HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher
Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
KHOẢNG CÁCH – GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là ,
với là hình chiếu của trên đường thẳng .
Kí hiệu: .
② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là , với
là hình chiếu của trên mặt phẳng .
Kí hiệu: .
③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng
cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia.
④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với
nhau là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường đến
mặt phẳng :
⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ
một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi
là đường vuông góc chung của . gọi là đoạn vuông góc chung của .
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó.
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng
a. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cho trước
M a MH
H M a
,d M a MH
M MH
H M
,d M MH
, ,d a b d M b MH M a
a
M a
, ,d a d M MH M a
, , A, ,d d a d AH a A a
,a b
,a b IJ ,a b
M d
a
b
c
J
Ia
bJ
I
H
M
M
Ha
M
Ha
b
M
H
a
AB
H K
a
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher
Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Các bước thực hiện:
Bước 1. Trong mặt phẳng hạ với .
Bước 2. Thực hiện việc xác định độ dài dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác,
đường tròn, …
Chú ý:
Nếu tồn tại đường thẳng qua và song song với thì:
.
Nếu , thì: .
b. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Các bước thực hiện:
Bước 1. Tìm hình chiếu của lên .
- Tìm mặt phẳng qua O và vuông góc với .
- Tìm .
- Trong mặt phẳng , kẻ tại H.
H là hình chiếu vuông góc của O lên .
Bước 2. Khi đó là khoảng cách từ O đến .
Chú ý:
Chọn mặt phẳng sao cho dễ tìm giao tuyến với .
Nếu đã có đường thẳng thì kẻ cắt tại H.
Nếu thì: .
Nếu cắt tại I thì:
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Trường hợp a b:
- Dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại B.
- Trong dựng BA a tại A.
là đoạn vuông góc chung.
Trường hợp a và b không vuông góc với nhau.
Cách 1: (Hình a)
- Dựng mp chứa a và song song với b.
- Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM () tại M
,M d MH d H d
MH
a A d
, ,d M d d A d AK A d
MA d I,
,
d M d MI
AId A d
O
H O
OH
OH
d / /Ox d
//OA , ,d O d A
OAO,
,
d OI
AId A
,a b
AB
M
Ha
a M A
Kd
A
Kd
I H
M
O
H
H
O d
H
O A
K
H
O
A
KI
b
aB
A
(Hình a)
A
B M
M'
a
b
b'
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher
Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
- Từ M dựng b// b cắt a tại A.
- Từ A dựng cắt b tại B.
AB là đoạn vuông góc chung.
Cách 2: (Hình b)
- Dựng mặt phẳng tại O, cắt b tại I
- Dựng hình chiếu vuông góc b của b lên
- Trong mp , vẽ OH b tại H.
- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B
- Từ B dựng đường thẳng song song với cắt a tại A.
AB là đoạn vuông góc chung.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cách 1. Dùng đường vuông góc chung:
- Tìm đoạn vuông góc chung AB của .
-
Cách 2. Dựng mặt phẳng chứa a và song song với b. Khi đó:
Cách 3. Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó:
3. Phương pháp tọa độ trong không gian
a) Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm :
+ Mặt phẳng đi qua điểm có vtpt có dạng:
+ Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng :
Công thức tính nhanh:
b) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau là:
c) Góc giữa hai đường thẳng theo công thức:
d) Góc giữa hai mặt phẳng và :
có vecto pháp tuyến ; có vtpt , khi đó:
//AB MM
a
OH
,a b
,a b
,d a b AB
, ,d a b d b
, ,d a b d
MNP ; y ; ,N ;y ; ,P ;y ;M M M N N N P P P
M x z x z x z
MNP ; y ;M M M
M x z A;B;Cn MN MP
0 z 0M M M
A x x B y y C z z Ax By C D
; y ;I I I
I x z MNP
2 2 2,( ) I I I
Ax By Cz DIH d I MNP
A B C
.,( )
MN MP MId I MNP
MN MP
,AB CD.
,AB CD AC
d AB CDAB CD
,AB CD.
cos ,.
ABCDAB CD
AB CD
ABC MNP
ABC1n AB AC MNP
2n MN MP
(Hình b)
b'
a bA
O
I H
B
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher
Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
e) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Tính và có vtpt , thì:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết ,
. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD. Tính
khoảng cách h từ M đến mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, . Cạnh OA
vuông góc với mặt phẳng (OBC), , gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách h
giữa hai đường thẳng AB và OM.
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
, . Gọi F là trung điểm SC, tính góc giữa hai đường thẳng BF và AC.
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy và
. Gọi M là trung điểm của SC. Tính côsin của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng
.
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và
. Tính góc giữa hai mặt phẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc . Các mặt phẳng
và cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm SD, thể tích khối chóp
S.ABCD là . Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng theo a.
A. . B. . C. . D. .
1 2
1 2
.cos ,
.
n nABC MNP
n n
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
,.
AA B B C CABC MNP
A B C A B C
AB MNP
u AB MNP n MN MP.
sin , ,.
u nAB MNP AB MNP
u n
2AD a
AB BC SA a
SCD
6
6
ah
6
3
ah
3
6
ah
3
ah
, 3OB a OC a
3OA a
5
5
ah
3
2
ah
15
5
ah
3
15
ah
ABCD 2SA a
060 090 030 045
2SA a
ABC
21cos
7
5cos
10
7cos
14
5cos
7
SA a SBC SDC
090 060 030 045
0120BAD
SAB SAD
3 3
3
a SBC
228
38
ah
228
19
ah
2 5
5
ah
2 5
19
ah
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher
Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 2a, góc . Các mặt
phẳng và cùng vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD là .
Hãy tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, . Hai mặt phẳng và
cùng vuông góc với mặt đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng là . Tính góc
tạo bởi hai đường thẳng SB và AC.
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng và cùng
vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD là . Tính góc giữa đường thẳng SB
và mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều cạnh a, hai mặt phẳng và cùng vuông
góc với mặt đáy và . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt
đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng là , gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau OG và AD.
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, . Hai mặt phẳng
và cùng vuông góc với mặt đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
là . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách h từ G đến mặt phẳng theo a.
A. . B. . C. . D. .
KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết ,
. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD. Tính
khoảng cách h từ M đến mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
0120BAD
SAB SAD32 3
3
a
2 5
5
ah
3
2
ah
6
2
ah
6
3
ah
AB a SAB
SAC SBC2
2
a
045 090 030 060
SAB SAD
3
3
a
SCD
045 060 030 090
SAB SAC
3SA a SAB SBC
1cos
5
5cos
7
7cos
7
1cos
3
ABCD 045
5
2
ah
5
3
ah
3
2
ah
2
3
ah
0120BAD
SAB SCD ABCD
045 SCD
7
14
ah
21
7
ah
2 21
21
ah
3
7
ah
2AD a
AB BC SA a
SCD
6
6
ah
6
3
ah
3
6
ah
3
ah
A
S
B C
H M D
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher
Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Hướng dẫn giải
C1: phương pháp dựng hình.
Tứ giác ABCM là hình vuông nên
Suy ra tam giác ACD vuông tại C
Ta có
Kẻ tại H khi đó do
Vậy
Tam giác SAC vuông tại A, đường cao AH nên
Suy ra .
C2: Phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có :
Từ đó suy ra
Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng là
.
Câu 2. Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, . Cạnh OA vuông
góc với mặt phẳng (OBC), , gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách h giữa hai
đường thẳng AB và OM.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Cách 1 : phương pháp dựng hình
Gọi N là điểm đối xứng của C qua O. Khi đó ( tính chất đường trung bình )
do đó . Suy ra .
Dựng ,
Dựng khi đó . Từ đó
Tam giác ONB vuông tại O, đường cao OK nên
Tam giác AOK vuông tại O, đường cao OH nên
1
2CM a AD
,CD AC CD SA CD SAC
AH SC
CD SAC CD AH AH SCD
1 1
, ,2 2
d M SCD d A SCD AH
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
2 2AH SA AC a a a
6 6
,3 6
a aAH d M SCD
0;0;0 , ;0;0 , 0;2 ;0 , 0;0;A B a D a S a
0; ;0 , ; ;0 0; ;M a C a a SM a a
; ; , 0;2 ;SC a a a SD a a
2 2 2 2, ; ;2 , , 6SC SD a a a SC SD a
SCD
3
2
, . 6,
66,
SC SD SM a ad M SCD
aSC SD
, 3OB a OC a
3OA a
5
5
ah
3
2
ah
15
5
ah
3
15
ah
//OM BN
//OM ABN , , ,d OM AB d OM ABN d O ABN
OK BN OA OBC BN OA BN AK
OH AK OH ABN ,d OM AB OH
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4
3 3OK ON OB a a a
A
S
BC
M D
x
y
z
H
A
B
C
M
ON
K
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher
Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Vậy .
Cách 2 : Phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó , .
Suy ra
Vậy .
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
, . Gọi F là trung điểm SC, tính góc giữa hai đường thẳng BF và AC.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
C1 : Phương pháp dựng hình
Gọi O là giao điểm của AC và BD khi đó .
Lại có nên . Vậy .
Cách 2 : phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có:
Suy ra
Vậy .
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy và
. Gọi M là trung điểm của SC. Tính côsin của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng
.
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 5 15
3 3 3 5
aOH
OH OK OA a a a
15
,5
ad OM AB
0;0;0 , 0;0; 3 , ;0;0 , 0; 3;0O A a B a C a3
; ;02 2
a aM
3
; ;0 , ;0; 3 , ;0;02 2
a aOM AB a a OB a
2 2 2 23 3 3 15, ; ; , ,
2 2 2 2
a a a aAB OM AB OM
, . 15
,5,
AB OM OB ad AB OM
AB OM
ABCD
2SA a
060 090 030 045
//OF SA OF ABCD OF AC
AC BD AC BDF AC BF 0, 90AC BF
0;0;0 ,A ;0;0 , ; ;0 , 0;0;2B a C a a S a
; ; , ; ; , ; ;02 2 2 2
a a a aF a BF a AC a a
0. 0 , 90BF AC BF AC BF AC
2SA a
ABC
S
DA
B C
O
F
x
y
z
S
DA
BC
F
x
y
z
A
B
C
M
O
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher
Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
C1 : phương pháp dựng hình
Gọi H là trung điểm của AC khi đó
Vậy hình chiếu của BM lên mặt phẳng là BH.
Suy ra . Ta có :
Tam giác MHB vuông tại H nên ; .
C2 : phương pháp tọa độ
Gọi H là trung điểm của AC khi đó
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó
Giả sử góc giữa BM và mặt phẳng (ABC) là thì ta có :
.
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và
. Tính góc giữa hai mặt phẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
C1 : phương pháp dựng hình
Ta chứng minh được
Kẻ . Ta có .
Từ . Vậy
Tam giác SBC vuông tại B, đường cao BH nên ta có
21cos
7
5cos
10
7cos
14
5cos
7
//MH SA MH ABC
ABC
, ,BM ABC BM BH MBH 3
, , 52
aMH a BH SB SC a
2 2 7
2
aBM BH MH
21cos
7
BHMBH
BM
//MH SA MH ABC
3
0;0;0 , 0;0; , ;0;02
aH M a B
3
;0; , 0;0;2
aBM a HM a
. 2 7 21sin cos
7 7.
BM HM
BM HM
SA a SBC SDC
090 060 030 045
,BC SAB BC SB CD SAD CD SD
1BH SC 2BD SAC SC BD
1 , 2 SC BHD SC DH , ,SBC SDC BH DH
H
M
S
A
B
C
x
y
z
H
M
S
A
B
C
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher
Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Áp dụng định lí cô sin vào tam giác BHD ta có
Vậy .
C2 : phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó
Suy ra
Mặt phẳng có một VTPT là :
Mặt phẳng có một VTPT là :
Vậy .
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc . Các mặt phẳng
và cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm SD, thể tích khối chóp
S.ABCD là . Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng theo a.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Cách 1 : phương pháp dựng hình
Hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt phẳng
nên . Ta có
. Vậy
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác ABC đều nên , lại có
nên
Dựng .
2 2 2 2
1 1 1 3 6
2 3
aBH DH
BH SB BC a
2 2 2 1cos
2 . 2
BH DH BDBHD
BH DH
01cos , cos , , 60
2SBC SDC BH DH SBC SDC
0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , 0;0;A B a C a a D a S a
;0; , ; ; , 0; ; ,SB a a SC a a a SD a a
SBC 2 2, ;0;n SB SC a a
SDC 2 2, 0; ;k SD SC a a
0. 1
cos , , 602.
n kSBC SDC SBC SDC
n k
0120BAD
SAB SAD
3 3
3
a SBC
228
38
ah
228
19
ah
2 5
5
ah
2 5
19
ah
SAB SAD
ABCD SA ABCD 1 1
, ,2 2
DMd M SBC d D SBC
DS //AD BC
1
// , ,2
AD SBC d D SBC d A SBC 1
, ,2
d M SBC d A SBC
AH BC
SA ABCD SA BC BC SAH SBC SAH
,AK SH AK SBC d A SBC AK
O
DH
S
A
B C x
y
z
D
S
A
BC
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher
Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Diện tích hình thoi ABCD là :
Từ đó suy ra . Tính được
Tam giác SAH vuông tại A, đường cao AK nên :
.
Vậy .
Phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, . Khi đó ta có
Vậy .
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 2a, góc . Các mặt phẳng
và cùng vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD là . Hãy tính
khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Cách 1 : phương pháp dựng hình
Hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến SA
và cùng vuông góc với mặt phẳng nên .
Dựng đường thẳng d qua B và song song với AC.
Dựng . Ta chứng minh được
20 3
. .sin 602
ABCD
aS AB BC
.32S ABCD
ABCD
VSA a
S
3
2
aAH
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 19 228
3 4 12 19
aAK
AK AH SA a a a
1 228
,2 38
ad M SBC AK
//Oz SA
3
0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , ;0;02 2 2
a a aO A B C
3 30; ;0 ;0;2 , ; ;
2 2 4 4
a a a aD S a M a
3 3
; ; 2 , ;0; 2 , ; ;2 2 4 4
a a a aSB a SC a a SM a
, .
,,
SB SC SMd M SBC
SB SC
228
38
a
0120BAD
SAB SAD32 3
3
a
2 5
5
ah
3
2
ah
6
2
ah
6
3
ah
SAB SAD
ABCD SA ABCD
,AH d AK SH AK SBH
K
M
H
D
S
A
B CO
x
y
z
M
D
S
A
BC
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher
Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
suy ra .
Vậy tứ giác AHBO là hình chữ nhật nên
Diện tích hình thoi ABCD là
Suy ra
Tam giác SAH vuông tại A, đường cao AK nên
. Vậy .
Cách 2 : phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, . Khi đó ta có
Suy ra
Vậy .
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, . Hai mặt phẳng và
cùng vuông góc với mặt đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng là . Tính góc
tạo bởi hai đường thẳng SB và AC.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Cách 1 : phương pháp dựng hình
Hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt phẳng
nên . Dựng . Ta có :
. Vậy , từ đó suy ra
Tam giác SAB vuông tại A, đường cao AK nên ta có :
Dựng hình bình hành ACBD như hình vẽ, khi đó:
Tính được nên tam giác SBD đều.
// // , ,AC HB AC SBH d AC SB d AC SBH AK
,BO AC AH HB AH AC //AH BO
3AH BO a
0 2. .sin 60 2 3ABCDS AB BC a
.3 S ABCD
ABCD
VAH a
S
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 3
3 3 2
aAK
AK AH SA a a a
3,
2
ad AC SB
//Oz SA
0;0;0 , ;0;0 , 0; 3 ;0 , ;0;0 , ;0;O A a B a C a S a a
; 3; , 0; 3;0 , ;0;0SB a a a OB a OC a
, . 3
,2,
OC SB OB ad AC SB
OC SB
AB a SAB
SAC SBC2
2
a
045 090 030 060
SAB SAC
ABCD SA ABCD AK SB ,BC AB BC SA
BC SAC BC AK AK SBC2
2
aAK
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 1SA a
SA AK AB a a a
// , ,AC BD AC SB BD SB
2, 2, 2SD a SB a BD a
K
H O
D
S
A
B C
d
xy
z
O
D
S
A
BC
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher
Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Vậy .
Cách 2 : phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, . Khi đó theo cách 1 ta có :
, suy ra
Vậy .
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng và cùng vuông
góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD là . Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt
phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Cách 1 : phương pháp dựng hình
Hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến SA
và cùng vuông góc với mặt phẳng nên .
Do đó .
Tam giác SAD vuông tại A nên
Ta có
Vậy diện tích tam giác SCD là :
Gọi I là hình chiếu của B lên mặt phẳng khi đó
Mặt khác
Tam giác SAB vuông tại A nên
Tam giác SIB vuông tại I nên
Vậy .
0, 60AC SB SBD
//Bz SA
0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , ;0;B A a C a S a a ;0; , ; ;0BS a a AC a a
0. 1
cos , , 602.
BS ACAC SB AC SB
BS AC
SAB SAD
3
3
a
SCD
045 060 030 090
SAB SAD
ABCD SA ABCD
.3 S ABCD
ABCD
VSA a
S
2 2 2SD SA AD a
,CD AD CD SA CD SAD CD SD
21 2.
2 2SCD
aS SD CD
SCD , ,SB SCD SB SI BSI
. .3 3 2
2 2
B SCD S ABCD
SCD SCD
V V aBI
S S
2 2 2SB SA AB a
01sin 30
2
BIBSI BSI
SB
0, 30SB SCD
K
D
S
A
B
C
x y
zS
A
B
C
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher
Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Cách 2 : phương pháp tọa độ
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Khi đó theo cách 1 ta tính được ,
Nên
Suy ra
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Vậy .
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều cạnh a, hai mặt phẳng và cùng vuông
góc với mặt đáy và . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Cách 1 : phương pháp dựng hình
Hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt phẳng
nên .
Gọi M là trung điểm của AB, do tam giác ABC đều nên ,
lại có suy ra .
Dựng thì
Vậy
Hai tam giác SAB và MIB đồng dạng nên :
Tam giác CMB vuông tại M nên :
Tam giác IMB vuông tại I nên :
Tam giác CIB vuông tại I nên :
Áp dụng định lí côsin cho tam giác IMC ta có :
SA a
0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , ; ;0 , 0;0;A D a B a C a a S a
;0; , ; ; , 0; ;SD a a SC a a a SB a a
SCD 2 2 2, ; ;2n SD SC a a a
0. 1
sin , , 302.
n SBSB SCD SB SCD
n SB
SAB SAC
3SA a SAB SBC
1cos
5
5cos
7
7cos
7
1cos
3
SAB SAC
ABC SA ABC
CM AB
SA ABC SA CM CM SAB CM SB
CI SB SB CMI SB IM
, , ,IM SB CI SB SAB SBC MI CI
2 2
. . 3
42
SA SB MB SA AB SA aMI
MI MB SB SA AB
2 2 3
2
aCM CB MB
2 2
4
aIB MB IM
2 2 15
4
aCI CB IB
OD
S
A B
C
I
x
y
z
D
S
AB
C
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher
Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
.
Cách 2 : phương pháp tọa độ
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, M là trung điểm BC,
Khi đó
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Vậy .
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy.
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng là , gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính
khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau OG và AD.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Cách 1 : phương pháp dựng hình
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB.
Dựng
Lại có nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng
Từ đó suy ra .
2 2 2 1 1cos cos
2 . 5 5
CI IM CMCIM
CI IM
//Oz SA
3 3
0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , ;0; 32 2 2
a a aM A B S a
30;0; 3 , ; ; 3
2 2
a aSA a SB a
3;0; 3 , 0; ;0
2 2
a aMS a MB
SAB2 23 3
, ; ;02 2
a an SA SB
SBC2 23 3
, ;0;2 4
a ak MS MB
. 1
cos ,5.
n kSAB SBC
n k
ABCD 045
5
2
ah
5
3
ah
3
2
ah
2
3
ah
// // , , ,AD MN AD SMN d AD MN d AD SMN d A SMN
,MN AB MN SA MN SAB SMN SAB
,AK SN AH SMN d A SMN AK
SA ABCD ABCD
0, , 45SC ABCD SC AC SCA
M
I
S
A
B
C
xy
z
M
S
A
B
C
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher
Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Vậy giác SAC vuông cân, suy ra
Tam giác SAN vuông tại A, đường cao AK suy ra :
.
Cách 2 : phương pháp tọa độ
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, theo cách 1 ta tính được
Khi đó
Suy ra
. Vậy .
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, . Hai mặt phẳng
và cùng vuông góc với mặt đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
là . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách h từ G đến mặt phẳng theo a.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Cách 1 : phương pháp dựng hình
Hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt phẳng
nên . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD khi đó .
Ta có
Lại có
Tam giác ACD đều nên , mà
Dựng
Do nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng suy ra
Ta tính được
2SA AC a
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 9 2
2 2 3
aAK
AK SA AN a a a
2SA a
0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , 0;0; 2A B a C a a D a S a
2 2 2; ;0 , ; ; , ; ;
2 2 3 3 3 6 6 3
a a a a a a a aO G OG
0; ;0 , ; ;02 2
a aAD a AO
, . 2,
3,
AD OG AO ad AD OG
AD OG
0120BAD
SAB SCD ABCD
045 SCD
7
14
ah
21
7
ah
2 21
21
ah
3
7
ah
SAB SCD
ABCD SA ABCD G CM BO
// , ,AM CD d M SCD d A SCD
2 2 2
, , ,3 3 3
GCd G SCD d M SCD d A SCD
MC
AN CD CD SA CD SAN SAN SCD
,AK SN AK SCD d A SCD AK
SA ABCD ABCD
0, , 45SC ABCD SC AC SCA AC SA a
3
2
aAN
NO
D
M
S
A
BC
KG
x
y
z
O
D
M
S
A
BC
G
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher
Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Tam giác SAN vuông tại A, đường cao AK nên ta có :
Vậy
Cách 2 : phương pháp tọa độ
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, theo cách 1 ta tính được .
Khi đó
. Vậy .
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 7 21
3 3 7
aAK
AK SA AN a a a
2 2 21
,3 21
ad G SCD AK
SA a
3
0;0;0 , ;0;0 , ;0;0 , 0; ;02 2 2
a a aO A C D
3
0; ;0 , ;0; ;0;6 2
a aG S a CS a a
3 3; ;0 , ; ;0
2 2 2 6
a a a aCD CG
, . 2 21
,21,
CS CD CG ad G SCD
CS CD
N
K
O
D
M
S
A
BC
G x
y
z
ODM
S
A
BC
G
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher
Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Top Related