Proporcionalidade inversa9ano
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Com 12 quadradinhos iguais, com 1 cm de lado, constrói vários retângulos, todos com a mesma área.
Área do retângulo = base x altura
Preenche a seguinte tabela:
Área base altura
Assim,
Que relação existe entre a variação da base e da altura
de cada retângulo?
Verifica-se que quando uma das dimensões duplica, a outra reduz-se a metade; quando uma triplica, a outra reduz-se à terça parte,...
Ao aumento da base corresponde uma diminuição da altura na mesma proporção e vice-versa
O produto das duas dimensões é constante:
base x altura =12
Grandezas desta forma dizem-se inversamente proporcionais.
Designando:
x medida da base e
y medida da altura
A relação x x y = 12 é uma proporcionalidade inversa
12 é a constante de proporcionalidade
Uma Função é uma correspondência entre dois conjuntos A e B, tal que a cada elemento de A corresponde um e um só elemento de B
Pela observação do gráfico e da tabela verificámos que a cada valor de x corresponde um único valor de y.
Logo, y é função de x.
Área base altura
12 1 12
12 2 6
12 3 4
12 4 3
12 6 2
12 12 1
Podemos “arrumar” os retângulos de área 12 e dimensões inteiras num gráfico:
Verificamos que os pontos estão sobre uma curva a que se chama hipérbole.
Será que com as coordenadas de outros pontos do gráfico é possivel
descobrir mais retângulos de área 12?
Conhecendo a base, a altura é dada por:
xy
12=
Û=yx 12´
Vejamos alguns exemplos:
base altura retângulo coordenadas
x = 1,5 (1,5;8)
x = 2,5 (2,5;4,8)
x = 7,5 (7,5;1,6)
8
1,5
2,5
4,8
7,51,6
85,1
12y
8,45,2
12y
6,15,7
12y
Vamos “arrumar” estes novos retângulos no nosso gráfico:
Atividade:Já representámos gráficamente
a função de proporcionalidade inversa
x
sabendo que x é um número positivo (representa uma medida de comprimento).
xy 12=
Representa gráficamente a função sabendo que x é um número relativo qualquer diferente de zero.
Resolução:
Como x é um número relativo qualquer, diferente de zero vamos-lhe atribuir valores positivos e negativos.
x-1 -12
-2 -6
-4 -3
-6 -4
-12 -1
1 12
2 6
4 3
6 2
12 1
xy 12=
De um modo geral,
O gráfico de uma função de proporcionalidade inversa é sempre uma hipérbole.
Repara que a hipérbole passa pelo ponto (1,k).
K é a constante de proporcionalidade.
Numa função cujo domínio é apenas o conjunto dos números positivos ou apenas o conjunto dos números negativos, o gráfico é apenas um ramo da hipérbole.
No gráfico de uma proporcionalidade inversa, o produto das coordenadas de qualquer ponto é sempre o mesmo – a constante de proporcionalidade.
Uma função de proporcionalidade inversa pode ser representada por uma expressão analítica, por uma tabela ou por um gráfico.
De um modo geral,
Duas variáveis x e y são
inversamente
proporcionais quando o
produto de quaisquer dois
valores correspondentes é
constante e diferente de
zero.
x x y = k ou y=k/x (k
constante diferente
de
zero)
K é a constante de
proporcionalidade inversa.