Mõistete vahelistest seostest õpilase mõtlemises
Märten KarmTartu Ülikool
1. november 2013
Mõistete olulisusest
• Mõisted matemaatikas palju kasutuses• Matemaatika oskamise üheks eelduseks
orienteerumine mõistetes• Milline on mõistete vaheliste seoste hulga
struktuur e mõistete seostumise struktuur? Toetume mõnede autorite käsitlustele.
Mõtteskeemid (1)
• Chinnappan, M., & English, L. (1995). Students’ mental models and schema activation during geometric problem solving. MERGA, 18, 156–162.
• Õpilastel lasti lahendada üht geomeetria ülesannet ja samal ajal mõttekäiku valjult kommenteerida
• Ülesandes mitu geomeetrilisest objekti; mitmeti lahendatav
• Analüüsiti, milliseid skeeme õpilased kasutasid.• Skeem – ühe mõistega seotud informatsiooni
organiseerimiseks kasutatav andmete struktuur
Mõtteskeemid (2)
• Õpilased jaotati enne lahendamist kõrge ja madala sooritusvõimega õpilasteks
• Aktiveeritud skeemide arv oli kõrgema sooritusvõimega õpilastel kõrgem
• Madala sooritusvõimega õpilased rakendasid skeeme juhuslikult, ülesande püstitust silmas pidamata
• Võimekamate õpilaste käsutuses rohkem skeeme ja need on keerukamad – mõistete vahelised seosed tähenduslikumad ja nad on suutelised ülesandeid sügavamalt analüüsima
Mõistekaart ja mõistete seostumise struktuurid
• Mida kujutab endast üks keerukas mõistete seostumise struktuur? Kuidas välja selgitada?
• Hay, D. B., & Kinchin, I. M. (2006). Using concept maps to reveal conceptual typologies. Education+ Training, 48(2/3), 127–142.
• Mõistekaart – joonis, kus mõisted on kirjutatud kastide sisse ja omavahel ühendatud joontega, millele on kirjutatud mõisteid siduvad fraasid
• Hay ja Kinchin jaotasid mõistete seostumise struktuurid kolmeks:– Kodarad (spokes)– Ahelad (chains)– Võrgustikud (networks)
Kodar
Jada
Jada üldliige
Aritmeetiline jada
Geomeetriline jada
Aritmeetilise jada summa
Geomeetrilise jada summa
Kahanev jada
Kasvav jada
Konstantne jada
Hääbuv geomeetriline jada
Ahel
Jada Jada üldliige Aritmeetiline jada
Geomeetriline jada
Aritmeetilise jada summa
Geomeetrilise jada summa
Hääbuv geomeetriline jada
Hääbuva geom jada summa
Võrgustik
JADA
Jada üldliige
Jada n esimese liikme summa
Aritmeetiline jada – Iga liikme ja talle eeleva
liikme vahe jääv (d)
Geomeetriline jada – Iga liikme ja talle eelneva
liikme jagatis jääv (q)
Aritm jada üldliige
Aritm jada summa
Geom jada üldliige
Geom jada summa
Hääbuv geom jada:
Hääbuva geom jada summa
Muu jada
Mõistete seostumise struktuuri tüüpide iseloomustus
• Kodar– Õppeprotsessi alguse struktuur– Lihtne täiustada
• Ahel– Uued mõisted lisatavad vaid ahela lõppu– Keskelt mõistete kustutamine lõhub struktuuri– Ei ole hästi üldistatav ega ülekantav
• Võrgustik– Eksperttase– Sügav arusaamine avaldub seoste paljususes– Stabiilne struktuur – lihtne täiustada üldist struktuuri muutmata
Üleminek ühelt struktuuri tüübilt teisele
• Õppimisprotsessi käigus teadmisi viimistletakse, seega struktuur täiustub
• Kodar soodne pinnas õppimiseks – saab üle minna nii ahelale kui võrgustikule
• Ahelalt võrgustikule on raske minna• Ahel → kodar → võrgustik
• Õpitakse siinus- ja koosinusteoreemi, uut pindala valemit
Kolmnurgalahendamine
sin𝛼=vastashü pot cos𝛼=
l ähishü pot tan𝛼=
vastasl ähis 𝑆=
𝑎𝑏2
Kolmnurgalahendamine
sin𝛼=vastashü pot
cos𝛼=l ähishü pot tan𝛼=
vastasl ähis
𝑆=𝑎𝑏2Siinusteoreem
Koosinusteoreem
𝑆=12 𝑎𝑏sin𝛾
Pyth teor
Pyth teor
Kolmnurgalahendamine
sin𝛼=vastashü pot
cos𝛼=l ähishü pot
tan𝛼=vastasl ähis
𝑆=𝑎𝑏2
Siinusteoreem
Koosinusteoreem
𝑆=12 𝑎𝑏sin𝛾
Pythagorase teoreem
Täisnurkne kolmnurk
Suvaline kolmnurk
Kui
Kui
Mõistekaartide kasutamine• Hay, D., Kinchin, I., & Lygo Baker, S. (2008). Making learning ‐
visible: the role of concept mapping in higher education. Studies in Higher Education, 33(3), 295–311.
• Mõistekaartide kasutamine:– Õpilaste eelteadmiste väljaselgitamine– Mõistete seostumise struktuuri muutumise vaatlemine
• Mehaaniline õppimine struktuuri ei muuda, mõttega õppimisel võib näiteks muutuda ahel võrgustikuks
• Struktuuri kadumise hetke äratabamine– Õpetajapoolne teadmiste esitamine
Mõiste pildid• Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept
definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational studies in mathematics, 12(2), 151–169.
• Mõistete vaheliste seoste matemaatiline rangus ei kajastu alati inimeste mõtlemises
• Mõtlemises tekivad seosed eelkõige kogemuslikul baasil• Ühe mõistega assotsieerub (lisaks teistele mõistetele) hulk eri
nähtusi – tegevused, protsessid, vaimsed pildid, ülesanded jpm
• Kogu seda tunnetuslikku struktuuri, mis inimesel ühe mõistega seostub, nimetavad Tall ja Vinner mõiste pildiks
Väärarusaamad mõiste piltides• Paljude mõistetega on kokkupuuteid juba enne formaalset
defineerimist – see vormib mõiste pilti• Nii võivad tekkida väärarusaamad. Näiteks lahutamise
mõiste pildis• Ka definitsioonist alustades võivad tekkida väärarusaamad.
Näiteks pidevuse mõiste pildi osa ilmselt paljudel joonise tegemise võimalikkus pastakat paberilt tõstmata. Aga funktsioon y = 1/x
• Õpetaja saab vääritimõistmise vältimiseks kohe alguses pidada silmas tekkivad mõiste pilti kui tervikut ning juhtida tähelepanu potentsiaalsetele väärarusaamadele
Näide funktsiooni mõiste pildi kohta
• Funktsiooni mõiste pildi üheks osaks funktsiooni definitsioon
• Õpilasele võivad funktsiooniga seoses meenuda hoopis teised mõiste pildi tahud – et esitatakse valemi abil, et graafikuid saab joonistada, et väärtuseid saab kanda tabelisse, et tunnis leitakse nullkohti jne
• Mõistega tegeledes on korraga aktiivne vaid see osa mõiste pildi tahkudest, millega parajasti tegeletakse
• Kui õpetaja tegeleb mõiste pildi kujunedes ainult ühe tahuga (nt funktsiooni õppides ainult esitusega valemi kujul), võib õpilasel mõiste pilt aheneda
Väärarusamad jada piirväärtuse mõiste pildis (1)
• Talli ja Vinneri katse• Testisid kõrgkooli matemaatikat õppima asuvaid
õpilasi• Muuhulgas küsisid:– Kas 0,(9) on sama, mis 1?– Millised on murdude 0,5; 0,25; 0,(3); 0,(9) esitused
harilike murdudena?• Suur hulk vastas esimesele küsimusele valesti,
aga teisele õigesti
Väärarusamad jada piirväärtuse mõiste pildis (2)
• Mõiste pildi erinevad tahud olid vastuolus.• Esimeses ülesandes nähti arvu 0,(9) kui ühe lõpmatu
arvjada piirväärtust, teises kui üht konkreetset arvu (murdu)
• Jada piirväärtuse mõiste pildiga tugevalt seotud arusaam, et piirväärtus on arv, milleni jada liikmed kunagi ei jõua
• Koolis leitakse ka enamasti just selliste jadade piirväärtuseid
• Aitab õpetajapoolne ennetav potentsiaalsete veakohtade selgitamine
Kokkuvõte• Mõistetevahelisi seoseid saab iseloomustada mitmest
aspektist: nt lähtudes struktuuri keerukuse astmest või tähenduslike seoste hulgast
• Õpetaja omab kindlasti rikkalikku võrgustikukujulist struktuuri
• Õpilastel ilmselt lihtsam ja põhineb assotsiatsioonidel• Õpetaja saab õpilast toetada valede assotsiatsioonide
tekkimise ära hoidmisega ning toetada rikkaliku struktuuri tekkimist, kus oleks palju tähenduslikke seoseid
• Sellised õpilased on suurema üldistamisvõimega ja tõenäoliselt ka ülesannete lahendamisel edukamad
Kasutatud kirjandus• Chinnappan, M., & English, L. (1995). Students’ mental models
and schema activation during geometric problem solving. MERGA, 18, 156–162.
• Hay, D. B., & Kinchin, I. M. (2006). Using concept maps to reveal conceptual typologies. Education+ Training, 48(2/3), 127–142.
• Hay, D., Kinchin, I., & Lygo Baker, S. (2008). Making learning ‐visible: the role of concept mapping in higher education. Studies in Higher Education, 33(3), 295–311.
• Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational studies in mathematics, 12(2), 151–169.
Top Related