MECHANICKÝ VÝPOČET NESÚMERNE ZAVESE-NÉHO VODIČA

- závesné body nie sú v rovnakých výškach, pole je nesúmerné alebo šikmé:

BABA ,2

yya

xx

AB yyh

c

xc

c

xch AB coshcosh

c

x

c

x

c

h AB coshcosh

??, BA xx

c

xa

c

x

c

x

c

x

c

h BBAB coshcoshcoshcosh

Členc

xa Bcosh

sa rozpíše

,sinhsinhcoshcoshcosh BBB

c

x

c

a

c

x

c

a

c

x

c

h

c

x

c

a

c

a

c

x

c

h BB sinhsinh1coshcosh

a úpravou

c

aeeeeee

c

a c

a

c

a

c

a

c

a

c

a

c

a

2sinh2

22

2

21

21cosh 2

2

22

c

a

c

a

c

a

2cosh

2sinh2sinh

sinhsinhcoshcosh

)(cosh

Po dosadení dostávame

,2

sinhcosh2

coshsinh2

sinh2

sinh2

cosh2

sinh22

sinh2cosh

BB

B2B

c

a

c

x

c

a

c

x

c

ac

x

c

a

c

a

c

a

c

x

c

h

c

a

c

x

l

h

2sinh B

s

čím je daná vzdialenosť závesného bodu B (vyššieho) od vrcholu reťazovky.

h, ls sú známe veličiny môže sa vypočítať jediná neznáma, a to xB.

Ak označíme .2

sinhpotom, B

s

c

a

c

xp

l

hp

,2

sinh2

sinh

2sinh2

B

s

B

c

a

c

x

l

h

c

a

c

x

ca

c

h

Ak sa určí pomocou tabuliek hyperbolických funkcií k danému p argument n, dostávame

.2

,2 B

B nca

xnc

a

c

x

Tým je určená hodnota xB a aj y-ová súradnica závesného bodu B

.cosh BB c

xcy

Vzdialenosť nižšieho závesného bodu A od vrcholu reťazovky .

2BA nca

xax

Potom ideálne rozpätie veľké .22 B ncaxa

Keďže h < ls a pre malé hodnoty uhla je , potom možno

písať a taktiež

potom

sinh

pn ,al s

.222

HB za

ha

a

hcapc

ax

a222

HA za

ha

a

hcapc

ax

c

a

c

xp

2sinh B

a

fal

2m

s 3

8

a

h

l

hp

s

,22

22 HB za

ha

a

hcapcaxa

.4

2

m

H

f

haa

za

haa

alebo

hodnota x-ovej súradnice vyššieho závesného bodu (v danom prípade xB) je vždy kladná (xB > 0).

Hodnota x-ovej súradnice nižšieho závesného bodu (v danom prípade xA) môže byť kladná, rovná nule alebo záporná. Ak je xA > 0, potom vrchol reťazovky leží medzi závesnými bodmi A a B. Ak xA = 0, potom nižší závesný bod leží vo vrchole reťazovky. Ak xA < 0, vrchol reťazovky neleží medzi závesnými bodmi A a B, ale závesné body ležia na tej istej strane reťazovky.

pca

nca

x 22B

.

888 H

2

H

2122

m

za

F

qqa

c

af

pca

nca

x 22A

Maximálny priehyb ideálneho poľa veľkého

1coshcosh BB

Bm c

xcc

c

xccyf

Pri parabolickom výpočte

c

xc

c

xc

cc

xccyf

2!21

cosh

2B

2

2B

BBmp

Po dosadení za z

ca

x.

,2

HB

.8 H

2

mp

zaf

Priehyb v ľubovoľnom bode šikmého poľa

c

x

c

ac

c

xc

c

xcyyf cosh

2coshcoshcosh B

xBx

c

x

c

a

c

xc

c

acf

28!2

1!24

122

2

2

2

2

xp

Ak sa uvažuje s výpočtom podľa paraboly

ea

exx

2B

c

e

c

ea

c

e

c

ea

c

a

c

a

c

ea

c

af

2222882

28

2222

2

2

xp

a po dosadení

a

he

c

eae

c

e

a

he

c

ea

c

e

c

eah

caf

22222

2 22

xp

a

hcaa 2

Zo vzťahu vidieť, že priehyb fx pozostáva zo súčtu dvoch členov f1 a f2.

2BA

aaexaexex

Ak je zadaná vzdialenosť e I zo strany nižšej podpery, do vzťahu pre fx dosadzujeme za x hodnotu:

h

a

he

c

eaef

2x

kde,xx hff Podľa obrázku

a

he

c

eaef

2x

pri počítaní priehybu v ľubovoľnom bode šikmého poľa pri uvažovaní vzdialenosti zo strany nižšej podpery sa mení znamienko pred druhým členom vzťahu, pričom dostávame nový vzťah.

a

he

c

eaef

2x

c

x

c

af

28

22

x

a

hcaa 2

fDD

X

Dĺžka nesúmernej reťazovky

Dĺžka nesúmernej reťazovky sa určí z toho istého vzťahu ako dĺžka súmernej reťazovky, len s inými hranicami určitého integrálu:

xyxylx

x

d1d1B

A 0

20

2n

c

xy

c

xcy sinh,cosh

c

x

c

xcx

c

xx

c

xl

x

x

AB

0

0

n sinhsinhdcoshdcoshB

A

3A

3B2

2

3A

A2

3B

B3

3AA

3

3BB

np

6

1

66!3!1!3!1

xxc

a

c

xx

c

xx

c

x

c

xc

c

x

c

xcl

Pre prípad, že hodnota xA bude záporná to znamená, že závesný bod A bude na tej istej strane ako závesný bod B v závislosti od vrcholu reťazovky, sa vzťahy sa upravia:

.6

1

66sinhsinh 3

A3B22

3A

A2

3B

BAB

n xxc

ac

xx

c

xx

c

x

c

xcl

Pre dĺžku nesúmernej reťazovky platí aj rozšírená Pytagorova veta: rozdiel štvorcov dĺžok nesúmernej a súmernej reťazovky na tom istom rozpätí s rovnakým parametrom c sa rovná štvorcu rozdielu výšok vyššej a nižšej podpery

.22s

2n hll

Charakteristický priehyb fk Charakteristický priehyb je definovaný ako dĺžka zvislice medzi stredom spojnice závesných bodov a vodičom (reťazovkou).

Dá sa dokázať, že platí (podľa rozšírenej Pytagorovej vety): nmsk lflf

,cosh2

cosh

2sinh2

2sinh

2cosh2

2sinh2

sinhsinh

km

ABm

AB

ABAB

m

BA

ms

nmk

c

xf

c

xxf

cxx

c

cxx

cxx

cf

ca

c

cx

cx

cf

l

lff

.12

cosh,22

kde mAB

ABA

k

c

acf

xxx

xxx

Viditeľný priehybViditeľný priehyb – zvislá vzdialenosť medzi spojnicou závesných bodov a dotyčnicou k vodiču (reťazovke) rovnobežnou so spojnicou závesných bodov.

c

x

a

hy vsinhtg

Zo známych hodnôt h, a, c sa vypočíta súradnica xv. Na základe známych hodnôt xv a xB sa určia y-ové hodnoty týchto bodov:

.cosh,cosh BB

vv c

xcy

c

xcy

Viditeľný priehyb fv je potom daný

,vBv hyyf

kde hI je výškový rozdiel, ktorý zodpovedá miestu viditeľného priehybu a je rovný (podľa podobnosti trojuholníkov)

.vB a

hxxh

VB

'

tgxx

h

a

h

Pri približnom výpočte (podľa paraboly) možno určiť bod, v ktorom je definovaný viditeľný priehyb, nasledujúcim spôsobom: Tento bod je pri šikmom poli najbližšie k zemi a do rozpätí 400 m a uhla φ < 30° možno predpokladať, že tento bod daný dotyčnicou rovnobežnou so spojnicou závesných bodov leží v polovici rozpätia. Takže ho možno stotožniť s charakteristickým priehybom .kv ff

Podmienka rovnováhy k bodu A

424 11

Hv

aq

aaFfF

potom

,cosdosadímeAk H

v

v

1 F

F

f

f

a

a

42coscos

cos1

vH aqa

fF

.cos

1

cos

1

8a m

H

12

v

fF

qaf

Keďže xv > xk, tak fm < fv < fk.

Výpočet mechanického napätia vo vodiči Pri určovaní celkového mechanického napätia v závesných bodoch A a B platia podobné vzťahy ako pri súmernom poli s tým rozdielom, že mechanické napätia v tých miestach nie sú rovnaké:

zy AA zy BBzf

c

a

mHHB 2cosh

,mHA zf .''mHB zf

Pre ťahy vo vodičoch platí

),( 21AA qqyF ).( 21BB qqyF

Podobne ako pre súmerné pole budú výrazy pre vertikálne zložky síl, resp. mechanických napätí:

,

),(

AVA

21AVA

zl

qqlF

,

),(

BVB

21BVB

zl

qqlF

kde dĺžky lA a lB sú dĺžky vetiev reťazovky od príslušného závesného bodu po vrchol reťazovky.

Pri nahradení dĺžky vodiča (reťazovky) rozpätím možno dosadiť do vzťahov príslušné x-ové súradnice vrcholu reťazovky xA, resp. xB.

Zvislá (vertikálna) zložka sily v závesnom bode

Dotyčnica k priehybovej krivke, ktorá je rovnobežná so spojnicou závesných bodov, rozdeľuje šikmé pole na dve časti. Týmto bodom je bod C. Vrchol reťazovky je v bode D.

,, BBAA xlxl

)( 21AVA qqxF

Zvislá zložka ťahu v závesných bodoch A a B je:

)( 21BVB qqxF alebo

VC21VA )(2

Fqqa

F

VC21VB )(2

Fqqa

F

a

hFFF HHVC tg

Záver: zvislá zložka sily vo vyššom (nižšom) závesnom bode sa rovná súčtu (rozdielu) tiaže polovičného rozpätia a zvislej zložky silyv bode C.

Pre zvislú zložku sily v bode C platí:

a následnea

hFFF HHVC tg

VC21VA )(2

Fqqa

F

a

hFqq

aF

a

hFqq

aF

H21VB

H21VA

)(2

)(2

Je zrejmé, že ak vrchol reťazovky padne mimo závesné body A a B (xA bude záporné), dostávame zápornú zvislú silu, t. j. silu zdvíhaciu.

V praxi je to častý problém „utopených“ stožiarov.

V týchto prípadoch treba určiť zvislú zložku sily v nižšom závesnom bode – na stožiari B:zvislá zložka sily od rozpätia 1 je daná

a od rozpätia 2

1

1H21

1VB1 )(

2 a

hFqq

aF

.)(2 2

2H21

2VB2 a

hFqq

aF

Celková zvislá zložka sily pre záves B je daná súčtom týchto čiastkových síl

.)()(2

1

)(2

)(2

2

2

1

1H2121

2

2H21

2

1

1H21

1VB2VB1VB

a

h

a

hFqqaa

a

hFqq

a

a

hFqq

aFFF

S uvažovaním tiaže izolátorového reťazca – Gr

.)()(2

1

2

2

1

1Hr2121VB

a

h

a

hFGqqaaF

Treba dávať pozor, či závesný bod B vo vzťahu k závesným bodom A a C je vyššie alebo nižšie. Podľa toho sa bude meniť znamienko pred FH vo vzťahu. Na obr. je závesný bod B nižšie ako závesné body A a C, takže v oboch prípadoch je záporné znamienko.

2

2

1

1Hr2121VB )()(

2

1

a

h

a

hFGqqaaF

Pri nízkych teplotách alebo pri veľkých výškových rozdieloch závesných bodov posledný člen vo vzťahu môže byť väčší ako prvé dva členy. Tým bude zvislá zložka sily na záves B záporná. To znamená, že bude pôsobiť smerom nahor. V tomto prípade môže dôjsť k preklopeniu nosných izolátorových reťazcov nad konzolu.

Posúďte, či stožiar je „utopený“ alebo nie. AlFe 240/39, Gr = 550 N, a1 = 280 m, a2 = 310 m, h1 = 35 m, h2 = 40 m, S = 281,66 mm2

a) pri -5 °C a námraze σH = 93 MPa, b) pri -30 °C σH = 41,1 MPa.

a) Výpočet vertikálnej sily na závesný bod B pri -5 °C a námraze

V obidvoch prípadoch FVB > 0 záves je stabilný.

N16,1855310

40

280

3566,2819355081,971,1984,0

3102802

1g

2

1

2

2

1

1Hr2121VB

a

h

a

hSGqqaaF

.N48,543310

40

280

3566,2811,4155081,9984,0

3102802

1

2

1

2

2

1

1Hr121VB

a

h

a

hSGgqaaF

b) Výpočet pri -30 °C