Nociones basicas vectores

NOCIONES BÁSICAS DE CÁLCULO VECTORIAL

I. INTRODUCCIÓN

Para poder determinar la posición de un punto en el espacio de forma unívoca

necesitamos establecer en primer lugar un sistema de referencia que está formado

por un conjunto de tres ejes no coplanarios con un origen común (origen de

coordenadas). Utilizaremos el sistema de ejes cartesianos, formado por tres ejes

perpendiculares entre sí (ejes X,Y,Z). La posición de un punto cualquiera del espacio

viene determinada por un conjunto ordenado de tres números, cuyo valor particular

depende del sistema de coordenadas elegido. Existen diferentes tipos de sistemas que

son utilizados habitualmente (componentes cartesianas, cilíndricas, esféricas).

(Aunque en estos apuntes utilizaremos las componentes cartesianas conviene saber

expresar las coordenadas de un punto en otros sistemas).

X

Z

YO

• P

X

Z

YO

• P

Figura 1 Sistema de referencia

2

En el sistema de coordenadas cartesiano, la posición de un punto del espacio, P,

viene dada en forma de tres números P:(Px,Py,Pz) los cuales representan las

coordenadas del punto P. Estos números indican la distancia que hay que recorrer

paralelamente a cada uno de los ejes, partiendo desde el origen de coordenadas, para

llegar a la posición del punto P. (ver Figura 2)

Ejemplo: Si las componentes de un punto P son (2,3,5) significa que partiendo desde

el origen de coordenadas debemos movernos dos unidades en la dirección del eje X,

desde ese punto movernos 3 unidades en la dirección del eje Y y 5 unidades en la

dirección del eje Z. El punto del espacio alcanzado corresponde a P.

X

Z

YO

• P

P: (Px,Py,Pz)

Px

Py

Pz

X

Z

YO

• P

P: (Px,Py,Pz)

Px

Py

Pz

Figura 2 Coordenadas del punto P

Para establecer matemáticamente las leyes físicas recurrimos a diferentes

magnitudes. Una magnitud en Física representa algo que puede ser medido. Las

magnitudes que quedan completamente caracterizadas por un número se llaman

escalares. Un ejemplo de magnitud escalar es la temperatura que podemos medir en

un punto cualquiera del espacio colocando un termómetro en dicho punto.

¿Qué sucede cuando queremos expresar cómo se está moviendo un coche? Con un

número podemos indicar la velocidad a la que se está moviendo, pero no conseguimos

toda la información de su movimiento porque no sabemos en qué dirección se está

moviendo. La velocidad es un ejemplo de magnitud vectorial en la cual necesitamos

determinar su magnitud, dirección y sentido. Este tipo de magnitudes en física se

Nociones básicas de cálculo vectorial 3

expresan a través de otros elementos matemáticos: los vectores (ejemplos de vectores

son la velocidad, aceleración, fuerza, campo eléctrico, campo magnético...)

II. VECTORES

Con un vector tenemos asociado además de un número, una determinada dirección y

sentido. Para determinar matemáticamente un vector hacemos lo siguiente: igual que

cuando queremos señalar una dirección apuntamos con el dedo, podemos ver un

vector como una flecha en el espacio que señala la dirección y sentido que queremos

indicar y cuya longitud representa el número que queremos asociar con ese vector (ver

Figura 3)

Tomemos el origen del vector (que vendrá dado por un determinado punto del espacio

de coordenadas ) y su extremo (de coordenadas ).

Definimos el vector que va de P a Q, que representaremos como el vector

),,(: zyx PPPP ),,(: zyx QQQQ

QPr

como

el conjunto de tres números ( ),, zzyyxx PQPQPQ −−− . Estos tres números

representan las componentes del vector.

X

Z

YO

P

Q

X

Z

YO

P

Q

Figura 3 Representación de un vector

Un vector en el cual tenemos especificado su origen y extremo se llama vector ligado.

Sin embargo existen multitud de vectores equivalentes con la misma longitud,

dirección y sentido que solo se diferencian en la posición de su origen.

El conjunto de todos los vectores idénticos (con idénticas componentes) cuyo origen

está contenido sobre la recta que contiene el vector se denominan vector deslizante.

El conjunto de todos los vectores con idénticas componentes con origen en cualquier

punto del espacio representa lo que llamamos un vector libre.

4

Un vector libre, en el cual el origen no es especificado, se representa por un conjunto

de tres números que representan las componentes del vector (lo representaremos con

una letra mayúscula con una flecha encima) y lo expresamos del modo V .

Estas componentes representan las distancias que debemos recorrer paralelamente a

cada uno de los ejes X,Y,Z desde el origen del vector para llegar a su extremo (ver

figura 4)

),,(: zyx VVVr

Dado el vector V definimos el módulo del vector como la cantidad: ),,( zyx VVV=r

)( 222zyx VVVV ++=

r (1)

Este número corresponde a la longitud del vector.

Un vector se llama unitario si tiene módulo igual a 1. Se usan para indicar una

dirección en el espacio. Representaremos este tipo de vectores de la forma: u . ˆ

Podemos convertir un vector cualquiera en unitario dividiéndolo por su módulo.

Los vectores unitarios en la dirección de los ejes de coordenadas son de gran

importancia. Vienen representados del siguiente modo:

Vector unitario en dirección del eje X: i )0,0,1(ˆ =

Vector unitario en la dirección del eje Y: )0,1,0(ˆ =j

Vector unitario en la dirección del eje Z: )1,0,0(ˆ =k

X

Z

Y

Vx

Vy

Vz

|V|→

îj^

k^

X

Z

Y

Vx

Vy

Vz

|V|→

|V|→

îj^j^

k^k^

Figura 4 Módulo y componentes de un vector


III. OPERACIONES CON VECTORES

Los vectores aparecen continuamente en un gran número de situaciones en física y es

imprescindible conocer las distintas operaciones que podemos establecer a partir de

ellos.

SUMA DE VECTORES

Dados dos vectores y ),,( zyx AAAA =r

),,( zyx BBBB =r

, definimos el vector suma de

éstos como el vector de componentes:

),,( zzyyxx BABABABAC +++=+=rrr

(2)

Geométricamente podemos determinar el vector suma de la forma en que se ve en la

Figura 5.

Ejercicio: Demuestra que el vector Cr

de la figura 5 tiene por componentes las dadas

en la definición (2)

(Ayuda:Utilizar la definición de vectores en función de su punto origen y extremo)

X

Z

YO

A→ B

→

C→

X

Z

YO

A→A→ B

→B→

C→

Figura 5 Suma de vectores

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

La multiplicación de un vector V por un escalar, λ, da como resultado

otro vector de componentes:

),,( zyx VVV=r

6

),,( zyx VVVVF ⋅⋅⋅=⋅= λλλλrr

(3)

El vector Fr

tiene la misma dirección y sentido del vector Vr

, pero su módulo es λ

veces mayor.

Forma alternativa de expresar un vector: A partir de las definiciones precedentes de

vector unitario, suma y producto de un vector por un escalar, un vector puede

representarse en función de los vectores unitarios i , y del siguiente modo

alternativo:

ˆ j k

kVjViVV zyxˆˆˆ ⋅+⋅+⋅=

r (4)

(Ejemplo: El vector (3,5,4) también se puede escribir como 3 ) kji ˆ4ˆ5ˆ ++

PRODUCTO DE DOS VECTORES

Dados dos vectores ),,( zyx AAAA =r

y ),,( zyx BBBB =r

, podemos definir dos

operaciones diferentes de producto: producto escalar y producto vectorial.

Importante: El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar (número). El producto vectorial de dos vectores da como resultado un vector. PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar de dos vectores, Ar

y Br

, se representa de la forma BArr

⋅ y se

define como:

αcos⋅⋅=⋅ BABArrrr

(5)

donde α es el ángulo que forman los dos vectores entre sí.

Si bien esta es la definición de producto escalar, no es la forma más conveniente de

encontrar el valor de este producto puesto que en la mayoría de las ocasiones

desconocemos el valor de α y lo que conocemos es el valor de las componentes de

cada vector.

Podemos dar una expresión equivalente para el producto escalar utilizando la

representación de un vector en función de los vectores unitarios (4). Sabemos que


éstos vectores ( , y ) forman 90º entre sí, de modo que aplicando la definición (5)

tenemos:

i j k

1)0cos(11ˆˆˆˆˆˆ =⋅⋅=⋅=⋅=⋅ kkjjii

y

0)90cos(11ˆˆˆˆˆˆ =⋅⋅=⋅=⋅=⋅ kjkiji

Utilizando este resultado tenemos

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ()ˆˆˆ()ˆˆˆ( kkBAjiBAiiBAkBjBiBkAjAiABA zzyxxxzyxzyx ⋅++⋅+⋅=++⋅++=⋅ Krr

cada término entre paréntesis da 0 ó 1 y al final obtenemos el resultado:

zzyyxx BABABABA ++=⋅rr

(6)

Esta es la definición que nos permite calcular el producto escalar de dos vectores en

función de sus componentes y que será de mayor utilidad a lo largo del curso.

Ejemplo: Calcula el producto escalar de )4,2,1(:Ar

y )0,5,3(:Br

13045231 =⋅+⋅+⋅=⋅ BArr

PRODUCTO VECTORIAL

Ya hemos dicho que el producto vectorial de dos vectores es un vector. El producto

vectorial aparece en muchos campos de la física y es por tanto importante saber

calcularlo correctamente. En este resumen no nos centraremos en los motivos que

originan la necesidad de introducir estos vectores en la física y nos limitaremos a ver

su definición.

El producto vectorial de dos vectores, que representamos como BArr

∧ ó BArr

× , se

define como el vector que tiene por módulo:

⋅⋅=∧ BABArrrr

senα (7)

cuya dirección es perpendicular al plano que contiene a los vectores Ar

y Br

y cuyo

sentido viene dado por la regla de la mano derecha (Figura 6)

8

Podemos expresar el producto vectorial en función de las componentes de cada uno

de los vectores al igual que en el producto escalar a partir de la definición. En primer

lugar determinamos el producto vectorial de los vectores unitarios

i , i ∧ , i ∧ 0ˆˆ =∧ i kj ˆˆˆ = jk ˆˆˆ −=

kij ˆˆˆ −=∧ , , 0ˆˆ =∧ jj ikj ˆˆ =∧r

jik ˆˆˆ =∧ , , ijk ˆˆˆ −=∧ 0ˆˆ =∧ kk

El producto vectorial expresado en función de las componentes de los vectores queda:

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ( kkBAjiBAiiBABA zzyxxx ∧++∧+∧=∧ Krr

Sustituyendo cada paréntesis por el valor obtenido anteriormente queda

kBABAjBABAiBABABA xyyxxzzxyzzyˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−−−=∧

rr (8)

Esta expresión corresponde al vector producto vectorial.

A→

B→

A ∧ B→ →

A→A→

B→B→

A ∧ B→ →

Figura 6 Producto vectorial

Este resultado puede expresarse igualmente de una forma mucho más compacta

utilizando las propiedades de los determinantes


zyx

zyx

BBBAAAkji

BA

ˆˆˆ

=∧rr

Si calculamos el determinante (bien por desarrollo por menores o por la regla de

Barrow) encontramos que equivale exactamente a la expresión (8).

Como desarrollo por menores este determinante puede expresarse de la forma:

yx

yx

zx

zx

zy

zy

zyx

zyx BBAA

kBBAA

jBBAA

iBBBAAAkji

BA ⋅+⋅−⋅==∧ ˆˆˆˆˆˆ

rr

Ejemplo: Calcula el producto vectorial de )4,2,1(:Ar

y )0,5,3(:Br

kji

kjikjikji

BA

ˆˆ12ˆ20

)3251(ˆ)3401(ˆ)5402(ˆ5321ˆ

0341ˆ

0542ˆ

053421

ˆˆˆ

−+−=

=⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−⋅=⋅+⋅−⋅==∧rr

IV. REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR EN FUNCIÓN DE SU

MÓDULO Y SU VECTOR UNITARIO

En muchas ocasiones al estudiar diversos problemas físicos nos encontramos con

vectores de los que conocemos su módulo y dirección (por ejemplo en Mecánica en

muchas ocasiones sabemos qué fuerza estamos aplicando y en qué dirección). Para

el desarrollo matemático de las ecuaciones, sin embargo, es muy útil el uso de las

componentes de un vector. En este apartado recordaremos como calcular las

componentes de un vector a partir de su módulo y vector unitario.

DETERMINACIÓN DE LAS COMPONENTES DEL VECTOR UNITARIO A UN EJE

DADO

10

Para especificar una determinada dirección en el espacio debemos caracterizar las

componentes del eje en dicha dirección. Un eje queda determinado por un vector

unitario en la dirección de dicho eje. (Figura 7)

Podemos determinar las componentes del vector unitario de un eje en dos formas:

1.- Si conocemos dos puntos cualquiera del eje, P y Q, podemos determinar el

vector unitario del siguiente modo

QPQPu r

r

=ˆ

2.- Si conocemos los ángulos que forma el eje con los ejes cartesianos X,Y,Z,

podemos determinar el vector unitario a través de los cosenos directores

)cos,cos,(cosˆ γβα=u

donde α es el ángulo entre el eje dado y el eje X, β es el ángulo entre el eje y el

eje Y y γ es el ángulo que el eje forma con el eje Z

X

Z

Y

• Q

• P

û

α

β

γ

X

Z

Y

• Q

• P

û

α

β

γ

X

Z

Y

• Q

• P

û

α

β

γ

Figura 7 Determinación de las componentes del vector unitario en la dirección de un eje dado

EjeEje


Una vez calculado el vector unitario en la dirección que nos interesa, podemos escribir

un vector cualquiera en dicha dirección como

uVV ˆ⋅=rr

Ejemplo: Un vector de módulo 15 está aplicado en la dirección de la diagonal del cubo,

de arista L, mostrado en la figura. Determina las componentes de dicho vector.

Para determinar el vector necesitamos su módulo y su vector unitario. El vector

unitario lo podemos determinar a partir de las componentes de dos puntos del

eje que contiene el vector

De la figura obtenemos y . A partir de estos formamos el

vector

)0,0,(: LA ),,0(: LLB

),,( LLLBA −=r

y su módulo es 3)( 222 LLLLBA =++−=r

El vector unitario en esta dirección es

−==

31,

31,

31ˆ

BABArur

El vector buscado es

−=

−⋅=⋅=

315,

315,

315

31,

31,

3115uV

rrV

X

Z

Y

A

B

LV→

X

Z

Y

A

B

LV→

12

Ejemplo: Determinar las coordenadas de un vector de módulo 15 que está situado

sobre la diagonal de la cara inferior de un cubo idéntico al del ejemplo anterior

En este caso determinaremos el vector unitario a partir de los cosenos

directores del eje que contiene al vector. De la figura vemos que el eje forma

un ángulo de 135º con el eje X, un ángulo de 45º con el eje Y y un ángulo de

90º con el eje Z de modo que podemos escribir

−== 0,

21,

21)90cos,45cos,135(cosu

y el vector vendrá dado por

−=⋅= 0,

215,

215uVV

rr

X

Z

YL

V→

αβ

γ

X

Z

YL

V→V→

αβ

γ

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