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LIGOURAS Panagiote

I.I.S. “Leonardo da Vinci – Galileo Galilei” Noci (BA)

Matematica e Informatica

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ESAME DI STATOMatematica Liceo Scientifico

Calcolo CombinatorioI ta l ia , Europa e Amer iche – anni 2011 -2015

mailto:[email protected]

Panagiote LIGOURAS 02 / ++ Versione 2016-01

Calcolo Combinatorio

𝐶𝑛,𝑘 =𝑛𝑘

=𝑛!

𝑘! 𝑛 − 𝑘 !

𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 …3 ∙ 2 ∙ 1 𝑛 + 1 ! = 𝑛! 𝑛 + 1

𝑃𝑛 = 𝑛!

𝐷𝑛;𝑘 =𝑛!

𝑛 − 𝑘 !𝐷𝑛;𝑘 = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … 𝑛 − 𝑘 + 1

𝐷𝑛;𝑘′ = 𝑛𝑘

𝐶𝑛;𝑘′ =

𝑛 + 𝑘 − 1 !

𝑘! 𝑛 − 1 !

𝑥 + 𝑎 𝑛 =

𝑘=0

𝑛𝑛𝑘

𝑥𝑛−𝑘𝑎𝑘

Fattoriale di n

Permutazioni semplici

Disposizioni semplici

Disposizioni con ripetizione

Combinazioni semplici

Combinazioni con ripetizione

Potenza di un binomio

𝑃𝑛𝑘1,𝑘2,…,𝑘𝑛 =

𝑛!

𝑘1! 𝑘2! … 𝑘𝑚!Permutazioni con ripetizioni

𝑛𝑘

=𝑛

𝑛 − 𝑘

𝑛𝑘

=𝑛 − 1𝑘

+𝑛 − 1𝑘 − 1

𝐶𝑛,𝑘′ =

𝑛 + 𝑘 − 1𝑘


Calcolo Combinatorio – Quesito n.5 – Italia – 2012

I segmenti richiesti sono tanti quante le combinazioni senza ripetizioni di n oggetti a 2 a 2:

Il numero dei triangoli richiesti è pari alle combinazioni senza ripetizioni di n oggetti a 3 a 3:

Il numero dei tetraedri è pari alle combinazioni senza ripetizioni di n oggetti a 4 a 4:


=𝑛!

𝑘! 𝑛 − 𝑘 !

𝑛2

=𝑛!

2! 𝑛 − 2 !=𝑛 ∙ 𝑛 − 1

2!

𝑛3

=𝑛!

3! 𝑛 − 3 !=𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2

3!

𝑛4

=𝑛!

4! 𝑛 − 4 !=𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2 ∙ 𝑛 − 3

4!


Calcolo Combinatorio – Quesito n.6 – Italia – 2013

I 6 numeri più grandi si ottengono da 7654321 permutando le ultime 3 cifre (3!=6).

Al posto n. 5040 abbiamo 7654321





Con 1 al primo posto abbiamo 6!=720 numeri,

con 2 al primo posto altri 720;

il numero di posto 1441 è il più piccolo che inizia con 3, cioè 3124567.

𝟕𝟐𝟎 + 𝟕𝟐𝟎 = 𝟏𝟒𝟒𝟎


Calcolo Combinatorio – Quesito n.8 – Italia supp.– 2013

Nel caso del tetraedro il numero di modi per colorare le 4 facce è dato dalle combinazioni semplici di 10 oggetti a 4 a 4:

Nel caso del cubo il numero di modi per colorare le 6 facce è dato dalle combinazioni semplici di 10 oggetti a 6 a 6:


=𝑛!

𝑘! 𝑛 − 𝑘 !

𝑛𝑘

=𝑛

𝑛 − 𝑘


Calcolo Combinatorio – Quesito n.8 – Italia str. – 2014

Risulta: 𝑛 + 1𝑘 + 1

=𝑛 + 1 !

𝑘 + 1 ! 𝑛 + 1 − 𝑘 + 1 !=

=𝑛 + 1 !

𝑘 + 1 ! 𝑛 − 𝑘 !=

=𝑛! 𝑛 + 1

𝑘! 𝑘 + 1 𝑛 − 𝑘 !=

=𝑛!

𝑘! 𝑛 − 𝑘 !∙𝑛 + 1

𝑘 + 1=

=𝑛𝑘

∙𝑛 + 1

𝑘 + 1

L’uguaglianza risulta verificata solo se


=𝑛!

𝑘! 𝑛 − 𝑘 !


Calcolo Combinatorio – Quesito n.8 – Americhe – 2014

Il numero 𝑁 dei colori che si possono formare è dato da:


=𝑛!

𝑘! 𝑛 − 𝑘 !

𝐶7,2 =72

=7!

2! 7 − 2 !=

7!

2! 5!=6 ∙ 7

1 ∙ 2= 21


Calcolo Combinatorio – Quesito n.4 – Europa – 2014

Il termine in si ottiene da se

20𝑖

=207

=20!

7! 20 − 7 !=

20!

7! 13!= 77520

𝑛𝑘

=𝑛!

𝑘! 𝑛 − 𝑘 !


Calcolo Combinatorio – Quesito n.5 – Italia sim. – 2015

Per progettare un sito web è necessario generare dei codici unici di accesso. Si vogliono utilizzare, a tale scopo, due lettere maiuscole dell’alfabeto inglese seguite da una serie di numeri compresi tra 0 e 9. Tutti i codici di accesso dovranno avere lo stesso numero di cifre ed è ammessa la ripetizione di lettere e numeri. Qual è il numero minimo di cifre da impostare in modo da riuscire a generare almeno 5 milioni di codici di accesso diversi? Giustificare la risposta.

Quindi n deve essere almeno 4:i codici devono essere formati da almeno 6 caratteri (2 lettere seguite da almeno 4 cifre).

La scelta delle 2 lettere (tra le 26 possibili) è data dalle disposizioni con ripetizioni di 26 oggetti a due a due:

Panagiote LIGOURAS 10 / 10 Versione 2016.01

Grazie!!!

A l b e r o b e l l o

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Questa presentazione è disponibile anche all’indirizzo:http://www.slideshare.net/panagioteligouras/

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