MECHANICKÝ VÝPOČET NESÚMERNE ZAVESE-NÉHO VODIČA
- závesné body nie sú v rovnakých výškach, pole je nesúmerné alebo šikmé:
BABA ,2
yya
xx
AB yyh
c
xc
c
xch AB coshcosh
c
x
c
x
c
h AB coshcosh
??, BA xx
c
xa
c
x
c
x
c
x
c
h BBAB coshcoshcoshcosh
Členc
xa Bcosh
sa rozpíše
,sinhsinhcoshcoshcosh BBB
c
x
c
a
c
x
c
a
c
x
c
h
c
x
c
a
c
a
c
x
c
h BB sinhsinh1coshcosh
a úpravou
c
aeeeeee
c
a c
a
c
a
c
a
c
a
c
a
c
a
2sinh2
22
2
21
21cosh 2
2
22
c
a
c
a
c
a
2cosh
2sinh2sinh
sinhsinhcoshcosh
)(cosh
Po dosadení dostávame
,2
sinhcosh2
coshsinh2
sinh2
sinh2
cosh2
sinh22
sinh2cosh
BB
B2B
c
a
c
x
c
a
c
x
c
ac
x
c
a
c
a
c
a
c
x
c
h
c
a
c
x
l
h
2sinh B
s
čím je daná vzdialenosť závesného bodu B (vyššieho) od vrcholu reťazovky.
h, ls sú známe veličiny môže sa vypočítať jediná neznáma, a to xB.
Ak označíme .2
sinhpotom, B
s
c
a
c
xp
l
hp
,2
sinh2
sinh
2sinh2
B
s
B
c
a
c
x
l
h
c
a
c
x
ca
c
h
Ak sa určí pomocou tabuliek hyperbolických funkcií k danému p argument n, dostávame
.2
,2 B
B nca
xnc
a
c
x
Tým je určená hodnota xB a aj y-ová súradnica závesného bodu B
.cosh BB c
xcy
Vzdialenosť nižšieho závesného bodu A od vrcholu reťazovky .
2BA nca
xax
Potom ideálne rozpätie veľké .22 B ncaxa
Keďže h < ls a pre malé hodnoty uhla je , potom možno
písať a taktiež
potom
sinh
pn ,al s
.222
HB za
ha
a
hcapc
ax
a222
HA za
ha
a
hcapc
ax
c
a
c
xp
2sinh B
a
fal
2m
s 3
8
a
h
l
hp
s
,22
22 HB za
ha
a
hcapcaxa
.4
2
m
H
f
haa
za
haa
alebo
hodnota x-ovej súradnice vyššieho závesného bodu (v danom prípade xB) je vždy kladná (xB > 0).
Hodnota x-ovej súradnice nižšieho závesného bodu (v danom prípade xA) môže byť kladná, rovná nule alebo záporná. Ak je xA > 0, potom vrchol reťazovky leží medzi závesnými bodmi A a B. Ak xA = 0, potom nižší závesný bod leží vo vrchole reťazovky. Ak xA < 0, vrchol reťazovky neleží medzi závesnými bodmi A a B, ale závesné body ležia na tej istej strane reťazovky.
pca
nca
x 22B
.
888 H
2
H
2122
m
za
F
qqa
c
af
pca
nca
x 22A
Maximálny priehyb ideálneho poľa veľkého
1coshcosh BB
Bm c
xcc
c
xccyf
Pri parabolickom výpočte
c
xc
c
xc
cc
xccyf
2!21
cosh
2B
2
2B
BBmp
Po dosadení za z
ca
x.
,2
HB
.8 H
2
mp
zaf
Priehyb v ľubovoľnom bode šikmého poľa
c
x
c
ac
c
xc
c
xcyyf cosh
2coshcoshcosh B
xBx
c
x
c
a
c
xc
c
acf
28!2
1!24
122
2
2
2
2
xp
Ak sa uvažuje s výpočtom podľa paraboly
ea
exx
2B
c
e
c
ea
c
e
c
ea
c
a
c
a
c
ea
c
af
2222882
28
2222
2
2
xp
a po dosadení
a
he
c
eae
c
e
a
he
c
ea
c
e
c
eah
caf
22222
2 22
xp
a
hcaa 2
Zo vzťahu vidieť, že priehyb fx pozostáva zo súčtu dvoch členov f1 a f2.
2BA
aaexaexex
Ak je zadaná vzdialenosť e I zo strany nižšej podpery, do vzťahu pre fx dosadzujeme za x hodnotu:
h
a
he
c
eaef
2x
kde,xx hff Podľa obrázku
a
he
c
eaef
2x
pri počítaní priehybu v ľubovoľnom bode šikmého poľa pri uvažovaní vzdialenosti zo strany nižšej podpery sa mení znamienko pred druhým členom vzťahu, pričom dostávame nový vzťah.
a
he
c
eaef
2x
c
x
c
af
28
22
x
a
hcaa 2
fDD
X
Dĺžka nesúmernej reťazovky
Dĺžka nesúmernej reťazovky sa určí z toho istého vzťahu ako dĺžka súmernej reťazovky, len s inými hranicami určitého integrálu:
xyxylx
x
d1d1B
A 0
20
2n
c
xy
c
xcy sinh,cosh
c
x
c
xcx
c
xx
c
xl
x
x
AB
0
0
n sinhsinhdcoshdcoshB
A
3A
3B2
2
3A
A2
3B
B3
3AA
3
3BB
np
6
1
66!3!1!3!1
xxc
a
c
xx
c
xx
c
x
c
xc
c
x
c
xcl
Pre prípad, že hodnota xA bude záporná to znamená, že závesný bod A bude na tej istej strane ako závesný bod B v závislosti od vrcholu reťazovky, sa vzťahy sa upravia:
.6
1
66sinhsinh 3
A3B22
3A
A2
3B
BAB
n xxc
ac
xx
c
xx
c
x
c
xcl
Pre dĺžku nesúmernej reťazovky platí aj rozšírená Pytagorova veta: rozdiel štvorcov dĺžok nesúmernej a súmernej reťazovky na tom istom rozpätí s rovnakým parametrom c sa rovná štvorcu rozdielu výšok vyššej a nižšej podpery
.22s
2n hll
Charakteristický priehyb fk Charakteristický priehyb je definovaný ako dĺžka zvislice medzi stredom spojnice závesných bodov a vodičom (reťazovkou).
Dá sa dokázať, že platí (podľa rozšírenej Pytagorovej vety): nmsk lflf
,cosh2
cosh
2sinh2
2sinh
2cosh2
2sinh2
sinhsinh
km
ABm
AB
ABAB
m
BA
ms
nmk
c
xf
c
xxf
cxx
c
cxx
cxx
cf
ca
c
cx
cx
cf
l
lff
.12
cosh,22
kde mAB
ABA
k
c
acf
xxx
xxx
Viditeľný priehybViditeľný priehyb – zvislá vzdialenosť medzi spojnicou závesných bodov a dotyčnicou k vodiču (reťazovke) rovnobežnou so spojnicou závesných bodov.
c
x
a
hy vsinhtg
Zo známych hodnôt h, a, c sa vypočíta súradnica xv. Na základe známych hodnôt xv a xB sa určia y-ové hodnoty týchto bodov:
.cosh,cosh BB
vv c
xcy
c
xcy
Viditeľný priehyb fv je potom daný
,vBv hyyf
kde hI je výškový rozdiel, ktorý zodpovedá miestu viditeľného priehybu a je rovný (podľa podobnosti trojuholníkov)
.vB a
hxxh
VB
'
tgxx
h
a
h
Pri približnom výpočte (podľa paraboly) možno určiť bod, v ktorom je definovaný viditeľný priehyb, nasledujúcim spôsobom: Tento bod je pri šikmom poli najbližšie k zemi a do rozpätí 400 m a uhla φ < 30° možno predpokladať, že tento bod daný dotyčnicou rovnobežnou so spojnicou závesných bodov leží v polovici rozpätia. Takže ho možno stotožniť s charakteristickým priehybom .kv ff
Podmienka rovnováhy k bodu A
424 11
Hv
aq
aaFfF
potom
,cosdosadímeAk H
v
v
1 F
F
f
f
a
a
42coscos
cos1
vH aqa
fF
.cos
1
cos
1
8a m
H
12
v
fF
qaf
Keďže xv > xk, tak fm < fv < fk.
Výpočet mechanického napätia vo vodiči Pri určovaní celkového mechanického napätia v závesných bodoch A a B platia podobné vzťahy ako pri súmernom poli s tým rozdielom, že mechanické napätia v tých miestach nie sú rovnaké:
zy AA zy BBzf
c
a
mHHB 2cosh
,mHA zf .''mHB zf
Pre ťahy vo vodičoch platí
),( 21AA qqyF ).( 21BB qqyF
Podobne ako pre súmerné pole budú výrazy pre vertikálne zložky síl, resp. mechanických napätí:
,
),(
AVA
21AVA
zl
qqlF
,
),(
BVB
21BVB
zl
qqlF
kde dĺžky lA a lB sú dĺžky vetiev reťazovky od príslušného závesného bodu po vrchol reťazovky.
Pri nahradení dĺžky vodiča (reťazovky) rozpätím možno dosadiť do vzťahov príslušné x-ové súradnice vrcholu reťazovky xA, resp. xB.
Zvislá (vertikálna) zložka sily v závesnom bode
Dotyčnica k priehybovej krivke, ktorá je rovnobežná so spojnicou závesných bodov, rozdeľuje šikmé pole na dve časti. Týmto bodom je bod C. Vrchol reťazovky je v bode D.
,, BBAA xlxl
)( 21AVA qqxF
Zvislá zložka ťahu v závesných bodoch A a B je:
)( 21BVB qqxF alebo
VC21VA )(2
Fqqa
F
VC21VB )(2
Fqqa
F
a
hFFF HHVC tg
Záver: zvislá zložka sily vo vyššom (nižšom) závesnom bode sa rovná súčtu (rozdielu) tiaže polovičného rozpätia a zvislej zložky silyv bode C.
Pre zvislú zložku sily v bode C platí:
a následnea
hFFF HHVC tg
VC21VA )(2
Fqqa
F
a
hFqq
aF
a
hFqq
aF
H21VB
H21VA
)(2
)(2
Je zrejmé, že ak vrchol reťazovky padne mimo závesné body A a B (xA bude záporné), dostávame zápornú zvislú silu, t. j. silu zdvíhaciu.
V praxi je to častý problém „utopených“ stožiarov.
V týchto prípadoch treba určiť zvislú zložku sily v nižšom závesnom bode – na stožiari B:zvislá zložka sily od rozpätia 1 je daná
a od rozpätia 2
1
1H21
1VB1 )(
2 a
hFqq
aF
.)(2 2
2H21
2VB2 a
hFqq
aF
Celková zvislá zložka sily pre záves B je daná súčtom týchto čiastkových síl
.)()(2
1
)(2
)(2
2
2
1
1H2121
2
2H21
2
1
1H21
1VB2VB1VB
a
h
a
hFqqaa
a
hFqq
a
a
hFqq
aFFF
S uvažovaním tiaže izolátorového reťazca – Gr
.)()(2
1
2
2
1
1Hr2121VB
a
h
a
hFGqqaaF
Treba dávať pozor, či závesný bod B vo vzťahu k závesným bodom A a C je vyššie alebo nižšie. Podľa toho sa bude meniť znamienko pred FH vo vzťahu. Na obr. je závesný bod B nižšie ako závesné body A a C, takže v oboch prípadoch je záporné znamienko.
2
2
1
1Hr2121VB )()(
2
1
a
h
a
hFGqqaaF
Pri nízkych teplotách alebo pri veľkých výškových rozdieloch závesných bodov posledný člen vo vzťahu môže byť väčší ako prvé dva členy. Tým bude zvislá zložka sily na záves B záporná. To znamená, že bude pôsobiť smerom nahor. V tomto prípade môže dôjsť k preklopeniu nosných izolátorových reťazcov nad konzolu.
Posúďte, či stožiar je „utopený“ alebo nie. AlFe 240/39, Gr = 550 N, a1 = 280 m, a2 = 310 m, h1 = 35 m, h2 = 40 m, S = 281,66 mm2
a) pri -5 °C a námraze σH = 93 MPa, b) pri -30 °C σH = 41,1 MPa.
a) Výpočet vertikálnej sily na závesný bod B pri -5 °C a námraze
V obidvoch prípadoch FVB > 0 záves je stabilný.
N16,1855310
40
280
3566,2819355081,971,1984,0
3102802
1g
2
1
2
2
1
1Hr2121VB
a
h
a
hSGqqaaF
.N48,543310
40
280
3566,2811,4155081,9984,0
3102802
1
2
1
2
2
1
1Hr121VB
a
h
a
hSGgqaaF
b) Výpočet pri -30 °C
Top Related