Hur erfar l¤rare kunskapsskillnaderna hos elever med betyget A och E i matematik p¥ gymnasiet?

Malmö högskola Fakulteten för lärande och

samhälle

VAL-projektet

Examensarbete 15 högskolepoäng - Grundnivå

Hur erfar lärare kunskapsskillnaderna hos

elever med betyget A och E i matematik

på gymnasiet?

How experience teachers the knowledge gaps among students

with grade A and E in mathematics in upper secondary school?

Robert Korán

Lärarutbildning 90hp Handledare: Ange handledare

Slutseminarium 2013-06-18

Examinator: Anna-Karin Svensson

Handledare: Therese Vincenti

Malmgren

3

Till min dotter Felicia.

5

Sammanfattning

Examensarbetets övergripande syfte är att utreda på vilka sätt det är kvalitativa

kunskapsskillnader mellan elever med höga och låga betyg i grundläggande matematikkurser

på gymnasiet och hur lärare mäter kunskapen för att finna denna skillnad. Hur tolkas

kunskapsmålen av lärare och hur går man tillväga för att avgöra på vilken nivå en elev

befinner sig kunskapsmässigt? Hur gör lärare för att avgöra om alla elever oavsett

kunskapsnivå har tillräckliga färdigheter i alla sju förmågorna som anges i ämnesplanen för

matematik?

Vid metodvalet vägdes framför allt tidsaspekten in utöver vilken metod som troddes ge

bäst bidrag till examensarbetet. Två frågeformulär konstruerades som därefter mejlades till ett

antal lärare. Det första frågeformuläret kan sägas vara en surveyundersökning då frågorna är

exakt likadant formulerade till alla, men eftersom frågorna är öppna och inga statistiska

principer för urvalet använts är formuläret mer åt det kvalitativa hållet. Det första

frågeformulärets kärna är hur de olika lärarnas bedömningsunderlag ser ut. En beskrivning av

vad som karakteriserar prestationen hos en elev med grundläggande kunskaper i matematik

respektive avancerad kunskap efterfrågades också. I det andra frågeformuläret ombads lärarna

att för tio olika uppgifter om bråk ange om var och en av dessa är en uppgift på

grundläggande nivå eller avancerad nivå, och vilken av de sju förmågorna uppgiften mäter

färdigheterna i.

Resultaten från denna undersökning visar att lärare med längre erfarenhet i mindre

utsträckning än lärare med kortare erfarenhet utgår från formuleringar i riktlinjerna då man

planerar sin undervisning, konstruerar prov samt gör bedömningar och sätter betyg.

Sammantaget visar det sig dock att inga lärare oavsett erfarenhet fullt ut hänvisar till

kunskapsmålen i sin bedömning. Lärarna uppfyller inte heller riktlinjernas krav om att

allsidigt utvärdera varje elevs kunskap. En del lärare visade sig helt strunta i de sju

förmågorna då man bedömer de matematiska färdigheterna hos eleverna.

Nyckelord: bedömning, betyg, matematik, provkonstruktion, riktlinjer

7

Innehållsförteckning

Sammanfattning ......................................................................................................................... 5

Innehållsförteckning ................................................................................................................... 7

1. Inledning ................................................................................................................................. 9

1.1 Bakgrund .......................................................................................................................... 9

1.2 Syfte och frågeställningar ............................................................................................... 10

1.3 Avgränsningar ................................................................................................................ 10

2. Kunskapsbakgrund ............................................................................................................... 11

2.1 Den svenska skolans kunskapssyn ................................................................................. 11

2.2 Betygsystemet ................................................................................................................ 12

2.3 Matematiken i gymnasieskolan ...................................................................................... 13

2.4 Vad är goda matematikkunskaper? ................................................................................ 15

2.5 Provkonstruktion och kunskapsbedömning ................................................................... 19

2.6 Nationella provets konstruktion ..................................................................................... 23

2.7 Nationella provet som bedömningsstöd ......................................................................... 25

2.8 Teoretiskt perspektiv ...................................................................................................... 26

3. Metod ................................................................................................................................... 27

3.1 Metodval ......................................................................................................................... 27

3.2 Urval ............................................................................................................................... 27

3.3 Genomförande ................................................................................................................ 28

3.4 Bearbetning och analys .................................................................................................. 28

3.5 Forskningsetiska överväganden ..................................................................................... 28

3.6 Tillförlitlighet ................................................................................................................. 29

4. Resultat och analys ............................................................................................................... 30

4.1 Allmänt ........................................................................................................................... 30

4.2 Resultat av första frågeformuläret .................................................................................. 30

4.3 Resultatanalys av första frågeformuläret ........................................................................ 31

4.4 Resultat av andra frågeformuläret .................................................................................. 32

4.5 Resultatanalys av andra frågeformuläret ........................................................................ 33

4.6 Resultatsammanfattning ................................................................................................. 34

5. Slutsats och diskussion ......................................................................................................... 35

5.1 Metoddiskussion ............................................................................................................. 35

8

5.2 Resultatdiskussion och slutsatser ................................................................................... 35

5.3 Pedagogiska implikationer ............................................................................................. 37

5.4 Avslutande reflektioner och förslag till fortsatt forskning ............................................. 38

Källförteckning ......................................................................................................................... 40

Bilagor ...................................................................................................................................... 41

Bilaga 1: Centralt innehåll för kursen Matematik 1b ........................................................... 41

Bilaga 2: Kunskapskrav för kursen Matematik 1b ............................................................... 42

Bilaga 3: Första frågeformuläret till lärarna ......................................................................... 44

Bilaga 4: Andra frågeformuläret till lärarna ......................................................................... 45

9

1. Inledning

1.1 Bakgrund

Betyg och bedömning är ständigt en källa för debatt och läroplaner, betygssystem och

lärarutbildningen ändras för att möta den kritik som hela tiden finns närvarande. I och med

den senaste gymnasiereformen som började gälla läsåret 2011/12 infördes en ny läroplan för

gymnasieskolan, nya examensmål för gymnasieprogrammen och nya kursplaner (Skolverket,

2011). Till detta fogas ett reviderat betygssystem med fem godkända betyg med nya

kunskapskrav istället för de tidigare betygen MVG, VG och G. Syftet med fler betygssteg är

att man ville synliggöra kunskapsutvecklingen bättre och på så vis öka tydligheten i

informationen till elever och vårdnadshavare (SOU 2008/09:66). Kring betygssystemet finns

en kunskapssyn som inte är förändrad och kunskapsbegreppet delas liksom tidigare in i ”de

fyra F:en” – fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet (Skolverket, 2011). De tidigare

öppna betygskriterierna som varje skolenhet hade som uppgift att konkretisera, har med de

nya kunskapskraven reviderats. Kunskapskraven är mer preciserade, men ändå formulerade i

allmänna ordalag. För varje ämne finns ett syfte formulerat, centralt innehåll beskrivet och

avslutningsvis kunskapskrav. De olika delarna är sammanvävda. Ämnesplanen för matematik

anger sju förmågor – ofta benämnda Begrepp, Procedur, Problemlösning, Modellering,

Resonemang, Kommunikation och Relevans - som alla elever ska behärska för att få godkänt

betyg. De sju förmågorna är samma för alla matematikkurser. Läroplanen ställer också krav

på att allsidigt utvärdera varje elevs kunskaper och att kunskaper som en elev har tillägnat sig

på annat sätt än genom den aktuella undervisningen ska beaktas. Sammantaget innebär

styrdokumenten en komplexitet i bedömningsunderlaget som ska utmynna i ett likvärdigt och

rättvist betyg. Forskning har visat att annat än enbart kunskap vägdes in vid betygssättningen

enligt det gamla betygssystemet (Selghed, 2004). Dagens matematiklärare har striktare

skrivningar i riktlinjerna att luta sig mot vid betygssättningen, men också många fler aspekter

att väga in, vilket kanske gör det ännu svårare än tidigare att avgöra vilka kunskaps-

skillnaderna är hos elever med högsta och lägsta betyg i matematik?

10

1.2 Syfte och frågeställningar

Examensarbetets övergripande syfte är att utreda på vilka sätt lärare erfar kvalitativa

kunskapsskillnader mellan elever med höga och låga betyg i grundläggande matematikkurser

på gymnasiet och hur lärare mäter kunskapen för att finna denna skillnad. Hur tolkas

kunskapsmålen av lärare och hur går man tillväga för att avgöra på vilken nivå en elev

befinner sig kunskapsmässigt? Hur gör lärare för att avgöra om alla elever oavsett

kunskapsnivå har tillräckliga färdigheter i alla sju förmågorna?

1.3 Avgränsningar

Examensarbetet studerar vilka kunskapsskillnaderna enligt lärare är mellan betyget A och E.

Inga jämförelser görs med andra ämnen. Inte heller några mellanliggande betygssteg studeras,

utan för att tydliggöra resultaten tas endast extrembetygen bland de godkända betygen med.

Inte heller studeras frågan om vad mellanbetygen B och D innebär i förhållande till A och C

respektive C och E. För att än mer begränsa stoffet fokuseras på kursen Matematik 1b som

läses av samtliga elever på ekonomiprogrammet, estetiska programmet, humanistiska

programmet och samhällsvetenskapsprogrammet.

11

2. Kunskapsbakgrund

2.1 Den svenska skolans kunskapssyn

Den svenska skolan har vilat på samma kunskapssyn sedan 1994 då utredningen Skola för

bildning presenterades (Nordgren m fl, 2012). Kunskapsbegreppet delas in i ”de fyra F:en”

(Skolverket, 2011):

Fakta

Förståelse

Färdighet

Förtrogenhet

Kunskapsformerna anses vara varandras förutsättningar och samspelar med varandra. En

balans mellan kunskapsformerna ska eftersträvas i skolarbetet eftersom alla fyra är viktiga för

kunskapsbildningen.

Fakta är en teoretisk kvantitativ kunskapsform, det vill säga man har mer eller mindre

kunskap beroende på hur mycket fakta man kan. I denna kunskapsform handlar det om rätt

eller fel, att kunna eller inte kunna. Förståelse är också en teoretisk kunskapsform, men istället

kvalitativ sådan. Man förstår samma fenomen på kvalitativt olika sätt. Fakta och förståelse

hänger intimt ihop och är beroende av varandra. Fakta är förståelsens byggstenar. Man kan

säga att när fakta får en mening har förståelse uppstått. Färdighet är en praktisk

kunskapsform, som kan vara både motorisk och intellektuell. Vi vet hur något ska göras och

klarar också av att göra det, till exempel att lösa en ekvation. Förtrogenhet handlar till

exempel om bedömningar, vi vet eller ”känner” när något ska göras och vad som ska göras.

Ett vanligt begrepp som används för detta är ”tyst kunskap”.

”De fyra F:en” lever kvar även efter skolreformen som började gälla läsåret 2011/12. För

gymnasiearbetet finns dock en annan indelning av kunskapsformerna (Skolverket, 2011):

Fakta och förståelse

Färdigheter

Värderingsförmåga och förhållningssätt

Fakta och förståelse handlar i gymnasiearbetet om att kunna redogöra, beskriva, diskutera och

uppfatta innebörden i något. Färdigheter handlar om att veta hur något kan göras och kunna

12

utföra det. Den sista punkten omfattar alla fyra kunskapsformer (fakta, förståelse, färdighet

och förtrogenhet).

2.2 Betygsystemet

I det betygssystem som började gälla på gymnasiet läsåret 1994/95 gavs betyg i fyra steg - IG

= icke godkänt, G = godkänt, VG = väl godkänt och MVG = mycket väl godkänt. Sedan

läsåret 2011/12 ges betyg i sex steg från A till F, där A är högsta betyget, E är lägsta

godkända betyg och F anger icke godkänt resultat (SOU 2008/09:66). Betygssystemet är alltså

inte nytt, utan bygger på samma kunskapssyn som tidigare och det anges fortfarande mål för

de olika betygsstegen. I betygssystemet som började gälla läsåret 2011/12 anges

kunskapskrav för betygen A, C och E. Däremellan finns betyget B då kunskapskraven för

betyget C ska vara uppfyllda och till övervägande del för A. På samma sätt ska för betyget D

kunskapskraven för E vara uppfyllda och till övervägande del för C. Den främsta anledningen

till den nya betygsskalan är att man ville synliggöra kunskapsutvecklingen bättre och på så vis

öka tydligheten i informationen till elever och vårdnadshavare (SOU 2008/09:66). Fler

betygssteg innebär dock enligt Selghed (2011) fler gränsdragningsproblem.

Den kunskapssyn som gäller i svenska skolan innebär en skillnad i kunskapskvalitet mellan

de olika betygsstegen. Vad kvalitet innebär i detta sammanhang är svårt att få ett klart svar på.

Selghed (2011) menar att för betyget E ligger tyngdpunkten på fakta och i andra hand

förståelse och analys och för betyget C är förståelsen viktigast medan övriga är mindre

framträdande. För betyget A är analysförmågan i fokus tillsammans med fakta och förståelse.

För betyget E måste eleven kunna beskriva, exemplifiera och föra enkla resonemang. För

betyget C måste eleven kunna förklara, visa på samband och föra utvecklande resonemang.

Till sist måste eleven för betyget A kunna förklara, visa på samband, generalisera och föra

välutvecklade resonemang. Nordgren (2012) för ett något annorlunda resonemang. Nordgren

menar att betyget E inte innebär enkla återgivande av fakta, betyget C förståelse och betyget

A analyserande resonemang. Alla betygsnivåer menar han kräver färdigheter inom alla delar.

Betygsstegen är inte hierarkiskt ordnade med början på faktakunskap och avslut på

förtrogenhet.

I en mycket uppmärksammad studie (Selghed, 2004) intervjuade man 30 lärare i olika

ämnen i årskurs nio på grundskolan för att undersöka hur de uppfattade betygssystemet och

hur detta skulle tillämpas i kunskapsbedömningen. Alla 30 lärare gav i intervjuerna uttryck

för att betyget baserades på elevens kunskaper och färdigheter. Det visade sig dock att nästan

13

alla lärare menade att betyget bestod av även andra saker. Åtta av lärarna sa att elevens sätt att

agera i skolarbetet hade betydelse för betyget, det vill säga exempelvis elevens flit och

närvaro på lektionerna. En elev som kämpar hårt kan alltså uppnå ett godkänt betyg utan att

riktigt nå kunskapskraven på grund av just flit. Sju gav uttryck för att eleven som person

spelade roll för betyget, till exempel kunde tysta blyga elever få lägre betyg. Lika många

vägde in skolorganisatoriska aspekter, som vilken årskurs eleven gick i och vilket gymnasie-

program eleven planerade att välja. Lägre betyg gavs i åttan än i nian för att slippa sänka

betyget i nian. Fyra lärare menade att externa krav och förväntningar - såsom krav från

politiker, skolledning och föräldrar - spelade roll för betyget. Till sist spelade lärarens egna

personliga läggning roll för betyget för fyra lärare, som till exempel att ett IG ger merarbete

för läraren och att denne då sätter ett G i betyg för att slippa det. Intervjusvaren blir alltså

sammanlagt många fler än de 30 lärare som deltog, vilket visar att nästan ingen endast vägde

in elevens kunskaper i betyget.

Med betygen G, VG och MVG upplevde lärare att spännvidden inom de olika betygsstegen

var olika stora och även att avståndet mellan betygsstegen var olika långa (Selghed, 2011).

Med de nya betygen A-E framställs ofta avståndet mellan de olika stegen som lika stora.

Betyget E har fått samma meritvärde som det tidigare betyget G, det vill säga 10. Betyget C

har meritvärdet 15, precis som VG, och betyget A har fått samma meritvärde som MVG,

alltså 20. Mellanbetygen D och B har fått meritvärdena 12,5 respektive 17,5.

2.3 Matematiken i gymnasieskolan

I läroplanen för gymnasieskolan som gäller för gymnasiet läsåret 2011/12 inleds

beskrivningen av matematikämnet med att betona dess historiskt långa betydelse som

bildningsämne (Skolverket, 2011). Man menar att matematik ytterst handlar om att upptäcka

mönster och formulera samband. Som ämnets syfte anges bland annat att utveckla elevernas

förmåga att arbeta matematiskt. Det innefattar att förstå matematikens begrepp och metoder

samt att utveckla olika strategier för att kunna lösa matematiska problem. Sju förmågor som

undervisningen ska ge eleverna förutsättningar att utveckla anges i matematikämnet

(Skolverket, 2011, s 90-91):

1. använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen.

2. hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg.

3. formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och

resultat.

14

4. tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en

modells egenskaper och begränsningar.

5. följa, föra och bedöma matematiska resonemang.

6. kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling.

7. relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt,

samhälleligt och historiskt sammanhang.

Det betyder att även de elever som bedöms ha lägsta godkända betyg ska ha grundläggande

färdigheter i alla sju förmågorna. Man brukar ofta namnge förmågorna med ett enda ord i

turordning Begrepp, Procedur, Problemlösning, Modellering, Resonemang, Kommunikation

och Relevans (Nordgren m fl, 2012). Detta är också benämningen på förmågorna i

bedömningsanvisningarna i nationella proven. Dock benämns ibland förmågan

Problemlösning istället som Metod.

Matematikämnet är uppdelat i olika kurser 1, 2 och så vidare som bygger på varandra, med

ett tillägg av en bokstav a, b eller c. Kursen Matematik 1a läses av samtliga elever på

yrkesprogrammen som enda obligatoriska matematikkurs. Matematik 1b läses av samtliga

elever på ekonomiprogrammet, estetiska programmet, humanistiska programmet och

samhällsvetenskapsprogrammet. För ekonomiprogrammet är Matematik 1b, 2b och 3b

obligatoriska matematikkurser, för samhällsprogrammet 1b och 2b samt för estetiska

programmet och humanistiska programmet bara Matematik 1b. Elever på naturvetenskapliga

programmet och teknikprogrammet läser Matematik 1c, 2c och 3c som obligatoriska

matematikkurser. Möjlighet finns att läsa Matematik 4 och Matematik 5. De sju förmågorna

som anges för matematikämnet är desamma för samtliga matematikkurser.

Till varje kurs anges ett centralt innehåll. Detta är olika för de olika kurserna och

kursplanerna anger inte att vissa delar är viktigare än andra, hur mycket tid som ska ägnas åt

varje del i centrala innehållet eller hur djupt man ska gå in på varje del. Skolan och läraren ska

själv göra dessa avvägningar. Centralt innehåll för kursen Matematik 1b finns återgivet i

bilaga 1.

Efter avsnittet om kursens centrala innehåll följer kunskapskraven, med kriterier för

betygen A, C och E. Eftersom en elev ska ha grundläggande kunskap inom hela det centrala

innehållet samt även ha vissa färdigheter inom alla sju förmågor är texten för alla kriterier

likadant formulerade, med skillnad för de fetstilade orden som anger en kvalitativ skillnad i

kunskap mellan de olika betygsstegen. Kunskapskraven för Matematik 1b finns återgivna i

bilaga 2.

15

2.4 Vad är goda matematikkunskaper?

Det finns en välspridd missuppfattning att goda matematikkunskaper är detsamma som att

vara duktig på att räkna ut tal, gärna genom huvudräkning. Ett omprov i matematik anses

enkelt att konstruera: ”Det är ju bara att byta ut siffrorna.” Inte sällan hörs kritik mot

benämnda tal – det som i folkmun ofta kallas för ”läsetal” – eftersom man menar att

matematiken försvinner i all text (Stenhag, 2010). Istället handlar goda matematikkunskaper

och att få bra betyg i ämnet just om att kunna läsa och tolka en text, översätta problemet till en

algoritm – ofta en ekvation av något slag – få fram ett svar och kontrollera om svaret är

rimligt och slutligen att kommunicera resultatet. Det kräver ett aktivt tänkande och handlande.

Att endast memorera något är inte tillräckligt. Det krävs alltså god läsförståelse och då inte i

betydelsen att kunna avkoda ord för ord, utan att som anges i kursplanen för Svenska 1:

”Förmåga att läsa, arbeta med, reflektera över och kritiskt granska texter…” (Skolverket,

2011, sidan 161).

Stenhag (2010, s 147) ger ett konkret exempel på en matematikuppgift som när det gavs

som ”naket tal” var det 50 procent fler av eleverna som lyckades lösa uppgiften än när det

gavs som benämnt tal:

Benämnt tal:

Per och Lena har 175 kronor tillsammans. De åker berg och dalbanan var sin gång och betalar 24

kronor var. Hur mycket har de sedan kvar?

Naket tal:

175-24-24

Förståelsen av centrala matematiska begrepp bland elever är ofta bristfällig och

undervisningen alltför ensidigt inriktad på beräkningsprocedurer. Elever klarar ofta att

använda en beräkningsprocedur, men att den används fel. Större fokus på kunskap kring

begrepp generar ofta kunskap i procedurer, men sällan tvärtom. Enligt Bentley, refererad av

Stenhag (2010), borde undervisningen i större utsträckning inrikta sig på att utveckla den

språkliga begreppsapparaten hos eleverna. Stenhag själv menar att god läsförståelseförmåga

och att kunna lösa benämnda tal handlar om samma kognitiva förmåga. För att få högt betyg i

grundskolans matematik krävs en metakognitiv förmåga till koncentrerad läsning. När

elevernas slutbetyg i matematik jämfördes med resultatet på det nationella läsförståelseprovet

visade det sig att 83 procent av eleverna med VG eller MVG i slutbetyg i matematik också

16

fick VG eller MVG på läsförståelseprovet. När man jämförde slutbetyget i svenska med

resultatet på det nationella läsförståelseprovet var det 87 procent av de som fick VG eller

MVG i slutbetyg som också fick VG eller MVG på läsförståelseprovet. Utvidgade man till att

jämföra de med G, VG eller MVG på läsförståelseprovet var det 99 procent som fick VG eller

MVG på nationella provet i matematik. En elev med god läsförståelseförmåga har dock inte

nödvändigtvis VG eller MVG i matematik. Endast 59 procent med VG eller MVG på

läsförståelseprovet hade VG eller MVG i slutbetyg i matematik. Detta visar att det utöver god

läsförståelseförmåga krävs andra färdigheter också för att nå högt betyg i matematik. Samma

studie visade att högt betyg i matematik var viktigare än högt betyg på läsförståelseprovet när

man jämförde med medelmeritpoängen för alla teoretiska ämnen. Allra högst

medelmeritpoäng hade de med högt betyg både på läsförståelseprovet och i matematik.

För att förstå ett matematiskt problem och hur man löser det krävs god läsförståelse. Det

gör att såväl dyslektiker som elever med svenska som andraspråk många gånger har

svårigheter i matematik. En generell försämrad läsförståelseförmåga hos gymnasielever blir

allt tydligare vilket gör att även matematiken drabbas. Elever med dyslexi kastar om

bokstäverna i ett ord men även symbolerna i ett matematiktal. Det gör att elever som har svårt

att automatisera läsning också ibland har svårt att automatisera räkning (Stenhag, 2010). En

studie gjord 2001 som Stenhag (2010) refererar till har visat att högstadieelever ofta

misslyckas på matematikuppgifter som innehåller mycket text. Eleverna förstår inte

innebörden i texten vilket kan leda till att de väljer fel räknesätt. Eftersom eleverna inte förstår

sammanhanget mellan uppgiftstextens olika delar, väljs beräkningarna slumpmässigt. Hur

eleverna angriper uppgiften saknar alltså helt koppling till uppgiftens innehåll. Ungefär 60

procent av de fel grundskoleeleverna gjorde på matematikuppgifterna berodde enligt studien

på bristande läsförståelse. Ungefär 15 procent berodde på slarvfel. Endast 25 procent berodde

på brister i rent matematiskt kunnande.

En studie gjord 2006 som Stenhag (2010) refererar till har bland annat visat att en del

elever utvecklar och använder en särskild lässtrategi som bara används i texter med

matematiska problem. Istället för att försöka förstå sammanhanget letar de efter nyckelord i

texten. Elever som använder denna läsförståelsestrategi lyckas oftast sämre än elever som

läser texter med matematiska problem på samma sätt som texter i andra ämnen. Stenhag

menar därför att detta talar för att läsförståelse i matematik inte är annorlunda än annan

läsförståelse. Stenhag säger vidare att forskning visar att den generella läsförståelseförmågan

som regel inte är knuten till begåvning. Dock måste man skilja på läsförståelse och

17

ordavkodning, alltså att koppla ihop ljud och bokstäver till ord. Läsförståelse innebär att man

förstår innebörden i texten, vilket är helt nödvändigt för att veta hur man ska angripa

uppgiften och lösa det nedskrivna problemet.

En annan aspekt som inverkar är hur väl man har utvecklat en god metakognition, det vill

säga hur väl man är medveten om sina egna tankar och kan följa sina tankar, hur väl det går

och styra dem i rätt riktning. Mer än något annat ämne bygger ett resultat på ett tidigare som

bygger på ett ännu tidigare; Allt hänger ihop! Matematik består av både faktakunskap och

tillvägagångsätt. Man måste dels lära sig olika fakta, begrepp och symboler och dels

tillvägagångssättet, det vill säga en handlingsplan för hur man ska göra för att lösa en uppgift.

För att komma ihåg de olika tillvägagångssätten måste de bottna i en förståelse för vad man

gör (Stenhag, 2010). En god metakognitiv förmåga är nödvändig för att kunna lösa uppgifter

där det krävs att man läser och tolkar en text innan räknandet. Man måste då fråga sig vad

som efterfrågas, vilka data man får veta och hur dessa kan användas för att nå lösningen.

Historiskt sett brukar man säga att betoningen i svensk skolmatematik har förflyttats från

tillämpning av färdiga formler och resultat av typen rätt/fel till mer av kreativ problemlösning

och kommunikation (Stenhag, 2010). Eleverna får lära sig att det ofta inte finns en enda färdig

lösningsmetod, utan flera olika vägar att gå. De skriftliga proven består till stor del av öppna

uppgifter. Dessa ger så klart en mängd olika lösningar och sätt att tänka på från eleverna.

Detta är så klart mer tidsödande både vad gäller provkonstruktion som rättande av detsamma.

Tyvärr tillämpas inte alltid detta, utan forskning visar att enskilt arbete dominerar under

lektionerna och undervisningen är starkt styrd av läroboken. Innehållet ligger i fokus, istället

för de förmågor som beskrivs i kursplanen (Nordgren m fl, 2012). Granskning av

undervisningen har visat att eleverna får för lite träning i de olika förmågorna och är därmed

dåligt förberedda för det nationella provet.

I Stenhags studie (2010) undersökte man också om det fanns ett samband mellan höga

betyg i matematik och höga betyg i andra ämnen. Man kom fram till att det fanns ett starkt

samband mellan högt slutbetyg i matematik och högt slutbetyg i alla andra teoretiska ämnen,

alltså inte bara till exempel fysik och kemi utan även exempelvis religion och

samhällskunskap. Detta samband var starkare än sambandet mellan högt slutbetyg i svenska

och högt slutbetyg i övriga teoretiska ämnen. Mellan högt slutbetyg i engelska och högt

slutbetyg i övriga teoretiska ämnen fann man inget samband alls. Studien visade också att

kraven för betygen G och VG statistiskt sett var högre i matematik än i svenska. Därför är det

sannolikt att man inte klarar att uppnå G i matematik om man inte klarat G i svenska. Det är

18

också sannolikt att om man klarar att uppnå VG eller MVG i matematik gör man det också i

svenska. Däremot var sambandet mellan IG i svenska och IG i övriga teoretiska ämnen

starkare än sambandet mellan IG i matematik och IG i övriga teoretiska ämnen.

Statistik visar också att det sätts fler VG och MVG i SO-ämnena än i NO-ämnena. Det

finns olika modeller som visar på nivåer i individens kognitiva förmåga. En modell (Stenhag,

2010) säger att problemlösningsförmåga är ett högre kognitivt stadium än läsförståelse-

förmåga. Enligt Stenhag skulle det kunna vara en generaliserad förklaring till att det sätts fler

VG och MVG i SO-ämnena än NO-ämnena. Stenhag (2010) ger en alternativ förklaring

nämligen att det finns olika typer av intelligens och att matematik kanske mäter NO-förmåga

och svenska SO-förmåga, men att kraven är lägre i svenska. Kriterierna i svenska har visat sig

svårare att tillämpa för lärarna och att de därför väljer att sätta ett högre betyg.

I en studie (Emanuelsson, 2001) besökte man åtta lärare på låg- och mellanstadiets

lektioner i matematik och naturvetenskap två till fyra gånger vardera samt intervjuade

dessutom lärarna. Studien visade att lärare i intervjuerna ofta beskrev vad eller hur eleverna

gjorde, inte vad eleverna kunde eller hur de förstod. Inom matematik talade lärarna oftast om

elevernas kunnande i termer om huruvida deras svar på uppgiften var rätt eller inte, snarare än

om hur de gått tillväga för att nå svaret. Ett av resultaten i avhandlingen innebar att lärostoff,

begrepp och färdighet måste varieras för att få insikt i hur eleverna tänker och ge dem

varierade sätt att lära sig på eftersom alla tänker olika om samma sak. Om jag tillåter mig att

föra över resonemanget från studiens resultat till matematikundervisningen på gymnasiet kan

det innebära att ett flertal elever tror sig inte har förstått någonting om man uppehåller sig

enbart vid proceduren att komma från den nedskrivna uppgiften till ett svar och endast en

lösningsmetod lärs ut och tillåts, när de i själva verket kan inneha ett rikligt batteri av

angreppssätt för att lösa uppgiften, som leder till samma rätta svar.

Det är sedan länge känt att matematik har visat sig kunna ge positiva transfereffekter, det

vill säga att lärande i matematik underlättar lärande i andra ämnen. Än mer intressant är

forskning som visat på effektiva transfereffekter om undervisningen blandar konkreta

exempel med generella principer (Stenhag, 2010). Om eleven med lärarens hjälp finner

likheter mellan olika komplicerade problem ger detta honom eller henne en god beredskap för

framtida problemlösning.

19

2.5 Provkonstruktion och kunskapsbedömning

Traditionellt har skriftliga prov - som byggt på undervisningsinnehållet - använts som enda

bedömningsunderlag, inte minst i matematik. En av de svåraste sakerna vid provkonstruktion

oavsett ämne är hur frågorna är formulerade. Alla uppfattar text olika och ibland upptäcker

man att väldigt många av de som gjort provet har uppfattat en fråga på ett annat sätt än man

har tänkt sig. Ett prov kan ha bristande tillförlighet på grund av till exempel oklart formu-

lerade uppgifter, att reglerna för poängsättning inte är tillräckligt genomtänkta, eller att

möjligheterna att gissa sig till ett korrekt svar påverkar resultatet. En metod att öka tillför-

litligheten är split half (Linde, 2003). Man konstruerar då två olika prov med samma frågor

men olika formulerade. De båda proven ges sedan med frågorna blandade i samma formulär.

Eleverna som gör provet får då svara på samma frågor två gånger i skilda uppgifter med olika

formulering. Om resultatet blir ungefär lika mellan de båda proven finns ingen bristande

tillförlitlighet på grund av formuleringarna. Om det istället blir stor skillnad så är

formuleringarna fel och en ny utprövning med nya formuleringar måste göras. Det är alltså

egentligen meningen att man ska göra detta test av formuleringarna innan man använder sitt

prov i skarpt läge. Det har man sällan möjlighet till, men man kan ändå använda metoden för

att efter ett par försök hitta rätt formuleringar till sina provfrågor.

Nästa viktiga aspekt är provets giltighet. För att man ska kunna betrakta provet som en

giltig kunskapskontroll av det kursmoment som provet handlar om måste allt väsentligt tas

med i provet (Linde, 2003). För ett matematikprov på gymnasienivå innebär det att hela det

centrala innehåll som provet är kunskapskontroll av samt att alla sju förmågorna måste finnas

med på provet, annars har provet bristande giltighet.

Nordgren m fl (2012) motsäger sig andra uppdelningar av prov såsom konventionella prov

och alternativa prov och menar att det inte finns annat än bra och dåliga prov. De

argumenterar för att det enda viktiga är att provet har giltighet och tillförlitlighet. Provformen

är oväsentlig, utan det är kunskapssynen som provet vilar på och provets innehåll som är det

enda viktiga.

Syftet med prov är inte enbart som bedömningsunderlag vid betygssättning – det vill säga

det som brukar kallas för summativt syfte - utan även i diagnosiskt syfte för att bedöma den

aktuella kunskapsnivån hos eleven, i formativt syfte för att ge stöd i lärandet och evaluerande

syfte för att bedöma hur väl man som lärare och skolan lyckas (Nordgren m fl, 2012). Samma

prov kan tjäna alla fyra syftena och skiljelinjen mellan bedömningsgrunderna är inte

20

knivskarp. Det är alltså inte provets utformning som bestämmer dess syfte, utan hur

bedömningsunderlaget används. Även om provet är tänkt för ett summativt syfte måste det

kunna användas även formativt eftersom betygssystemet är målinriktat.

Enligt Skolverkets riktlinjer (2011, s 15) ska läraren vid betygssättningen:

utnyttja all tillgänglig information om elevens kunskaper i förhållande till de nationella

kunskapskrav som finns för respektive kurs,

beakta även sådana kunskaper som en elev har tillägnat sig på annat sätt än genom den

aktuella undervisningen, och

utifrån de nationella kunskapskrav som finns för respektive kurs allsidigt utvärdera varje elevs

kunskaper.

Som tidigare nämnts har skriftliga prov - som byggt på undervisningsinnehållet – traditionellt

använts som enda bedömningsunderlag, men kraven på att allsidigt utvärdera och beakta även

kunskap som elever tillgodogjort sig på andra sätt än skolans undervisning gör att detta inte är

tillräckligt (Selghed, 2011). Skolverket betonar också att betygsunderlaget ska bygga på

varierade bedömningsformer och nämner prov och muntliga prestationer gjorda vid flera

tillfällen. Inget enskilt prov, inte heller det nationella provet, kan enligt Skolverket utgöra hela

underlaget för bedömningen i ett ämne (Skolverket.internetlänk).

Både provens form och innehåll påverkar elevernas syn på lärandet (Nordgren m fl, 2012).

Proven signalerar vad läraren anser är viktig kunskap i ämnet och eleverna anpassar sina

lärstrategier efter detta. Som lärare måste man tänka igenom några olika ämnesdidaktiska

frågor: Vad är viktigt att kunna? Hur ska proven vara utformade för att alla elever ska kunna

visa sina kunskaper? Varför väljer jag just denna provform och att fråga efter just denna

kunskap? Påverkas provets utformning och innehåll av för vem det är avsett för? Ett prov

måste alltid efterfråga ett samspel mellan de fyra kunskapsformerna fakta, förståelse,

färdighet och förtrogenhet. De lägre betygen handlar inte om att endast kunna återge fakta

(Nordgren m fl, 2012).

Eftersom skriftliga prov ännu är den klart vanligaste provformen i matematik kan det vara

en god idé att studera denna provform mer i detalj och i generella drag oberoende av ämne

innan man kommer in på alternativ till skriftliga prov. Provfrågor kan ha fasta svarsalternativ

som till exempel flervalsfrågor och påståenden som markeras med sant eller falskt, eller där

olika alternativ ska paras ihop. Dessa tre frågetyper brukar kallas för objektiva prov (Korp,

2003). Alla tre förekommer i matematikböcker. Frågor där eleven ska formulera ett svar helt

själv förekommer också, inte minst nu då elever ska behärska alla sju förmågor som listas i

ämnesplanen. Frågor med fasta svarsalternativ har fördelen att de går snabbt och enkelt att

bedöma och eftersom ingen subjektivitet finns blir resultatet jämförbart. Nackdelen är att

21

frågor med fasta svarsalternativ sällan fokuserar på annat än faktakunskap. En annan nackdel

är att eleverna inte får möjlighet att visa sina förmågor i att resonera eller tänka kritiskt

(Nordgren m fl, 2012). Fördelen med frågor då eleverna själva ska formulera sina svar -

särskilt vid essäfrågor, det vill säga då eleverna ska skriva långa svar – är att man kan mäta

mer komplexa kunskapsnivåer, såsom analysförmåga. Nackdelarna är att bedömningen är

tidskrävande och risken finns att bedömningen blir mer subjektiv. Ibland kan olika bedömare

göra olika tolkningar och även samma bedömare kan påverkas av sådant som i vilken ordning

provsvaren bedöms, elevernas handstil och förutfattade meningar om de olika elevernas

prestationsförmåga (Nordgren m fl, 2012). Nordgren m fl förespråkar frågekonstruktioner

som kräver problemlösande eller berättande svar, istället för kortsvars- eller flervalsfrågor. Få

breda essäfrågor är bättre än många kortsvarsfrågor. Nordgren m fl förespråkar också att man

ska premiera sammanhang och inte efterfråga ett visst antal aspekter.

Korp (2003) nämner ”tillämpningsprov” som den vanligaste formen av alternativa prov.

Principen är att eleverna bedöms på basis av hur de praktiskt handlar i en situation. Detta

exemplifieras bland annat med att om en lektion syftar till att lära eleverna skriva noveller och

de bedöms med hjälp av ett tillämpningsprov, så får de skriva en novell och arbetet med

denna utgör bedömningsunderlaget för elevernas kunskaper i novellskrivning. Motsvarande

traditionella prov skulle då vara att eleverna istället får besvara ett antal frågor kring

novellskrivandets tekniker och kvalitetskriterier. Tillämpningsprov passar bäst när målet med

undervisningen är att eleverna ska kunna utföra något. Överför man detta till matematiken

efterfrågar eleverna inte sällan tillämpningsexempel på matematiska samband, vilket

läroböckerna också brukar innehålla rikligt med och lärarna gärna ger. En tillämpningsuppgift

är oftast det som i kapitel 2.4 kallades för ”benämnt tal”, till skillnad från ”naket tal”. Vilka

tillämpningsexempel som ges beror på lärarens kompetens och intresse utöver matematik och

på vilka eleverna är, bland annat vilket gymnasieprogram de går. Eleverna efterfrågar

tillämpningar för att motivera sig att lära sig sambandet. Läraren ger ofta tillämpnings-

uppgifter på prov då förmågan att lösa en tillämpningsuppgift anses utgöra en högre kvalitativ

kunskapsnivå än att endast memorera en formel.

Nordgren m fl (2012) vänder sig mot ett vanligt sätt att poängsätta prov, nämligen att

poängen motsvarar just antalet uppräknade saker, istället för kunskapskvaliteten på det

avgivna svaret. Att räkna upp fem saker och få fem poäng, utan att ha någon djupare

förståelse, lönar sig bättre än att ha djupare förståelse kring tre. Man vänder sig också mot att

22

olika frågor ger olika många poäng baserat på hur mycket tid som ägnades åt denna sak i

undervisningen eller hur mycket utrymme detta tog i anspråk i läromedlen.

På frågan om provfrågorna ska nivågrupperas ser Nordgren m fl (2012) fler nackdelar än

fördelar. Fördelarna är att det tydligt framgår vilken kvalitet läraren förväntar sig av svaren på

de olika frågorna och skillnaden mellan olika kunskapskvaliteter blir tydlig. Eleven kan också

bestämma sig för en ambitionsnivå. En stor nackdel är att nivågrupperingen kan få elever att

på grund av till exempel bristande motivation eller självförtroende väljer att avstå från att

svara på de svårare frågorna och prövar därmed inte hela sin kunskapspotential. Forskning har

också visat att frågorna på de lägre kunskapsnivåerna i stor utsträckning består av korta

faktafrågor, vilket gör att dessa elever inte försöker förstå samband eftersom detta inte behövs

för godkänt på proven.

Det finns alltså gott om argument för att skriftliga prov i sig inte är något dåligt eftersom

det är provets innehåll och inte form som avgör om provet är bra eller dåligt. Dock säger

Skolverkets riktlinjer att läraren ska ”allsidigt utvärdera varje elevs kunskaper” (Skolverket,

2011, s 15) och därför måste man fråga sig vilka alternativ till skriftliga prov som finns.

Inom vissa ämnen är portföljmetod och självvärdering vanliga vid kunskapsbedömning

(Linde, 2003). Eleven samlar färdiga skolarbeten i en portfölj i form av till exempel en

plastmapp eller USB-minne. Ibland sparas materialet en tid och därefter görs

sammanfattningar av detta och originalmaterialet sorteras ut. Ett sätt att använda portföljen är

självvärdering, då eleven i slutet av en kurs går igenom sin portfölj för att se hur en utveckling

har skett och kanske upptäcka till exempel att man hade löst ett problem på ett annat sätt nu.

Portföljen kan även användas av läraren med eller utan dialog med eleven som underlag för

bedömningen. Då kan portföljen bedömas efter process eller produkt. Om processen är i fokus

är det intressanta att följa utvecklingen och förändringarna i uppfattningar. Om produkten är i

fokus är det istället kvaliteten hos de färdiga arbetena som bedöms. En viktig poäng som ofta

förs fram med portföljmetoden är att man ur portföljen alltid kan plocka ut det som eleven

gjort bra och ge uppmuntran för det.

Ibland kan man ställa det som kallas öppna frågor, det vill säga frågor som inte har ett enda

korrekt svar. Även om matematik betraktas som ett ämne när exakta och korrekta svar

eftersträvas är detta en frågeform som är användbar i matematik. Två exempel på öppna

matematikuppgifter (Linde, 2003, s 118):

Skriv allt du vet om bråk eller allt du vet om multiplikation.

23

Gör egna matematikuppgifter.

a En uppgift skall leda till en lösning där multiplikation skall användas.

b En uppgift skall leda till en lösning där addition och multiplikation ska användas.

c En uppgift skall leda till en lösning där procent skall användas.

d En uppgift skall leda till en lösning där ekvation skall användas.

Även till synes helt öppna frågor kan ge tämligen bestämda svar om man inför förutsättningar

och definitioner (Linde, 2003). För en elev som saknar de förmågor som beskrivs i kapitel 2.3

tror jag denna uppgift är svår, eller rentav bara konstig. Elever är vana vid att lösningen på en

uppgift är ett enda rätt svar. I andra ämnen kan en öppen fråga som till exempel ”Vad är

demokrati?” sluta sig kring en mycket begränsad informationsmängd från en lektion

(Nordgren m fl, 2012). Det är därför inte konstigt att öppna frågor väcker osäkerhet hos

elever. Denna typ av frågor kan vara en del av ett skriftligt prov, men det kan också vara en

del av ett muntligt prov där man – precis som i nationella provets muntliga del – ställer frågor

för att lyssna av hur elever resonerar och utifrån det ställa följdfrågor.

Vid provkonstruktion i matematik kan man kategorisera uppgifterna på olika sätt. Det kan

gälla arbetsformer såsom ”med eller utan tekniska hjälpmedel” eller ”arbete i grupp eller

enskilt”, men även efter centralt innehåll. Oftast behandlar ett prov en del av det centrala

innehållet, eller helt enkelt ett kapitel eller två i boken. Mer sällsynt är kategorisering efter de

sju förmågorna (Nordgren m fl, 2012). Vid uppgifter som inte bara kräver ett korrekt svar

behövs en helhetsbedömning och man måste ta hänsyn till hela lösningsproceduren.

Kvaliteten på elevens arbete avgör på vilken nivå arbetet placeras och kan uttryckas med

poäng, betyg eller ord. En mer strukturerad bedömningsanvisning ökar sannolikheten för att

två bedömare ska göra samma bedömning av ett mer omfattande arbete. Självbedömning och

kamratbedömning kan bidra till att olika matematiska begrepp diskuteras och eleverna

utvecklar sin förmåga att se sitt eget lärande (Nordgren m fl, 2012).

En studie gjord 2006 refererad av Nordgren m fl (2012) visade att en majoritet av

uppgifterna i lärarnas matematikprov kunde lösas med inövade procedurer och utan

matematisk förståelse, medan kreativa och matematiskt välgrundade resonemang oftast

behövdes på uppgifterna på nationella provet.

2.6 Nationella provets konstruktion

De nationella proven i matematik konstrueras av PRIM-gruppen som är en forskningsgrupp

vid Stockholms universitet inriktad på kunskapsbedömning och kompetens. Bland uppdragen

24

ingår att konstruera de nationella proven i de olika matematikkurserna i såväl grundskolan

som gymnasiet (PRIM-gruppen).

De nationella proven i matematik på gymnasiet innehåller fyra delar (PRIM-gruppen,

presentation_skolforum.pdf):

Kortsvars- och redovisningsuppgifter utan beräkningsverktyg

Stor redovisningsuppgift med beräkningsverktyg

Redovisningsuppgifter med beräkningsverktyg

Muntlig del i grupper om tre till fyra elever

Vid konstruktionen har man strävat efter att väva samman ämnesplanens tre dimensioner,

nämligen de sju förmågorna, kursernas centrala innehåll och kunskapskraven för respektive

kurs. På varje uppgift utdelas kvalitativa förmågepoäng, det vill säga poäng på E-, C- och A-

nivå samt dessutom anges vilken förmåga som uppgiften mäter. Ett exempel på en uppgift ur

nationella provet ges (PRIM-gruppen):

Johanna häller kaffe med temperaturen 92 °C i en termos. Hon ställer sedan termosen utomhus där

temperaturen är 15 °C. För att beskriva hur temperaturen y °C hos kaffet förändras med tiden x

timmar undersöker hon två olika modeller:

Formel för modell A: y = 92 – 7x

Formel för modell B: y = 92 ∙ 0,93x

a) Beräkna kaffets temperatur efter tre timmar enligt formel A och enligt formel B. (2/0/0)

b) Beskriv med vardagligt språk vad formel A respektive formel B säger om hur temperaturen

sjunker. (1/2/0)

c) Undersök för hur många timmar som formeln för modell A respektive B kan gälla. (1/2/3)

Siffrorna inom parentes anger maximala E-, C- respektive A-poäng, alltså för deluppgift c

maximalt 1 E-poäng, 2 C-poäng och 3 A-poäng. Som tidigare nämndes anges i

rättningsmallen vilka förmågor som mäts. I detta exempel kan deluppgift a ge en E-poäng

vardera för förmågorna Modellering och Procedur. Deluppgift b kan ge en E-poäng för

förmågan Modellering samt en C-poäng vardera för förmågorna Modellering och

Kommunikation. Till sist kan deluppgift c ge en E-poäng för förmågan Resonemang, en C-

poäng vardera för förmågorna Kommunikation och Modellering samt en A-poäng vardera för

förmågorna Kommunikation, Modellering och Problemlösning. I nationella provet ges ett

provbetyg som baseras på dels på sammanlagd poäng som eleven har erhållit och dels på hur

många C- och A-poängen är. För att uppnå provbetyget E ser man endast till sammanlagda

poängen. För provbetygen D och C anges sammanlagd poäng samt hur många C-poäng och

25

däröver som eleven måste erhållit. För provbetygen B och A anges sammanlagd poäng samt

hur många A-poäng eleven måste erhållit. Till provet medföljer en rättningsmall med exempel

på lösningar för att underlätta för läraren att avgöra E-, C- och A-poängen.

2.7 Nationella provet som bedömningsstöd

Flera studier har visat att resultaten på nationella prov och internationella kunskapsmätningar

skiljer sig från betygsutfallet. Denna skillnad är särskilt stor i matematik (Stenhag, 2010). Den

senaste tillgängliga statistiken för resultatet på nationellt prov i Matematik 1b jämfört med

kursbetyget gäller för vårterminen 2012 (Skolverket, 2013). Den visar att 60,9 % av eleverna

fick samma kursbetyg som provbetyg, 38,1 % fick högre kursbetyg än provbetyg och 0,9 %

fick lägre. Skillnaden mellan kursbetyg och provbetyg var något lägre på kommunala

gymnasieskolor jämfört med friskolor. Något fler fick högre kursbetyg än provbetyg på

friskolor än på kommunala skolor. Jag går inte in på någon analys om orsaken, utan

konstaterar bara att det finns en skillnad. För jämförelsens skull kan man titta på avvikelsen

mellan kursbetyg och provbetyg även i Svenska 1, Engelska 5 och Matematik 2b som

samtliga elever på Samhälls- och Ekonomiprogrammet också läser som obligatorisk kurs. I

Svenska 1 fick 66,2 % av eleverna samma kursbetyg som provbetyg, 20,7 % fick högre

kursbetyg än provbetyg och 13,1 % fick lägre kursbetyg än provbetyg. I Engelska 5 fick 74,5

% av eleverna samma kursbetyg som provbetyg, 15,2 % fick högre kursbetyg än provbetyg

och 10,4 % fick lägre kursbetyg än provbetyg. I Matematik 2b fick 78,0 % samma kursbetyg

som provbetyg och 22,0 % fick högre kursbetyg än provbetyg. Ingen fick lägre kursbetyg än

provbetyg.

Kritik lyfts ibland på olika sätt mot de nationella kursproven. Ofta sammanfaller denna

med att det hos lärare, elever och allmänhet förekommer olika syn på varför undervisning i

matematik ska ske i skolan. I en studie av Maria Bjerneby Häll refererad av Stenhag (2010, s

36-37) ställde man denna fråga till ett antal högstadielärarstudenter och vid analysen

identifierades tio huvudargument:

För att klara det vardagliga livet – idag och som vuxen

Med tanke på utbildning och yrke i en framtid

För att kunna ta tillvara dina egna [elevens] intressen

Med tanke på samhällets behov och krav

För att utveckla tänkandet

Det är roligt och stärker självförtroendet

Det behövs för många andra skolämnen

26

Det tillhör allmänbildningen

Det är ett viktigt kunskapsområde

Det kommer på provet

Bland lärarstudenterna var de tre första svaren de vanligaste. Samma person följde

lärarstudenterna och ställde samma fråga igen när de börjat arbeta som lärare och det visade

sig att för dem som arbetade i de senare årskurserna på grundskolan är de nationella proven

väldigt styrande för undervisningen. En stor del av undervisningen fokuseras på att förbereda

eleverna inför det nationella provet och därmed blir argumentet ”Det kommer på provet” det

vanligaste.

2.8 Teoretiskt perspektiv

Undervisning och kunskapsbedömning i matematik är välstuderat. Detta kapitel har

översiktligt undersökt och jämfört hur kunskapssyn och kunskapskrav framställs i

styrdokument och hur lärare uppfattar dessa i sin praktik. Eftersom nu gällande kursplaner

och kunskapskrav är nya finns ingen forskning på hur de gällande styrdokumenten uppfattas

av lärare. Därför är det av intresse att undersöka detta. Utifrån hur kunskapssynen är

beskriven i läroplanen tillsammans med kunskapskraven i Matematik 1b och de sju

förmågorna i ämnesplanen kommer jag att undersöka hur lärare använder dessa för att avgöra

elevers kunskapsnivå. Lärarna som deltagit i undersökningen är av olika kön, har olika ålder,

har olika lång erfarenhet och undervisar i olika ämnen – med andra ord är detta en utmärkt del

i en större undersökning. Påverkar någon av dessa aspekter hur man uppfattar och använder

riktlinjerna och kunskapskraven? Denna undersökning är alltså av teoriprövande karaktär.

Denna undersökning kan eventuellt vara hypotesbildande, men på grund av det lilla materialet

omöjligen leda till några generella slutsatser som bidrar till ny begrepps- eller teoribildning.

Examensarbetets teoretiska perspektiv vilar på en fenomenografisk grund. Ference Marton

(Uljens, 1997) talar om fenomenografi som en beskrivning av hur av hur olika människor som

möter olika fenomen uppfattar, erfar eller förstår dessa. Enligt fenomenografin finns det ett

begränsat antal kvalitativt skilda sätt att erfara världen. Examensarbetet strävar alltså efter att

ta reda på hur lärare uppfattar riktlinjerna, till exempel kunskapskraven.

27

3. Metod

3.1 Metodval

Vid metodvalet vägdes framför allt tidsaspekten in utöver vilken metod som troddes ge bäst

bidrag till examensarbetet. Eftersom jag själv som verksam lärare och de lärare som skulle

kunna bidra med material befunnit oss i en tid på läsåret som varit fylld med både egna prov

och nationella prov ville jag finna en metod som kunde ge mig användbart kvalitativt material

utan att vara alltför tidsödande. Valet föll då på att via e-post skicka två frågeformulär till ett

antal lärare verksamma på några olika gymnasieskolor i Skåne. Det första frågeformuläret,

som är återgivet i bilaga 3, skickades till samtliga lärare och strax efter att var och en svarat på

denna skickades det andra frågeformuläret till dem. Det andra frågeformuläret finns återgivet i

bilaga 4.

Det första frågeformuläret kan sägas vara en surveyundersökning (Svenning, 2003) då

frågorna är exakt likadant formulerade till alla, men eftersom frågorna är öppna och inga

statistiska principer för urvalet använts är formuläret mer åt det kvalitativa hållet. Den främsta

anledningen till metodvalet är tidsaspekten. Lärarna kan på kort tid och när de har möjlighet

svara på frågorna och jag får svaren skrivna digitalt och kan direkt använda svaren i

examensarbetet.

3.2 Urval

Frågeformulären skickades till ett antal lärare verksamma på några olika gymnasieskolor i

Skåne. Gymnasieskolorna valdes på grund av deras olika storlek och för att det på var och en

av dessa arbetade matematiklärare som kände till mig, vilket troddes öka svarsfrekvensen.

Frågeformulären skickades till några enstaka matematiklärare på varje skola. Jämn fördelning

av kön och ålder eftersträvades för att möjliggöra en analys huruvida detta hade betydelse för

resultatet.

28

3.3 Genomförande

Frågeformulären skickades via e-post till de deltagande lärarna. När svar inkommit från

respektive lärare på första frågeformuläret skickades det andra.

3.4 Bearbetning och analys

Det första frågeformulärets kärna är hur de olika lärarnas bedömningsunderlag ser ut, det vill

säga hur deras skriftliga prov är konstruerade och hur omdömen ges på dessa, vilka andra

kunskapskontroller som används och hur det nationella provet används som bedömningsstöd.

Till sist efterfrågades en beskrivning av vad som karakteriserar prestationen hos en elev med

grundläggande kunskaper i matematik respektive avancerad kunskap. I det andra

frågeformuläret ombads lärarna att för tio olika uppgifter om bråk ange om var och en av

dessa är en uppgift på grundläggande nivå eller avancerad nivå, och vilken av de sju

förmågorna uppgiften mäter färdigheter i.

Vid analysen har funnits en strävan att utifrån ett litet material tränga djupt in i en

problematik. Kvalitativa analyser är betydligt känsligare för nyanser och små variationer, och

därför inte så exakta som kvantitativa undersökningar (Svenning, 2003). En fara med

kvalitativa analyser är att man utifrån en liten undersökningsgrupp utser dessa till

”kronvittnen från verkligheten” (Svenning, 2003, s 163). Undersökningsgruppen står för den

enda sanna skildringen av verkligheten och den egna analysen uteblir. En kvalitativ analys

måste ha en teoretisk förankring för att inte stanna vid att endast citera undersöknings-

gruppens ord. Denna undersökning syftar till att analysera hur lärarna tolkar Skolverkets

riktlinjer, kunskapskraven, matematikämnets sju förmågor etcetera. I analysen har försök till

kodning gjorts för att sortera frågeformulärens svar i kategorier. Utifrån de medverkandes

svar på frågeformulären har en analys gjorts huruvida de medverkande kan kategoriseras efter

idealtyper (Svenning, 2003).

3.5 Forskningsetiska överväganden

I forskningssammanhang ska svaren på ett frågeformulär anonymiseras för att säkra att de

medverkandes identitet skyddas (Vetenskapsrådet, 2011). I detta examensarbete har fråge-

formulären skickats via e-post till ett antal lärare verksamma på några olika gymnasieskolor i

29

Skåne. Jämn fördelning av kön och ålder eftersträvades för att möjliggöra en analys huruvida

detta hade betydelse för resultatet. De svar som ges är av personlig karaktär. Svaren kan

uppfattas som kontroversiella om de uppfattas som att läraren inte följer Skolverkets riktlinjer

eller skollagen (Skolverket, 2011). Lärare är skyldiga att följa riktlinjerna, men formuleringar

om hur man gör detta kan uppfattas som okonventionella och kontroversiella. Därför är de

medverkandes anonymitet viktig. De medverkande lärarna är verksamma på några olika

skolor i Skåne och de benämns i examensarbetet endast som lärare med längre erfarenhet eller

lärare med kortare erfarenhet.

3.6 Tillförlitlighet

Två undersökningar med samma syfte och med samma metod ska ge samma resultat för att en

undersökningsmetod ska anses tillförlitlig (Svenning, 2003). Undersökningens tillförlitlighet

påverkas framför allt av hur frågorna är formulerade. Alla uppfattar text olika och metodvalet

gör att reparationer är svåra att göra om när svaren inkommit det visar sig att frågorna har

uppfattats på ett annat sätt än som är tänkt. Vid en större studie och med mer tid hade en

pilotstudie kunnat genomföras, då ”split-half” (Linde, 2003) hade kunnat användas som en

metod att öka tillförlitligheten. Två olika frågeformulär med frågorna olika formulerade

konstrueras. Frågeformulären ges sedan med frågorna blandade i samma formulär. Samma

frågor ställs på så vis två gånger med olika formulering. Om resultatet blir ungefär lika mellan

de båda frågeformulären finns ingen bristande tillförlitlighet på grund av formuleringarna.

Vid en personlig intervju har man möjlighet att omformulera sig om i fall intervjuobjektet

inte fullt ut förstår den och också kan ställa följdfrågor beroende på hur intervjuobjektet

svarar. Tillförlitligheten blir inte fullkomlig eftersom samma fråga då ställts på olika sätt till

olika deltagare. Även den som förstod frågan så som den ursprungligen var formulerad, kan

ha svarat annorlunda om frågan ställts på ett annat sätt. En fördel med ett nerskrivet

frågeformulär som skickas ut via e-post är att man undanröjer alla risker att på något sätt

påverka intervjuobjektet. Därför anses metodvalet tillräckligt tillförlitligt.

30

4. Resultat och analys

4.1 Allmänt

Fem lärare svarade på de båda frågeformulären. Första frågeformuläret (se bilaga 3) innehöll

öppna frågor för att ge intervjupersonerna möjlighet att med egna ord beskriva det som

efterfrågades. Svaren som gavs var dock alltid korta. Givetvis kan inga generella slutsatser

göras eftersom underlaget är för litet i både kvantitet och kvalitet. Resultaten ger dock uppslag

för en större och djupare undersökning. Två lärare hade 8 års erfarenhet som lärare och

resterande tre lärare hade 18, 37 och 42 års erfarenhet. Jag valde därför att kategorisera de två

med kortast erfarenhet som lärare med kortare erfarenhet och resterande tre som lärare med

längre erfarenhet.

4.2 Resultat av första frågeformuläret

Lärare med kortare erfarenhet säger sig i större utsträckning i sin konstruktion av

matematikprov sträva efter att alla sju förmågorna som anges för matematikämnet finns

representerade i uppgifterna. Lärare med kortare erfarenhet talar i större utsträckning om fasta

nivågrupperingar av uppgifterna och anger E-, C- och A-nivå för dessa. Lärare med kortare

erfarenhet använder i större utsträckning de skriftliga proven som enda bedömningsunderlag,

medan lärare med längre erfarenhet även gör bedömningar i samband med lektioner och

använder sig i större utsträckning av korta såväl skriftliga som muntliga läxförhör. Lärare med

kortare erfarenhet anger i större utsträckning nationella proven som viktiga bedömningsstöd,

vilken man motiverar bland annat med att de egna proven endast testar korta moment medan

nationella proven är mer övergripande och ger därför en bättre bild av elevens samlade

kunskap. Lärare med längre erfarenhet är i större utsträckning inte nöjda med nationella

provens upplägg och finner därför inget bedömnings-stöd i dessa. Omdömena i samband med

prov är likartade mellan alla lärare, nämligen i form av betyg A-F.

Lärare med kortare och längre erfarenhet beskriver vad som karaktäriserar prestationerna

hos elever med grundläggande kunskaper i matematik respektive avancerade kunskaper på

likartat sätt. Elever med grundläggande kunskaper kan lösa uppgifter innehållande inövade

procedurer och problemlösning efter givna instruktioner. Beskrivningarna av vad som

31

karakteriserar elever med avancerade kunskaper skiljer sig mer åt. Lärare med kortare

erfarenhet beskriver vad som karakteriserar prestationerna hos elever med avancerade

kunskaper med att kunna planera och lösa problem samt dra slutsatser. Lärare med längre

erfarenhet beskriver i större utsträckning vad som karakteriserar elever med avancerade

kunskaper som förmåga att se samband, kunna generalisera, använda matematiskt språk och

lösa uppgifter på högre abstraktionsnivå.

4.3 Resultatanalys av första frågeformuläret

Det första frågeformulärets kärna är hur mångfacetterat de olika lärarnas bedömnings-

underlag ser ut. Tillsammans med att efterfråga en beskrivning av vad som karaktäriserar

prestationen hos en elev med grundläggande kunskaper i matematik respektive avancerade

kunskaper eftersträvades att få fram två olika bilder – en för hur kunskap bedömdes och en för

vad för kunskap som fanns hos eleverna – som därefter kunde analyseras.

Lärarnas beskrivningar av grundläggande kunskaper är mycket lika matematikämnet på

gymnasiets ämnesplansskrivning om procedurförmågan (Skolverket, 2011, s 90):

2. hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg

Svaren på frågeformulären visar att lärare har en klar egen bild av vad som karaktäriserar

prestationerna hos elever med grundläggande respektive avancerade kunskaper i matematik.

Svaren delar upp sig något i hur lärare med kortare respektive längre erfarenhet formulerar

skillnaderna. Lärare med kortare erfarenhet lutar sig i större utsträckning mot styrdokumenten

medan lärare med längre erfarenhet lutar sig mot just sin erfarenhet. De ”vet” genom sin

erfarenhet när en elev har avancerade kunskaper i matematik. De hänvisar till sin ”tysta

kunskap”, eller för att dra paralleller till skolans egen kunskapssyn, till sin förtrogenhet. Detta

är förmodligen också anledningen till att lärare med längre erfarenhet i mindre utsträckning

menar att nationella proven är ett bedömningsstöd. Troligtvis gör dessa lärare inga radikala

förändringar av sitt undervisningssätt eller provkonstruktion på grund av nya styrdokument.

Min tolkning är att flera av lärarnas svar ger en antydan om syn på skillnaden mellan

betygsstegen som påminner om Selgheds (2011). Lärarna ger uttryck för att betygen innebär

en skillnad i kunskapskvalitet mellan de olika betygsstegen och på liknande sätt som Selghed

(2011) beskriver man en progression från E där tyngdpunkten ligger på fakta – i matematik

inövade beräkningsprocedurer - och i andra hand förståelse och analys och för betyget A är

32

analysförmågan i fokus tillsammans med fakta och förståelse. För betyget E måste eleven

kunna beskriva, exemplifiera och föra enkla resonemang. För betyget A kunna förklara, visa

på samband, generalisera och föra välutvecklade resonemang. Hos någon lärare finns

antydningar om en syn som mer påminner om den som Nordgren m fl (2012) ger uttryck för,

nämligen att betyget E inte innebär enkla återgivande av fakta, betyget C inte förståelse och

betyget A inte analyserande resonemang. Alla betygsnivåer kräver färdigheter inom alla delar.

En lärare med längre erfarenhet beskrev sitt upplägg av proven på ett sätt som är snarlikt

hur nationella proven är uppbyggda. Denna lärares prov var ofta uppdelade i två delar – en då

räknare och formelsamling inte är tillåten och en där dessa är tillåtna som hjälpmedel. Så är

nationella provet och de flesta matematiklärares prov uppbyggda. Det som var unikt var att

han inte bara beskrev en nivågruppering, utan att varje uppgift kunde ge E-, C- och/eller A-

poäng, precis som uppgifterna på nationella provet.

Svaren på frågorna i första frågeformuläret skiljer sig inte åt mellan olika lärare beroende,

på kön, ämnesbehörighet, vilka kurser man undervisar i, eller vilka program man undervisar

på. Svaren skiljer sig inte heller beroende på om man verkade på en stor eller liten

gymnasieskola.

4.4 Resultat av andra frågeformuläret

I det andra frågeformuläret (se bilaga 4) ombads lärarna att för tio olika uppgifter om bråk

ange om var och en av dessa är en uppgift på grundläggande nivå eller avancerad nivå, och

vilken av de sju förmågorna uppgiften mäter färdigheterna i. Inspiration till uppgifterna

hämtades från fyra olika läroböcker i matematik 1b för gymnasieskolan, digital uppgiftsbank

till en av dessa läroböcker samt nationellt prov i matematik 1b. Baserat på hur de olika

källorna klassificerade uppgifterna konstruerades uppgifter som kontrollerade olika förmågor

och som var på grundläggande nivå eller avancerad. Bland de tio uppgifterna fanns sex av

förmågorna representerade - Begrepp, Procedur, Metod, Tolkning, Resonemang och

Kommunikation. Den enda förmågan som inte fanns representerad bland uppgifterna var

Relevans. 8 uppgifter var grundläggande och en uppgift var på avancerad nivå. För att göra

det hela svårare var en uppgift på mellannivå. Två lärare svarade på andra frågeformuläret.

Båda hade längre erfarenhet som lärare.

Den ena läraren svarade att samtliga tio uppgifter var på grundläggande nivå och att de alla

behandlade förmågan Procedur. Den andre läraren svarade att fyra av uppgifterna behandlade

förmågan Begrepp på grundläggande nivå. Två av uppgifterna behandlade förmågorna

33

Begrepp och Procedur på grundläggande nivå. Två av uppgifterna behandlade förmågorna

Begrepp, Procedur och Metod på grundläggande nivå. En uppgift behandlade förmågorna

Begrepp, Procedur, Metod och Tolkning på grundläggande nivå. Till sist svarade läraren att

en av uppgifterna behandlade förmågan Begrepp på grundläggande nivå samt förmågorna

Procedur och Metod på avancerad nivå.

Övriga tre lärare valde av olika skäl att inte svara på det andra frågeformuläret.

Gemensamt i motiveringen av varför man inte svarade på frågeformuläret var att en

kompetent matematiklärare kan bedöma elevernas matematiska förmåga utan att blanda in de

sju förmågorna som anges i ämnesplanen för matematikämnet. Ett ord som återkom var

”flum”.

4.5 Resultatanalys av andra frågeformuläret

Det andra frågeformuläret syftade till att undersöka om lärare på ett sådant enkelt område

inom matematiken som bråk kunde avgöra vilken förmåga som var och en av uppgifterna

mäter färdigheterna i och om de var på grundläggande nivå eller avancerad nivå. Bråk

introduceras inom matematiken redan i grundskolans första årskurser. I kursplanen för

matematikämnet anges i centralt innehåll för årskurs 1-3 bland annat (Skolverket, 2011, s 63):

Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla bråk samt hur

enkla bråk förhåller sig till naturliga tal.

Hänsyn till matematikämnets sju förmågor togs inte av alla lärare, trots att riktlinjerna är

tydliga: ”Undervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla

förmåga att…” (Skolverket, 2011, s 90) varefter de sju förmågorna listas och beskrivs. I första

frågeformuläret beskrev lärare med kortare erfarenhet i större utsträckning att de strävade att

alla sju förmågorna skulle finnas representerade på proven, men med tanke på svaren tycks

vissa lärare tycka att förmågorna är ”flum” och slöseri med tid. Detta ligger i linje med vad

forskning har visat (Nordgren m fl, 2012), nämligen att innehållet ligger i fokus, istället för

förmågorna. Det leder till att undervisningen ger eleverna för lite träning i de olika förmå-

gorna och därför är dåligt förberedda för det nationella provet. Den attityd till förmågorna

som lärarna ger uttryck för genom att svara att dessa är ”flum” innebär att alla sju förmågorna

riskerar att inte finnas representerade i provet. Proven får bristande giltighet eftersom allt

väsentligt – såsom alla sju förmågorna – inte finns representerat på proven (Linde, 2003).

34

4.6 Resultatsammanfattning

Svaren på första frågeformuläret var alltid korta, men efter en analys huruvida de

medverkande kan kategoriseras efter idealtyper (Svenning, 2003) visade det sig att man kunde

finna likheter i svaren beroende på lärares erfarenhet, vilket framför allt visade sig i att lärare

med kortare erfarenhet i större utsträckning hänvisade till styrdokumenten. Alla fem

deltagande lärare hade en klar egen bild av vad som karaktäriserar prestationerna hos elever

med grundläggande respektive avancerade kunskaper i matematik, men även här skiljde sig

svaren åt beroende på erfarenhet.

Bara två av de fem deltagande lärarna svarade på andra frågeformuläret som handlade om

att kategorisera tio olika matematikuppgifter utifrån om de ansågs vara på grundläggande nivå

eller avancerad nivå, och vilken av de sju förmågorna uppgiften mäter färdigheterna i. En

lärare bedömde att en uppgift innehöll förmågan Begrepp på grundläggande nivå och

förmågorna Procedur och Metod på avancerad nivå kan sägas prickat rätt då denna avsågs

vara ett exempel på en uppgift på avancerad nivå. Uppgiften som avsågs vara en uppgift på

mellannivå menade läraren var en uppgift som innehöll förmågorna Begrepp, Procedur och

Metod på grundläggande nivå. Överhuvudtaget stämde denna lärares bedömning av vilka

förmågor respektive uppgift innehöll nästan exakt med hur källorna till uppgifterna hade

klassificerat dem. Detta behöver inte på något sätt innebära att den läraren ger en mer varierad

undervisning med träning i alla sju förmågorna än läraren som menade att alla tio uppgifterna

var exempel på förmågan Procedur. Jag tillåter mig dock att påstå att båda dessa lärare ger

eleverna bättre träning i de sju förmågorna och därmed bland annat bättre förberedelse inför

nationella proven än lärare som menar att de sju förmågorna är ”flum”.

Sammantaget har undersökningen gett svar på hur några lärare erfar kunskapsbegreppet.

Eftersom lärarna använder kursplanernas kunskapsmål och ämnesplanens sju förmågor i olika

utsträckning gav inte undersökningen en lika fullständig bild av hur styrdokumenten erfars.

Istället framskymtade en bild av att lärare med kortare erfarenhet använde dessa som viktiga

stöd i undervisningen och kunskapsbedömningen, medan lärare med längre erfarenhet i större

utsträckning planerade sin undervisning och gjorde sin kunskapsbedömning baserat på sin

erfarenhet.

35

5. Slutsats och diskussion

5.1 Metoddiskussion

Att undersöka något man är genuint intresserad av innebär en risk. Intresset gör att man har

skaffat sig en förkunskap som format åsikter, som riskerar påverka resultaten. Redan från

början fanns givetvis ambitionen att vara så objektiv och neutral som det är möjligt i samband

med undersökningen. Att undersökningen varit en surveyundersökning där frågorna har

mejlats till deltagarna är därför en fördel. Frågorna har varit desamma till alla och det finns

ingen risk för avvikande följdfrågor som färgar resultaten. Det upplevdes också nödvändigt då

de som fick frågeformulär mejlade till sig kände till mig sedan tidigare. Vid en personlig

intervju kan det finnas en risk att viss information utelämnas eller på något sätt blir

förvanskad. Anledningen till att jag valde personer som kände till mig för min undersökning

var att detta troddes öka svarsfrekvensen. En annan anledning var tidsaspekten då personliga

intervjuer är betydligt mer tidsödande både vid genomförandet men även i samband med

analysen.

Endast fem deltagare i undersökningen gör att det inte är möjligt att göra några

generaliseringar eller dra några generella slutsatser. Syftet har inte heller varit det, utan

snarare att väcka frågor som en större undersökning kan ge svar på.

5.2 Resultatdiskussion och slutsatser

När jag planerade mitt examensarbete och frågeformulären fanns en dold avsikt med att välja

matematik 1b och något så basalt som bråk för andra frågeformuläret, nämligen att det är

oerhört svårt att avgöra vilken förmåga en uppgift mäter kunskapen i och även vilken

kvalitativ kunskapsnivå denna är på. Jag tror att det hade varit mycket enklare att avgöra

kvalitativ kunskapsnivå, men även förmåga, om uppgifterna till exempel hade gällt centrala

innehållet ”Algebraiska och grafiska metoder för lösning av extremvärdesproblem inklusive

teckenstudium och andraderivatan.” i kursplanen för matematik 3c (Skolverket, 2011, sidan

121) och som även återkommer i kursplanen för matematik 3b.

Tre av lärarna som deltog i undersökningen valde att inte svara på det andra

frågeformuläret. De tre lärarna var den med allra längst erfarenhet och de två med kortast

36

erfarenhet. Det gör det svårt att utifrån materialet som finns att tillgå göra en riktig analys om

orsakerna. Gemensamt för svaren är att de sju förmågorna är ”flum” och ”slöseri med tid”.

Varför är de sju förmågorna ”flum”? Varför betraktas inte dessa som en hjälp att göra en

likvärdig och rättvis bedömning av eleverna? Är det för att det är begrepp som är svåra att

konkretisera? Är det för att man inte tagit sig tid att reflektera över begreppen och att de

därför förefaller vara ”flum”? Detta överlåter jag till vidare undersökningar.

Om man jämför hur de två lärare som trots allt kategoriserade uppgifterna i andra

frågeformuläret efter förmåga och kunskapsnivå ser man att lärarna inte är ense. Läraren som

ansåg att samtliga uppgifter var på grundläggande nivå höll alltså inte med om att två

uppgifter inte var på grundläggande nivå. Förklaringen kan vara att eftersom bråk

introduceras redan i grundskolans första årskurser och att läraren därför bedömde att eleverna

borde vara så välbekanta med dessa att ingen av uppgifterna är på avancerad nivå. Mycket

riktigt så behandlas bråk som enbart repetition i en av läroböckerna som jag tittat i då jag

konstruerade uppgifterna till frågeformuläret. Författarna till denna tycks mena att detta inte

är något som eleverna ska lära sig i kursen Matematik 1b, utan bara friska upp minnet kring. I

de tre andra läroböckerna görs en mer genomgripande genomgång av bråk där detta inte heller

betraktas som enbart repetition. Dessa böcker har framför allt betydligt fler uppgifter för

eleverna att räkna.

Slutsatsen från denna undersökning är att lärare med längre erfarenhet i mindre

utsträckning än lärare med kortare erfarenhet utgår från formuleringar i riktlinjerna då man

planerar sin undervisning, konstruerar prov samt gör bedömningar och sätter betyg. Troligtvis

anses lärare med längre erfarenhet vara bättre pedagoger och bättre på att göra kunskaps-

bedömningar, just på grund av sin erfarenhet. Sammantaget visar det sig dock att inga lärare

oavsett erfarenhet fullt ut hänvisar till kunskapsmålen i sin bedömning. Bedömningen baseras

ibland enbart på ”tyst kunskap” om vad goda kunskaper i matematik är, inte vad

styrdokumenten säger.

Både provens form och innehåll påverkar elevernas syn på lärandet (Nordgren m fl, 2012).

Proven signalerar vad läraren anser är viktig kunskap i ämnet och eleverna anpassar sin

lärstrategi efter detta. Det är troligt att samma elever hade uppfattat kunskapskraven olika

beroende på vilken av de fem lärare som svarade på frågeformulären som man hade som

matematiklärare. Kursen är densamma, med samma centrala innehåll och kunskapskrav, men

som elev får man olika kurs beroende på lärare – inte enbart på grund av att kursplanerna ger

utrymme för egna tolkningar och möjlighet att lägga tyngdpunkten på olika moment, utan

37

även beroende på i vilken utsträckning läraren låter sin undervisning och sin bedömning

påverkas av styrdokumenten.

Vissa lärare ger uttryck för att nationella proven inte är tillräckligt bedömningsstöd. I

sammanhanget bör påminnas om att flera studier har visat att resultaten på nationella prov och

internationella kunskapsmätningar skiljer sig från betygsutfallet. Denna skillnad är särskilt

stor i matematik (Stenhag, 2010). Mest anmärkningsvärt tycker jag är att det i just matematik

är en så stor andel som får högre kursbetyg än provbetyg och att nästan ingen får lägre

kursbetyg än provbetyg, eftersom det är i just matematik Sverige dalar i internationella

kunskapsmätningar. En lärare gav uttryck för att han endast i undantagsfall sätter ett lägre

kursbetyg än provbetyg. Andra nämner att om en elev på nationella provet visar att hans eller

hennes kunskapsnivå i kursens slut är på en högre nivå än vad läraren har bedömt utifrån sina

egna prov får eleven ett högre kursbetyg, oftast provbetyget. Man undviker att redogöra för

hur man bedömer en elev som på lärarens egna prov får högre betyg än på nationella provet.

Detta antyder att nationella provet endast kan höja kursbetyget.

Lärarna svarade alla att omdömet på provet bestod av poäng och betyg, men ingen uppgav

om de gav provbetyg efter hela betygsskalan A-F eller om de bara gav betygen A, C, E och F.

Så som betygen B och D beskrivs, bland annat i Betygsskalan och betygen B och D – en

handledning (Skolverket, 2012) ska lärarens bedömningsunderlag baseras på kunskapskraven

för betygen A, C och E, och inte förrän ett kursbetyg ska sättas gör man avvägningen om en

elev till exempel ska ha betyget E eller D. Betyget D innebär att kunskapskraven för betyget E

och till övervägande del för C är uppfyllda (Skolverket, 2011).

5.3 Pedagogiska implikationer

Inte någon av lärarna i undersökningen ger uttryck för alternativa kunskapskontroller såsom

den i litteraturen så ofta omnämnda portföljmetoden. Även i matematik på gymnasienivå

skulle man kunna tänka sig portföljmetoden som en del i kunskapsbedömningen. Det kan vara

lite större komplexa problem som elever var för sig eller i samarbete med varandra löser. Med

större kunskap i matematik ges nya sätt att lösa samma uppgift på. Man kan även

vidareutveckla uppgiftens problemformulering eller lägga till deluppgifter. Faktum är att

nationella provets muntliga del i vissa kurser varit en variant på detta. Varje elev får en

uppgift som han eller hon får diskutera och lösa i samarbete med andra. Därefter ska varje

enskild elev redovisa sin lösning muntligt och förklara hur han eller hon tänkt. Denna typ av

uppgift skulle lärarna själva kunna ha som en del i sitt bedömningsunderlag. I läroböckerna

38

finns oftast just denna typ av uppgifter, men dessa är på sidor med avvikande färg så de

hoppas raskt över.

Öppna frågor skulle också kunna användas i större utsträckning i matematik. Min

upplevelse är dock att eleverna inte är vana vid öppna frågor från grundskolan, oavsett ämne.

Inte heller att poängen som anges vid en uppgift inte ger en ledtråd om den kvantitet som

krävs för ”full pott”. Eleverna tolkar till exempel tre poäng på en fråga som att det är tre saker

de ska räkna upp för ”full pott” och räknar upp bara tre saker, även om de kan tre till och även

om de kan koppla ihop alla sex till ett samband. I matematik tycks elever också vana från

grundskolan att ”svåra” uppgifter ger fler poäng än ”enkla”. Eleverna är alltså inte alls vana

vid den provkonstruktion som Nordgren m fl (2012) förespråkar. Eftersom kunskapssynen i

skolan handlar om en progression mot kvalitativt högre kunskapsnivå, inte om kvantitet,

gäller det att i sin poängsättning inte hamna i fällan att en uppgift som avhandlar ett enkelt

moment som innehåller mycket fakta eller ägnats lång tid inte ger fler poäng på provet än ett

moment som kräver djupare förståelse, flera matematiska förmågor eller helt enkelt kvalitativt

mer avancerad kunskap. Här är nationella provens E-, C- och A-poäng ett bra alternativ för att

kunna göra gränsdragningar mellan de många betygsstegen.

5.4 Avslutande reflektioner och förslag till fortsatt forskning

Den främsta anledningen till den nya betygsskalan med fem godkända betyg är att man ville

synliggöra kunskapsutvecklingen bättre och på så vis öka tydligheten i informationen till

elever och vårdnadshavare (SOU 2008/09:66). Jag håller dock med Selghed (2011) att så

många betygssteg som finns i nuvarande betygssystem ger fler gränsdragningsproblem och

gör det svårare att sätta ett korrekt betyg. Om det skulle visa sig i en större studie att lärare på

varje enskilt prov ger omdöme efter hela betygsskalan, vad innebär då till exempel

provbetygen E, E, D, D för kursbetyg? Talar man om starka E:n och svaga D:n i kursbetyg?

Är det här nationella provet kommer in som ett bedömningsstöd och som ska avgöra om det

tippar åt ena eller andra hållet?

Detta examensarbete ger antydningar till svar på många frågor. För att få mer exakta och

definitiva svar på de många frågorna skulle man kunna utvidga detta examensarbete till en

större studie. Detta examensarbete har en ganska bred frågeställning, så i en större studie där

man djupintervjuade lärare kunde man fokusera på en av detta examensarbetes

frågeställningar:

39

Hur är matematiklärares skriftliga prov konstruerade avseende till exempel

uppgiftstyper, nivågruppering och förmågorna i ämnesplanen?

Använder lärare andra kunskapskontroller såsom muntliga prov och portföljmetoden för

att uppfylla riktlinjen om att ”allsidigt utvärdera varje elevs kunskaper”?

Hur används nationella prov som bedömningsstöd och påverkar nationella provs

innehåll och konstruktion de egna proven?

Beskriver lärare prestationen hos en elev med grundläggande kunskaper i matematik

respektive avancerad kunskap utifrån kunskapskraven eller hur görs annars

kunskapsbedömningen av eleverna?

För min egna personliga del skulle jag i framtiden gärna studera lärares provkonstruktion i

matematik djupare och hur man motiverar provformen och provinnehållet för att göra en

kunskapsbedömning.

40

Källförteckning

Emanuelsson, Jonas (2001). En fråga om frågor. Hur lärares frågor i klassrummet gör det

möjligt att få reda på elevernas sätt att förstå det som undervisningen behandlar i

matematik och naturvetenskap. Diss. Göteborgs Universitet.

Korp, Helena (2003). Kunskapsbedömning – hur vad och varför. Stockholm: Myndigheten

för skolutveckling.

Linde, Göran (2003). Kunskap och betyg. Lund: Studentlitteratur.

Nordgren, Kenneth, Odenstad, Christina & Samuelsson, Johan (2012). Betyg i teori och

praktik. Ämnesdidaktiska perspektiv på bedömning i grundskola och gymnasium. Malmö:

Gleerups.

http://www.prim.su.se/matematik/kurs_1/seminarium/presentation_skolforum.pdf

PRIM-gruppen http://www.prim-gruppen.se/

Selghed, Bengt (2011). Betygen i skolan – kunskapssyn, bedömningsprinciper och

läropraxis. Stockholm: Liber.

Selghed, Bengt (2004). Ännu icke godkänt. Lärares sätt att erfara betygssystemet och dess

tillämpning i yrkesutövningen. Diss. Malmö Högskola.

Skolverket (2011). Gymnasieskola 2011. Stockholm: Skolverket.

Skolverket (2011). Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen för

gymnasieskola 2011. Stockholm: Skolverket.

Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011.

Stockholm: Skolverket.

Skolverket (2012). Betygsskalan och betygen B och D – en handledning. Stockholm:

Skolverket.

Skolverket (2013). Relationen mellan nationella kursprov och kursbetyg. SIRIS

Skolverket http://www.skolverket.se/kursplaner-och-betyg/betyg/att-satta-

betyg/2.6281/betyg-i-gymnasieskolan-1.182171

(SOU 2008/09:66): En ny betygsskala. Stockholm: Utbildningsdepartementet.

Stenhag, Staffan (2010). Betyget i matematik. Vad ger grundskolans matematikbetyg för

information? Diss. Uppsala Universitet.

Svenning, Conny (2003). Metodboken. Eslöv: Lorentz Förlag.

Uljens, Michael (red) (1997). Didaktik. Lund: Studentlitteratur.

Vetenskapsrådet (2011). God forskningsed. Stockholm: Vetenskapsrådet.

http://www.prim.su.se/matematik/kurs_1/seminarium/presentation_skolforum.pdf

http://www.skolverket.se/kursplaner-och-betyg/betyg/att-satta-betyg/2.6281/betyg-i-gymnasieskolan-1.182171

http://www.skolverket.se/kursplaner-och-betyg/betyg/att-satta-betyg/2.6281/betyg-i-gymnasieskolan-1.182171

41

Bilagor

Bilaga 1: Centralt innehåll för kursen Matematik 1b

Taluppfattning, aritmetik och algebra

Egenskaper hos mängden av heltal, olika talbaser samt begreppen primtal och delbarhet.

Metoder för beräkningar inom vardagslivet och karaktärsämnena med reella tal skrivna på

olika former inklusive potenser med heltalsexponenter samt strategier för användning av

digitala verktyg.

Hantering av algebraiska uttryck och för karaktärsämnena relevanta formler.

Begreppet linjär olikhet.

Algebraiska och grafiska metoder för att lösa linjära ekvationer och olikheter samt

potensekvationer.

Geometri

Begreppet symmetri och olika typer av symmetriska transformationer av figurer i planet samt

symmetriers förekomst i naturen och i konst från olika kulturer.

Representationer av geometriska objekt och symmetrier med ord, praktiska konstruktioner och

estetiska uttryckssätt.

Matematisk argumentation med hjälp av grundläggande logik inklusive implikation och

ekvivalens samt jämförelser med hur man argumenterar i vardagliga sammanhang och inom

olika ämnesområden.

Illustration av begreppen definition, sats och bevis, till exempel med Pythagoras sats och

triangelns vinkelsumma.

Samband och förändring

Fördjupning av procentbegreppet: promille, ppm och procentenheter.

Begreppen förändringsfaktor och index samt metoder för beräkning av räntor och amorteringar

för olika typer av lån.

Begreppen funktion, definitions- och värdemängd samt egenskaper hos linjära funktioner och

potens- och exponentialfunktioner.

Representationer av funktioner, till exempel i form av ord, gestaltning, funktionsuttryck, tabeller

och grafer.

Skillnader mellan begreppen ekvation, algebraiskt uttryck och funktion.

Sannolikhet och statistik

Granskning av hur statistiska metoder och resultat används i samhället och inom vetenskap.

Begreppen beroende och oberoende händelser samt metoder för beräkning av sannolikheter vid

slumpförsök i flera steg med exempel från spel och risk- och säkerhetsbedömningar.

Problemlösning

Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg.

Matematiska problem av betydelse för privatekonomi, samhällsliv och tillämpningar i andra

ämnen.

Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.

42

Bilaga 2: Kunskapskrav för kursen Matematik 1b

Betyget E

Eleven kan översiktligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer

samt översiktligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med viss säkerhet

mellan olika representationer. Eleven kan med viss säkerhet använda begrepp och samband mellan

begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena i bekanta

situationer. I arbetet hanterar eleven några enkla procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär

med viss säkerhet, både utan och med digitala verktyg.

Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av enkel karaktär. Dessa problem

inkluderar ett fåtal begrepp och kräver enkla tolkningar. I arbetet gör eleven om realistiska

problemsituationer till matematiska formuleringar genom att tillämpa givna matematiska modeller.

Eleven kan med enkla omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier och

metoder.

Eleven kan föra enkla matematiska resonemang och värdera med enkla omdömen egna och andras

resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven

med viss säkerhet i tal, skrift och handling med inslag av matematiska symboler och andra

representationer.

Genom att ge exempel relaterar eleven något i kursens innehåll till dess betydelse inom andra ämnen,

yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra enkla resonemang

om exemplens relevans.

Betyget D

Betyget D innebär att kunskapskraven för E och till övervägande del för C är uppfyllda.

Betyget C

Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer

samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med viss säkerhet


begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena. I arbetet

hanterar eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet, både utan

och med digitala verktyg.

Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem. Dessa problem inkluderar flera

begrepp och kräver avancerade tolkningar. I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till

matematiska formuleringar genom att välja och tillämpa matematiska modeller. Eleven kan med

enkla omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier, metoder och

alternativ till dem.

Eleven kan föra välgrundade matematiska resonemang och värdera med nyanserade omdömen egna

och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom

uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal, skrift och handling samt använder matematiska symboler

och andra representationer med viss anpassning till syfte och situation.

Genom att ge exempel relaterar eleven något i några av kursens delområden till dess betydelse inom

andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra

välgrundade resonemang om exemplens relevans.

Betyget B

Betyget B innebär att kunskapskraven för C och till övervägande del för A är uppfyllda.

Betyget A

Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av flera representationer

samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med säkerhet mellan

olika representationer. Eleven kan med säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för

att lösa komplexa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena. I arbetet hanterar

eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet och på ett effektivt

sätt, både utan och med digitala verktyg.

43

Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av komplex karaktär. Dessa problem

inkluderar flera begrepp och kräver avancerade tolkningar. I problemlösning upptäcker eleven

generella samband som presenteras med symbolisk algebra. I arbetet gör eleven om realistiska

problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja, tillämpa och anpassa matematiska

modeller. Eleven kan med nyanserade omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller,

strategier, metoder och alternativ till dem.

Eleven kan föra välgrundade och nyanserade matematiska resonemang, värdera med nyanserade

omdömen och vidareutvecklar egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och

välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven med säkerhet i tal, skrift och i handling samt

använder matematiska symboler och andra representationer med god anpassning till syfte och

situation.



välgrundade och nyanserade resonemang om exemplens relevans.

44

Bilaga 3: Första frågeformuläret till lärarna

Frågeformulär 1 (2)

Detta är det första frågeformuläret till mitt examensarbete med rubriken ”Vilka är

kunskapsskillnaderna hos elever med betyget A och E i matematik?” Vänligen besvara

nedanstående frågor efter bästa förmåga. Besvara gärna frågorna direkt i den här filen

och returnera därefter den som en bilaga i ett mejl till [email protected]. Syftet

med hela undersökningen är att undersöka hur lärare uppfattar de sju förmågorna som

anges i kursplanen för matematikämnet och hur kunskapskraven i kursen Matematik

1B uppfattas, samt hur lärare går till väga i sin provkonstruktion för att kunna göra en

bedömning av kunskapsskillnaderna mellan högt (A) och lågt (E) betyg. Frågorna i

detta frågeformulär handlar om hur bedömningsunderlaget för betygssättningen ser ut.

Kön:

Ålder:

Antal verksamma år som lärare:

Behörig lärare i ämnena:

Undervisar denna termin i kurserna:

Undervisar denna termin på programmen:

Nedanstående frågor gäller bedömning och betygssättning i matematik generellt!

I matematik är skriftliga prov den allra vanligaste bedömningsformen. Beskriv hur dina

skriftliga prov är utformade.

I vilken form ges omdömen på skriftliga prov?

Vilka andra kunskapskontroller utöver skriftliga prov utgör bedömningsunderlaget?

På vilket sätt används nationella provet som bedömningsstöd?

Försök att med egna ord beskriva vad som karaktäriserar prestationen hos en elev med

grundläggande kunskaper i matematik respektive avancerad kunskap.

mailto:[email protected]

45

Bilaga 4: Andra frågeformuläret till lärarna

Frågeformulär 2 (2)

Detta är det andra och sista frågeformuläret till mitt examensarbete med rubriken

”Vilka är kunskapsskillnaderna hos elever med betyget A och E i matematik?” Vänligen

besvara nedanstående frågor efter bästa förmåga. Besvara gärna frågorna direkt i den

här filen och returnera därefter den som en bilaga i ett mejl till [email protected].

Syftet med hela undersökningen är att undersöka hur lärare uppfattar de sju

förmågorna som anges i kursplanen för matematikämnet och hur kunskapskraven i

kursen Matematik 1B uppfattas, samt hur lärare går till väga i sin provkonstruktion för

att kunna göra en bedömning av kunskapsskillnaderna mellan högt (A) och lågt (E)

betyg. Frågorna i detta frågeformulär handlar om vad lärare uppfattar karakteriserar

uppgifter som kontrollerar färdigheten i de sju förmågorna och även vad som

karakteriserar en uppgift på grundläggande nivå och avancerad nivå.

I ämnet matematik på gymnasiet anges ju sju förmågor som undervisningen ska ge

eleverna förut-sättningar att utveckla nämligen:

1. använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen.

2. hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg.

3. formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och

resultat.

4. tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en

modells egenskaper och begränsningar.

5. följa, föra och bedöma matematiska resonemang.

6. kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling.

7. relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt,

samhälleligt och historiskt sammanhang.

I kunskapskraven för betyget E anges:

Eleven kan översiktligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer

samt översiktligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med viss säkerhet


begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena i bekanta

situationer. I arbetet hanterar eleven några enkla procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär

med viss säkerhet, både utan och med digitala verktyg.

Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av enkel karaktär. Dessa problem

inkluderar ett fåtal begrepp och kräver enkla tolkningar. I arbetet gör eleven om realistiska

problemsituationer till matematiska formuleringar genom att tillämpa givna matematiska modeller.

Eleven kan med enkla omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier och

metoder.

Eleven kan föra enkla matematiska resonemang och värdera med enkla omdömen egna och andras

resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven

med viss säkerhet i tal, skrift och handling med inslag av matematiska symboler och andra

representationer.

mailto:[email protected]

46

Genom att ge exempel relaterar eleven något i kursens innehåll till dess betydelse inom andra ämnen,

yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra enkla resonemang

om exemplens relevans.

För betyget A:

Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av flera representationer

samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med säkerhet mellan

olika representationer. Eleven kan med säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för

att lösa komplexa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena. I arbetet hanterar

eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet och på ett effektivt

sätt, både utan och med digitala verktyg.

Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av komplex karaktär. Dessa problem

inkluderar flera begrepp och kräver avancerade tolkningar. I problemlösning upptäcker eleven

generella samband som presenteras med symbolisk algebra. I arbetet gör eleven om realistiska

problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja, tillämpa och anpassa matematiska

modeller. Eleven kan med nyanserade omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller,

strategier, metoder och alternativ till dem.

Eleven kan föra välgrundade och nyanserade matematiska resonemang, värdera med nyanserade

omdömen och vidareutvecklar egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och

välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven med säkerhet i tal, skrift och i handling samt

använder matematiska symboler och andra representationer med god anpassning till syfte och

situation.



välgrundade och nyanserade resonemang om exemplens relevans.

I kursplanen för kursen Matematik 1b anges under rubriken centralt innehåll bland

annat:

Egenskaper hos mängden av heltal, olika talbaser samt begreppen primtal och delbarhet.

Nedan finns tio exempel på matematikuppgifter inom ovan angivna centrala innehåll.

Försök kategorisera dem efter vilken eller vilka förmågor dessa mäter och huruvida

uppgiften kan anses som grundläggande (omdöme E) eller avancerad (omdöme A). Du

måste välja det ena eller det andra. Markera också på respektive uppgift vilken förmåga

denna är exempel på. Här kan du välja flera. Använd tabellen nederst på sidan. Det

finns inget facit, utan det är bara din åsikt som räknas.

47

1. Vilket bråk är störst?

eller

2. Bestäm det bråk som är hälften av

3. Beräkna +

4. Vilket är mest av 60 kr eller av 50 kr?

5. Beräkna

6. Vilket bråk är hälften av två sjundedelar

7. I ett naturreservat är 3/5 täckt av skog. 2/3 av skogen är lövskog.

Är det sant att mer än 1/3 av naturreservatet är täckt av lövskog?

8. I en klass med 30 elever kom en dag två femtedelar för sent till dagens första lektion.

Hur många kom i tid?

9. Ange ett bråktal som ligger mitt emellan

och

10. Anton satsade 30 kr, Britta satsade 40 kr och Carl 50 kr på samma lottokupong. Hur

ska en vinst på 960 kr fördelas?

Uppgift

Förmåga 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1. BEGREPP A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E

2. PROCEDUR A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E

3. METOD A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E

4. TOLKNING A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E

5. RESONEMANG A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E

6. KOMMUNIKATION A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E

7. RELEVANS A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E

Hur erfar l¤rare kunskapsskillnaderna hos elever med betyget A och E i matematik p¥ gymnasiet?

Documents

Transcript of Hur erfar l¤rare kunskapsskillnaderna hos elever med betyget A och E i matematik p¥ gymnasiet?