Ligouras mate v_esame_quesco2011_01
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LIGOURAS Panagiote I.I.S. “Leonardo da Vinci – Galileo Galilei” Noci (BA) Matematica e Informatica [email protected] ESAME DI STATO Matematica Liceo Scientifico Calcolo Combinatorio Italia, Europa e Americhe – anni 2011-2015
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LIGOURAS Panagiote
I.I.S. “Leonardo da Vinci – Galileo Galilei” Noci (BA)
Matematica e Informatica
ESAME DI STATOMatematica Liceo Scientifico
Calcolo CombinatorioI ta l ia , Europa e Amer iche – anni 2011 -2015
Panagiote LIGOURAS 02 / ++ Versione 2016-01
Calcolo Combinatorio
𝐶𝑛,𝑘 =𝑛𝑘
=𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 …3 ∙ 2 ∙ 1 𝑛 + 1 ! = 𝑛! 𝑛 + 1
𝑃𝑛 = 𝑛!
𝐷𝑛;𝑘 =𝑛!
𝑛 − 𝑘 !𝐷𝑛;𝑘 = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … 𝑛 − 𝑘 + 1
𝐷𝑛;𝑘′ = 𝑛𝑘
𝐶𝑛;𝑘′ =
𝑛 + 𝑘 − 1 !
𝑘! 𝑛 − 1 !
𝑥 + 𝑎 𝑛 =
𝑘=0
𝑛𝑛𝑘
𝑥𝑛−𝑘𝑎𝑘
Fattoriale di n
Permutazioni semplici
Disposizioni semplici
Disposizioni con ripetizione
Combinazioni semplici
Combinazioni con ripetizione
Potenza di un binomio
𝑃𝑛𝑘1,𝑘2,…,𝑘𝑛 =
𝑛!
𝑘1! 𝑘2! … 𝑘𝑚!Permutazioni con ripetizioni
𝑛𝑘
=𝑛
𝑛 − 𝑘
𝑛𝑘
=𝑛 − 1𝑘
+𝑛 − 1𝑘 − 1
𝐶𝑛,𝑘′ =
𝑛 + 𝑘 − 1𝑘
Panagiote LIGOURAS 03 / ++ Versione 2016-01
Calcolo Combinatorio – Quesito n.5 – Italia – 2012
I segmenti richiesti sono tanti quante le combinazioni senza ripetizioni di n oggetti a 2 a 2:
Il numero dei triangoli richiesti è pari alle combinazioni senza ripetizioni di n oggetti a 3 a 3:
Il numero dei tetraedri è pari alle combinazioni senza ripetizioni di n oggetti a 4 a 4:
𝐶𝑛,𝑘 =𝑛𝑘
=𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
𝑛2
=𝑛!
2! 𝑛 − 2 !=𝑛 ∙ 𝑛 − 1
2!
𝑛3
=𝑛!
3! 𝑛 − 3 !=𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2
3!
𝑛4
=𝑛!
4! 𝑛 − 4 !=𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2 ∙ 𝑛 − 3
4!
Panagiote LIGOURAS 04 / ++ Versione 2016-01
Calcolo Combinatorio – Quesito n.6 – Italia – 2013
I 6 numeri più grandi si ottengono da 7654321 permutando le ultime 3 cifre (3!=6).
Al posto n. 5040 abbiamo 7654321
Al posto n. 5039 abbiamo 7654312
Al posto n. 5038 abbiamo 7654231
Al posto n. 5037 abbiamo 7654213
Al posto n. 5036 abbiamo 7654132
Con 1 al primo posto abbiamo 6!=720 numeri,
con 2 al primo posto altri 720;
il numero di posto 1441 è il più piccolo che inizia con 3, cioè 3124567.
𝟕𝟐𝟎 + 𝟕𝟐𝟎 = 𝟏𝟒𝟒𝟎
Panagiote LIGOURAS 05 / ++ Versione 2016-01
Calcolo Combinatorio – Quesito n.8 – Italia supp.– 2013
Nel caso del tetraedro il numero di modi per colorare le 4 facce è dato dalle combinazioni semplici di 10 oggetti a 4 a 4:
Nel caso del cubo il numero di modi per colorare le 6 facce è dato dalle combinazioni semplici di 10 oggetti a 6 a 6:
𝐶𝑛,𝑘 =𝑛𝑘
=𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
𝑛𝑘
=𝑛
𝑛 − 𝑘
Panagiote LIGOURAS 06 / ++ Versione 2016-01
Calcolo Combinatorio – Quesito n.8 – Italia str. – 2014
Risulta: 𝑛 + 1𝑘 + 1
=𝑛 + 1 !
𝑘 + 1 ! 𝑛 + 1 − 𝑘 + 1 !=
=𝑛 + 1 !
𝑘 + 1 ! 𝑛 − 𝑘 !=
=𝑛! 𝑛 + 1
𝑘! 𝑘 + 1 𝑛 − 𝑘 !=
=𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !∙𝑛 + 1
𝑘 + 1=
=𝑛𝑘
∙𝑛 + 1
𝑘 + 1
L’uguaglianza risulta verificata solo se
𝐶𝑛,𝑘 =𝑛𝑘
=𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
Panagiote LIGOURAS 07 / ++ Versione 2016-01
Calcolo Combinatorio – Quesito n.8 – Americhe – 2014
Il numero 𝑁 dei colori che si possono formare è dato da:
𝐶𝑛,𝑘 =𝑛𝑘
=𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
𝐶7,2 =72
=7!
2! 7 − 2 !=
7!
2! 5!=6 ∙ 7
1 ∙ 2= 21
Panagiote LIGOURAS 08 / ++ Versione 2016-01
Calcolo Combinatorio – Quesito n.4 – Europa – 2014
Il termine in si ottiene da se
20𝑖
=207
=20!
7! 20 − 7 !=
20!
7! 13!= 77520
𝑛𝑘
=𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
Panagiote LIGOURAS 09 / ++ Versione 2016-01
Calcolo Combinatorio – Quesito n.5 – Italia sim. – 2015
Per progettare un sito web è necessario generare dei codici unici di accesso. Si vogliono utilizzare, a tale scopo, due lettere maiuscole dell’alfabeto inglese seguite da una serie di numeri compresi tra 0 e 9. Tutti i codici di accesso dovranno avere lo stesso numero di cifre ed è ammessa la ripetizione di lettere e numeri. Qual è il numero minimo di cifre da impostare in modo da riuscire a generare almeno 5 milioni di codici di accesso diversi? Giustificare la risposta.
Quindi n deve essere almeno 4:i codici devono essere formati da almeno 6 caratteri (2 lettere seguite da almeno 4 cifre).
La scelta delle 2 lettere (tra le 26 possibili) è data dalle disposizioni con ripetizioni di 26 oggetti a due a due:
Panagiote LIGOURAS 10 / 10 Versione 2016.01
Grazie!!!
A l b e r o b e l l o
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Questa presentazione è disponibile anche all’indirizzo:http://www.slideshare.net/panagioteligouras/
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