NOCIONES BÁSICAS DE CÁLCULO VECTORIAL
I. INTRODUCCIÓN
Para poder determinar la posición de un punto en el espacio de forma unívoca
necesitamos establecer en primer lugar un sistema de referencia que está formado
por un conjunto de tres ejes no coplanarios con un origen común (origen de
coordenadas). Utilizaremos el sistema de ejes cartesianos, formado por tres ejes
perpendiculares entre sí (ejes X,Y,Z). La posición de un punto cualquiera del espacio
viene determinada por un conjunto ordenado de tres números, cuyo valor particular
depende del sistema de coordenadas elegido. Existen diferentes tipos de sistemas que
son utilizados habitualmente (componentes cartesianas, cilíndricas, esféricas).
(Aunque en estos apuntes utilizaremos las componentes cartesianas conviene saber
expresar las coordenadas de un punto en otros sistemas).
X
Z
YO
• P
X
Z
YO
• P
Figura 1 Sistema de referencia
2
En el sistema de coordenadas cartesiano, la posición de un punto del espacio, P,
viene dada en forma de tres números P:(Px,Py,Pz) los cuales representan las
coordenadas del punto P. Estos números indican la distancia que hay que recorrer
paralelamente a cada uno de los ejes, partiendo desde el origen de coordenadas, para
llegar a la posición del punto P. (ver Figura 2)
Ejemplo: Si las componentes de un punto P son (2,3,5) significa que partiendo desde
el origen de coordenadas debemos movernos dos unidades en la dirección del eje X,
desde ese punto movernos 3 unidades en la dirección del eje Y y 5 unidades en la
dirección del eje Z. El punto del espacio alcanzado corresponde a P.
X
Z
YO
• P
P: (Px,Py,Pz)
Px
Py
Pz
X
Z
YO
• P
P: (Px,Py,Pz)
Px
Py
Pz
Figura 2 Coordenadas del punto P
Para establecer matemáticamente las leyes físicas recurrimos a diferentes
magnitudes. Una magnitud en Física representa algo que puede ser medido. Las
magnitudes que quedan completamente caracterizadas por un número se llaman
escalares. Un ejemplo de magnitud escalar es la temperatura que podemos medir en
un punto cualquiera del espacio colocando un termómetro en dicho punto.
¿Qué sucede cuando queremos expresar cómo se está moviendo un coche? Con un
número podemos indicar la velocidad a la que se está moviendo, pero no conseguimos
toda la información de su movimiento porque no sabemos en qué dirección se está
moviendo. La velocidad es un ejemplo de magnitud vectorial en la cual necesitamos
determinar su magnitud, dirección y sentido. Este tipo de magnitudes en física se
Nociones básicas de cálculo vectorial 3
expresan a través de otros elementos matemáticos: los vectores (ejemplos de vectores
son la velocidad, aceleración, fuerza, campo eléctrico, campo magnético...)
II. VECTORES
Con un vector tenemos asociado además de un número, una determinada dirección y
sentido. Para determinar matemáticamente un vector hacemos lo siguiente: igual que
cuando queremos señalar una dirección apuntamos con el dedo, podemos ver un
vector como una flecha en el espacio que señala la dirección y sentido que queremos
indicar y cuya longitud representa el número que queremos asociar con ese vector (ver
Figura 3)
Tomemos el origen del vector (que vendrá dado por un determinado punto del espacio
de coordenadas ) y su extremo (de coordenadas ).
Definimos el vector que va de P a Q, que representaremos como el vector
),,(: zyx PPPP ),,(: zyx QQQQ
QPr
como
el conjunto de tres números ( ),, zzyyxx PQPQPQ −−− . Estos tres números
representan las componentes del vector.
X
Z
YO
P
Q
X
Z
YO
P
Q
Figura 3 Representación de un vector
Un vector en el cual tenemos especificado su origen y extremo se llama vector ligado.
Sin embargo existen multitud de vectores equivalentes con la misma longitud,
dirección y sentido que solo se diferencian en la posición de su origen.
El conjunto de todos los vectores idénticos (con idénticas componentes) cuyo origen
está contenido sobre la recta que contiene el vector se denominan vector deslizante.
El conjunto de todos los vectores con idénticas componentes con origen en cualquier
punto del espacio representa lo que llamamos un vector libre.
4
Un vector libre, en el cual el origen no es especificado, se representa por un conjunto
de tres números que representan las componentes del vector (lo representaremos con
una letra mayúscula con una flecha encima) y lo expresamos del modo V .
Estas componentes representan las distancias que debemos recorrer paralelamente a
cada uno de los ejes X,Y,Z desde el origen del vector para llegar a su extremo (ver
figura 4)
),,(: zyx VVVr
Dado el vector V definimos el módulo del vector como la cantidad: ),,( zyx VVV=r
)( 222zyx VVVV ++=
r (1)
Este número corresponde a la longitud del vector.
Un vector se llama unitario si tiene módulo igual a 1. Se usan para indicar una
dirección en el espacio. Representaremos este tipo de vectores de la forma: u . ˆ
Podemos convertir un vector cualquiera en unitario dividiéndolo por su módulo.
Los vectores unitarios en la dirección de los ejes de coordenadas son de gran
importancia. Vienen representados del siguiente modo:
Vector unitario en dirección del eje X: i )0,0,1(ˆ =
Vector unitario en la dirección del eje Y: )0,1,0(ˆ =j
Vector unitario en la dirección del eje Z: )1,0,0(ˆ =k
X
Z
Y
Vx
Vy
Vz
|V|→
îj^
k^
X
Z
Y
Vx
Vy
Vz
|V|→
|V|→
îj^j^
k^k^
Figura 4 Módulo y componentes de un vector
Nociones básicas de cálculo vectorial 5
III. OPERACIONES CON VECTORES
Los vectores aparecen continuamente en un gran número de situaciones en física y es
imprescindible conocer las distintas operaciones que podemos establecer a partir de
ellos.
SUMA DE VECTORES
Dados dos vectores y ),,( zyx AAAA =r
),,( zyx BBBB =r
, definimos el vector suma de
éstos como el vector de componentes:
),,( zzyyxx BABABABAC +++=+=rrr
(2)
Geométricamente podemos determinar el vector suma de la forma en que se ve en la
Figura 5.
Ejercicio: Demuestra que el vector Cr
de la figura 5 tiene por componentes las dadas
en la definición (2)
(Ayuda:Utilizar la definición de vectores en función de su punto origen y extremo)
X
Z
YO
A→ B
→
C→
X
Z
YO
A→A→ B
→B→
C→
Figura 5 Suma de vectores
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
La multiplicación de un vector V por un escalar, λ, da como resultado
otro vector de componentes:
),,( zyx VVV=r
6
),,( zyx VVVVF ⋅⋅⋅=⋅= λλλλrr
(3)
El vector Fr
tiene la misma dirección y sentido del vector Vr
, pero su módulo es λ
veces mayor.
Forma alternativa de expresar un vector: A partir de las definiciones precedentes de
vector unitario, suma y producto de un vector por un escalar, un vector puede
representarse en función de los vectores unitarios i , y del siguiente modo
alternativo:
ˆ j k
kVjViVV zyxˆˆˆ ⋅+⋅+⋅=
r (4)
(Ejemplo: El vector (3,5,4) también se puede escribir como 3 ) kji ˆ4ˆ5ˆ ++
PRODUCTO DE DOS VECTORES
Dados dos vectores ),,( zyx AAAA =r
y ),,( zyx BBBB =r
, podemos definir dos
operaciones diferentes de producto: producto escalar y producto vectorial.
Importante: El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar (número). El producto vectorial de dos vectores da como resultado un vector. PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar de dos vectores, Ar
y Br
, se representa de la forma BArr
⋅ y se
define como:
αcos⋅⋅=⋅ BABArrrr
(5)
donde α es el ángulo que forman los dos vectores entre sí.
Si bien esta es la definición de producto escalar, no es la forma más conveniente de
encontrar el valor de este producto puesto que en la mayoría de las ocasiones
desconocemos el valor de α y lo que conocemos es el valor de las componentes de
cada vector.
Podemos dar una expresión equivalente para el producto escalar utilizando la
representación de un vector en función de los vectores unitarios (4). Sabemos que
Nociones básicas de cálculo vectorial 7
éstos vectores ( , y ) forman 90º entre sí, de modo que aplicando la definición (5)
tenemos:
i j k
1)0cos(11ˆˆˆˆˆˆ =⋅⋅=⋅=⋅=⋅ kkjjii
y
0)90cos(11ˆˆˆˆˆˆ =⋅⋅=⋅=⋅=⋅ kjkiji
Utilizando este resultado tenemos
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ()ˆˆˆ()ˆˆˆ( kkBAjiBAiiBAkBjBiBkAjAiABA zzyxxxzyxzyx ⋅++⋅+⋅=++⋅++=⋅ Krr
cada término entre paréntesis da 0 ó 1 y al final obtenemos el resultado:
zzyyxx BABABABA ++=⋅rr
(6)
Esta es la definición que nos permite calcular el producto escalar de dos vectores en
función de sus componentes y que será de mayor utilidad a lo largo del curso.
Ejemplo: Calcula el producto escalar de )4,2,1(:Ar
y )0,5,3(:Br
13045231 =⋅+⋅+⋅=⋅ BArr
PRODUCTO VECTORIAL
Ya hemos dicho que el producto vectorial de dos vectores es un vector. El producto
vectorial aparece en muchos campos de la física y es por tanto importante saber
calcularlo correctamente. En este resumen no nos centraremos en los motivos que
originan la necesidad de introducir estos vectores en la física y nos limitaremos a ver
su definición.
El producto vectorial de dos vectores, que representamos como BArr
∧ ó BArr
× , se
define como el vector que tiene por módulo:
⋅⋅=∧ BABArrrr
senα (7)
cuya dirección es perpendicular al plano que contiene a los vectores Ar
y Br
y cuyo
sentido viene dado por la regla de la mano derecha (Figura 6)
8
Podemos expresar el producto vectorial en función de las componentes de cada uno
de los vectores al igual que en el producto escalar a partir de la definición. En primer
lugar determinamos el producto vectorial de los vectores unitarios
i , i ∧ , i ∧ 0ˆˆ =∧ i kj ˆˆˆ = jk ˆˆˆ −=
kij ˆˆˆ −=∧ , , 0ˆˆ =∧ jj ikj ˆˆ =∧r
jik ˆˆˆ =∧ , , ijk ˆˆˆ −=∧ 0ˆˆ =∧ kk
El producto vectorial expresado en función de las componentes de los vectores queda:
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ( kkBAjiBAiiBABA zzyxxx ∧++∧+∧=∧ Krr
Sustituyendo cada paréntesis por el valor obtenido anteriormente queda
kBABAjBABAiBABABA xyyxxzzxyzzyˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−−−=∧
rr (8)
Esta expresión corresponde al vector producto vectorial.
A→
B→
A ∧ B→ →
A→A→
B→B→
A ∧ B→ →
Figura 6 Producto vectorial
Este resultado puede expresarse igualmente de una forma mucho más compacta
utilizando las propiedades de los determinantes
Nociones básicas de cálculo vectorial 9
zyx
zyx
BBBAAAkji
BA
ˆˆˆ
=∧rr
Si calculamos el determinante (bien por desarrollo por menores o por la regla de
Barrow) encontramos que equivale exactamente a la expresión (8).
Como desarrollo por menores este determinante puede expresarse de la forma:
yx
yx
zx
zx
zy
zy
zyx
zyx BBAA
kBBAA
jBBAA
iBBBAAAkji
BA ⋅+⋅−⋅==∧ ˆˆˆˆˆˆ
rr
Ejemplo: Calcula el producto vectorial de )4,2,1(:Ar
y )0,5,3(:Br
kji
kjikjikji
BA
ˆˆ12ˆ20
)3251(ˆ)3401(ˆ)5402(ˆ5321ˆ
0341ˆ
0542ˆ
053421
ˆˆˆ
−+−=
=⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−⋅=⋅+⋅−⋅==∧rr
IV. REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR EN FUNCIÓN DE SU
MÓDULO Y SU VECTOR UNITARIO
En muchas ocasiones al estudiar diversos problemas físicos nos encontramos con
vectores de los que conocemos su módulo y dirección (por ejemplo en Mecánica en
muchas ocasiones sabemos qué fuerza estamos aplicando y en qué dirección). Para
el desarrollo matemático de las ecuaciones, sin embargo, es muy útil el uso de las
componentes de un vector. En este apartado recordaremos como calcular las
componentes de un vector a partir de su módulo y vector unitario.
DETERMINACIÓN DE LAS COMPONENTES DEL VECTOR UNITARIO A UN EJE
DADO
10
Para especificar una determinada dirección en el espacio debemos caracterizar las
componentes del eje en dicha dirección. Un eje queda determinado por un vector
unitario en la dirección de dicho eje. (Figura 7)
Podemos determinar las componentes del vector unitario de un eje en dos formas:
1.- Si conocemos dos puntos cualquiera del eje, P y Q, podemos determinar el
vector unitario del siguiente modo
QPQPu r
r
=ˆ
2.- Si conocemos los ángulos que forma el eje con los ejes cartesianos X,Y,Z,
podemos determinar el vector unitario a través de los cosenos directores
)cos,cos,(cosˆ γβα=u
donde α es el ángulo entre el eje dado y el eje X, β es el ángulo entre el eje y el
eje Y y γ es el ángulo que el eje forma con el eje Z
X
Z
Y
• Q
• P
û
α
β
γ
X
Z
Y
• Q
• P
û
α
β
γ
X
Z
Y
• Q
• P
û
α
β
γ
Figura 7 Determinación de las componentes del vector unitario en la dirección de un eje dado
EjeEje
Nociones básicas de cálculo vectorial 11
Una vez calculado el vector unitario en la dirección que nos interesa, podemos escribir
un vector cualquiera en dicha dirección como
uVV ˆ⋅=rr
Ejemplo: Un vector de módulo 15 está aplicado en la dirección de la diagonal del cubo,
de arista L, mostrado en la figura. Determina las componentes de dicho vector.
Para determinar el vector necesitamos su módulo y su vector unitario. El vector
unitario lo podemos determinar a partir de las componentes de dos puntos del
eje que contiene el vector
De la figura obtenemos y . A partir de estos formamos el
vector
)0,0,(: LA ),,0(: LLB
),,( LLLBA −=r
y su módulo es 3)( 222 LLLLBA =++−=r
El vector unitario en esta dirección es
−==
31,
31,
31ˆ
BABArur
El vector buscado es
−=
−⋅=⋅=
315,
315,
315
31,
31,
3115uV
rrV
X
Z
Y
A
B
LV→
X
Z
Y
A
B
LV→
12
Ejemplo: Determinar las coordenadas de un vector de módulo 15 que está situado
sobre la diagonal de la cara inferior de un cubo idéntico al del ejemplo anterior
En este caso determinaremos el vector unitario a partir de los cosenos
directores del eje que contiene al vector. De la figura vemos que el eje forma
un ángulo de 135º con el eje X, un ángulo de 45º con el eje Y y un ángulo de
90º con el eje Z de modo que podemos escribir
−== 0,
21,
21)90cos,45cos,135(cosu
y el vector vendrá dado por
−=⋅= 0,
215,
215uVV
rr
X
Z
YL
V→
αβ
γ
X
Z
YL
V→V→
αβ
γ