MN3 Regresi dan Interpolasi - istiarto.staff.ugm.ac.id Regresi dan Interpolasi.pdf · Regresi:...

REGRESI DAN INTERPOLASICurve Fitting

http://istiarto.staff.ugm.ac.idUniversitas Gadjah MadaDepartemen Teknik Sipil dan LingkunganProdi Sarjana Teknik Sipil

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Curve Fitting2

¨ Acuan¤ Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers,

2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.n Chapter 11 dan 12, pp. 319-398.


Curve Fitting3

¨ Mencari garis/kurva yang mewakili serangkaian titik data¨ Ada dua cara untuk melakukannya, yaitu

¤ Regresi

¤ Interpolasi

¨ Aplikasi di bidang enjiniring¤ Pola perilaku data (trend analysis)

¤ Uji hipotesis (hypothesis testing)


Curve Fitting4

¨ Pemakaian regresi¤ Apabila data menunjukkan tingkat kesalahan yang cukup signifikan

atau menunjukkan adanya noise

¤ Untuk mencari satu kurva tunggal yang mewakili pola umum perilaku data

¤ Kurva yang dicari tidak perlu melewati setiap titik data


Curve Fitting5

¨ Interpolasi¤ Diketahui bahwa data sangat akurat

¤ Untuk mencari satu atau serangkaian kurva yang melewati setiap titik data

¤ Untuk memperkirakan nilai-nilai di antara titik-titik data

¨ Extrapolasi¤ Mirip dengan interpolasi, tetapi untuk memperkirakan nilai-nilai di luar

range titik-titik data


Curve Fitting terhadap Data Pengukuran6

¨ Analisis pola perilaku data¤ Pemanfaatan pola data (pengukuran, experimen) untuk melakukan

perkiraan

¤ Apabila data persis (akurat): interpolasi

¤ Apabila data tak persis (tak akurat): regresi

¨ Uji hipotesis¤ Pembandingan antara hasil teori atau hasil hitungan dengan hasil

pengukuran


Beberapa Parameter Statistik

¨ Rata-rata aritmatik, mean

¨ Deviasi standar, simpangan baku, standard deviation

¨ Varian (‘ragam’), variance

¨ Coefficient of variation

7

12

-=nS

s ty

å= iyny1

1-=nS

s ty ( )å -= 2yyS it

%100..y

svc y=

mer

epre

sent

asik

an s

ebar

an d

ata


Distribusi Probabilitas8

X

frek Distribusi Normalsalah satu distribusi/sebaran data yang sering dijumpai adalah distribusi normal

Regresi linearRegresi non-linear

Regresi9


Regresi: Metode Kuadrat Terkecil10

¨ Mencari satu kurva atau satu fungsi (pendekatan) yang sesuai dengan pola umum yang ditunjukkan oleh data¤ Datanya menunjukkan kesalahan yang cukup signifikan

¤ Kurva tidak perlu memotong setiap titik data

¨ Regresi linear¨ Regresi persamaan-persamaan tak-linear yang dilinearkan

¨ Regresi tak-linear


Regresi: Metode Kuadrat Terkecil11

¨ Bagaimana caranya?¤ Program komputer

¤ Spreadsheet (Microsoft Excel)


Regresi Linear12

¨ Mencari suatu kurva lurus yang cocok menggambarkan pola serangkaian titik data: (x1,y1), (x2,y2) … (xn,yn)

¨ Microsoft Excel¤ INTERCEPT(y1:yn;x1:xn)¤ SLOPE(y1:yn;x1:xn)

yreg = a0 + a1xa0 : intercepta1 : slope


Regresi Linear13

¨ Kesalahan atau residu (e) adalah perbedaan antara nilai ysesungguhnya (data y) dan y nilai pendekatan (yreg) menurut persamaan linear a0 + a1x.

¨ Minimumkan jumlah kuadrat residu tersebut

xaaye 10 --=

[ ] [ ] ( )[ ]åå --== 210

2 minminmin iiir xaayeS


Regresi Linear¨ Bagaimana cara mencari

koefisien a0 dan a1?¤ Diferensialkan persamaan

tersebut dua kali, masing-masing terhadap a0 dan a1.

¤ Samakan kedua persamaan hasil diferensiasi tersebut dengan nol.

14

( )

( ) 02

02

101

100

=---=¶¶

=---=¶¶

å

å

iiir

iir

xxaayaS

xaayaS


Regresi Linear15

¤ Selesaikan persamaan yang didapat untuk mencari a0 dan a1

¤ dalam hal ini, dan masing-masing adalah nilai y rata-rata dan x rata-rata

a1 =n xiyi∑ − xi∑ yi∑

n xi2∑ − xi∑( )

2

a0 = y − a1x

y x


Contoh Regresi Linear

i xi yi = f(xi)

0 1 0.5

1 2 2.5

2 3 2

3 4 4

4 5 3.5

5 6 6

6 7 5.5

01234567

0 1 2 3 4 5 6 7

y=

f(x)

X

16

Tabel data Grafik/kurva data


Hitungan regresi linear17

i xi yi xi yi xi2 yreg (yi−yreg)2 (yi−ymean)2

0 1 0.5 0.5 1 0.910714 0.168686 8.576531

1 2 2.5 5 4 1.75 0.5625 0.862245

2 3 2.0 6 9 2.589286 0.347258 2.040816

3 4 4.0 16 16 3.428571 0.326531 0.326531

4 5 3.5 17.5 25 4.267857 0.589605 0.005102

5 6 6.0 36 36 5.107143 0.797194 6.612245

6 7 5.5 38.5 49 5.946429 0.199298 4.290816

∑ = 28 24.0 119.5 140 ∑ = 2.991071 22.71429



a1 =n xiyi∑ − xi∑ yi∑

n xi2∑ − xi∑( )

2=

7 119.5( )−28 24( )7 140( )− 28( )2

= 0.839286

( ) 071429.04839286.04.3

4728

4.3724

0 =-=

==

==

a

x

y



01234567

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

data

regresi


Regresi Linear20

¨ Kuantifikasi kesalahan¤ Kesalahan standar

¤ Perhatikan kemiripannya dengan simpangan baku

2-=nS

s rxy

1-=nS

s ty

( )å -= 2yyS it

( )å --= 210 iir xaayS


Regresi Linear21

¨ Beda antara kedua kesalahan tersebut menunjukkan perbaikan atau pengurangan kesalahan

r2 =St − Sr

St

r =n xiyi∑ − xi∑( ) yi∑( )

n xi2∑ − xi∑( )

2n yi

2∑ − yi∑( )2

koefisien determinasi (coefficient of determination)

koefisien korelasi (correlation coefficient)



( )( ) 71429.22

991071.22

210

=-=

=--=

åå

yyS

xaayS

it

iir

931836.0

868318.071429.22

991071.271429.222

=

=-

=-

=

r

SSS

rt

rt


Regresi Linear23

¨ Linearisasi persamaan-persamaan tak-linear¤ Logaritmik menjadi linear

¤ Eksponensial menjadi linear

¤ Pangkat (polinomial tingkat n > 1) menjadi linear (polinomial tingkat 1)

¤ Dll.


Linearisasi persamaan non-linear24

x

y ln y

1

ln a1

xbeay 11=

xbay 11lnln +=

x

b1



1

x

y log y

log x

b222bxay =

xbay logloglog 22 +=

2logb



1/y

1xbx

ay+

=3

3

1/x

y

x

xab

axaxb

y111

3

3

33

3 +=+

=

31 a33 ab

Metode NewtonMetode Lagrange

Interpolasi27


Interpolasi28

linear kuadratik kubik


Interpolasi29

¨ Penyelesaian persamaan polinomial tingkat n membutuhkan sejumlah n + 1 titik data

¨ Metode untuk mencari polinomial tingkat n yang merupakan interpolasi sejumlah n + 1 titik data:¤ Metode Newton

¤ Metode Lagrange


Interpolasi Linear: Metode Newton30

x

f(x)

f(x1)

f1(x)

f(x0)

x0 x1x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )001

0101

01

01

0

01

xxxxxfxf

xfxf

xxxfxf

xxxfxf

---

+=

--

=--


Interpolasi Kuadratik: Metode Newton31

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )!2

212021102010

12021022

20110

1020102

210

xbxxbxbbxxbxbb

xxbxxbxxbxbxbxbb

xxxxbxxbbxf

aaa

+--++-=

--++-+=

--+-+=

"" #"" $%""" #""" $%

( ) 22102 xaxaaxf ++=

ïî

ïí

ì

=--=+-=

22

120211

1020100

ba

xbxbba

xxbxbba


Interpolasi Kuadratik: Metode Newton32

( )00 xfb =

( ) ( ) [ ]0101

011 , xxf

xxxfxf

b =--

=

b2=

f x2( ) − f x

1( )x2− x

1

−f x

1( ) − f x0( )

x1− x

0

x2− x

0

= f x2,x

1,x

0⎡⎣ ⎤⎦ =

f x2,x

1⎡⎣ ⎤⎦ − f x

1,x

0⎡⎣ ⎤⎦

x2− x

0


Interpolasi Polinomial: Metode Newton33

( ) ( ) ( )( ) ( )110010 ...... ----++-+= nnn xxxxxxbxxbbxf

( )[ ][ ]

[ ]011

0122

011

00

,,...,,

.

.

.

,,

,

xxxxfb

xxxfb

xxfb

xfb

nnn -=

===



[ ] ( ) ( )

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]0

02111011

,...,,,...,,,,...,,

,,,,

,

xxxnxfxxxf

xxxxf

xx

xxfxxfxxxf

xx

xfxfxxf

n

nnnnnn

ki

kjjikji

ji

jiji

--

=

--

=

--

=

----



( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]( )( ) ( ) [ ]01110

012100100

,...,,...

...,,,

xxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxf

nnn

n

-----++--+-+=



i xi f(xi)langkah hitungan

ke-1 ke-2 ke-3

0 x0 f(x0) f[x1,x0] f[x2,x1,x0] f[x3,x2,x1,x0]

1 x1 f(x1) f[x2,x1] f[x3,x2,x1]

2 x2 f(x2) f[x3,x2]

3 x3 f(x3)


Interpolasi Polinomial: Metode Lagrange37

fn x( ) = Li x( )f xi( )i=0

n

∑

f3 x( )= x − x1x0 − x1

x − x2x0 − x2

x − x3x0 − x3

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥f x0( )+ x − x0

x1 − x0

x − x2x1 − x2

x − x3x1 − x3

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥f x1( )+ ...

+x − x0x2 − x0

x − x1x2 − x1

x − x3x2 − x3

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥f x2( )+ x − x0

x3 − x0

x − x1x3 − x1

x − x2x3 − x2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥f x3( )

Li x( ) = x− xk

xi − xkk=0k≠i

n

∏

Contoh interpolasi polinomial order 3:


Contoh interpolasi

i xi f(xi)

0 1 1.5

1 4 3.1

2 5 6

3 6 2.101234567

0 1 2 3 4 5 6 7f(x

)X

38

MN3 Regresi dan Interpolasi - istiarto.staff.ugm.ac.id Regresi dan Interpolasi.pdf · Regresi:...

Documents

Transcript of MN3 Regresi dan Interpolasi - istiarto.staff.ugm.ac.id Regresi dan Interpolasi.pdf · Regresi:...