Lógica y Conjuntos I XAna

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Lgica y Conjuntos I Al finalizar el curso el alumno: 1.-Clasificar las expresiones del lenguaje en proposiciones lgicas, abiertas e indeterminadas. 2.-Mediante el concepto de operacin binaria y ejemplos cotidianos, analizar las 16 operaciones binarias en el conjunto V, F llegando a establecer la conjuncin, disyuncin, condicional y bicondicional. 1.- Proposiciones 1.1 Proposiciones 1.2 Expresiones abiertas 1.3 Expresin indeterminada 2.- Operaciones Lgicas 1 2.1 Conectivos 2.2 Tablas de verdad 2.3 Tautologas y falacias 2.4 Implicacin Lgica 3.- Inferencia Lgica 3.1 Leyes de inferencia 3.2 Consistencia de premisas 4.- Lgica cuantificacional 4.1 Definiciones 4.2 Negacin de cuantificadores 4.3 Silogismos 4.4 Grficas 2 1 Proposiciones -Lgica Matemtica Tiene como objetivo, mostrar la validez de los argumentos Procedimientos Semejanza con la matemtica Uso de modelos simblicos -Elementos del clculo proposicional -El clculo proposicional, tiene como finalidad la demostracin de la validez de los argumentos por relacin de sus proposiciones. 3 -Tiene como elementos, por un lado las proposicionesque lo conforman y por el otro, las conectivas lgicas que las relacionan entre s. 1.1Proposiciones Una proposicin o enunciado es una expresin que afirma o niega algo; es una oracin que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposicin es un elemento fundamental de la lgica matemtica. Las proposiciones, en tanto expresin de un juicio, se pueden clasificar bajo varios criterios: Proposiciones Elementos Conectivas lgicas 4 1.2Clasificacin de las proposiciones Por cualidad Afirmativo Negativo Por propiedad fundamental Falso Verdadero Por el sujeto Abiertas Cerradas Indeterminadas Por componentes AtmicasMoleculares Por relacin Categricos Hipotticos Disyuntivos 5 -Por cualidad, son afirmativos cuando establecen una relacin de conveniencia entre sujeto y predicado, en el ejemplo Aristteles fue filsofo, el predicado filsofo conviene al sujeto Aristteles; o negativos cuando establecen una relacin de no conveniencia entre sujeto y predicado, por ejemplo Scrates no era Sofista. -Por propiedad fundamental, son falsos cuando niegan lo que deben afirmar, o afirman lo que deben negar, por ejemplo El hombre es inmortal; o verdaderos cuando afirman lo que deben afirmar y niegan lo que deben negar, por ejemplo El hombre es mortal1. -Por el sujeto, son abiertas cuando el sujeto no est definido, por ejemplo: Parece que terminaremos el trabajo a tiempo,

=

; o cerradas con el sujeto bien determinado,por ejemplo Coln descubri Amrica en 1492,El adagio es una composicin lenta -Por componentes, son simples cuando constan de un sujeto y un predicado, por ejemplo Albinoni fue un gran compositor; o compuestos cuando tienen dos o ms sujetos, o dos o ms predicados, o dos o ms de ambos, por ejemplo Lizt , Brahms y Bartk, compusieron Danzas Hngaras; Rimsky Korsakov compuso Sherezada y La gran Pascua Rusa. En Lgica matemtica, las llamaremos Atmicas, que son simples, sin conectivas lgicas y que se sustituyen por variables, por ejemplo: El profesor de Literatura, estudi en la UNAM = P;y Moleculares, que se componen de simples y tienen conectivas lgicas, tambin llamadas operadores lgicos, por ejemplo: Ileana y Xana son maestras= P & Q

1 Aristteles, Metafsica, IV, 7, 1 Edicin .Lima, Editorial Universo, 1972 6 -Por relacin, son categricos cuando expresan claramente una afirmacin o negacin, sin condicin o alternativas, por ejemplo todo juicio es enunciativo; hipotticos cuando expresan una condicin, por ejemplo Si estudias aprobars el examen; o disyuntivos cuando expresan opciones o alternativas, por ejemplo Haces el ejercicio o no tienes participacin. Comencemos por distinguir las proposiciones atmicas de las moleculares: Atmicas Simples Sin conectivas lgicas Se sustituyen por variables Proposiciones Moleculares Se componen de simples Tienen conectivas lgicas -La verdad de las proposiciones Una proposicin puede ser falsa o verdadera; sies atmica, su valor de verdad, depende slo de ella, en tanto que si es molecular, su valor de verdad depender de las atmicas que la conforman. 7 1.3Expresiones Booleanas En el idioma cientfico, una proposicin se refiere a un enunciado que puede ser verdadero o falso, generalmente una oracin enunciativa, base de lo que constituye el lenguaje formal de la lgica simblica. Empezaremos por decir que en lgica proposicional utilizaremos dos valores asociados llamados valores de verdad, que son verdadero (V) y falso (F), y en computacin a las expresiones que se les asocia uno de estos dos valores se les llama expresiones booleanas. Estn asociadas a dos opciones. Estas expresiones, que deben su nombre a George Boole, se pueden ver caracterizadas como verdaderas falsas y de acuerdo a esta condicin se desarrolla el estudio sobre dichos conceptos, que se conoce como clculo de proposiciones. Los enunciados o expresiones del lenguaje se pueden clasificar en: Proposiciones lgicas, Proposiciones abiertas y Frases o expresiones indeterminadas.-Expresiones Booleanas. Proposiciones lgicas y proposiciones abiertas. -Proposicin lgica. Expresiones que pueden ser verdaderas o falsas,pero no ambas.-Proposicin abierta. Una expresin que contiene una o ms variables y al sustituir las variables por valores especficos se obtiene una proposicin lgica.-Frases. Todas las expresiones que no cumplen alguna de los dos definiciones anteriores.Una proposicin abierta es aqulla en la cual el sujeto es una variable, toda proposicin abierta representa un conjunto, el cual recibe el nombre de conjunto solucin de la proposicin 8 1.4Expresin indeterminada Una proposicin determinada, tiene la forma sujeto-predicado y es verdadera o falsa necesariamente. Ejemplo: Scrates fue el padre de la tica Una proposicin indeterminada, tiene variables; puede ser verdadera o falsa, es decir, no est determinado su valor veritativo; es contingente. Ejemplo: PvQ 9 -Ejercicio Clasifique las siguientes expresiones del idioma en proposiciones lgicas, proposiciones abiertas , expresiones indeterminadas, o simplemente frases. 1) Mxico est en Amrica Proposicin Lgica2) 1 < 23) Hoy es lunes4) x + 3 = 55) Ecosistemas6) Buenos das7) El 3 de abril de 1970 fue domingo8) Los cocodrilos pueden volar9) Las matemticas son agradables10) Esta expresin es falsa 10 2 Operaciones Lgicas 2.1 Conectivos Las conectivas lgicas, tambin llamadas trminos de enlace u operadores lgicos, se pueden resumir en el siguiente cuadro: NombreSmbolosLecturaEjemplo Negacin (modificativo) ~ No... ~ p Conjuncin& . ^ ...Y... r & s Disyuncin inclusiva v ...O... t v u Disyuncin exclusiva v O,... o... x vy Condicionalo implicacin S,...entonces... a b Bicondicionalo doble implicacin ...S y solo s... c d 11 -El lenguaje simblico de la lgica Proposicional Nos sirve para reducir cualquier proposicin, por larga que sea a una literal (variable de enunciado) y sus trminos de enlace a un smbolo (conectiva lgica), que simplifiquen la deduccin. -Simbolizacin de proposiciones Las proposiciones atmicas se simbolizan utilizando una letra cualquiera,2 y las conectivas lgicascon los smbolos en el cuadro de la pgina anterior, de tal modo que la proposicin la Lgica es divertida, se simbolizaral en tanto que la proposicin la Lgica no es difcil se simbolizara~l. Ejemplos: Yo trabajo en la Universidad Marista y en la preparatoria La Salle del Pedregal m & s Hago mi tarea con mi libro de texto, o utilizo uno de la biblioteca t v b Si tengo un buen promedio, entonces obtendr la beca p b

2 Algunos maestros, sugieren utilizar en orden alfabtico, letrasminsculas a partir de la p12 Pasars Lgica, s y solo si sabes hacer silogismos Ls -Agrupacin Cuando tenemos varios trminos de enlace, debemos tener en cuenta que la negacin ( ~ ) es la conectiva ms dbil y el condicional ( ) es el ms potente. Por otra parte al agrupar, utilizamos parntesis (), corchetes [], o llaves {}, en ese rden3. Ejemplos: Si Rafael y Andrea, practican juntos, entonces harn un buen dueto y no quedarn fuera del recital ( r& a ) ( d & ~ f ) Como se puede ver en este ejemplo, el trmino dominante (fuera de parntesis), es , lo cual nos indica que el argumento es un condicional, formado por dos conjunciones, ( r& a ) y ( d & ~ f ), de las cuales, el consecuente incluye una negacin (~f )

3 Suppes Hill,Introduccin a la Logica Matemtica,Barcelona,Ed Reverte, 1985 13 El siguiente argumento, nos ilustra claramente la agrupacin, procedamos a desglosarlo: ~ { [ (c & d) v(mn) ] ( p v q ) } -Se trata de una negacin, ya que es el trmino que est fuera de las llaves . -Es la negacin de un bicondicional, si considero lo que est dentro de las llaves, el trmino dominante esy este relacionaa un corchete y un parntesis. -Es la negacin de un bicondicional, entre una disjuncin inclusiva ( el trmino dominante en el corchete es v ) y una disyuncin exclusiva ( el parntesis tiene como conectiva lgica v ) -Es la negacin de un bicondicional, entre una disjuncin inclusiva, formada por una conjuncin (c & d) y un condicional (mn) y por otra parte una disyuncin exclusiva ( p v q ) 14 -Ejercicio Simboliza las siguientes proposiciones: Luis estudia y trabaja Hoy no es sbado Si vas al mercado, entonces traers vegetales Pasars Lgica, si y slo si sabes hacer silogismos Si no hacen examen, entonces entregan trabajo Luis y Hctor no son buenos estudiantes O haces los ejercicios, o presentas trabajo final Si hoy el quincena, entonces Rossy y Xana pueden ir de compras Si Pedro y Juan estudiaron, entonces harn un buen examen Si el oro y la plata son metales, entonces son minerales Si me dejas ahora, no ser capaz de sobrevivir La lgica en importante y divertida 15 -Ejercicio Coloca los parntesis, de acuerdo al tipo de proposicin molecular que se te solicita: P & Q v R Conjuncin R & M v S T Disyuncin R M Negacin P &