Lgica y Conjuntos I Al finalizar el curso el alumno: 1.-Clasificar las expresiones del lenguaje en proposiciones lgicas, abiertas e indeterminadas. 2.-Mediante el concepto de operacin binaria y ejemplos cotidianos, analizar las 16 operaciones binarias en el conjunto V, F llegando a establecer la conjuncin, disyuncin, condicional y bicondicional. 1.- Proposiciones 1.1 Proposiciones 1.2 Expresiones abiertas 1.3 Expresin indeterminada 2.- Operaciones Lgicas 1 2.1 Conectivos 2.2 Tablas de verdad 2.3 Tautologas y falacias 2.4 Implicacin Lgica 3.- Inferencia Lgica 3.1 Leyes de inferencia 3.2 Consistencia de premisas 4.- Lgica cuantificacional 4.1 Definiciones 4.2 Negacin de cuantificadores 4.3 Silogismos 4.4 Grficas 2 1 Proposiciones -Lgica Matemtica Tiene como objetivo, mostrar la validez de los argumentos Procedimientos Semejanza con la matemtica Uso de modelos simblicos -Elementos del clculo proposicional -El clculo proposicional, tiene como finalidad la demostracin de la validez de los argumentos por relacin de sus proposiciones. 3 -Tiene como elementos, por un lado las proposicionesque lo conforman y por el otro, las conectivas lgicas que las relacionan entre s. 1.1Proposiciones Una proposicin o enunciado es una expresin que afirma o niega algo; es una oracin que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposicin es un elemento fundamental de la lgica matemtica. Las proposiciones, en tanto expresin de un juicio, se pueden clasificar bajo varios criterios: Proposiciones Elementos Conectivas lgicas 4 1.2Clasificacin de las proposiciones Por cualidad Afirmativo Negativo Por propiedad fundamental Falso Verdadero Por el sujeto Abiertas Cerradas Indeterminadas Por componentes AtmicasMoleculares Por relacin Categricos Hipotticos Disyuntivos 5 -Por cualidad, son afirmativos cuando establecen una relacin de conveniencia entre sujeto y predicado, en el ejemplo Aristteles fue filsofo, el predicado filsofo conviene al sujeto Aristteles; o negativos cuando establecen una relacin de no conveniencia entre sujeto y predicado, por ejemplo Scrates no era Sofista. -Por propiedad fundamental, son falsos cuando niegan lo que deben afirmar, o afirman lo que deben negar, por ejemplo El hombre es inmortal; o verdaderos cuando afirman lo que deben afirmar y niegan lo que deben negar, por ejemplo El hombre es mortal1. -Por el sujeto, son abiertas cuando el sujeto no est definido, por ejemplo: Parece que terminaremos el trabajo a tiempo,

=

; o cerradas con el sujeto bien determinado,por ejemplo Coln descubri Amrica en 1492,El adagio es una composicin lenta -Por componentes, son simples cuando constan de un sujeto y un predicado, por ejemplo Albinoni fue un gran compositor; o compuestos cuando tienen dos o ms sujetos, o dos o ms predicados, o dos o ms de ambos, por ejemplo Lizt , Brahms y Bartk, compusieron Danzas Hngaras; Rimsky Korsakov compuso Sherezada y La gran Pascua Rusa. En Lgica matemtica, las llamaremos Atmicas, que son simples, sin conectivas lgicas y que se sustituyen por variables, por ejemplo: El profesor de Literatura, estudi en la UNAM = P;y Moleculares, que se componen de simples y tienen conectivas lgicas, tambin llamadas operadores lgicos, por ejemplo: Ileana y Xana son maestras= P & Q

1 Aristteles, Metafsica, IV, 7, 1 Edicin .Lima, Editorial Universo, 1972 6 -Por relacin, son categricos cuando expresan claramente una afirmacin o negacin, sin condicin o alternativas, por ejemplo todo juicio es enunciativo; hipotticos cuando expresan una condicin, por ejemplo Si estudias aprobars el examen; o disyuntivos cuando expresan opciones o alternativas, por ejemplo Haces el ejercicio o no tienes participacin. Comencemos por distinguir las proposiciones atmicas de las moleculares: Atmicas Simples Sin conectivas lgicas Se sustituyen por variables Proposiciones Moleculares Se componen de simples Tienen conectivas lgicas -La verdad de las proposiciones Una proposicin puede ser falsa o verdadera; sies atmica, su valor de verdad, depende slo de ella, en tanto que si es molecular, su valor de verdad depender de las atmicas que la conforman. 7 1.3Expresiones Booleanas En el idioma cientfico, una proposicin se refiere a un enunciado que puede ser verdadero o falso, generalmente una oracin enunciativa, base de lo que constituye el lenguaje formal de la lgica simblica. Empezaremos por decir que en lgica proposicional utilizaremos dos valores asociados llamados valores de verdad, que son verdadero (V) y falso (F), y en computacin a las expresiones que se les asocia uno de estos dos valores se les llama expresiones booleanas. Estn asociadas a dos opciones. Estas expresiones, que deben su nombre a George Boole, se pueden ver caracterizadas como verdaderas falsas y de acuerdo a esta condicin se desarrolla el estudio sobre dichos conceptos, que se conoce como clculo de proposiciones. Los enunciados o expresiones del lenguaje se pueden clasificar en: Proposiciones lgicas, Proposiciones abiertas y Frases o expresiones indeterminadas.-Expresiones Booleanas. Proposiciones lgicas y proposiciones abiertas. -Proposicin lgica. Expresiones que pueden ser verdaderas o falsas,pero no ambas.-Proposicin abierta. Una expresin que contiene una o ms variables y al sustituir las variables por valores especficos se obtiene una proposicin lgica.-Frases. Todas las expresiones que no cumplen alguna de los dos definiciones anteriores.Una proposicin abierta es aqulla en la cual el sujeto es una variable, toda proposicin abierta representa un conjunto, el cual recibe el nombre de conjunto solucin de la proposicin 8 1.4Expresin indeterminada Una proposicin determinada, tiene la forma sujeto-predicado y es verdadera o falsa necesariamente. Ejemplo: Scrates fue el padre de la tica Una proposicin indeterminada, tiene variables; puede ser verdadera o falsa, es decir, no est determinado su valor veritativo; es contingente. Ejemplo: PvQ 9 -Ejercicio Clasifique las siguientes expresiones del idioma en proposiciones lgicas, proposiciones abiertas , expresiones indeterminadas, o simplemente frases. 1) Mxico est en Amrica Proposicin Lgica2) 1 < 23) Hoy es lunes4) x + 3 = 55) Ecosistemas6) Buenos das7) El 3 de abril de 1970 fue domingo8) Los cocodrilos pueden volar9) Las matemticas son agradables10) Esta expresin es falsa 10 2 Operaciones Lgicas 2.1 Conectivos Las conectivas lgicas, tambin llamadas trminos de enlace u operadores lgicos, se pueden resumir en el siguiente cuadro: NombreSmbolosLecturaEjemplo Negacin (modificativo) ~ No... ~ p Conjuncin& . ^ ...Y... r & s Disyuncin inclusiva v ...O... t v u Disyuncin exclusiva v O,... o... x vy Condicionalo implicacin S,...entonces... a b Bicondicionalo doble implicacin ...S y solo s... c d 11 -El lenguaje simblico de la lgica Proposicional Nos sirve para reducir cualquier proposicin, por larga que sea a una literal (variable de enunciado) y sus trminos de enlace a un smbolo (conectiva lgica), que simplifiquen la deduccin. -Simbolizacin de proposiciones Las proposiciones atmicas se simbolizan utilizando una letra cualquiera,2 y las conectivas lgicascon los smbolos en el cuadro de la pgina anterior, de tal modo que la proposicin la Lgica es divertida, se simbolizaral en tanto que la proposicin la Lgica no es difcil se simbolizara~l. Ejemplos: Yo trabajo en la Universidad Marista y en la preparatoria La Salle del Pedregal m & s Hago mi tarea con mi libro de texto, o utilizo uno de la biblioteca t v b Si tengo un buen promedio, entonces obtendr la beca p b

2 Algunos maestros, sugieren utilizar en orden alfabtico, letrasminsculas a partir de la p12 Pasars Lgica, s y solo si sabes hacer silogismos Ls -Agrupacin Cuando tenemos varios trminos de enlace, debemos tener en cuenta que la negacin ( ~ ) es la conectiva ms dbil y el condicional ( ) es el ms potente. Por otra parte al agrupar, utilizamos parntesis (), corchetes [], o llaves {}, en ese rden3. Ejemplos: Si Rafael y Andrea, practican juntos, entonces harn un buen dueto y no quedarn fuera del recital ( r& a ) ( d & ~ f ) Como se puede ver en este ejemplo, el trmino dominante (fuera de parntesis), es , lo cual nos indica que el argumento es un condicional, formado por dos conjunciones, ( r& a ) y ( d & ~ f ), de las cuales, el consecuente incluye una negacin (~f )

3 Suppes Hill,Introduccin a la Logica Matemtica,Barcelona,Ed Reverte, 1985 13 El siguiente argumento, nos ilustra claramente la agrupacin, procedamos a desglosarlo: ~ { [ (c & d) v(mn) ] ( p v q ) } -Se trata de una negacin, ya que es el trmino que est fuera de las llaves . -Es la negacin de un bicondicional, si considero lo que est dentro de las llaves, el trmino dominante esy este relacionaa un corchete y un parntesis. -Es la negacin de un bicondicional, entre una disjuncin inclusiva ( el trmino dominante en el corchete es v ) y una disyuncin exclusiva ( el parntesis tiene como conectiva lgica v ) -Es la negacin de un bicondicional, entre una disjuncin inclusiva, formada por una conjuncin (c & d) y un condicional (mn) y por otra parte una disyuncin exclusiva ( p v q ) 14 -Ejercicio Simboliza las siguientes proposiciones: Luis estudia y trabaja Hoy no es sbado Si vas al mercado, entonces traers vegetales Pasars Lgica, si y slo si sabes hacer silogismos Si no hacen examen, entonces entregan trabajo Luis y Hctor no son buenos estudiantes O haces los ejercicios, o presentas trabajo final Si hoy el quincena, entonces Rossy y Xana pueden ir de compras Si Pedro y Juan estudiaron, entonces harn un buen examen Si el oro y la plata son metales, entonces son minerales Si me dejas ahora, no ser capaz de sobrevivir La lgica en importante y divertida 15 -Ejercicio Coloca los parntesis, de acuerdo al tipo de proposicin molecular que se te solicita: P & Q v R Conjuncin R & M v S T Disyuncin R M Negacin P & Q H & G Condicional R & S Conjuncin P & Q v R Disyuncin R & S Negacin P Q H & G Bi condicional P Q v P & Q v R Disyuncin exclusiva R M Condicional P & Q v R Conjuncin P & Q v R Disyuncin P Q H & G Negacin 16 2.2 Tablas de verdad -Reglas sintcticas Las proposiciones atmicas, poseen su propio valor veritativo ( f o v); en tanto que la verdad o falsedad de las proposiciones moleculares, dependedel valor de cada una de las atmicas que las constituyen, para lo cual tenemos las siguientes reglas de verdad para las proposiciones moleculares: NombreSmbolosRegla Negacin ~ Valor contrario Conjuncin & . ^ Es verdadera, si las dos son verdaderas Disyuncin inclusiva v Es verdadera, con una verdadera Disyuncin exclusiva v Es verdadera, cuando los valores son diferentes Condicional o implicacin Es falsa, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso Bi condicional odoble implicacin Es verdadera, cuando los valores son iguales 17 -Tablas de verdad Las tablas de verdad, nos sirven para encontrar el valor de verdad de una proposicin molecular, o de un argumento completo cuando desconocemos el valor de cada una de las atmicas que lo conforman, consiste en contemplar todas las posibles combinaciones de valores y aplicar las reglas anteriormente expuestas. Para realizar una tabla de verdad, es necesario tener en cuenta lo siguiente: -Se traza una columna para cada literal y una por cada trmino de enlace -Para una literal se trazan dos filas que corresponden a los valores:v y f -Para dos literales, cuatro filas; para tres, ocho filas y as sucesivamente a la dobla -En cada columna correspondiente a las atmicas, se colocan los valores V F, igualmente a la dobla. -Negacin p~p vf fv Para encontrar el valor de ~ p ,simplemente colocamos en la columna correspondiente a la literal sus posibles valores,comenzando por v , y en la columna de la proposicin molecular, se aplica la regla de negacin En las siguientes tablas, vamos a manejar dos literales, ntese que el nmero de filas va a la dobla 18 Cuadrado de Oposicin 19 -Conjuncin r sr & s vvv fvf vff fff Al aplicar la regla de conjuncin, el resultado es que solo la primera combinacin es verdadera -Disyuncin inclusiva tut v uvvv fvv vfv fff 20 En ste caso, solo la ltima combinacin resulta falsa -Disyuncin exclusiva xyx vy vvf fvv vfv fff -Condicional a bab vvv fvv vff ffv 21 Es importante notar que en el caso del condicional, el antecedente vy el consecuente f , determinan la falsedad del argumento, lo cual no ocurre con la segunda combinacin, ya que en el caso de sta conectiva lgica, el orden de los elementos que la conforman, es de vital importancia. -Bicondicional cdc d vvv fvf vff ffv Notemosqueenelcasodelasotrasconectivas,elordendesuscomponentes,noafectaelvalordelas mismas. -Tautologas y falacias Es importante saber, cual es el resultado que nos da una tabla de verdad; para ello debemos sombrear la columna correspondiente altrmino de enlace dominante, que es la ltima que se va a resolver y si en ella todos los valores, salen verdaderos, esto nos indica que el argumento es una Tautologia,si todos los valores de 22 la columna final, son falsos el argumento es una Contradiccin, y si los resultados son falsos y verdaderos, entonces el argumento es Contingente.4

Todo lo anteriormente expuesto, se puede reunir en una sola tabla: -Tabla general de valores

4 Chavez Caldern P, Lgica,Mtodos de investigacin, 1,Publicacines Cultural,Mxico, 1982 Valores Negacin Conjuncin Disyuncin Condicional Bi condicional Inclusiva Exclusiva pq~ pp & qp v qp v qpqp q vvfvvfvv fvvfvvvf vfffvvff ffvfffvv 23 Ejemplos: Para el argumento~ b &(b ~ c), debemos colocar una columna por cada literal y una por cada trmino de enlace, y como son dos las atmicas, necesitamos cuatro renglones: b c~ b &(b ~ c)

Los valores de las literales, se colocan, en la primera columna v, f y en la segunda v, v; f, f : b c~ b &(b ~ c) vv fv vf ff 24 Posteriormente, resolvemos las negacines, aplicando su regla: b c~ b &(b ~ c) vvff fvvf vffv ffvv

Ahora, resolvemos el parntesis, aplicando la regla de condicional, utilizando la columna de b y la de ~c: b c~ b &(b ~ c) vvfff fvvvf vffvv ffvvv 25 Finalmente, resolvemos la conjuncin, utilizando la regla correspondiente y las columnas ~b y la del parntesis: b c~ b &(b ~ c) vvffff fvvvvf vfffvv ffvvvv Del resultado de sta ltima columna, concluimos que el argumento es contingente -Ejercicios Realiza las siguientes tablas de verdad (c & d)v (c d) ~ b & (b ~ c) 26 ~ (c ~ m ) ( ~x~y )v ~ y xyz( ~x ~y )v~ z - 27 Enlosejemplosdescritos,desconocemoselvalordelasvariablesylatabladeverdadnossirvepara, partiendo de todas las combinaciones posibles, concluir la validez del argumento; en el caso de la tautologa y lacontradiccin,losresultadossondefinitivos,osirveonosirveelargumento,perocuandostesale contingente, debemos investigar el valor de las atmicas y utilizar un sistema de sustitucin de valores, para obtener el valor veritativo del argumento. -Ejercicios Resuelve las siguientes tablas de verdad PQR[ ( PQ )& ~ R ]v ~ Q PQR( PQ )& ( ~ Rv ~ Q) 28 29 30 -Tablas binarias Es otra manera de representacin, igualmente para obtener valores de verdad a partir de las conectivas lgicas: & Q V F P V F V Q VF P V F 31 V Q VF P V F Q VF P V F 32 Q VF P V F Ntese que no pusimos tabla binaria para la negacin, esto se debe a que esta compuesta por una sla proposicin. 33 2-3 Circuitos Lgicos Es un modelo que se utiliza en computacin, pero nos puede ayudar a comprender las tablas de verdad. -Componentes del circuito lgico Cable conductor de corriente Conduce el razonamiento Pila , batera, generador o fuente de poder Pone el circuito en funcin Bombilla Representa a la proposicin molecular Bombilla apagada Proposicin falsa 34 Bombilla encendida Proposicin verdadera Interruptor desconectado Proposicin simpleFalsa Interruptor conectado Proposicin simpleVerdadera Conjuncin Se requieren ambos interruptores conectados Disyuncin

Slo es necesario uninterruptor conectado 35 36 2.4 Implicacin Lgica -Valor veritativo Cuando conocemos el valor de las atmicas, solo sustituimos, aplicamos las reglas y podemos concluir si el argumento es verdadero o falso; podemos resumir la tcnica5 en los siguientes pasos:1.Sustituir valores 2.Eliminar negativos 3.Resolver parntesis -el paso 2 y el 3 se repiten, tantas veces, como sea necesario Teniendoque a, b, c = Vy x, y, z = F, podemos resolver el siguiente ejercicio: Ejemplo: [ ( A & ~ X ) ( ~ Y v B ) ]~ C& ~~ Z Sustituimos las literales por sus valores de verdad y entonces tenemos: [ ( V& ~ F ) ( ~ F v V ) ]~ V & ~~ F Eliminamos negativos, recordando que para eliminar un smbolo negativo fuera de parntesis, primero hay que resolver parntesis: [( V & V ) ( V v V ) ] F & F

5 Cfr con el diagrama de valores de certeza en Suppes Hill,Introduccin a la Logica Matemtica,Barcelona,Ed Reverte, 1985 37 Resolvemos los parntesis: [ V V ] F Ahora resolvemos el corchete: V F Finalmente resolvemos la proposicin molecular: Y concluimos que el argumento es falso. Veamos ahora un ejemplo completo : {[ ~ ( Y ~ Z ) & ~ C ]& ( ~ B v ~ X ) } v ~ B {[ ~ ( f ~ v ) & ~ v ]& ( ~ v v ~ f ) } v ~ v {[ ~ ( f f ) & f ] & ( f v v ) } v f {[ ~ f& f ] & v} vf {[ v& f ] & v} vf fvf

F F 38 -Ejercicios Teniendoque a, b, c = Vy x, y, z = F, resuelve los siguientes ejercicios ( A & ~ X ) ( ~ Y v B ) ( C v~ X ) v ( ~ Z B ) 39 -Ejercicios Teniendoque a, b, c = Vy x, y, z = F, resuelve los siguientes ejercicios [C ( A & ~ X ) ][ ( ~ Y v B ) v~~ B] ~ {[ ~ ( Y ~ Z ) & ~ C ] & ( ~ B v ~ X ) } v ~ B 40 -Ejercicios Teniendoque a, b, c = Vy x, y, z = F, resuelve los siguientes ejercicios [ ~ ( X ~ Z ) & ~ B ] & ( ~ A v ~ C ) ~ {( ~ A v ~ Y )v [ ~ ( C ~ Z ) & ~ B ] }&~~X 41 3 Inferencia Lgica -La validez lgica de los argumentos Las leyes lgicas, tienen la misma funcin y estn hechas para pensamientos con la misma estructura, por lo cual, partiendo de premisas verdaderas, nos garantizan la validez de los argumentos 3.1 Las reglas de inferencia Son modelos lgicos, universalmente vlidos, que nos permiten deducir conclusiones en argumentos, con una estructura semejante al modelo propuesto Existen diversas reglas o leyes, que expresan varios tipos de inferencia lgica, las podemos clasificar en leyes de implicacin y leyes de equivalencia,6 -Leyes de implicacin -Doble negacin, pasa de una premisa ( p ) nica, directamente a la conclusin ( ~~ p );consiste enque la negacin de la negacin, es igual a la afirmacin, su abreviatura es DN

6 Gutirrez Senz R, Introduccin a la Lgica,Mxico, Esfinge,1998 42 -Adjuncin,pasa de dos premisas ( a ) y ( b ) a la conclusin (a & b ); consiste en la simple unin de dos proposiciones que se tienen por verdaderas7, su abreviatura es A -Simplificacin pasa de una conjuncin como premisa (c & d ) a dos conclusiones ( c ) y ( d ), consiste en descomponer una conjuncin y su abreviatura es S -Ponendo ponens, pasa de dos premisas , una que es un condicional (e f ) yla otra que es el antecedente del condicional ( e ) a la conclusin( f ), dice queen un condicional, si se afirma el antecedente, tambin se afirma el consecuente, pero no viceversa y su abreviatura es PP -Tollendo tollens, igualmente pasa de dos premisas, una condicional ( g h ) yla otra la negacin del consecuente del condicional( ~h ) a la conclusin ( ~ g ), dice que en un condicional, si niego el consecuente, niego el antecedente pero no viceversa; su abreviatura es TT -Silogismo hipottico, pasa de varias premisas condicionales( i j ) , ( k l ), ( m n ) a una conclusin igualmente condicional, ( i n ), consiste en simplificar condicionales encadenados y su abreviatura es HS -Tollendo ponens, pasa de dos premisas, una disyuntiva ( o v q ), y la otra que es un elemento de la disyuncin ( o ), a la conclusin ( ~q ), dice que en una disyuncin, si se afirma uno de sus elementos, se niega el otro y viceversa; su abreviatura es TP -Adicin, pasa de una nica premisa ( r ) a una conclusin disyuntiva ( r v s ), consiste en juntar dos proposiciones, una de las cuales debe ser verdadera en una disyuncin, expresando el hecho de que si se tiene una proposicin verdadera,, entonces su disyuncin con otra, tambin ser verdadera; su abreviatura es LA8 -Dilema constructivo, parte de una conjuncin entre dos condicionales ( p q ) & ( r s )y la disyuncin de las afirmaciones de sus antecedentes ( p vr ), para concluir la disyuncin entre las afirmaciones de sus consecuentes ( q v s ); consiste en la aplicacin del ponendo ponens a argumentos hipottico disyuntivos, su abreviatura es DC -Dilema destructivo, parte de una conjuncin entre dos condicionales ( w x ) & ( y z ) y la disyuncin de las negaciones de sus consecuentes ( ~x v ~ z ) , para concluir la disyuncin entre las negaciones de sus

7 Recordar que para que una conjuncin sea verdadera, ambas proposicines que la conforman deben ser verdaderas. 8 Recordar que una disyuncin inclusiva, es veradera, con que uno de sus componentes sea veradero. 43 antecedentes ( ~w v ~ y ); consiste en la aplicacin del tollendo tollens a argumentos hipottico disyuntivos, su abreviatura es DD9 3.2Las demostraciones formales Conociendo estas primeras reglas, ya podemos realizar demostraciones formales a partir de premisas dadas, siempre justificando cada nueva conclusin, aadiendo a su derecha las siglas de la regla empleada y los nmeros de las premisas utilizadas: Las demostraciones formales -Negacin Nombreabreviatura ejemplo Doble negacin DN 1) ap 2)~~aDN 1

9 Cfr con las inferencias lgicas expuestas en Suppes Hill,Introduccin a la Logica Matemtica,Barcelona,Ed Reverte, 1985 44 -Conjuncin Nombreabreviatura ejemploAdjuncin A 1) a p 2)bp 3)a & bA 1,2 Simplificacin S 1) c & d p 2) c S 1 3) d S 1-Ejercicios 45 -Ejercicios 46 -Condicional Nombreabreviatura ejemploPonendo ponens PP1)e f p 2)e p 3) fPP 1,2 Tollendo tollens TT1) g h p 2)~ hp 3)~ g TT 1,2 Silogismo hipottico HS1) j kp 2)k lp 3) j lHS 1,2 47 -Ejercicios 48 -Disyuncin Nombreabreviatura ejemploTollendo ponens TP 1) a v f p 2) a p3) ~ f TP 1,2 Adicin LA 1) ip 2) i v s LA 1 -Ejercicios 49 -Ejercicios 50 -Dilema Dilema constructivo DC 1) ( pq ) & ( r s )p 2)p v r p 3)qv sDC1,2 Dilema destructivo DD 1) ( pq ) & ( r s )p 2) ~ qv ~ s p 3) ~ p v ~ rDD1,2 -Ejercicios 51 -Ejercicios 52 -Leyes de equivalencia Existen otras leyes que es bueno tener en cuenta ya que nos expresan argumentos equivalentes, o distintas formas de expresar el mismo argumento10, son las siguientes: -Leyes conmutativas, expresan que en el caso de la conjuncin y la disyuncin, el orden de los factores, no altera el producto; su abreviatura es EL ( a & b ) ( b & a ) ( c v d ) ( d v c ) -Leyes de distribucin, nos dicen que la conjuncin entre una atmica y una disyuncin, es equivalente a la disyuncin entre las conjuncines formadas por la atmica y cada uno de los elementos de la disyuncin original [s & (t v u)] [(s & t)v (s & u)]

10 Cfr Gutirrez Senz R, Introduccin a la Lgica,Mxico, Esfinge,1998 53 O que la disyuncin entre una atmica y una conjuncin, es equivalente a la conjuncin entre las disyunciones formadas por la atmica y los dos elementos de la conjuncin original, en ambos casos su abreviatura es Dist [v v (w^ x)] [(v v w)^(v v x)] -Leyes de asociacin, expresa la equivalencia entre la disyunciones, de cuyos componentes uno es una proposicin compuesta y las asociaciones expresadas en parntesis, no cambian sus valores de verdad [(m v n) v o] [m v (n v o)] O la la equivalencia entre la conjunciones, de cuyos componentes uno es una proposicin compuesta y las asociaciones expresadas en parntesis, no cambian sus valores de verdad; en ambos casos su abreviatura es Asoc [(p ^q) ^r ] [p ^(q ^r)] -Ley de implicacin material, una condicional equivale a negar el antecedente o afirmar el consecuente, se abrevia IM ( yz ) ( ~y v z) 54 -Leyes de Morgan, tiene varios casos; el primero dice que negar los elementos de una conjuncin, es equivalente a negar uno u otro de ellos ( ~e & ~f ) ~ (e v f )

En el segundo caso, negar los elementos de una disyuncin, es equivalente a negarlos ambos ( ~g v ~h ) ~ ( g & h )

Una conjuncin es equivalente a la negacin de la disyuncin de cada uno de sus elementos negados i & j ~( ~i v ~j ) Por ltimo, negar la disyuncin de una atmica y una negacin, equivale a la negacin del primer elemento y la doble negacin del segundo, todos estos casos se abrevian DML ~ ( k v ~l ) ~k & ~~l 55 -Ley de contraposicin, tambin llamada transposicin, es otra manera de expresar el tollendo tollens, es decir que un condicional es equivalente a las negacines de sus componentes, igualmente en condicional, se abrevia Contr ( a b ) (~a ~b) -Ley de exportacin, cuando el antecedente de un condicional es una proposicin conjuntiva, entonces uno de stos componentes implica al otro, que a su vez est implicando al consecuente, su abreviatura es Exp [(c & d) e] [c(d e)] -Ley de equivalencia material, nos dice que cuando dos proposiciones son equivalentes, entonces podemos afirmar ambas, o bien negar ambas, su abreviatura es EM (p q)[(p & q) v (~p &~q)] -Tautologa, Una proposicin es idntica a ella misma o a ella misma y tambin es idntica a ella misma y a ella misma, se abrevia Taut a ( a v a) b ( b & B ) 56 -Ejercicios 57 4 Lgica cuantificacional Todo lo anteriormente expuesto, en el presente captulo, es aplicable solamente a los argumentos en los cuales la validez depende de la forma en que se combinan los enunciados simples ( proposiciones atmicas) en enunciados compuestos ( proposiciones moleculares);sin embargo no es aplicable para las premisas de un silogismo categrico, ya que su validez depende de la estructura lgica interna de sus enunciados simples y requiere de una nueva simbologa:11 -Simbolizacin con cuantificadores Sisimbolizamos elPredicado con una mayscula y el Sujeto con una minscula, entonces tendremos en los siguientes ejemplos que: El hombre es mortal= Mh La plata es un mineral = Mp Juan es aviador = Aj El derecho es positivo = Pd El rbol es frutal = Fa

11 Copi, I, Lgica simblica, Mxico, C.E.C.S.A.,1982 58 Se llama Constante de individuo alas variables: H, p, j, d, a Si sustituimosla letra x por la variable de individuo los ejemplos anteriores se simbolizaran: MxAxPx Fx 4.1 Smbolos de los cuantificadores Mx,Ax,Px , Fx; son funciones proposicionales por lo cual, no son ni falsas ni verdaderas Si cambio la variable de individuo por una constante de individuo, entonces laproposicin es singular, aesto se llama ejemplificacin12

12 Gutirrez Senz R, Introduccin a la Lgica,Mxico, Esfinge,1998 59 Los smbolos que se utilizan para los sujetos en lgica cuantificacional son: = Sujeto Universal-= Sujeto particular o singular - Ejemplos Proposicin universal: Todo viviente es ser (x) (Vx Sx) Para todo x, six es un viviente, entonces x es ser

Proposicin particular: Algn hombre es guapo (-x) (Hx ^ gx) Existe al menos un x tal que , Sindo x hombre y x es guapo60 4.2 Leyes de ejemplificacin y generalizacin Nos permiten construir demostraciones de validez para argumentos simbolizados por medio de cuantificadores, son las siguientes: -ley de ejemplificacin universal, cuando un predicado es aplicable universalmente a un sujeto, entonces tambin es aplicable a cualquiermiembro de ese sujeto (lo dicho de todos, puede decirse de algunos), su abreviatura es (EU) ( x) Px .. Pa -ley de generalizacin universal,si un individuo de un conjunto, tiene una caracterstica p, entonces se puede colegir, que todos los miembros del conjunto la tienen, su abreviatura es ( (GU) 1)Pa ________ 2)(x ) Px 61 -Ley de ejemplificacin existencial, si existe un sujeto que tiene un predicado, entonces se puede concluir una proposicin particular, con ese sujeto y ese predicado , su abreviatura es (EE) 1) (-x) Px ________ 2)Pa -Ley de generalizacin existencial, si tenemos una premisa con sujeto singular a, y predicado P, entonces se puede concluir que al menos existe un sujeto x que tiene un predicado P, su abreviatura es ( (GE)

1) Pa ________ 2)(-x) Px 62 -Proposicines tpicas A (x) (Vx Sx) E (x) (Vx ~Sx) I (-x) (Hx ^ gx) O (-x) (Hx ^ ~gx) -Especificacin universal DemostrarSm 1) (x) (Vx Sx) p1.-simbolizar premisas 2)Vmp3) VmSmp2.-especificar objetospara eliminar cuantificadores 4)SmPP2,3 3.-aplicar inferencia63 Palabras finales EsperoquealconcluirtucursodeLgica,comprendascomofuncionatuentendimiento,ysobre todo que puedas comprobar la validez de tus argumentos; para hacer una especie de autoevaluacin deloaprendido,tepropongoqueintentemosporejemploahorademostrarlavalidezdeun argumento por todos los mtodos vistos en el curso: Resolvamos el siguiente silogismo: Algn poltico no es honesto Todo poltico es influyente Si recuerdas bien tus pasos para hacerlo, notars que es un: III BOCARDO OAlgn poltico no es honesto ATodo poltico es influyente O Algn influyente no es honesto Inicialmente podramos reducirlo al absurdo y quedara: I BARBARA ATodo influyente es honesto ATodo poltico es influyente ATodo polticoes honesto 64 Corresponde la figura, el modo, la colocacin de los trminos y, recordemos que, precisamente por ser reduccin al absurdo la conclusin es falsa. Hasta aqu parece vlido nuestro argumento. Procedamos ahora a comprobarlo mediante diagramas de Venn: S P III BOCARDO OAlgn poltico no es honesto ATodo poltico es influyente O Algn influyente no es honesto O m p A m s O sp M El diagrama nuevamente nos muestra que el argumento es vlido. UtilizandolaLgicaformal,hemoscomprobadolavalidezdeesteargumento,ahoravamosa utilizar la Lgica simblica: 65 III BOCARDO OAlgn poltico no es honesto ATodo poltico es influyente O Algn influyente no es honesto (-x) (Px ^ ~Hx) (x) (Px Ix)(-x) (Ix ^ ~Hx) Estars de acuerdo que lo que tenemos que demostrar es la conclusin: Demostrar:(-x) (Ix ^ ~Hx) Y que nuestras premisas son: 1.(-x) (Px ^ ~Hx) p 2.(x) (Px Ix)p Apliquemos nuestros conocimientos: Demostrar:(-x) (Ix ^ ~Hx) 1.(-x) (Px ^ ~Hx) p 2.(x) (Px Ix)p 3.Pa ^ ~HaEE 1 4.Pa I a EU2 66 5.PaS 3 6.~HaS 37.I a PP 4,5 8.I a ^ ~HaA 6,7 9.(-x) (Ix ^ ~Hx)GE 8 Denuevohemosdemostradoelargumento.Tepreguntars,seguramenteculesla importancia de todo esto? Resulta que cualquiera que sea la profesin que tengas, se esperan de ti cualidades bsicas para la vidaencualquiermbitoadesarrollar:profesional,laboral,osocial.Entreellasdestacarntu capacidad de entender y explicar la realidad, de plantear problemas y de solucionarlos eficazmente, paralocualrequerirsdelpensamientoreflexivo,elpensamientocrticoytucapacidaddehacer juicios de valoracin. De esta manera, la enseanza de la Filosofa en general y, la de la Lgica en especial te resultarn indispensables.

LaFilosofa,amsdeunaampliacultura,teayudaacomprenderyproblematizarlarealidad; porsupartelaLgicatebrindaesaindispensableherramientaenlasolucindeproblemas,que independientemente de que seas o no especialista en una materia, te permitir poner en tela de juicio la validez de los argumentos, contribuyendo as a la formacin de tu pensamiento crtico. Meplacehabercontribuidoaesteaspectotanimportanteentuformacin,teinvitoa continuar tu formacin haciendo uso de lo aprendido en el curso. Alejandra M. Ocampo M.