Malmö högskola Fakulteten för lärande och
samhälle
VAL-projektet
Examensarbete 15 högskolepoäng - Grundnivå
Hur erfar lärare kunskapsskillnaderna hos
elever med betyget A och E i matematik
på gymnasiet?
How experience teachers the knowledge gaps among students
with grade A and E in mathematics in upper secondary school?
Robert Korán
Lärarutbildning 90hp Handledare: Ange handledare
Slutseminarium 2013-06-18
Examinator: Anna-Karin Svensson
Handledare: Therese Vincenti
Malmgren
2
3
Till min dotter Felicia.
4
5
Sammanfattning
Examensarbetets övergripande syfte är att utreda på vilka sätt det är kvalitativa
kunskapsskillnader mellan elever med höga och låga betyg i grundläggande matematikkurser
på gymnasiet och hur lärare mäter kunskapen för att finna denna skillnad. Hur tolkas
kunskapsmålen av lärare och hur går man tillväga för att avgöra på vilken nivå en elev
befinner sig kunskapsmässigt? Hur gör lärare för att avgöra om alla elever oavsett
kunskapsnivå har tillräckliga färdigheter i alla sju förmågorna som anges i ämnesplanen för
matematik?
Vid metodvalet vägdes framför allt tidsaspekten in utöver vilken metod som troddes ge
bäst bidrag till examensarbetet. Två frågeformulär konstruerades som därefter mejlades till ett
antal lärare. Det första frågeformuläret kan sägas vara en surveyundersökning då frågorna är
exakt likadant formulerade till alla, men eftersom frågorna är öppna och inga statistiska
principer för urvalet använts är formuläret mer åt det kvalitativa hållet. Det första
frågeformulärets kärna är hur de olika lärarnas bedömningsunderlag ser ut. En beskrivning av
vad som karakteriserar prestationen hos en elev med grundläggande kunskaper i matematik
respektive avancerad kunskap efterfrågades också. I det andra frågeformuläret ombads lärarna
att för tio olika uppgifter om bråk ange om var och en av dessa är en uppgift på
grundläggande nivå eller avancerad nivå, och vilken av de sju förmågorna uppgiften mäter
färdigheterna i.
Resultaten från denna undersökning visar att lärare med längre erfarenhet i mindre
utsträckning än lärare med kortare erfarenhet utgår från formuleringar i riktlinjerna då man
planerar sin undervisning, konstruerar prov samt gör bedömningar och sätter betyg.
Sammantaget visar det sig dock att inga lärare oavsett erfarenhet fullt ut hänvisar till
kunskapsmålen i sin bedömning. Lärarna uppfyller inte heller riktlinjernas krav om att
allsidigt utvärdera varje elevs kunskap. En del lärare visade sig helt strunta i de sju
förmågorna då man bedömer de matematiska färdigheterna hos eleverna.
Nyckelord: bedömning, betyg, matematik, provkonstruktion, riktlinjer
6
7
Innehållsförteckning
Sammanfattning ......................................................................................................................... 5
Innehållsförteckning ................................................................................................................... 7
1. Inledning ................................................................................................................................. 9
1.1 Bakgrund .......................................................................................................................... 9
1.2 Syfte och frågeställningar ............................................................................................... 10
1.3 Avgränsningar ................................................................................................................ 10
2. Kunskapsbakgrund ............................................................................................................... 11
2.1 Den svenska skolans kunskapssyn ................................................................................. 11
2.2 Betygsystemet ................................................................................................................ 12
2.3 Matematiken i gymnasieskolan ...................................................................................... 13
2.4 Vad är goda matematikkunskaper? ................................................................................ 15
2.5 Provkonstruktion och kunskapsbedömning ................................................................... 19
2.6 Nationella provets konstruktion ..................................................................................... 23
2.7 Nationella provet som bedömningsstöd ......................................................................... 25
2.8 Teoretiskt perspektiv ...................................................................................................... 26
3. Metod ................................................................................................................................... 27
3.1 Metodval ......................................................................................................................... 27
3.2 Urval ............................................................................................................................... 27
3.3 Genomförande ................................................................................................................ 28
3.4 Bearbetning och analys .................................................................................................. 28
3.5 Forskningsetiska överväganden ..................................................................................... 28
3.6 Tillförlitlighet ................................................................................................................. 29
4. Resultat och analys ............................................................................................................... 30
4.1 Allmänt ........................................................................................................................... 30
4.2 Resultat av första frågeformuläret .................................................................................. 30
4.3 Resultatanalys av första frågeformuläret ........................................................................ 31
4.4 Resultat av andra frågeformuläret .................................................................................. 32
4.5 Resultatanalys av andra frågeformuläret ........................................................................ 33
4.6 Resultatsammanfattning ................................................................................................. 34
5. Slutsats och diskussion ......................................................................................................... 35
5.1 Metoddiskussion ............................................................................................................. 35
8
5.2 Resultatdiskussion och slutsatser ................................................................................... 35
5.3 Pedagogiska implikationer ............................................................................................. 37
5.4 Avslutande reflektioner och förslag till fortsatt forskning ............................................. 38
Källförteckning ......................................................................................................................... 40
Bilagor ...................................................................................................................................... 41
Bilaga 1: Centralt innehåll för kursen Matematik 1b ........................................................... 41
Bilaga 2: Kunskapskrav för kursen Matematik 1b ............................................................... 42
Bilaga 3: Första frågeformuläret till lärarna ......................................................................... 44
Bilaga 4: Andra frågeformuläret till lärarna ......................................................................... 45
9
1. Inledning
1.1 Bakgrund
Betyg och bedömning är ständigt en källa för debatt och läroplaner, betygssystem och
lärarutbildningen ändras för att möta den kritik som hela tiden finns närvarande. I och med
den senaste gymnasiereformen som började gälla läsåret 2011/12 infördes en ny läroplan för
gymnasieskolan, nya examensmål för gymnasieprogrammen och nya kursplaner (Skolverket,
2011). Till detta fogas ett reviderat betygssystem med fem godkända betyg med nya
kunskapskrav istället för de tidigare betygen MVG, VG och G. Syftet med fler betygssteg är
att man ville synliggöra kunskapsutvecklingen bättre och på så vis öka tydligheten i
informationen till elever och vårdnadshavare (SOU 2008/09:66). Kring betygssystemet finns
en kunskapssyn som inte är förändrad och kunskapsbegreppet delas liksom tidigare in i ”de
fyra F:en” – fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet (Skolverket, 2011). De tidigare
öppna betygskriterierna som varje skolenhet hade som uppgift att konkretisera, har med de
nya kunskapskraven reviderats. Kunskapskraven är mer preciserade, men ändå formulerade i
allmänna ordalag. För varje ämne finns ett syfte formulerat, centralt innehåll beskrivet och
avslutningsvis kunskapskrav. De olika delarna är sammanvävda. Ämnesplanen för matematik
anger sju förmågor – ofta benämnda Begrepp, Procedur, Problemlösning, Modellering,
Resonemang, Kommunikation och Relevans - som alla elever ska behärska för att få godkänt
betyg. De sju förmågorna är samma för alla matematikkurser. Läroplanen ställer också krav
på att allsidigt utvärdera varje elevs kunskaper och att kunskaper som en elev har tillägnat sig
på annat sätt än genom den aktuella undervisningen ska beaktas. Sammantaget innebär
styrdokumenten en komplexitet i bedömningsunderlaget som ska utmynna i ett likvärdigt och
rättvist betyg. Forskning har visat att annat än enbart kunskap vägdes in vid betygssättningen
enligt det gamla betygssystemet (Selghed, 2004). Dagens matematiklärare har striktare
skrivningar i riktlinjerna att luta sig mot vid betygssättningen, men också många fler aspekter
att väga in, vilket kanske gör det ännu svårare än tidigare att avgöra vilka kunskaps-
skillnaderna är hos elever med högsta och lägsta betyg i matematik?
10
1.2 Syfte och frågeställningar
Examensarbetets övergripande syfte är att utreda på vilka sätt lärare erfar kvalitativa
kunskapsskillnader mellan elever med höga och låga betyg i grundläggande matematikkurser
på gymnasiet och hur lärare mäter kunskapen för att finna denna skillnad. Hur tolkas
kunskapsmålen av lärare och hur går man tillväga för att avgöra på vilken nivå en elev
befinner sig kunskapsmässigt? Hur gör lärare för att avgöra om alla elever oavsett
kunskapsnivå har tillräckliga färdigheter i alla sju förmågorna?
1.3 Avgränsningar
Examensarbetet studerar vilka kunskapsskillnaderna enligt lärare är mellan betyget A och E.
Inga jämförelser görs med andra ämnen. Inte heller några mellanliggande betygssteg studeras,
utan för att tydliggöra resultaten tas endast extrembetygen bland de godkända betygen med.
Inte heller studeras frågan om vad mellanbetygen B och D innebär i förhållande till A och C
respektive C och E. För att än mer begränsa stoffet fokuseras på kursen Matematik 1b som
läses av samtliga elever på ekonomiprogrammet, estetiska programmet, humanistiska
programmet och samhällsvetenskapsprogrammet.
11
2. Kunskapsbakgrund
2.1 Den svenska skolans kunskapssyn
Den svenska skolan har vilat på samma kunskapssyn sedan 1994 då utredningen Skola för
bildning presenterades (Nordgren m fl, 2012). Kunskapsbegreppet delas in i ”de fyra F:en”
(Skolverket, 2011):
Fakta
Förståelse
Färdighet
Förtrogenhet
Kunskapsformerna anses vara varandras förutsättningar och samspelar med varandra. En
balans mellan kunskapsformerna ska eftersträvas i skolarbetet eftersom alla fyra är viktiga för
kunskapsbildningen.
Fakta är en teoretisk kvantitativ kunskapsform, det vill säga man har mer eller mindre
kunskap beroende på hur mycket fakta man kan. I denna kunskapsform handlar det om rätt
eller fel, att kunna eller inte kunna. Förståelse är också en teoretisk kunskapsform, men istället
kvalitativ sådan. Man förstår samma fenomen på kvalitativt olika sätt. Fakta och förståelse
hänger intimt ihop och är beroende av varandra. Fakta är förståelsens byggstenar. Man kan
säga att när fakta får en mening har förståelse uppstått. Färdighet är en praktisk
kunskapsform, som kan vara både motorisk och intellektuell. Vi vet hur något ska göras och
klarar också av att göra det, till exempel att lösa en ekvation. Förtrogenhet handlar till
exempel om bedömningar, vi vet eller ”känner” när något ska göras och vad som ska göras.
Ett vanligt begrepp som används för detta är ”tyst kunskap”.
”De fyra F:en” lever kvar även efter skolreformen som började gälla läsåret 2011/12. För
gymnasiearbetet finns dock en annan indelning av kunskapsformerna (Skolverket, 2011):
Fakta och förståelse
Färdigheter
Värderingsförmåga och förhållningssätt
Fakta och förståelse handlar i gymnasiearbetet om att kunna redogöra, beskriva, diskutera och
uppfatta innebörden i något. Färdigheter handlar om att veta hur något kan göras och kunna
12
utföra det. Den sista punkten omfattar alla fyra kunskapsformer (fakta, förståelse, färdighet
och förtrogenhet).
2.2 Betygsystemet
I det betygssystem som började gälla på gymnasiet läsåret 1994/95 gavs betyg i fyra steg - IG
= icke godkänt, G = godkänt, VG = väl godkänt och MVG = mycket väl godkänt. Sedan
läsåret 2011/12 ges betyg i sex steg från A till F, där A är högsta betyget, E är lägsta
godkända betyg och F anger icke godkänt resultat (SOU 2008/09:66). Betygssystemet är alltså
inte nytt, utan bygger på samma kunskapssyn som tidigare och det anges fortfarande mål för
de olika betygsstegen. I betygssystemet som började gälla läsåret 2011/12 anges
kunskapskrav för betygen A, C och E. Däremellan finns betyget B då kunskapskraven för
betyget C ska vara uppfyllda och till övervägande del för A. På samma sätt ska för betyget D
kunskapskraven för E vara uppfyllda och till övervägande del för C. Den främsta anledningen
till den nya betygsskalan är att man ville synliggöra kunskapsutvecklingen bättre och på så vis
öka tydligheten i informationen till elever och vårdnadshavare (SOU 2008/09:66). Fler
betygssteg innebär dock enligt Selghed (2011) fler gränsdragningsproblem.
Den kunskapssyn som gäller i svenska skolan innebär en skillnad i kunskapskvalitet mellan
de olika betygsstegen. Vad kvalitet innebär i detta sammanhang är svårt att få ett klart svar på.
Selghed (2011) menar att för betyget E ligger tyngdpunkten på fakta och i andra hand
förståelse och analys och för betyget C är förståelsen viktigast medan övriga är mindre
framträdande. För betyget A är analysförmågan i fokus tillsammans med fakta och förståelse.
För betyget E måste eleven kunna beskriva, exemplifiera och föra enkla resonemang. För
betyget C måste eleven kunna förklara, visa på samband och föra utvecklande resonemang.
Till sist måste eleven för betyget A kunna förklara, visa på samband, generalisera och föra
välutvecklade resonemang. Nordgren (2012) för ett något annorlunda resonemang. Nordgren
menar att betyget E inte innebär enkla återgivande av fakta, betyget C förståelse och betyget
A analyserande resonemang. Alla betygsnivåer menar han kräver färdigheter inom alla delar.
Betygsstegen är inte hierarkiskt ordnade med början på faktakunskap och avslut på
förtrogenhet.
I en mycket uppmärksammad studie (Selghed, 2004) intervjuade man 30 lärare i olika
ämnen i årskurs nio på grundskolan för att undersöka hur de uppfattade betygssystemet och
hur detta skulle tillämpas i kunskapsbedömningen. Alla 30 lärare gav i intervjuerna uttryck
för att betyget baserades på elevens kunskaper och färdigheter. Det visade sig dock att nästan
13
alla lärare menade att betyget bestod av även andra saker. Åtta av lärarna sa att elevens sätt att
agera i skolarbetet hade betydelse för betyget, det vill säga exempelvis elevens flit och
närvaro på lektionerna. En elev som kämpar hårt kan alltså uppnå ett godkänt betyg utan att
riktigt nå kunskapskraven på grund av just flit. Sju gav uttryck för att eleven som person
spelade roll för betyget, till exempel kunde tysta blyga elever få lägre betyg. Lika många
vägde in skolorganisatoriska aspekter, som vilken årskurs eleven gick i och vilket gymnasie-
program eleven planerade att välja. Lägre betyg gavs i åttan än i nian för att slippa sänka
betyget i nian. Fyra lärare menade att externa krav och förväntningar - såsom krav från
politiker, skolledning och föräldrar - spelade roll för betyget. Till sist spelade lärarens egna
personliga läggning roll för betyget för fyra lärare, som till exempel att ett IG ger merarbete
för läraren och att denne då sätter ett G i betyg för att slippa det. Intervjusvaren blir alltså
sammanlagt många fler än de 30 lärare som deltog, vilket visar att nästan ingen endast vägde
in elevens kunskaper i betyget.
Med betygen G, VG och MVG upplevde lärare att spännvidden inom de olika betygsstegen
var olika stora och även att avståndet mellan betygsstegen var olika långa (Selghed, 2011).
Med de nya betygen A-E framställs ofta avståndet mellan de olika stegen som lika stora.
Betyget E har fått samma meritvärde som det tidigare betyget G, det vill säga 10. Betyget C
har meritvärdet 15, precis som VG, och betyget A har fått samma meritvärde som MVG,
alltså 20. Mellanbetygen D och B har fått meritvärdena 12,5 respektive 17,5.
2.3 Matematiken i gymnasieskolan
I läroplanen för gymnasieskolan som gäller för gymnasiet läsåret 2011/12 inleds
beskrivningen av matematikämnet med att betona dess historiskt långa betydelse som
bildningsämne (Skolverket, 2011). Man menar att matematik ytterst handlar om att upptäcka
mönster och formulera samband. Som ämnets syfte anges bland annat att utveckla elevernas
förmåga att arbeta matematiskt. Det innefattar att förstå matematikens begrepp och metoder
samt att utveckla olika strategier för att kunna lösa matematiska problem. Sju förmågor som
undervisningen ska ge eleverna förutsättningar att utveckla anges i matematikämnet
(Skolverket, 2011, s 90-91):
1. använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen.
2. hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg.
3. formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och
resultat.
14
4. tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en
modells egenskaper och begränsningar.
5. följa, föra och bedöma matematiska resonemang.
6. kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling.
7. relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt,
samhälleligt och historiskt sammanhang.
Det betyder att även de elever som bedöms ha lägsta godkända betyg ska ha grundläggande
färdigheter i alla sju förmågorna. Man brukar ofta namnge förmågorna med ett enda ord i
turordning Begrepp, Procedur, Problemlösning, Modellering, Resonemang, Kommunikation
och Relevans (Nordgren m fl, 2012). Detta är också benämningen på förmågorna i
bedömningsanvisningarna i nationella proven. Dock benämns ibland förmågan
Problemlösning istället som Metod.
Matematikämnet är uppdelat i olika kurser 1, 2 och så vidare som bygger på varandra, med
ett tillägg av en bokstav a, b eller c. Kursen Matematik 1a läses av samtliga elever på
yrkesprogrammen som enda obligatoriska matematikkurs. Matematik 1b läses av samtliga
elever på ekonomiprogrammet, estetiska programmet, humanistiska programmet och
samhällsvetenskapsprogrammet. För ekonomiprogrammet är Matematik 1b, 2b och 3b
obligatoriska matematikkurser, för samhällsprogrammet 1b och 2b samt för estetiska
programmet och humanistiska programmet bara Matematik 1b. Elever på naturvetenskapliga
programmet och teknikprogrammet läser Matematik 1c, 2c och 3c som obligatoriska
matematikkurser. Möjlighet finns att läsa Matematik 4 och Matematik 5. De sju förmågorna
som anges för matematikämnet är desamma för samtliga matematikkurser.
Till varje kurs anges ett centralt innehåll. Detta är olika för de olika kurserna och
kursplanerna anger inte att vissa delar är viktigare än andra, hur mycket tid som ska ägnas åt
varje del i centrala innehållet eller hur djupt man ska gå in på varje del. Skolan och läraren ska
själv göra dessa avvägningar. Centralt innehåll för kursen Matematik 1b finns återgivet i
bilaga 1.
Efter avsnittet om kursens centrala innehåll följer kunskapskraven, med kriterier för
betygen A, C och E. Eftersom en elev ska ha grundläggande kunskap inom hela det centrala
innehållet samt även ha vissa färdigheter inom alla sju förmågor är texten för alla kriterier
likadant formulerade, med skillnad för de fetstilade orden som anger en kvalitativ skillnad i
kunskap mellan de olika betygsstegen. Kunskapskraven för Matematik 1b finns återgivna i
bilaga 2.
15
2.4 Vad är goda matematikkunskaper?
Det finns en välspridd missuppfattning att goda matematikkunskaper är detsamma som att
vara duktig på att räkna ut tal, gärna genom huvudräkning. Ett omprov i matematik anses
enkelt att konstruera: ”Det är ju bara att byta ut siffrorna.” Inte sällan hörs kritik mot
benämnda tal – det som i folkmun ofta kallas för ”läsetal” – eftersom man menar att
matematiken försvinner i all text (Stenhag, 2010). Istället handlar goda matematikkunskaper
och att få bra betyg i ämnet just om att kunna läsa och tolka en text, översätta problemet till en
algoritm – ofta en ekvation av något slag – få fram ett svar och kontrollera om svaret är
rimligt och slutligen att kommunicera resultatet. Det kräver ett aktivt tänkande och handlande.
Att endast memorera något är inte tillräckligt. Det krävs alltså god läsförståelse och då inte i
betydelsen att kunna avkoda ord för ord, utan att som anges i kursplanen för Svenska 1:
”Förmåga att läsa, arbeta med, reflektera över och kritiskt granska texter…” (Skolverket,
2011, sidan 161).
Stenhag (2010, s 147) ger ett konkret exempel på en matematikuppgift som när det gavs
som ”naket tal” var det 50 procent fler av eleverna som lyckades lösa uppgiften än när det
gavs som benämnt tal:
Benämnt tal:
Per och Lena har 175 kronor tillsammans. De åker berg och dalbanan var sin gång och betalar 24
kronor var. Hur mycket har de sedan kvar?
Naket tal:
175-24-24
Förståelsen av centrala matematiska begrepp bland elever är ofta bristfällig och
undervisningen alltför ensidigt inriktad på beräkningsprocedurer. Elever klarar ofta att
använda en beräkningsprocedur, men att den används fel. Större fokus på kunskap kring
begrepp generar ofta kunskap i procedurer, men sällan tvärtom. Enligt Bentley, refererad av
Stenhag (2010), borde undervisningen i större utsträckning inrikta sig på att utveckla den
språkliga begreppsapparaten hos eleverna. Stenhag själv menar att god läsförståelseförmåga
och att kunna lösa benämnda tal handlar om samma kognitiva förmåga. För att få högt betyg i
grundskolans matematik krävs en metakognitiv förmåga till koncentrerad läsning. När
elevernas slutbetyg i matematik jämfördes med resultatet på det nationella läsförståelseprovet
visade det sig att 83 procent av eleverna med VG eller MVG i slutbetyg i matematik också
16
fick VG eller MVG på läsförståelseprovet. När man jämförde slutbetyget i svenska med
resultatet på det nationella läsförståelseprovet var det 87 procent av de som fick VG eller
MVG i slutbetyg som också fick VG eller MVG på läsförståelseprovet. Utvidgade man till att
jämföra de med G, VG eller MVG på läsförståelseprovet var det 99 procent som fick VG eller
MVG på nationella provet i matematik. En elev med god läsförståelseförmåga har dock inte
nödvändigtvis VG eller MVG i matematik. Endast 59 procent med VG eller MVG på
läsförståelseprovet hade VG eller MVG i slutbetyg i matematik. Detta visar att det utöver god
läsförståelseförmåga krävs andra färdigheter också för att nå högt betyg i matematik. Samma
studie visade att högt betyg i matematik var viktigare än högt betyg på läsförståelseprovet när
man jämförde med medelmeritpoängen för alla teoretiska ämnen. Allra högst
medelmeritpoäng hade de med högt betyg både på läsförståelseprovet och i matematik.
För att förstå ett matematiskt problem och hur man löser det krävs god läsförståelse. Det
gör att såväl dyslektiker som elever med svenska som andraspråk många gånger har
svårigheter i matematik. En generell försämrad läsförståelseförmåga hos gymnasielever blir
allt tydligare vilket gör att även matematiken drabbas. Elever med dyslexi kastar om
bokstäverna i ett ord men även symbolerna i ett matematiktal. Det gör att elever som har svårt
att automatisera läsning också ibland har svårt att automatisera räkning (Stenhag, 2010). En
studie gjord 2001 som Stenhag (2010) refererar till har visat att högstadieelever ofta
misslyckas på matematikuppgifter som innehåller mycket text. Eleverna förstår inte
innebörden i texten vilket kan leda till att de väljer fel räknesätt. Eftersom eleverna inte förstår
sammanhanget mellan uppgiftstextens olika delar, väljs beräkningarna slumpmässigt. Hur
eleverna angriper uppgiften saknar alltså helt koppling till uppgiftens innehåll. Ungefär 60
procent av de fel grundskoleeleverna gjorde på matematikuppgifterna berodde enligt studien
på bristande läsförståelse. Ungefär 15 procent berodde på slarvfel. Endast 25 procent berodde
på brister i rent matematiskt kunnande.
En studie gjord 2006 som Stenhag (2010) refererar till har bland annat visat att en del
elever utvecklar och använder en särskild lässtrategi som bara används i texter med
matematiska problem. Istället för att försöka förstå sammanhanget letar de efter nyckelord i
texten. Elever som använder denna läsförståelsestrategi lyckas oftast sämre än elever som
läser texter med matematiska problem på samma sätt som texter i andra ämnen. Stenhag
menar därför att detta talar för att läsförståelse i matematik inte är annorlunda än annan
läsförståelse. Stenhag säger vidare att forskning visar att den generella läsförståelseförmågan
som regel inte är knuten till begåvning. Dock måste man skilja på läsförståelse och
17
ordavkodning, alltså att koppla ihop ljud och bokstäver till ord. Läsförståelse innebär att man
förstår innebörden i texten, vilket är helt nödvändigt för att veta hur man ska angripa
uppgiften och lösa det nedskrivna problemet.
En annan aspekt som inverkar är hur väl man har utvecklat en god metakognition, det vill
säga hur väl man är medveten om sina egna tankar och kan följa sina tankar, hur väl det går
och styra dem i rätt riktning. Mer än något annat ämne bygger ett resultat på ett tidigare som
bygger på ett ännu tidigare; Allt hänger ihop! Matematik består av både faktakunskap och
tillvägagångsätt. Man måste dels lära sig olika fakta, begrepp och symboler och dels
tillvägagångssättet, det vill säga en handlingsplan för hur man ska göra för att lösa en uppgift.
För att komma ihåg de olika tillvägagångssätten måste de bottna i en förståelse för vad man
gör (Stenhag, 2010). En god metakognitiv förmåga är nödvändig för att kunna lösa uppgifter
där det krävs att man läser och tolkar en text innan räknandet. Man måste då fråga sig vad
som efterfrågas, vilka data man får veta och hur dessa kan användas för att nå lösningen.
Historiskt sett brukar man säga att betoningen i svensk skolmatematik har förflyttats från
tillämpning av färdiga formler och resultat av typen rätt/fel till mer av kreativ problemlösning
och kommunikation (Stenhag, 2010). Eleverna får lära sig att det ofta inte finns en enda färdig
lösningsmetod, utan flera olika vägar att gå. De skriftliga proven består till stor del av öppna
uppgifter. Dessa ger så klart en mängd olika lösningar och sätt att tänka på från eleverna.
Detta är så klart mer tidsödande både vad gäller provkonstruktion som rättande av detsamma.
Tyvärr tillämpas inte alltid detta, utan forskning visar att enskilt arbete dominerar under
lektionerna och undervisningen är starkt styrd av läroboken. Innehållet ligger i fokus, istället
för de förmågor som beskrivs i kursplanen (Nordgren m fl, 2012). Granskning av
undervisningen har visat att eleverna får för lite träning i de olika förmågorna och är därmed
dåligt förberedda för det nationella provet.
I Stenhags studie (2010) undersökte man också om det fanns ett samband mellan höga
betyg i matematik och höga betyg i andra ämnen. Man kom fram till att det fanns ett starkt
samband mellan högt slutbetyg i matematik och högt slutbetyg i alla andra teoretiska ämnen,
alltså inte bara till exempel fysik och kemi utan även exempelvis religion och
samhällskunskap. Detta samband var starkare än sambandet mellan högt slutbetyg i svenska
och högt slutbetyg i övriga teoretiska ämnen. Mellan högt slutbetyg i engelska och högt
slutbetyg i övriga teoretiska ämnen fann man inget samband alls. Studien visade också att
kraven för betygen G och VG statistiskt sett var högre i matematik än i svenska. Därför är det
sannolikt att man inte klarar att uppnå G i matematik om man inte klarat G i svenska. Det är
18
också sannolikt att om man klarar att uppnå VG eller MVG i matematik gör man det också i
svenska. Däremot var sambandet mellan IG i svenska och IG i övriga teoretiska ämnen
starkare än sambandet mellan IG i matematik och IG i övriga teoretiska ämnen.
Statistik visar också att det sätts fler VG och MVG i SO-ämnena än i NO-ämnena. Det
finns olika modeller som visar på nivåer i individens kognitiva förmåga. En modell (Stenhag,
2010) säger att problemlösningsförmåga är ett högre kognitivt stadium än läsförståelse-
förmåga. Enligt Stenhag skulle det kunna vara en generaliserad förklaring till att det sätts fler
VG och MVG i SO-ämnena än NO-ämnena. Stenhag (2010) ger en alternativ förklaring
nämligen att det finns olika typer av intelligens och att matematik kanske mäter NO-förmåga
och svenska SO-förmåga, men att kraven är lägre i svenska. Kriterierna i svenska har visat sig
svårare att tillämpa för lärarna och att de därför väljer att sätta ett högre betyg.
I en studie (Emanuelsson, 2001) besökte man åtta lärare på låg- och mellanstadiets
lektioner i matematik och naturvetenskap två till fyra gånger vardera samt intervjuade
dessutom lärarna. Studien visade att lärare i intervjuerna ofta beskrev vad eller hur eleverna
gjorde, inte vad eleverna kunde eller hur de förstod. Inom matematik talade lärarna oftast om
elevernas kunnande i termer om huruvida deras svar på uppgiften var rätt eller inte, snarare än
om hur de gått tillväga för att nå svaret. Ett av resultaten i avhandlingen innebar att lärostoff,
begrepp och färdighet måste varieras för att få insikt i hur eleverna tänker och ge dem
varierade sätt att lära sig på eftersom alla tänker olika om samma sak. Om jag tillåter mig att
föra över resonemanget från studiens resultat till matematikundervisningen på gymnasiet kan
det innebära att ett flertal elever tror sig inte har förstått någonting om man uppehåller sig
enbart vid proceduren att komma från den nedskrivna uppgiften till ett svar och endast en
lösningsmetod lärs ut och tillåts, när de i själva verket kan inneha ett rikligt batteri av
angreppssätt för att lösa uppgiften, som leder till samma rätta svar.
Det är sedan länge känt att matematik har visat sig kunna ge positiva transfereffekter, det
vill säga att lärande i matematik underlättar lärande i andra ämnen. Än mer intressant är
forskning som visat på effektiva transfereffekter om undervisningen blandar konkreta
exempel med generella principer (Stenhag, 2010). Om eleven med lärarens hjälp finner
likheter mellan olika komplicerade problem ger detta honom eller henne en god beredskap för
framtida problemlösning.
19
2.5 Provkonstruktion och kunskapsbedömning
Traditionellt har skriftliga prov - som byggt på undervisningsinnehållet - använts som enda
bedömningsunderlag, inte minst i matematik. En av de svåraste sakerna vid provkonstruktion
oavsett ämne är hur frågorna är formulerade. Alla uppfattar text olika och ibland upptäcker
man att väldigt många av de som gjort provet har uppfattat en fråga på ett annat sätt än man
har tänkt sig. Ett prov kan ha bristande tillförlighet på grund av till exempel oklart formu-
lerade uppgifter, att reglerna för poängsättning inte är tillräckligt genomtänkta, eller att
möjligheterna att gissa sig till ett korrekt svar påverkar resultatet. En metod att öka tillför-
litligheten är split half (Linde, 2003). Man konstruerar då två olika prov med samma frågor
men olika formulerade. De båda proven ges sedan med frågorna blandade i samma formulär.
Eleverna som gör provet får då svara på samma frågor två gånger i skilda uppgifter med olika
formulering. Om resultatet blir ungefär lika mellan de båda proven finns ingen bristande
tillförlitlighet på grund av formuleringarna. Om det istället blir stor skillnad så är
formuleringarna fel och en ny utprövning med nya formuleringar måste göras. Det är alltså
egentligen meningen att man ska göra detta test av formuleringarna innan man använder sitt
prov i skarpt läge. Det har man sällan möjlighet till, men man kan ändå använda metoden för
att efter ett par försök hitta rätt formuleringar till sina provfrågor.
Nästa viktiga aspekt är provets giltighet. För att man ska kunna betrakta provet som en
giltig kunskapskontroll av det kursmoment som provet handlar om måste allt väsentligt tas
med i provet (Linde, 2003). För ett matematikprov på gymnasienivå innebär det att hela det
centrala innehåll som provet är kunskapskontroll av samt att alla sju förmågorna måste finnas
med på provet, annars har provet bristande giltighet.
Nordgren m fl (2012) motsäger sig andra uppdelningar av prov såsom konventionella prov
och alternativa prov och menar att det inte finns annat än bra och dåliga prov. De
argumenterar för att det enda viktiga är att provet har giltighet och tillförlitlighet. Provformen
är oväsentlig, utan det är kunskapssynen som provet vilar på och provets innehåll som är det
enda viktiga.
Syftet med prov är inte enbart som bedömningsunderlag vid betygssättning – det vill säga
det som brukar kallas för summativt syfte - utan även i diagnosiskt syfte för att bedöma den
aktuella kunskapsnivån hos eleven, i formativt syfte för att ge stöd i lärandet och evaluerande
syfte för att bedöma hur väl man som lärare och skolan lyckas (Nordgren m fl, 2012). Samma
prov kan tjäna alla fyra syftena och skiljelinjen mellan bedömningsgrunderna är inte
20
knivskarp. Det är alltså inte provets utformning som bestämmer dess syfte, utan hur
bedömningsunderlaget används. Även om provet är tänkt för ett summativt syfte måste det
kunna användas även formativt eftersom betygssystemet är målinriktat.
Enligt Skolverkets riktlinjer (2011, s 15) ska läraren vid betygssättningen:
utnyttja all tillgänglig information om elevens kunskaper i förhållande till de nationella
kunskapskrav som finns för respektive kurs,
beakta även sådana kunskaper som en elev har tillägnat sig på annat sätt än genom den
aktuella undervisningen, och
utifrån de nationella kunskapskrav som finns för respektive kurs allsidigt utvärdera varje elevs
kunskaper.
Som tidigare nämnts har skriftliga prov - som byggt på undervisningsinnehållet – traditionellt
använts som enda bedömningsunderlag, men kraven på att allsidigt utvärdera och beakta även
kunskap som elever tillgodogjort sig på andra sätt än skolans undervisning gör att detta inte är
tillräckligt (Selghed, 2011). Skolverket betonar också att betygsunderlaget ska bygga på
varierade bedömningsformer och nämner prov och muntliga prestationer gjorda vid flera
tillfällen. Inget enskilt prov, inte heller det nationella provet, kan enligt Skolverket utgöra hela
underlaget för bedömningen i ett ämne (Skolverket.internetlänk).
Både provens form och innehåll påverkar elevernas syn på lärandet (Nordgren m fl, 2012).
Proven signalerar vad läraren anser är viktig kunskap i ämnet och eleverna anpassar sina
lärstrategier efter detta. Som lärare måste man tänka igenom några olika ämnesdidaktiska
frågor: Vad är viktigt att kunna? Hur ska proven vara utformade för att alla elever ska kunna
visa sina kunskaper? Varför väljer jag just denna provform och att fråga efter just denna
kunskap? Påverkas provets utformning och innehåll av för vem det är avsett för? Ett prov
måste alltid efterfråga ett samspel mellan de fyra kunskapsformerna fakta, förståelse,
färdighet och förtrogenhet. De lägre betygen handlar inte om att endast kunna återge fakta
(Nordgren m fl, 2012).
Eftersom skriftliga prov ännu är den klart vanligaste provformen i matematik kan det vara
en god idé att studera denna provform mer i detalj och i generella drag oberoende av ämne
innan man kommer in på alternativ till skriftliga prov. Provfrågor kan ha fasta svarsalternativ
som till exempel flervalsfrågor och påståenden som markeras med sant eller falskt, eller där
olika alternativ ska paras ihop. Dessa tre frågetyper brukar kallas för objektiva prov (Korp,
2003). Alla tre förekommer i matematikböcker. Frågor där eleven ska formulera ett svar helt
själv förekommer också, inte minst nu då elever ska behärska alla sju förmågor som listas i
ämnesplanen. Frågor med fasta svarsalternativ har fördelen att de går snabbt och enkelt att
bedöma och eftersom ingen subjektivitet finns blir resultatet jämförbart. Nackdelen är att
21
frågor med fasta svarsalternativ sällan fokuserar på annat än faktakunskap. En annan nackdel
är att eleverna inte får möjlighet att visa sina förmågor i att resonera eller tänka kritiskt
(Nordgren m fl, 2012). Fördelen med frågor då eleverna själva ska formulera sina svar -
särskilt vid essäfrågor, det vill säga då eleverna ska skriva långa svar – är att man kan mäta
mer komplexa kunskapsnivåer, såsom analysförmåga. Nackdelarna är att bedömningen är
tidskrävande och risken finns att bedömningen blir mer subjektiv. Ibland kan olika bedömare
göra olika tolkningar och även samma bedömare kan påverkas av sådant som i vilken ordning
provsvaren bedöms, elevernas handstil och förutfattade meningar om de olika elevernas
prestationsförmåga (Nordgren m fl, 2012). Nordgren m fl förespråkar frågekonstruktioner
som kräver problemlösande eller berättande svar, istället för kortsvars- eller flervalsfrågor. Få
breda essäfrågor är bättre än många kortsvarsfrågor. Nordgren m fl förespråkar också att man
ska premiera sammanhang och inte efterfråga ett visst antal aspekter.
Korp (2003) nämner ”tillämpningsprov” som den vanligaste formen av alternativa prov.
Principen är att eleverna bedöms på basis av hur de praktiskt handlar i en situation. Detta
exemplifieras bland annat med att om en lektion syftar till att lära eleverna skriva noveller och
de bedöms med hjälp av ett tillämpningsprov, så får de skriva en novell och arbetet med
denna utgör bedömningsunderlaget för elevernas kunskaper i novellskrivning. Motsvarande
traditionella prov skulle då vara att eleverna istället får besvara ett antal frågor kring
novellskrivandets tekniker och kvalitetskriterier. Tillämpningsprov passar bäst när målet med
undervisningen är att eleverna ska kunna utföra något. Överför man detta till matematiken
efterfrågar eleverna inte sällan tillämpningsexempel på matematiska samband, vilket
läroböckerna också brukar innehålla rikligt med och lärarna gärna ger. En tillämpningsuppgift
är oftast det som i kapitel 2.4 kallades för ”benämnt tal”, till skillnad från ”naket tal”. Vilka
tillämpningsexempel som ges beror på lärarens kompetens och intresse utöver matematik och
på vilka eleverna är, bland annat vilket gymnasieprogram de går. Eleverna efterfrågar
tillämpningar för att motivera sig att lära sig sambandet. Läraren ger ofta tillämpnings-
uppgifter på prov då förmågan att lösa en tillämpningsuppgift anses utgöra en högre kvalitativ
kunskapsnivå än att endast memorera en formel.
Nordgren m fl (2012) vänder sig mot ett vanligt sätt att poängsätta prov, nämligen att
poängen motsvarar just antalet uppräknade saker, istället för kunskapskvaliteten på det
avgivna svaret. Att räkna upp fem saker och få fem poäng, utan att ha någon djupare
förståelse, lönar sig bättre än att ha djupare förståelse kring tre. Man vänder sig också mot att
22
olika frågor ger olika många poäng baserat på hur mycket tid som ägnades åt denna sak i
undervisningen eller hur mycket utrymme detta tog i anspråk i läromedlen.
På frågan om provfrågorna ska nivågrupperas ser Nordgren m fl (2012) fler nackdelar än
fördelar. Fördelarna är att det tydligt framgår vilken kvalitet läraren förväntar sig av svaren på
de olika frågorna och skillnaden mellan olika kunskapskvaliteter blir tydlig. Eleven kan också
bestämma sig för en ambitionsnivå. En stor nackdel är att nivågrupperingen kan få elever att
på grund av till exempel bristande motivation eller självförtroende väljer att avstå från att
svara på de svårare frågorna och prövar därmed inte hela sin kunskapspotential. Forskning har
också visat att frågorna på de lägre kunskapsnivåerna i stor utsträckning består av korta
faktafrågor, vilket gör att dessa elever inte försöker förstå samband eftersom detta inte behövs
för godkänt på proven.
Det finns alltså gott om argument för att skriftliga prov i sig inte är något dåligt eftersom
det är provets innehåll och inte form som avgör om provet är bra eller dåligt. Dock säger
Skolverkets riktlinjer att läraren ska ”allsidigt utvärdera varje elevs kunskaper” (Skolverket,
2011, s 15) och därför måste man fråga sig vilka alternativ till skriftliga prov som finns.
Inom vissa ämnen är portföljmetod och självvärdering vanliga vid kunskapsbedömning
(Linde, 2003). Eleven samlar färdiga skolarbeten i en portfölj i form av till exempel en
plastmapp eller USB-minne. Ibland sparas materialet en tid och därefter görs
sammanfattningar av detta och originalmaterialet sorteras ut. Ett sätt att använda portföljen är
självvärdering, då eleven i slutet av en kurs går igenom sin portfölj för att se hur en utveckling
har skett och kanske upptäcka till exempel att man hade löst ett problem på ett annat sätt nu.
Portföljen kan även användas av läraren med eller utan dialog med eleven som underlag för
bedömningen. Då kan portföljen bedömas efter process eller produkt. Om processen är i fokus
är det intressanta att följa utvecklingen och förändringarna i uppfattningar. Om produkten är i
fokus är det istället kvaliteten hos de färdiga arbetena som bedöms. En viktig poäng som ofta
förs fram med portföljmetoden är att man ur portföljen alltid kan plocka ut det som eleven
gjort bra och ge uppmuntran för det.
Ibland kan man ställa det som kallas öppna frågor, det vill säga frågor som inte har ett enda
korrekt svar. Även om matematik betraktas som ett ämne när exakta och korrekta svar
eftersträvas är detta en frågeform som är användbar i matematik. Två exempel på öppna
matematikuppgifter (Linde, 2003, s 118):
Skriv allt du vet om bråk eller allt du vet om multiplikation.
23
Gör egna matematikuppgifter.
a En uppgift skall leda till en lösning där multiplikation skall användas.
b En uppgift skall leda till en lösning där addition och multiplikation ska användas.
c En uppgift skall leda till en lösning där procent skall användas.
d En uppgift skall leda till en lösning där ekvation skall användas.
Även till synes helt öppna frågor kan ge tämligen bestämda svar om man inför förutsättningar
och definitioner (Linde, 2003). För en elev som saknar de förmågor som beskrivs i kapitel 2.3
tror jag denna uppgift är svår, eller rentav bara konstig. Elever är vana vid att lösningen på en
uppgift är ett enda rätt svar. I andra ämnen kan en öppen fråga som till exempel ”Vad är
demokrati?” sluta sig kring en mycket begränsad informationsmängd från en lektion
(Nordgren m fl, 2012). Det är därför inte konstigt att öppna frågor väcker osäkerhet hos
elever. Denna typ av frågor kan vara en del av ett skriftligt prov, men det kan också vara en
del av ett muntligt prov där man – precis som i nationella provets muntliga del – ställer frågor
för att lyssna av hur elever resonerar och utifrån det ställa följdfrågor.
Vid provkonstruktion i matematik kan man kategorisera uppgifterna på olika sätt. Det kan
gälla arbetsformer såsom ”med eller utan tekniska hjälpmedel” eller ”arbete i grupp eller
enskilt”, men även efter centralt innehåll. Oftast behandlar ett prov en del av det centrala
innehållet, eller helt enkelt ett kapitel eller två i boken. Mer sällsynt är kategorisering efter de
sju förmågorna (Nordgren m fl, 2012). Vid uppgifter som inte bara kräver ett korrekt svar
behövs en helhetsbedömning och man måste ta hänsyn till hela lösningsproceduren.
Kvaliteten på elevens arbete avgör på vilken nivå arbetet placeras och kan uttryckas med
poäng, betyg eller ord. En mer strukturerad bedömningsanvisning ökar sannolikheten för att
två bedömare ska göra samma bedömning av ett mer omfattande arbete. Självbedömning och
kamratbedömning kan bidra till att olika matematiska begrepp diskuteras och eleverna
utvecklar sin förmåga att se sitt eget lärande (Nordgren m fl, 2012).
En studie gjord 2006 refererad av Nordgren m fl (2012) visade att en majoritet av
uppgifterna i lärarnas matematikprov kunde lösas med inövade procedurer och utan
matematisk förståelse, medan kreativa och matematiskt välgrundade resonemang oftast
behövdes på uppgifterna på nationella provet.
2.6 Nationella provets konstruktion
De nationella proven i matematik konstrueras av PRIM-gruppen som är en forskningsgrupp
vid Stockholms universitet inriktad på kunskapsbedömning och kompetens. Bland uppdragen
24
ingår att konstruera de nationella proven i de olika matematikkurserna i såväl grundskolan
som gymnasiet (PRIM-gruppen).
De nationella proven i matematik på gymnasiet innehåller fyra delar (PRIM-gruppen,
presentation_skolforum.pdf):
Kortsvars- och redovisningsuppgifter utan beräkningsverktyg
Stor redovisningsuppgift med beräkningsverktyg
Redovisningsuppgifter med beräkningsverktyg
Muntlig del i grupper om tre till fyra elever
Vid konstruktionen har man strävat efter att väva samman ämnesplanens tre dimensioner,
nämligen de sju förmågorna, kursernas centrala innehåll och kunskapskraven för respektive
kurs. På varje uppgift utdelas kvalitativa förmågepoäng, det vill säga poäng på E-, C- och A-
nivå samt dessutom anges vilken förmåga som uppgiften mäter. Ett exempel på en uppgift ur
nationella provet ges (PRIM-gruppen):
Johanna häller kaffe med temperaturen 92 °C i en termos. Hon ställer sedan termosen utomhus där
temperaturen är 15 °C. För att beskriva hur temperaturen y °C hos kaffet förändras med tiden x
timmar undersöker hon två olika modeller:
Formel för modell A: y = 92 – 7x
Formel för modell B: y = 92 ∙ 0,93x
a) Beräkna kaffets temperatur efter tre timmar enligt formel A och enligt formel B. (2/0/0)
b) Beskriv med vardagligt språk vad formel A respektive formel B säger om hur temperaturen
sjunker. (1/2/0)
c) Undersök för hur många timmar som formeln för modell A respektive B kan gälla. (1/2/3)
Siffrorna inom parentes anger maximala E-, C- respektive A-poäng, alltså för deluppgift c
maximalt 1 E-poäng, 2 C-poäng och 3 A-poäng. Som tidigare nämndes anges i
rättningsmallen vilka förmågor som mäts. I detta exempel kan deluppgift a ge en E-poäng
vardera för förmågorna Modellering och Procedur. Deluppgift b kan ge en E-poäng för
förmågan Modellering samt en C-poäng vardera för förmågorna Modellering och
Kommunikation. Till sist kan deluppgift c ge en E-poäng för förmågan Resonemang, en C-
poäng vardera för förmågorna Kommunikation och Modellering samt en A-poäng vardera för
förmågorna Kommunikation, Modellering och Problemlösning. I nationella provet ges ett
provbetyg som baseras på dels på sammanlagd poäng som eleven har erhållit och dels på hur
många C- och A-poängen är. För att uppnå provbetyget E ser man endast till sammanlagda
poängen. För provbetygen D och C anges sammanlagd poäng samt hur många C-poäng och
25
däröver som eleven måste erhållit. För provbetygen B och A anges sammanlagd poäng samt
hur många A-poäng eleven måste erhållit. Till provet medföljer en rättningsmall med exempel
på lösningar för att underlätta för läraren att avgöra E-, C- och A-poängen.
2.7 Nationella provet som bedömningsstöd
Flera studier har visat att resultaten på nationella prov och internationella kunskapsmätningar
skiljer sig från betygsutfallet. Denna skillnad är särskilt stor i matematik (Stenhag, 2010). Den
senaste tillgängliga statistiken för resultatet på nationellt prov i Matematik 1b jämfört med
kursbetyget gäller för vårterminen 2012 (Skolverket, 2013). Den visar att 60,9 % av eleverna
fick samma kursbetyg som provbetyg, 38,1 % fick högre kursbetyg än provbetyg och 0,9 %
fick lägre. Skillnaden mellan kursbetyg och provbetyg var något lägre på kommunala
gymnasieskolor jämfört med friskolor. Något fler fick högre kursbetyg än provbetyg på
friskolor än på kommunala skolor. Jag går inte in på någon analys om orsaken, utan
konstaterar bara att det finns en skillnad. För jämförelsens skull kan man titta på avvikelsen
mellan kursbetyg och provbetyg även i Svenska 1, Engelska 5 och Matematik 2b som
samtliga elever på Samhälls- och Ekonomiprogrammet också läser som obligatorisk kurs. I
Svenska 1 fick 66,2 % av eleverna samma kursbetyg som provbetyg, 20,7 % fick högre
kursbetyg än provbetyg och 13,1 % fick lägre kursbetyg än provbetyg. I Engelska 5 fick 74,5
% av eleverna samma kursbetyg som provbetyg, 15,2 % fick högre kursbetyg än provbetyg
och 10,4 % fick lägre kursbetyg än provbetyg. I Matematik 2b fick 78,0 % samma kursbetyg
som provbetyg och 22,0 % fick högre kursbetyg än provbetyg. Ingen fick lägre kursbetyg än
provbetyg.
Kritik lyfts ibland på olika sätt mot de nationella kursproven. Ofta sammanfaller denna
med att det hos lärare, elever och allmänhet förekommer olika syn på varför undervisning i
matematik ska ske i skolan. I en studie av Maria Bjerneby Häll refererad av Stenhag (2010, s
36-37) ställde man denna fråga till ett antal högstadielärarstudenter och vid analysen
identifierades tio huvudargument:
För att klara det vardagliga livet – idag och som vuxen
Med tanke på utbildning och yrke i en framtid
För att kunna ta tillvara dina egna [elevens] intressen
Med tanke på samhällets behov och krav
För att utveckla tänkandet
Det är roligt och stärker självförtroendet
Det behövs för många andra skolämnen
26
Det tillhör allmänbildningen
Det är ett viktigt kunskapsområde
Det kommer på provet
Bland lärarstudenterna var de tre första svaren de vanligaste. Samma person följde
lärarstudenterna och ställde samma fråga igen när de börjat arbeta som lärare och det visade
sig att för dem som arbetade i de senare årskurserna på grundskolan är de nationella proven
väldigt styrande för undervisningen. En stor del av undervisningen fokuseras på att förbereda
eleverna inför det nationella provet och därmed blir argumentet ”Det kommer på provet” det
vanligaste.
2.8 Teoretiskt perspektiv
Undervisning och kunskapsbedömning i matematik är välstuderat. Detta kapitel har
översiktligt undersökt och jämfört hur kunskapssyn och kunskapskrav framställs i
styrdokument och hur lärare uppfattar dessa i sin praktik. Eftersom nu gällande kursplaner
och kunskapskrav är nya finns ingen forskning på hur de gällande styrdokumenten uppfattas
av lärare. Därför är det av intresse att undersöka detta. Utifrån hur kunskapssynen är
beskriven i läroplanen tillsammans med kunskapskraven i Matematik 1b och de sju
förmågorna i ämnesplanen kommer jag att undersöka hur lärare använder dessa för att avgöra
elevers kunskapsnivå. Lärarna som deltagit i undersökningen är av olika kön, har olika ålder,
har olika lång erfarenhet och undervisar i olika ämnen – med andra ord är detta en utmärkt del
i en större undersökning. Påverkar någon av dessa aspekter hur man uppfattar och använder
riktlinjerna och kunskapskraven? Denna undersökning är alltså av teoriprövande karaktär.
Denna undersökning kan eventuellt vara hypotesbildande, men på grund av det lilla materialet
omöjligen leda till några generella slutsatser som bidrar till ny begrepps- eller teoribildning.
Examensarbetets teoretiska perspektiv vilar på en fenomenografisk grund. Ference Marton
(Uljens, 1997) talar om fenomenografi som en beskrivning av hur av hur olika människor som
möter olika fenomen uppfattar, erfar eller förstår dessa. Enligt fenomenografin finns det ett
begränsat antal kvalitativt skilda sätt att erfara världen. Examensarbetet strävar alltså efter att
ta reda på hur lärare uppfattar riktlinjerna, till exempel kunskapskraven.
27
3. Metod
3.1 Metodval
Vid metodvalet vägdes framför allt tidsaspekten in utöver vilken metod som troddes ge bäst
bidrag till examensarbetet. Eftersom jag själv som verksam lärare och de lärare som skulle
kunna bidra med material befunnit oss i en tid på läsåret som varit fylld med både egna prov
och nationella prov ville jag finna en metod som kunde ge mig användbart kvalitativt material
utan att vara alltför tidsödande. Valet föll då på att via e-post skicka två frågeformulär till ett
antal lärare verksamma på några olika gymnasieskolor i Skåne. Det första frågeformuläret,
som är återgivet i bilaga 3, skickades till samtliga lärare och strax efter att var och en svarat på
denna skickades det andra frågeformuläret till dem. Det andra frågeformuläret finns återgivet i
bilaga 4.
Det första frågeformuläret kan sägas vara en surveyundersökning (Svenning, 2003) då
frågorna är exakt likadant formulerade till alla, men eftersom frågorna är öppna och inga
statistiska principer för urvalet använts är formuläret mer åt det kvalitativa hållet. Den främsta
anledningen till metodvalet är tidsaspekten. Lärarna kan på kort tid och när de har möjlighet
svara på frågorna och jag får svaren skrivna digitalt och kan direkt använda svaren i
examensarbetet.
3.2 Urval
Frågeformulären skickades till ett antal lärare verksamma på några olika gymnasieskolor i
Skåne. Gymnasieskolorna valdes på grund av deras olika storlek och för att det på var och en
av dessa arbetade matematiklärare som kände till mig, vilket troddes öka svarsfrekvensen.
Frågeformulären skickades till några enstaka matematiklärare på varje skola. Jämn fördelning
av kön och ålder eftersträvades för att möjliggöra en analys huruvida detta hade betydelse för
resultatet.
28
3.3 Genomförande
Frågeformulären skickades via e-post till de deltagande lärarna. När svar inkommit från
respektive lärare på första frågeformuläret skickades det andra.
3.4 Bearbetning och analys
Det första frågeformulärets kärna är hur de olika lärarnas bedömningsunderlag ser ut, det vill
säga hur deras skriftliga prov är konstruerade och hur omdömen ges på dessa, vilka andra
kunskapskontroller som används och hur det nationella provet används som bedömningsstöd.
Till sist efterfrågades en beskrivning av vad som karakteriserar prestationen hos en elev med
grundläggande kunskaper i matematik respektive avancerad kunskap. I det andra
frågeformuläret ombads lärarna att för tio olika uppgifter om bråk ange om var och en av
dessa är en uppgift på grundläggande nivå eller avancerad nivå, och vilken av de sju
förmågorna uppgiften mäter färdigheter i.
Vid analysen har funnits en strävan att utifrån ett litet material tränga djupt in i en
problematik. Kvalitativa analyser är betydligt känsligare för nyanser och små variationer, och
därför inte så exakta som kvantitativa undersökningar (Svenning, 2003). En fara med
kvalitativa analyser är att man utifrån en liten undersökningsgrupp utser dessa till
”kronvittnen från verkligheten” (Svenning, 2003, s 163). Undersökningsgruppen står för den
enda sanna skildringen av verkligheten och den egna analysen uteblir. En kvalitativ analys
måste ha en teoretisk förankring för att inte stanna vid att endast citera undersöknings-
gruppens ord. Denna undersökning syftar till att analysera hur lärarna tolkar Skolverkets
riktlinjer, kunskapskraven, matematikämnets sju förmågor etcetera. I analysen har försök till
kodning gjorts för att sortera frågeformulärens svar i kategorier. Utifrån de medverkandes
svar på frågeformulären har en analys gjorts huruvida de medverkande kan kategoriseras efter
idealtyper (Svenning, 2003).
3.5 Forskningsetiska överväganden
I forskningssammanhang ska svaren på ett frågeformulär anonymiseras för att säkra att de
medverkandes identitet skyddas (Vetenskapsrådet, 2011). I detta examensarbete har fråge-
formulären skickats via e-post till ett antal lärare verksamma på några olika gymnasieskolor i
29
Skåne. Jämn fördelning av kön och ålder eftersträvades för att möjliggöra en analys huruvida
detta hade betydelse för resultatet. De svar som ges är av personlig karaktär. Svaren kan
uppfattas som kontroversiella om de uppfattas som att läraren inte följer Skolverkets riktlinjer
eller skollagen (Skolverket, 2011). Lärare är skyldiga att följa riktlinjerna, men formuleringar
om hur man gör detta kan uppfattas som okonventionella och kontroversiella. Därför är de
medverkandes anonymitet viktig. De medverkande lärarna är verksamma på några olika
skolor i Skåne och de benämns i examensarbetet endast som lärare med längre erfarenhet eller
lärare med kortare erfarenhet.
3.6 Tillförlitlighet
Två undersökningar med samma syfte och med samma metod ska ge samma resultat för att en
undersökningsmetod ska anses tillförlitlig (Svenning, 2003). Undersökningens tillförlitlighet
påverkas framför allt av hur frågorna är formulerade. Alla uppfattar text olika och metodvalet
gör att reparationer är svåra att göra om när svaren inkommit det visar sig att frågorna har
uppfattats på ett annat sätt än som är tänkt. Vid en större studie och med mer tid hade en
pilotstudie kunnat genomföras, då ”split-half” (Linde, 2003) hade kunnat användas som en
metod att öka tillförlitligheten. Två olika frågeformulär med frågorna olika formulerade
konstrueras. Frågeformulären ges sedan med frågorna blandade i samma formulär. Samma
frågor ställs på så vis två gånger med olika formulering. Om resultatet blir ungefär lika mellan
de båda frågeformulären finns ingen bristande tillförlitlighet på grund av formuleringarna.
Vid en personlig intervju har man möjlighet att omformulera sig om i fall intervjuobjektet
inte fullt ut förstår den och också kan ställa följdfrågor beroende på hur intervjuobjektet
svarar. Tillförlitligheten blir inte fullkomlig eftersom samma fråga då ställts på olika sätt till
olika deltagare. Även den som förstod frågan så som den ursprungligen var formulerad, kan
ha svarat annorlunda om frågan ställts på ett annat sätt. En fördel med ett nerskrivet
frågeformulär som skickas ut via e-post är att man undanröjer alla risker att på något sätt
påverka intervjuobjektet. Därför anses metodvalet tillräckligt tillförlitligt.
30
4. Resultat och analys
4.1 Allmänt
Fem lärare svarade på de båda frågeformulären. Första frågeformuläret (se bilaga 3) innehöll
öppna frågor för att ge intervjupersonerna möjlighet att med egna ord beskriva det som
efterfrågades. Svaren som gavs var dock alltid korta. Givetvis kan inga generella slutsatser
göras eftersom underlaget är för litet i både kvantitet och kvalitet. Resultaten ger dock uppslag
för en större och djupare undersökning. Två lärare hade 8 års erfarenhet som lärare och
resterande tre lärare hade 18, 37 och 42 års erfarenhet. Jag valde därför att kategorisera de två
med kortast erfarenhet som lärare med kortare erfarenhet och resterande tre som lärare med
längre erfarenhet.
4.2 Resultat av första frågeformuläret
Lärare med kortare erfarenhet säger sig i större utsträckning i sin konstruktion av
matematikprov sträva efter att alla sju förmågorna som anges för matematikämnet finns
representerade i uppgifterna. Lärare med kortare erfarenhet talar i större utsträckning om fasta
nivågrupperingar av uppgifterna och anger E-, C- och A-nivå för dessa. Lärare med kortare
erfarenhet använder i större utsträckning de skriftliga proven som enda bedömningsunderlag,
medan lärare med längre erfarenhet även gör bedömningar i samband med lektioner och
använder sig i större utsträckning av korta såväl skriftliga som muntliga läxförhör. Lärare med
kortare erfarenhet anger i större utsträckning nationella proven som viktiga bedömningsstöd,
vilken man motiverar bland annat med att de egna proven endast testar korta moment medan
nationella proven är mer övergripande och ger därför en bättre bild av elevens samlade
kunskap. Lärare med längre erfarenhet är i större utsträckning inte nöjda med nationella
provens upplägg och finner därför inget bedömnings-stöd i dessa. Omdömena i samband med
prov är likartade mellan alla lärare, nämligen i form av betyg A-F.
Lärare med kortare och längre erfarenhet beskriver vad som karaktäriserar prestationerna
hos elever med grundläggande kunskaper i matematik respektive avancerade kunskaper på
likartat sätt. Elever med grundläggande kunskaper kan lösa uppgifter innehållande inövade
procedurer och problemlösning efter givna instruktioner. Beskrivningarna av vad som
31
karakteriserar elever med avancerade kunskaper skiljer sig mer åt. Lärare med kortare
erfarenhet beskriver vad som karakteriserar prestationerna hos elever med avancerade
kunskaper med att kunna planera och lösa problem samt dra slutsatser. Lärare med längre
erfarenhet beskriver i större utsträckning vad som karakteriserar elever med avancerade
kunskaper som förmåga att se samband, kunna generalisera, använda matematiskt språk och
lösa uppgifter på högre abstraktionsnivå.
4.3 Resultatanalys av första frågeformuläret
Det första frågeformulärets kärna är hur mångfacetterat de olika lärarnas bedömnings-
underlag ser ut. Tillsammans med att efterfråga en beskrivning av vad som karaktäriserar
prestationen hos en elev med grundläggande kunskaper i matematik respektive avancerade
kunskaper eftersträvades att få fram två olika bilder – en för hur kunskap bedömdes och en för
vad för kunskap som fanns hos eleverna – som därefter kunde analyseras.
Lärarnas beskrivningar av grundläggande kunskaper är mycket lika matematikämnet på
gymnasiets ämnesplansskrivning om procedurförmågan (Skolverket, 2011, s 90):
2. hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg
Svaren på frågeformulären visar att lärare har en klar egen bild av vad som karaktäriserar
prestationerna hos elever med grundläggande respektive avancerade kunskaper i matematik.
Svaren delar upp sig något i hur lärare med kortare respektive längre erfarenhet formulerar
skillnaderna. Lärare med kortare erfarenhet lutar sig i större utsträckning mot styrdokumenten
medan lärare med längre erfarenhet lutar sig mot just sin erfarenhet. De ”vet” genom sin
erfarenhet när en elev har avancerade kunskaper i matematik. De hänvisar till sin ”tysta
kunskap”, eller för att dra paralleller till skolans egen kunskapssyn, till sin förtrogenhet. Detta
är förmodligen också anledningen till att lärare med längre erfarenhet i mindre utsträckning
menar att nationella proven är ett bedömningsstöd. Troligtvis gör dessa lärare inga radikala
förändringar av sitt undervisningssätt eller provkonstruktion på grund av nya styrdokument.
Min tolkning är att flera av lärarnas svar ger en antydan om syn på skillnaden mellan
betygsstegen som påminner om Selgheds (2011). Lärarna ger uttryck för att betygen innebär
en skillnad i kunskapskvalitet mellan de olika betygsstegen och på liknande sätt som Selghed
(2011) beskriver man en progression från E där tyngdpunkten ligger på fakta – i matematik
inövade beräkningsprocedurer - och i andra hand förståelse och analys och för betyget A är
32
analysförmågan i fokus tillsammans med fakta och förståelse. För betyget E måste eleven
kunna beskriva, exemplifiera och föra enkla resonemang. För betyget A kunna förklara, visa
på samband, generalisera och föra välutvecklade resonemang. Hos någon lärare finns
antydningar om en syn som mer påminner om den som Nordgren m fl (2012) ger uttryck för,
nämligen att betyget E inte innebär enkla återgivande av fakta, betyget C inte förståelse och
betyget A inte analyserande resonemang. Alla betygsnivåer kräver färdigheter inom alla delar.
En lärare med längre erfarenhet beskrev sitt upplägg av proven på ett sätt som är snarlikt
hur nationella proven är uppbyggda. Denna lärares prov var ofta uppdelade i två delar – en då
räknare och formelsamling inte är tillåten och en där dessa är tillåtna som hjälpmedel. Så är
nationella provet och de flesta matematiklärares prov uppbyggda. Det som var unikt var att
han inte bara beskrev en nivågruppering, utan att varje uppgift kunde ge E-, C- och/eller A-
poäng, precis som uppgifterna på nationella provet.
Svaren på frågorna i första frågeformuläret skiljer sig inte åt mellan olika lärare beroende,
på kön, ämnesbehörighet, vilka kurser man undervisar i, eller vilka program man undervisar
på. Svaren skiljer sig inte heller beroende på om man verkade på en stor eller liten
gymnasieskola.
4.4 Resultat av andra frågeformuläret
I det andra frågeformuläret (se bilaga 4) ombads lärarna att för tio olika uppgifter om bråk
ange om var och en av dessa är en uppgift på grundläggande nivå eller avancerad nivå, och
vilken av de sju förmågorna uppgiften mäter färdigheterna i. Inspiration till uppgifterna
hämtades från fyra olika läroböcker i matematik 1b för gymnasieskolan, digital uppgiftsbank
till en av dessa läroböcker samt nationellt prov i matematik 1b. Baserat på hur de olika
källorna klassificerade uppgifterna konstruerades uppgifter som kontrollerade olika förmågor
och som var på grundläggande nivå eller avancerad. Bland de tio uppgifterna fanns sex av
förmågorna representerade - Begrepp, Procedur, Metod, Tolkning, Resonemang och
Kommunikation. Den enda förmågan som inte fanns representerad bland uppgifterna var
Relevans. 8 uppgifter var grundläggande och en uppgift var på avancerad nivå. För att göra
det hela svårare var en uppgift på mellannivå. Två lärare svarade på andra frågeformuläret.
Båda hade längre erfarenhet som lärare.
Den ena läraren svarade att samtliga tio uppgifter var på grundläggande nivå och att de alla
behandlade förmågan Procedur. Den andre läraren svarade att fyra av uppgifterna behandlade
förmågan Begrepp på grundläggande nivå. Två av uppgifterna behandlade förmågorna
33
Begrepp och Procedur på grundläggande nivå. Två av uppgifterna behandlade förmågorna
Begrepp, Procedur och Metod på grundläggande nivå. En uppgift behandlade förmågorna
Begrepp, Procedur, Metod och Tolkning på grundläggande nivå. Till sist svarade läraren att
en av uppgifterna behandlade förmågan Begrepp på grundläggande nivå samt förmågorna
Procedur och Metod på avancerad nivå.
Övriga tre lärare valde av olika skäl att inte svara på det andra frågeformuläret.
Gemensamt i motiveringen av varför man inte svarade på frågeformuläret var att en
kompetent matematiklärare kan bedöma elevernas matematiska förmåga utan att blanda in de
sju förmågorna som anges i ämnesplanen för matematikämnet. Ett ord som återkom var
”flum”.
4.5 Resultatanalys av andra frågeformuläret
Det andra frågeformuläret syftade till att undersöka om lärare på ett sådant enkelt område
inom matematiken som bråk kunde avgöra vilken förmåga som var och en av uppgifterna
mäter färdigheterna i och om de var på grundläggande nivå eller avancerad nivå. Bråk
introduceras inom matematiken redan i grundskolans första årskurser. I kursplanen för
matematikämnet anges i centralt innehåll för årskurs 1-3 bland annat (Skolverket, 2011, s 63):
Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla bråk samt hur
enkla bråk förhåller sig till naturliga tal.
Hänsyn till matematikämnets sju förmågor togs inte av alla lärare, trots att riktlinjerna är
tydliga: ”Undervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla
förmåga att…” (Skolverket, 2011, s 90) varefter de sju förmågorna listas och beskrivs. I första
frågeformuläret beskrev lärare med kortare erfarenhet i större utsträckning att de strävade att
alla sju förmågorna skulle finnas representerade på proven, men med tanke på svaren tycks
vissa lärare tycka att förmågorna är ”flum” och slöseri med tid. Detta ligger i linje med vad
forskning har visat (Nordgren m fl, 2012), nämligen att innehållet ligger i fokus, istället för
förmågorna. Det leder till att undervisningen ger eleverna för lite träning i de olika förmå-
gorna och därför är dåligt förberedda för det nationella provet. Den attityd till förmågorna
som lärarna ger uttryck för genom att svara att dessa är ”flum” innebär att alla sju förmågorna
riskerar att inte finnas representerade i provet. Proven får bristande giltighet eftersom allt
väsentligt – såsom alla sju förmågorna – inte finns representerat på proven (Linde, 2003).
34
4.6 Resultatsammanfattning
Svaren på första frågeformuläret var alltid korta, men efter en analys huruvida de
medverkande kan kategoriseras efter idealtyper (Svenning, 2003) visade det sig att man kunde
finna likheter i svaren beroende på lärares erfarenhet, vilket framför allt visade sig i att lärare
med kortare erfarenhet i större utsträckning hänvisade till styrdokumenten. Alla fem
deltagande lärare hade en klar egen bild av vad som karaktäriserar prestationerna hos elever
med grundläggande respektive avancerade kunskaper i matematik, men även här skiljde sig
svaren åt beroende på erfarenhet.
Bara två av de fem deltagande lärarna svarade på andra frågeformuläret som handlade om
att kategorisera tio olika matematikuppgifter utifrån om de ansågs vara på grundläggande nivå
eller avancerad nivå, och vilken av de sju förmågorna uppgiften mäter färdigheterna i. En
lärare bedömde att en uppgift innehöll förmågan Begrepp på grundläggande nivå och
förmågorna Procedur och Metod på avancerad nivå kan sägas prickat rätt då denna avsågs
vara ett exempel på en uppgift på avancerad nivå. Uppgiften som avsågs vara en uppgift på
mellannivå menade läraren var en uppgift som innehöll förmågorna Begrepp, Procedur och
Metod på grundläggande nivå. Överhuvudtaget stämde denna lärares bedömning av vilka
förmågor respektive uppgift innehöll nästan exakt med hur källorna till uppgifterna hade
klassificerat dem. Detta behöver inte på något sätt innebära att den läraren ger en mer varierad
undervisning med träning i alla sju förmågorna än läraren som menade att alla tio uppgifterna
var exempel på förmågan Procedur. Jag tillåter mig dock att påstå att båda dessa lärare ger
eleverna bättre träning i de sju förmågorna och därmed bland annat bättre förberedelse inför
nationella proven än lärare som menar att de sju förmågorna är ”flum”.
Sammantaget har undersökningen gett svar på hur några lärare erfar kunskapsbegreppet.
Eftersom lärarna använder kursplanernas kunskapsmål och ämnesplanens sju förmågor i olika
utsträckning gav inte undersökningen en lika fullständig bild av hur styrdokumenten erfars.
Istället framskymtade en bild av att lärare med kortare erfarenhet använde dessa som viktiga
stöd i undervisningen och kunskapsbedömningen, medan lärare med längre erfarenhet i större
utsträckning planerade sin undervisning och gjorde sin kunskapsbedömning baserat på sin
erfarenhet.
35
5. Slutsats och diskussion
5.1 Metoddiskussion
Att undersöka något man är genuint intresserad av innebär en risk. Intresset gör att man har
skaffat sig en förkunskap som format åsikter, som riskerar påverka resultaten. Redan från
början fanns givetvis ambitionen att vara så objektiv och neutral som det är möjligt i samband
med undersökningen. Att undersökningen varit en surveyundersökning där frågorna har
mejlats till deltagarna är därför en fördel. Frågorna har varit desamma till alla och det finns
ingen risk för avvikande följdfrågor som färgar resultaten. Det upplevdes också nödvändigt då
de som fick frågeformulär mejlade till sig kände till mig sedan tidigare. Vid en personlig
intervju kan det finnas en risk att viss information utelämnas eller på något sätt blir
förvanskad. Anledningen till att jag valde personer som kände till mig för min undersökning
var att detta troddes öka svarsfrekvensen. En annan anledning var tidsaspekten då personliga
intervjuer är betydligt mer tidsödande både vid genomförandet men även i samband med
analysen.
Endast fem deltagare i undersökningen gör att det inte är möjligt att göra några
generaliseringar eller dra några generella slutsatser. Syftet har inte heller varit det, utan
snarare att väcka frågor som en större undersökning kan ge svar på.
5.2 Resultatdiskussion och slutsatser
När jag planerade mitt examensarbete och frågeformulären fanns en dold avsikt med att välja
matematik 1b och något så basalt som bråk för andra frågeformuläret, nämligen att det är
oerhört svårt att avgöra vilken förmåga en uppgift mäter kunskapen i och även vilken
kvalitativ kunskapsnivå denna är på. Jag tror att det hade varit mycket enklare att avgöra
kvalitativ kunskapsnivå, men även förmåga, om uppgifterna till exempel hade gällt centrala
innehållet ”Algebraiska och grafiska metoder för lösning av extremvärdesproblem inklusive
teckenstudium och andraderivatan.” i kursplanen för matematik 3c (Skolverket, 2011, sidan
121) och som även återkommer i kursplanen för matematik 3b.
Tre av lärarna som deltog i undersökningen valde att inte svara på det andra
frågeformuläret. De tre lärarna var den med allra längst erfarenhet och de två med kortast
36
erfarenhet. Det gör det svårt att utifrån materialet som finns att tillgå göra en riktig analys om
orsakerna. Gemensamt för svaren är att de sju förmågorna är ”flum” och ”slöseri med tid”.
Varför är de sju förmågorna ”flum”? Varför betraktas inte dessa som en hjälp att göra en
likvärdig och rättvis bedömning av eleverna? Är det för att det är begrepp som är svåra att
konkretisera? Är det för att man inte tagit sig tid att reflektera över begreppen och att de
därför förefaller vara ”flum”? Detta överlåter jag till vidare undersökningar.
Om man jämför hur de två lärare som trots allt kategoriserade uppgifterna i andra
frågeformuläret efter förmåga och kunskapsnivå ser man att lärarna inte är ense. Läraren som
ansåg att samtliga uppgifter var på grundläggande nivå höll alltså inte med om att två
uppgifter inte var på grundläggande nivå. Förklaringen kan vara att eftersom bråk
introduceras redan i grundskolans första årskurser och att läraren därför bedömde att eleverna
borde vara så välbekanta med dessa att ingen av uppgifterna är på avancerad nivå. Mycket
riktigt så behandlas bråk som enbart repetition i en av läroböckerna som jag tittat i då jag
konstruerade uppgifterna till frågeformuläret. Författarna till denna tycks mena att detta inte
är något som eleverna ska lära sig i kursen Matematik 1b, utan bara friska upp minnet kring. I
de tre andra läroböckerna görs en mer genomgripande genomgång av bråk där detta inte heller
betraktas som enbart repetition. Dessa böcker har framför allt betydligt fler uppgifter för
eleverna att räkna.
Slutsatsen från denna undersökning är att lärare med längre erfarenhet i mindre
utsträckning än lärare med kortare erfarenhet utgår från formuleringar i riktlinjerna då man
planerar sin undervisning, konstruerar prov samt gör bedömningar och sätter betyg. Troligtvis
anses lärare med längre erfarenhet vara bättre pedagoger och bättre på att göra kunskaps-
bedömningar, just på grund av sin erfarenhet. Sammantaget visar det sig dock att inga lärare
oavsett erfarenhet fullt ut hänvisar till kunskapsmålen i sin bedömning. Bedömningen baseras
ibland enbart på ”tyst kunskap” om vad goda kunskaper i matematik är, inte vad
styrdokumenten säger.
Både provens form och innehåll påverkar elevernas syn på lärandet (Nordgren m fl, 2012).
Proven signalerar vad läraren anser är viktig kunskap i ämnet och eleverna anpassar sin
lärstrategi efter detta. Det är troligt att samma elever hade uppfattat kunskapskraven olika
beroende på vilken av de fem lärare som svarade på frågeformulären som man hade som
matematiklärare. Kursen är densamma, med samma centrala innehåll och kunskapskrav, men
som elev får man olika kurs beroende på lärare – inte enbart på grund av att kursplanerna ger
utrymme för egna tolkningar och möjlighet att lägga tyngdpunkten på olika moment, utan
37
även beroende på i vilken utsträckning läraren låter sin undervisning och sin bedömning
påverkas av styrdokumenten.
Vissa lärare ger uttryck för att nationella proven inte är tillräckligt bedömningsstöd. I
sammanhanget bör påminnas om att flera studier har visat att resultaten på nationella prov och
internationella kunskapsmätningar skiljer sig från betygsutfallet. Denna skillnad är särskilt
stor i matematik (Stenhag, 2010). Mest anmärkningsvärt tycker jag är att det i just matematik
är en så stor andel som får högre kursbetyg än provbetyg och att nästan ingen får lägre
kursbetyg än provbetyg, eftersom det är i just matematik Sverige dalar i internationella
kunskapsmätningar. En lärare gav uttryck för att han endast i undantagsfall sätter ett lägre
kursbetyg än provbetyg. Andra nämner att om en elev på nationella provet visar att hans eller
hennes kunskapsnivå i kursens slut är på en högre nivå än vad läraren har bedömt utifrån sina
egna prov får eleven ett högre kursbetyg, oftast provbetyget. Man undviker att redogöra för
hur man bedömer en elev som på lärarens egna prov får högre betyg än på nationella provet.
Detta antyder att nationella provet endast kan höja kursbetyget.
Lärarna svarade alla att omdömet på provet bestod av poäng och betyg, men ingen uppgav
om de gav provbetyg efter hela betygsskalan A-F eller om de bara gav betygen A, C, E och F.
Så som betygen B och D beskrivs, bland annat i Betygsskalan och betygen B och D – en
handledning (Skolverket, 2012) ska lärarens bedömningsunderlag baseras på kunskapskraven
för betygen A, C och E, och inte förrän ett kursbetyg ska sättas gör man avvägningen om en
elev till exempel ska ha betyget E eller D. Betyget D innebär att kunskapskraven för betyget E
och till övervägande del för C är uppfyllda (Skolverket, 2011).
5.3 Pedagogiska implikationer
Inte någon av lärarna i undersökningen ger uttryck för alternativa kunskapskontroller såsom
den i litteraturen så ofta omnämnda portföljmetoden. Även i matematik på gymnasienivå
skulle man kunna tänka sig portföljmetoden som en del i kunskapsbedömningen. Det kan vara
lite större komplexa problem som elever var för sig eller i samarbete med varandra löser. Med
större kunskap i matematik ges nya sätt att lösa samma uppgift på. Man kan även
vidareutveckla uppgiftens problemformulering eller lägga till deluppgifter. Faktum är att
nationella provets muntliga del i vissa kurser varit en variant på detta. Varje elev får en
uppgift som han eller hon får diskutera och lösa i samarbete med andra. Därefter ska varje
enskild elev redovisa sin lösning muntligt och förklara hur han eller hon tänkt. Denna typ av
uppgift skulle lärarna själva kunna ha som en del i sitt bedömningsunderlag. I läroböckerna
38
finns oftast just denna typ av uppgifter, men dessa är på sidor med avvikande färg så de
hoppas raskt över.
Öppna frågor skulle också kunna användas i större utsträckning i matematik. Min
upplevelse är dock att eleverna inte är vana vid öppna frågor från grundskolan, oavsett ämne.
Inte heller att poängen som anges vid en uppgift inte ger en ledtråd om den kvantitet som
krävs för ”full pott”. Eleverna tolkar till exempel tre poäng på en fråga som att det är tre saker
de ska räkna upp för ”full pott” och räknar upp bara tre saker, även om de kan tre till och även
om de kan koppla ihop alla sex till ett samband. I matematik tycks elever också vana från
grundskolan att ”svåra” uppgifter ger fler poäng än ”enkla”. Eleverna är alltså inte alls vana
vid den provkonstruktion som Nordgren m fl (2012) förespråkar. Eftersom kunskapssynen i
skolan handlar om en progression mot kvalitativt högre kunskapsnivå, inte om kvantitet,
gäller det att i sin poängsättning inte hamna i fällan att en uppgift som avhandlar ett enkelt
moment som innehåller mycket fakta eller ägnats lång tid inte ger fler poäng på provet än ett
moment som kräver djupare förståelse, flera matematiska förmågor eller helt enkelt kvalitativt
mer avancerad kunskap. Här är nationella provens E-, C- och A-poäng ett bra alternativ för att
kunna göra gränsdragningar mellan de många betygsstegen.
5.4 Avslutande reflektioner och förslag till fortsatt forskning
Den främsta anledningen till den nya betygsskalan med fem godkända betyg är att man ville
synliggöra kunskapsutvecklingen bättre och på så vis öka tydligheten i informationen till
elever och vårdnadshavare (SOU 2008/09:66). Jag håller dock med Selghed (2011) att så
många betygssteg som finns i nuvarande betygssystem ger fler gränsdragningsproblem och
gör det svårare att sätta ett korrekt betyg. Om det skulle visa sig i en större studie att lärare på
varje enskilt prov ger omdöme efter hela betygsskalan, vad innebär då till exempel
provbetygen E, E, D, D för kursbetyg? Talar man om starka E:n och svaga D:n i kursbetyg?
Är det här nationella provet kommer in som ett bedömningsstöd och som ska avgöra om det
tippar åt ena eller andra hållet?
Detta examensarbete ger antydningar till svar på många frågor. För att få mer exakta och
definitiva svar på de många frågorna skulle man kunna utvidga detta examensarbete till en
större studie. Detta examensarbete har en ganska bred frågeställning, så i en större studie där
man djupintervjuade lärare kunde man fokusera på en av detta examensarbetes
frågeställningar:
39
Hur är matematiklärares skriftliga prov konstruerade avseende till exempel
uppgiftstyper, nivågruppering och förmågorna i ämnesplanen?
Använder lärare andra kunskapskontroller såsom muntliga prov och portföljmetoden för
att uppfylla riktlinjen om att ”allsidigt utvärdera varje elevs kunskaper”?
Hur används nationella prov som bedömningsstöd och påverkar nationella provs
innehåll och konstruktion de egna proven?
Beskriver lärare prestationen hos en elev med grundläggande kunskaper i matematik
respektive avancerad kunskap utifrån kunskapskraven eller hur görs annars
kunskapsbedömningen av eleverna?
För min egna personliga del skulle jag i framtiden gärna studera lärares provkonstruktion i
matematik djupare och hur man motiverar provformen och provinnehållet för att göra en
kunskapsbedömning.
40
Källförteckning
Emanuelsson, Jonas (2001). En fråga om frågor. Hur lärares frågor i klassrummet gör det
möjligt att få reda på elevernas sätt att förstå det som undervisningen behandlar i
matematik och naturvetenskap. Diss. Göteborgs Universitet.
Korp, Helena (2003). Kunskapsbedömning – hur vad och varför. Stockholm: Myndigheten
för skolutveckling.
Linde, Göran (2003). Kunskap och betyg. Lund: Studentlitteratur.
Nordgren, Kenneth, Odenstad, Christina & Samuelsson, Johan (2012). Betyg i teori och
praktik. Ämnesdidaktiska perspektiv på bedömning i grundskola och gymnasium. Malmö:
Gleerups.
http://www.prim.su.se/matematik/kurs_1/seminarium/presentation_skolforum.pdf
PRIM-gruppen http://www.prim-gruppen.se/
Selghed, Bengt (2011). Betygen i skolan – kunskapssyn, bedömningsprinciper och
läropraxis. Stockholm: Liber.
Selghed, Bengt (2004). Ännu icke godkänt. Lärares sätt att erfara betygssystemet och dess
tillämpning i yrkesutövningen. Diss. Malmö Högskola.
Skolverket (2011). Gymnasieskola 2011. Stockholm: Skolverket.
Skolverket (2011). Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen för
gymnasieskola 2011. Stockholm: Skolverket.
Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011.
Stockholm: Skolverket.
Skolverket (2012). Betygsskalan och betygen B och D – en handledning. Stockholm:
Skolverket.
Skolverket (2013). Relationen mellan nationella kursprov och kursbetyg. SIRIS
Skolverket http://www.skolverket.se/kursplaner-och-betyg/betyg/att-satta-
betyg/2.6281/betyg-i-gymnasieskolan-1.182171
(SOU 2008/09:66): En ny betygsskala. Stockholm: Utbildningsdepartementet.
Stenhag, Staffan (2010). Betyget i matematik. Vad ger grundskolans matematikbetyg för
information? Diss. Uppsala Universitet.
Svenning, Conny (2003). Metodboken. Eslöv: Lorentz Förlag.
Uljens, Michael (red) (1997). Didaktik. Lund: Studentlitteratur.
Vetenskapsrådet (2011). God forskningsed. Stockholm: Vetenskapsrådet.
41
Bilagor
Bilaga 1: Centralt innehåll för kursen Matematik 1b
Taluppfattning, aritmetik och algebra
Egenskaper hos mängden av heltal, olika talbaser samt begreppen primtal och delbarhet.
Metoder för beräkningar inom vardagslivet och karaktärsämnena med reella tal skrivna på
olika former inklusive potenser med heltalsexponenter samt strategier för användning av
digitala verktyg.
Hantering av algebraiska uttryck och för karaktärsämnena relevanta formler.
Begreppet linjär olikhet.
Algebraiska och grafiska metoder för att lösa linjära ekvationer och olikheter samt
potensekvationer.
Geometri
Begreppet symmetri och olika typer av symmetriska transformationer av figurer i planet samt
symmetriers förekomst i naturen och i konst från olika kulturer.
Representationer av geometriska objekt och symmetrier med ord, praktiska konstruktioner och
estetiska uttryckssätt.
Matematisk argumentation med hjälp av grundläggande logik inklusive implikation och
ekvivalens samt jämförelser med hur man argumenterar i vardagliga sammanhang och inom
olika ämnesområden.
Illustration av begreppen definition, sats och bevis, till exempel med Pythagoras sats och
triangelns vinkelsumma.
Samband och förändring
Fördjupning av procentbegreppet: promille, ppm och procentenheter.
Begreppen förändringsfaktor och index samt metoder för beräkning av räntor och amorteringar
för olika typer av lån.
Begreppen funktion, definitions- och värdemängd samt egenskaper hos linjära funktioner och
potens- och exponentialfunktioner.
Representationer av funktioner, till exempel i form av ord, gestaltning, funktionsuttryck, tabeller
och grafer.
Skillnader mellan begreppen ekvation, algebraiskt uttryck och funktion.
Sannolikhet och statistik
Granskning av hur statistiska metoder och resultat används i samhället och inom vetenskap.
Begreppen beroende och oberoende händelser samt metoder för beräkning av sannolikheter vid
slumpförsök i flera steg med exempel från spel och risk- och säkerhetsbedömningar.
Problemlösning
Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg.
Matematiska problem av betydelse för privatekonomi, samhällsliv och tillämpningar i andra
ämnen.
Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.
42
Bilaga 2: Kunskapskrav för kursen Matematik 1b
Betyget E
Eleven kan översiktligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer
samt översiktligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med viss säkerhet
mellan olika representationer. Eleven kan med viss säkerhet använda begrepp och samband mellan
begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena i bekanta
situationer. I arbetet hanterar eleven några enkla procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär
med viss säkerhet, både utan och med digitala verktyg.
Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av enkel karaktär. Dessa problem
inkluderar ett fåtal begrepp och kräver enkla tolkningar. I arbetet gör eleven om realistiska
problemsituationer till matematiska formuleringar genom att tillämpa givna matematiska modeller.
Eleven kan med enkla omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier och
metoder.
Eleven kan föra enkla matematiska resonemang och värdera med enkla omdömen egna och andras
resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven
med viss säkerhet i tal, skrift och handling med inslag av matematiska symboler och andra
representationer.
Genom att ge exempel relaterar eleven något i kursens innehåll till dess betydelse inom andra ämnen,
yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra enkla resonemang
om exemplens relevans.
Betyget D
Betyget D innebär att kunskapskraven för E och till övervägande del för C är uppfyllda.
Betyget C
Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer
samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med viss säkerhet
mellan olika representationer. Eleven kan med viss säkerhet använda begrepp och samband mellan
begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena. I arbetet
hanterar eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet, både utan
och med digitala verktyg.
Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem. Dessa problem inkluderar flera
begrepp och kräver avancerade tolkningar. I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till
matematiska formuleringar genom att välja och tillämpa matematiska modeller. Eleven kan med
enkla omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier, metoder och
alternativ till dem.
Eleven kan föra välgrundade matematiska resonemang och värdera med nyanserade omdömen egna
och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom
uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal, skrift och handling samt använder matematiska symboler
och andra representationer med viss anpassning till syfte och situation.
Genom att ge exempel relaterar eleven något i några av kursens delområden till dess betydelse inom
andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra
välgrundade resonemang om exemplens relevans.
Betyget B
Betyget B innebär att kunskapskraven för C och till övervägande del för A är uppfyllda.
Betyget A
Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av flera representationer
samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med säkerhet mellan
olika representationer. Eleven kan med säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för
att lösa komplexa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena. I arbetet hanterar
eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet och på ett effektivt
sätt, både utan och med digitala verktyg.
43
Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av komplex karaktär. Dessa problem
inkluderar flera begrepp och kräver avancerade tolkningar. I problemlösning upptäcker eleven
generella samband som presenteras med symbolisk algebra. I arbetet gör eleven om realistiska
problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja, tillämpa och anpassa matematiska
modeller. Eleven kan med nyanserade omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller,
strategier, metoder och alternativ till dem.
Eleven kan föra välgrundade och nyanserade matematiska resonemang, värdera med nyanserade
omdömen och vidareutvecklar egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och
välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven med säkerhet i tal, skrift och i handling samt
använder matematiska symboler och andra representationer med god anpassning till syfte och
situation.
Genom att ge exempel relaterar eleven något i några av kursens delområden till dess betydelse inom
andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra
välgrundade och nyanserade resonemang om exemplens relevans.
44
Bilaga 3: Första frågeformuläret till lärarna
Frågeformulär 1 (2)
Detta är det första frågeformuläret till mitt examensarbete med rubriken ”Vilka är
kunskapsskillnaderna hos elever med betyget A och E i matematik?” Vänligen besvara
nedanstående frågor efter bästa förmåga. Besvara gärna frågorna direkt i den här filen
och returnera därefter den som en bilaga i ett mejl till [email protected]. Syftet
med hela undersökningen är att undersöka hur lärare uppfattar de sju förmågorna som
anges i kursplanen för matematikämnet och hur kunskapskraven i kursen Matematik
1B uppfattas, samt hur lärare går till väga i sin provkonstruktion för att kunna göra en
bedömning av kunskapsskillnaderna mellan högt (A) och lågt (E) betyg. Frågorna i
detta frågeformulär handlar om hur bedömningsunderlaget för betygssättningen ser ut.
Kön:
Ålder:
Antal verksamma år som lärare:
Behörig lärare i ämnena:
Undervisar denna termin i kurserna:
Undervisar denna termin på programmen:
Nedanstående frågor gäller bedömning och betygssättning i matematik generellt!
I matematik är skriftliga prov den allra vanligaste bedömningsformen. Beskriv hur dina
skriftliga prov är utformade.
I vilken form ges omdömen på skriftliga prov?
Vilka andra kunskapskontroller utöver skriftliga prov utgör bedömningsunderlaget?
På vilket sätt används nationella provet som bedömningsstöd?
Försök att med egna ord beskriva vad som karaktäriserar prestationen hos en elev med
grundläggande kunskaper i matematik respektive avancerad kunskap.
45
Bilaga 4: Andra frågeformuläret till lärarna
Frågeformulär 2 (2)
Detta är det andra och sista frågeformuläret till mitt examensarbete med rubriken
”Vilka är kunskapsskillnaderna hos elever med betyget A och E i matematik?” Vänligen
besvara nedanstående frågor efter bästa förmåga. Besvara gärna frågorna direkt i den
här filen och returnera därefter den som en bilaga i ett mejl till [email protected].
Syftet med hela undersökningen är att undersöka hur lärare uppfattar de sju
förmågorna som anges i kursplanen för matematikämnet och hur kunskapskraven i
kursen Matematik 1B uppfattas, samt hur lärare går till väga i sin provkonstruktion för
att kunna göra en bedömning av kunskapsskillnaderna mellan högt (A) och lågt (E)
betyg. Frågorna i detta frågeformulär handlar om vad lärare uppfattar karakteriserar
uppgifter som kontrollerar färdigheten i de sju förmågorna och även vad som
karakteriserar en uppgift på grundläggande nivå och avancerad nivå.
I ämnet matematik på gymnasiet anges ju sju förmågor som undervisningen ska ge
eleverna förut-sättningar att utveckla nämligen:
1. använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen.
2. hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg.
3. formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och
resultat.
4. tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en
modells egenskaper och begränsningar.
5. följa, föra och bedöma matematiska resonemang.
6. kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling.
7. relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt,
samhälleligt och historiskt sammanhang.
I kunskapskraven för betyget E anges:
Eleven kan översiktligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer
samt översiktligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med viss säkerhet
mellan olika representationer. Eleven kan med viss säkerhet använda begrepp och samband mellan
begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena i bekanta
situationer. I arbetet hanterar eleven några enkla procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär
med viss säkerhet, både utan och med digitala verktyg.
Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av enkel karaktär. Dessa problem
inkluderar ett fåtal begrepp och kräver enkla tolkningar. I arbetet gör eleven om realistiska
problemsituationer till matematiska formuleringar genom att tillämpa givna matematiska modeller.
Eleven kan med enkla omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier och
metoder.
Eleven kan föra enkla matematiska resonemang och värdera med enkla omdömen egna och andras
resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven
med viss säkerhet i tal, skrift och handling med inslag av matematiska symboler och andra
representationer.
46
Genom att ge exempel relaterar eleven något i kursens innehåll till dess betydelse inom andra ämnen,
yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra enkla resonemang
om exemplens relevans.
För betyget A:
Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av flera representationer
samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med säkerhet mellan
olika representationer. Eleven kan med säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för
att lösa komplexa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena. I arbetet hanterar
eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet och på ett effektivt
sätt, både utan och med digitala verktyg.
Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av komplex karaktär. Dessa problem
inkluderar flera begrepp och kräver avancerade tolkningar. I problemlösning upptäcker eleven
generella samband som presenteras med symbolisk algebra. I arbetet gör eleven om realistiska
problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja, tillämpa och anpassa matematiska
modeller. Eleven kan med nyanserade omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller,
strategier, metoder och alternativ till dem.
Eleven kan föra välgrundade och nyanserade matematiska resonemang, värdera med nyanserade
omdömen och vidareutvecklar egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och
välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven med säkerhet i tal, skrift och i handling samt
använder matematiska symboler och andra representationer med god anpassning till syfte och
situation.
Genom att ge exempel relaterar eleven något i några av kursens delområden till dess betydelse inom
andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra
välgrundade och nyanserade resonemang om exemplens relevans.
I kursplanen för kursen Matematik 1b anges under rubriken centralt innehåll bland
annat:
Egenskaper hos mängden av heltal, olika talbaser samt begreppen primtal och delbarhet.
Nedan finns tio exempel på matematikuppgifter inom ovan angivna centrala innehåll.
Försök kategorisera dem efter vilken eller vilka förmågor dessa mäter och huruvida
uppgiften kan anses som grundläggande (omdöme E) eller avancerad (omdöme A). Du
måste välja det ena eller det andra. Markera också på respektive uppgift vilken förmåga
denna är exempel på. Här kan du välja flera. Använd tabellen nederst på sidan. Det
finns inget facit, utan det är bara din åsikt som räknas.
47
1. Vilket bråk är störst?
eller
2. Bestäm det bråk som är hälften av
3. Beräkna +
4. Vilket är mest av 60 kr eller av 50 kr?
5. Beräkna
6. Vilket bråk är hälften av två sjundedelar
7. I ett naturreservat är 3/5 täckt av skog. 2/3 av skogen är lövskog.
Är det sant att mer än 1/3 av naturreservatet är täckt av lövskog?
8. I en klass med 30 elever kom en dag två femtedelar för sent till dagens första lektion.
Hur många kom i tid?
9. Ange ett bråktal som ligger mitt emellan
och
10. Anton satsade 30 kr, Britta satsade 40 kr och Carl 50 kr på samma lottokupong. Hur
ska en vinst på 960 kr fördelas?
Uppgift
Förmåga 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1. BEGREPP A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E
2. PROCEDUR A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E
3. METOD A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E
4. TOLKNING A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E
5. RESONEMANG A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E
6. KOMMUNIKATION A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E
7. RELEVANS A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E
Top Related