Engrenagens
Compilado por: Victor Franco CorreiaEscola Superior Nautica Infante D. Henrique - 2012
Ref:Shigley , Mischke & Budynas Mechanical Engineering Des ign
Escola Superior Nautica Infante D. Henrique
ORGOS DE M`QUINAS
Engrenagens com rodas dentadascilindricas de dentes direitos
Spur Gears
Engrenagens com rodas dentadascilindricas de dentes helicoidais
Helical Gears
Engrenagens com rodas dentadascnicas com dentes
direitos ou helicoidaisBevel Gears
Engrenagens com rodadentada e parafuso sem-fim
Worm Gears
Nomenclatura
FlancoPasso
Espessura do dente(medida no dimetro primitivo) Crculo de Raz
Dimetro da Raz
Crculo de CoraDimetro da Cora
Folga na Raiz
Conceito de linha de presso:
a - primeiro ponto de contacto do dente da roda motora com o dente da roda movida
b - ltimo ponto de contacto do dente da roda motora com o dente da roda movida
A linha a-b a designada linha de aco
Relao entre o crculo de base e o ngulo de presso
fcosrrB =
ngulo de presso rB raio do crculo e base
r raio do crculo primitivo
Nota:Valor normalizado (sistema mtrico) mais usual para o ngulo de presso: 20
Np numero de dentes da roda motoraNg numero de dentes da roda movida
p passo medido na circunferncia primitiva
Verificam-se as relaes:
logo:
Esta relao define omdulo da engrenagem (sistema mtrico):
expresso apenas em [mm] no SI.
O passo poder ser expresso por:
passo
gg
pp
dNp
dNp
p
p
=
=
g
g
p
p
N
d
N
d=
g
g
p
p
N
d
N
dm ==
2/)( gpd ddc +=
ppp
mN
d
N
dp
g
g
p
p ===
rp raio primitivo da roda motorarg raio primitivo da roda movida p velocidade angular da roda motora g velocidade angular da roda movida
Igualando as velocidades tangenciais no ponto de contacto das circunferncias primitivas:
ou:
i relao de transmisso
igrpr
pg
grgprpv
==
== ww
gNpN
gdpd
grpr
pgi ====
Relaes geomtricas (rodas cilndricas):
ha = m (salincia / adendum) hf = 1.25 m (reentrncia / dedendum) h = 2.25 m (altura do dente) Da = d + 2 ha (diametro de coroa)
= d + 2 m = m(N+2)Df = m(N-2.5) (diametro de raiz)
Dimenses normalizadas dos dentes: (Ref. Shigley)
P : Diametral Pitch (inch-1)
m : mdulo ( mm)
d ou D: dimetro primitivo
dN
P =
Nd
m=
2
1
1
221 N
Ni ==
ww
Trens de engrenagens
2
1
1
221 N
Ni ==
ww
5
1
2
1
3
2
4
3
5
4
1
2
2
3
3
4
4
5
1
551 N
NNN
NN
NN
NN
i ====ww
ww
ww
ww
ww
Veio 1Veio 2
Veio 3 Veio 4Veio 5
Trens de engrenagens
=
=====2468
1357
2
1
4
3
6
5
8
7
1
2
2
3
3
4
4
5
1
551 NNNN
NNNNNN
NN
NN
NN
iww
ww
ww
ww
ww
Veio 1
Veio 2
Veio 3
Veio 4
Veio 5
...0952.05.10
1212
831607920
1
2
2
3
3
4
1
441
===
===
===
B
A
D
C
E
D
NN
NN
NN
iww
ww
ww
ww
Dados: Velocidade de rotao do veio de entrada: 1750 rpm.Numero de dentes das rodas conforme a figura.
Calcular:Velocidade do veio de sada
Velocidade do veio de sada: 1750 / 10.5 = 166.7 rpm
com o sentido da rotao contrrio ao do veio de entrada.
Exemplo:
Os principais factores de projecto que condicionam a capacidade de uma engrenagem, so os seguintes:
Calor gerado durante a operao
por vezes necessrio o arrefecimento forado com leo por forma a dissipar o calor gerado
Falha dos dentes por ruptura
falha esttica devido a flexo falha por fadiga devido a flexo repetida falha por fadiga com corroso por contacto
Falha por desgaste excessivo por abraso das superfcies dos dentes
Rudo resultante de velocidades elevadas, cargas elevadas, desalinhamentos de montagem, etc.
Esforos sobre os dentes (rodas de dentes direitos)
Crculo primitivo
ff
sen
cos
WW
WW
r
t
=
=
O momento de toro T transmitido pela engrenagem pode ser expresso por:
sendo d o dimetro primitivo da roda.A componente radial no contribui para a transmisso de potncia, mas tende a afastar as rodas entre si.
A potncia transmitida P ser:
ou
Logo, a fora tangencial Wt, ser:
tWd
T2
=
602
2nT
fTTPp
pw ===
[ ] [ ] [ ]NmTrpmnWPnP
T ;;260p
=
[ ] [ ] [ ] [ ]NWmdrpmnWPnd
PW tt ;;;
60p
=
Exemplo:Ref: Shigley
Considere o trem de engrenagens de dupla reduo, ilustrado esquematicamente na figura.
Todas as rodas dentadas da engrenagem so cilndricas de dentes direitos. Considere o nmero de dentes de cada roda conforme indicado na figura.Considere que todas as rodas dentadas tm um ngulo de presso de 20. As rodas dentadas 2 e 3 tm um mdulo de 2.5 mm. As rodas dentadas 4 e 5 tm um mdulo de 3 mm.
O pinho motor roda no sentido horrio a 20 rpm e transmite uma potncia de 1.5 kW ao trem de engrenagens.
Calcular:a) Relao de transmisso final do trem de engrenagens.b) Foras radiais exercidas pelo veio b nos respectivos rolamentos. Nota: arbitrar os comprimentos dos veios ou assumir que as foras nas rodas 3 e 4actuam no mesmo plano.
Exemplo numrico: Ref. Ugural
Lewis foi o primeiro a propor uma formulao para o clculo da tenso de flexo nos dentes de uma engrenagem (1892).A tenso de flexo, para o modelo representado na figu ra, dada por:
A tenso mxima ocorre no ponto a na base do dente.Aps um conjunto de manipulaes, possvel escrever:
sendo p o passo (SI) e Y o designado factor de forma de Lewis que pode ser obtido numericamente para uma dada roda dentada.
Esta equao considera apenas cargas estticas, no considera os factores dinmicos prprios da engrenagem e no considera a concentrao de tenses da base do dente.
Dado que p= m , podemos obter a equao alternativa, em funo do mdulo:
com Wt em N e bw e m em mm.
2
6tb
lWI
cM
w
t==s
ps
/YpbW
w
t=
YmbW
w
t=s
Flexo nos dentes (rodas de dentes direitos) - cont.
Tabela com os factores de forma originais de Lewis YShigley Mechanical Enigineering Design, 1st Metric Edition, 1986.
O uso do factor de forma original de Lewis implica que o dente em anlise no partilha a fora tangencial e que a fora mxima aplicada na extremidade do dente.
Na realidade, estas condies so excessivas. Mas por outro lado, como se disse atrs os efeitos dinmicos no estavam considerados e os efeitos da concentrao de tenses da base do dente, tambm no. Tambm os fenmenos de fadiga no so considerados nesta formulao.
Assim, para o projecto efectivo de engrenagens foram propostos, ao longo dos anos, diversos factores de correco e, inclusivamente, equaes alternativas equao original de Lewis.
Efeitos dinmicos
A introduo dos factores dinmicos devem-se origina lmente a Barth, ainda no sec. XIX. Barth exprimiu um factor dinmico , atravs de uma equao do tipo
Para rodas dentadas de dentes rectos usa-se a frmul a (recomendada pela AGMA American Gear Manufacturers Association):
Para rodas dentadas de elevada preciso com cargas dinmicas apreciveis, o factor recomendado pela AGMA do tipo:
Introduzindo o factor dinmico na equao das tense s no dente, temos:
-+
= VV
K v ,66
2/1)200(50
50
VKv
+=
2/1
2/1)200(78
78
+=
VKv
YmbKW
wv
t=s
Dimensionamento da roda dentada
O dimensionamento das rodas dentadas um processo iterativo, pois o momento transmitido e a velocidade dependem, directa ou indirectamente, do mdulo m.
O processo usual, consiste em selecionar um valor estimado para o mdulo m, e efectuar os seguintes clculos, sucessivos:
1. Calcular o dimetro nominal:
2. Calcular a velocidade tangencial no circulo primitivo:
3. Calcular a fora tangencial transmitida:
4. Calcular o factor de velocidade:
5. Calcular a largura da roda dentada:
onde a tenso admissvel para a flexo dos dentes.
Nota importante:Na prtica necessrio efectuar o dimensionamento/verificao fadiga da roda
dentada (ver procedimento especfico, e clculo dos factores de correco, em Shigley, Mischke, Budynas Mechanical Engineering Des ign).
)(10 3 mNmd -=
rpmnsmndV )/(60/p=
)()( WattPcomNVP
Wt =
vK
admv
tw YmK
Wb
s=
)(MPaadms
Geometria das rodas cilndricas de dentes helicoida is
ngulo da hlice:
passo normal: pnpasso transversal: ptpasso axial: px
t
n
tx
tn
pp
pp
ff
y
y
y
tantan
cos
tan
cos
=
=
=
Esforos sobre os dentes (rodas de dentes helicoidais)
Crculo primitivo
axial.cos
radialsen
tangencialcos.cos
yff
yf
senWW
WW
WW
na
r
nt
=
=
=
A fora tangencial Wt, como anteriormente visto, dada por:
Neste caso temos:
Como normalmente Wt dado e as outras foras necessitam de ser calculadas, podemos escrever:
[ ] [ ] [ ]NmTrpmnWPnd
PWt ;;
60p
=
yf
yf
coscos
tan
tan
n
t
ta
ttr
WW
WW
WW
=
=
=
O mtodo dos elementos finitospermite conhecer com preciso a distribuio de tenses nos dentes para as condies reais de engrenamento em condies estticas e dinmicas.
Notas sobre o processo tpico de seleco de um redutor de velocidade (dependente do fabricante)
Exemplo: Redutor industrial David Brownwww.davidbrown.com