Klasszikus mechanikai kéttestproblémaés merev test szabad mozgása
állandó pozitív görbületű sokaságon
Kómár Péter témavezető: Dr. Vattay Gábor
2008. 11. 29.
2
Az előadás vázlata
I. Görbült UniverzumII. Háromgömb (S3)III. Kéttestprobléma S3-onIV. Számítógépes szimulációV. Merev test mozgása S3-onVI. Következtetés
3
I. Görbült Univerzum○Kozmológiai elv
– Homogenitás– Izotrópia
○Kozmológiai modellek– 3+1 dimenziós sokaságok
○Asztrofizikai mérések→ görbület 0 ( hiba)
R
t
AB
4
1|,,, 22224 wzyxkRwzyx
1k 0k 1k
○Sokaság(3+1) = térbeli(3) × időbeli(1)
○Homogén és izotróp geometriák:– S3 – szférikus– R3 – euklideszi– H3 – Bolyai-féle
○Reprezentáció:
I. Görbült Univerzum
y
z
x
w
S3
R3
H3
5
II. Háromgömb○ Definíció:
– „A négydimenziós gömb felszíne”
○ Tulajdonságai:– Minden irányban „körbeér”, főkörök
mentén– Térfogata véges (22R3),
de nincs határa– Szimmetriái: SO(4)
1|,,, 22224 wzyxRwzyx
6
III. Kéttestprobléma S3-on○Mozgásegyenletek
– 4 komponensű vektorok + kényszer
– U*(d) = U(r1r2) kölcsönhatási potenciál d: invariáns távolság:
– Hamilton-elvből:
2
2121 arccos,
RRd
rrrr
2211
211
2
21
111 ' rrr
Irrrr
r
R
URR
mm
dr1 r
2
(és ugyanez 12 cserével)
7
○Tömegközépponti és relatív koordináta:– Kényszerek (Q, D)– Mozgásegyenletek (Q, D)– DE nincs Galilei-invariancia
Nem szeparálható a mozgás!
○Perturbációs közelítés:– együttmozgó koordinátarendszer– kis méret, gyors belső forgás tehetetlenségi erők
DQ
r1
r2
RrTKP
III. Kéttestprobléma S3-on
8
IV. Számítógépes szimuláció○Gravitációs kölcsönhatás:
○Algoritmus:
○Cél:
sin
cos2121
R
mmU rr
221arccos
R
rr , ahol
Negyedrendű Runge-Kutta
max. 5%-os energia hibával
Görbület + transzláció
→ TKP mozgás perturbációja R
rTKP
9
○TKP mozgása:– Speciális eset:
– TKP pályasugara, rTKP(R)
IV. Számítógépes szimuláció
Belső forgás
TranszlációS2-re korlátozott
mozgás
É
D
egyenlít
ő
bk EEmmTKP C
RR
r,,/2 21
11
10
V. Merev test mozgása S3-on○4D-s forgómozgás:
– Pozíció:– Duális szögsebesség:– Duális tehetetlenségi nyomaték:
3D-s merev test S3-on = 4D-s m. t. egy ponton rögzítve tFkl
lpkqkplqkqlplqkpklpq 2
1*
plkpkl FF 1*
pqklpqklkinE***
2
1
2
1
pqklpqklJ ***
11
○Főtengely rendszer:
○Euler-egyenletek:
V. Merev test mozgása S3-on
kl diagonalizálható klpq* „diagonalizálható”
4
3
2
1
**** baJ (a. és b. tengelyek síkjában történő forgás)
**** ,'
0 JJdt
dJ
dt
d Impulzusmomentum
megmaradás:Főtengely
rendszerbeli derivált
24*
41*
32*
13*
2112*
21
(6 csatolt, elsőrendű, nemlineáris diff. egy. * 6 komponensére)
12
○Euler-szögek:– SO(4) paraméterezése 6 szöggel:– 4D + 3D + 2D polár rendszer
egymásban
○Szimmetrikus merev test mozgása S3-on:– „Szimmetria”: 1= 2= 3 4
– 2 Euler-szög változik, egyenletesen
y
z
w
x
,,,,,
Keringés + Forgás
V. Merev test mozgása S3-on
13
VI. Következtetés○Perturbációs közelítés:
○Számítógépes szimuláció:
○Merev test:
A TKP pályáját eltérítő „tehetetlenségi” erő.
S2-re korlátozott esetben a TKP egy <R sugarú körön mozog.
Szimmetrikus eset: Forgás és keringés, egyenletesen.
Univerzalitás: (Kis méretű pontrendszerekre)Belső paraméterek → TKP mozgás perturbációja(belső forgás) (oldalirányú eltérítés)
14
Összefoglalás
I. Görbült UniverzumII. HáromgömbIII. Kéttestprobléma S3-onIV. Számítógépes szimulációV. Merev test mozgása S3-on
VI. Következtetés
(tehetetlenségi erők)
(rTKP , R)
(4D-s forgás, Főtengely renszer, Euler-egyenletek, Euler-szögek, Szimmetrikus eset)
(univerzalitás)
Köszönöm a figyelmet!
16
○Szférikus koordináták:
Jacobi-determináns:
II. Háromgömb
sinsinsin
cossinsin
cossin
cos
Rx
Ry
Rz
Rw
2,0
,0
,0
(kép: Claudio Rocchini)
O
R (,)
sinsin23R
17
○Megmaradó mennyiségek:– Energia: (időeltolás)
– 4D-s impulzusmomentum: (SO(4))
III. Kéttestprobléma S3-on
212
222
11 2
1
2
1rrrr UmmE
lk
lkijkllk
lkijklij rrmrrmJ,
,2,22,
,1,11
pl.: (0,0,0,R) helyen lévő pontrendszerre:
0
*3*
p
p
R
RJJ ij
Transzláció
RotációJ(3)
p
S3
18
○Belső mozgás:– Relatív távolság szélső értékei (Dmax,
Dmin)
– Közöttük eltelt idő (T/2)
– Az kitevő R függése:
IV. Számítógépes szimuláció
RmmTDD
,/
maxmin21~
(minden Ek és Eb –re)
Kepler-törvény: = 2/3
19
lkkl xxrd r 4
Top Related