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Hortêncio Uachave Botão
Pensamento Geométrico de Alunos da 7ª Classe Segundo o Modelo de Van Hiele –
Um Estudo na Escola Primária Completa 7 de Setem!ro de "uelimane no ano de
#$%
Licenciatura em ensino de Matemática
Universidade Pedagógica
Quelimane
201
Hortêncio Uachave Botão
Pensamento Geométrico de
Alunos da 7ª Classe Segundo o
Monogra!ia a"resentada ao #e"artamento de
Matemática da Universidade Pedagógica$ #elega%ão
de Quelimane$ "ara a o&ten%ão do grau acad'mico
de Licenciatura em ensino de Matemática(
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Índice
Lista de Tabelas............................................................................................................iv
Lista de Figuras.............................................................................................................v
Lista de Siglas e Abreviaturas......................................................................................vi
Declaração sob palavra de honra................................................................................vii
Dedicatória..................................................................................................................viii
Agradecimentos............................................................................................................ ix
Resumo.........................................................................................................................x
ap!tulo ".....................................................................................................................###. "ntrodução................................................................................................................##
#.#. $roblemati%ação...................................................................................................#&
#.&. 'usti(icativa...........................................................................................................#)
#.). *b+ectivos.............................................................................................................#,
#.).#. *b+ectivo -eral..................................................................................................#,
#.).&. *b+ectivos spec!(icos......................................................................................#,
#.,. /ipóteses..............................................................................................................#,
#.0. $rocedimentos 1etodológicos.............................................................................#,
#.0.#. Tipo de $es2uisa...............................................................................................#,
#.0.&. $opulação e Amostra........................................................................................#0
#.0.). T3cnica para a colecta de Dados......................................................................#0
#.0.,. $rocesso de Apresentação e Analise dos Dados.............................................#4
apitulo ""....................................................................................................................#5
&. Fundamentação Teórica..........................................................................................#5
&.#. 6reve Resenha /istórica da volução da -eometria.........................................#5
&.&. Teoria de 7an /iele..............................................................................................#8
&.&.#. aracter!sticas -erais do modelo de 7an /iele...............................................&&
&.&.&. Fases de Aprendi%agem...................................................................................&&
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&.&.). Limitaç9es do modelo de 7an /iele..................................................................&0
&.). Teoria de desenvolvimento cognitivo de 7:gost;: no ensino da -eometria.......&4
apitulo """...................................................................................................................&5). Apresentação e Anuestion
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Lista de Tabelas e Quadros
Tabela 1: xemplo de tabela usada para a apresentação dos n!veis de pensamento
geom3trico de 7an /iele para os su+eitos da pes2uisa .............................................#?
Tabela 2: xemplo de tabela usada para apresentar os dados relativos a nmero de
acertos e erros em cada 2uestão ..............................................................................#?
Tabela 3: =mero de alunos por n!veis de pensamento geom3trico de 7an /iele . .&5
Tabela 4: =mero de acertos e erros cometidos na 2uestão # ................................)C
Tabela 5: Resultados das 2uest9es & e ) .................................................................)&
Tabela 6: Resultados das 2uest9es , e 0 .................................................................)0
Quadro 1: =!veis de 7an /iele para a compreensão em -eometria .......................&C
Quadro 2 E Fases de aprendi%agem para o conceito de rectngulo E transição do
=!vel # para o =!vel & .................................................................................................&)
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Lista de Figuras
Figura 1: =mero de alunos por n!veis de pensamento geom3trico de 7an /iele . .&8
Figura 2: An
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F E Falso GaH.
EA E $rocesso de nsino e Aprendi%agem.
S"E E Sistema =acional de ducação.
# E Iniversidade $edagógica.
$ E 7erdadeiro GaH.
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%eclara&'o sob (alavra de )onra
Declaro sob palavra de honra 2ue este trabalho 3 resultado da minha investigação e
das orientaç9es do meu supervisorJ 2ue todas as (ontes consultadas estão
devidamente mencionadas no texto e nas re(er@ncias bibliogruelimaneJ KKKKKK de KKKKKKKKKKKKKKKKK de &C#0
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
G/ort@ncio Iachave 6otãoH
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%edicat*ria
Dedico este trabalhoJ com todo amorJ carinho e respeito acima de tudoJ aos meus
paisJ a minha esposa e aos meus (ilhos.
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Agradeci+entos
Ao meu supervisor Dr. lias Forma SementeJ pela orientaçãoJ a+uda edisponibilidade dispensada na elaboração desta monogra(ia.
todos os docentes do urso de Licenciatura em ensino de 1atemuelimaneJ 2ue de uma (orma ou de outra contribu!ram para a
conclusão do curso e a elaboração deste trabalho.
A todos 2ue directa e indirectamente me apoiaram durante a elaboração deste
trabalho.
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,esu+o
* trabalho 2ue ora se apresenta 3 resultado de uma pes2uisa de caruelimane. A pes2uisa tinha como ob+ectivoJ perceber se os alunos da escola acimacitada encontramNse em con(ormidade com o modelo de 7an /ieleJ 2ue de acordocom 1urimo e 1orgadinho G&CC?HJ ate na 0M classe os alunos devem estar noterceiro n!vel dos cinco 2ue 7an /iele prop9e para o desenvolvimento dopensamento geom3trico. $ara o e(eito (oi aplicado a estes alunos um 2uestion
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!a(.tulo /
10 /ntrodu&'o
A presente monogra(ia aborda de (orma minuciosa o trabalho reali%ado com alunos
da ?M classe da scola $rimuelimane 2ue tinha o
ob+ectivo de perceber se os alunos (inalistas do ensino prim
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1010 roble+atia&'o
De acordo com as novas re(ormas educacionais no pa!sJ o ensino da -eometria tem
sido proposto como (actor (undamental para o desenvolvimento de habilidades e
compet@ncias matem
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rigor 3 o n!vel de racioc!nio bastante alto e 2ue poder< ser atingido possivelmente no
per!odo pósNsecund
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como a
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=a investigação 2ualitativa a (onte directa de dados 3 o ambiente naturalJ
constituindo o investigadorJ o instrumento principal a investigação
2ualitativa 3 descritiva e os dados recolhidos são em (orma de palavras e
não de nmeros apenas os investigadores 2ualitativos interessamNse mais
pelo processo do 2ue simplesmente pelos resultados ou produto G6*-DA=
O 6"LUL=J #88,J p.04H.
Do ponto de vista dos seus ob+ectivosJ a pes2uisa 3 exploratória. De acordo com -"L
G&CC&B ,#HJ podeNse di%er 2ue esta pes2uisa tem como ob+ectivo principal o
aprimoramento de ideias ou a descoberta de intuiç9es.
>uanto aos procedimentos t3cnicosJ trataNse de um estudo de caso. De acordo comV"= G&CC0J p.)&HJ o estudo de caso 3 uma investigação emp!rica 2ue investiga um
(enómeno contemporneo dentro de seu contexto da vida realJ especialmente
2uando os limites entre o (enómeno e o contexto da vida realJ não estão claramente
de(inidos.
ssa metodologia 3 muito utili%ada em v
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& N Foram escritos os nmeros em pe2uenos pedaços de pap3is
) N *s pedacinhos de pap3is (oram bem dobrados e colocados em cinco caixasJ
cada caixa correspondendo a uma turma
, N Depois de agitados os pedacinhos de pap3is dentro de cada caixa (oram
seleccionados aleatoriamente #4 pap3is em cada uma destas. *s pap3is
seleccionados indicavam os nmeros dos alunos 2ue podiam compor a amostra
para esta pes2uisa.
105030 Tcnica (ara a colecta de %ados
Tendo em vista (a%ermos uma anuestion
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$arte )B são as 2uest9es , e 0J re(erentes ao terceiro n!vel. A 2uestão , re2ueria a
habilidade visual Greconhecer propriedades comuns em di(erentes tipos de (igurasH.
a 2uestão 0 exigia a habilidade de lógica Gusar propriedade das (iguras tendo em
vista assim se uma classe de (iguras est< contida ou não em outra classeH.
105040 rocesso de A(resenta&'o e Analise dos %ados
Depois da correcção do 2uestion
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Sem n!vel
Total
FonteB autorJ &C#0.
$ara apresentar os dados sobre o nmero de acertos e erros por 2uestão utili%amos
tabelas com as seguintes caracter!sticasB
Tabela 2: xemplo de tabela usada para apresentar os dados relativos a nmero de
acertos e erros em cada 2uestão.
";+ero de
alunos
Acertos
rros
Abstenção
Total
FonteB autorJ &C#0.
Loren%ato e Fiorentini G&CC?J p. #)0H nos di%em ainda 2ue o tipo de nossa an
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!a(itulo //
20 Funda+enta&'o Te*rica
2010
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6attista AlbertiH no s3culo X7""J da (usão entre a -eometria e a Ylgebra GDescartesH
e no (im do s3culo X7"""J do estudo sistem
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n!veis de desenvolvimento do pensamento geom3tricoH com as seguintes
caracter!sticasB no n!vel inicial Gvisuali%açãoHJ as (iguras são avaliadas apenas pela
sua apar@nciaJ a ele pertencem os alunos 2ue só conseguem reconhecer ou
reprodu%ir (iguras Gatrav3s das (ormas e não pelas propriedadesH no n!vel seguinte
Gan
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& =!vel
An
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condiç9es necess Se9uencial E *s n!veis são se2uenciais. *s alunos devem passar por todos os
n!veisJ uma ve% 2ue não 3 poss!vel atingir um n!vel posterior sem dominar os n!veis
anteriores
b> Avan&o E A progressão ou não de um n!vel para outro depende dos m3todos de
ensino e do contedoJ não depende da idade ou maturação biológicaJ como
descreve $iaget
c> /ntr.nseco e E=tr.nseco E *s ob+ectivos impl!citos num n!vel tornamNse expl!citos
no n!vel seguinte
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d> Linguage+ E ada n!vel apresenta a sua própria linguagem e um con+unto de
relaç9es interligandoNos. Ima relação 2ue 3 Pcorrecta num certo n!velJ pode
modi(icarNse noutro n!vel
e> !o+bina&'o /nade9uada E * pro(essor e o aluno precisam de estar a raciocinar
no mesmo n!velJ para 2ue a aprendi%agem ocorra. "sto 3J o pro(essorJ o material
did
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Fase #B
"n(ormação
* pro(essor apresenta aos alunos diversos rectngulosJ
perguntandoNlhes se são ou não rectngulos. *s alunos são
capa%es de di%er se uma dada (igura 3 ou não rectnguloJ mas
as ra%9es 2ue apresentam serão apenas de percepção visual.
Fase &B
*rientação
-uiada
Reali%amNse outras actividades sobre rectngulos. $or exemploJ
dobrar um rectngulo de acordo com os seus eixos de simetria
desenhar um rectngulo no geoplano com as diagonais iguaisJ
construir um maior e um menor.
Fase )B
xplicitação
As actividades anteriores são seguidas por uma discussão entre
os alunos sobre as suas descobertas
Fase ,B
*rientação
Livre
* pro(essor coloca o problema de construir um rectngulo a
partir de dois tringulos.
Fase 0B
"ntegração
*s alunos rev@em e resumem o 2ue aprenderam sobre as
propriedades do rectngulo. * pro(essor a+uda a (a%er a s!ntese.
Fonte: $onte e Serra%ina G&CCCB#5CH.
Durante estas cinco (ases o pro(essor desempenha um papel muito importanteB
plani(ica as tare(as direcciona a atenção das crianças para as caracter!sticas
geom3tricas das (ormas introdu% a terminologia e estimula as criançasJ durante as
suas discuss9esJ a utili%ar esses termos e incentiva nas explicaç9esJ na resoluçãode problemas e nas abordagens 2ue (a%emJ a descrição do seu pensamento.
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Tendo em conta o n!vel de pensamento dos alunosJ o ensino da -eometria no #
ciclo deve ter a preocupação de a+ud
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202030 Li+ita&@es do +odelo de $an 7iele
mbora a teoria de van /iele possa ser ben3(ica ao processo de ensinoN
aprendi%agemJ apresenta algumas limitaç9es nas
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dois tipos de mudança 2ue serão necess
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7:gots;:J o da %ona de desenvolvimento proximal. 7:gots;: considera 2ue a %ona
de desenvolvimento proximal 3 a di(erença entre o desenvolvimento actual da
criança e o n!vel alcançado 2uando esta resolve problemas com a+uda. * re(erido
autor de(ende 2ue a criança aprende melhor 2uando lhe são apresentadas tare(as
2ue envolvam um n!vel cognitivo não muito discrepante do seuJ isto 3J 2ue se situem
na %ona de desenvolvimento proximal. AssimJ o estado do desenvolvimento mental
da criança só pode ser determinado re(erindoNse pelo menos a dois n!veisB o n!vel de
desenvolvimento e(ectivo e a
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!a(itulo ///
30 A(resenta&'o e AnClise dos %ados
=este cap!tulo apresentamos os dados colhidos depois da aplicação e correcção do
2uestion
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De acordo com a tabela constatouNse 2ue dos 5C alunos submetidos a nossa
pes2uisaJ ,) não se encontram em nenhum dos n!veis de 7an /ieleJ se
en2uadram no n!vel b
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caracter!stica a capacidade de identi(icaçãoJ comparação e nomenclatura de (iguras
geom3tricas com base em sua apar@ncia global.
Apresentamos a 2uestão # seguida do nmero de acertos e erros dos alunos.
Quest'o 1: >uais das (iguras correspondem aB aH Triangulo GsH bH >uadrado GsH cH
Rectngulo GsH.
A tabela a seguir mostra o nmero de acertos e erros cometidos nesta 2uestão.
Tabela 4: =mero de acertos e erros cometidos na 2uestão #.
";+ero de alunos
Al.nea
Da>
Al.nea
Db>
Al.nea
Dc>
Acertos &?
rros ,5 0& 08
Abstenção 0 ? C
Total 5C 5C 5CFonte: autorJ &C#0.
A an
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deixaram em branco. $ercebemos a2ui a di(iculdade desses alunos de identi(icar os
tringulos 2uando os mesmos estão +untos de outros pol!gonos. Alguns alunos
marcaram a (igura J poisJ certamente não associaram a (igura 2uanto ao seu
nmero de lados e alguns alunos não marcaram a (igura J provavelmenteJ por não
saberem 2ue 2ual2uer (igura 2ue tenha tr@s lados 3 um tringuloJ o 2ue nos leva a
acreditar 2ue os tringulos isósceles e e2uil
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,certos -rros ,&sten%ão0
10
20
30
40
50
60
70
).mero de alunos ,l*nea /a
).mero de alunos ,l*nea /&
).mero de alunos ,l*nea /c
&onte' autor( #$%
).mero de alunos
302020 Segunda arte do QuestionCrio
A segunda parte do 2uestion
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A (igura dadaB
aH Tem , ngulos rectos.
bH Tem lados opostos paralelos.
cH Tem diagonais de mesmo comprimento.
dH Tem os , lados iguais.
Quest'o 3: D@ tr@s propriedades dos 2uadrados.
A tabela a seguir nos mostra os resultados obtidos nas 2uest9es & e ).
Tabela 5: Resultados das 2uest9es & e ).
";+ero de alunos
Quest'o
2
Quest'o 3
Acertos #) #&
rros 4? ,?
Abstenção C
Total 5C 5C
Fonte: autorJ &C#0.
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A tabela 4 nos mostra 2ue #) alunos acertaram a 2uestão & e os restantes 4?
responderam erradamente. onsideramos 2ue o aluno acertou se marcou as
a(irmaç9es em GaHJ GbH e GcH como verdadeiras e GdH como uma a(irmação (alsa.
-rande parte de alunos assinalaram as a(irmaç9es em GaH e GdH como sendo
verdadeiras e as em GbH e GcH (alsas.
Ainda a tabela 4 mostra 2ue #& alunos acertaram a 2uestão )J escrevendo
correctamente tr@s das propriedades dos 2uadradosB t!m todos lados iguais" t!m #
$ngulos rectos" t!m lados opostos paralelos% $or outro ladoJ ,? erraram a 2uestão e
um nmero consider
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302030 Terceira arte do QuestionCrio
A terceira parte do 2uestionual2uer propriedade dos 2uadrados 3 tamb3m vual2uer propriedade dos rectngulos tamb3m 3 v
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dH Ima propriedade dos rectngulos nunca 3 propriedade dos 2uadrados.
eH =enhuma das a(irmativas anteriores.
A tabela a seguir apresenta os resultados das 2uest9es , e 0.
Tabela 6: Resultados das 2uest9es , e 0.
";+ero de alunos
Quest'o 4 Quest'o 5
Acertos , ,
rros ?4 05
Abstenção C #5
Total 5C 5CFonte: autorJ &C#0.
A tabela ? mostra 2ue apenas , alunos responderam correctamente marcando como
(alsa a a(irmação em GbH do nmero , e as restantes a(irmaç9es GaHJ GcH e GdH como
verdadeiras. $oisJ o 2uadrado 3 um rectngulo por2ue este Go 2uadradoH possui
todas as propriedades de um rectngulo Gngulos rectosH. todas as (iguras dadas
nesta 2uestão são paralelogramos por2ue cada uma possui lados opostos paralelos.
$ercebeNse 2ue os alunos tiveram muitas di(iculdades nesta 2uestãoJ o 2ue levou a?4 erros.
Ainda na tabela ? pode se ver 2ue tamb3m , alunos 3 2ue responderam
correctamente a 2uestão 0 marcando a opção em GcH. As (rases a serem analisadas
nessa 2uestão re2ueriam o conhecimento da inclusão da classe dos 2uadrados na
classe dos rectngulosJ isto 3J o reconhecimento de 2ue todo 2uadrado 3 um
rectngulo embora nem todo rectngulo se+a 2uadrado. A 2uestão re2ueria
habilidades verbal Gavaliar sentenças em 2ue aparecem interNrelaç9es entre (igurasH
e logica Gusar propriedades das (iguras para determinar se uma classe de (iguras
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est< contida em outra classeH. =otemos 2ue esta 2uestão (oi a 2ue apresentou maior
nmero de abstençãoJ ou se+aJ #5 alunos deixaram em branco. "sto nos leva a in(erir
2ue este tipo de 2uest9es não 3 comumente trabalhado durante o ensino prim
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!a(itulo /$
40 !onsidera&@es Finais
4010 !onclus@es
*s resultados obtidos com esta pes2uisa revelam di(iculdades e de(ici@ncias de grau
elevado no 2ue se re(ere ao conhecimento dos conceitos b
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não estão paralelamente aos lados do papel. * 2ue nos (a% concluir 2ueJ a
-eometria 3 ensinada de (orma est
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estabelecer relaç9es entre os novos conhecimentos matem
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1A/AD*J S!lvia Dias A. /prendi0agem em matemática* egistros de
epresenta()o Semi2tica. ampinasJ S$B $apirusJ &CC).
1AT*SJ '. 1. /comodando a teoria de 'an Hiele a modelos cogniti'os ideali0ados.>uadrante#J #884.
1IR"1*J Adelino 1*R-AD"=/*J Stella. ,idáctica da -atemática. #M diçãoJ
1aputoJ Texto ditoresJ &CC?.
=ASSRJ L. SA=T[A==AJ =.F.$ GcoordenadorasH. 3eometria segundo a teoria de
Van Hiele. "nstituto de matem
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>uais das letras correspondem aB
aH Tringulo GsH^
bH >uadrado GsH^
cH Rectngulo GsH^
dH $aralelogramo GsH^
A,TE //
&. Se+a dada a (igura abaixoB
Assinale 7 as a(irmaç9es verdadeiras e F as (alsas.
A (igura dadaB
eH Tem , ngulos rectos.
(H Tem lados opostos paralelos.
gH Tem diagonais de mesmo comprimento.
hH Tem os , lados iguais.
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). D@ tr@s propriedades dos 2uadradosB
#H KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK &H KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
)H KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
A,TE ///
,. Dadas as (iguras abaixoB
Assinale P7 as a(irmaç9es verdadeiras e PF as (alsas.
eH As (iguras " e "" são rectngulos.
(H As (iguras " e "" são 2uadrados.
gH As (iguras "J "" e "7 são paralelogramos.
hH Todas as (iguras são paralelogramos.
0. Assinale a a(irmativa 2ue relaciona correctamente as propriedades dos
rectngulos e dos 2uadradosB
aH >ual2uer propriedade dos 2uadrados 3 tamb3m vual2uer propriedade dos rectngulos tamb3m 3 v
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