Klasszikus mechanikai kéttestproblémaés merev test szabad mozgása

állandó pozitív görbületű sokaságon

Kómár Péter témavezető: Dr. Vattay Gábor

2008. 11. 29.

2

Az előadás vázlata

I. Görbült UniverzumII. Háromgömb (S3)III. Kéttestprobléma S3-onIV. Számítógépes szimulációV. Merev test mozgása S3-onVI. Következtetés

3

I. Görbült Univerzum○Kozmológiai elv

– Homogenitás– Izotrópia

○Kozmológiai modellek– 3+1 dimenziós sokaságok

○Asztrofizikai mérések→ görbület 0 ( hiba)

R

t

AB

4

1|,,, 22224 wzyxkRwzyx

1k 0k 1k

○Sokaság(3+1) = térbeli(3) × időbeli(1)

○Homogén és izotróp geometriák:– S3 – szférikus– R3 – euklideszi– H3 – Bolyai-féle

○Reprezentáció:

I. Görbült Univerzum

y

z

x

w

S3

R3

H3

5

II. Háromgömb○ Definíció:

– „A négydimenziós gömb felszíne”

○ Tulajdonságai:– Minden irányban „körbeér”, főkörök

mentén– Térfogata véges (22R3),

de nincs határa– Szimmetriái: SO(4)

1|,,, 22224 wzyxRwzyx

6

III. Kéttestprobléma S3-on○Mozgásegyenletek

– 4 komponensű vektorok + kényszer

– U*(d) = U(r1r2) kölcsönhatási potenciál d: invariáns távolság:

– Hamilton-elvből:

2

2121 arccos,

RRd

rrrr

2211

211

2

21

111 ' rrr

Irrrr

r

R

URR

mm

dr1 r

2

(és ugyanez 12 cserével)

7

○Tömegközépponti és relatív koordináta:– Kényszerek (Q, D)– Mozgásegyenletek (Q, D)– DE nincs Galilei-invariancia

Nem szeparálható a mozgás!

○Perturbációs közelítés:– együttmozgó koordinátarendszer– kis méret, gyors belső forgás tehetetlenségi erők

DQ

r1

r2

RrTKP

III. Kéttestprobléma S3-on

8

IV. Számítógépes szimuláció○Gravitációs kölcsönhatás:

○Algoritmus:

○Cél:

sin

cos2121

R

mmU rr

221arccos

R

rr , ahol

Negyedrendű Runge-Kutta

max. 5%-os energia hibával

Görbület + transzláció

→ TKP mozgás perturbációja R

rTKP

9

○TKP mozgása:– Speciális eset:

– TKP pályasugara, rTKP(R)

IV. Számítógépes szimuláció

Belső forgás

TranszlációS2-re korlátozott

mozgás

É

D

egyenlít

ő

bk EEmmTKP C

RR

r,,/2 21

11

10

V. Merev test mozgása S3-on○4D-s forgómozgás:

– Pozíció:– Duális szögsebesség:– Duális tehetetlenségi nyomaték:

3D-s merev test S3-on = 4D-s m. t. egy ponton rögzítve tFkl

lpkqkplqkqlplqkpklpq 2

1*

plkpkl FF 1*

pqklpqklkinE***

2

1

2

1

pqklpqklJ ***

11

○Főtengely rendszer:

○Euler-egyenletek:

V. Merev test mozgása S3-on

kl diagonalizálható klpq* „diagonalizálható”

4

3

2

1

**** baJ (a. és b. tengelyek síkjában történő forgás)

**** ,'

0 JJdt

dJ

dt

d Impulzusmomentum

megmaradás:Főtengely

rendszerbeli derivált

24*

41*

32*

13*

2112*

21

(6 csatolt, elsőrendű, nemlineáris diff. egy. * 6 komponensére)

12

○Euler-szögek:– SO(4) paraméterezése 6 szöggel:– 4D + 3D + 2D polár rendszer

egymásban

○Szimmetrikus merev test mozgása S3-on:– „Szimmetria”: 1= 2= 3 4

– 2 Euler-szög változik, egyenletesen

y

z

w

x

,,,,,

Keringés + Forgás

V. Merev test mozgása S3-on

13

VI. Következtetés○Perturbációs közelítés:

○Számítógépes szimuláció:

○Merev test:

A TKP pályáját eltérítő „tehetetlenségi” erő.

S2-re korlátozott esetben a TKP egy <R sugarú körön mozog.

Szimmetrikus eset: Forgás és keringés, egyenletesen.

Univerzalitás: (Kis méretű pontrendszerekre)Belső paraméterek → TKP mozgás perturbációja(belső forgás) (oldalirányú eltérítés)

14

Összefoglalás

I. Görbült UniverzumII. HáromgömbIII. Kéttestprobléma S3-onIV. Számítógépes szimulációV. Merev test mozgása S3-on

VI. Következtetés

(tehetetlenségi erők)

(rTKP , R)

(4D-s forgás, Főtengely renszer, Euler-egyenletek, Euler-szögek, Szimmetrikus eset)

(univerzalitás)

Köszönöm a figyelmet!

16

○Szférikus koordináták:

Jacobi-determináns:

II. Háromgömb

sinsinsin

cossinsin

cossin

cos

Rx

Ry

Rz

Rw

2,0

,0

,0

(kép: Claudio Rocchini)

O

R (,)

sinsin23R

17

○Megmaradó mennyiségek:– Energia: (időeltolás)

– 4D-s impulzusmomentum: (SO(4))

III. Kéttestprobléma S3-on

212

222

11 2

1

2

1rrrr UmmE

lk

lkijkllk

lkijklij rrmrrmJ,

,2,22,

,1,11

pl.: (0,0,0,R) helyen lévő pontrendszerre:

0

*3*

p

p

R

RJJ ij

Transzláció

RotációJ(3)

p

S3

18

○Belső mozgás:– Relatív távolság szélső értékei (Dmax,

Dmin)

– Közöttük eltelt idő (T/2)

– Az kitevő R függése:

IV. Számítógépes szimuláció

RmmTDD

,/

maxmin21~

(minden Ek és Eb –re)

Kepler-törvény: = 2/3

19

lkkl xxrd r 4