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Numerische Integration

GauGaußß-Quadratur-Quadratur

Ziel numerischer Integration (Quadratur): Näherungswerte für


GauGaußß-Formel sind interpolatorische Quadraturformeln-Formel sind interpolatorische Quadraturformeln

Man erlaubt hier sog. Gewichtsfunktionen Man erlaubt hier sog. Gewichtsfunktionen w(x). w(x).

RRnn(f) (f) bezeichnet den Quadraturfehler.bezeichnet den Quadraturfehler.

Im Gegensatz zu den Newton-Cotes-Formeln wIm Gegensatz zu den Newton-Cotes-Formeln wäählt man hlt man die Knoten die Knoten xxkk nicht nicht ääquidistant.quidistant.

n

knkk

b

a

fRxfdxxwxf1

)()()()(


GauGaußß-Formel sind interpolatorische Quadraturformeln-Formel sind interpolatorische Quadraturformeln

n

knkk

b

a

fRxfdxxwxf1

)()()()(


Bestimmt man Knoten Bestimmt man Knoten xxkk und Gewichte und Gewichte kk so, da so, daßß

sich ein möglichst hoher Exaktheitsgrad ergibt.sich ein möglichst hoher Exaktheitsgrad ergibt.

GauGaußß-Legendre-Quadratur-Legendre-Quadratur

n

knkk

b

a

fRxfdxxf1

)()()(


n

knkk

b

a

fRxfdxxf1

)()()(

1

1

)22

)((

2

)()( dc

ababc

abdxx

b

a

22

ababcx

1..1 c


pp=0,1,2,..,=0,1,2,..,mm

System vonSystem von m+1 m+1 nichtlineare Gleichungen mitnichtlineare Gleichungen mit 2*n 2*n Unbekannten die Knoten und Gewichte Unbekannten die Knoten und Gewichte

Lösbar, wenn Lösbar, wenn m+1=2nm+1=2n

1

1 1

n

k

pkk

p cwdxx


21

1

1 1

1

1

0 21 wwwdxdxxN

kk

2211

1

1 1

1 0 cwcwcwdxxN

kkk

222

211

1

1 1

22

3

2cwcwcwdxx

N

kkk

322

311

1

1 1

33 0 cwcwcwdxxN

kkk

0p

1p

2p

mp 3


w1=w2=1

3

11 c

3

12 c

n

n

hKE

hKE

~

2~

2

1

n

EE

21

2

2211 ETETT

n

EE

21

2

2211 ETETT

2221 2 ETET n

1212

2

n

TTE

12

2

121212

222

n

n

n

TTTTTETT