Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005
Proporcionalidade e
Raciocínio Proporcional
Sandra Marques
Escola ???
Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005
Introdução
O conceito de proporcionalidade e o raciocínio proporcional estão de tal forma interligados que não se pode mencionar um sem se referir o outro, tendo
ambos grande importância no currículo de Matemática.
Pretende-se:
analisar as perspectivas teóricas e a investigação empírica realizada sobre este tema (em especial, sobre as dificuldades na aprendizagem dos alunos);
identificar o seu lugar no currículo;
passar em revista os estudos sobre a sua abordagem nos manuais escolares.
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A perspectiva de Lesh, Post e Behr
O raciocínio proporcional é fundamental na aprendizagem da Aritmética, Números e Medidas,
bem como na aquisição de conceitos algébricos.
Este raciocínio é desenvolvido quando o aluno:
raciocina mediante relações globais entre expressões racionais (taxas, razões, quocientes e fracções);
sintetiza vários aspectos relacionados com estas expressões;
consegue inferir igualdade ou desigualdade entre elas;
é capaz de descobrir partes omissas numa expressão;
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reconhece que duas estruturas são idênticas;
ultrapassa a noção simples de que dois membros de uma equação são iguais (8/4 = 5-3);
faz comparações múltiplas (capacidade mental de lidar e processar informação dispersa);
tem noção de co-variação;
é capaz de pensar qualitativamente e quantitativamente.
Desenvolvimento de competências locais
A perspectiva de Lesh, Post e Behr (II)
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Alina Spinillo - Perspectiva
Do seu ponto de vista, o raciocínio proporcional requer:
o reconhecimento de equivalência entre situações distintas;
o pensar em termos relativos em vez de o fazer em termos absolutos;
a determinação de relações de segunda ordem que ligam duas ou mais relações de primeira ordem.
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Alina Spinillo - Estudo
Objectivo do estudo (2002)
Dotar as crianças da estratégia de “metade”;
Determinar a equivalência ou não entre situações representadas por quantidades contínuas;
Reflectir e trabalhar com relações de 1ª ordem.
Resultados
Independentemente da idade, as crianças que receberam a intervenção conseguiram alcançar um nível de compreensão mais elaborado sobre proporção do que as crianças dos outros dois grupos no pós-teste;
As justificações dadas pelas crianças do grupo experimental, evidenciam comparações relativas (ao invés de absolutas) e capacidade de trabalhar relações de 2ª ordem.
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Resultados (cont.)
Após a intervenção, percebe-se que as crianças estabelecem relações de 2ª ordem com base no referencial de “metade”;
A estratégia de “metade”, aprendida numa determinada situação, é transferida para situações análogas e mais complexas;
O referencial de “metade” facilita a determinação de relações de 1ª e de 2ª ordem.
Conclusões do estudo
Introdução do conceito de proporcionalidade em anos de escolaridade mais baixos que os actuais;
Abordagem ao tema com base em situações-problema que possam ser resolvidas através da estratégia de “metade” e do uso de estimativas.
Alina Spinillo – Estudo (II)
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Síntese de ideias fundamentais
O raciocínio proporcional...
... depende da aquisição de destrezas globais relacionadas com algumas estruturas cognitivas gerais (Psicologia do Desenvolvimento);
... caracteriza-se por uma evolução crescente de competências locais (Educação Matemática).
O desenvolvimento cognitivo que precede a evolução gradual destas competências locais assume grande
importância na investigação e no ensino do raciocínio proporcional
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Principles and standards (NCTM, 2000)
Pre-K-2 aquisição de noções simples de compreensão e representação
de fracções como 1/2, 1/3 e 1/4; reconhecimento de padrões; capacidade de os classificar.
Grades 3-5 desenvolvimento da compreensão de fracção como parte de
um todo e como uma divisão; reconhecimento e criação de equivalência entre as formas
mais simples de fracções, números decimais e percentagens (números de referência ½ e 1);
desenvolvimento do raciocínio sobre relações matemáticas.
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Grades 6-8
expandir capacidades de raciocínio, nomeadamente o proporcional;
aprofundar a competência crítica de conjecturas;
fazer uso dos raciocínios indutivo e dedutivo;
resolver problemas que envolvam razões, taxas, percentagens e operações.
O raciocínio proporcional implica:
- reconhecimento de quantidades proporcionais;
- manipulação de números, tabelas, gráficos e equações.
Principles and standards (NCTM, 2000) (II)
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Principles and standards (NCTM, 2000) (III)
Números e operações Proporcionalidade
Álgebra
Geometria
Medida
Análise de dadose probabilidade
O currículo deve prever o ensino-aprendizagem da proporcionalidade desde os primeiros anos de escolaridade, por tratar-se de um tópico central de inter-relacionamento com todos os outros tópicos e ter implicações para o sucesso da aprendizagem nos anos mais avançados.
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PCN - Brasil
2º ciclo (3º e 4º anos do 1º ciclo)
apresentação de situações problemáticas cujas soluções não estão no conjunto dos números inteiros (aproximação à noção de n.º racional);
compreensão de n.º racional enquanto quociente, parte-todo e razão;
uso de percentagem no contexto diário;
cálculo simples de percentagens.3º ciclo (5º e 6º anos do 2º ciclo)
observação da variação entre grandezas, relacionando-as entre si;
construção de estratégias de solução para resolver situações que envolvam proporcionalidade.
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Documentos portugueses
Programa de Matemática
Desenvolvimento do conceito de proporcionalidade directa
Situações da vida real (problemas de percentagem e
escalas)
Conteúdos
constante de proporcionalidade;
proporções;
percentagens e gráficos circulares;
escalas.
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Documentos portugueses
Currículo Nacional
Números e Cálculo
o aluno deve desenvolver o reconhecimento de situações de proporcionalidade directa;
... a aptidão para usar o raciocínio proporcional em problemas diversos.2º
ciclo
Álgebra e Funções (ao longo de todos os ciclos)
... analisar as relações numéricas de uma situação e concretizar, em alguns casos, relações entre variáveis e fórmulas;
... procurar soluções de equações simples.
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Dificuldades no ensino-aprendizagem e suas origens
Um dado incontornável da experiência de todos os professores é que os alunos sentem grandes dificuldades na compreensão dos conceitos inerentes à proporcionalidade e no desenvolvimento do
raciocínio proporcional
1- O conceito é introduzido
demasiado tarde
(Streefland, 1985)
2- Currículo do ensino básico
deficiente
(Behr et al., 1992)
3- Professores mal preparados para a
leccionação da Proporcionalidade
(Araujo e Lopes, 2000)
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A proporcionalidade nos manuais escolares
Os manuais escolares são um dos recursos que os alunos e os professores dispõem no ensino-aprendizagem da Matemática, constituindo em muitos casos instrumento de trabalho de intensa utilização.
Como não estão isentos de erros, incorrecções, desactualizações e seguem por vezes estratégias pouco adequadas a um ensino de qualidade, torna-se imperativo que sejam avaliados nas suas diversas vertentes.
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Estudo de Isabel Cabrita
Grelha de análiseResultados do estudo
a metodologia usada é cíclica ou em espiral;
os conceitos e definições tendem a surgir “durante” o tratamento das subunidades e na sequência de tarefas propostas;
a resolução de problemas não é considerada um conteúdo de ensino-aprendizagem (final da unidade um conjunto de situações problemáticas);
o conteúdo dos problemas é não-familiar, apesar de se relacionarem com a vida real;
os dados são geralmente apresentados na forma algébrica e em quantidade suficiente para se proceder à sua resolução;
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os problemas propostos visam vulgarmente razões do tipo permuta;
problemas de natureza concreta, que contemplam grandezas discretas e envolvem tarefas físicas;
os problemas são complexos, de resolução individual e exclusivamente escrita;
os problemas traduzem situações de proporcionalidade directa;
o processo de resolução mais sugerido é o produto cruzado;
os números dos enunciados e das respostas são inteiros;
respostas com solução única;
a resolução dos problemas não evoca o uso de equipamento.
Estudo de Isabel Cabrita (II)
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Shield e Dole
Objectivo do estudo
Perceber como estão retratados os conceitos proporcionais através:
das definições usadas;
dos exemplos resolvidos;
dos exercícios/problemas propostos.
de modo a identificar a metodologia
subjacente
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Resultados do estudo definições e exemplos resolvidos muito limitados;
representação simbólica pouco significativa;
pouca contextualização com a realidade;
formas de resolução sugeridas pouco diversificadas;
pouca relação entre estes temas e outros tópicos matemáticos.
Shield e Dole (II)
Os manuais analisados parecem ser muito circunscritos para auxiliar os alunos no desenvolvimento das competências do raciocínio proporcional, factor indiscutivelmente necessário
no sucesso e na atribuição de sentido no ensino-aprendizagem da Matemática escolar.
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Grelha para análise dos manuais
Grelha de análise de um manual (Exemplo)
Análise de manuais
- Espanhol + Português
- Espanhol + Português
- Brasileiro + Português
- Americano + Português
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Recomendações
Uma maior necessidade de abordar os assuntos de uma forma cíclica ou em espiral;
Permitir a interligação entre as diversas unidades curriculares;
Uma maior quantidade e diversidade de problemas;
Promover a discussão e avaliação das tarefas propostas, colocando questões como
- O resultado a que chegaste está de acordo com os dados do problema?
- O processo de resolução que utilizaste foi adequado?
- Se alterasses a condição “tal”, que resultado seria de esperar?
Estudo de Isabel Cabrita (III)
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