Levezetések klasszikus nulladrendű logikai kalkulusban
Molnár Attila
2008. november 21.
Ebben az óravázlatban a nulladrendű logikai kalkulusbeli tételek levezetéséről esik majd szó. Követ-kezzen egy gyors összefoglaló az eddig tanultakból:
1. Emlékeztető
1.1. Induktív definícióFelfedeztük magunknak az induktív definíciót1, amivel alkalmunk nyílt arra, hogy egy fogalmat olyanmódon definiáljunk, hogy megadunk néhány speciális objektumot, melyekről kikötjük, hogy azok afogalom alá tartoznak – ezek alkotják az ún. bázist –, majd belőlük származtatjuk az összes többifogalom alá tartozó dolgot egy szabály – az ún. bővítési szabály – segítségével.
1.2. SzintaxisA jólformált formula fogalmát így már induktívan definiálhatjuk, méghozzá a következőféleképpen. Ne-vezzük a jólformált formulák összességét wff-nek, azt pedig, hogy egy x jel jólformált formula, a göröglétige (’eszti’) nyomán jelöljük így: x ∈ wff. Ha két összesség közül az egyik része a másiknak, azt ⊆-naljelöljük. A jólformált formulákon belül az atomi jólformált formulákat, azaz a további részre nem bonthatóformulákat awff-fel jelöljük majd. A metanyelvi kondicionálist pedig most →-val jelöljük, melyhez hanem írunk zárójeleket, akkor jobbról kell kezdődik a sorrend. Ekkor a jólformált formulák (és az atomijólformált formulák szimultán) induktív definíciója:
Bázis:{
awff ⊆ wff{
Bázis: p ∈ awffBővítési szabály: X ∈ awff→ X ′ ∈ awff
Bővítési szabály:{
X ∈ wff→∼ X ∈ wffX ∈ wff→ Y ∈ wff→ (X ⊃ Y ) ∈ wff
A továbbiakban a következő jelölési konvencióval fogunk élni:
p =def pp′ =def qp′′ =def rp′′′ =def s
...(A &B) ⇔def ∼ (A ⊃∼ B)
(A ∨ B) ⇔def (∼ A ⊃ B)(A ≡ B) ⇔def ((A ⊃ B) & (B ⊃ A))
1.3. SzemantikaA szintaxisra, azaz a jólformált formulákra eztán szemantikát építettünk; meghatároztuk egy szabálytarra vonatkozólag, hogy bizonyos indulófeltételek mellett mely formulát nevezzük igaznak és melyethamisnak. Erre az igazságérték-tulajdonításra, az ún. interpretációra a | · | jelölést fogjuk használni,
1: Nevezik még rekurzív definíciónak is, sőt néha még (kissé tévesen, egy nála általánosabb definíciófajtával keverve)generatív definíciónak is.
1
méghozzá a következőképpen: Az |X| = i azt jelenti majd, hogy X igaz, ugyanígy pedig h-val. Ezt ahozzárendelést is induktívan határozzuk meg:
Bázis: X ∈ awff→ |X| ∈ {i, h}
Bővítési szabály:
|X| = h → | ∼ X|=def i|X| = i → | ∼ X|=def h
|X| = i → |Y | = i → | (X ⊃ Y ) |=def i|X| = i → |Y | = h → | (X ⊃ Y ) |=def h|X| = h → |Y | = i → | (X ⊃ Y ) |=def i|X| = h → |Y | = h → | (X ⊃ Y ) |=def i
Itt |X| ∈ {i, h} alatt azt értettük, hogy |X| igaz vagy hamis.
1.4. Centrális szemantikai fogalmakA szemantika segítségével már beszélhetünk az ún. centrális logikai fogalmakról:
Kielégíthetőség: Egy Γ formulahalmaz kielégíthető, ha van olyan interpretáció, mely esetben mindenformulája igaz.
Kielégíthetetlenség, ellentmondásosság: Egy Γ formulahalmaz ellentmondásos, ha nem kielégíthe-tő.
Következményreláció: Egy Γ formulahalmazból következik egy A formula, ha mindig, mikor a Γ-beliformulák igazak, a konklúzió is igaz. Azaz minden olyan interpretációban, melyben Γ elemei igazak,A is igaz. A Γ-t ebben a szerepben premisszahalmaznak, A-t pedig konklúziónak szokás nevezni.Vagy másképp: Γ elemei és ∼ A ellentmondásos formulahalmazt alkotnak.Jelölése: Γ =⇒ A
Ekvivalencia: Az A és B formulák ekvivalensek (jelölése: A ⇐⇒ B), ha ugyanazon interpretációkbanigazak (illetve hamisak).
Logikai igazság: Egy A formula logikai igazság (jelölése: =⇒ A), ha minden interpretációban igaz.
2. Kalkulus
2.1. BevezetőA logikai igazság fogalma a többihez hasonlóan igen fontos fogalom, ugyanis szoros kapcsolatban álllogikai következtetéseinkkel. Minden olyan formula, amelyet logika szabálynak, logikai törvénynek sze-retnénk hívni, tárgynyelvi alakban megjelenhet, mint logikai igazság. Pl. a De Morgan azonosság, azaz
∼ (A &B) ⇐⇒ (∼ A∨ ∼ B)
előáll a következő alakban:=⇒ (∼ (A &B) ≡ (∼ A∨ ∼ B))
Vegyük észre, hogy ezekre logikai igazságokra egy deduktív (vagy más néven arisztotelészi) definíciótadtunk? Vajon adhatunk-e ezekre is ugyanúgy induktív definíciót, ahogy az imént azt a jólformáltformulákkal és az interpretációval is tettük? Azaz meghatározhatjuk-e a logikai igazságoknak, mintspeciális jólformált formulák körét szemantikára, azaz ’igaz’-ra és ’hamis’-ra való hivatkozás nélkül?
A válasz igenlő. Be fogunk mutatni egy induktív definíciót, amely a logikai igazságok fogalmát hi-vatott induktívan definiálni. A klasszikus nulladrendű logika logikai igazságainak induktív definíciójátklasszikus nulladrendű kalkulusnak fogjuk nevezni. Látni fogjuk, hogy minden formula, amit ezzel a kal-kulussal elő fogunk állítani, logikai igazságok lesz. Ezt a megállapítást helyességi tételnek fogjuk nevezni.Azt a megállapítást pedig, hogy a kalkulus ezenkívül megadja az összes logikai igazságot is, pedig teljes-ségi tételnek fogjuk nevezni. Azt, hogy a helyességi tétel és a teljességi tétel teljesül, adekvátsági tételneknevezzük. Ez teszi lehetővé, hogy a szemantikai következményrelációnkat bármikor felcserélhessük a mostbemutatásra kerülő szintaktikai következményrelációval. A következőkben megkezdjük menetelésünketaz adekvátsági tétel felé.
2
2.2. A kalkulus magaA nulladrendű logikai kalkulusban kísérletet teszünk tehát a logikai igazságok induktív definíciójára. Azt,hogy egy A formula ebben a szintaktikai (kalkulusi) értelemben vett logikai igazság, a következőképpenfogjuk jelölni: ` A. Azt pedig, amennyiben egy B formula akkor logikai igazság, ha egy másik A formulais logikai igazság, a következőképpen jelöljük:
` A` B
. Ha egyetlen A helyett több ilyen feltételt is adunk, azt egymás fölé írással jelöljük, tehát pl. így:
` A` B` C
. Tehát a metanyelvi ’ha-akkor’-viszonyt egy vízszintes vonallal jelöljük, a metanyelvi ’és’-viszonyt pedigegymás fölé írással.
A nulladrendű logikai kalkulus e jelöléssel a következőképpen néz ki:
Bázis:
` (A ⊃ (B ⊃ A))` ((A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C)))` ((∼ A ⊃∼ B) ⊃ (B ⊃ A))
Bővítési szabály:
Γ ` AΓ ` (A ⊃ B)
Γ ` B
2.3. MegjegyzésekNéhány apróbb megállapítás a bázissal kapcsolatban:
• Az első formula igazából a konjunkcióról szól. Emlékezzünk arra, hogy még régen volt egy ilyenlogikai törvényünk:
(A ⊃ (B ⊃ C)) ⇐⇒ ((A &B) ⊃ C)
Eszerint a fenti báziselem valami ilyesmi lenne:
((A &B) ⊃ A)
Ez pedig nem más, mint ahogyan a konjunkcióból következtetni szoktunk. Párja ennek a
((A &B) ⊃ B) ⇐⇒ (A ⊃ (B ⊃ B))
A(z egyelőre szemantikai) dedukció-szabály segítségével ezt a következőképpen alakíthatjuk át:
(A &B) ⇒ A(A &B) ⇒ B
Minden logikai konstansra megvannak a rá jellemző következtetések. Amelyeket dedukciótétellelbizonyos kulcsfontosságú (jelen esetben csak kondicionálissal és negációval kifejezett) logikai igaz-ságokból nyerhetünk. Szolgáljon ezek közül a legfontosabbak megvilágítására a következő táblázat:
∼∼ A ⇒ A ! ⇒ (∼∼ A ⊃ A)A ⇒ ∼∼ A ! ⇒ (A ⊃∼∼ A)
(A &B) ⇒ A ! ⇒ (A ⊃ (B ⊃ A))(A &B) ⇒ B ! ⇒ (A ⊃ (B ⊃ B))(A ∨ A) ⇒ A ! ⇒ ((∼ A ⊃ A) ⊃ A)
∼ (A ⊃ B) ⇒ A ! ⇒ (∼ (A ⊃ B) ⊃ A)∼ (A ⊃ B) ⇒ ∼ B ! ⇒ (∼ (A ⊃ B) ⊃∼ B)
Ezeket a levezetések kapcsán mind útba ejtjük majd.
3
• A második báziselemet disztributivitási formulának is mondjuk, mivel olyan, mintha a kondicio-nális ’önmagára lenne disztributív’. Valójában inkább arról van szó, hogy lépten-nyomon használtDedukció-szabály levezetéséhez használt teljes indukciós bizonyításban éppen erre a formulára vanszükség.
• A harmadik báziselem lényegében a kontrapozíció szabályának egyik irányát fejezi ki tárgynyelven,és ez teszi majd lehetővé, hogy feltorlódó negációjeleket tüntethessünk el – azaz ezt fogjuk majdalaposan használni a negációtörvények levezetésekor. Az, hogy ő felelős a negációjelt manipulálólogikai igazságokért, onnan is látszik, hogy a három báziselem közül csak ebben van negáció.
A bővítési szabályban eleddig ismeretlen jelöléssel találkozhatunk: Γ ` A. Mivel a szemantikábanbeszéltünk premisszákból konklúzióra való következtetésről, itt is bevezetünk egy ennek megfelelő fo-galmat. (E két következményreláció viszonyáról fog szólni igazából az adekvátsági tétel.) Egy adottΓ formulahalmazból a levezethetőséget a következőképpen értelmezzük (és jelöljük): Γ ` A akkor éscsak akkor, ha A axióma, axiómaséma, netán Γ eleme (vagy séma esetén egyfajta része), avagy ezekbőlkapható meg a modus ponens véges sok alkalmazásával.
Most pedig következzen néhány fontosabb megállapítás. A bázisban nem formulák, hanem formu-lasémák vannak.2 Ez azt jelenti, hogy nem azt állítjuk, hogy az (A ⊃ (B ⊃ A)) formula egy logikaiigazság, hanem azt, hogy A helyére bármit helyettesítve logikai igazságokat kapunk. Úgy mondhatnánk,hogy nem három formuláról kötöttük ki, hogy logikai igazságok, hanem három bizonyos formájú formu-latípusról kötöttük ki, hogy az ilyen formájú formulák logikai igazságok. A fentiek alapján tehát logikaiigazságok a következők:
` (p ⊃ (q ⊃ p))` (q ⊃ (p ⊃ q))` (s ⊃ (r ⊃ s))` ((p ⊃ q) ⊃ (p ⊃ (p ⊃ q)))` ((∼ (r ⊃∼ s) ⊃ (∼ p ⊃ (p ⊃ s))) ⊃ ((∼ (r ⊃∼ s) ⊃∼ p) ⊃ (∼ (r ⊃∼ s) ⊃ (p ⊃ s))))
Tehát az alapsémákba bármely jól formált formulát behelyettesíthetünk, ha tartjuk azt az egyetlenszabályt, hogy azonos sémajelekbe azonos formulákat teszünk (tehát ugyanazokat az A-kba, a B-kbe,stb.). Vegyük észre, hogy bár három formulaséma van, meglehetősen végtelen sok formuláról posztulál-tuk, hogy logikai igazság.
Kicsit más a helyzet azonban a bővítési szabállyal, a modus ponensszel. Ott csak olyan formulákbóltudunk levezetni, amikről már beláttuk, hogy levezethetők. Tehát ott az A és (A ⊃ B) helyére csakmár levezetett formulákat helyettesíthetünk. Az ellenben, hogy A és B helyében ott konkrétan milyenformulák szerepelnek, édes mindegy; a lényeg, hogy A és (A ⊃ B) levezetettek legyenek.
És most néhány szót az elnevezésekről. A kalkulus bázisának elemeit, ezt a három formulasémát spe-ciálisan ún. axiómasémának nevezzük. A Bővítési szabályt (amelyben a modus ponensre ismerhetünk)pedig levezetési szabálynak nevezik3, de mi csak leválasztás vagy modus ponens néven fogunk rá hivat-kozni. Azokat a formulákat, amelyeket a logikai axiómasémák behelyettesítései, vagy azokból nyerhető amodus ponens ismételt alkalmazásaival, a kalkulus tételeinek fogjuk nevezni. A tételek tehát azok, ame-lyek a logikai igazságok szerepét játszák. Tételsémák azon formulasémák, melyek összes behelyettesítésetétel. A kalkulus tehát a tételek induktív definíciója.
2.4. A megengedett lépésekA levezetés értelmezését jobban szemügyre véve új (de triviális) levezetési szabályokat is felfedezhetünk:Ha mondjuk Γ ` A, akkor jogosan következtethetünk arra is, hogy mondjuk Γ formuláiból és még a pformulából is levezethető A, hiszen A levezetése már Γ-ból rendelkezésre áll, így egy felesleges p premisszanem ront el semmit. 4 Triviális dolognak tűnik ez, de nagyon gyakran fogunk ehhez a lépéshez nyúlni.Meglévő premisszáink közé tehát felvehetünk új premisszákat is, de természetesen akár premisszasémákatvagy egész premisszahalmazokat is. Ezeket a meggondolásokat rendre így jelölhetjük:
Γ ` AΓ ∪ {p} ` A
,Γ ` A
Γ ∪ {B} ` A,
Γ ` AΓ ∪ ∆ ` A
2Eddig is használtunk implicite formulasémákat a szintaxisban illetve szemantikában.3: De hívják még következtetési vagy deriválási szabálynak is4Látni fogjuk ráadásul, hogy egy esetleges felbukkanó ellentmondásból ráadásul bármit le fogunk tudni vezetni, így
ilyen esetben még gyorsabb levezetésünk is lehet A-ra.
4
A másik levezetési szabály, amit felismerhetünk, szintén triviális: A premisszák levezethetők, hiszenmegkaphatók a premisszák, az axiómasémák és a modus ponens alkalmazásaival. Jobb híján ezt valahogyígy jelölhetném:
A ∈ ΓΓ ` A
Ekkor most már beszélhetünk arról, hogy milyen lépéseket is tehetünk a levezetések során.
• Behelyettesítünk egy formulát egy axiómasémába.
• Behelyettesítünk egy formulasémát egy axiómasémába.
• Behelyettesítünk egy formulát egy tételsémába.
• Behelyettesítünk egy formulasémát egy tételsémába
• Alkalmazzuk a modus ponenst két axiómára.
• Alkalmazzuk a modus ponenst két axiómasémára.
• Alkalmazzuk a modus ponenst két tételre.
• Alkalmazzuk a modus ponenst két tételsémára.
• Felveszünk egy premisszát.
• Felveszünk egy premisszasémát.
• Felveszünk egy premisszahalmazt.
• Levezetünk egy premisszát.
• Levezetünk egy premisszasémát.
Azaz lényegében:
� Behelyettesítünk.
� Modus ponenst alkalmazunk.
� Premisszákat veszünk föl.
� Premisszát vezetünk le.
A továbbiakban csak és kizárólag ezt a négy lépést fogjuk lépni a levezetéseink során. Ez az a négypont, amit masszírozni kell a tekintetünkkel, mikor egy levezetést szeretnénk végrehajtani.
5
3. Levezetések
3.1. A tervEzeket tudván már megkezdhetjük a levezetések sorát. Azonban ehhez is először tervet alkotunk, amelyeta következő diagram próbál meg szemléltetni:
1. Kondicionális` (A ⊃ A)
��
2. Fordított kontrapozícióΓ ` (∼ A ⊃∼ B)
Γ ` (B ⊃ A)
��10. Monotonitás
Γ ` ACon (Γ)
Con (Γ ∪ {A})
3. Dedukció-szabályΓ ` (A ⊃ C)Γ ∪ {A} ` C
Γ ∪ {A} ` C
Γ ` (A ⊃ C)
��
//oo
vvnnnnnnnnnnnnnn
4. Negációtörvények` (∼∼ A ⊃ A)` (A ⊃∼∼ A)
��8. Ellentmondás
` (∼ B ⊃ (B ⊃ A))
�� ((QQQQQQQQQQQQQQ
Hf. Lánc-szabályΓ ` (A ⊃ B)Γ ` (B ⊃ C)Γ ` (A ⊃ C)
��
5. KontrapozícióΓ ` (B ⊃ A)
Γ ` (∼ A ⊃∼ B)
��
~~}}}}
}}}}
}}}}
}}}}
}}}}
}}}}
}}}}
}}
11. Elégséges feltételinkonzisztenciára
Γ ` AΓ `∼ A
¬Con (Γ)
++WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
9.Negált
kondicionálisantecedense
` (∼ (A ⊃ B) ⊃ A)
6. Alternáció` ((∼ A ⊃ A) ⊃ A)
��
7.Negált
kondicionáliskonzekvense
` (∼ (A ⊃ B) ⊃∼ B)
12. Indirekt levezetésΓ ` A
¬Con (Γ∪ ∼ A)
¬Con (Γ∪ ∼ A)Γ ` A
Fentről indulunk, lefele haladunk, és a kis nyilak jelzik, hogy melyik tételhez melyik tételre vanszükség. A tételek és szabályok levezetése speciális alakot ölt majd. Formulák követik majd egymást,mellettük kis szavak. Minden formula mellett azok megjegyzések magyarázzák, pontosan honnan is vet-tük az adott formulát. Azt, hogy egy B formulát vagy formulasémát helyettesítünk egy formulasémábanA helyére, így jelöljük majd: B := A . A levezetések végét � jellel jelöljük. 5
5Ez kocka valójában nem más, mint a Q.E.D., azaz a quod erat demonstrandum rövidítése. Ez magyarul annyit tesz:Ezzel a tételt beláttuk.
6
3.2. A menetelés1. Tétel. ` (A ⊃ A)
Levezetés:
` (A ⊃ (B ⊃ A)) axiómaséma
` ((A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C))) axiómaséma
` ((A ⊃ (B ⊃ A)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ A))) A := C
` ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ A)) modus ponens
` ((A ⊃ (B ⊃ A)) ⊃ (A ⊃ A)) B := (B ⊃ A)
` (A ⊃ (B ⊃ A)) axiómaséma
` (A ⊃ A) modus ponens
�
2. Tétel. (Dedukció-szabály)Γ ` (A ⊃ C)Γ ∪ {A} ` C
Γ ∪ {A} ` CΓ ` (A ⊃ C)
Levezetés:Vegyük először az első irányt:
Γ ` (A ⊃ C)Γ ∪ {A} ` C
Γ ` A ⊃ C feltétel
Γ ∪ {A} ` A ⊃ C felvettünk egy premisszát
Γ ∪ {A} ` A a premissza levezethető
Γ ∪ {A} ` C modus ponens
És most a másik irány:Γ ∪ {A} ` CΓ ` (A ⊃ C)
Válasszuk szét az eseteket aszerint, hogy mi lehet a C! Menjünk sorba, hogy a ` jel bal oldalán pontosanhonnan származhat! Lehet, hogy a ∪ jel bal oldalán van, azaz Γ-beli, lehet hogy a jobb oldalán van,azaz nem más, mint A, lehet aztán, hogy egyikből sincs, mivel logikai igazság, és végül lehet – ez alegvészesebb – hogy valahogy mindezekből vezethető le egy modus ponens alkalmazása által. Vezessükhát akkor le esetre lebontva:
(1) C logikai igazság: Azaz ` C. Ekkor:
` C feltevés
` (A ⊃ (B ⊃ A)) axiómaséma
` (C ⊃ (A ⊃ C)) A := C , B := A
` (A ⊃ C) modus ponens
Γ ` (A ⊃ C) bővítés premisszahalmazzal
(2) C nem más, mint A (azaz nézzük C := A -t):
` (A ⊃ A) ez az 1. tétel
Γ ` (A ⊃ A) bővítés premisszahalmazzal
(3) C egy premissza(séma): Azaz C ∈ Γ.
Γ ` C a premisszaséma levezethető
Γ ` (A ⊃ (B ⊃ A)) axiómaséma
Γ ` (C ⊃ (A ⊃ C)) A := C , B := A
Γ ` (A ⊃ C) modus ponens
7
(4) C-t levezetéssel nyertük. Tehát volt egy modus ponens, ami valahogy a következőképpen nézettki:
` B` (B ⊃ C)
` C
Tehát a C-t úgy vezettük le, hogy egy B és egy (B ⊃ C)) állt rendelkezésünkre. A C formulasémalogikai igazság-volta tehát attól függ, hogy vajon ez a bizonyos B illetve (B ⊃ C) az volt-e. Ekkorez maradt: Ahhoz, hogy levezessük (A ⊃ C)-t, – szemléletesen szólva – be kéne látnunk, hogy ez abizonyos A feltétele C feltételeinek is, nevezetesen B-nek és (B ⊃ C)-nek is. Azaz ha be tudnánklátni, hogy (A ⊃ B)-ből és (A ⊃ (B ⊃ C))-ből levezethető a kérdéses (A ⊃ C), akkor azt láttukbe, hogy a dedukciótétel érvényessége öröklődik a modus ponens alkalmazása során.
Mivel a lehetséges kezdőesetekre (triviális esetekre?) a dedukciótétel érvényességét már beláttukaz (1)− (3) pontokban, ha ezt az öröklődést is be tudnánk látni, akkor sikerülne belátni a deduk-ciótétel érvényességét az összes logikai igazságra.6
Bizonyítsuk hát az öröklődést, azaz a következőt:
` (A ⊃ B)` (A ⊃ (B ⊃ C))
` (A ⊃ C)
Γ ` (A ⊃ (B ⊃ C)) feltevés
Γ ` ((A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C))) axiómaséma
Γ ` ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C)) modus ponens
Γ ` (A ⊃ B) feltevés
Γ ` (A ⊃ C) modus ponens
�
Itt jegyezzük meg, hogy a dedukció-szabályra igazából a dedukciótétel az elterjedt elnevezés, a továb-biakban mi is így hivatkozunk rá. A szabály elnevezést az indokolja, hogy ez nem a kalkulusnak tétele,hanem egy a kalkulusról szóló tétel. Az ilyen természetű megállapításainkat –lévén a metanyelv tételei– metatételeknek nevezzük.
3. Tétel. (Láncszabály)Γ ` (A ⊃ B)Γ ` (B ⊃ C)Γ ` (A ⊃ C)
Levezetés:Ennek a tételnek a belátása házifeladat. Valamelyik axiómasémát és a dedukciótételt szükséges a bizonyí-tásához, továbbá a szokásos levezetési lépéseket kell a két feltevésen alkalmazni, hogy megkapjuk belőlükΓ ` (A ⊃ C)-t. Ha ez sikerül, a láncszabályt beláttuk. Gyakorlásnak addig is érdemes továbbolvasni ajegyzetet.
Helyébe, hogy az építményünk megálljon a maga lábán, kerülőúton mégis bebizonyítjuk. Belátjuka láncszabály általánosítását, az ún. metszetszabályt, így a láncszabályt mint ennek speciális esetéthasználhatjuk majd fel. Következzen hát a metszetszabály:
Γ ` A∆ ∪ {A} ` BΓ ∪ ∆ ` B
6Ezt a bizonyítási módszert, nevezetesen hogy egy tétel állítását belátjuk a lehetséges kezdőesetekre, majd belátjuk,hogy a jelen esetben a logikai igazságok konstrukciója során (ez lenne a kalkulusbeli levezetés) öröklődik a tulajdonság,és ezzel vesszük bizonyítottnak a tételt, strukturális indukciónak nevezzük. Azért strukturális indukció, mert a struktúrakonstrukcióján ’kúszik föl’ az érvényesség. A középiskolában megismert teljes indukció is lényegében ez. A 0 szám a kez-dőesetű elem, a konstrukció pedig a természetes számok rákövetkezése. Ezért szerepelhetett anno a táblán az n := n + 1felirat annyiszor, mikor az öröklődés bizonyításán fáradoztak a diákok.
8
Tehát arról van szó, hogy a második premisszában szereplő A-t helyettesíthetjük egy olyan formulahal-mazzal, amely tudja A-t, azaz képesek vagyunk belőle levezetni (úgyszólván kicsomagolni). A metszet-szabály metszet-volta pedig abban áll, hogy a következtetés során a konklúzióhoz érvén már eltűnik,kimetsződik az A premissza.
∆ ∪ {A} ` B feltevés
∆ ` (A ⊃ B) Dedukciótétel
Γ ∪ ∆ ` (A ⊃ B) felvettünk egy premisszahalmazt
Γ ` A feltevés
Γ ∪ ∆ ` A felvettünk egy premisszahalmazt
Γ ∪ ∆ ` B modus ponens
És hol van ebben a láncszabály? Vegyük elő mégegyszer a metszetszabályt:
Γ ` A∆ ∪ {A} ` BΓ ∪ ∆ ` B
Itt ha Γ :={A} , A := B , B := C , ∆:= ∅ , akkor a következőt kapjuk:
{A} ` B{B} ` C{A} ` C
Innen pedig a dedukciótétel háromszori alkalmazásával bizonyítható a láncszabály.
�
4. Tétel. (Fordított kontrapozíció)
Γ ` (∼ A ⊃∼ B)Γ ` (B ⊃ A)
Levezetés:
Γ ` (∼ A ⊃∼ B) feltevés
` ((∼ A ⊃∼ B) ⊃ (B ⊃ A)) axiómaséma
Γ ` ((∼ A ⊃∼ B) ⊃ (B ⊃ A)) felvettünk egy premisszahalmazt
Γ ` (B ⊃ A) modus ponens
�
5. Tétel. (Negációtörvények)` (∼∼ A ⊃ A)` (A ⊃∼∼ A)
Levezetés:
{∼∼ A,∼∼∼∼ A} ` ∼∼ A cilinderből premissza
{∼∼ A} ` (∼∼∼∼ A ⊃∼∼ A) Dedukciótétel
{∼∼ A} ` (∼ A ⊃∼∼∼ A) Fordított kontrapozíció
{∼∼ A} ` (∼∼ A ⊃ A) Fordított kontrapozíció
{∼∼ A} ∪ {∼∼ A} ` A Dedukciótétel
{∼∼ A} ` A mert x ∪ x = x` (∼∼ A ⊃ A) Dedukciótétel
` (∼∼ A ⊃ A) Negációtörvény
` (∼∼∼ A ⊃∼ A) A := ∼ A
` (A ⊃∼∼ A) Fordított kontrapozíció
9
�
6. Tétel. (Kontrapozíció)Γ ` (A ⊃ B)
Γ ` (∼ B ⊃∼ A)
Levezetés:
Γ ` (A ⊃ B) feltevés
` (∼∼ A ⊃ A) Negációtörvény
Γ ` (∼∼ A ⊃ A) felvettünk egy premisszahalmazt
Γ ` (∼∼ A ⊃ B) Láncszabály
` (A ⊃∼∼ A) Negációtörvény
Γ ` (A ⊃∼∼ A) felvettünk egy premisszahalmazt
Γ ` (B ⊃∼∼ B) A := B
Γ ` (∼∼ A ⊃∼∼ B) Láncszabály
Γ ` (∼ B ⊃∼ A) Fordított kontrapozíció
�
7. Tétel. (Ellentmondás)` (∼ B ⊃ (B ⊃ A))
Levezetés:
` (A ⊃ (B ⊃ A)) axiómaséma
` (∼ B ⊃ (∼ A ⊃∼ B)) A := ∼ B , B := ∼ A
∼ B ` (∼ A ⊃∼ B) Dedukciótétel
` ((∼ A ⊃∼ B) ⊃ (B ⊃ A)) Axiómaséma
∼ B ` ((∼ A ⊃∼ B) ⊃ (B ⊃ A)) felvettünk egy premisszasémát
∼ B ` (B ⊃ A) modus ponens
` (∼ B ⊃ (B ⊃ A)) Dedukciótétel
�
És most egy lélegzetvételnyi szünet.Vegyük észre, hogy ha sikerülne levezetni egy B formulát és annak ∼ B negáltját, akkor a fenti logikai
igazság segítségével két modus ponens távolságra vagyunk attól, hogy tetszőleges A-t le tudjunk vezetni.Ez azzal a következménnyel járna, hogy azon kísérletünk, hogy induktív módon, szemantikára valóhivatkozás nélkül elkülönítsük a logikai igazságok körét, kudarcot vall. Ugyanis ha bármilyen jólformáltformulát le tudunk vezetni, akkor ezzel magát a szintaxist definiáltuk (újfent)! Az olyan kalkulust, amelyerre képes – hogy tudniillik az összes jólformált formulát le képes vezetni – inkonzisztensnek nevezzük. Azolyan kalkulust pedig, ami nem inkonzisztens, konzisztensnek nevezzük. A rövidség kedvéért azt, hogyegy Γ formulahalmaz konzisztens a következőképp jelöljük: Con (Γ). Azt, hogy inkonzisztens, pedig akövetkezőféleképpen: ¬Con (Γ).
8. Tétel. (Monotonitás) Konzisztens formulahalmaz levezetett formulával való bővítése konzisztensmarad.
Γ ` ACon (Γ)
Con (Γ ∪ {A})
Levezetés:Indirekt: Tegyük fel, hogy
Γ ` ACon (Γ)¬Con (Γ ∪ {A})
10
Ekkor:Γ ∪ {A} ` B feltevés (inkonzisztencia)
Γ ` (A ⊃ B) Dedukciótétel
Γ ` A feltevés
Γ ` B modus ponens
Bármilyen B formulát le tudnánk tehát vezetni Γ-ból, ami Γ inkonzisztenciáját jelentené, ez azonbanellentmond egy feltevésnek, tehát ellentmondásos tagadni a metatételt.
�
9. Tétel. Formulahalmaz inkonzisztenciájára vonatkozó feltétel:
Γ ` AΓ `∼ A¬Con (Γ)
Levezetés:
` (∼ B ⊃ (B ⊃ A)) Ellentmondásnak hívott tétel
Γ ` (∼ B ⊃ (B ⊃ A)) felvettünk egy premisszahalmazt
Γ ` (∼ A ⊃ (A ⊃ B)) B := A A := B
Γ ` A feltevés
Γ ` (A ⊃ B) modus ponens
Γ ` ∼ A feltevés
Γ ` B modus ponens
Tehát Γ inkonzisztens.
�
10. Tétel. (Alternáció)` ((∼ A ⊃ A) ⊃ A)
Levezetés:
{(A ⊃ , ) (∼ A ⊃ A)} ` ∼ A cilinderből premisszát vezetünk le
{(A ⊃ , ) (∼ A ⊃ A)} ` (∼ A ⊃ A) premisszát vezetünk le
{(A ⊃ , ) (∼ A ⊃ A)} ` A modus ponens
{(A ⊃}) ` ((∼ A ⊃ A) ⊃ A) Dedukciótétel
{(A ⊃}) ` (∼ A ⊃∼ (∼ A ⊃ A)) kontrapozíció
{(A ⊃}) ∪ {∼ A} ` ∼ (∼ A ⊃ A) Dedukciótétel
{∼ A} ` ∼ (∼ A ⊃ A) mert x ∪ x = x` (∼ A ⊃∼ (∼ A ⊃ A)) Dedukciótétel
` ((∼ A ⊃ A) ⊃ A) Fordított kontrapozíció
�
11. Tétel. (Indirekt levezetés)Γ ` A
¬Con (Γ∪ ∼ A)
¬Con (Γ∪ ∼ A)Γ ` A
11
Levezetés:Elsőé:
Γ ` A¬Con (Γ∪ ∼ A)
Γ ` A feltétel
Γ∪ ∼ A ` A felvettünk egy premisszasémát
Γ∪ ∼ A ` ∼ A premisszasémát vezettünk le
¬Con (Γ ∪ {∼ A}) Az inkonzisztenciára vonatkozó elégséges feltétel miatt
Másodiké:¬Con (Γ∪ ∼ A)
Γ ` A
¬Con (Γ∪ ∼ A) feltétel
Γ ∪ {∼ A} ` A mert inkonzisztens
Γ ` (∼ A ⊃ A) Dedukciótétel
` ((∼ A ⊃ A) ⊃ A) Alternációs tétel.
Γ ` ((∼ A ⊃ A) ⊃ A) felvettünk egy premisszahalmazt
Γ ` A modus ponens
�
12. Tétel. (Negált kondicionális antecedense)
` (∼ (A ⊃ B) ⊃ A)
Levezetés:
` (∼ B ⊃ (B ⊃ A)) Ellentmondásos tétel
` (∼ A ⊃ (A ⊃ B)) A := B , B := A
` (∼ (A ⊃ B) ⊃∼∼ A) Kontrapozíció
` (∼∼ A ⊃ A) Negációtörvény
` (∼ (A ⊃ B) ⊃ A) Láncszabály
13. Tétel. (Negált kondicionális konzekvense)
` (∼ (A ⊃ B) ⊃∼ B)
Levezetés:
` (A ⊃ (B ⊃ A)) axiómaséma
` (B ⊃ (A ⊃ B)) A := B , B := A
` (∼ (A ⊃ B) ⊃∼ B) Kontrapozíció
12
Top Related