REGRESI DAN INTERPOLASICurve Fitting
http://istiarto.staff.ugm.ac.idUniversitas Gadjah MadaDepartemen Teknik Sipil dan LingkunganProdi Sarjana Teknik Sipil
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Curve Fitting2
¨ Acuan¤ Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers,
2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.n Chapter 11 dan 12, pp. 319-398.
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Curve Fitting3
¨ Mencari garis/kurva yang mewakili serangkaian titik data¨ Ada dua cara untuk melakukannya, yaitu
¤ Regresi
¤ Interpolasi
¨ Aplikasi di bidang enjiniring¤ Pola perilaku data (trend analysis)
¤ Uji hipotesis (hypothesis testing)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Curve Fitting4
¨ Pemakaian regresi¤ Apabila data menunjukkan tingkat kesalahan yang cukup signifikan
atau menunjukkan adanya noise
¤ Untuk mencari satu kurva tunggal yang mewakili pola umum perilaku data
¤ Kurva yang dicari tidak perlu melewati setiap titik data
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Curve Fitting5
¨ Interpolasi¤ Diketahui bahwa data sangat akurat
¤ Untuk mencari satu atau serangkaian kurva yang melewati setiap titik data
¤ Untuk memperkirakan nilai-nilai di antara titik-titik data
¨ Extrapolasi¤ Mirip dengan interpolasi, tetapi untuk memperkirakan nilai-nilai di luar
range titik-titik data
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Curve Fitting terhadap Data Pengukuran6
¨ Analisis pola perilaku data¤ Pemanfaatan pola data (pengukuran, experimen) untuk melakukan
perkiraan
¤ Apabila data persis (akurat): interpolasi
¤ Apabila data tak persis (tak akurat): regresi
¨ Uji hipotesis¤ Pembandingan antara hasil teori atau hasil hitungan dengan hasil
pengukuran
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Beberapa Parameter Statistik
¨ Rata-rata aritmatik, mean
¨ Deviasi standar, simpangan baku, standard deviation
¨ Varian (‘ragam’), variance
¨ Coefficient of variation
7
12
-=nS
s ty
å= iyny1
1-=nS
s ty ( )å -= 2yyS it
%100..y
svc y=
mer
epre
sent
asik
an s
ebar
an d
ata
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Probabilitas8
X
frek Distribusi Normalsalah satu distribusi/sebaran data yang sering dijumpai adalah distribusi normal
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Regresi: Metode Kuadrat Terkecil10
¨ Mencari satu kurva atau satu fungsi (pendekatan) yang sesuai dengan pola umum yang ditunjukkan oleh data¤ Datanya menunjukkan kesalahan yang cukup signifikan
¤ Kurva tidak perlu memotong setiap titik data
¨ Regresi linear¨ Regresi persamaan-persamaan tak-linear yang dilinearkan
¨ Regresi tak-linear
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Regresi: Metode Kuadrat Terkecil11
¨ Bagaimana caranya?¤ Program komputer
¤ Spreadsheet (Microsoft Excel)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Regresi Linear12
¨ Mencari suatu kurva lurus yang cocok menggambarkan pola serangkaian titik data: (x1,y1), (x2,y2) … (xn,yn)
¨ Microsoft Excel¤ INTERCEPT(y1:yn;x1:xn)¤ SLOPE(y1:yn;x1:xn)
yreg = a0 + a1xa0 : intercepta1 : slope
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Regresi Linear13
¨ Kesalahan atau residu (e) adalah perbedaan antara nilai ysesungguhnya (data y) dan y nilai pendekatan (yreg) menurut persamaan linear a0 + a1x.
¨ Minimumkan jumlah kuadrat residu tersebut
xaaye 10 --=
[ ] [ ] ( )[ ]åå --== 210
2 minminmin iiir xaayeS
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Regresi Linear¨ Bagaimana cara mencari
koefisien a0 dan a1?¤ Diferensialkan persamaan
tersebut dua kali, masing-masing terhadap a0 dan a1.
¤ Samakan kedua persamaan hasil diferensiasi tersebut dengan nol.
14
( )
( ) 02
02
101
100
=---=¶¶
=---=¶¶
å
å
iiir
iir
xxaayaS
xaayaS
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Regresi Linear15
¤ Selesaikan persamaan yang didapat untuk mencari a0 dan a1
¤ dalam hal ini, dan masing-masing adalah nilai y rata-rata dan x rata-rata
a1 =n xiyi∑ − xi∑ yi∑
n xi2∑ − xi∑( )
2
a0 = y − a1x
y x
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Contoh Regresi Linear
i xi yi = f(xi)
0 1 0.5
1 2 2.5
2 3 2
3 4 4
4 5 3.5
5 6 6
6 7 5.5
01234567
0 1 2 3 4 5 6 7
y=
f(x)
X
16
Tabel data Grafik/kurva data
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Hitungan regresi linear17
i xi yi xi yi xi2 yreg (yi−yreg)2 (yi−ymean)2
0 1 0.5 0.5 1 0.910714 0.168686 8.576531
1 2 2.5 5 4 1.75 0.5625 0.862245
2 3 2.0 6 9 2.589286 0.347258 2.040816
3 4 4.0 16 16 3.428571 0.326531 0.326531
4 5 3.5 17.5 25 4.267857 0.589605 0.005102
5 6 6.0 36 36 5.107143 0.797194 6.612245
6 7 5.5 38.5 49 5.946429 0.199298 4.290816
∑ = 28 24.0 119.5 140 ∑ = 2.991071 22.71429
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Hitungan regresi linear18
a1 =n xiyi∑ − xi∑ yi∑
n xi2∑ − xi∑( )
2=
7 119.5( )−28 24( )7 140( )− 28( )2
= 0.839286
( ) 071429.04839286.04.3
4728
4.3724
0 =-=
==
==
a
x
y
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Hitungan regresi linear19
01234567
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
X
data
regresi
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Regresi Linear20
¨ Kuantifikasi kesalahan¤ Kesalahan standar
¤ Perhatikan kemiripannya dengan simpangan baku
2-=nS
s rxy
1-=nS
s ty
( )å -= 2yyS it
( )å --= 210 iir xaayS
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Regresi Linear21
¨ Beda antara kedua kesalahan tersebut menunjukkan perbaikan atau pengurangan kesalahan
r2 =St − Sr
St
r =n xiyi∑ − xi∑( ) yi∑( )
n xi2∑ − xi∑( )
2n yi
2∑ − yi∑( )2
koefisien determinasi (coefficient of determination)
koefisien korelasi (correlation coefficient)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Hitungan regresi linear22
( )( ) 71429.22
991071.22
210
=-=
=--=
åå
yyS
xaayS
it
iir
931836.0
868318.071429.22
991071.271429.222
=
=-
=-
=
r
SSS
rt
rt
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Regresi Linear23
¨ Linearisasi persamaan-persamaan tak-linear¤ Logaritmik menjadi linear
¤ Eksponensial menjadi linear
¤ Pangkat (polinomial tingkat n > 1) menjadi linear (polinomial tingkat 1)
¤ Dll.
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Linearisasi persamaan non-linear24
x
y ln y
1
ln a1
xbeay 11=
xbay 11lnln +=
x
b1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Linearisasi persamaan non-linear25
1
x
y log y
log x
b222bxay =
xbay logloglog 22 +=
2logb
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Linearisasi persamaan non-linear26
1/y
1xbx
ay+
=3
3
1/x
y
x
xab
axaxb
y111
3
3
33
3 +=+
=
31 a33 ab
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Interpolasi29
¨ Penyelesaian persamaan polinomial tingkat n membutuhkan sejumlah n + 1 titik data
¨ Metode untuk mencari polinomial tingkat n yang merupakan interpolasi sejumlah n + 1 titik data:¤ Metode Newton
¤ Metode Lagrange
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Interpolasi Linear: Metode Newton30
x
f(x)
f(x1)
f1(x)
f(x0)
x0 x1x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )001
0101
01
01
0
01
xxxxxfxf
xfxf
xxxfxf
xxxfxf
---
+=
--
=--
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Interpolasi Kuadratik: Metode Newton31
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )!2
212021102010
12021022
20110
1020102
210
xbxxbxbbxxbxbb
xxbxxbxxbxbxbxbb
xxxxbxxbbxf
aaa
+--++-=
--++-+=
--+-+=
"" #"" $%""" #""" $%
( ) 22102 xaxaaxf ++=
ïî
ïí
ì
=--=+-=
22
120211
1020100
ba
xbxbba
xxbxbba
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Interpolasi Kuadratik: Metode Newton32
( )00 xfb =
( ) ( ) [ ]0101
011 , xxf
xxxfxf
b =--
=
b2=
f x2( ) − f x
1( )x2− x
1
−f x
1( ) − f x0( )
x1− x
0
x2− x
0
= f x2,x
1,x
0⎡⎣ ⎤⎦ =
f x2,x
1⎡⎣ ⎤⎦ − f x
1,x
0⎡⎣ ⎤⎦
x2− x
0
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Interpolasi Polinomial: Metode Newton33
( ) ( ) ( )( ) ( )110010 ...... ----++-+= nnn xxxxxxbxxbbxf
( )[ ][ ]
[ ]011
0122
011
00
,,...,,
.
.
.
,,
,
xxxxfb
xxxfb
xxfb
xfb
nnn -=
===
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Interpolasi Polinomial: Metode Newton34
[ ] ( ) ( )
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]0
02111011
,...,,,...,,,,...,,
,,,,
,
xxxnxfxxxf
xxxxf
xx
xxfxxfxxxf
xx
xfxfxxf
n
nnnnnn
ki
kjjikji
ji
jiji
--
=
--
=
--
=
----
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Interpolasi Polinomial: Metode Newton35
( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]( )( ) ( ) [ ]01110
012100100
,...,,...
...,,,
xxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxf
nnn
n
-----++--+-+=
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Interpolasi Polinomial: Metode Newton36
i xi f(xi)langkah hitungan
ke-1 ke-2 ke-3
0 x0 f(x0) f[x1,x0] f[x2,x1,x0] f[x3,x2,x1,x0]
1 x1 f(x1) f[x2,x1] f[x3,x2,x1]
2 x2 f(x2) f[x3,x2]
3 x3 f(x3)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Interpolasi Polinomial: Metode Lagrange37
fn x( ) = Li x( )f xi( )i=0
n
∑
f3 x( )= x − x1x0 − x1
x − x2x0 − x2
x − x3x0 − x3
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥f x0( )+ x − x0
x1 − x0
x − x2x1 − x2
x − x3x1 − x3
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥f x1( )+ ...
+x − x0x2 − x0
x − x1x2 − x1
x − x3x2 − x3
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥f x2( )+ x − x0
x3 − x0
x − x1x3 − x1
x − x2x3 − x2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥f x3( )
Li x( ) = x− xk
xi − xkk=0k≠i
n
∏
Contoh interpolasi polinomial order 3:
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Contoh interpolasi
i xi f(xi)
0 1 1.5
1 4 3.1
2 5 6
3 6 2.101234567
0 1 2 3 4 5 6 7f(x
)X
38
Top Related