H C CÙNG VIETJACK y Trần Xuân Trườ fileHỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường –...

HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher

Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack

KHOẢNG CÁCH – GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là ,

với là hình chiếu của trên đường thẳng .

Kí hiệu: .

② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là , với

là hình chiếu của trên mặt phẳng .

Kí hiệu: .

③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng

cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia.

④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với

nhau là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường đến

mặt phẳng :

⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ

một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi

là đường vuông góc chung của . gọi là đoạn vuông góc chung của .

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai

đường thẳng đó.

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng

a. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cho trước

M a MH

H M a

,d M a MH

M MH

H M

,d M MH

, ,d a b d M b MH M a

a

M a

, ,d a d M MH M a

, , A, ,d d a d AH a A a

,a b

,a b IJ ,a b

M d

a

b

c

J

Ia

bJ

I

H

M

M

Ha

M

Ha

b

M

H

a

AB

H K

a



Các bước thực hiện:

Bước 1. Trong mặt phẳng hạ với .

Bước 2. Thực hiện việc xác định độ dài dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác,

đường tròn, …

Chú ý:

Nếu tồn tại đường thẳng qua và song song với thì:

.

Nếu , thì: .

b. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Các bước thực hiện:

Bước 1. Tìm hình chiếu của lên .

- Tìm mặt phẳng qua O và vuông góc với .

- Tìm .

- Trong mặt phẳng , kẻ tại H.

H là hình chiếu vuông góc của O lên .

Bước 2. Khi đó là khoảng cách từ O đến .

Chú ý:

Chọn mặt phẳng sao cho dễ tìm giao tuyến với .

Nếu đã có đường thẳng thì kẻ cắt tại H.

Nếu thì: .

Nếu cắt tại I thì:

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Trường hợp a b:

- Dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại B.

- Trong dựng BA a tại A.

là đoạn vuông góc chung.

Trường hợp a và b không vuông góc với nhau.

Cách 1: (Hình a)

- Dựng mp chứa a và song song với b.

- Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM () tại M

,M d MH d H d

MH

a A d

, ,d M d d A d AK A d

MA d I,

,

d M d MI

AId A d

O

H O

OH

OH

d / /Ox d

//OA , ,d O d A

OAO,

,

d OI

AId A

,a b

AB

M

Ha

a M A

Kd

A

Kd

I H

M

O

H

H

O d

H

O A

K

H

O

A

KI

b

aB

A

(Hình a)

A

B M

M'

a

b

b'



- Từ M dựng b// b cắt a tại A.

- Từ A dựng cắt b tại B.

AB là đoạn vuông góc chung.

Cách 2: (Hình b)

- Dựng mặt phẳng tại O, cắt b tại I

- Dựng hình chiếu vuông góc b của b lên

- Trong mp , vẽ OH b tại H.

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B

- Từ B dựng đường thẳng song song với cắt a tại A.

AB là đoạn vuông góc chung.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách 1. Dùng đường vuông góc chung:

- Tìm đoạn vuông góc chung AB của .

-

Cách 2. Dựng mặt phẳng chứa a và song song với b. Khi đó:

Cách 3. Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó:

3. Phương pháp tọa độ trong không gian

a) Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm :

+ Mặt phẳng đi qua điểm có vtpt có dạng:

+ Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng :

Công thức tính nhanh:

b) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau là:

c) Góc giữa hai đường thẳng theo công thức:

d) Góc giữa hai mặt phẳng và :

có vecto pháp tuyến ; có vtpt , khi đó:

//AB MM

a

OH

,a b

,a b

,d a b AB

, ,d a b d b

, ,d a b d

MNP ; y ; ,N ;y ; ,P ;y ;M M M N N N P P P

M x z x z x z

MNP ; y ;M M M

M x z A;B;Cn MN MP

0 z 0M M M

A x x B y y C z z Ax By C D

; y ;I I I

I x z MNP

2 2 2,( ) I I I

Ax By Cz DIH d I MNP

A B C

.,( )

MN MP MId I MNP

MN MP

,AB CD.

,AB CD AC

d AB CDAB CD

,AB CD.

cos ,.

ABCDAB CD

AB CD

ABC MNP

ABC1n AB AC MNP

2n MN MP

(Hình b)

b'

a bA

O

I H

B



e) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :

Tính và có vtpt , thì:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết ,

. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD. Tính

khoảng cách h từ M đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 2. Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, . Cạnh OA

vuông góc với mặt phẳng (OBC), , gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách h

giữa hai đường thẳng AB và OM.

A. . B. . C. . D. .

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng

, . Gọi F là trung điểm SC, tính góc giữa hai đường thẳng BF và AC.

A. . B. . C. . D. .

Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy và

. Gọi M là trung điểm của SC. Tính côsin của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng

.

A. . B. . C. . D. .

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và

. Tính góc giữa hai mặt phẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc . Các mặt phẳng

và cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm SD, thể tích khối chóp

S.ABCD là . Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng theo a.

A. . B. . C. . D. .

1 2

1 2

.cos ,

.

n nABC MNP

n n

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

,.

AA B B C CABC MNP

A B C A B C

AB MNP

u AB MNP n MN MP.

sin , ,.

u nAB MNP AB MNP

u n

2AD a

AB BC SA a

SCD

6

6

ah

6

3

ah

3

6

ah

3

ah

, 3OB a OC a

3OA a

5

5

ah

3

2

ah

15

5

ah

3

15

ah

ABCD 2SA a

060 090 030 045

2SA a

ABC

21cos

7

5cos

10

7cos

14

5cos

7

SA a SBC SDC

090 060 030 045

0120BAD

SAB SAD

3 3

3

a SBC

228

38

ah

228

19

ah

2 5

5

ah

2 5

19

ah



Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 2a, góc . Các mặt

phẳng và cùng vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD là .

Hãy tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.

A. . B. . C. . D. .

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, . Hai mặt phẳng và

cùng vuông góc với mặt đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng là . Tính góc

tạo bởi hai đường thẳng SB và AC.

A. . B. . C. . D. .

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng và cùng

vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD là . Tính góc giữa đường thẳng SB

và mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều cạnh a, hai mặt phẳng và cùng vuông

góc với mặt đáy và . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt

đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng là , gọi G là trọng tâm tam giác SCD.

Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau OG và AD.

A. . B. . C. . D. .

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, . Hai mặt phẳng

và cùng vuông góc với mặt đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

là . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách h từ G đến mặt phẳng theo a.

A. . B. . C. . D. .

KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết ,

. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD. Tính

khoảng cách h từ M đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

0120BAD

SAB SAD32 3

3

a

2 5

5

ah

3

2

ah

6

2

ah

6

3

ah

AB a SAB

SAC SBC2

2

a

045 090 030 060

SAB SAD

3

3

a

SCD

045 060 030 090

SAB SAC

3SA a SAB SBC

1cos

5

5cos

7

7cos

7

1cos

3

ABCD 045

5

2

ah

5

3

ah

3

2

ah

2

3

ah

0120BAD

SAB SCD ABCD

045 SCD

7

14

ah

21

7

ah

2 21

21

ah

3

7

ah

2AD a

AB BC SA a

SCD

6

6

ah

6

3

ah

3

6

ah

3

ah

A

S

B C

H M D



Hướng dẫn giải

C1: phương pháp dựng hình.

Tứ giác ABCM là hình vuông nên

Suy ra tam giác ACD vuông tại C

Ta có

Kẻ tại H khi đó do

Vậy

Tam giác SAC vuông tại A, đường cao AH nên

Suy ra .

C2: Phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có :

Từ đó suy ra

Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng là

.

Câu 2. Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, . Cạnh OA vuông

góc với mặt phẳng (OBC), , gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách h giữa hai

đường thẳng AB và OM.

A. . B. . C. . D. .


Cách 1 : phương pháp dựng hình

Gọi N là điểm đối xứng của C qua O. Khi đó ( tính chất đường trung bình )

do đó . Suy ra .

Dựng ,

Dựng khi đó . Từ đó

Tam giác ONB vuông tại O, đường cao OK nên

Tam giác AOK vuông tại O, đường cao OH nên

1

2CM a AD

,CD AC CD SA CD SAC

AH SC

CD SAC CD AH AH SCD

1 1

, ,2 2

d M SCD d A SCD AH

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 3

2 2AH SA AC a a a

6 6

,3 6

a aAH d M SCD

0;0;0 , ;0;0 , 0;2 ;0 , 0;0;A B a D a S a

0; ;0 , ; ;0 0; ;M a C a a SM a a

; ; , 0;2 ;SC a a a SD a a

2 2 2 2, ; ;2 , , 6SC SD a a a SC SD a

SCD

3

2

, . 6,

66,

SC SD SM a ad M SCD

aSC SD

, 3OB a OC a

3OA a

5

5

ah

3

2

ah

15

5

ah

3

15

ah

//OM BN

//OM ABN , , ,d OM AB d OM ABN d O ABN

OK BN OA OBC BN OA BN AK

OH AK OH ABN ,d OM AB OH

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 4

3 3OK ON OB a a a

A

S

BC

M D

x

y

z

H

A

B

C

M

ON

K



Vậy .

Cách 2 : Phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Khi đó , .

Suy ra

Vậy .

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng

, . Gọi F là trung điểm SC, tính góc giữa hai đường thẳng BF và AC.

A. . B. . C. . D. .


C1 : Phương pháp dựng hình

Gọi O là giao điểm của AC và BD khi đó .

Lại có nên . Vậy .

Cách 2 : phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có:

Suy ra

Vậy .

Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy và

. Gọi M là trung điểm của SC. Tính côsin của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng

.

2 2 2 2 2 2

1 1 1 4 1 5 15

3 3 3 5

aOH

OH OK OA a a a

15

,5

ad OM AB

0;0;0 , 0;0; 3 , ;0;0 , 0; 3;0O A a B a C a3

; ;02 2

a aM

3

; ;0 , ;0; 3 , ;0;02 2

a aOM AB a a OB a

2 2 2 23 3 3 15, ; ; , ,

2 2 2 2

a a a aAB OM AB OM

, . 15

,5,

AB OM OB ad AB OM

AB OM

ABCD

2SA a

060 090 030 045

//OF SA OF ABCD OF AC

AC BD AC BDF AC BF 0, 90AC BF

0;0;0 ,A ;0;0 , ; ;0 , 0;0;2B a C a a S a

; ; , ; ; , ; ;02 2 2 2

a a a aF a BF a AC a a

0. 0 , 90BF AC BF AC BF AC

2SA a

ABC

S

DA

B C

O

F

x

y

z

S

DA

BC

F

x

y

z

A

B

C

M

O



A. . B. . C. . D. .


C1 : phương pháp dựng hình

Gọi H là trung điểm của AC khi đó

Vậy hình chiếu của BM lên mặt phẳng là BH.

Suy ra . Ta có :

Tam giác MHB vuông tại H nên ; .

C2 : phương pháp tọa độ

Gọi H là trung điểm của AC khi đó

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó

Giả sử góc giữa BM và mặt phẳng (ABC) là thì ta có :

.

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và

. Tính góc giữa hai mặt phẳng và .

A. . B. . C. . D. .


C1 : phương pháp dựng hình

Ta chứng minh được

Kẻ . Ta có .

Từ . Vậy

Tam giác SBC vuông tại B, đường cao BH nên ta có

21cos

7

5cos

10

7cos

14

5cos

7

//MH SA MH ABC

ABC

, ,BM ABC BM BH MBH 3

, , 52

aMH a BH SB SC a

2 2 7

2

aBM BH MH

21cos

7

BHMBH

BM

//MH SA MH ABC

3

0;0;0 , 0;0; , ;0;02

aH M a B

3

;0; , 0;0;2

aBM a HM a

. 2 7 21sin cos

7 7.

BM HM

BM HM

SA a SBC SDC

090 060 030 045

,BC SAB BC SB CD SAD CD SD

1BH SC 2BD SAC SC BD

1 , 2 SC BHD SC DH , ,SBC SDC BH DH

H

M

S

A

B

C

x

y

z

H

M

S

A

B

C



Áp dụng định lí cô sin vào tam giác BHD ta có

Vậy .

C2 : phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Khi đó

Suy ra

Mặt phẳng có một VTPT là :

Mặt phẳng có một VTPT là :

Vậy .

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc . Các mặt phẳng

và cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm SD, thể tích khối chóp

S.ABCD là . Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng theo a.

A. . B. . C. . D. .



Hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt phẳng

nên . Ta có

. Vậy

Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác ABC đều nên , lại có

nên

Dựng .

2 2 2 2

1 1 1 3 6

2 3

aBH DH

BH SB BC a

2 2 2 1cos

2 . 2

BH DH BDBHD

BH DH

01cos , cos , , 60

2SBC SDC BH DH SBC SDC

0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , 0;0;A B a C a a D a S a

;0; , ; ; , 0; ; ,SB a a SC a a a SD a a

SBC 2 2, ;0;n SB SC a a

SDC 2 2, 0; ;k SD SC a a

0. 1

cos , , 602.

n kSBC SDC SBC SDC

n k

0120BAD

SAB SAD

3 3

3

a SBC

228

38

ah

228

19

ah

2 5

5

ah

2 5

19

ah

SAB SAD

ABCD SA ABCD 1 1

, ,2 2

DMd M SBC d D SBC

DS //AD BC

1

// , ,2

AD SBC d D SBC d A SBC 1

, ,2

d M SBC d A SBC

AH BC

SA ABCD SA BC BC SAH SBC SAH

,AK SH AK SBC d A SBC AK

O

DH

S

A

B C x

y

z

D

S

A

BC



Diện tích hình thoi ABCD là :

Từ đó suy ra . Tính được

Tam giác SAH vuông tại A, đường cao AK nên :

.

Vậy .

Phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, . Khi đó ta có

Vậy .

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 2a, góc . Các mặt phẳng

và cùng vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD là . Hãy tính

khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.

A. . B. . C. . D. .



Hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến SA

và cùng vuông góc với mặt phẳng nên .

Dựng đường thẳng d qua B và song song với AC.

Dựng . Ta chứng minh được

20 3

. .sin 602

ABCD

aS AB BC

.32S ABCD

ABCD

VSA a

S

3

2

aAH

2 2 2 2 2 2

1 1 1 4 1 19 228

3 4 12 19

aAK

AK AH SA a a a

1 228

,2 38

ad M SBC AK

//Oz SA

3

0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , ;0;02 2 2

a a aO A B C

3 30; ;0 ;0;2 , ; ;

2 2 4 4

a a a aD S a M a

3 3

; ; 2 , ;0; 2 , ; ;2 2 4 4

a a a aSB a SC a a SM a

, .

,,

SB SC SMd M SBC

SB SC

228

38

a

0120BAD

SAB SAD32 3

3

a

2 5

5

ah

3

2

ah

6

2

ah

6

3

ah

SAB SAD

ABCD SA ABCD

,AH d AK SH AK SBH

K

M

H

D

S

A

B CO

x

y

z

M

D

S

A

BC



suy ra .

Vậy tứ giác AHBO là hình chữ nhật nên

Diện tích hình thoi ABCD là

Suy ra

Tam giác SAH vuông tại A, đường cao AK nên

. Vậy .


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, . Khi đó ta có

Suy ra

Vậy .

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, . Hai mặt phẳng và

cùng vuông góc với mặt đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng là . Tính góc

tạo bởi hai đường thẳng SB và AC.

A. . B. . C. . D. .




nên . Dựng . Ta có :

. Vậy , từ đó suy ra

Tam giác SAB vuông tại A, đường cao AK nên ta có :

Dựng hình bình hành ACBD như hình vẽ, khi đó:

Tính được nên tam giác SBD đều.

// // , ,AC HB AC SBH d AC SB d AC SBH AK

,BO AC AH HB AH AC //AH BO

3AH BO a

0 2. .sin 60 2 3ABCDS AB BC a

.3 S ABCD

ABCD

VAH a

S

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 4 3

3 3 2

aAK

AK AH SA a a a

3,

2

ad AC SB

//Oz SA

0;0;0 , ;0;0 , 0; 3 ;0 , ;0;0 , ;0;O A a B a C a S a a

; 3; , 0; 3;0 , ;0;0SB a a a OB a OC a

, . 3

,2,

OC SB OB ad AC SB

OC SB

AB a SAB

SAC SBC2

2

a

045 090 030 060

SAB SAC

ABCD SA ABCD AK SB ,BC AB BC SA

BC SAC BC AK AK SBC2

2

aAK

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 1 1SA a

SA AK AB a a a

// , ,AC BD AC SB BD SB

2, 2, 2SD a SB a BD a

K

H O

D

S

A

B C

d

xy

z

O

D

S

A

BC



Vậy .


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, . Khi đó theo cách 1 ta có :

, suy ra

Vậy .

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng và cùng vuông

góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD là . Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt

phẳng .

A. . B. . C. . D. .



Hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến SA

và cùng vuông góc với mặt phẳng nên .

Do đó .

Tam giác SAD vuông tại A nên

Ta có

Vậy diện tích tam giác SCD là :

Gọi I là hình chiếu của B lên mặt phẳng khi đó

Mặt khác

Tam giác SAB vuông tại A nên

Tam giác SIB vuông tại I nên

Vậy .

0, 60AC SB SBD

//Bz SA

0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , ;0;B A a C a S a a ;0; , ; ;0BS a a AC a a

0. 1

cos , , 602.

BS ACAC SB AC SB

BS AC

SAB SAD

3

3

a

SCD

045 060 030 090

SAB SAD

ABCD SA ABCD

.3 S ABCD

ABCD

VSA a

S

2 2 2SD SA AD a

,CD AD CD SA CD SAD CD SD

21 2.

2 2SCD

aS SD CD

SCD , ,SB SCD SB SI BSI

. .3 3 2

2 2

B SCD S ABCD

SCD SCD

V V aBI

S S

2 2 2SB SA AB a

01sin 30

2

BIBSI BSI

SB

0, 30SB SCD

K

D

S

A

B

C

x y

zS

A

B

C




Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Khi đó theo cách 1 ta tính được ,

Nên

Suy ra

Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

Vậy .

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều cạnh a, hai mặt phẳng và cùng vuông

góc với mặt đáy và . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng và .

A. . B. . C. . D. .




nên .

Gọi M là trung điểm của AB, do tam giác ABC đều nên ,

lại có suy ra .

Dựng thì

Vậy

Hai tam giác SAB và MIB đồng dạng nên :

Tam giác CMB vuông tại M nên :

Tam giác IMB vuông tại I nên :

Tam giác CIB vuông tại I nên :

Áp dụng định lí côsin cho tam giác IMC ta có :

SA a

0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , ; ;0 , 0;0;A D a B a C a a S a

;0; , ; ; , 0; ;SD a a SC a a a SB a a

SCD 2 2 2, ; ;2n SD SC a a a

0. 1

sin , , 302.

n SBSB SCD SB SCD

n SB

SAB SAC

3SA a SAB SBC

1cos

5

5cos

7

7cos

7

1cos

3

SAB SAC

ABC SA ABC

CM AB

SA ABC SA CM CM SAB CM SB

CI SB SB CMI SB IM

, , ,IM SB CI SB SAB SBC MI CI

2 2

. . 3

42

SA SB MB SA AB SA aMI

MI MB SB SA AB

2 2 3

2

aCM CB MB

2 2

4

aIB MB IM

2 2 15

4

aCI CB IB

OD

S

A B

C

I

x

y

z

D

S

AB

C



.


Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, M là trung điểm BC,

Khi đó



Vậy .

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy.

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng là , gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính

khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau OG và AD.

A. . B. . C. . D. .



Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB.

Dựng

Lại có nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng

Từ đó suy ra .

2 2 2 1 1cos cos

2 . 5 5

CI IM CMCIM

CI IM

//Oz SA

3 3

0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , ;0; 32 2 2

a a aM A B S a

30;0; 3 , ; ; 3

2 2

a aSA a SB a

3;0; 3 , 0; ;0

2 2

a aMS a MB

SAB2 23 3

, ; ;02 2

a an SA SB

SBC2 23 3

, ;0;2 4

a ak MS MB

. 1

cos ,5.

n kSAB SBC

n k

ABCD 045

5

2

ah

5

3

ah

3

2

ah

2

3

ah

// // , , ,AD MN AD SMN d AD MN d AD SMN d A SMN

,MN AB MN SA MN SAB SMN SAB

,AK SN AH SMN d A SMN AK

SA ABCD ABCD

0, , 45SC ABCD SC AC SCA

M

I

S

A

B

C

xy

z

M

S

A

B

C



Vậy giác SAC vuông cân, suy ra

Tam giác SAN vuông tại A, đường cao AK suy ra :

.


Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, theo cách 1 ta tính được

Khi đó

Suy ra

. Vậy .

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, . Hai mặt phẳng

và cùng vuông góc với mặt đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

là . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách h từ G đến mặt phẳng theo a.

A. . B. . C. . D. .




nên . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD khi đó .

Ta có

Lại có

Tam giác ACD đều nên , mà

Dựng

Do nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng suy ra

Ta tính được

2SA AC a

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 4 9 2

2 2 3

aAK

AK SA AN a a a

2SA a

0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , 0;0; 2A B a C a a D a S a

2 2 2; ;0 , ; ; , ; ;

2 2 3 3 3 6 6 3

a a a a a a a aO G OG

0; ;0 , ; ;02 2

a aAD a AO

, . 2,

3,

AD OG AO ad AD OG

AD OG

0120BAD

SAB SCD ABCD

045 SCD

7

14

ah

21

7

ah

2 21

21

ah

3

7

ah

SAB SCD

ABCD SA ABCD G CM BO

// , ,AM CD d M SCD d A SCD

2 2 2

, , ,3 3 3

GCd G SCD d M SCD d A SCD

MC

AN CD CD SA CD SAN SAN SCD

,AK SN AK SCD d A SCD AK

SA ABCD ABCD

0, , 45SC ABCD SC AC SCA AC SA a

3

2

aAN

NO

D

M

S

A

BC

KG

x

y

z

O

D

M

S

A

BC

G



Tam giác SAN vuông tại A, đường cao AK nên ta có :

Vậy


Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, theo cách 1 ta tính được .

Khi đó

. Vậy .

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 4 7 21

3 3 7

aAK

AK SA AN a a a

2 2 21

,3 21

ad G SCD AK

SA a

3

0;0;0 , ;0;0 , ;0;0 , 0; ;02 2 2

a a aO A C D

3

0; ;0 , ;0; ;0;6 2

a aG S a CS a a

3 3; ;0 , ; ;0

2 2 2 6

a a a aCD CG

, . 2 21

,21,

CS CD CG ad G SCD

CS CD

N

K

O

D

M

S

A

BC

G x

y

z

ODM

S

A

BC

G

H C CÙNG VIETJACK y Trần Xuân Trườ fileHỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường –...

Documents

Transcript of H C CÙNG VIETJACK y Trần Xuân Trườ fileHỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường –...