDNJE VRIJEDNOSTI
X
MOD Mo
MEDIJAN Me
3
POTPUNEPOTPUNE POLOŽAJNEPOLOŽAJNE
ARITMETIČKA SREDINA
HARMONIJSKA SREDINA H
GEOMETRIJSKA SREDINA G
x
POLOŽAJNE SREDNJE VRIJEDNOSTI
4
MOD MEDIJAN
Mod je najčešći modalitet kvalitativne varijable ili najčešća vrijednost kvantitativne varijable.
Medijan je položajna srednja vrijednost koja numerički ili redosljedni niz dijeli na dva jednakobrojna dijela.
5
Nominalni podaci su mjerenja koja jedinice Nominalni podaci su mjerenja koja jedinice populacije raščlanjuju na kategorije.populacije raščlanjuju na kategorije.
Ako nominalna varijabla Ako nominalna varijabla ppoprima modalitete oprima modalitete (kategorije, oblike) (kategorije, oblike) kAAA ,,, 21 čija ječija je
učestalost pojavljivanja (frekvencija)učestalost pojavljivanja (frekvencija) kfff ,,, 21
tada se niz parova tada se niz parova )},(),,(),,{( 2211 kk fAfAfA
zove nominalni (atributivni, geografski) statistički zove nominalni (atributivni, geografski) statistički niz.niz.
Mod je najčešći oblik (modalitet, kategorija) kvalitativne varijable.Ako se promatra nominalni statistički niz:
6
jij AMkiAfAf 0 ,...,2,1),(max)(
Anketirani prema vrsti objekta u kojem stanuju
7
Najveća frekvencija?MOD=“stambena zgrada”
8
Za razliku od nominalne varijable čiji modaliteti čine Za razliku od nominalne varijable čiji modaliteti čine neuređen skup, te im je stoga poredak proizvoljan, skup neuređen skup, te im je stoga poredak proizvoljan, skup modaliteta redosljedne varijable je uređen. Ako modaliteta redosljedne varijable je uređen. Ako redosljedna varijabla poprima modaliteteredosljedna varijabla poprima modalitete kOOO 21
s frekvencijama s frekvencijama kfff ,,, 21 , , tada je niz parovatada je niz parova
)},(),,(),,{( 2211 kk fOfOfO redoslredosliijedni statistički niz.jedni statistički niz.
REDOSLIJEDNI NIZREDOSLIJEDNI NIZ
Anketirani prema stupnju zadovoljstva rasporedom prostorija
9
Anketirani prema stupnju zadovoljstva rasporedom prostorija
Najveća frekvencija?MOD=“djelomično zadovoljan”
Anketirani prema stupnju zadovoljstva rasporedom prostorijaAnketirani prema stupnju zadovoljstva rasporedom prostorija
MOD
Ako su vrijednosti numeričke varijable grupirane u razrede, vrijednost moda se određuje polazeći od histograma. Razred kojem je pridružen najviši stupac (najveća korigirana frekvencija) zove se modalni razred. Iz grafičkog se prikaza izvodi slijedeća formula:
b=najveća korigiana frekvencija a= korigirana f. ispred modalnog razreda
c= korigirana f. iza modalnog razreda
L1 = donja granica modalnog razreda, a i je veličina modalnog razreda 10
)()(10 icbab
abLM
Šošić,I.(2006). PRIMIJENJENA STATISTIKA.
Zagreb, Školska knjiga, stranica 76. PRIMJER
3.42.
11
b
a
cL1
12
)()(10 icbab
abLM
67.265)1004615183()1261315183(
1261315183250
M13
b
a
cL1
14
Mod se može odrediti ako postoje barem dva jednaka modaliteta kvalitativne varijable, odnosno barem dvije jednake vrijednosti numeričke varijable. Ako u statističkom nizu postoji samo jedan modalitet (jedna vrijednost) čija je frekvencija veća od susjednih niz je unimodalan. Inače niz može biti bimodalan ili općenito višemodalan.
15
Mod se jednostavno određuje i nije osjetljiv na ekstremno male i ekstremno velike vrijednosti, no nedostatak mu je da ga se ne može uvijek odrediti, te da je procjena moda u distribuciji frekvencija s razredima ovisna o postupku grupiranja.
MEDIJAN
16
Neka su vrijednosti numeričkog niza. Ako je broj vrijednosti N neparan medijan je jednak središnjoj vrijednosti niza. U slučaju da je broj vrijednosti N paran, medijan se računa kao aritmetička sredina dviju središnjih vrijednosti uređenog niza. Izraz za određivanje (izračunavanje) medijana negrupiranih podataka može se zapisati u obliku:
2
r ,2
2
1)2
( ,2
1 NINT
Nxx
NINTrINT
Nx
Mrr
r
e
INT=cjelobrojni dio decimalnog broja
PRIMJER 3.49, STR 78
1 3 5 7 10 12 14
7 4 13
1)5.3( 5.32
7 7
1)2
( ,2
4
xMrr
INTrINTN
NINTrINT
NxM
e
re
17
Me
PRIMJER 3.49, STR 78
11 24 29 37 40 53 65 72
5.382
4037
eM
5.382
4037
2 4
2 ,8
2
r ,2
2
54
1
xxMr
NN
NINT
NxxM
e
rre
18
19
U distribuciji frekvencija s razredima medijan se određuje grafički kao apscisa točke na kumulanti čija je ordinata N/2 odnosno 50%, ako su kumulativne frekvencije nastale zbrajanjem postotaka. Razred u kojem se nalazi medijan zove se medijalni razred. Iz grafičkog se prikaza izvodi formula:
if
fN
LMmed
e
1
1
2
= kumulativna frekvencija ispred medijalnog razreda
L1= donja granica medijalnog razreda
i = veličina medijalnog razreda
fmed= frekvencija medijalnog razreda
1f
stranica 81,82.
20
1708652
341730
2
N
N
PRIMJER 3.53.
L1
21
22
N/2N/2 12
fN
1f
mf
1LMx e
if
fN
xffN
ixmN
M
m
e
1
2
12 :)
2(:
23
if
fN
LMmed
e
1
1
2
30402.275119819
11565217086525
eM
Svojstva medijana
24
Medijan ima slijedeća svojstva:
Medijalna se vrijednost nalazi između najmanje i najveće vrijednosti numeričke varijable:
Zbroj modula (apsolutnih vrijednosti) odstupanja vrijednosti numeričke varijable od medijana je minimalan:
maxmin xMx e
1111
i
k
iii
k
iei
N
ii
N
iei faxfMxaxMx
KVANTILI
25
Kvantili k-tog reda su položajne vrijednosti koje uređeni numerički ili redosljedni niz dijele na k jednakobrojnih dijelova.Medijan je kvantil reda k=2 jer dijeli niz na dva jednakobrojna dijela.Kvartili: su kvantili reda k=4 jer dijele niz na četiri jednakobrojna dijela.Decili: su kvantili reda k=10 jer dijele niz na deset jednakobrojnih dijelova.Percentili: su kvantili reda k=100 jer dijele niz na 100 jednakobrojnih dijelova.(Broj kvantila reda k uvijek je jednak k-1).Postupak određivanja kvantila analogan je postupku određivanja medijana.
PRIMJER 3.49, STR 78
1 3 5 7 10 12 14
12 6151)25.5( 25.54
73
1)4
3( ,
4
3
3Q
21)75.1( 75.14
7 7
1)4
( ,4
3
3
21
1
QINTrINT
NINTrINT
NxQ
x
INTrINTN
NINTrINT
NxQ
r
r
26
Q1Q3
PRIMJER 3.49, STR 78
11 24 29 37 40 53 65 72
5.262
29241
Q
592
6553
2 6
4
3
4
3 r ,
4
3
2
5.262
2924
2 2
4 ,8
4
r ,4
2
763
13
321
11
xxQ
N
NINT
NxxQ
xxQr
NN
NINT
NxxQ
rr
rr
27
592
65533
Q
stranica 81,82.
28
5.854324
341730
4
N
N
PRIMJER 3.53.
L1
29
Q1=22
N/4
30
88.21548482
671705.8543220
5 48482 67170 5.854324
1
1
Q
iffN
q
stranica 81,82.
31
5.2562974
3417303
4
3
N
N
PRIMJER 3.53.
L1
32
3N/4
Q3
33
27.311082263
2354715.25629730
10 22638 235471 5.2562974
3
3
1
Q
iffN
q
ARITMETIČKA SREDINA
34
JEDNOSTAVNAJEDNOSTAVNA VAGANAVAGANA
N
xx
N
xxxx
N
ii
N
1
21
SKUPAOPSEG
TOTALx
i
k
ii
k
iii
k
ii
k
iii
k
kk
pxxPx
x
f
fxx
fff
fxfxfxx
1
1
1
1
21
2211
100
35
5.22
41
x
41
2.5
36
26
4214
6
441111
x
1
1
1
4
4
1
2
37
36
4412
6
444411
x
3
Zadatak 3.1, str 56 Proizvodnja deterdženta Lahor
N
xx
N
xxxx
N
ii
N
1
21
10710
1070x
0)(1
xxN
ii
38
Zadatak 3.2, str 57
39 i
k
ii
k
iii
k
ii
k
iii
k
kk pxxPx
xf
fxx
fff
fxfxfxx
1
1
1
1
21
2211 100
378.182
100 3.78182
110
416
40
3.26
(str 152)
Šošić,I.(2006). PRIMIJENJENA STATISTIKA. Zagreb,
Školska knjiga, stranica 84-86. PRIMJER 3.55.
41
42
Svojstva aritmetičke sredine:
43
Vrijednost aritmetičke sredine se nalazi uvijek između najmanje i najveće vrijednosti numeričkog niza:
Zbroj odstupanja vrijednosti numeričke varijable od aritmetičke sredine jednak je nuli:
zbroj kvadrata odstupanja vrijednosti numeričke varijable od aritmetičke sredine je minimalan:
maxmin xxx
0)(x 0)(k
1ii
1
i
N
ii fxxx
iii
N
ii
N
ii faxfxaxxx 22
k
1ii
2
1
2
1
)()(x )()(
ARITMETIČKA SREDINA ARITMETIČKIH SREDINA
44 kk
kkkk
kk
NNNNTTN
Tx
NxTN
TxNxT
N
Tx
2121
1111
11
,TT ,
,,
45
Aritmetička sredina k aritmetičkih sredina je njihova vagana aritmetička sredina, a ponderi su jednaki veličinama podskupova ili njima proporcionalnim brojevima.
k
ii
k
iii
k
kk
N
Nxx
NNN
NxNxNxx
1
1
21
2211
46
007,5761 7,29
9,171101
1
21
2211
11
xx
NNN
xNxNxNxNNxN
Nx
k
kkk
iii
k
ii
ARITMETIČKA SREDINA RELATIVNIH BROJEVA
47
Relativni brojevi su omjeri dviju veličina, od kojih je veličina u nazivniku baza relativnog broja.
Najčešće korišteni relativni brojevi su postoci i relativni brojevi koordinacije (BDP po stanovniku, prinos pšenice u t po ha obradive površine, koeficijenti pokrivenosti uvoza izvozom).
RELATIVNI BROJEVI KOORDINACIJE
48
Relativni brojevi koordinacije definirani su izrazom:
kiB
VR
i
ii ,...,2,1 ,
Njihova je srednja vrijednost:
k
ii
i
k
ii
iiik
ii
k
ii
B
BRRBRV
B
VR
1
1
1
1 :jednako zbog je toa ,
49
Na sličan se način može pokazati da je aritmetička sredina postotaka:
kiC
DP
i
ii ,...,2,1 ,100
određena s:
k
ii
k
iii
C
CPP
1
1
GEOMETRIJSKA SREDINA
50
Geometrijska sredina je potpuna srednja vrijednost. Može se primjeniti u slučaju kad su sve vrijednosti numeričke varijable pozitivni brojevi.
JEDNOSTAVNA
NNxxxG 21
VAGANA
k
ii
N fk
ff fNxxxG k
121 21
HARMONIJSKA SREDINA
51
Harmonijska sredina je potpuna srednja vrijednost, a definira se kao recipročna vrijednost aritmetičke sredine recipročnih vrijednosti numeričke varijable.
JEDNOSTAVNA
N
i iN x
NH
xxx
NH
121
1 ili
111
k
i i
i
k
ii
kk
k
ii
xf
f
fx
fx
fx
fH
1
1
22
11
1
H
ili
111
VAGANA
52
Zračna luka Broj putnika Broj putnika po letu
Broj letova
Zagreb 227720 69 3315Split 226280 89 2534Ukupno 454000 _ 5849
iV iR i
ii R
VB
62.775849
454000
R
V
R
V
RB
V
R
i i
i
ii
ii
ii
Top Related