1

NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007.

Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, tập hợp, số thực, ánh xạ, Hàm liên tục, Điểm

gián đoạn, liên tục, liên tục đều, hàm sơ cấp, Giới hạn, giới hạn dãy số, giới hạn hàm

số, dãy số, hàm số, nguyên lý Cantor, nguyên lý Cauchy, giới hạn trên, giới hạn dưới,

vô cùng bé, vô cùng lớn, hàm số hợp, hàm số ngược, Phép tích vi phân, Đạo hàm, vi

phân, Công thức Taylor, Khai triển Maclaurin, Quy tắc L’hospital, tích phân không

xác định, tích phân, nguyên hàm, Phép thế Euler, Điều kiện khả tích, Hàm khả tích,

Diện tích, thể tích, Tích phân suy rộng, Nguyên lí Canto, Tập compact, Hàm nhiều

biến, Liên tục, giới hạn, liên tục đều, Đạo hàm, cực trị hàm nhiều biến, Phép tích vi

phân, Sự hội tụ.

Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục

đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục

vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.

Mục lục

Chương 1 Tập hợp và số thực ............................................................................................... 7 1.1 Khái niệm về tập hợp ................................................................................................. 7 1.2 Số thực........................................................................................................................ 9 1.3 Ánh xạ ...................................................................................................................... 14 1.4 Bài tập chương 1 ...................................................................................................... 16

Giải tích toán học

Tập 1

Lê Văn Trực

2

Chương 2 Giới hạn của dãy số và hàm số .......................................................................... 19 2.1 Giới hạn của dãy số .................................................................................................. 19

2.1.1 Định nghĩa dãy số................................................................................................. 19 2.1.2 Các tính chất của dãy hội tụ ................................................................................. 21 2.1.3 Giới hạn vô hạn .................................................................................................... 24

2.2 Tiêu chuẩn hội tụ...................................................................................................... 25 2.2.1 Các định lý ........................................................................................................... 25 2.2.2 Số e ....................................................................................................................... 26 2.2.3 Nguyên lý Cantor về dãy các đoạn thẳng lồng nhau và thắt lại ........................... 27 2.2.4 Sự hội tụ của dãy bị chặn ..................................................................................... 28 2.2.5 Nguyên lý Cauchy về sự hội tụ của một dãy số ................................................... 29 2.2.6 Giới hạn trên và giới hạn dưới ............................................................................. 30

2.3 Khái niệm về hàm số một biến số ............................................................................ 32 2.3.1 Định nghĩa ............................................................................................................ 32 2.3.2 Đồ thị của hàm số................................................................................................. 32 2.3.3 Hàm số hợp .......................................................................................................... 34 2.3.4 Hàm số ngược ...................................................................................................... 34 2.3.5 Các hàm lượng giác ngược................................................................................... 36 2.3.6 Các hàm số hypebol ............................................................................................. 38 2.3.7 Các hàm hypebol ngược....................................................................................... 39

2.4 Giới hạn của hàm số ................................................................................................. 41 2.4.1 Lân cận của một điểm .......................................................................................... 41 2.4.2 Các định nghĩa giới hạn........................................................................................ 42 2.4.3 Giới hạn một phía................................................................................................. 45 2.4.4 Giới hạn vô cùng .................................................................................................. 46 2.4.5 Các tính chất của giới hạn .................................................................................... 47 2.4.6 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số................................................................ 47 2.4.7 Vô cùng bé. Vô cùng lớn...................................................................................... 48 2.4.8 Các giới hạn đáng nhớ.......................................................................................... 51

2.5 Bài tập chương 2 ...................................................................................................... 54

Chương 3 Hàm liên tục một biến số .................................................................................... 61 3.1 Định nghĩa sự liên tục của hàm số tại một điểm .......................................................... 61

3.1.1 Các định nghĩa...................................................................................................... 61 3.1.2 Hàm liên tục một phía, liên tục trên một khoảng, một đoạn kín.......................... 62 3.1.3 Các định lý về những phép tính trên các hàm liên tục ......................................... 63 3.1.4 Điểm gián đoạn của hàm số ................................................................................. 65

3.2 Các tính chất của hàm liên tục ................................................................................. 68 3.2.1 Tính chất bảo toàn dấu ở lân cận một điểm ......................................................... 68 3.2.2 Tính chất của một hàm số liên tục trên một đoạn ................................................ 68

3.3 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu và của hàm số ngược ..................................... 72 3.3.1 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu.................................................................... 72 3.3.2 Tính liên tục của hàm ngược ................................................................................ 73

3.4 Khái niệm liên tục đều ............................................................................................. 74 3.4.1 Mở đầu ................................................................................................................. 74 3.4.2 Định nghĩa ............................................................................................................ 74 3.4.3 Liên tục của các hàm số sơ cấp ............................................................................ 76

3.5 Bài tập chương 3 ...................................................................................................... 77

3

Chương 4 Phép tính vi phân của hàm một biến ................................................................ 81 4.1 Đạo hàm và cách tính ..................................................................................................... 81

4.1.1 Định nghĩa đạo hàm ................................................................................................ 81 4.1.2 Công thức đối với số gia của hàm số ...................................................................... 81

4.2 Các qui tắc tính đạo hàm................................................................................................ 82 4.2.1 Các qui tắc tính đạo hàm......................................................................................... 82 4.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp ........................................................................................ 82 4.2.3 Đạo hàm của hàm số ngược .................................................................................... 84 4.2.4 Đạo hàm theo tham số ............................................................................................. 85 4.2.5 Đạo hàm một phía ................................................................................................... 85 4.2.6 Đạo hàm vô cùng..................................................................................................... 87 4.2.7 Đạo hàm các hàm số sơ cấp .................................................................................... 87

4.3 Vi phân của hàm số ........................................................................................................ 88 4.3.1 Định nghĩa ............................................................................................................... 88 4.3.2 Các qui tắc tính vi phân........................................................................................... 89 4.3.3 Vi phân của hàm số hợp .......................................................................................... 89 4.3.4 Ứng dụng của vi phân ............................................................................................ 90

4.4 Các định lí cơ bản của hàm khả vi ................................................................................. 90 4.4.1 Cực trị địa phương................................................................................................... 90

4.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao........................................................................................... 96 4.5.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao ................................................................................... 96 4.5.2 Các công thức tổng quát đối với đạo hàm cấp n ..................................................... 97 4.5.3 Vi phân cấp cao ....................................................................................................... 97

4.6 Công thức Taylor ........................................................................................................... 98 4.6.1 Công thức Taylor .................................................................................................... 99 4.6.2 Khai triển Maclaurin ............................................................................................. 101

4.7 Qui tắc L’hospital để khử dạng vô định....................................................................... 103 4.7.1 Dạng vô định ......................................................................................................... 103 4.7.2 Dạng vô dịnh ......................................................................................................... 105

4.8 Khảo sát hàm số ........................................................................................................... 108 4.8.1 Khảo sát đường cong cho dưới dạng phương trình hiện ....................................... 108 4.8.2 Đường cong cho dưới dạng tham số ..................................................................... 110 4.8.3 Khảo sát đường cong trong tọa độ cực.................................................................. 114

4.9 Bài tập chương 4 .......................................................................................................... 117

Chương 5 Tích phân không xác định ............................................................................... 123

5.1 Tích phân không xác định ...................................................................................... 123 5.1.1 Định nghĩa nguyên hàm ..................................................................................... 123 5.1.2 Các tính chất....................................................................................................... 123 5.1.3 Định nghĩa tích phân không xác định................................................................. 123 5.1.4 Các tính chất của tích phân không xác định....................................................... 123 5.1.5 Bảng các tích phân cơ bản.................................................................................. 124

5.2 Cách tính tích phân không xác định ....................................................................... 125 5.2.1 Dựa vào bảng các tích phân cơ bản.................................................................... 125 5.2.2 Tính tích phân nhờ phép đổi biến....................................................................... 126 5.2.3 Phương pháp tính tích phân từng phần............................................................... 127 5.2.4 Công thức truy hồi.............................................................................................. 129

5.3 Tích phân các phân thức hữu tỉ .............................................................................. 130

4

5.3.1 Tích phân các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất ................................................... 130 5.3.2 Tích phân của các phân thức hữu tỉ.................................................................... 132

5.4 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác và các hàm hypebol ...................... 134 5.4.1 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác................................................... 134 5.4.2 Tích phân các biểu thức chứa hàm hypebol ....................................................... 136

5.5 Tích phân một vài lớp hàm vô tỉ ............................................................................ 137

5.5.1 Tích phân dạng ( , )max bI R x dxcx d

+=

+∫ ............................................................................ 137

5.5.2 Tích phân dạng ,( ) ,( ) ,

p rq sax b ax bI R x dx

cx d cx d

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥=+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ .................................................................... 138 5.5.3 Tích phân các nhị thức vi phân .......................................................................... 138

5.6 Tích phân các biểu thức dạng 2R( , )x ax bx c+ + với 0a ≠ ...................................... 139

5.6.1 Phép thế Euler thứ nhất ..................................................................................... 140 5.6.2 Phép thế Euler thứ hai ........................................................................................ 140 5.6.3 Phép thế Euler thứ ba ......................................................................................... 141 5.6.4 Tích phân eliptic................................................................................................. 142

5.7 Bài tập chương 5 .................................................................................................... 143

Chương 6 Tích phân xác định........................................................................................... 145 6.1 Định nghĩa tích phân xác định................................................................................ 145

6.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong..................................................................... 145 6.1.2 Bài toán tính khối lượng..................................................................................... 146 6.1.3 Định nghĩa tích phân xác định............................................................................ 146 6.1.4 Ý nghĩa hình học của tích phân xác định ........................................................... 148

6.2 Điều kiện khả tích .................................................................................................. 148 6.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích ........................................................................... 148 6.2.2 Các tổng Darboux............................................................................................... 149 6.2.3 Các tính chất của tổng tích phân Darboux ......................................................... 150 6.2.4 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định ............................................................. 151

6.3 Các lớp hàm khả tích.............................................................................................. 152 6.4 Các tính chất cơ bản của tích phân......................................................................... 154

6.4.1 Các tính chất của tích phân xác định.................................................................. 154 6.4.2 Các định lí giá trị trung bình .............................................................................. 158

6.5 Nguyên hàm và tích phân xác định ........................................................................ 159 6.5.1 Các định nghĩa.................................................................................................... 160 6.5.2 Tích phân xác định như hàm của cận trên.......................................................... 160

6.6 Tính tích phân xác định.......................................................................................... 162 6.6.1 Phép đổi biến trong tích phân xác định .............................................................. 162 6.6.2 Phép lấy tích phân từng phần ............................................................................. 164 6.6.3 Tính gần đúng tích phân xác định ...................................................................... 168

6.7 Một số ứng dụng hình học, vật lý của tích phân xác định...................................... 172 6.7.1 Tính diện tích hình phẳng................................................................................... 172 6.7.2 Tính độ dài đường cong phẳng........................................................................... 177 6.7.3 Tính thể tích vật thể............................................................................................ 180 6.7.4 Diện tích mặt tròn xoay...................................................................................... 183

6.8 Tích phân suy rộng................................................................................................. 186 6.8.1 Tích phân suy rộng loại 1 ................................................................................... 186 6.8.2 Tích phân suy rộng loại 2 ................................................................................... 195 6.8.3 Thay biến số trong tích phân suy rộng ............................................................... 199

5

6.9 Bài tập chương 6 ..................................................................................................... 200

Chương 7 Hàm số liên tục trong n ............................................................................... 206

7.1 Tập hợp trong n .................................................................................................. 206 7.1.1 Khoảng cách trong

n...................................................................................... 206

7.1.2 Lân cận của một điểm ........................................................................................ 207 7.1.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ của tập hợp ...................................................... 208 7.1.4 Tập mở, tập đóng................................................................................................ 210 7.1.5 Tập liên thông..................................................................................................... 210

7.2 Sự hội tụ trong n

, các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số................... 211 7.2.1 Sự hội tụ trong n ............................................................................................. 211 7.2.2 Dãy cơ bản.......................................................................................................... 212 7.2.3 Nguyên lí Canto ................................................................................................. 213 7.2.4 Chú ý .................................................................................................................. 213 7.2.5 Tập hợp compact ................................................................................................ 214 7.2.6 Định nghĩa hàm nhiều biến số............................................................................ 214 7.2.7 Tập xác định của hàm nhiều biến số .................................................................. 214 7.2.8 Đường mức và mặt mức..................................................................................... 215

7.3 Giới hạn của hàm số trong n ............................................................................... 216 7.3.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm...................................................................... 216 7.3.2 Giới hạn lặp ........................................................................................................ 217 7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp ...................... 218 7.3.1 Chú ý .................................................................................................................. 219

7.4 Hàm số nhiều biến số liên tục ................................................................................ 221 7.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm ............................................................................. 221 7.4.2 Hàm số liên tục đều............................................................................................ 222 7.4.3 Liên tục theo từng biến....................................................................................... 223

7.5 Phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số .......................................................... 224 7.5.1 Đạo hàm riêng và vi phân cấp một..................................................................... 224 7.5.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao............................................................................... 230

7.6 Đạo hàm của hàm số ẩn.......................................................................................... 233 7.6.1 Khái niệm về hàm số ẩn một biến số ................................................................. 233 7.6.2 Khái niệm hàm số ẩn của hai biến số ................................................................. 235

7.7 Đạo hàm theo hướng .............................................................................................. 237 7.7.1 Đạo hàm theo hướng .......................................................................................... 237 7.7.2 Gradien ............................................................................................................... 238

7.8 Công thức Taylor. Cực trị của hàm số nhiều biến số ............................................. 239 7.8.1 Công thức Taylor ............................................................................................... 239 7.8.2 Cực trị của hàm nhiều biến số ............................................................................ 241 7.8.3 Giá lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số trên compac ...................... 244

7.9 Cực trị có điều kiện ................................................................................................ 245 7.9.1 Định nghĩa:......................................................................................................... 245 7.9.2 Phương pháp tìm cực trị ..................................................................................... 245

7.10 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học .................................................... 250 7.10.1 Tiếp tuyến của đường cong ............................................................................ 250 7.10.2 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong................................................................... 251

6

7.10.3 Độ cong .......................................................................................................... 253 7.10.4 Bao hình của một họ đườngcong ................................................................... 255

7.11 Bài tập chương 7 .................................................................................................... 258 7.12 Hướng dẫn giải bài tập và đáp số ........................................................................... 262 Tài liệu tham khảo............................................................................................................ 302

7

Chương 1

Tập hợp và số thực

1.1 Khái niệm về tập hợp

1.1.1 Tập hợp

Cho tập hợp M, để chỉ x là phần tử của tập M ta viết x M∈ (đọc là x thuộc M), để chỉ x không phải là phần tử của tập M ta viết ∉x M (đọc là x không thuộc M).

Tập hợp M chỉ có một phần tử a, kí hiệu là { }a .

Tập hợp M không có phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu là ∅ .

Cho hai tập A và B. Nếu mỗi phần tử của A đều là phần tử của B ta nói rằng A là tập con của B và ta viết ⊆A B .

Nếu A là tập con của B và ≠A B ta nói rằng A là tập hợp con thực sự của tập hợp B và viết là ⊂A B . Trong trường hợp này tồn tại ít nhất một phần tử trong B mà không phải là phần tử của A. Ví dụ như tập hợp các số nguyên là tập con của tập hợp các số hữu tỷ .

Cho A, B, C là ba tập hợp. Khi đó có tính chất sau:

a) A∅ ∈ (1.1.1)

) )

⊆ ⊆ ⇒⊂ ⊂ ⇒ ⊂

bc

vµ = (1.1.2)vµ (1.1.3)

A B B A A B A B B C A C.

1.1.2 Một số tập hợp thường gặp

Trong các giáo trình đại số ở trường phổ thông trung học ta đã làm quen với tập hợp các số tự nhiên

={ 0,1,2,…, n,…} (1.1.4)

*={1,2,… n,…}. (1.1.5)

Để xét nghiệm của phương trình x+n = 0 trong đó ∈n ta đưa thêm tập các số nguyên :

{ }0, 1, 2,..., ,...= ± ± ±n . (1.1.6)

Để xét nghiệm của phương trình mx + n = 0 trong đó , ∈m n ta đưa thêm tập các số hữu tỷ

8

| , 0, ⎧ ⎫= = ≠ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

mx x n m,nn

. (1.1.7)

Ta đã biết bốn phép toán cơ sở (cộng, trừ, nhân, chia) của số hữu tỷ và cách sắp xếp chúng theo độ lớn (nếu a, b là hai số hữu tỷ, thì một trong chúng bé hơn số thứ hai). Tổng

a+b, hiệu a - b, tích a.b, thương ( 0)a bb

≠ của hai số hữu tỷ a,b lại là số hữu tỷ, nhưng với

các phép toán khác nếu chỉ xét trên tập các số hữu tỷ, ta thấy những điều nêu trên không còn đúng nữa. Ví dụ phép lấy căn là phép toán như vậy. Ta hãy tìm căn bậc hai của số 2, tức là tìm một số x mà bình phương của nó bằng 2. Ta khẳng định rằng không có số hữu tỷ nào mà bình phương của nó bằng 2. Giả sử rằng số hữu tỷ x như vậy tồn tại, ta có thể viết dưới dạng

phân số tối giản pq

, trong đó p và q chỉ có ước số chung là 1± . Khi đó 2

2 22 2; 2= =

p p qq

cho

nên p2 là số chẵn và do đó p cũng là số chẵn, p = 2m, trong đó m là số nguyên, do đó 4m2=2q2, 2m2=q2 cho nên q2 là số chẵn và vì thế q là số chẵn. Như vậy p,q là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết là p,q chỉ có ước chung là 1± . Mâu thuẫn nhận được chứng minh khẳng định trên.

Từ nguyên nhân này, trong toán học ta đưa thêm vào những số mới, đó là các số vô tỷ. Ví dụ vể số vô tỷ là 2, 3, lg3, π , sin20o…

Tập các số hữu tỷ và các số vô tỷ được gọi là tập các số thực và kí hiệu là . Như vậy ta có bao hàm thức:

.⊂ ⊂ ⊂ (1.1.8)

1.1.3 Các phép toán trên tập hợp

a) Hợp A B∪ của tập hợp A và tập hợp B, đọc là “A hợp B” là tập hợp được định nghĩa bởi:

{ | }∪ = ∈ ∈A B x x A BhoÆc x . (1.1.9)

b) Giao A B∩ của hai tập hợp A và B, đọc là “A giao B” là tập hợp định nghĩa bởi:

{ | }A B x x A∩ = ∈ ∈vµ x B . (1.1.10)

c) Hiệu = ∈ ∉| { | vµ }A B x x A x B . (1.1.11)

Ta nói rằng các tập A và B là rời nhau nếu A B∩ = Φ .

d) Bổ sung CAB của B trong A ( ⊆B A ) là tập hợp định nghĩa bởi

= ∈ ∉{ | vµ }AC B x x A x B (1.1.12)

Phép giao, hợp và bổ sung có các tính chất sau:

i) ( ) ( )∩ ∩ = ∩ ∩A B C A B C (1.1.13)

ii) ( ) ( )∪ ∪ = ∪ ∪A B C A B C (1.1.14)

iii) ( ) ( ) ( )∩ ∪ = ∪ ∩ ∪A B C A C B C (1.1.15)

iv) ( ) ( ) ( )∩ ∪ = ∩ ∪ ∩A B C A C B C (1.1.16)

9

v) \ , \ A==∅ ∅ ∅A A (1.1.17)

vi) 1 2 1 2( )∪ = ∩A A AC B B C B C B (1.1.18)

vii) 1 2 1 2( )∩ = ∪A A AC B B C B C B . (1.1.19)

1.1.4 Tích Đề các

Cho hai tập hợp A,B không rỗng. Tích Đề các của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A×B là tập hợp các cặp (x,y) trong đó , x A y B∈ ∈ , đồng thời (x,y)= (a,b) khi và chỉ khi x = a, y = b.

Như vậy

A×B ={(x,y)| , x A y B∈ ∈ } (1.1.20)

Thay cho A×A ta viết là A2

Ví dụ: {1,2}×{2,3,4} = {(1,2); (1,3); (1,4); (2,2); (2,3); (2,4)}

Ngoài ra {1,2}2 ={(1,1); (1,2); (2,1); (2,2)}.

1.1.5 Các kí hiệu lôgic

Bây giờ giả sử M là một tập hợp và t là một tính chất nào đó của các phần tử của tập M. Nếu phần tử x M∈ có tính chất t ta viết t(x). Gọi c(t) là tập hợp của tất cả các phần tử của tập M có tính chất t:

c(t) ={ x M∈ |x có tính chất t} (1.1.21)

hay

c(t) ={ x M∈ |t(x)} (1.1.22)

khi đó nếu

c(t) = M

thì mọi phần tử của M đều có tính chất t, ta nói rằng “với mọi x M∈ , x có tính chất t” và ta viết x M∀ ∈ : t(x) hay ( )

x Mt x

∈∀ .

Ký hiệu ∀ gọi là ký hiệu phổ biến.

Nếu ( )c t ∅≠ , thì có ít nhất một phần tử x M∈ , x có tính chất t” và viết

: ( ) hay ( )x M

x M t x t x∈

∃ ∈ ∃

Ký hiệu ∃ gọi là ký hiệu tồn tại.

1.2 Số thực

1.2.1 Phép cộng và nhân các số thực

Xét tập hợp các số thực . Ta có thể xác định phép cộng và nhân hai số thực bất kì a và b. Phép toán cộng cho tương ứng hai số thực a và b với số thực được ký hiệu là a+b, phép

10

nhân cho tương ứng hai số thực a và b với số thực được kí hiệu là a.b sao cho thoả mãn các tính chất sau: Với mọi số thực a,b và c.

a) a+b = b+a (tính chất giao hoán),

b) a+(b+c) = (a+b)+c (tính chất kết hợp),

c) a.b = b.a (tính chất giao hoán ),

d) a(b.c) = (a.b).c (tính chất kết hợp),

e) (a+b).c = a.c+b.c (tính chất phân phối),

f) Tồn tại duy nhất số 0 sao cho a+0 = a ∀ ∈a ,

g) Với mọi a, tồn tại số – a sao cho a + (− a) = 0,

h) Tồn tại duy nhất số 1 0≠ sao cho a.1 = a ∀ ∈a ,

i) Với mọi số a≠ 0, tồn tại số a-1 sao cho a.a-1= 1, số a-1 còn được kí hiệu là 1a

.

Chú ý: Số (− a) và số a-1 nói trong tính chất g) và i) là duy nhất. Thật vậy, ví dụ như nếu tồn tại số b≠ − a thoả mãn điều kiện a+b =0, thì a+b+ (− a)= − a, từ đây a+ (− a)+b=− a hay 0+b = − a và b= − a, mâu thuẫn.

1.2.2 So sánh hai số thực a và b

Cho hai số thực bất kì a và b. Khi đó chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau:

a = b (a bằng b), a > b (a lớn hơn b) hay b > a (b lớn hơn a).

Mệnh đề “=” có tính chất: nếu a=b và b=c thì a=c.

Mệnh đề “>” có tính chất sau: Với mọi số thực a,b và c.

a) Nếu a > b và b > c thì a > c

b) Nếu a > b thì a+c > b+c.

c) Nếu a > 0, b > 0 thì ab > 0.

Mệnh đề a≥b nghĩa là hoặc a=b, hoặc a>b.

Các mệnh đề a < b, a ≤ b, a > b, a ≥ b được gọi là các bất đẳng thức. Các bất đẳng thức a < b, a > b được gọi là các bất đẳng thức thực sự.

Số thực a thoả mãn bất đẳng thức a>0 được gọi là số dương.

Số thực a thoả mãn bất đẳng thức a<0 được gọi là số âm.

1.2.3 Tính liên tục của tập hợp số thực

Định lí 1.2.1 Giả sử X và Y là hai tập hợp các số thực thoả mãn điều kiện sau:

x≤ y ,x X y Y∀ ∈ ∀ ∈ . (1.2.1)

Khi đó tồn tại một số c sao cho

≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈ x c y x X, y Y . (1.2.2)

11

Chú ý rằng chỉ có tập hợp các số thực mới có tính chất này. Ví dụ như, giả sử

X = {x hữu tỉ | x < 2 } và

Y = {y hữu tỉ | y > 2 }.

Khi đó đối với mọi ∈x X với mọi y Y∈ thoả mãn x≤ y, nhưng không tồn tại số hữu tỉ c nào sao cho x c y≤ ≤ . Thật vậy, số như vậy chỉ có thể là 2 , nhưng 2 không phải là số hữu tỉ.

Trong lý thuyết số vô tỉ người ta chứng minh được rằng với hai số thực bất kì α β, trong đó α < β luôn luôn tìm được một số thực và đặc biệt một số hữu tỉ r nằm giữa hai số đó (và thành thử có một tập vô số các số vô tỉ như vậy nằm giữa α và β ).

1.2.4 Cận của tập hợp số

Giả sử M là tập hợp số (tức là tập hợp mà các phần tử của nó là những số thực). Tập hợp M được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số thực k sao cho

x k x M≤ ∀ ∈ . (1.2.3)

Số k bất kì có tính chất như vậy được gọi là cận trên của tập M. Do đó tập hợp M là bị chặn trên nếu có ít nhất một cận trên. Nếu tập M có một cận trên thì nó có vô hạn cận trên, bởi vì nếu số k là cận trên thì bất kì số l nào lớn hơn k là cận trên. Một câu hỏi được đặt ra là liệu có tồn tại số nhỏ nhất trong các cận trên của tập M. Số nhỏ nhất như vậy gọi là cận trên đúng của tập M và kí hiệu là sup M.

Cận trên đúng của tập M có tính chất sau:

∀ > ∃ ∈ε ε0, sao cho > supx M x M - .

Thật vậy, nếu số x như vậy không tồn tại thì số supM −ε cũng là cận trên và khi đó số supM không phải là cận trên đúng của tập M. Nói một cách khác, tính chất này nói lên supM là số nhỏ nhất trong số các cận trên của M.

Ví dụ 1: Tìm cận trên đúng của tập

1 1 1{1, , ,..., ,...}.2 3

Mn

=

Giải: Ta thấy < ≤ ∀ ∈ *10 1 nn

, vì thế tập hợp M bị chặn trên, dễ thấy số 1 là cận

trên. Ta hãy chứng minh số 1 là cận trên đúng của M. Thật vậy 0ε∀ > , ta phải tìm được số

tự nhiên n sao cho 1 1n

ε> − . Số n này, ví dụ là n = 1.

Ví dụ 2: sup(0,1) = sup[0,1] = 1.

Bây giờ ta có thể định nghĩa cận trên đúng của tập M một cách khác như sau:

Số supM được gọi là cận trên đúng của tập M bị chặn trên nếu

a) ≤ ∀ ∈sup x M x M (1.2.4)

b) ∀ > ∃ ∈ε ε0, sao cho supx M x > M - (1.2.5)

12

Tập hợp số M được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại số g sao cho

x g x M ≥ ∀ ∈ . (1.2.6)

Mọi số g có tính chất này gọi là cận dưới của tập hợp M. Do đó tập M bị chặn dưới, nếu nó có ít nhất một cận dưới.

Số lớn nhất trong các cận dưới của tập M gọi là cận dưới đúng của M và được kí hiệu là inf M.

Ví dụ 3: Xét tập M=(a,b)

Hiển nhiên số a và số bất kì bé hơn a là cận dưới của M. Hiển nhiên số a là cận dưới đúng của tập M, tức là a= inf M.

Tương tự như đối với cận trên đúng, cận dưới đúng có tính chất sau:

∀ ∃ ∈ε , x M sao cho x < inf εM + . (1.2.7)

Ví dụ 4: Xét tập 1 1 1{1, , ,..., ,...}2 3

Mn

=

Ta chứng minh rằng số 0 là cận dưới đúng của tập M.

Thật vậy, 0ε∀ > , ta phải tìm được số tự nhiên n sao cho

< + ε1 0 ,n

hay < ⇒ >εε

1 1nn

.

Điều này nghĩa là số 0 là cận dưới đúng của tập M, tức là inf M = 0.

Ví dụ 5: inf(0,1) = inf[0,1] = 0.

Trong các ví dụ trên, ta thấy sup M, inf M có thể thuộc M, cũng có thể không thuộc M.

Định lí 1.2.2 Tập hợp số không rỗng bất kì bị chặn trên (dưới) có cận trên (dưới) đúng.

Chứng minh: Giả sử X là tập hợp số không rỗng bị chặn trên. Khi đó tập hợp Y các số là cận trên của tập X không rỗng. Theo định nghĩa của cận trên suy ra rằng đối với bất kì ∈x X và bất kì ∈y Y ta có bất đẳng thức.

x y≤ .

Dựa vào tính chất liên tục của tập hợp các số thực, tồn tại một số c sao cho

≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈ x c y x X, y Y . (1.2.8)

Từ bất đẳng thức thứ nhất trong (1.2.8) suy ra số c chặn trên tập hợp X, từ bất đẳng thức thứ hai trong (1.2.8) suy ra c là số bé nhất trong các cận trên của X, tức là cận trên đúng của tập X.

Ví dụ 6: Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên

X= {…,−3, −2, −1,0,1,2,3,…}

không bị chặn trên, cũng không bị chặn dưới, tức là

supX= +∞ và inf X= −∞ .

Thật vậy, giả sử ngược lại, tập hợp X bị chặn trên. Khi đó theo định lí trên, nó có cận trên đúng

13

c = sup X.

Theo tính chất của cận trên đúng, đối với 1ε = , ta tìm được một số nguyên x X∈ sao cho

x > c – 1

nhưng khi đó x+1> c. Bởi vì 1x X+ ∈ , điều này có nghĩa là c không phải là cận trên đúng của tập hợp X, mâu thuẫn với điều nói ở trên.

Ví dụ 7: Giả sử X và Y là hai tập hợp số. Hãy chứng minh rằng nếu Y X⊂ thì supX ≥ supY.

Giải: Giả sử supX = A, supY = B. Ta phải chứng minh B≤A. Giả sử ngược lại B > A. Khi đó dựa vào tính chất cận trên đúng, ε ε∀ > ∃ ∈ −0, sao cho > y Y y B .

Bởi vì: B− A >0, nên ta có thể lấy B Aε = − . Ta nhận được y >B −ε = B –B +A, tức là y > A.

Nhưng y Y∈ và Y X⊂ nên y X∈ , theo định nghĩa sup suy ra y A≤ . Mâu thuẫn nhận đựơc chứng tỏ rằng B A≤ .

Ta có thể chứng minh khẳng định trên bằng cách khác như sau:

Bởi vì Y X⊂ nên x X∀ ∈ và y Y∀ ∈ ta có

≤ ≤sup , supx X y X và ≤ supy Y .

Nhưng supY là số thực nhỏ nhất trong các cận trên của Y và supX là một trong số cận trên của Y nên

sup Y≤ sup X.

Nếu tập M đồng thời bị chặn dưới và bị chặn trên, ta gọi là tập bị chặn.

Cuối cùng nếu tập M không bị chặn trên, thì ta nói rằng cận trên đúng của tập đó là +∞ , sup M = +∞ . Tương tự nếu tập M không bị chặn dưới, ta nói rằng cận dưới đúng của tập đó là −∞ , inf M=− ∞ .

Ví dụ như sup(0,+ ∞ ) = +∞ , inf(−∞ ,0)= −∞ .

Giả sử M là tập hợp các số thực, nếu tồn tại một phần tử lớn nhất trong các phần tử của tập M, thì ta kí hiệu phân tử đó là maxM. Tương tự ta kí hiệu phân tử nhỏ nhất của tập M là minM.

Ví dụ như max{2, –3, –5,0} = 2, min{2,–3, –5,0}=–5,

|x|=max {(–x,x)} x∀ .

1.2.5 Trục số thực

Bây giờ ta tìm cách biểu diễn hình học tập các số thực.

Ta lấy một đường thẳng nằm ngang và trên đó ta lấy một điểm 0 nào đó làm gốc. Ta chon một độ dài thích hợp làm đơn vị và đặt độ dài đó liên tiếp nhau từ điểm 0 sang trái và sang phải sao cho trải khắp đường thẳng. Ví dụ như số 2 được biểu diễn bằng “điểm 2”, tức là điểm ở bên phải điểm 0 với khoảng cách 2 đơn vị.

Ta gọi đường thẳng nói trên là đường thẳng thực hay trục số. Bất kỳ một số thực nào cũng được ứng với một điểm trên đường thẳng thực và ngược lại, bất kì một điểm nào trên

14

đường thẳng thực cũng được ứng với một số thực. Số thực a ứng với điểm M trên trục số được gọi là toạ độ của điểm M. Thông thường người ta không phân biệt “điểm a” nằm trên đường thẳng thực và số thưc a (là toạ độ của điểm đó).

Tập hợp không có phần tử cực đại và phần tử cực tiểu, bởi vì đối với một số thực x bất kì luôn luôn tồn tại hai số y và z sao cho y< x< z (ví dụ y = x −1, z = x+1). Vì thế ta hãy bổ sung vào tập hai phần tử mới mà ta ký hiệu là +∞ , −∞ và ta gọi chung là các điểm vô tận của trục thực. Ta ký hiệu tập mới xuất hiện như vật là *. Như vậy là

*= ∪ {−∞ , +∞ }. (1.4.2)

Tập hợp R* ta sẽ gọi là trục thực mở rộng. Cuối cùng ta chú ý thêm là

−∞ < a < +∞ , ∀ ∈a . (1.4.3)

1.3 Ánh xạ

Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một vài khái niệm về ánh xạ mà nó rất có ích cho việc nghiên cứu lý thuyết hàm số sau này.

1.3.1 Định nghĩa

Cho hai tập hợp A và B. Ánh xạ từ tập hợp A tới tập hợp B là một quy luật f cho tương ứng mỗi phần tử x A∈ với một và chỉ một phần tử y B∈ .

Ví dụ 1: Cho A = B = .

Qui luật y = x3 cho tương ứng mỗi ∈x với một và chỉ một ∈y , nên qui luật trên là một ánh xạ từ tới .

Ví dụ 2: Cho A = B = {x | ∈x , 0x ≥ }.

Qui luật y x= cho tương ứng mỗi x A∈ với một và chỉ một ∈y B , nên là một ánh xạ từ A tới B

Để diễn tả f là ánh xạ từ tập hợp A tới tập hợp B ta viết f: A→B hay ⎯⎯→fA B và gọi A là tập xác định của ánh xạ f.

Phần tử y B∈ tương ứng với x A∈ bởi qui luật f gọi là ảnh của x và x được gọi là nghịch ảnh của y và ta viết:

( ) hay ( )y f x x y f x= = .

Ta gọi tập

( ) { | ( ), }= = ∈f A y y f x x A (1.3.1)

hay

( ) { | , ( )}= ∃ ∈ =f A y x A y f x (1.3.2)

là ánh xạ của tập A qua ánh xạ f.

Chú ý rằng ta luôn có ( ) ⊆f A B . Nếu f(A)=B, ta nói rằng f là ánh xạ từ tập hợp A lên tập hợp B hay ánh xạ : →f A B là một toàn ánh.

15

Ví dụ 3: Ánh xạ cho bởi qui luật = ∈( ) sin , f x x x là ánh xạ tập tới tập và đồng thời ánh xạ tập lên tập hợp tất cả các số thực y sao cho 1 1y− ≤ ≤ .

Nếu như ⊂ ⊂M A thì ( ) ( )⊆f M f . (1.3.3)

1.3.2 Đơn ánh, song ánh

Ánh xạ :f A B→ gọi là ánh xạ đơn ánh nếu

1 2 1 2( ) ( )f x f x x x= ⇒ = (1.3.4)

ví dụ như ánh xạ được cho bởi sinx là đơn ánh từ tập hợp { | 0 }2

∈ < <x x π lên tập hợp

{ | 0 1}∈ < <y y .

Ví dụ 4: Xét ánh xạ cho bởi qui luật 2y x= . Vì phương trình = ∈2, y x y có hai nghiệm khác nhau x1 và x2 nếu y > 0, có nghĩa là f(x1) = f(x2) nhưng 1 2x x≠ , vậy ánh xạ này không phải là đơn ánh.

Ánh xạ :f A B→ gọi là một song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.

Ví dụ 5: Ánh xạ : →f cho bởi qui luật 3y x= là một song ánh

Ví dụ 6: Ánh xạ : +→f cho bởi qui luật 2y x= không phải là song ánh, nhưng ánh xạ : + +→f cho bởi qui luật 2y x= là một song ánh.

Ví dụ 7: Cho ∈ ,x [x] ký hiệu phần nguyên của x (nghĩa là [x] là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x chẳng hạn [−4,5] = −4; [2] = 2; [2,5] = 2; [2,7] = 2). Ta có [x]≤ x≤ [x]+1.

Ánh xạ →:f cho bởi qui luật y=[x] không phải là song ánh.

1.3.3 Ánh xạ ngược

Giả sử f là một ánh xạ tập hợp A lên tập hợp B. Khi đó ứng với mỗi phần tử có một và chỉ một x A∈ sao cho y f x( )= . Ánh xạ cho tương ứng phần tử y B∈ với phần tử x A∈ sao cho y f x( )= gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f kí hiệu là f 1− .

Như vậy f B A1 :− →

f y x f x y1( ) ( )− = ⇔ = (với x A∈ , y B∈ ). (1.3.5)

16

Hình 1.3.1

Ví dụ 8: Nếu A là tập hợp các vòng tròn đồng tâm nằm trên cùng một phẳng và f(x) là bán kính của vòng tròn x, khi đó f là ánh xạ đơn trị tập A lên tập các số thực dương. Khi đó ánh xạ ngược f 1− tương ứng một số thực dương x với vòng tròn nằm trong tập A mà bán kính của nó là x.

1.3.4 Hợp (tích) của hai ánh xạ

Cho hai ánh xạ:

: vµ :g M A f A B→ → .

Xét ánh xạ từ tập M tới tập hợp B được xác định như sau:

( ( ))x M z f g x B∈ → = ∈ . (1.3.6)

Ánh xạ này gọi là hợp của ánh xạ g và ánh xạ f (hay tích của g và f ), ký hiệu là f g

Như vậy :f g M B→

( ) ( ( )),f g x f g x x M= ∈ . (1.3.7)

Ví dụ 9: Ánh xạ cho bởi qui luật sinx2, ∈Rx là hợp của ánh xạ trong cho bởi qui luật x2, ∈x và ánh xạ ngoài được cho bởi qui luật siny, ∈y

Ánh xạ sin2x, ∈x là hợp của ánh xạ trong cho bởi sinx, ∈x và ánh xạ ngoài cho bởi y2, ∈y .

1.4 Bài tập chương 1

1.1 Cho a là số vô tỉ, r là số hữu tỉ

1) Hãy chứng minh rằng a+r và a− r là các số vô tỉ

2) Giả sử 0≠r hãy chứng minh rằng các số , ,a rarr a

là các số vô tỉ.

1.2 Cho a,b∈ , gọi số

17

( , ) | |= −d a b a b là khoảng cách giữa hai điểm a và b của trục số

Hãy chứng minh rằng

1) d(a,a) = 0

2) d(a,b)>0 khi a b≠

3) d(a,b) =d(b,a)

4) d(a,b) + d(b,c) ( , )≥ d a c .

1.3 Hãy chứng minh mệnh đề “tập hợp ⊂M là bị chặn khi và chỉ khi tồn tại số thực r>0 sao cho: |x|≤ r x M∀ ∈ .

1.4 Cho ⊂X . Định nghĩa: (−X) = {−x|x∈X}

Hãy chứng minh:

1) inf(−X) = −sup X

2) sup(−X)= −inf X

1.5 Cho ⊂,X Y . Định nghĩa

X+Y = { ∈ ∃ ∈ ∃ ∈ = +R| , ,a x X y Y a x y }

{ R| , , }XY a x X y Y a xy= ∈ ∃ ∈ ∃ ∈ =

Nghĩa là X+Y là tập hợp các số thực có dạng x+y với ,x X y Y∈ ∈ , còn XY là tập hợp các số thực có dạng xy với ,x X y Y∈ ∈ .

1) Giả sử X,Y bị chặn trên, chứng minh:

sup(X+Y) = supX+ supY

2) Giả sử X, Y bị chặn dưới, chứng minh:

inf(X+Y) = inf X + inf Y

3) Giả sử X, Y bị chặn trên, + +⊂ ⊂,X Y .

Chứng minh: sup(XY)= (sup X)(sup Y)

4) Giả sử X, Y bị chặn dưới, ,+ +⊂ ⊂X Y .

Chứng minh: inf(XY) = (inf X)(inf Y).

1.6 Giả sử ≠ ⊂ ⊂φ *M . Chứng minh rằng:

inf inf sup sup≤ ≤ ≤M M .

1.7 Cho ⊂A và { | : }F f f A A= → . Chứng minh rằng nếu f,g,h∈F và i là ánh xạ đồng nhất trên tập A, tức là i(x) =x, ∀ x∈A thì:

1) ( ) ( )f g h f g h= ,

2) f i f= .

1.8 Cho F là tập hợp nói trên và

18

* { | :F f f A A= → và f là đơn ánh}

Chứng minh rằng nếu f,g∈F* thì

1) f g ∈ F*

2) 1f f i− =

19

Chương 2

Giới hạn của dãy số và hàm số

2.1 Giới hạn của dãy số

2.1.1 Định nghĩa dãy số

Cho * ={1,2,3,…} là tập hợp các số tự nhiên. Một ánh xạ f: * → được gọi là một dãy số thực. Nếu đặt xn= f(n) thì ta có thể biểu diễn dãy số dưới dạng:

1 2 3, , ,..., ,...nx x x x (2.1.1)

Phần tử xn được gọi là số hạng thứ n của dãy số.

Để cho gọn ta sẽ ký hiệu dãy số bằng {xn}. Chỉ số n trong số hạng xn chỉ vị trí của số hạng này trong dãy (2.1.1).

Trước hết ta hãy nêu ra một vài ví dụ về dãy:

1 2 3 41 1 1 1 1: 1, , , ,..., ,...

2 3 4⎧ ⎫ = = = = =⎨ ⎬⎩ ⎭

nx x x x xn n

(2.1.3)

1 21 2: , ,..., ,...

1 2 3 1⎧ ⎫ = = =⎨ ⎬+ +⎩ ⎭

nn nx x x

n n (2.1.4)

1 2 3 2 1 21 1 1 1 1 1, : , 1, ,..., , ,...

2 2 1 2 4 2 2 1−⎧ ⎫ = = = = =⎨ ⎬− −⎩ ⎭

n nx x x x xn n n n

(2.1.5)

Ta thấy rằng các số hạng của dãy (2.1.3) và dãy (2.1.5) gần 0 tuỳ ý khi n tăng, các số hạng của dãy (2.1.4) gần 1 tuỳ ý khi n tăng. Ta nói rằng dãy (2.1.3) và dãy (2.1.5) có giới hạn 0, còn dãy (2.1.4) có giới hạn 1.

Bây giờ ta đưa ra định nghĩa chính xác về giới hạn của dãy.

Định nghĩa 1: Ta nói rằng số a là giới hạn của dãy {xn} nếu đối với mọi số dương ε bé tuỳ ý đều tìm được một số ∈ *p sao cho ∀ > ∈ *,n p n ta đều có:

|xn − a|< ε , tức là a− ε < xn < a+ε . (2.1.6)

Nếu a là giới hạn của dãy {xn} thì ta viết:

→∞= → →∞l im hay khi n nn

x a x a n . (2.1.7)

Ta chú ý rằng số p ở trên nói chung phụ thuộc vào việc chọn ε . Để nhấn mạnh điều đó đôi khi thay cho p ta sẽ viết pε .

20

Khoảng mở (a−ε , a+ε ) có tâm tại điểm a được gọi là lân cận của điểm a. Như vậy, để a là giới hạn của dãy {xn} thì với lân cận bé bất kỳ của điểm a tất cả các phần tử xn của dãy bắt đầu từ một chỉ số nào đó cần phải rơi vào trong lân cận đó (tức là ngoài lân cận đó chỉ có thể có một số hữu hạn các phần tử xn).

Hình 2.1.1

Nếu dãy (2.1.1) có giới hạn, ta nói rằng nó hội tụ, nếu không có giới hạn được gọi là phân kỳ.

Ví dụ 1

Hãy chứng minh dãy ⎧ ⎫⎨ ⎬+⎩ ⎭1

nn

có giới hạn là 1.

Ta có: − =+1| 1|

1nxn

. Với mọi ε cho trước 11n

ε<+

1 11 1⇔ + > ⇔ > −n nε ε

.

Nếu ta lấy 1 1 1ε⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

pε

(phần nguyên của ( 1 1ε− )) thì n pε∀ > ta có: |xn− 1|< ε .

Do đó l im 1.1→∞=

+n

nn

Ví dụ 2

Hãy chỉ ra rằng dãy:

{( 1) } : 1,1, 1,...,− − −n (2.1.8)

không có giới hạn.

Giả sử rằng dãy có giới hạn là a. Khi đó với ε =1, tồn tại số p sao cho với n>p ta có |xn – a|< ε =1.

Ta hãy chọn n lớn hơn p, khi đó n+1>p, cho nên

|xn+1 – a|<1.

Từ đó ta suy ra với n>p

|xn – xn+1|= |(xn − a)+ ( a −xn+1)|≤ | xn − a|+| xn+1 − a|n< 1+1 = 2

điều này mâu thuẫn với tính chất của các số hạng của dãy (2.1.8) là: | xn – xn+1|= 2 ∀ ∈ *n .

21

2.1.2 Các tính chất của dãy hội tụ

a) Tính duy nhất Định lý 2.1.1 Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.

Chứng minh:

Giả sử dãy: (2.1.1) có hai giới hạn khác nhau a và b với a< b

Ta lấy số ε = − >1 ( ) 02

b a . Bởi vì, a là giới hạn của dãy (2.1.1), ta tìm được số p1 sao cho

với n> p1 ta có:

|xn– a|< ε

tức là a – ε < xn < a+ε (2.1.9)

nhưng b cũng là giới hạn của dãy (2.1.1), nên với số ε nói trên, ta tìm được p2 sao cho với n>p2 ta có:

|xn– b|< ε

tức là b – ε < xn < b+ε (2.1.10)

Nếu lấy n > max(p1, p2) thì b – ε < xn < a+ε ⇒b – ε < a+ε ⇒ b–a < 2ε , điều này mâu thuẫn với giả thiết b – a = 2ε .

Định lý 2.1.2 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.

Chứng minh:

Giả sử l im nnx a

→∞= . Theo định nghĩa với ε =1, ta tìm được một số tự nhiên p sao cho với

mọi số tự nhiên n≥ p, ta có:

n −x a < 1. Do n−x a ≤ n −x a nên nx < a + 1

Gọi k = max {|x1|,|x2|,|x3|,…,|xn|,|a|+1}. Khi đó|xn|≤ k ∀n=1,2,3,…, tức là dãy {xn } bị chặn.

Ta chú ý rằng dãy bị chặn không nhất thiết phải hội tụ.

Ví dụ: Dãy có số hạng tổng quát xn= (–1)n là dãy bị chặn nhưng không hội tụ vì:

1 khi 2 ; 1 khi 2 1 ;→ = → ∞ → − = + → ∞n nx n k x n k

Tuy nhiên |xn |=1, ∀ n.

b) Dãy con

Định nghĩa 2 Giả sử { nk } là dãy tăng các chỉ số, tức là

1 2 3 ...k k k< < <

Khi đó dãy với các số hạng

1 2 3, , ,...k k kx x x (2.1.12)

22

được gọi là dãy con của dãy (2.1.1). Hiển nhiên dãy con của dãy (2.1.12) cũng là dãy con của dãy (2.1.1).

Ta chú ý rằng

nk ≥ n ∀ n∈ *. (2.1.13)

Thật vậy k1≥ 1, cho nên k2>1 và do đó k2≥ 2, bởi vì k2 là số tự nhiên.

Một cách tổng quát giả sử ta đã chứng minh được nk ≥ n, ta nhận được 1nk n+ > và do đó

+ ≥ +1 1nk n . Các ví dụ về dãy con là:

= = =2 4 6 8 1 2, , , ,...,( 2, 4,..., 2 )nx x x x k k k n (2.1.14)

= = = −1 3 5 7 1 2, , , ,...( 1, 3,..., 2 1)nx x x x k k k n (2.1.15)

= = = 21 4 9 16 1 2, , , ,...( 1, 4,..., )nx x x x k k k n (2.1.16)

=1 3 5 7 11 13 17, , , , , , ,...( ,n n nx x x x x x x x p p là số nguyên tố) (2.1.17)

Định lý 2.1.3 Mọi dãy con của một dãy hội tụ là một dãy hội tụ và có cùng giới hạn.

Chứng minh:

Giả sử dãy (2.1.1) có cùng giới hạn a và {nkx } là một dãy con của dãy (2.1.1). Ta hãy

chứng minh dãy {nkx } cũng có giới hạn là a. Đặt yn=

nkx .

Giả sử cho trước ε >0 vì l im ,→∞

=nnx a nên tồn tại số p sao cho với n>p ta có

| |− <nx a ε .

Mặt khác với n>p thì kn>p (vì kn ≥ n) và do đó

| | | |− = − <nn ky a x a ε

Cho nên l im→∞

=nny a , điều phải chứng minh.

c) Các phép toán về giới hạn

Định lí 2.1.4 Cho hai dãy hội tụ →∞

=l im ,nnx a

→∞=l im nn

y b

Khi đó:

(i) →∞

+ = +l im( )n nnx y a b (2.1.18)

(ii) →∞

=l im( )nnc x ca ;

→∞+ = +l im( )nn

c x c a với c là hằng số (2.1.19)

(iii) →∞

=l im( )n nnx y ab . (2.1.20)

(iv) →∞

1lim( )n

ny = 1

b với ny ≠ 0, b≠ 0. (2.1.21)

(v) →∞

=l im( )n

nn

x ay b

với ny ≠ 0, b≠ 0. (2.1.22)

23

Chứng minh:

(i) Vì ,n nx a y b→ → nếu với ε >0 ta tìm được p1 và p2 sao cho: khi n>p1 thì |xn –

a|<2ε , khi n>p2 thì |yn −b|<

2ε . Gọi p = max(p1 , p2) thì khi n>p ta có:

| ( ) ( )| | | | |n n n nx y a b x a y b ε+ − + ≤ − + − < .

Từ đây suy ra điều phải chứng minh.

(ii) Chứng minh tương tự như trên

(iii) Ta có đẳng thức:

( )( ) ( ) ( )− = − − + − + −n n n n n nx y ab x a y b a y b b x a .

Vì ,→ →n nx a y b , nên với ε > 0 cho trước, tìm được p1, p2

sao cho:

khi n>p1 thì |xn − a|< ε , khi n>p2 thì |yn −b|< ε .

Gọi p =max(p1,p2) thì khi n>p ta có:

| | | | . | | . ,− < + +n nx y ab a bε ε ε từ đó l im( ) 0.→∞

− =n nnx y ab

(iv) Do →y bn , nên ta có thể chọn m sao cho khi n>m thì | −ny b |< 1 | |2

b . Ngoài ra do

||yn| −|b||≤ | −ny b |< 1 | |2

b ,

suy ra − 1 | |2

b <|yn| −|b|< 1 | |2

b

Từ bất đẳng thức trên suy ra khi n >m thì

|yn| > 1 | |2

b . (2.1.23)

Mặt khác, cũng do →ny b nên với ε >0 cho trước tìm được p >m sao cho khi n > p ta có

| −ny b |< 21 | |2

b ε (2.1.24)

Do vậy khi n>p ta có:

2

1 1 2 | || |

−− = < − <n

nn n

y b y by b by b

ε , điều này chứng tỏ rằng 1 1 khi → →∞n

ny b

.

(v) Kết luận này là hệ quả của (iii) và iv

d) Sự bảo toàn thứ tự qua giới hạn trong bất đẳng thức

Định lý 2.1.5 Giả sử l im l im→∞ →∞

<n nn nx y . Khi đó tìm được một số p sao cho với n>p thì <n nx y .

24

Chứng minh: Đặt l im , l imn nn nx a y b

→∞ →∞= = và 1 ( )

2b aε = − . Do đó a+ε = b −ε . Theo giả thiết

tìm được p1,p2 sao cho khi:

1>n p thì − < < +na x aε ε và khi 2>n p thì − < < +nb y bε ε .

Nếu gọi p =max( 1 2,p p ) thì bất đẳng thức:

,< + = − < ∀ >n nx a b y n pε ε được thoả mãn.

Do đó: ,< ∀ >n nx y n p .

Chú ý:

Trường hợp đặc biệt khi *, = ∀ ∈ny b n ta có khẳng định sau:

Nếu như l im→

= <nnx a b

∞, thì ∃p sao cho ∀ >n p ta có <nx b .

Một cách tương tự nếu l im→

= >nny b a

∞, thì ∃p sao cho ∀ >n p ta có .>ny a

Định lý 2.1.6 Cho hai dãy số {xn} và {yn}. Khi đó:

(i) Nếu → →∞

≥ = = ≥∞

vµ l im , l im th× n n n nn nx y x a y b a b

(ii) Nếu {zn} là một dãy thoả mãn

→∞ →∞ →∞≤ ≤ ∀ = = = vµ l im lim th× l im .n n n n n nn n n

x y z n x z a y a

Chứng minh:

(i) Hãy chứng minh khẳng định này bằng phản chứng. Giả sử a < b, khi đó tồn tại số r thoả mãn a< r <b.

Mặt khác vì →nx a và a < r nên tồn tại p1 sao cho khi n > p1 thì xn < r.

Tương tự ta tìm được p2 sao cho khi n > p2 thì yn> r.

Nếu gọi p =max(p1,p2) thì khi n>p ta có xn <r và yn>r, nghĩa là xn<yn, và điều này mâu thuẫn với giả thiết.

(ii) Vì xn a→ nên với 0ε > cho trước tìm được p1 sao cho khi n >p1 thì:

| | hay n nx a a x aε ε ε− < − < < + .

Tương tự, vì nz a→ , ta tìm được p2 sao cho khi n>p2 ta có − < < +na z aε ε .

Từ đây, đặt p = max(p1,p2), thì khi n > p ta có

− < ≤ ≤ < +n n na x y z aε ε .

Suy ra − < < +na y aε ε , tức là ny a→ , điều phải chứng minh.

2.1.3 Giới hạn vô hạn

Định lý 2.1.7 Cho dãy số {xn}. Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, bao giờ cũng tồn tại một số p sao cho ,n p∀ > ta có xn>M, thì ta nói rằng dãy {xn} có giới hạn cộng vô cùng và ký hiệu là

25

l im nnx

→∞= +∞ .

Nếu với mọi M >0 lớn tuỳ ý, bao giờ cũng tồn tại một số p sao cho ,n p∀ > ta có xn< –M, thì ta nói rằng dãy {xn} có giới hạn trừ vô cùng và ký hiệu là

l im nnx

→∞= −∞ .

Cuối cùng ta hãy chú ý rằng một dãy hội tụ khi và chỉ khi nó có giới hạn hữu hạn. Dãy có giới hạn là ±∞ không được xem là dãy hội tụ.

2.2 Tiêu chuẩn hội tụ

2.2.1 Các định lý

Định nghĩa 1 Dãy 1 2 3, , ,...x x x gọi là tăng nếu (2.2.1)

+≤ ∀ ∈ *1 n nx x n (2.2.2)

Nếu

+< ∀ ∈ *1n nx x n (2.2.3)

ta nói rằng dãy (2.2.1) là dãy thực sự tăng. Tương tự, nếu như *

1 +≥ ∀ ∈n nx x n (2.2.4)

dãy (2.2.1) là giảm.

Nếu như *

1 +> ∀ ∈n nx x n (2.2.5)

thì ta nói rằng dãy (2.2.1) thực sự giảm.

Các dãy nói trên gọi chung là các dãy đơn điệu. Tất cả các dãy đơn điệu tạo nên một lớp dãy rất quan trọng. Bây giờ đối với những dãy này ta có hai định lý quan trọng sau.

Định lý 2.2.1 Giả sử dãy (2.2.1) là không giảm. Nếu như dãy không bị chặn trên thì

l im→∞

= +∞nnx . (2.2.6)

Nếu như dãy bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn

1,2,...l im sup→∞ =

=n nn nx x . (2.2.7)

Chứng minh:

(i) Giả sử dãy (2.2.1) không bị chặn trên. Khi đó 0∀ >M lớn tuỳ ý, ta đều tìm được một số tự nhiên p sao cho xp>M (tức là ít nhất một số hạng của dãy lớn hơn M). Bởi vì, dãy là không giảm, nên khi n>p, ta có: ≥n px x và do đó xn>M, cho nên

l im→∞

= +∞nnx .

(ii) Giả sử dãy(2.2.1) bị chặn trên, ta đặt

26

1,2,...sup n

na x

== . (2.2.8)

Theo định nghĩa * ≤ ∀ ∈nx a n

Mặt khác, 0,∀ >ε ta tìm được chẳng hạn phần tử xp của dãy sao cho > −px a ε . Với n>p ta có ≥n px x , nên:

− < ≤ < +na x a aε ε tức là |xn −a|<ε do đó l im→∞

=nnx a .

Hệ quả 1 Nếu dãy (2.2.1) không giảm và bị chặn trên thì

*l im →∞

≤ ∀ ∈k nnx x k . (2.2.9)

Tương tự ta có định lý sau

Định lý 2.2.2 Giả sử dãy (2.2.1) là không tăng. Nếu nó không bị chặn dưới thì

l im→∞

= −∞nnx . (2.2.10)

Nếu nó bị chặn dưới, thì có giới hạn hữu hạn

1,2,...l im→∞ =

=n nn nx inf x . (2.2.11)

Hệ quả 2 Nếu (2.2.1) không tăng và bị chặn dưới thì

*l im →∞

≥ ∀ ∈k nnx x k . (2.2.12)

Định lý sau đây suy ra từ hai định lý trên.

Định lý 2.2.3

Dãy số đơn điệu là hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn.

Ta thấy rằng dãy hội tụ bất kỳ là bị chặn. Tất nhiên, ta cũng biết rằng dãy bị chặn không nhất thiết phải hội tụ. Ví dụ như dãy 1{( 1) }+− n là bị chặn nhưng không hội tụ. Nhưng dãy bị chặn đơn điệu luôn luôn hội tụ. Ví dụ sau đây có một vai trò cực kỳ quan trọng trong giải tích cũng như trong ứng dụng.

2.2.2 Số e

Xét dãy 11⎧ ⎫⎪ ⎛ ⎞ ⎪= +⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

n

nxn

. Ta chứng minh rằng l im→∞ nn

x tồn tại.

Chứng minh:

Trước hết xét dãy 111+

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

n

nyn

. Ta thấy rằng dãy {yn}là dãy giảm, tức là

27

1 21 11 11

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ > +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n n

n n. (2.2.13)

Thật vậy, bất đẳng thức (2.2.13) tương đương với bất đẳng thức: 1 21 2

1

+ ++ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞>⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n nn nn n

(2.2.14)

hay 2 21 2 1.

1

+ ++ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞>⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n nn n nn n n

(2.2.15)

hay 22( 1) 11

( 2)

+⎛ ⎞+

> +⎜ ⎟+⎝ ⎠

nn

n n n (2.2.16)

hay 2

1 11 1( 2)

+⎛ ⎞

+ > +⎜ ⎟+⎝ ⎠

n

n n n (2.2.17)

bởi vì (n+1)2 =n (n+2)+1.

Mặt khác, theo bất đẳng thức Bernoulli với h >0, k >1, k nguyên ta có:

(1 ) 1+ > +kh kh (2.2.18)

Bằng cách thay 1 , 2( 2)

= = ++

h k nn n

vào (2.2.18) ta thấy rằng bất đẳng thức (2.2.17)

hiển nhiên được chứng minh và do đó dãy {yn} là dãy giảm. Hơn nữa dãy {yn} bị chặn dưới (bởi vì yn>0 *∀ ∈n ).

Do đó tồn tại giới hạn l im .→∞ nn

y Mặt khác

1 11 11 l im 11l im lim 1 lim lim1 11 l im 1

+ +

→∞

→∞ →∞ →∞→∞

→∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= + = = =⎜ ⎟ ⎡ ⎤⎝ ⎠ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

n n

nn

n nn n nn

n

n nx yn

n n

Từ đây suy ra giới hạn l im nnx

→∞ tồn tại. Theo Euler giới hạn này được ký hiệu bởi chữ e:

e = 1lim 1→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

n

n n. (2.2.19)

Số e là một số vô tỷ, 15 số đầu trong khai triển thập phân của nó là

e =2,718281828459045……

2.2.3 Nguyên lý Cantor về dãy các đoạn thẳng lồng nhau và thắt lại

Định lý 2.2.4 Giả sử 1 1 2 2[ , ] [ , ] ... [ , ] ...⊃ ⊃ ⊃ ⊃n na b a b a b là dãy vô hạn các đoạn thẳng lồng nhau và thắt lại:

l im( ) 0.→∞

− =n nnb a (2.2.20)

28

Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử

1

[ , ]∞

=

∈∩ n nn

a bα . (2.2.21)

Chứng minh:

Xét các dãy {an} và {bn}, ta thấy rằng bn*

1 ≤ ∀ ∈b n vµ < ∀n na b n nên 1<na b *∀ ∈n .

Dãy {an} tăng, bị chặn trên nên có giới hạn

1,2,...l im sup→∞ =

= =n nn na aα (2.2.22)

Theo định nghĩa supremun * ≤ ∀ ∈na nα . Hơn nữa ta thấy rằng * ≤ ∀ ∈nb nα vì trong trường hợp ngược lại 0n∃ sao cho

0<nb α .

Mặt khác do dãy các đoạn thẳng lồng nhau, nên 0

≤n na b *∀ ∈n , suy ra 0

≤ nbα , điều này dẫn đến mâu thuẫn.

Vậy 1

[ , ]∞

=

∈∩ n nn

a bα . (2.2.23)

Tương tự dãy {bn} là dãy giảm, ta có 1> ≥n nb a a *∀ ∈n N nên dãy {bn} cũng dẫn tới một giới hạn hữu hạn

l im→∞

′ = nnbα (2.2.24)

Tương tự như trên 1

[ , ]∞

=

′∈∩ n nn

a bα (2.2.25)

Nhưng theo định lý về hiệu của hai giới hạn:

l im l im lim( ) 0,→∞ →∞ →∞

′ − = − = − =n n n nn n nb a b aα α do đó ′=α α và định lý được chứng minh.

2.2.4 Sự hội tụ của dãy bị chặn

Xét dãy {xn}, xn= (−1)n, 1.≥n

Ta biết dãy này bị chặn nhưng không hội tụ trên . Ta hãy xét dãy con của dãy trên: {xm}, xm= (−1)m với m= 2n.

Dễ dàng thấy rằng dãy con {xm} hội tụ và có giới hạn l im 1.→∞

=mmx

Ví dụ đơn giản này là trường hợp đặc biệt của định lý Bolzano – Weirtrass về sự hội tụ của dãy bị chặn.

Định lý 2.2.5 Mọi dãy vô hạn bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ.

Ở đây ta không chứng minh định lý này (độc giả có thể đọc trong cuốn [1]) và chỉ lưu ý rằng đây là một định lý rất quan trọng về mặt lý thuyết. Sau này ta sẽ thấy rằng khi dùng định lý Bolzano – Weierstrass có thể chứng minh một số tính chất rất đặc trưng của hàm liên tục.

29

2.2.5 Nguyên lý Cauchy về sự hội tụ của một dãy số

Định nghĩa 2 Dãy {xn} được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu 0∀ >ε cho trước bao giờ cũng *∃ ∈p sao cho ,∀ >m n p ta có | |− <n mx x ε .

Định lý 2.2.6 (Nguyên lý Cauchy): Một dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản.

Chứng minh:

i) Điều kiện cần

Giả sử l im→∞

=nnx a . Khi đó 0∀ >ε cho trước tồn tại số p sao cho ∀ >n p ta có:

| |2

− <nx a ε .

Từ đó suy ra ,∀ >n m p ta có

| | | | | | | |2 2

− = − + − ≤ − + − < + =m n m n m nx x x a a x x a x a ε ε ε .

Vậy {xn} là dãy cơ bản.

ii) Điều kiện đủ

Giả sử {xn} là dãy cơ bản. Trước hết ta hãy chứng minh dãy {xn} bị chặn. Thật vậy 1,=ε ∃p sao cho ,∀ >m n p ta có: −m nx x <1.

Cố định m=p+1, khi đó 1| | 1 +− < ∀ >n px x n p . Từ đây suy ra: *| | , ≤ ∀ ∈nx M n N .

Như vậy {xn} là một dãy bị chặn, theo nguyên lý Bolzano – Weierstrass tồn tại một dãy con {

knx } hội tụ, giả sử l im→∞

=k

knn

x a .

Khi đó 0∀ >ε cho trước, 1∃ >kn p ta có | |2

− <knx a ε .

Mặt khác do dãy {xn} là dãy Cauchy nên 2∃p sao cho 2,∀ >m n p ta có

| −m nx x |<2ε .

Chọn p = max(p1,p2) và lấy nk>p thì ∀ >n p ta có:

.2 2

− = − + − ≤ − + − < + =k n n nk k kn n n nx a x x x a x x x a ε ε ε

Vậy l im→∞

=nnx a .

Ví dụ 1: Dùng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của dãy

1 11 ...2

= + + +nxn

Ta thấy, với n bất kỳ, m = 2n thì:

30

21 1 1 1 1 1| | ... ...

1 2 2 2 2 2− = + + + > + + =

+ +n nx xn n n n n

.

Do đó 21 12

− > ∀ ≥n nx x n , vậy dãy {xn} phân kỳ.

Ví dụ 2: Dùng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của dãy

2 2 2

1 1 11 ...2 3

= + + + +nxn

Giả sử m > n, ta có

2 2 21 1 1...

( 1) ( 2)1 1 1 1 1 1 1 1 1...

1 1 2 1

− = + + + <+ +

− + − + + − = − < <+ + + −

m nx xn n m

n n n n m m n m nε

1⇒ >n

ε.

Như vậy, khi cho trước 0ε > bé tuỳ ý, nếu chọn số 1 1pε⎡ ⎤> +⎢ ⎥⎣ ⎦

(ký hiệu 1ε⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

là phần

nguyên của 1ε

), khi đó:

,∀ >m n p thì | |− <m nx x ε .

Vậy dãy hội tụ.

2.2.6 Giới hạn trên và giới hạn dưới

a) Giới hạn riêng.

Cho dãy {xn}. Nếu có một dãy con {knx } của dãy trên hội tụ đến a:

l imknk

x a→∞

=

thì ta nói rằng a là một giới hạn riêng của dãy {xn}.

Ví dụ như dãy{(−1)n} có hai giới hạn riêng là 1 và −1.

b) Giới hạn trên và giới hạn dưới:

Cho {xn} là một dãy bị chặn. Với mỗi n ta đặt

1 21,2,...

1 2 1,2,...

sup{ , ...} sup

inf { , ...} inf

+ + +=

+ + +=

= =

= =

n n n n kk

n n n n kk

u x x x

v x x x

Dễ thấy nu đơn điệu giảm và bị chặn dưới, nên tồn tại giới hạn

l im inf→∞

=n nn nu u .

31

Giới hạn này được gọi là giới hạn trên của dãy { }nx và ký hiệu là l im→∞ nn

x .

Như vậy là

l im→∞ nn

x = inf sup +n kn kx (2.2.26)

Tương tự, dãy là dãy vn tăng và bị chặn trên nếu tồn tại giới hạn

l im supn nn nv v

→∞= .

Giới hạn này gọi là giới hạn dưới của dãy {xn} và kí hiệu là: l im→∞

nn

x

Như vậy ta có

l im nn

x→∞

=sup inf n kknx + . (2.2.27)

Định lý 2.2.7 Cho dãy {xn}. Giới hạn trên l im nnx

→∞ là giới hạn riêng lớn nhất của dãy {xn}, còn

giới hạn dưới l im→∞

nn

x là giới hạn riêng nhỏ nhất của dãy đó.

Chứng minh: Ta chứng minh cho l im nnx

→∞, đối với l im

→∞n

nx được chứng minh tương tự.

Giả sử a = l im→∞ nn

x . Theo định nghĩa inf= nna u trong đó sup +=n n k

ku x . Khi đó

0, ∀ > > − ∀nu a nε ε . Theo tính chất của supremun ta có , ∀ ∃n k để +− < ≤n ka x aε .

Từ đây ta thấy rằng dãy {xn} có vô số số hạng nằm trong ( , ]−a aε . Vậy a là giới hạn riêng của dãy {xn}.

Sau đây ta chứng minh a là giới hạn riêng của lớn nhất.

Bây giờ giả sử ngược lại có một dãy con { }knx của dãy {xn} mà l im

→∞=

knkx b và b > a.

Khi đó 2+

< <a ba b . Theo giả thiết a = l im

→∞ nnx , nên inf sup .

2+

+<n kn k

a bx

Theo tính chất của infimum 0∃n để 0

sup2+

+<n k

k

a bx .

Do đó 0∃n để 0

th× 2+

+∀ <n k

a bk x .

Ta thấy rằng chỉ có một số hữu hạn số hạng 01 2, ,..., nx x x thuộc vào khoảng ( , )

2+a b b ,

do đó b không thể là giới hạn riêng. Mâu thuẫn này la do giả thiết b > a, định lý được chứng minh.

Định lý 2.2.8 Điều kiện cần và đủ để dãy hội tụ là giới hạn trên và giới hạn dưới bằng nhau.

Chứng minh:

i) Điều kiện cần

32

Giả sử l imknk

x a→∞

= . Gọi l im nn

xα→∞

= , l im nnxβ

→∞= .

Khi đó tồn tại các dãy con vµ → →k ln nx xα β

Vì dãy { }nx hội tụ nên các dãy con cũng hội tụ và có cùng giới hạn, suy ra aα β= = .

ii) Điều kiện đủ

Giả sử l im→∞ nn

x = l im→∞

nn

x = a.

Khi đó với mọi k cố định

inf sup+ + += ≤ ≤ =n n k n k n k nk kv x x x u

Cho → ∞n theo giả thiết l im l imn nn nv u a

→∞ →∞= = , theo tính chất của giới hạn liên quan đến

bất đẳng thức, suy ra l im +→∞=n kn

x a , do đó l im→∞

=nnx a .

2.3 Khái niệm về hàm số một biến số

2.3.1 Định nghĩa

Cho ⊂ ⊂, : , X Y X Y . Ánh xạ : f X Y→ được gọi là một hàm số một biến số thực, tập X gọi là tập xác định của hàm số. Người ta còn kí hiệu tập xác định của hàm số f là Df. Tập Y thường được gọi là tập giá trị của hàm số.

Phần tử ∈x X được gọi là biến độc lập, hay đối số, còn ( )∈f x Y được gọi là biến phụ thuộc hay hàm số. Để chứng tỏ hàm số f cho tương ứng mỗi phần tử ∈x X với một phần tử xác định ( )∈f x Y ta thường viết ( ) hay ( )=x f x y f x .

Ví dụ: x x là hàm số đồng nhất, thường kí hiệu là id(x)

3 5x x− + là hàm số bậc nhất,

3 21 1 2 53 2

x x x x+ − + là hàm số bậc ba.

2.3.2 Đồ thị của hàm số

Giả sử trên một mặt phẳng cho hai trục toạ độ vuông góc, trục Ox và trục Oy, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung, đồ thị của hàm f với tập xác định X là tập hợp các điểm (x,y) thoả mãn phương trình y = f(x) , với ∈x X .

Ví dụ 1:

Xét hàm số 2( ) 3f x x= − .

Tập xác định của hàm số này là tập [ 3, 3]D = − .

Số y được xác định bởi phương trình 23y x= − là số không âm thoả mãn 2 2 2 23 hay lµ 3= − + =y x x y .

33

Cho nên đồ thị của hàm số trên là nửa đường tròn phía trên và nửa đường tròn phía dưới (nét đứt) là đồ thị của hàm 23 x− − (Hình 2.3.1)

3− 3

2

1

y

x

Hình 2.3.1 Hình 2.3.2

Ví dụ 2: Phương trình 2

1=y

xtương ứng mỗi 0≠x với một giá trị xác định y. Nói một cách

khác, hàm 2

1( ) =f xx

được xác định với mọi 0≠x (Hình 2.3.2)

Ví dụ 3: ( ) [ ]→ =x E x x trong đó [ ]x là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x, là hàm số phần nguyên của x.

Vì trong khoảng [−2,−1), [−1,0), [0,1), [1,2), [2,3)… hàm nhận giá trị hằng số… −2, −1,0,1,2… cho nên đồ thị là một dãy các đoạn thẳng nằm ngang, không kể các đầu mút bên phải (Hình 2.3.3a).

Ví dụ 4: Cho x là số tự nhiên, gọi T(x) là số lượng ước số dương của x, ví dụ như T(1)=1, T(6)=4 (ước số dương của 6 là 1,2,3,6)…

Cho nên ( )→x T x là hàm số mà tập xác định của nó là tập hợp các số tự nhiên. Đồ thị của hàm này gồm những điểm rời rạc (Hình 2.3.3b)

-1 0 2 3 x1

2

1

-1

Hình 2.3.3a Hình 2.3.3b

34

x 1 2 3 4 5 6 7…

T(x) 1 2 2 3 2 4 2

Theo định nghĩa trên cho hàm số :f X Y→ nghĩa là

i) Cho tập xác định X của hàm này,

ii) Cho quy luật tương ứng mỗi x X∈ với một số xác định ( )f x Y∈ .

Hai hàm f, g được xem là như nhau nếu như có cùng tập xác định X và nếu f(x)=g(x) x X∀ ∈ . Nói một cách khác hai hàm xem là như nhau nếu như có đồ thị như nhau.

2.3.3 Hàm số hợp

Cho , ,⊂ ⊂ ⊂X Y ngoài ra cho hàm số : →f X Y và hàm số : →g Y . Xét hàm số : →h X được định nghĩa bởi

( ) [ ( )]=h x g f x với ∈x X . (2.3.2)

Hàm số h được gọi là hàm số hợp của hàm số g và hàm số f. Người ta thường kí hiệu hàm số hợp là h = gof, cụ thể

( ) ( )( ) [ ( )] = = ∀ ∈h x gof x g f x x X . (2.3.3)

Ví dụ 5: Cho X=Y=Z= và xét các hàm số:

: sin ,f x x : xg x e .

Khi đó:

= sin( ) ,xgof x e =( ) sin( )xfog x e .

2.3.4 Hàm số ngược

Cho hàm số : , ,→ ⊂f X Y X Y . Giả sử Y là tập giá trị của hàm số, tức là tập

( ) { | ( ), }= ∈ = ∈f x y y f x x X (2.3.4)

Như vậy hàm f ánh xạ tập X lên tập Y. Ngoài ra ta giả thiết rằng f cũng là đơn ánh, nghĩa là với 1 2 1 2, , ≠ ∈x x x x X thì 1 2( ) ( )≠f x f x . Khi đó mỗi phần tử y Y∈ đều là ảnh của đúng một phần tử ∈x X nên ta có thể đặt tương ứng mỗi phần tử ∈y Y với một phần tử ∈x X . Phép tương ứng đó đã xác định một hàm số từ tập Y sang tập X. Hàm số này được gọi là hàm số ngựơc của hàm f và được kí hiệu là 1 :− →f Y X ,

nghĩa là 1 1: ( )− −→ =f y x f y (2.3.5)

Từ định nghĩa hàm số ngược ta có 1( ) ( )x f y y f x−= ⇔ = . (2.3.6)

35

Cho nên trong cùng một hệ trục toạ độ đồ thị hàm số ( )=y f x và 1( )−=x f y trùng nhau.

Tuy nhiên ta cũng có thể kí hiệu đối số của hàm ngược bằng chữ x, chữ y để chỉ biến số phụ thuộc, với qui ước đó hàm số ngược của hàm số f là

1 1: ( )− −→ =f x y f x . (2.3.7)

Do đó nếu (x,y) là một điểm của đồ thị hàm số y=f(x) (2.3.1) thì (y,x) một điểm của đồ thị hàm số ngược (2.3.7)

Hai điểm (x,y) và (y,x) đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất, cho nên ta có kết luận sau:

Đồ thị của hàm số ngược 1( )y f x−= đối xứng với đồ thị hàm số y = f(x) qua đường phân giác thứ nhất.

x

y=x

y=x

12=y x

y=x

Hình 2.3.4

Ví dụ 6: Hàm số luỹ thừa x xα với 0α > xác định trong khoảng [0, )+∞ và ánh xạ khoảng này lên khoảng [0, )+∞ . Bởi vì với 0x ≥ ta có 0≥xα , và đối với mỗi 0≥y tồn tại 0≥x

sao cho =x yα . Ta chỉ cần đặt 1

=x yα . Như vậy hàm số 1

yα là hàm ngược của hàm số xα trong miền [0, )+∞ , tức là phương trình x yα = nghiệm đúng với 0x ≥ , 0y ≥ và khi và

chỉ khi 1

x yα= .

Đồ thị của hàm số y= xα , 0α > luôn đi qua gốc toạ độ và điểm (1,1)

Tương tự ta có thể xét hàm số y= xα với 0α < , trong trường hợp này hàm số không xác định khi x=0.

Ví dụ 7: Cho hàm số , ( 0, 1)x xx a y a a a= > ≠ ánh xạ khoảng ( , )−∞ +∞ lên khoảng (0,+∞ ). Ngược lại, đối với mỗi y > 0 tồn tại x sao cho xa =y, ta đặt log= ax y . Hàm ngược

1f − được xác định như sau: 1( ) log hay log− = = ⇔ =x

a af y y x y a y .

36

Bây giờ hãy vẽ đồ thị của hàm số log= ay x . Hàm số này nhận được từ hàm số log= ax y bằng cách đổi x thành y nên đồ thị của hàm số log= ay x đối xứng với đồ thị hàm

số y= xa qua đường phân giác thứ nhất. Chú ý ta có hệ thức sau 1( ) −⎡ ⎤ = ∀ ∈⎣ ⎦f f x x x Y (2.3.8)

ngược lại

1( ) −⎡ ⎤ = ∀ ∈⎣ ⎦f f x x x X . (2.3.9)

Ví dụ như với 0, 1≥ ≠a a ta có

log vµ , 0= ∀ = ∀ >alog xxa a x x a x x .

2.3.5 Các hàm lượng giác ngược

a) Hàm số y =arcsinx

Hàm số y=sinx được xác định trong khoảng X=(−∞ +∞, ) và giá trị của nó lấp đầy đoạn Y=[−1,1]. Đường thẳng song song với trục Ox cắt đường sin, tức đồ thị của hàm số y = sinx tại một tập vô hạn các điểm, nói một cách khác mỗi giá trị y∈[−1,1] sẽ ứng với một tập vô hạn các giá trị của x∈X. Vì vậy, hàm ngược mà ta kí hiệu là x = Arcsiny, sẽ là hàm đa trị.

= arcsiny x

y

x

2π

2π

−

arccosy x=2π

π

Hình 2.3.5

Thông thường ta chỉ xét một “nhánh” của hàm số đó ứng với x biến thiên giữa vµ 2 2π π

−

. Mỗi giá trị y∈[−1,1] sẽ ứng với một giá trị ,2 2

x π π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦, nó được kí hiệu bằng x = arcsiny

và gọi là nhánh chính của hàm Arcsiny.

Bằng cách lấy đối xứng đường sin qua đường phân giác thứ nhất ta được đồ thị của hàm

đa trị y = Arcsinx. Bằng cách thu hẹp đồ thị trên với ,2 2

y π π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ta được đồ thị hàm số

y=arcsinx được xác định trên đoạn [−1,1] với tập giá trị ,2 2

y π π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦ và là một hàm số tăng

(xem Hình 2.3.5).

37

Ta có công thức cho tất cả các giá trị của hàm ngược

arcsin 2Ar sin ví i 0, 1, 2,...

(2 1) arcsinx k

c x kk x

ππ+⎧

= = ± ±⎨+ −⎩

(2.3.10)

b) Hàm số y = arccosx

Ta thấy y = cosx, ≤ ≤ ⇔ =π0 arccosx x y .

Hàm số ngược của hàm số y = cosx là hàm số y = arccosx. Hàm số y = arccosx có miền xác định là tập [−1,1] và miền giá trị là [0,π ] và là hàm số giảm. (xem hình vẽ Hình 2.3.5)

Do sin cos( )2

= −x xπ nên dễ dàng suy ra công thức:

arcsin arccos2

+ =x x π . (2.3.11)

c) Hàm số y = arctgx

Hàm số y=tgx là một đơn ánh tập ,2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

π π lên tập , hàm số ngược của nó là x=arctgy:

∈y , x∈ ,2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

π π .

Do đó hàm số y=arctgx có tập xác định là tập và tập giá trị là khoảng mở ,2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

π π và

là hàm số tăng.

d) Hàm số y=arccotgx

Hàm số y = arccotgx là một đơn ánh tập X=(0,π ) lên tập Y= ( , )−∞ +∞ nên có hàm ngược là x = arccotgy, y∈ ( , )−∞ +∞ , x∈X=(0,π ).

Do đó hàm số y = arccotgx có tập xác định là X= , và tập giá trị là Y∈(0,π ) và là một hàm số giảm.

Ta có thể chứng minh công thức

arctg arccot g2

x x π+ = (2.3.12)

2π

2π

−

y arctg= x

y arccot g= x

2π

π

38

Hình 2.3.6 Hình 2.3.7

e) Khái niệm các hàm sơ cấp

Trong toán học các hàm số sau đây được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản: hàm số luỹ thừa: → ∈α α,x x ; hàm số mũ: , 0, 1xx a a a→ > ≠ ; hàm số logarit: logax x→ ; các hàm số lượng giác: x → sinx, x→cosx, x→ tgx, x→cotgx và các hàm số lượng giác ngược. Người ta gọi hàm sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia), các phép lấy hàm số hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản. Trong phần này, ngoài các hàm số sơ cấp nêu trên, ta còn nghiên cứu lớp các hàm số hypebol.

2.3.6 Các hàm số hypebol

Xét tổ hợp tuyến tính của hàm số mũ

1 1 ví i >12 2 2

−− +

= + =x x

x x a ay a a a (2.3.13)

Ta thu được đồ thị của hàm số y bằng cách cộng các đồ thị của các hàm 12

xa và 12

−xa .

12

xa−

2

x xa ay−+

=

12

xa

12

2

−−=

x xa ay

12

Hình 2.3.8 Hình 2.3.9

Đó là đường cong đi qua điểm (0,1) và đối xứng qua trục Oy. Hàm y là hàm số chẵn. Trong góc toạ độ thứ nhất khi x→ +∞ đồ thị của hàm số (2.3.1) dần đến đồ thị của đường

12

xa và trong góc toạ độ thứ hai, khi x→ −∞ đồ thị của hàm số (2.3.1) dần đến đồ thị hàm số

12

xa− .

Hàm số −

− −= − =

1 1 ví i 12 2 2

x xx x a ay a a a > (2.3.14)

là một hàm số lẻ. Đồ thị của hàm số này đi qua gốc toạ độ và đối xứng qua gốc 0.

Đặt:

1 2( ) ( )2 2

x x x xa a a ah x h x− −+ −

= =

39

ta có thể thiết lập những hệ thức đơn giản như sau: 2 21 2( ) ( ) 1− =h x h x

2 21 2 1( ) ( ) (2 ) + = ∀ ∈h x h x h x x

Nói chung 1 ( )h x có những tính chất tương tự với cosx, 2 ( )h x có những tính chất tương tự với sinx. Khi a = e ta gọi hàm thứ nhất là cosinhypebol, ký hiệu là chx, hàm thứ hai là sinhypebol, kí hiệu là shx, như vậy

ch , sh2 2

x x x xe e e ex x− −+ −

= = . (2.3.15)

Ta còn có các hàm hypebol khác xác định tương tự như các hàm lượng giác tương ứng, chẳng hạn

sh chth , cthch sh

x xx xx x

= = (2.3.16)

Trên hình vẽ Hình 2.3.10 biểu diễn đồ thị của các hàm thx và cthx.

thy x=

cthy x=

cthy x=

Hình 2.3.10

Từ định nghĩa ta suy ra các công thức nêu dưới đây, mang tên là những định lý cộng: 2 2

2 2

ch sh 1ch sh ch2ch( ) ch .ch sh .shsh( ) sh .ch ch .sh

a aa a aa b a b a ba b a b a b

− =

+ =+ = ++ = +

(2.3.18)

Ví dụ, ta có thể chứng minh hai công thức cuối của (2.3.18) nếu viết:

ch( ) , sh( )2 2

a b a b a b a be e e e e e e ea b a b− − − −+ −

+ = + =

và sử dụng hệ thức:

ch sh , ch shch sh , ch sh .

a a

b b

e a a e a ae b b e b b

−

−

= + = −

= + = −

2.3.7 Các hàm hypebol ngược

40

a) Hàm y= Argshx

Hàm số shx ánh xạ tập lên nên nó có hàm ngược, ta ký hiệu là y=Argshx. Vậy y=Argshx ⇔ x=shy với ∈ ∈,x y .

Argshy x=

Hình 2.3.11

Bây giờ ta biểu diễn hàm y=Argshx dưới dạng lôga. Ta thấy y=Argshx tương đương với

sh2

y ye ex y−−

= = .

Đặt ye t= hay y =lnt và 2

11

2 2

− −= =

t ttxt

. Vậy nếu x cho trước thì t là nghiệm của

phương trình bậc hai

t2− 2tx−1=0.

Với mọi ∈x , phương trình trên có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm dương 2( 0) : 1= > = + +yt e t x x .

Vậy với mọi ∈x ta có 2Argsh ln( 1)= + +x x x . (2.3.19)

b) Hàm y =Argchx

Hàm y=chx ánh xạ khoảng [0, )+∞ lên khoảng [1, )+∞ , vậy ta có thể xác định một hàm ngược, ký hiệu là Argchx.

Vậy y=Argchx, [1, ), [0, )∈ +∞ ∈ +∞x y ch ,⇔ =x y [0, ),∈ +∞y [1, )∈ +∞x . Đồ thị của hàm số y = Argchx suy từ đồ thị của y=chx, 0x ≥ bằng phép lấy đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

41

Argchy x=

x

Hình 2.3.12

Bây giờ ta hãy biểu diễn ngược dưới dạng lôga. Ta thấy

Argch ch ví i 02

−+= ⇔ = = ≥

y ye ey x x y y

Đặt ye =t hay y=lnt, ta có

21

12 2

+ += =

t ttxt

Vậy với 1x ≥ cho trước thì t là nghiệm của phương trình bậc hai t2−2tx+1=0.

Với 1x ≥ phương trình trên có hai nghiệm dương mà tích của chứng bằng 1. Vậy trong hai nghiệm thì nghiệm lớn hơn có lôga dương và ta có

ye = t = 2 1+ −x x

y=Argchx =ln( 2 1+ −x x ).

Với 1≥x đồ thị của hàm số y=Argchx trùng với đồ thị hàm số y= ln( 2 1+ −x x ).

Một cách tương tự, do hàm thx ánh xạ khoảng ( , )−∞ +∞ lên khoảng (−1,1) ta có thể xét hàm ngược của nó y=Argthx. Trong khoảng (−1,1) hàm y=Argthx tương đương với hàm.

1 1ln2 1

+=

−xyx

còn trong khoảng x <−1, x> 1, hàm y=Argcthx tương đương với hàm

y= Argcthx= 1 1ln2 1

+−

xx

.

2.4 Giới hạn của hàm số

2.4.1 Lân cận của một điểm

a) Lân cận của một điểm

42

Cho một điểm ∈0x . Một tập hợp con ∈U đựơc gọi là lân cận của điểm 0x nếu có một số 0>ε sao cho 0 0( , )− + ⊂x x Uε ε .

Từ định nghĩa, ta suy ra:

i) Nếu U là lân cận của 0x thì mọi tập ⊃V U cũng là lân cận của điểm 0x .

ii) Nếu U1, U2 là lân cận của điểm 0x thì 1 2∩U U là lân cận của điểm 0x .

iii) Khoảng là lân cận của mọi điểm của nó. Ta thường gọi khoảng 0 0( , )− +x xε ε là ε lân cận của 0x và kí hiệu là 00 ( )xε .

b) Điểm tụ

Ta xét tập hợp ⊂A . Điểm a được gọi là điểm tụ (điểm giới hạn) của tập A nếu lân cận bất kỳ ( , )− +a aδ δ của điểm a đều chứa ít nhất một điểm của A mà điểm đó khác a.

Điểm tụ của tập A có thể thuộc A hoặc có thể không thuộc A, ví dụ nếu A=[a,b] hoặc A=(a,b], điểm a, trong cả hai trường hợp, là điểm tụ của A, nhưng trong trường hợp đầu nó thuộc A, còn trong trường hợp thứ hai thì không.

Nếu A = (0,1), thì mọi điểm (0,1)a∈ đều là điểm tụ của A, ngoài ra các điểm

0 10, 1a a= = tuy không thuộc A nhưng vẫn là điểm tụ của A.

Một dãy điểm {xn} được gọi là dãy phân biệt nếu như mọi cặp phần tử bất kỳ của dãy đều khác nhau, tức là m nx x≠ nếu m n≠ .

Ta thấy rằng nếu a là điểm tụ của A thì có thể trích ra từ A, theo vô số cách, một dãy điểm phân biệt 1 2 3 4, , , ,....x x x x các phần tử của A khác a hội tụ đến a. Thật vậy, bằng cách chọn một dãy các số dương 0nδ → , rồi trong mỗi lân cận ( , )− +n na aδ δ của điểm a (với n = 1,2,3,…) ta chọn một điểm x = xn thuộc A khác a. Khi đó vì 0→nδ và |xn− a|< nδ nên

→nx a .

c) Chú ý

Nếu có một dãy điểm phân biệt {xn} A⊂ và l im→∞

= +∞nnx (hoặc l im

→∞= −∞nn

x ) thì ta cũng

nói rằng ±∞ là điểm tụ của tập hợp A.

d) Tập đóng tập mở

Tập hợp ⊂A gọi là tập mở nếu nó là lân cận của mọi điểm của nó. Nếu phần bù ( )RC B của tập hợp B là tập mở thì ta nói rằng B là tập đóng trong .

Ví dụ (0,1) là tập mở, [0,1] là tập đóng.

2.4.2 Các định nghĩa giới hạn

a) Định nghĩa 1 Giả sử hàm f(x) xác định trên tập ⊂A và a là một điểm tụ của A. Ta nói rằng f(x) có giới L (hữu hạn) khi x dần đến a và viết là l im ( )

x af x L

→= , nếu với mọi dãy

{xn} A⊂ mà nx a→ thì dãy các giá trị tương ứng của hàm số {yn}={f(xn)} đều dần đến giới hạn L.

43

Thay cho kí hiệu l im ( )x a

f x L→

= ta có thể viết ( ) , f x L x a→ → . Định nghĩa giới hạn của

hàm số như trên có thuận lợi là ta chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số mà ta đã quen biết, nhưng có chỗ không thuận lợi là muốn chứng tỏ → →( ) , khi f x L x a là phải chứng tỏ →( )nf x L với mọi dãy số →nx a . Vì lý do đó ta đưa ra định nghĩa tương đương sau.

b) Định nghĩa 2 Cho ⊂A và a là điểm tụ của A. Giả sử f là một hàm xác định trên A. Nếu có một số thực L sao cho 0ε∀ > cho trước bé tuỳ ý bao giờ cũng tồn tại một số 0δ > sao cho 0,0 | |x A x x δ∀ ∈ < − < , ta có | ( ) |f x L ε− < , thì ta nói rằng L là giới hạn của hàm số f khi x tiến đến a.

Định lý 2.4.1 Hai định nghĩa trên là tương đương nhau.

Chứng minh:

Giả sử l im ( )x a

L f x→

= theo định nghĩa 2 và giả sử nx a→ ta hãy chứng minh

( )nf x L→ .

Thật vậy, theo giả thiết 0, 0ε δ∀ > ∃ > sao cho ∀ ∈ ,x A − < δ| |x a thì | ( ) |f x L ε− < . Vì nx a→ nên p∃ sao cho ∀ > ,n p − < δ| |nx a . Từ đó suy ra ,| ( ) |nn p f x L ε∀ > − < , vậy l im ( )x a

f x L→

= . Bây giờ giả sử với mọi dãy nx a→ , ta đều có dãy các giá trị tương ứng của

hàm số ( )nf x L→ .

Ta sẽ chứng minh l im ( )x a

f x L→

= theo định nghĩa 2. Giả sử ngược lại, khi đó

0, 0,j jx Aε δ∃ ∀ > ∃ ∈ sao cho 0 | | <j jx a δ< − nhưng 0| ( ) |jf x L ε− ≥ .

Ta hãy lấy dãy { }jδ có tính chất 0jδ > và 0jδ → khi j →∞ , khi đó ta chọn được dãy { jx } có tính chất jx a→ khi j →∞ nhưng f( jx ) không tiến đến L, trái với giả thiết.

Ví dụ 1: Cho f(x)= x. Ta chứng minh rằng 0

0l im ( ) .x x

f x x→

=

Thật vậy, do 0 0| ( ) | | |f x x x x− = − nên cho trước 0ε > , ta cần chọn δ ε= thì khi

0| |x x δ− < ta luôn có 0 0| ( ) | | |f x x x x− = − <ε .

Ví dụ 2: Chứng minh rằng 0 0

1 1l imx x x x→

=

0ε∀ > , giả sử δ là một số sao cho 0| |x x δ− < .

Xét 0

0 0

| |1 1| || | | |

x xx x x x

−− = . Với x0 là số cố định, chọn δ là sao cho 0| |

2xδ < . Khi đó do

0 0| | | |x x x x δ− < − < nên 0| | | |x xδ δ− < − < hay |x|>| 0x |− δ 0| || |2xx⇒ > và

44

20 0

1 1 2| || |x x x

δ− < . Bây giờ ta hãy chọn

⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭

εδ

20 0| | | |min ,

2 2x x , thì 0,| |x x x δ∀ − < ta có

0

1 1| | <x x

ε− , điều phải chứng minh.

Ví dụ 3: Cho f(x) = sinx ta hãy chứng minh rằng →

=0

l im ( ) 0.x

f x

Do 0x → nên có thể chỉ xét các giá trị x với | | , 02

x xπ< ≠ . Ta hãy chứng minh khi đó

|sinx|<|x|. Thật vậy khi 02

x π< < , (xem hình vẽ (Hình 2.4.1)), độ dài cung AM bằng x,

=PM sinx, suy ra sinx < x. Do sinx > 0 nên |sinx|<|x|. Khi − < <π 0,2

x nên |sin(−x)|<|−x| hay

|sinx|<|x|, bất đẳng thức được chứng minh.

Bây giờ cho trước 0ε∀ > ta hãy chọn δ ε= thì khi |x−0|<δ ta có |sinx–0|<ε , điều phải chứng minh.

Hình 2.4.1 Ví dụ 4: Chứng minh rằng

0l im cos 1→

=x

x

Ta thấy 2

2cos 1 2sin 22 2 2

xx xx − = < = , cho nên 0ε∀ > , ta hãy chọn 2δ ε= thì khi

|x−0|<δ ta có |cos x−1|<ε .

Ví dụ 5: Hàm số 1( ) sin=f xx

xác định 0x∀ ≠ . Tại x = 0 hàm này không có giới hạn.

Thật vậy, ta lấy hai dãy các giá trị của đối số x:

1 1 1 1, , , . . . , , . . .2 3 nπ π π π

và 2 2 2 2, , ,..., ,...5 9 (4 3)−nπ π π π

hội tụ tới 0. Bởi vì 1( )fnπ

= sinnπ = 0 n∀

45

và 1 (4 3)sin 1 (4 3) 2

⎛ ⎞ −= = ∀⎜ ⎟−⎝ ⎠

nf nn

ππ

, nên đối với dãy thứ nhất

l im ( ) l im sin 0→∞ →∞

= =nn nf x nπ và đối với dãy thứ hai (4 3)l im ( ) l im sin 1

2→∞ →∞

−= =nn n

nf x π . Vậy,

theo định nghĩa, l im ( )→∞n

f x không tồn tại.

Ví dụ 6: Sử dụng định nghĩa 2, chứng minh rằng hàm 1( ) sin=f x xx

được xác định với mọi

0≠x , tại điểm x = 0 có giới hạn bằng 0, tức là 0

1l im sin 0→

=x

xx

.

Thật vậy, với mọi 0≠x , ta có 1( ) 0 sin 0− = − =f x xx

1 1sin sin= = ≤x x xx x

(bởi

vì 1sin ≤x

1 0∀ ≠x ).

Từ đây suy ra nếu lấy δ ε≤ thì khi |x|<δ thì 1sin <x

ε

Do đó 0

1l im sin 0→

=x

xx

.

2.4.3 Giới hạn một phía

Khi xét giới hạn của hàm số ta thường gặp tập A có dạng sau: trong lân cận bất kỳ của a nhưng về bên phải (hoặc bên trái) điểm a ta luôn tìm được các điểm x thuộc A. Vì vậy ta hãy thu hẹp định nghĩa về giới hạn đã đưa ra trên bằng cách chỉ xét các giá trị x > a (hoặc x < a).

Hàm số f(x) có giới hạn L khi x dần đến a từ bên phải nếu đối với mỗi số ε >0 ta có thể tìm được số 0δ > sao cho đối với mọi , ( , )∈ ∈ +x A x a a δ ta có ( ) − <f x L ε .

Ta gọi giới hạn trên là giới hạn bên phải tại a của hàm f(x) và kí hiệu là

,l im ( ) l im ( ) ( ).

+

+

→ >→= =

x a x ax af x f x f a

Tương tự, ta gọi L là giới hạn bên trái tại a của hàm f(x) nếu 0, 0∀ > ∃ >ε δ sao cho , ( , )∈ ∈ −x A x a aδ ta có ( ) − <f x L ε và kí hiệu là

,l im ( ) l im ( ) ( ).

−

−

→ <→= =

x a x ax af x f x f a

Nhờ định nghĩa giới hạn ta dễ dàng chứng minh định lý sau.

Định lý 2.4.2 Điều kiện cần và đủ để l im ( )→

=x a

f x L là

l im ( ) l im ( )+ −→ →

= =x a x a

f x f x L .

Ví dụ 5: Ta xét hàm số thường gặp sgnx:

46

1 khi 0sgn 0 khi 0

1 khi 0.

xx x

x

− <⎧⎪= =⎨⎪ >⎩

Dễ dàng thấy rằng 0

l im sgn 1−→

= −x

x và 0

l im sgn 1+→

=x

x . Giới hạn 0

l im sgn→x

x không tồn tại,

bởi vì tại điểm 0 giới hạn trái không bằng giới hạn phải.

Ví dụ 6: Xét hàm số:

xx

⎧= ⎨−⎩

1 nÕu lμà h÷u tû( )

1 nÕu lμ v« tûf x

Ta khẳng định rằng hàm f(x) không có giới hạn tại bất cứ điểm nào. Thật vậy, ta giả sử rằng tại điểm c nào đó, hàm f(x) có giới hạn hữu hạn L về bên phải. Theo định nghĩa, với

1ε = có thể tìm được 0δ > sao cho ( , )x c c δ∀ ∈ + thì |f(x)-L|<1. Ta hãy chọn khoảng ( , )c c δ+ số hữu tỷ x1 và số vô tỷ x2 khi đó

1 2 1 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1 1 2.

− = − + − ≤

≤ − + − < + =

f x f x f x L L f x

f x L L f x

Nhưng điều này không có thể, bởi vì theo định nghĩa của hàm f(x), f(x1) =1, f(x2) = −1, |f(x1) − f(x2)|=2.

Tương tự ta có thể chứng minh được rằng f(x) không có giới hạn hữu hạn bên trái tại bất cứ điểm nào.

2.4.4 Giới hạn vô cùng

Định nghĩa 3 Cho tập A có điểm tụ là , :+∞ →f A . Ta nói rằng f(x) có giới hạn hữu hạn là L khi x → +∞ nếu 0ε∀ > cho trước, 0K∃ > sao cho ,x A x K∀ ∈ > , ta có ( )f x L ε− < và kí hiệu là

→+∞=l im ( )

xf x L .

Nếu 0∀ >M lớn tuỳ ý, tồn tại một số K > 0 sao cho ,∀ ∈ >x A x K ta có f(x) > M thì ta nói rằng f có giới hạn là +∞ khi x → +∞ và kí hiệu là l im ( )

→+∞= +∞

xf x .

Nếu 0M∀ > lớn tuỳ ý, tồn tại một số K > 0 sao cho ,∀ ∈ >x A x K ta có f(x) < – M thì ta nói rằng f có giới hạn là −∞ khi x → +∞ và kí hiệu là l im ( )

→+∞= −∞

xf x .

Định nghĩa 4 Cho tập A có điểm tụ là , :−∞ →f A . Ta nói rằng f(x) có giới hạn hữu hạn là L khi x → −∞ nếu 0ε∀ > cho trước, 0K∃ > sao cho ,x A x K∀ ∈ < − , ta có | ( ) |− <f x L ε và kí hiệu là

→−∞=l im ( )

xf x L .

Nếu 0M∀ > lớn tuỳ ý, tồn tại một số K > 0 sao cho ,∀ ∈ < −x A x K ta có f(x) > M thì

→−∞= +∞l im ( )

xf x .

Nếu 0∀ >M lớn tuỳ ý cho trước, bao giờ cũng tồn tại một số K > 0 sao cho ,∀ ∈ < −x A x K ta có f(x) < − M thì l im ( )

→−∞= −∞

xf x .

47

Ví dụ 7: Chứng minh rằng sin x không có giới hạn khi x → +∞ .

Thật vậy, chọn dãy số (2 1)2

= +nx nπ . Rõ ràng rằng khi n →∞ thì nx → +∞

Khi đó dãy {sin xn} nhận các giá trị

−1,1, −1,…(−1)n,...

Dãy số này phân kì, từ đó suy ra l im sin→∞x

x không tồn tại. Tương tự l im cos→∞x

x không tồn

tại.

2.4.5 Các tính chất của giới hạn

Ta có thể dễ dàng chuyển các kết quả đối với giới hạn của dãy sang trường hợp giới hạn của hàm, cụ thể, ta có các định lý sau.

Định lý 2.4.3 Nếu hàm f(x) có giới hạn tại a thì giới hạn đó là duy nhất.

Định lý 2.4.4 Giả sử trên tập A cho hai hàm f(x), g(x) và a là điểm tụ của A (a có thể hữu hạn hoặc vô hạn). Ngoài ra giả sử cả hai hàm có giới hạn hữu hạn

1 2l im ( ) , l im ( )→ →

= =x a x a

f x L g x L

Khi đó các hàm cf(x) với c là hằng số ( ) ( ),±f x g x ( ). ( ),f x g x ( )( )

f xg x

cũng có giới hạn

hữu hạn (trong trường hợp thương có thêm giả thiết 2 0≠L ), cụ thể là:

1a) l im c ( )=c ;

→xi f x L

[ ][ ]

1 2

1 2

12

2

) l im ( )+ ( ) ;

) l im ( ). ( ) . ;

( )) l im ( 0).( )

→

→

→

= ±

=

= ≠

x a

x a

x a

i i f x g x L L

i i i f x g x L L

Lf xiv Lg x L

Chú ý rằng định lý trên chưa có kết luận gì trong các trường hợp sau:

Trong trường hợp ii), khi L1=+∞ và L2=−∞về mặt hình thức ta có dạng vô định ∞−∞ .

Trong trường hợp iii), khi L1=0(∞ ) và L2=∞ (0) về mặt hình thức ta có dạng vô định 0.∞ .

Cuối cùng trường hợp iv), khi L1=0(∞ ) và L2=0(∞ ), về mặt hình thức ta có dạng vô định 00

hoặc ∞∞

.

2.4.6 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số

Sau đây ta phát biểu các định lý nói về sự tồn tại giới hạn của hàm số.

Định lý 2.4.5 Cho A R⊂ và x0 là điểm tụ của tập A. Giả sử ba hàm số thoả mãn đẳng thức:

( ) ( ) ( ) ≤ ≤ ∀ ∈f x g x h x x A

48

Khi đó nếu 0 0

l im ( ) l im ( )→ →

= =x x x x

f x h x L thì 0

l im ( )→

=x x

g x L .

Định lý 2.4.6 (Tiêu chuẩn Cauchy)

Hàm số f có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi 0, 0∀ > ∃ >ε δ sao cho x′∀ và 0 0, 0 | | , 0 | |′′ ′ ′′∈ < − < < − <x A x x x xδ δ ta có

| ( ) ( )|′ ′′− <f x f x ε .

Định lý 2.4.7 (Tiêu chuẩn giới hạn của hàm đơn điệu)

i) Giả sử hàm f(x) là hàm tăng trên [ )0,x x , khi đó nếu f bị chặn trên trên [ )0,x x thì hàm f có giới hạn trái tại x0.

ii) Nếu f(x) là hàm giảm trên [ )0,x x , khi đó nếu f bị chặn dưới trên [ )0,x x thì f có giới hạn trái tại x0.

Chứng minh:

Giả sử f(x) là hàm tăng trên [ )0,x x .

Gọi )0,

sup .⎡⎣

=x x

L f

Khi đó [ )∀ > ∃ ∈ε 1 00, ,x x x sao cho 1( )L f x Lε− < ≤ . Do hàm tăng nếu 1 0( , )x x x∀ ∈ ta có 1( ) ( )L f x f x Lε− < ≤ ≤ . Chọn δ sao cho 1 0x x δ= − .

Khi đó 0, 0ε δ∀ > ∃ > sao cho 0 0( , )x x xδ∀ ∈ − thì

( ) | ( ) |L f x L f x Lε ε ε− < < + ⇒ − <

và do đó 0

l im ( )x x

f x L−→

= .

2.4.7 Vô cùng bé. Vô cùng lớn

a) Khái niệm:

Cho ⊂A R , x0 là điểm tụ của A, →:f A (x0 có thể là hữu hạn hay vô hạn). Ta nói rằng f là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi 0x x→ , nếu

0

l im ( ) 0x x

f x→

= .

Ta nói f là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi 0x x→ nếu →

= +∞0

l im| ( )|x x

f x . Ta có thể dễ

dàng kiểm tra các tính chất sau.

Tính chất 1

Nếu f, g là những VCB khi 0x x→ , thì , f g fg± cũng là những VCB khi 0x x→

Tính chất 2

Nếu f, g là những VCL khi 0x x→ , thì fg cũng là VCL khi 0x x→

Tính chất 3

49

Nếu f là VCB khi 0x x→ , thì 1f

là VCL khi 0x x→ . Ngược lại, nếu g là VCL khi

0x x→ , thì 1g

là một VCB khi 0x x→ .

Tính chất 4

Cho ⊂A , x0 là điểm tụ của A, →:f A là VCB khi 0x x→ và →:g A là hàm bị chặn, thì f.g là VCB khi 0x x→ .

Ví dụ 8: Hàm 1( ) ( 1)sin1

= −−

f x xx

là VCB khi 1→x , tức là 1

1l im( 1)sin 0.1→

− =−x

xx

Thật vậy, bởi vì 1

lim( 1) 0→

− =x

x nên hàm 1x − là VCB khi 1x →

Mặt khác hàm 1sin1−x

( ≠ 1x ) bị chặn

1sin 1 11

⎛ ⎞≤ ∀ ≠⎜ ⎟−⎝ ⎠

xx

Do đó hàm f(x) là VCB khi →1x .

b) So sánh các vô cùng bé

Để xét kỹ hơn về tốc độ hội tụ về số không của các VCB trong cùng một quá trình 0x x→ ta hãy xét tỉ số của chúng.

Cho 1 2,f f là hai VCB khi 0x x→ , ta nói rằng

i) 1f có bậc cao hơn 2f (hoặc 2f có bậc thấp hơn 1f ) nếu 0

1

2

( )l im 0( )→

=x x

f xf x

và ký hiệu là

1 2( )=f fο , 0→x x .

ii) 1f có cùng bậc với 2f trong quá trình 0x x→ nếu 0

1

2

( )l im 0( )→

= ≠x x

f x cf x

, trong đó c là

hằng số, và kí hiệu là 1 2( )=f O f , 0x x→ .

iii) Đặc biệt, nếu 0

1

2

( )l im 1( )→

=x x

f xf x

, thì ta nói rằng 1f tương đương với 2f khi 0→x x và viết

là 1 2∼f f , 0→x x .

Nếu 1 2f f∼ , 0x x→ và 2 3f f∼ , 0x x→ thì 1 3f f∼ , 0x x→

Ví dụ: Ta có sinx~x, tgx~x nên sin tg∼x x .

50

Chú ý: Nếu không tồn tại 0

1

2

( )l im( )→x x

f xf x

thì ta nói rằng là hai vô cùng bé không so sánh

được với nhau, ví dụ như hai VCB 1 21( ) sin , ( )= =f x x f x xx

khi 0→x x không so sánh

được với nhau.

Để thuận tiện khi khử các dạng vô định người ta thường sử dụng các tính chất sau.

Định lý 2.4.8 Nếu trong quá trình 0→x x ta có ∼f f và ∼g g thì

0 0

( ) ( )i ) l im lim( ) ( )→ →

=x x x x

f x f xg x g x

0 0

i i ) l im ( ) ( ) l im ( ) ( )→ →

=x x x x

f x g x f x g x .

Chứng minh:

Thật vậy 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )l im l im lim( ) ( )( ) ( ) ( )→ → →

= =x x x x x x

f x f x f x g x f xg x g xf x g x g x

Ví dụ 11: Tìm

0 0

2 2sin .1) l im l im ,tg→ →

+ += =

x x x x

a x x ax x abx bx b

0

2 2

3 30

3 sin 3 32) l im l imsin 2 sin 2 2→ →

+ += =

− −x x x

x x x xx x x x

0

(1 )(1 ) 13) l im

tg→

+ + −x

x xx

α βγ

Dễ thấy:

1 1 . , 1 1 . ,tg nªn2 2

+ + + +∼ ∼ ∼x x x x x xα βα β γ γ

→ →

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟⎜ ⎟+ + − +⎝ ⎠⎝ ⎠= =0 0

1 1 1(1 )(1 ) 1 2 2l im lim

tg . 2x x

x xx x

x x

α βα β α β

γ γ γ

22

0 0

1 ( )1 1 124) l im l imsin 2 2 4→ →

++ + −= =

x x

x xx xx x

.

Trong khi xét nhiều đại lượng VCB, người ta chọn một trong các đại lượng đó làm cơ sở và so sánh các VCB khác với các luỹ thừa của đại lượng cơ sở đó. Ta quy ước rằng VCB f khi

0→x là VCB cấp k (đối với VCB cơ sở x khi → 0x nếu f và xk (k>0)) là các vô cùng bé cùng bậc.

Chẳng hạn VCB 1- cosx là VCB cấp hai đối với VCB x khi 0x → và VCB tgx – sinx là VCB cấp ba đối với VCB x khi 0x → bởi vì

51

2 30 0

1 cos 1 tg sin 1l im , l im2 2→ →

− −= =

x x

x x xx x

.

c) So sánh các vô cùng lớn Ta hãy quay lại trường hợp xét các vô cùng lớn.

Ví dụ 1: Hàm số 2 sin( ) +=

xf xx

là VCL khi 0→x

Ví dụ 2: Xét hàm số 1 1( ) cos=f xx x

khi → 0x . Tại các điểm 1

2

=+

kykπ π

, k=1,2,3…,

f(yk)=0 1,2,3...∀ =k Khi , k →∞ 0, ( ) 0→ →k ky f y , cho nên f(x) không phải là VCL khi 0x → .

Cho ⊂A và x0 là điểm tụ của A. Ngoài ra cho các hàm →, :f g A là VCL khi → 0x x .

i) Nếu fg

là VCL khi 0→x x có nghĩa là nếu 0

l im→

= +∞x x

fg

, thì ta nói f là VCL bậc cao

hơn g khi 0→x x

ii) Nếu 0

( )l im 0( )→

= ≠x x

f x lg x

, thì ta nói rằng f và g là hai VCL cùng bậc khi 0→x x

Đặc biệt khi l = 1, ta nói rằng f và g là VCL tương đương khi → 0x x . Trong khi xét nhiều đại lượng VCL người ta chọn một trong các đại lượng đó làm cơ sở và so sánh các VCL khác với luỹ thừa của đại lượng cơ sở đó.

Chẳng hạn, nếu tất cả các đại lượng đó đều là hàm của x và trở thành VCL khi 0x x→

thì dùng làm VCL cơ sở người ta lấy|x|nếu x0= ±∞ và lấy 0

1−x x

khi x0 là hữu hạn.

2.4.8 Các giới hạn đáng nhớ

0

sin 1) l im 1 ) l im 1→ →+∞

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

x

x x

xa b ex x

1

0

1) l im 1 ) l im(1 ) .→−∞ →

⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

xx

x xc e d x e

x

Chứng minh:

Giới hạn a) đã được trình bày ở bậc phổ thông. Bây giờ ta hãy chứng minh giới hạn b).

Giới hạn b): Thật vậy, ta đã chứng minh được 1lim 1 .→∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

n

ne

n

52

Bây giờ ta để ý rằng với số dương bất kì x nào cũng tồn tại số tự nhiên n ( 0n ≠ ) sao cho

1≤ ≤ +n x n nghĩa là 1 1 11≤ ≤

+n x n từ đây

11 1 11 1 11

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ + ≤ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n x n

n x n

Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức kép trên ta suy ra

1lim 1→+∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

x

ne

x

Giới hạn c): Sử dụng phép biến đổi x = − y ta được:

1

1 1 1l im 1 lim 1 lim lim1

1 1 1lim 1 lim 1 11 1 1

− −

→−∞ →+∞ →+∞ →+∞

−

→+∞ →+∞

⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y x x x

y x x x

x x

x x

x xy x x x

ex x x

(theo giới hạn b)).

Từ đây suy ra giới hạn c) được chứng minh.

Giới hạn d):

Để chứng minh giới hạn d) ta đặt 1yx

= và áp dụng giới hạn b) và giới hạn c)

Nói chung 1 ( )h x có những tính chất tơng tự với cosx, 2 ( )h x có những tính chất tơng tự với sinx. Khi a = e ta gọi hàm thứ nhất là cosinhypebol, ký hiệu là chx, hàm thứ hai là sinhypebol, kí hiệu là shx, nh vậy

ch , sh2 2

x x x xe e e ex x− −+ −

= = (2.3.15)

Ta còn có các hàm hypebol khác xác định tơng tự nh các hàm lợng giác tơng ứng, chẳng hạn

sh chth , cthch sh

x xx xx x

= = (2.3.16)

Trên hình vẽ Hình 2.3.10 biểu diễn đồ thị của các hàm thx và cthx.

thy x=

cthy x=

cthy x=

53

Hình 2.3.10

Từ định nghĩa ta suy ra các công thức nêu dới đây, mang tên là những định lý cộng: 2 2

2 2

ch sh 1ch sh ch2ch( ) ch .ch sh .shsh( ) sh .ch ch .sh

a aa a aa b a b a ba b a b a b

− =

+ =+ = ++ = +

(2.3.18)

52

52

Ví dụ, ta có thể chứng minh hai công thức cuối của (2.3.18) nếu viết:

ch( ) , sh( )2 2

a b a b a b a be e e e e e e ea b a b− − − −+ −

+ = + =

và sử dụng hệ thức:

ch sh , ch shch sh , ch sh .

a a

b b

e a a e a ae b b e b b

−

−

= + = −

= + = −

2.4.9 Các hàm hypebol ngược

a) Hàm y= Argshx

Hàm số shx ánh xạ tập lên nên nó có hàm ngợc, ta ký hiệu là y=Argshx. Vậy y=Argshx ⇔ x=shy với ∈ ∈,x y .

Argshy x=

Hình 2.3.11

Bây giờ ta biểu diễn hàm y=Argshx dới dạng lôga. Ta thấy y=Argshx tơng đơng với

sh2

y ye ex y−−

= = .

Đặt ye t= hay y =lnt và 2

11

2 2

− −= =

t ttxt

. Vậy nếu x cho trớc thì t là nghiệm của phơng

trình bậc hai

t2− 2tx−1=0.

Với mọi ∈x , phơng trình trên có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm dơng 2( 0) : 1= > = + +yt e t x x .

Vậy với mọi ∈x ta có 2Argsh ln( 1)= + +x x x . (2.3.19)

b) Hàm y =Argchx

Hàm y=chx ánh xạ khoảng [0, )+∞ lên khoảng [1, )+∞ , vậy ta có thể xác định một hàm ngợc, ký hiệu là Argchx.

53

53

Vậy y=Argchx, [1, ), [0, )∈ +∞ ∈ +∞x y ch ,⇔ =x y [0, ),∈ +∞y [1, )∈ +∞x . Đồ thị của hàm số y = Argchx suy từ đồ thị của y=chx, 0x ≥ bằng phép lấy đối xứng qua đờng phân giác của góc phần t thứ nhất.

Argchy x=

Hình 2.3.12

Bây giờ ta hãy biểu diễn ngợc dới dạng lôga. Ta thấy

Argch ch ví i 02

−+= ⇔ = = ≥

y ye ey x x y y

Đặt ye =t hay y=lnt, ta có

21

12 2

+ += =

t ttxt

Vậy với 1x ≥ cho trớc thì t là nghiệm của phơng trình bậc hai t2−2tx+1=0.

Với 1x ≥ phơng trình trên có hai nghiệm dơng mà tích của chứng bằng 1. Vậy trong hai nghiệm thì nghiệm lớn hơn có lôga dơng và ta có

ye = t = 2 1+ −x x

y=Argchx =ln( 2 1+ −x x ).

Với 1≥x đồ thị của hàm số y=Argchx trùng với đồ thị hàm số y= ln( 2 1+ −x x ).

Một cách tơng tự, do hàm thx ánh xạ khoảng ( , )−∞ +∞ lên khoảng (−1,1) ta có thể xét hàm ngợc của nó y=Argthx. Trong khoảng (−1,1) hàm y=Argthx tơng đơng với hàm.

1 1ln2 1

+=

−xyx

còn trong khoảng x <−1, x> 1, hàm y=Argcthx tơng đơng với hàm

y= Argcthx= 1 1ln2 1

+−

xx

.

54

54

2.5 Bài tập chương 2

2.1 Chứng minh rằng dãy ( 1,2,3,...)nx n = có giới hạn bằng không bằng cách sử dụng ngôn ngữ " "ε .

1) 1

=+nnx

n

2) 1( 1) +−

=n

nxn

3) 3

21

=+nnx

n

4) 1!

=nxn

5) ( 1) .0,999= − n nnx .

2.2 Sử dụng định nghĩa hãy chứng minh rằng các dãy sau có giới hạn vô cực khi n → +∞

1) xn=(−1)n n(n=1,2,3,…)

2) 2 ( 1,2,3,...)nnx n= =

3) ln(ln ) ( 1,2,3,...)nx n n= = .

2.3 Tìm l im nnx

→+∞ với

1) ( 1) .1

n

nnx

n−

=+

2) 8cos .

24n

nx

n

π

=+

3) 2 ( 1)n

nnx

n+ −

= 4) 2 . .cosnnx a nπ−= , a=const.

2.4 Tìm các giới hạn sau

1) ( ) 1lim 12n

n n n→+∞

+ − +

2) ( )3 3l im 1n

n n→+∞

+ −

3) 1 1 1l im ...1 2n n n n→+∞

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟+⎝ ⎠

4) 2 2

1 1 1l im ...( 1) (2 )nn n n n→+∞

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟+⎝ ⎠

5) 2 2 2

1 1 1l im ...1 1n n n n n→+∞

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟

+ + +⎝ ⎠.

55

55

2.5 Chứng minh rằng

→+∞=

+ =∑0

l im 0k

in ia n i nếu

=

=∑0

0k

ii

a

2.6 Tìm các giới hạn sau

1) 1 1 1lim ...1.2 2.3 ( 1)n n n→+∞

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟+⎝ ⎠

2) ( )24 8l im 2 2 2... 2n

n→+∞

3) l im2nn

n→+∞

4) 2 2 2

3 3 3

1 3 (2 1)l im ...n

nn n n→+∞

⎛ ⎞−+ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

5) →+∞

−⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠2

1 3 2 1l im ...2 2 2nn

n

6) 11 2 3 ( 1) .l im ...

n

n

nn n n n

−

→+∞

−− + + + .

2.7 Chứng minh rằng

1) 1 3 2 1lim . ... 02 4 2→+∞

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠n

nn

,

2) l im 0 nÕu | | <1→+∞

=n

nq q ,

3) l im . 0 nÕu | | <1→+∞

=n

nn q q ,

4) 2lim 0,!→+∞=

n

n n

5) logl im 0 nÕu a>1,→+∞

=a

n

nn

6) l im 1→+∞

=n

nn .

2.8 Dùng tiêu chuẩn Cauchy chứng minh sự hội tụ của dãy

1) 2

sin1 sin 2 sin...2 2 2n n

nx = + + +

2) cos1! cos2! cos !...1.2 2.3 ( 1)n

nxn n

= + + ++

.

2.9 Dùng tiêu chuẩn Cauchy chứng minh sự phân kỳ của dãy

56

56

1) 1 11 ... ( 1,2,3,...)2nx n

n= + + + =

2) 1 1 1... ( 1,2,...)ln 2 ln 3 lnnx n

n= + + + = .

2.10 Sử dụng định lý về sự hội tụ của dãy đơn điệu và giới nội, xét sự hội tụ của các dãy sau:

1) −= = + = + = +1 2 1 3 2 16, 6 , 6 ,..., 6n nx x x x x x x

2) 10 ... ( 1,3,...)

10 10n

n n

ppx p n= + + + =

trong đó 0, 0 9 1,2,3,...0 ip p i≥ ≤ ≤ ∀ =

3) 1 1 11 1 ... 12 4 2n nx ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

2.11 Cho dãy xn (n=1,2,3,…) đợc xác định nh sau:

0 11 10, ( ), 2n n

n

x x x n Nx+> = + ∈ . Hãy tìm l im nn

x→∞

.

2.12 Cho dãy 11 ; 1,2,3,...nx nn

= − =

Hãy tìm l im vµ l im→∞→∞

n nnnx x .

2.13 Cho dãy 1 1( 1) 2nnx

n− ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

Hãy tìm l im , l imn nnnx x

→∞→∞.

2.14 Các dãy số:

0 1

0 1

, ,..., ,..., ,..., ,...

n

n

x x xy y y

đợc xác định bằng công thức:

0 0,x a y b= = với 0, 0;a b> >

1 ,n n nx x y+ = 1 2n n

nx yy +

+= .

Chứng minh rằng:

1) {xn} là dãy tăng, {yn} là dãy số giảm.

2) Các dãy số trên hội tụ và có giới hạn bằng nhau.

2.15 Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm sau

57

57

1) 22y x x= + − 2) lg(1 2cos )y x= −

3) 2

2arccos1

=+

xyx

4) arcsin lg10

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

xy .

2.16 Cho f xác định trên tập A=(0,1). Tìm tập xác định của hàm số

1) (sin )f x 2) (ln )f x 3) | |⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

xfx

2.17 Tìm cận dới đúng và cận trên đúng của hàm số

( )1

xf xx

=+

trong miền 0 x≤ < +∞

2.18 Cho hàm f(x) xác định trên khoảng ( , )−∞ +∞ và thỏa mãn đẳng thức ( ) ( )f x T kf x+ = , trong đó k và T là những số dơng. Chứng minh rằng khi đó ( ) ( )xf x a xϕ= , trong đó a là hằng số dơng và ( )xϕ là hàm tuần hoàn với chu kỳ T.

2.19 Xét tính tuần hoàn và chu kỳ của các hàm số sau

1) ( ) 2tg 3tg2 3x xf x = − 32) ( ) cos cos

2 2x xf x =

3) ( ) sin sin ví i lµ sè f x x xα α= + vô tỉ

2

4) ( ) | sin | | cos |5) ( ) cos6) ( ) sin .

f x x xf x xf x x x

= +

== +

2.20 Chứng minh rằng hàm

1 nÕu h÷u tØ( )

0 nÕu v« tØ⎧

= ⎨⎩

xx

xχ là hàm tuần hoàn.

2.21 Cho 1( )1

f xx

=−

Hãy tính [ ( )], { [ ( )]}.f f x f f f x

2.22 Giả sử ( ) ( (... ( )))nf x f f f x= . Hãy tính ( )nf x nếu 2

( )1

xf xx

=+

.

2.23 Tìm hàm số ngợc của các hàm số sau

= +−∞ < ≤ ≤ < +∞

21) 3 ví i) 0, ) 0

y xa x b x

23

12) , 11

3) 1 ví i) 1 0, ) 0 1.

−= ≠ −

+

= −− < ≤ ≤ <

xy xx

y xa x b x

58

58

2.24 Tìm hàm số ngợc →:g của hàm số →:f cho bởi 3

2

khi 0,( )

khi 0.x x

f xx x

⎧ ≤⎪= ⎨>⎪⎩

2.25 1) Cho hàm số →:f đợc xác định bởi

( )1 | |

xf xx

=+

Chứng minh hàm số f(x) có hàm ngợc và tìm hàm ngợc nó.

2) Tìm hàm f(x) biết rằng

1 1( 1) ( ) ( )1

x f x fx x

− + =−

khi 0, 1x x≠ ≠

2.26 Tìm hàm số f(x) biết rằng nó đợc xác định với mọi giá trị x và thoả mãn hệ thức

( ) ( ) 2 ( )cosf x y f x y f x y+ + − = với mọi x và y.

2.27 Tìm các giới hạn sau

1) →

−−1

1l im1

m

nx

xx

(m,n là những số nguyên dơng)

2) π +→

+1 cosl imsinx

xx

3) π

→

− −−

4

sin 2 cos2 1l imcos sinx

x xx x

.

2.28 Tìm các giới hạn sau

2

212

1( 2)

22

22

2

0

arcsin(1 2 )1) l im4 1

sin(2 )2) l im 24

ar sin( 2)3) l im2

sin4) l im .1 sin cos

→

−−

→

→−

→

−−

⎡ ⎤−+⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦+

+

+ −

x

x

x

x

x

xx

xx

c xx x

xx x x

2.29 Tìm các giới hạn sau

20 2

1 11) l imsin 4sin

2→

⎛ ⎞⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

x xx

59

59

22

2

sin2) l im tgcos→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠x

x xxπ

2.30 Tìm các giới hạn sau

→

+ −20

1 sin cos21) l imsinx

x x xx

402) l im

1 2 1→ + −x

xx

30

( 1)3) l im cos1→

++x

xx

π

2

0

1sin4) l im

→x

xx

x

0

15) l im ( 1 ).2→

+ − −x

x x x

2.31 Tìm các giới hạn sau

0

11) l im→

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦x

xx

2) l im ví i 0.→

−>

−

x a

x a

x a ax a

2.32 Tìm các giới hạn sau 21) l im sin( 1)

→+∞+

nnπ

2 22) l im sin ( )→+∞

+n

n nπ

21

3) l im sin .→+∞

=∑

n

n k

kan

2.33 Chứng minh 2l im (cos ) m

mxπ

→∞ tồn tại với mọi giá trị x và tìm giới hạn.

2.34 1) Tìm giới hạn l im sin sin ...sinn

x→∞

.

2) Tìm giới hạn 2lim[lim(cos( !) ) ]→∞ →∞

π m

n mn x

60

60

61

61

Chương 3

Hàm liên tục một biến số

Khái niệm liên tục của hàm số là khái niệm rất cơ bản, đóng một vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu hàm số cả về lý thuyết và ứng dụng. Trước hết, ta hãy tìm hiểu về tính liên tục của hàm số.

3.1 Định nghĩa sự liên tục của hàm số tại một điểm

3.1.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1 Cho →:f A và 0x A∈ . Ta nói rằng hàm f liên tục tại điểm 0x nếu với bất kỳ số 0ε > cho trước có thể tìm được số 0δ > sao cho x A∀ ∈ mà 0| |x x δ− < ta có

0| ( ) ( )|f x f x ε− < .

Hàm f liên tục tại mọi điểm x A∈ thì ta nói f liên tục trên A.

Nếu f không liên tục tại x0, ta nói rằng f gián đoạn tại x0.

Quay trở về định nghĩa giới hạn của hàm số ta có thể phát biểu sự liên tục của hàm f tại x0 như sau:

Tính chất

Giả sử A →f : và ∈0x A . Khi đó hàm f liên tục tại x0 khi và chỉ khi

→=

00l im ( ) ( )

x xf x f x .

Định nghĩa 2 Hàm f liên tục tại điểm ∈0x A nếu như mọi dãy {xn} nằm trong A, mà 0nx x→ ta đều có → 0( ) ( )nf x f x khi →∞n .

Ví dụ 1: Xét hàm số ( ) | | .f x x= Lấy bất kì ∈0x

Do 0 0 0| ( ) ( )| | | | | | | | |f x f x x x x x− = − ≤ − .

Cho nên 0ε∀ > , chọn δ ε= , thì ∀ ∈ − <0, | |x x x δ ta có 0| ( ) ( )|f x f x ε− < .

Vậy hàm ( ) | |f x x= liên tục tại mọi ∈ .x

Ví dụ 2: Dùng ngôn ngữ ( )ε δ− hãy chứng minh 2

2l im(3 2) 10.x

x→

− =

Ta thấy: 2| ( ) 10| | 3 2 10| 3| 2| | 2|

3| 2| | 2 4| 3| 2| (| 2| 4) 3 ( 4)f x x x x

x x x x δ δ− = − − = − + =

= − − + < − − + < +

khi | 2|x δ− <

62

62

Trước hết, nếu chọn 1δ < thì | ( ) 10 | 3 .5 15f x δ δ− < =

Từ đây, nếu ta chọn 15εδ < thì | ( ) 10|f x ε− < .

Cuối cùng ta hãy chọn = min{1, }15εδ thì khi | 2|x δ− < ta có | ( ) 10|f x ε− < , điều phải

chứng minh.

Ví dụ 3: Dùng ngôn ngữ ( )ε δ− hãy chứng minh hàm số y = x2 liên tục tại mọi điểm. Giả sử x0 là tuỳ ý, cho 0ε > và 0| |x x δ− < . Ta thấy

20 0 0

0 0 0 0 0 0

| ( ) ( )| | | | | | || | | 2 | | | (| | 2| | )y x y x x x x x x xx x x x x x x x x x

− = − = − + =

= − − + ≤ − − +

nên 0 0| | (2| | )y y xδ δ− < + . Nếu chọn 1,δ < theo trên ta có 0 0| | (2| | 1)y y xδ− < + . Mặt khác,

nếu 02| | 1xεδ <

+ thì 0| |y y ε− < . Vậy hãy chọn

0min{1, },

2| | 1xεδ =

+ thì khi 0| |x x δ− < ta có

0| |y y ε− < . Vậy hàm số liên tục tại x0

Ví dụ 4: Xét hàm số f(x)=sinx. Lấy x0 bất kì thuộc . Ta thấy

0 00

0 00

| sin sin | | 2cos .sin |2 2

2| sin | 2| | | |2 2

x x x xx x

x x x x x x

+ −− = ≤

− −≤ ≤ = −

(ta đã biết | sin | | |x x< với 0x ≠ )

Cho trước ε >0 chọn δ ε= , khi 0| |x x δ− < ta có 0| sin sin |x x− <ε . Vậy hàm f liên tục tại mọi x∈ .

3.1.2 Hàm liên tục một phía, liên tục trên một khoảng, một đoạn kín

Cho hàm :f A R→ và 0x A∈

Định nghĩa 3 Hàm f liên tục bên phải tại điểm 0x A∈ nếu ε∀ > 0 cho trước, 0δ∃ > sao cho ∀ ∈x A mà 0 0x x x δ≤ < + ta có

|f(x)−f(x0)|< ε , (3.1.4)

kí hiệu 0

0l im ( ) ( )x x

f x f x+→

= (3.1.4)’’

Định nghĩa 4 Hàm f liên tục bên trái tại điểm 0x A∈ nếu ε∀ > 0 cho trước, 0δ∃ > sao cho

x A∀ ∈ mà 0 0x x xδ− < ≤

ta có |f(x) − f(x0)|< ε , (3.1.5)

kí hiệu 0

0l im ( ) ( )x x

f x f x−→

= (3.1.5)’

Các hàm số liên tục bên phải hoặc bên trái được gọi là liên tục một phía.

63

63

Định lý 3.1.1 Điều kiện cần và đủ để hàm f liên tục tại điểm 0x A∈ là nó liên tục theo cả hai phía tại 0x .

Chứng minh:

Điều kiện cần là hiển nhiên.

Ngược lại, nếu f liên tục theo cả hai phía tại 0x , thì ε∀ > 0 , 1 0δ∃ > sao cho x A∀ ∈ , 0 10 x x δ≤ − < ta có

|f(x) − f(x0)|< ε

và 2 0δ∃ > sao cho x A∀ ∈ , δ < − ≤2 0 0x x ta có

|f(x) −f(x0)|< ε .

Khi đó gọi 1 2min( , )δ δ δ= , thì 0,| |x A x x δ∀ ∈ − < ta có

|f(x) −f(x0)|< ε .

Vậy f liên tục tại x0

Định nghĩa 5 Cho hàm f xác định trên khoảng (a,b). Ta nói rằng hàm f liên tục trên khoảng (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Bây giờ cho hàm f xác định trên đoạn [a,b]. Nếu hàm f liên tục trên (a,b), liên tục bên phải tại điểm a và liên tục bên trái tại điểm b, thì ta nói rằng hàm f liên tục trên [a,b].

Ví dụ 5: Xét hàm số

1 ví i 0 2( ) 1 ví i 2 3

0 ví i c¸ c gi¸ t rÞ cßn l¹ i .

xf x x

x

⎧⎪= −⎨⎪⎩

≤ ≤< ≤

Ta thấy hàm số không liên tục tại các điểm x = 0, x = 2, x = 3 vì chẳng hạn tại x = 2, ta có:

2 2l im ( ) 1, l im ( ) 1x x

f x f x− +→ →

= = − .

Ví dụ 6: Hàm số 1( )f xx a

=−

không liên tục tại điểm x = a vì tại a hàm số không xác định.

3.1.3 Các định lý về những phép tính trên các hàm liên tục

a) Tính liên tục của tổng hiệu tích và thương của hàm liên tục Từ các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số mà mỗi hàm đều

có giới hạn ta có thể chứng minh định lý sau.

Định lý 3.1.2 Nếu hai hàm số f và g xác định trên cùng một tập RA ⊂ và cả hai đều liên tục

tại điểm 0x A∈ thì tại điểm đó các hàm c.f trong đó c là hằng số; ; .f g f g± và fg

(với

0( ) 0g x ≠ ) cũng liên tục.

Ví dụ 7: Hàm đa thức 10 1 1...n n

n ny a x a x a x a−−= + + + + liên tục trên toàn tập và phân thức

hữu tỉ

64

64

10 1 1

10 1 1

...

...

n nn n

m mm m

a x a x a x ay

b x b x b x b

−−

−−

+ + + +=

+ + + + liên tục tại các giá trị x trừ các giá trị làm cho mẫu số

triệt tiêu.

ii) Hàm mũ = > ≠ ( 0, 0)xy a a a liên tục trên toàn tập R

iii) Hàm lôgarit y = logax (a>0, a ≠ 0) liên tục trong khoảng (0,+∞ )

iv) Hàm luỹ thừa = ∈( )ny x n liên tục trong khoảng ( ,−∞ +∞ )

v) Các hàm y = sinx, y = cosx liên tục trên tập , các hàm sin 1tg , seccos cos

xx xx x

= = liên

tục trừ ra các giá trị π+(2 1)

2k và các hàm cos 1cot g , cosec

sin sinxx xx x

= = liên tục trừ ra các giá

trị πk .

b) Tính liên tục của hàm số hợp

Định lý 3.1.3 Giả sử hàm → ⊂ ⊂: ( , )f A B A B liên tục tại điểm 0x A∈ còn hàm g: →B liên tục tại điểm 0 0( )y f x B= ∈

Khi đó hàm hợp →0 :g f A liên tục tại x0.

Chứng minh:

Cho một số tuỳ ý 0ε > . Vì hàm liên tục tại y0, nên với 0ε > có thể tìm được 1 0δ > sao cho 0 1, | |y B y y δ∀ ∈ − < ta có 0| ( ) ( )|g y g y ε− < .

Mặt khác vì f liên tục tại x = x0 nên với 1δ nói trên ta có thể tìm được 0δ > sao cho 0,| |x A x x δ∀ ∈ − < suy ra

0 0 1| | | ( ) ( )|y y f x f x δ− = − < .

Tóm lại, theo cách chọn số δ suy ra 0,| |x A x x δ∀ ∈ − < ta có 0 0 0 0 0| ( )( ) ( )( )| | ( ( )) ( ( ))| | ( ) ( )|g f x g f x g f x g f x g y g y ε− = − = − < .

Vậy hàm 0g f liên tục tại điểm x0.

Ví dụ 8:

i) Do hàm luỹ thừa xμ (x >0) biểu diễn được dưới dạng ln xx eμ μ= là hợp của hàm logarit và hàm mũ nên liên tục.

ii) Hàm xx liên tục tại điểm bất kì x >0. Thật vậy ln ln( )x x x x xx e e= = .

Ví dụ 9:

Xét sự liên tục của hàm số →+∞

+=

+

2

l im1

nx

nxn

x x eye

Với x >0 ta có →+∞ →+∞

++=

+ +

22

l im lim 11 1

nx nx

nxn nnx

x xx x e ee

e

65

65

Với x >0, khi chú ý là nxe →∞ khi n → +∞ ta có

→+∞

+=

+

22l im

1

nx

nxn

x x e xe

Với x <0, khi chú ý là → 0nxe khi → +∞n ta só 2

l im1

nx

nxn

x x e xe→+∞

+=

+

Ta thấy với x =0 2

l im 01

nx

nxn

x x ee→+∞

+=

+

Vậy 2

khi 0( )

khi 0

x xy f x

x x

≤⎧⎪= = ⎨>⎪⎩

Hiển nhiên là khi 0x ≠ hàm số liên tục. Mặt khác ta thấy 0 0

l im ( ) l im ( ) 0 (0)x x

f x f x f− +→ →

= = = ,

vậy hàm số cũng liên tục tại x=0.

Do đó f(x) liên tục ∀ ∈x .

Ví dụ 10:

Cho 1

2

khi 21( ) khi 2.

1 x

a x

f x xe −

=⎧⎪

= ⎨ ≠⎪

+⎩

Tìm a để hàm liên tục ∀ ∈x .

Dễ thấy khi 2x ≠ hàm số liên tục. Để hàm số liên tục x∀ ∈ thì nó phải liên tục tại x=2.

Ta thấy 12 22

1l im ( ) l im 01

x xx

f xe

+ +→ →−

= =+

(bởi vì 1

2xe − → +∞ khi 2x +→ )

12 22

1l im ( ) l im 11

x xx

f xe

− −→ →−

= =

+

(bởi vì 1

2 0xe − → khi 2x −→ ).

Vậy a∀ hàm số không thể liên tục tại x = 2.

3.1.4 Điểm gián đoạn của hàm số

Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu tại x = x0 hàm f(x) không liên tục. Vậy x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu: hoặc x0 không thuộc tập xác định của f(x), hoặc x0 thuộc tập xác định của f(x) nhưng

00l im ( ) ( )

x xf x f x

→≠ , hoặc không có

0

l im ( )x x

f x→

.

Điểm gián đoạn x0 của hàm số f(x) được gọi là điểm gián đoạn loại 1 nếu các giới hạn một phía

0

l im ( )x x

f x+→

, 0

l im ( )x x

f x−→

tồn tại hữu hạn và ít nhất một trong hai giới hạn này khác f(x0).

Điểm gián đoạn không phải loại 1 sẽ được gọi là điểm gián đoạn loại 2. Như vậy điểm x0 là điểm gián đoạn loại 2 nếu hàm số không có giới hạn một phía hay một trong hai giới hạn đó là vô hạn.

66

66

Giả sử x0 là điểm gián đoạn của hàm số y = f(x). Nếu thỏa mãn đẳng thức

0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x f x+ −→ →

=

thì điểm gián đoạn x0 gọi là khử được. Nếu ít nhất một trong các giới hạn một phía nói trên bằng ∞ thì x0 gọi là điểm gián đoạn vô cùng.

Ví dụ 11: Cho hàm số:

khi 0( )

1 khi 0.x x

f xx x

≥⎧= ⎨

+ <⎩

Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số.

Ví dụ 12: Cho hàm số 1( )f xx

=

Điểm x=0 là điểm gián đoạn loại 2, bởi vì

0 0

1 1l im , l imx x x xx x+ −→ →

= +∞ = −∞ .

Ví dụ 13: Cho →+∞

=l im 0xx

xe

(trong chương 4 ta có thể tính giới hạn này một cách dễ dàng nhờ

qui tắc L’hospital).

Xét hàm số 2

1

21 khi 0( ) khi 0

xe xf x xa x

−⎧⎪ ≠= ⎨⎪ =⎩

Với giá trị nào của a hàm số gián đoạn tại x = 0. Khi đó hãy xét xem x = 0 là điểm gián đoạn loại gì?

Đặt 21 , khi 0t xx

±= → thì t → +∞ .

Ta thấy: 0

l im ( ) l im 0,t

txf x te

+

−

→+∞→= =

0l im ( ) l im 0ttx

tf xe− →+∞→

= = .

Vậy với 0a ≠ hàm số gián đoạn tai x = 0. Mặt khác do 0 0

l im ( ) l im ( ) 0,x x

f x f x+ −→ →

= = nên x = 0

là điểm gián đoạn khử được.

Ví dụ 14: Cho hàm số:

sin khi 1( ) arcsin khi 1 1,

cos khi 1.

x xf x x x

a x x

≤ −⎧⎪= − < <⎨⎪ + ≥⎩

a là tham số

Hãy xét tính liên tục của hàm số. Khi 1x ≠ ± , hàm số liên tục, ta còn phải xét tính liên tục của hàm số tại 1x = ± . Mặt khác

67

67

1 1

1 1

l im ( ) l im sin sin( 1) sin1,

l im ( ) l im arcsin arcsin( 1)2

x x

x x

f x x

f x x

− −

+ +

→− →−

→− →−

= = − = −

= = − = −π

Suy ra hàm số gián đoạn loại 1 tại x =−1

Hơn nữa

1 1

1 1

l im ( ) l im( cos ) cos1,

l im ( ) l im arcsin arcsin1 .2

x x

x x

f x a x a

f x x π+ +

− −

→ →

→ →

= + = +

= = =

Vậy tại x = 1 hàm số liên tục nếu cos12

a π= − và gián đoạn loại 1 nếu cos1

2a π≠ − .

Cuối cùng, nếu x0 là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số, ta gọi hiệu

0 0

0 0| ( ) ( )| | l im ( ) l im ( )|x x x x

f x f x f x f x+ −

+ −

→ →

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.1.6)

là bước nhảy của hàm số tại x0.

Định lý 3.1.4 Mọi điểm gián đoạn của hàm số đơn điệu xác định trên [a,b] đều là điểm gián đoạn loại một.

Chứng minh:

Giả sử →: [ , ]f a b là một hàm tăng và 0 [ , ]x a b∈ là điểm gián đoạn của f.

Đặt

0sup{ ( )| [ , )}f x x a xα = ∈ (3.1.7)

0inf{ ( )| ( , ]}f x x x b= ∈β . (3.1.8).

Trong trường hợp đặc biệt nếu x0=a ta chỉ xét β , nếu x0= b ta chỉ xét α . Theo (3.1.17) và (3.1.8) α , β là hữu hạn.

Định lí được chứng minh nếu ta chứng minh được rằng

00

l im ( )x xx x

f x α→<

= (3.1.9)

và 0

0

l im ( )x xx x

f x β→>

= (3.1.10)

Thật vậy, theo định nghĩa supremum 00, x xεε∀ > ∃ < sao cho ( )f xεα ε α− < ≤ . Chọn

0x xεδ = − .Ta thấy x∀ mà 0 0x x xδ− < < thì 0x x xε < < ,ta có

( ) ( )f x f xεα ε α− < ≤ ≤ (3.1.11)

hay 0 0| ( ) | ( , )f x x x xα ε δ− < ∀ ∈ − (3.1.12)

Vậy 0

0

l im ( )x xx x

f x α→<

= .

68

68

Bằng cách tương tự ta chứng minh được 0

0

l im ( )x xx x

f x β→>

= .

3.2 Các tính chất của hàm liên tục

3.2.1 Tính chất bảo toàn dấu ở lân cận một điểm

Định lý 3.2.1 Giả sử hàm số f(x) xác định trên tập A, liên tục tại điểm 0x A∈ . Khi đó

i) Nếu f(x0)>α thì 0∃ >δ sao cho f(x) >α 00 ( )x x Aδ∀ ∈ ∩ ,

trong đó

0 00 ( ) { :| | }x x x xδ δ= − < . (3.2.1)

ii) Nếu β<0( )f x thì tồn tại δ >0 sao cho

0( ) 0 ( ) .f x x x Aδβ< ∀ ∈ ∩ (3.2.2)

Chứng minh:

i) Do hàm số f liên tục tại 0x A∈ nên 0, 0ε δ∀ > ∃ > sao cho x A∈ 0| |x x δ− < thì 0( ) ( )f x f xε ε− < − < , có nghĩa là 0( ) ( )f x f x ε> − 00 ( )x x Aδ∀ ∈ ∩ .

Bây giờ hãy chọn ε α= − >0( ) 0f x khi đó

0 0( ) ( ) ( )f x f x f x α α> − + = 00 ( )x x Aδ∀ ∈ ∩ .

ii) Tương tự hãy chọn 0( )f xε β= − .

Ý nghĩa:

Hàm liên tục f(x) bảo toàn dấu của nó trong một lân cận của điểm x0.

3.2.2 Tính chất của một hàm số liên tục trên một đoạn

Định lý 3.2.2 (Định lý Weierstrass thứ nhất)

Nếu hàm f xác định và liên tục trên đoạn [a,b] thì nó bị chặn, tức là tồn tại các hằng số m và M sao cho

≤ ≤ ∀ ∈( ) [ , ]m f x M x a b . (3.2.3)

Chứng minh:

Ta hãy chứng minh định lý bằng phản chứng. Thật vậy, ta giả sử rằng hàm số không bị chặn. Khi đó với mỗi số tự nhiên n ta tìm được trên [a,b] giá trị x = xn sao cho:

( )nf x n> (3.2.4)

Theo bổ đề Bolzanô - Weierstrass từ dãy {xn} có thể trích ra một dãy con { }knx hội tụ đến

một giới hạn hữu hạn: 0knx x→ khi k → +∞ , trong đó hiển nhiên 0 .a x b≤ ≤

69

69

Vì hàm liên tục tại x0 nên 0( ) ( )knf x f x→ . Nhưng khi đó từ (3.2.4) ta suy ra

( )knf x → +∞ , khác f(x0) là một hàm số hữu hạn. Mâu thuẫn này suy ra định lý được chứng

minh.

Ta chú ý rằng định lý không còn đúng đối với những khoảng không đóng. Ví dụ như hàm 1x

liên tục trên khoảng (0,1) nhưng trong khoảng này hàm số không bị chặn.

Định lý 3.2.3 (Định lý Weierstrass thứ hai)

Nếu hàm →: [ , ]f a b liên tục thì nó đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trong [a,b], tức là tồn tại 1 2, [ , ]c c a b∈ sao cho

1[ , ]

sup ( ) ( )x a b

f x f c∈

= và 2[ , ]inf ( ) ( )

x a bf x f c

∈= . (3.2.5)

Chứng minh:

Theo định lý trên, do hàm liên tục nên nó bị chặn. Ta có

M=[ , ]

sup ( )x a b

f x∈

< +∞ .

Theo định lý supremum ta có một dãy {xn}⊂ [a,b] sao cho l im ( ).nnM f x

→∞= Dãy {xn} bị

chặn nên nó chứa một dãy con {knx } hội tụ, cụ thể 1knx c→ khi k →∞ .

Mặt khác từ các bất đẳng thức kna x b≤ ≤ suy ra l im

knka x b

→∞≤ ≤ tức là 1 [ , ]c a b∈ . theo giả

thiết hàm f liên tục tại c1, nên 1l im ( ) ( )knk

M f x f c→∞

= = .

Hoàn toàn tương tự 2c∃ sao cho: 2[ , ]inf ( ) ( )

x a bf x f c

∈= .

c) Chú ý:

i) Cuối cùng ta chú ý rằng giá trị c1, c2 nói trên không phải là duy nhất. Ví dụ trên hình 3.2.1

Hình 3.2.1

Ví dụ trên hình 3.2.1 hàm f(x) trong đoạn [a,b] nhận giá trị lớn nhất tại hai điểm c1, c2 và nhận giá trị bé nhất tại nhiều vô hạn điểm của đoạn [d1, d2].

70

70

Định lý không còn đúng đối với những khoảng không đóng, ví dụ hàm f(x) = 2x2 ánh xạ khoảng [0,1) lên khoảng [0,2), do đó sup ( ) 2f x = nhưng hàm f(x) không nhận giá trị 2 trong khoảng [0,1).

ii) Nếu hàm f(x) khi biến thiên trên một khoảng X nào dó là bị chặn thì ta gọi dao động của nó trong khoảng đó là hiệu M mω = − giữa cận trên đúng và cận dưới đúng của nó. Nói cách khác

,sup {| ( ) ( )| }.

x x Xf x f xω

′ ′′∈′′ ′= − Nếu xét hàm f(x) liên tục trên đoạn hữu hạn X=[a,b], thì

theo định lý vừa chứng minh trên, dao động của hàm f(x) sẽ chỉ đơn giản là hiệu giữa giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm trên đoạn đó.

Định lý 3.2.4 (Định lý Bolzano - Cauchy thứ nhất)

Giả sử hàm f(x) xác định và liên tục trên [a,b] và f(a).f(b) < 0. Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c∈(a,b) sao cho f(c)=0.

Chứng minh:

Để xác định ta giả sử f(a)< 0 còn f(b)>0. Ta chia đôi đoạn [a,b] bởi điểm 2

a b+ . Có thể

xảy ra là f(x) triệt tiêu tại điểm đó, khi đó định lý được chứng minh, ta có thể đặt c =2

a b+ .

Bây giờ giả sử f(2

a b+ ) ≠ 0, khi đó tại các đầu mút của một trong các đoạn [a, 2

a b+ ],

[2

a b+ ,b] hàm sẽ lấy các giá trị khác dấu nhau (cụ thể giá trị âm tại mút trái và giá trị dương

tại mút phải). Gọi đoạn đó là [a1,b1], ta có (xem hình 3.2.2) f(a1)< 0, f(b1)> 0

Hình 3.2.2

Bây giờ ta lại chia đôi đoạn [a1,b1]. Có thể xảy ra hai khả năng:

Hoặc là f(x) triệt tiêu tại trung điểm 1 1

2a b+ của đoạn đó, khi đó ta có thể chọn điểm c =

1 1

2a b+ , định lý được chứng minh.

Hoặc là ta thu được đoạn [a2,b2] là một trong hai nửa của đoạn [a1,b1] sao cho f(a2) < 0, f(b2) > 0. (Xem hình 3.2.2)

Ta tiếp tục quá trình lập các đoạn đó. Khi đó hoặc sau một số hữu hạn bước ta sẽ gặp trường hợp điểm chia là điểm tại đó hàm triệt tiêu và khi đó định lý được chứng minh.

71

71

Hoặc được một dãy vô hạn các đoạn chứa nhau. Khi đó đối với đoạn thứ n, [an,bn]

(n=1,2,3…) ta sẽ có f(an) <0, f(bn) >0 và độ dài của đoạn rõ ràng bằng bn − an=2n

b a− .

Dãy các đoạn ta lập được thoả mãn các điều kiện của bổ đề về dãy các đoạn lồng nhau, bởi vì theo trên l im( ) 0n nn

b a→∞

− = . Vì vậy, cả hai dãy {an}, {bn} dần tới giới hạn chung

→∞ →∞= =l im limn nn n

a b c , mà rõ ràng c∈[a,b]. Ta hãy chứng minh điểm c này thoả mãn yêu cầu

của định lý.

Thật vậy, do tính liên tục của hàm số tại x = c, ta có

( ) l im ( ) 0nnf c f a

→∞= ≤ và

→∞= ≥( ) l im ( ) 0nn

f c f b .

Vậy f(c)=0, định lý được chứng minh.

Định lý 3.2.5 (Định lý Bolzano - Cauchy thứ hai)

Giả sử hàm f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a,b] và tại các đầu mút của đoạn đó hàm f(x) nhận các giá trị không bằng nhau f(a) = A, f(b) = B.

Khi đó với số C bất kỳ nằm trung gian giữa A và B, ta có thể tìm được điểm ( , )c a b∈ sao cho f(c)=C.

Chứng minh: Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng A<B, vậy A<C<B. Xét trên đoạn [a,b] hàm g(x)=f(x)− C.

Hàm số này liên tục trên [a,b] và tại các đầu mút của đoạn đó hàm f(x) có dấu khác nhau

g(a) = f(a) − C = A− C, g(b) = f(b) − C = B – C >0.

Khi đó theo định lý thứ nhất tồn tại một điểm ( , )c a b∈ sao cho g(c)=0, tức là f(a) – C =0, hay f(c)=C, đó là điều phải chứng minh.

Ta chú ý rằng điều kiện liên tục của hàm f(x) trên đoạn [a,b] là điều kiện không thể thiếu được. Chẳng hạn ta xét hàm (Hình 3.2.3):

1 1 khi 03 2( )2 1khi 13 2

xf x

x

⎧ ≤ ≤⎪⎪= ⎨⎪ ≤ ≤⎪⎩

x10

23

13

12

72

72

Hình 3.2.3

số 25

nằm trung gian giữa số 1(0)3

f = và 2(1)3

f = nhưng không có giá trị c nào trên (0,1)

sao cho 2( ) .5

f c =

3.3 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu và của hàm số ngược

3.3.1 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu

Định lý 3.3.1 Cho f(x) là hàm đơn điệu. Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) liên tục trên đoạn [a,b] là tập giá trị của nó chính là đoạn với hai đầu mút f(a) và f(b).

Chứng minh:

Điều kiện cần: Giả sử f(x) là đơn điệu tăng và liên tục trên [a,b], ta phải chứng minh:

=([ , ]) [ ( ), ( )]f a b f a f b . (3.3.1)

Thật vậy, lấy bất kì ([ , ])f a bλ ∈ , khi đó [ , ]x a b∃ ∈ sao cho ( )f xλ = . Do f đơn điệu tăng, nên khi

≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ = ∈⇒ ⊂

( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ), ( )]([ , ]) [ ( ), ( )].

a x b f a f x f b f x f a f bf a b f a f b

λ

Ngược lại, lấy [ ( ), ( )]f a f bμ ∈ do f(x) liên tục trên đoạn [a,b] nên [ , ]c a b∃ ∈ sao ( ) ([ , ]).f c f a bμ = ∈ Suy ra [ ( ), ( )] ([ , ])f a f b f a b⊂ và hệ thức (3.3.1) được chứng minh.

Điều kiện đủ

Giả sử f(x) là đơn điệu tăng và f([a,b])= [f(a),f(b)]. Ta hãy chứng minh f(x) liên tục trên [a,b].

Giả sử ngược lại, f(x) gián đoạn tại 0 [ , ]x a b∈ . Nếu a < 0x < b, ta hãy đặt

0 0

l im ( ) , l im ( )x x x x

f x f xα β− +→ →

= = (Hình 3.3.1).

Khi đó hoặc α < 0( )f x , hoặc 0( )f x β< .

Nếu 0( )f xα < , thì f([a,b]) không chứa khoảng 0( , ( ))f xα . Nếu f(x0)< β thì f([a,b]) không chứa khoảng (f(x0), β ), điều này trái với giả thiết f([a,b])=[f(a),f(b)].

Trường hợp x0 = a hoặc x0 = b chứng minh tương tự.

73

73

β

α

Hình 3.3.1

3.3.2 Tính liên tục của hàm ngược

Định lý 3.3.2 Giả sử f(x) là hàm tăng thực sự và liên tục trên [a,b]. Khi đó f(x) có hàm ngược f-–

1 xác định trên tập [f(a),f(b)], đồng thời 1f − cũng tăng thực sự và liên tục trên [f(a),f(b)].

Chứng minh:

Theo định lý trên f([a,b])=[f(a), f(b)], nên

[ ( ), ( )], [ , ]y f a f b x a b∀ ∈ ∃ ∈ sao cho 1 1 2 2( ) ( )y f x f x y= < = ( )f x y= . Phần tử x nói trên là duy nhất. Thật vậy, ta giả sử ′∃ ,x [ , ],x a b′′∈ x x′ ′′< sao cho ( ) ( )f x f x y′ ′′= = , điều này vô lí do hàm f thực sự tăng.

Bây giờ cho tương ứng phần tử [ ( ), ( )]y f a f b∈ với phần tử duy nhất [ , ]x a b∈ nói trên ta thu được hàm ngược đơn trị

1 : [ ( ), ( )] [ , ]f f a f b a b− → . (3.3.2)

Bây giờ ta hãy chứng minh f-–1 là hàm tăng thực sự.

Thật vậy 1 2 1 2, [ ( ), ( )], y y f a f b y y∀ ∈ < khi đó 1 2, [ , ]x x a b∃ ∈ sao cho 1 1 2 2( ), ( ).y f x y f x= = do, và do f tăng thực sự nên

1 11 2 1 2( ) ( )x x f y f y− −< ⇒ < .

Cuối cùng ta thấy f 1− là hàm tăng và có miền giá trị là

[a,b]=[ f 1− (f(a)), f 1− (f(b))]. (3.3.3)

Vậy f 1− là hàm liên tục.

Nhận xét:

Định lí còn đúng khi f là hàm giảm thực sự hoặc thay [a,b] bằng (a,b).

74

74

Ví dụ 1: Hàm sin x: [ , ] [ 1,1]2 2π π

− → − đơn điệu tăng và liên tục, nên theo định lý trên hàm

arcsinx: [−1,1] → [ , ]2 2π π

− cũng đơn điệu tăng và liên tục.

Hàm cos x: [0, π ] → [−1,1] đơn điệu giảm và liên tục , nên hàm arccos x: [−1,1] → [0, π ] cũng đơn điệu giảm và liên tục.

Hàm tg x: ( , ) ( , )2 2π π

− → −∞ +∞ đơn điệu tăng và liên tục nên hàm arctg x:

( , ) ( , )2 2π π

−∞ +∞ → − đơn điệu tăng và liên tục.

vi) Tương tự hàm cotgx: (0, π ) → ( , )−∞ +∞ đơn điệu giảm và liên tục nên hàm ngược arccotg x: ( , )−∞ +∞ → (0, π ) đơn điệu giảm và liên tục.

3.4 Khái niệm liên tục đều

3.4.1 Mở đầu

Cho hàm f(x) xác định trên tập A (có thể là khoảng đóng hay mở, hữu hạn hay vô hạn) và liên tục tại mọi điểm x0 A∈ . Theo ngôn ngữ “ε δ− ” ta có thể phát biểu như sau: Đối với mỗi ε >0 ta có thể chọn được một số δ >0 sao cho x A∀ ∈ mà |x− x0|<δ kéo theo

|f(x) −f(x0)|< ε (3.4.1)

Điều này có nghĩa là đối với điểm 0x A∈ , theo từng số 0ε > cho trước sẽ tìm được một số δ sao cho bất đẳng thức (3.4.1) được thoả mãn. Ta thấy khi 0x biến thiên trên tập A, cho dù ε cố định, số δ nói chung sẽ thay đổi. Nói cách khác số δ không những chỉ phụ thuộc vào ε mà còn phụ thuộc vào 0x .

Như vậy, đối với hàm f(x) liên tục trên tập A, nảy ra vấn đề là: với 0ε > cho trước, tồn tại hay không một số δ >0 phù hợp với mọi điểm 0x A∈ . Ta có định nghĩa sau.

3.4.2 Định nghĩa

Ta nói rằng hàm số :f A → liên tục đều trên A, nếu 0ε∀ > cho trước 0δ∃ > chỉ phụ thuộc vào ε sao cho ,x x A′∀ ∈ mà | |x x δ′− < , thì

| ( ) ( )|f x f x ε′− < . (3.4.2)

Ví dụ 1:

i) Chứng minh rằng hàm f(x) = x liên tục đều trên toàn trục số. Thật vậy 0ε∀ > lấy δ ε= ta thấy ,x x′∀ ∈ mà | |x x δ′− < thì

| ( ) ( )| | |f x f x x x ε′ ′− = − < .

ii) Hàm y = sinx, y = cosx liên tục đều trên . Thật vậy, chẳng hạn xét hàm y = cosx, ta thấy

75

75

| | | cos cos | 2| sin .sin |2 2

| | 2 | | .2

x x x xy y x x

x x x x

′ ′+ −′ ′− = − = ≤

′− ′≤ = −

Với 0ε > cho trước bất kì, ta chỉ cần chọn δ ε= thì khi ,x x′∀ ∈ , | |x x δ′− < ta có | |y y ε′− < .

Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm f(x) = x2 liên tục đều trên khoảng (−1,1). Thật vậy, lấy hai điểm bất kì , ( 1,1)x x′∀ ∈ − , khi đó

2 2| ( ) ( )| | | | ( )( )|| | | | 2| |f x f x x x x x x xx x x x x x

′ ′ ′ ′− = − = + −′ ′ ′= + − < −

Với 0ε > nhỏ tùy ý, ta chỉ cần chọn 2εδ = , khi đó x x, ( 1,1)′∀ ∈ − mà x x| | δ′− < thì

f x f x| ( ) ( )| 2 2.2εδ ε′− < = =

Nhận xét: Để chứng minh hàm f(x) không liên tục đều trên tập A ta chỉ cần chứng minh mệnh đề sau:

n nx x A0, ,ε ′∃ > ∃ ∈ sao cho n nx x| | 0′− → thì

n nf x f x| ( ) ( )| ε′− ≥ . (3.4.3)

Định lý 3.4.1 (Định lý Cantor): Nếu : [ , ]f a b → liên tục thì nó liên tục đều trên [ , ]a b .

Chứng minh:

Ta hãy chứng minh định lý bằng phản chứng. Giả sử f(x) không liên tục đều trên [ , ]a b , tức tồn tại một số dương ε sao cho 0,δ∀ > tồn tại , [ , ]x x a bδ δ′ ∈ mà x x| |δ δ δ′− < thì

0| ( ) ( )|f x f xδ δ ε′− ≥ .

Lần lượt lấy 1n

δ = (n=1,2,3,…) ta sẽ tìm được các dẫy , [ , ]n nx x a b′ ∈ , mà 1| |n nx xn

′− <

nhưng *

0| ( ) ( )| n nf x f x nε′− ≥ ∀ ∈ . (3.4.4).

Theo bổ đề Bolzannô - Werierstrass dãy {xn} bị chặn, nó chứa một dãy con hội tụ: 0 [ , ].

knx x a b→ ∈

Khi đó với dãy nx{ }′ ta cũng có dãy con tương ứng knx x0{ }′ → . Thật vậy,

0 0| | | | | | 0 ′ ′− ≤ − + − →k k k kn n n nx x x x x x khi →∞k .

Mặt khác theo giả thiết f(x) liên tục tại x0 ta có

0lim ( ) lim ( ) ( )→∞ →∞

′= =k kn nk k

f x f x f x ,

suy ra lim | ( ) ( ) | 0→∞

′− =k kn nk

f x f x , điều này mâu thuẫn với (3.4.4). Định lí được chứng minh.

76

76

Chú ý rằng định lí không còn đúng nếu hàm f(x) chỉ liên tục đều trên khoảng (a,b).

Ví dụ 3: Hàm 1yx

= liên tục trên khoảng (0,1) nhưng không liên tục đều trên khoảng này.

Thật vậy, 01 11, ,

2n nx xn n

ε ′∃ = ∃ = = .

Khi đó 1| | 0,2n nx x

n′− = → nhưng

| ( ) ( ) | | 2 | 1n nf x f x n n n ε′− = − = ≥ = .

3.4.3 Liên tục của các hàm số sơ cấp

Từ định lí về các phép tính của các hàm liên tục và định lí về tính liên tục của hàm hợp ta có định lí sau:

Định lí 3.4.2 Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của nó.

Chú ý:

Ta chú ý rằng nếu f(x) liên tục tại điểm x0, thì

0 00lim ( ) ( ) ( lim ).

→ →= =

x x x xf x f x f x

Như vậy, nếu hàm f(x) liên tục thì có thể thay đổi thứ tự việc lấy giới hạn và việc tính giá trị của hàm.

Sau đây dựa vào tính liên tục của những hàm sơ cấp, chúng ta sẽ đưa ra hàng loạt giới hạn quan trọng:

a) 0

log (1 )lim logα

αα→

+=a

a e . (3.4.5)

Giới hạn có dạng 00

. Ta có 1log (1 ) log (1 )a

aαα

αα+

= + .

Vì biểu thức nằm bên phải dưới dấu lôgarit tiến đến e khi 0α → , nên theo tính liên tục, lôgarit của nó tiến đến logae. Công thức được chứng minh, nói riêng khi a = e ta có công thức

0

1 1ln( )l imα

αα→

+= (3.4.6)

b) 0

1l im lna aα

α α→

−= (3.4.7)

Giới hạn này có dạng 00

.

Ta đặt 1α β− =a , khi đó theo tính liên tục của hàm số mũ khi 0α → thì 0β → . Ngoài ra chúng ta có log (1 )aα β= + , như vậy là

0 0

1 1l im lim lnlog (1 ) loga a

a ae

α

α β

βα β→ →

−= = =

+.

77

77

Nói riêng, nếu lấy 1 ( 1,2,3...)nn

α = = thì ta nhận được công thức

nn

n a al im ( 1) ln→∞

− = (3.4.8)

c) a 0

(1 ) 1l imμα μ

α→

+ −= (3.4.9)

Ta đặt (1 ) 1μα β+ − = . Do tính liên tục của hàm luỹ thừa khi 0α → thì 0β → . Lấy lôgarit hai vế của đẳng thức (1 ) 1μα β+ = + ta nhận được

ln(1 ) ln(1 )μ α β+ = +

Nhờ hệ thức này, ta biến đổi biểu thức đã cho như sau

(1 ) 1 ln(1 ). .ln(1 )

μα β β αμα α β α

+ − += =

+

Theo các giới hạn trên, cả hai biểu thức ln(1 )

ββ+

và ln(1 )αα+ đều có giới hạn là 1 khi

0α → , 0β → , vì vậy công thức được chứng minh.

3.5 Bài tập chương 3

3.1 Cho 2 1( )3

xf xx+

=+

. Chứng minh 1

1l im ( )2x

f x→−

= − bằng ngôn ngữ “ε δ− ”.

3.2 Chứng minh hàm số 1( )1

f xx

=+

liên tục tại mọi điểm 1x ≠ bằng ngôn ngữ “ε δ− ”.

3.3 Khảo sát liên tục của các hàm số sau:

1) 21( ) khi 1

(1 )f x x

x= ≠ −

+ và ( 1)f − tuỳ ý.

2) 1( ) sin khi 0, (0) 0f x x x fx

= ≠ =

3) 21

( ) khi 0, (0) 0xf x e x f−

= ≠ = .

3.4 Xét xem hàm số [ ]: 0,2f → được cho bởi

2 khi 0 1( )

2 khi 1 2x x

f xx x

≤ ≤⎧= ⎨

− < ≤⎩

có liên tục không?

3.5 Tìm a để hàm số

78

78

khi 0( ) khi 0

xe xf xa x x⎧ <⎪= ⎨

+ ≥⎪⎩

liên tục.

3.6 Xét tính liên tục của hàm số

⎧ ≠⎪= ⎨=⎪⎩

2ln khi 0( ) khi 0

x x xf xa x

3.7 Xác định các điểm gián đoạn và khảo sát tính chất của các điểm đó đối với các hàm số sau:

1) 2

31

3 2xy

x x−

=− +

2) 2 1cosyx

=

3) 1xxy e

+=

4) 1ln

yx

=

3.8 Xét tính liên tục của hàm

sin khi h÷u tØ( )

0 khi v« tØx x

f xx

π⎧= ⎨⎩

3.9 Xét xem phương trình

2sin 3 10cos5 0x x+ = có nghiệm thực không?

3.10 Cho hàm 2( ) 1x xϕ = − + với x∈ và

2 khi 1( )

0 khi 1y

f yy≥⎧

= ⎨ <⎩

Xét tính liên tục của hàm ( ( ))f xϕ tại điểm x = 0.

3.11 Chứng minh rằng nếu hàm f(x), liên tục trên đoạn [a,b] và 1 2, ,..., ( , )nx x x a b∈ thì trong khoảng (a,b) tìm được một số ξ sao cho:

1

1( ) ( )n

kk

f f xn

ξ=

= ∑ .

79

79

3.12 Chứng minh rằng nếu hàm f(x) liên tục trong khoảng a x≤ < +∞ và tồn tại giới hạn hữu hạn l im ( )

xf x

→+∞ thì hàm số này bị chặn trong khoảng đã cho.

3.13 Chứng minh rằng hàm ( ) sinf xxπ

= liên tục và bị chặn trong khoảng (0,1) nhưng

không liên tục đều trong khoảng đó.

3.14 Chứng minh rằng hàm f(x) =sin2x liên tục và bị chặn trong khoảng vô hạn x−∞ < < +∞ nhưng không liên tục đều trong khoảng đó.

3.15 Chứng minh rằng hàm không bị chặn f(x)=x+sinx liên tục đều trên toàn trục số x−∞ < < +∞ .

3.16 Xét tính liên tục đều của các hàm sau:

1) 2( ) khi [ 1,1]4

xf x xx

= ∈ −−

2) 1( ) cos khi (0,1)xf x e xx

= ∈

3) ( ) khi [1, )f x x x= ∈ +∞

3.17 Nghiên cứu tính liên tục và vẽ phác hoạ đồ thị của hàm số sau

1 1 1arctg1 2

yx x x

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

3.18 Nghiên cứu tính liên tục và vẽ tính liên tục và vẽ đồ thị các hàm số sau:

1) 1lim ( 0)1 nn

y xx→+∞

= ≥+

2) ln(1 )l imln(1 )

xt

tt

eye→+∞

+=

+

3.19 Chứng minh rằng phương trình:

1 0xxe − =

có ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.

3.20 Sử dụng công thức tương đương để tính gần đúng:

1) 105

2) 1632

3) 0,31 .

3.21 Chứng minh rằng hàm | sin |( ) xf xx

= liên tục đều trên các khoảng (−1,0) và (0,1)

nhưng không liên tục đều trên (−1,0)∪ (0,1).

80

80

3.22 Xét tính liên tục của các hàm số sau:

1) 1 khi h÷u tØ

( )0 khi v« tØ

xf x

x⎧

= ⎨⎩

2) khi h÷u tØ

( )0 khi v« tØ.x x

f xx

⎧= ⎨⎩

81

81

Chương 4

Phép tính vi phân của hàm một biến

4.1 Đạo hàm và cách tính

4.1.1 Định nghĩa đạo hàm

Giả sử U là một tập mở trong , :f U → và 0x U∈ .

Cho x0 một số gia 0xΔ ≠ đủ nhỏ sao cho 0x x U+ Δ ∈ . Khi đó ta gọi 0 0( ) ( )y f x x f xΔ = + Δ − là một số gia của hàm số tương ứng với số gia đối số xΔ tại điểm x0.

Xét tỷ số giữa số gia hàm số với số gia đối số.

Nếu tỷ số dẫn đến một giới hạn hữu hạn xác định khi 0xΔ → , thì ta nói rằng hàm f khả vi tại điểm x0, giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số tại x0 và ký hiệu là

0 00 0

( ) ( )( ) l imx

f x x f xf xxΔ →

+ Δ −′ =Δ

. (4.1.1)

Các ký hiệu y′ hay ( )f x′ là các ký hiệu đạo hàm theo Largrange, còn dydx

hay 0( )df xdx

là

các kí hiệu theo Leibnitz và Dy hay Df(x0) là các kí hiệu theo Cauchy.

Đôi khi để nhấn mạnh biến số lấy đạo hàm, người ta thường viết biến đó thành chỉ số dưới:

0 0, ( ), hay ( )′ ′x x x xy f x D y D f x (4.1.2)

Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc U.

4.1.2 Công thức đối với số gia của hàm số

Nếu hàm y = f(x) khả vi tại 0 ,∈x U ta có thể biểu diễn số gia của hàm số 0 0 0( ) ( ) ( )Δ = Δ = + Δ −y f x f x x f x như sau.

Theo định nghĩa 000

( )lim ( )Δ →

Δ ′=Δx

f x f xx

.

Đặt 00

( ) ( ) αΔ ′= +Δf x f x

x với 0α → khi 0Δ →x .

(4.1.3)

Ta có 0 0( ) ( ) .α′Δ = Δ + Δf x f x x x với 0

lim 0αΔ →

→x

. (4.1.4)

Kí hiệu . ( )α Δ = ο Δx x và hiển nhiên 0

( )lim 0Δ →

ο Δ=

Δx

xx

.

82

82

Do đó (4.1.4) có thể viết dưới dạng

0 0( ) ( ) ( ).′Δ = Δ + ο Δf x f x x x (4.1.5)

Định lý 4.1.1 Nếu hàm y = f(x) khả vi tại 0x U∈ thì f(x) liên tục tại x0.

Chứng minh: Thật vậy ta có

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )′+ Δ − = Δ + ο Δf x x f x f x x x ,

suy ra

[ ]0 0 00 0 0

0 00

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( ) ( ).Δ → Δ → Δ →

Δ →

′+ Δ − = Δ + ο Δ

⇒ + Δ =x x x

x

f x x f x f x x x

f x x f x

4.2 Các qui tắc tính đạo hàm

4.2.1 Các qui tắc tính đạo hàm

Trước hết ta hãy nhắc lại các qui tắc tính đạo hàm đã biết

Định lí 4.2.1 Cho , :f g U → , trong đó U là tập hợp mở trong R, còn f, g là hai hàm khả vi

tại 0x U∈ . Khi đó 1 2,c c∀ ∈ các hàm 1 2 ,c f c g+ .f g và fg

(nếu g(x0) 0≠ cũng là các hàm

khả vi tại điểm x0 và ta có các công thức sau:

a) 1 2 0 1 0 2 0( ) ( ) ( ) ( )c f c g x c f x c g x′ ′ ′+ = + (4.2.1)

b) 0 0 0 0 0( , ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( )f g x f x g x g x f x′ ′ ′= + (4.2.2)

c) 0 0 0 00 02

0

0( ) ( ) ( ). ( )( ) , ( )

( )f x g x g x f xf x g x

g g x

′ ′ ′−⎛ ⎞= ≠⎜ ⎟

⎝ ⎠. (4.2.3)

4.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp

Định lí 4.2.2 Cho :g U V→ và :f V → trong đó U, V là hai tập hợp mở trong , hàm u=g(x) khả vi tại 0x U∈ và hàm y=f(u) khả vi tại u0=g(x0) V∈ . Khi đó hàm hợp 0f g khả vi tại x0 và ta có công thức

0 0 0 0( ) ( ) ( ( )) ( )f g x f g x g x′ ′ ′= (4.2.4)

hay gọn hơn

.x u xy y u′ ′ ′= . (4.2.5)

Chứng minh: Theo công thức (4.1.5) hàm f khả vi tại u0, nên ta có

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )uf f u u f u f u u u′Δ = + Δ − = Δ + ο Δ .

Mặt khác hàm g khả vi tại x0 nên

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )xu g x x g x g x x x′Δ = + Δ − = Δ + ο Δ .

Thế uΔ vào biểu thức fΔ ta được

83

83

[ ]0 0 0 0

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ). ( ) ( ) ( ) ( ).

u x

u x u

f u u f u f u g x x x uf u g x x f u x u

ο

ο

′ ′+ Δ − = Δ + Δ + ο Δ

′ ′ ′Δ + Δ + ο Δ

Chia cả 2 vế cho xΔ

0 00 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ). ( ) ( ) .u x uf u u f u x uf u g x f u

x x x+ Δ − ο Δ ο Δ′ ′ ′= + +

Δ Δ Δ

Ta thấy do hàm u liên tục tại x0 nên khi 0xΔ → thì 0uΔ → và

0 0 0

0

( ) ( ( )) ( ), ( ) ( ) ( ( )) ( ).

o

o

f u f g x f g xf u u f u f g x f g x

= =

+ Δ = = =

Bây giờ ta hãy viết lại biểu thức trên dưới dạng:

0 0 00 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ). ( ) ( ) . .u x uf g x f g x x u uf u g x f u

x x u x− ο Δ ο Δ Δ′ ′ ′= + +Δ Δ Δ Δ

Cho 0xΔ → ta được 0 0 0 0( ) ( ) ( ( )). ( ),uf g x f g x g x′ ′ ′= và công thức được chứng minh.

Ví dụ 3:

i) Ta thấy 0ln x x aa e a= ∀ >

nên ln( ) ( )x x aa e′ ′= , đặt u = xlna, ln( ) ' . ln lnu x a xe e a a a= =

Do đó ta có công thức sau

ln( )x xa a′ = a với 0a∀ > . (4.2.6)

ii) Ta có 0ln x e xα α= ∀ >x và α∀ ∈

Do đó: 1 1ln ln( ) ( ) . . . .x xx e e xx x

α α α αα α′ ′= = = .

Và ta có công thức sau: 1( ) .x xα αα −′ = . (4.2.7)

Ví dụ 4: Tính 11

cos xxdI e

dx

−+= với 1x ≠ −

Đặt 11

cos xux−

=+

11 1

1cos

. . cosx

u u xx

d xI e e u edx x

−+

′−⎛ ⎞′= = = ⎜ ⎟+⎝ ⎠

Lại đặt 11

xvx−

=+

ta có

2

1 1 1 21 1 1 1

(cos ) sin . sin sin .( )

x x xv v vx x x x

′− − −⎛ ⎞′ ′= − = − = −⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠

Cuối cùng

84

84

11

2

1 1211

cos. .sin( )

xx xI e

xx

−+ −⎛ ⎞= − ⎜ ⎟++ ⎝ ⎠

.

Ví dụ 5: Cho , :f g U → trong đó f(x)>0, x U∀ ∈ và tồn tại ( ), ( )f x g x′ ′ với x U∈ .

Khi đó

( ) ( )ln ( ) ( )ln ( )

( )

( ( )) ( ( ). ln ( ))

( ) =( ( )) . ( ) ln ( ) ( ). .( )

g x g x f x g x f x

g x

d d df x e e g x f xdx dx dx

f xf x g x f x g xf x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

′⎡ ⎤′ +⎢ ⎥⎣ ⎦

4.2.3 Đạo hàm của hàm số ngược

Định lí 4.2.4 Giả sử hàm f(x) khả vi liên tục trên (a,b) với 0( )f x′ ≠ ( , )x a b∀ ∈ . Khi đó hàm f(x) đơn điệu thực sự nên có hàm ngược x = g(y), : ( ( ), ( )) ( , ).g f a f b a b→

Khi đó g(y) cũng khả vi tại y = f(x) và có đạo hàm g’(y) thoả mãn hệ thức: 1( )( )

g yf x

′ =′

(4.2.8)

hay gọn hơn:

1y

x

xy

′ =′

. (4.2.9)

Chứng minh: Do (g.f)(x) = x ( , )x a b∀ ∈

Hay ( ( ))g f x x= ( , )x a b∀ ∈ .

Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức trên theo x ta được

1 hay 1( ( )). ( ) ( ). ( )g f x f x g y f x′ ′ ′ ′= =

suy ra 1( )( )

g yf x

′ =′

( , )x a b∀ ∈ .

Ví dụ 6:

i) Xét hàm số y = arcsinx với −1< x <1 và 2 2

yπ π− < < .

Ta biết rằng y = arcsinx, tương đương với x = siny, do đó

do2 2

cos , ,yx y y π π⎛ ⎞′ = ∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

thì 0cos y >

nên 21yx x′ = − , suy ra 2

11

xyx

′ =−

.

Tương tự, tao có các công thức sau:

ii) y = arccosx với −1< x <1, 2

11

xyx

′ = −−

85

85

iii) y = arctgx với x−∞ < < +∞ , 2

11xy

x′ =

+

iv) y = arccotgx với x−∞ < < +∞ , 2

11xy

x−′ =+

.

4.2.4 Đạo hàm theo tham số

Xét hàm y của biến x được cho dưới dạng tham số

( )( )

x x ty y t=⎧

⎨=⎩

với ( , ).t α β∈

Giả sử x là hàm khả vi, liên tục và '( ) 0x t ≠ ( , )t α β∈ .

Khi đó x(t) là hàm đơn điệu thực sự trên ( , )α β , vì vậy nó có hàm ngược t = t(x). Khi đó ta có hàm hợp y = y(t) = y(t(x)).

Hãy tính xy′ . Cho t một số gia Δ t, Δ x là số gia tương ứng của Δ t, Δ y là số gia tương ứng của Δ x. Ta có

yy t

xxt

ΔΔ Δ=

ΔΔΔ

suy ra 0

0

0

l imlim

l im

t tx x

tt

yyy ty

xx xt

Δ →

Δ →

Δ →

Δ′Δ Δ′ = = =

Δ ′ΔΔ

. (4.2.10)

Ví dụ 7: Xét hàm số

1( sin ), ( cos )x a t t y a t= − = − với 0 2( , )t π∈ .

Khi đó 2

22 2

1 222

sin cossin( ) cot g( cos ) sin

t ta t ty x

ta t′ = = =

−.

4.2.5 Đạo hàm một phía

Giả sử f(x) được xác định trên (a,b) và 0 ( , )x a b∈ . Ta nói giới hạn hữu hạn, nếu tồn tại

0 0

0 0

( ) ( )l im limx x

f x x f xyx x+ +Δ → Δ →

+ Δ −Δ=

Δ Δ (4.2.11)

là đạo hàm bên phải của hàm f(x) tại điểm x0, kí hiệu là 0( )+′f x (xem hình 4.2.1).

Tương tự, ta có đạo hàm bên trái của hàm f(x) tại điểm x0 kí hiệu là 0( ) :−′f x

0 00

0 0

( ) ( )l im lim ( )x x

f x x f xy f xx x− − −

Δ → Δ →

+ Δ −Δ ′= =Δ Δ

(4.2.12)

86

86

Ta thấy muốn có 0( )f x A′ = điều kiện cần và đủ là

0 0( ) ( )f x f x A+ −′ ′= = .

Hình 4.2.1

Ví dụ 8: Cho hàm f(x) =|x|, hãy xét đạo hàm của hàm số tại x0 = 0.

Ta có 0 0y f x f xΔ = + Δ − = Δ( ) ( ) | | ,

0 0

0 0

0 1

0 1

( ) l im lim ,

( ) l im l im .

x x

x x

y xfx xy xfx x

+ +

− −

+Δ → Δ →

−Δ → Δ →

Δ Δ′ = = =Δ ΔΔ −Δ′ = = = −Δ Δ

Vậy hàm f(x) liên tục tại x0 = 0, nhưng f’(0) không tồn tại.

Ví dụ 9: Cho hàm số 3

khi 0

khi 0

sin ( )

x xf x xa x

⎧≠⎪= ⎨

⎪ =⎩

1) Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0.

2) Với a tìm được, hãy xét sự khả vi của hàm số tại x = 0

Giải: 1) Do 3

2

0 00sin sinl im lim sin

x x

x x xx x→ →

= =

Vậy để hàm liên tục tại x = 0 thì phải có a = 0.

2) Với a=0 ta có 3

khi 0

khi 0

sin ( )0

x xf x xx

⎧≠⎪= ⎨

⎪ =⎩

Ta thấy 3

0 0

0 00

( ) ( ) sinl im limx x

f x f xx x→ →

−= =

−.

Vậy 0 0( )f ′ = và hàm khả vi tại x=0.

87

87

Ví dụ 10: Chứng minh rằng hàm số f(x) =|x−a| ( )ϕ x , trong đó ( )ϕ x là hàm liên tục và 0( )aϕ ≠ , không khả vi tại x = a.

Ta có

0 0

( ) ( ) | | ( )( ) l im limx x

f a x f a x a xf xx x

ϕ→ →

+ Δ − Δ + Δ′ = =Δ Δ

.

Suy ra:

( )+′f a = ( )ϕ a và ( )−′f a =– ( )ϕ a .

Do ( ) ( )+ −′ ′≠f a f a nên hàm số f(x) không khả vi tại x=a.

4.2.6 Đạo hàm vô cùng

Nếu 0 0

0 0hay

( ) ( )l im lim x x

f x x f xyx xΔ → Δ →

+ Δ −Δ= = +∞ − ∞

Δ Δ thì ta nói rằng tại x = x0 hàm f(x) có

đạo hàm vô cùng. Khi đó tiếp tuyến với đồ thị f(x) tại x = x0 song song với trục Oy.

Ta cần chú ý rằng nếu như 0( )f x′ không là hữu hạn thì hàm f(x) không nhất thiết phải liên tục tại điểm x0. Ví dụ xét hàm

1 khi 00 khi 01 khi 0

( )

.

xf x x

x

− <⎧⎪= =⎨⎪ >⎩

Với 0xΔ ≠ , ta có 0 1( ) ( )| |

f x fx x

Δ −=

Δ Δ, do đó 0( )f ′ = +∞ nhưng đương nhiên f(x) không

liên tục tại điểm x0 = 0.

4.2.7 Đạo hàm các hàm số sơ cấp

Sau đây là bảng đạo hàm của một số hàm sơ cấp: 1 02 1) ) y c yy x y

′= =′= =

1

2

3 11 1

12

) , , .

y x R y x

y yx x

y x yx

α αα α α −′= ∈ ≠ − =−′= =

′= =

4) x xy e y e′= =

xy a= với 0 lnxa y a a′> =

5) logay x= với 10 ln

a yx a

′> =

88

88

1ln y x yx

′= =

6) sin cosy x y x′= =

7) cos siny x y x′= = −

22

18 tg) seccos

y x y xx

′= = =

22

19) cot g cosecsin

y x y xx

′= = − = −

2

110) arcsin1

y x yx

′= =−

2

111) arccos1

y x yx

′= = −−

2112) arctg

1y x y

x′= =

+

2113) arccot g

1y x y

x′= = −

+

14) sh chy x y x′= =

15) ch shy x y x′= =

2116) th

chy x y

x′= =

2117) cth

shy x y

x−′= =

2

118) argsh1

y x yx

′= =+

2

119) arg ch1

y x yx

′= =−

2120) arg th

1y x y

x′= =

−

2121) arg cth .

1y x y

x′= =

−

4.3 Vi phân của hàm số

4.3.1 Định nghĩa

Cho hàm y = f(x) xác định trên tập hợp mở U ⊂ và 0x U∈ . Cho x0 một số gia 0xΔ ≠ đủ nhỏ sao cho 0x x U+ Δ ∈ .

89

89

Giả sử f(x)khả vi tại 0x U∈ , khi đó

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f x x f x f x x xο′+ Δ − = Δ + Δ . (4.3.1)

Ta gọi biểu thức 0( )f x x′ Δ là vi phân của hàm f(x) tại điểm x0 ứng với số gia xΔ của đối số và kí hiệu là

0 0( , ) ( )df x x f x x′Δ = Δ . (4.3.2)

Bây giờ ta xét trường hợp đặc biệt khi f(x) = x. Ta có ( ) 1f x′ = , do đó dx = 1. xΔ = xΔ , vì thế trong biểu thức (4.3.2) ta có thể viết dx thay cho xΔ và dx gọi là vi phân của biến số độc lập. Từ đây, ta có thể xác định vi phân của hàm f tại x U∈ theo công thức

Df = ( )f x′ dx (4.3.3)

hay dy = ( )y x′ dx (4.3.4)

Hệ thức này giải thích lí do ta kí hiệu đạo hàm của hàm y = f(x) là ( ) dyy xdx

′ = .

4.3.2 Các qui tắc tính vi phân

Từ các qui tắc tính đạo hàm, ta dễ dàng suy ra các qui tắc tương ứng cho vi phân.

1 2 1 2 1 2) ( ) ,i d c f c g c df c dg c c+ = + ∀ ∈

) ( . )i i d f g gdf fdg= + (4.3.5)

2) ( ) nÕu 0f gdf fdgi i i d gg g

−= ≠ .

4.3.3 Vi phân của hàm số hợp

Giả sử các hàm y = f(x) và x = g(t) sao cho đối với chúng có thể thiết lập hàm hợp y = f(g(t)). Nếu tồn tại các đạo hàm xy′ và tx′ thì theo quy tắc đạo hàm hàm hợp sẽ tồn tại đạo hàm

ty′ = xy′ . tx′ . (4.3.6)

Nếu xem x là biến độc lập thì vi phân dy được biểu thị bởi công thức (4.3.4). Bây giờ ta xem x là hàm của biến t, ta có

tdy y dt′= (4.3.7)

Tuy nhiên nếu thay đạo hàm ty′ bởi biểu thức (4.3.6) và chú ý rằng dx = tx′dt, thì cuối cùng ta được

x t xdy y x dt y dx′ ′ ′= =

hay dy = ( )y x′ dx, tức là quay trở lại dạng ban đầu của vi phân.

Như vậy, ta luôn luôn có quyền viết vi phân của y dưới dạng (4.3.4) dù x có phải là biến độc lập hay không . Điều khác nhau chỉ là ở chỗ, nếu chọn t là biến độc lập thì dx không phải

90

90

là số gia tuỳ ý mà là vi phân của x xem là hàm của t. Tính chất đó gọi là tính bất biến của dạng vi phân,

Ví dụ 1: Cho hàm số 1ln1

x

xeye

+=

−, hãy tính dy

Ta thấy

2 21 1 2 2 .1 1 1 1

x x x x

x x x xe e e ey dy dxe e e e

′⎛ ⎞− + −′ = = ⇒ = −⎜ ⎟+ − − −⎝ ⎠

Ví dụ 2: Tính: (sin )(cos )

d xd x

Ta có: (sin ) cos cot g(cos ) sin

d x xdx xd x xdx

= = −−

với , .x k kπ≠ ∈

4.3.4 Ứng dụng của vi phân

Cho hàm y = f(x) xác định trên tập mở U ⊂ và 0x U∈ . Giả sử f khả vi tại 0x U∈ . Cho x0 một số gia h sao cho 0x h U+ ∈ , khi đó

0 0 0 0( , ) ( ) ( ) ( ) ( )f x h f x h f x f x h hο′Δ = + − = + . (4.3.8)

Nếu |h| đủ nhở thì ( )hο nhỏ tuỳ ý và ta có xấp xỉ

0 0 0( ) ( ) ( )f x h f x f x h′+ − ≈

hay

0 0 0( ) ( ) ( )f x h f x f x h′+ ≈ + . (4.3.9)

Ví dụ 3: Tính gần đúng arctg1,05 .

Theo công thức (4.3.9), ta có

121arctg1,05 arctg1 | .0,05 0,81

1 xx =≈ + ≈+

.

Ví dụ 4: Tính gần đúng arcsin 0,05

Theo công thức (4.3.9), ta có

02

1arcsin 0,05 arcsin 0 | .0,05 0.051

xx

=≈ + =−

.

4.4 Các định lí cơ bản của hàm khả vi

4.4.1 Cực trị địa phương

Cho hàm f(x) xác định trên khoảng (a,b). Ta nói rằng hàm f(x) đạt cực đại địa phương tại điểm ( , )c a b∈ nếu tồn tại một số 0δ > sao cho

( ) ( ) ( , ).f x f c x c cδ δ≤ ∀ ∈ − + (4.4.1)

91

91

Hàm f đạt cực tiểu địa phương tại ( , )c a b∈ nếu:

( ) ( ) ( , )f x f c x c cδ δ≥ ∀ ∈ − + . (4.4.2)

Điểm mà tại đó hàm đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương gọi chung là điểm cực trị.

Định lí Ferma Cho : ( , )f a b → , nếu hàm đạt cực trị tại ( , )c a b∈ và nếu f(x) khả vi tại c thì ( ) 0f c′ = . (4.4.3)

Chứng minh:

Giả sử hàm đạt cực đại tại c (trường hợp đạt cực tiểu tại c chứng minh tương tự).

Do hàm đạt cực đại tại c nên ∀h đủ nhỏ ta có 0( ) ( )f c h f c h+ − ≤ ∀

suy ra 0 0( ) ( )f c h f c hh

+ −≤ ∀ >

0 0( ) ( )f c h f c hh

+ −≥ ∀ < .

Cho nên

00( ) ( )( ) l im

h

f c h f cf ch++

→

+ −′ = ≤ và 0

0( ) ( )( ) l imh

f c h f cf ch−−

→

+ −′ = ≥ .

Mặt khác vì f có đạo hàm tại điểm c nên ( ) ( ) ( )f c f c f c+ −′ ′ ′= = , do đó 0( )f c′ = (xem hình 4.4.1)

Hình 4.4.1

Chú ý rằng sự triệt tiêu của đạo hàm ( )′f c về phương diện hình học có ý nghĩa là tiếp tuyến tại điểm tương ứng của đường cong song song với trục Ox.

Định lý Rolle Cho hàm : [ , ]f a b → có tính chất sau:

i) f(x) liên tục trên [a,b],

ii) f(x) khả vi trên (a,b),

iii) f(a)=f(b).

Khi đó tồn tại ít nhất một điểm ( , )c a b∈ sao cho ( ) 0f c′ = .

Chứng minh:

92

92

Do f(x) liên tục trên đoạn [a,b] nên theo định lí Weierstrass thứ hai hàm f(x) sẽ đạt giá trị lớn nhất M và giá trị bé nhất m trên đoạn [a,b]:

[ , ] [ , ]max ( ), min ( ).

x a b x a bM f x m f x

∈ ∈= =

Ta hãy xét hai khả năng có thể xảy ra:

1) M = m. Khi đó từ bất đẳng thức

( ) [ , ]m f x M x a b≤ ≤ ∀ ∈ suy ra ( ) , [ , ]f x m x a b= ∀ ∈

Vì vậy 0( ) , [ , ]f x x a b′ = ∀ ∈ . Do đó điểm c là lấy điểm bất kì thuộc khoảng (a,b).

2) m<M. Do f(a)=f(b), hàm f(x) không thể đạt cả hai giá trị m, M tại hai đầu mút của khoảng, có nghĩa là ít nhất một trong hai giá trị đó đạt tại một điểm ( , )c a b∈ . Khi đó, theo định lí Fermat ( ) 0f c′ = . Định lí đã được chứng minh.

Chú ý:

Ta chú ý rằng giả thiết f(x) liên tục trên [a,b] là một giả thiết không thể bỏ qua được. Ví dụ như xét hàm số (xem hình 4.4.2)

khi 0 11 khi 0

( )x x

f xx< ≤⎧

= ⎨ =⎩

Cho dù f(0)=f(1), nhưng hàm số không liên tục trên [0,1], nên không thể áp dụng định lí Rolle được (đạo hàm không nơi nào bằng 0 trên (0,1)).

Giả thiết hàm f(x) khả vi trong khoảng (a,b) cũng là một giả thiết không thể bỏ qua được. Chẳng hạn xét hàm số (xem hình 4.4.3)

1

10 12

12

0 1

Hình 4.4.2 Hình 4.4.3

1ví i 02( )

11 ví i 12

x xf x

x x

⎧ ≤ ≤⎪⎪= ⎨⎪ − < ≤⎪⎩

Hàm số này liên tục trên đoạn [0,1], f(0)=f(1), nhưng không có đạo hàm tại 12

x = , do đó

cũng không áp dụng định lí Rolle được.

93

93

Ví dụ 1: Hàm số f(x)=1− 23 x triệt tiêu khi x1=−1, x2=1 nhưng ′ ≠( ) 0f x với |x|≤ 1 . Điều này không mâu thuẫn với định lí Rolle.

Định lí về số gia hữu hạn (Định lí Lagrange).

Giả sử : [ , ]f a b → có các tính chất

i) f liên tục trên [a,b]

ii) f khả vi trên (a,b)

Khi đó tồn tại ít nhất một điểm ( , )c a b∈ sao cho:

( ) ( ) ( )f b f a f cb a− ′=−

. (4.4.4)

Chứng minh: Ta hãy xét hàm bổ trợ sau:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f b f aF x f x f a x ab a−

= − − −−

.

Hiển nhiên F(x) liên tục trên [a,b] vì nó là hiệu của hàm liên tục f(x) và hàm tuyến tính. Trong khoảng (a,b) hàm đó có đạo hàm hữu hạn bằng:

( ) ( )( ) ( ) .f b f aF x f xb a−′ ′= −−

y

xbca0

CB

A

f(b)

f(a)

Hình 4.4.4

Cuối cùng ta thấy F(a)=F(b)=0. Theo định lí Rolle tồn tại một điểm ( , )c a b∈ sao cho ( ) 0F c′ = . Như vậy

( ) ( )( ) 0f b f af cb a−′ − =−

.

Do đó

( ) ( )( ) f b f af cb a−′ =−

Ý nghĩa hình học:

Tỷ số ( ) ( )f b f ab a−−

là hệ số góc của cát tuyến AB, còn ( )f c′ là hệ số góc của tiếp tuyến

với đường cong y=f(x) tại điểm C(c,f(c)).

94

94

Theo định lí Lagrange trên cung AB tìm được ít nhất một điểm c, mà tại đó tiếp tuyến song song với dây cung AB. Trường hợp f(a) = f(b) ta có định lí Rolle.

Chú ý 1: Bởi vì ( , )c a b∈ , nên ta có thể viết

c = a + ( ), 0 1b aθ θ− < < .

Khi đó công thức Lagrange có thể viết dưới dạng

f(b) − f(a )= [ ( )]( ),0 1f a b a b aθ θ+ − − < < . (4.4.5)

Chú ý 2: Nếu đặt a = x, b = x+ xΔ thì ta nhận được

f(x + Δ x) − f(x)=f’(x + Δθ x)Δ x trong đó θ< <0 1 (4.4.6)

Định lí Cauchy Giả thiết

i) Các hàm f(x) và g(x) xác định và liên tục trên[a,b]

ii) f(x) và g(x) khả vi trên (a,b)

iii) ′ ≠ ∀ ∈( ) 0 ( , ).g x x a b

Khi đó tồn tại ít nhất một điểm ( , )c a b∈ sao cho

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

f b f a f cg b g a g c

′−=

′−. (4.4.7)

Rõ ràng rằng định lí Lagrange là trường hợp đặc biệt của định lí Cauchy: Để được công thức số gia hữu hạn thì trong công thức Cauchy (4.4.5) ta đặt g(x)=x.

Chứng minh:

Trước hết ta để ý rằng theo định lí Lagrange ta có thể tìm được một số 1 ( , )c a b∈ sao cho:

1( ) ( ) ( )( )g b g a g c b a′− = −

Theo giả thiết 1( ) 0g c′ ≠ , nên ( ) ( ) 0.g b g α− ≠ (4.4.8)

Bây giờ ta xét hàm số ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))( ) ( )

f b f aF x f x f a g x g ag b g a

−= − − −

−. (4.4.9)

Ta thấy hàm số thoả mãn tất cả các giả thiết của định lí Rolle. Thật vậy F(x) liên tục, đạo

hàm ( )F x′ tồn tại trong khoảng (a,b), cụ thể bằng ( ) ( )( ) '( ) ( )( ) ( )

f b f aF x f x g xg b g a

−′ ′= −−

,

và hiển nhiên F(a)=F(b). Do đó theo định lí Rolle ( , )c a b∃ ∈ sao cho ( ) 0.F c′ =

Nói cách khác ( ) ( )( ) ( ) 0( ) ( )

f b f af c g cg b g a

−′ ′− =−

.

Từ đây suy ra định lí được chứng minh.

Ví dụ 1: Cho hàm số

95

95

23 khi 0 12( )

1 khi 1 .

x xf x

xx

⎧⎪ −⎪ ≤ ≤⎪⎪⎪= ⎨⎪⎪ < <+∞⎪⎪⎪⎩

Xác định giá trị trung gian c của công thức số gia hữu hạn đối với hàm số ( )f x trên đoạn [0,2].

Trước hết ta thấy

1 1

1 1( ) (1)(1) l im lim 11 1x x

f x f xfx x+ ++

→ →

−−′ = = = −− −

2

1 1

3 1( ) (1) 2(1) l im lim 11 1x x

xf x ff

x x− −−→ →

−−−′ = = = −

− −.

Vậy theo định nghĩa hàm số f(x) có đạo hàm tại x=1 và (1) 1f ′ = − . Do đó ta có

2

2

khi 0 1 khi 0 1( ) 1 khi 1 1 khi 1< 2

1 khi 1 2

x x x xf x x

xxx

x

⎧⎪− ≤ < − ≤ ≤⎧⎪ ⎪= − = = −⎨ ⎨

≤⎪ ⎪− ⎩⎪ < ≤⎩

Công thức số gia hữu hạn đối với hàm số f(x) trên [0,2] là

(2) (0) ( )(2 0)f f f c′− = − hay 1 3 2. ( )2 2

f c′− = ,

suy ra: 1( )2

f c −′ = .

Mặt khác theo biểu thức đạo hàm ( )f x′ , ta có

Khi 0< c <1, 12

c− = − suy ra 12

c = ,

Khi 1< c <2, 21 1 ,

2c− =− suy ra 2c= .

Ví dụ 2: Giả sử f(x) khả vi trên đoạn [0,1] và (0). (1) 0f f′ ′ < . Chứng minh (0,1)ξ∃ ∈ sao cho ( ) 0f ξ′ = .

Chứng minh: Thật vậy, theo giả thiết hàm số liên tục trên [0,1], nên đạt giá trị lớn nhất, bé nhất trên [0,1].

Không mất tổng quát, giả sử (0) 0, (1) 0f f+ −′ ′< > , ta có

0

( ) (0)(0) l im 0,x

f x ffx++

→

−′ = <

suy ra ( ) (0) 0 hay ( ) (0) 0f x f f x fx−

< − < với 0x > khá bé.

96

96

Hơn nữa do

1

( ) (1)(1) l im 01x

f x ffx−−

→

−′ = >−

nên ( ) (1) 01

f x fx−

>−

hay ( ) (1)f x f− <0, hay ( ) (1)f x f< khi x khá gần 1, x<1.

Từ lý luận trên suy ra giá trị bé nhất của hàm số trên [0,1] không thể xảy ra ở hai đầu mút 0 và 1. Vậy giá trị bé nhất đạt được tại (0,1)ξ ∈ . Theo định lý Ferma

( ) 0f ξ′ =

Ví dụ 3: Chứng minh nếu ( )xϕ là hàm khả vi, đơn điệu tăng và | ( )| ( )f x xϕ′ ′≤ khi 0x x≥ , thì ta có

0 0 0| ( ) ( )| ( ) ( ) khi f x f x x x x xϕ ϕ− ≤ − ≥ .

Chứng minh:

Theo định lý Cauchy

0

0

( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( )

f x f x f cx x cϕ ϕ ϕ

′−= <

′− với 0x c x< < .

Từ đây suy ra: 0 0 0| ( ) ( )| ( ) ( ) khi f x f x x x x xϕ ϕ− ≤ − > . Cuối cùng chú ý rằng đẳng thức trên hiển nhiên đúng khi x = x0.

4.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao

4.5.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao

Giả sử :f U → là hàm khả vi trên tập mở U ⊂ , khi đó ta nhận được hàm :f U′ → . Nếu tại 0x U∈ , ( )f x′ có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của ( )f x′ tại 0x là đạo

hàm cấp hai của hàm f(x) tại 0x và kí hiệu là 0( )f x′′ . Hàm f có đạo hàm cấp hai tại 0x còn gọi là khả vi cấp hai tại 0x .

Một cách tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp (n−1) được gọi là đạo hàm cấp n của hàm f(x) và kí hiệu là

( ) ( )( )( ); ; ;n n

n nn n

d f x d yf x ydx dx

.

Đương nhiên là ( ) ( ) ( )( ( )) ( )m n m nf x f x+= . (4.5.1)

Đôi khi ta viết f(0) thay cho f.

Ta chú ý rằng, nếu tồn tại ( )0( )nf x , tức là nếu hàm ( 1)( )nf x− có đạo hàm tại điểm 0x , thì

hàm ( 1)( )nf x− được xác định không chỉ tại 0x , mà là trong toàn bộ khoảng 0 0( , )x xδ δ− + , trong đó là δ số dương được chọn thích hợp. Trong khoảng này những hàm

( 2) ( 3)( ); ( ),...,n nf x f x− − ( ), ( )f x f x′ được xác định.

97

97

4.5.2 Các công thức tổng quát đối với đạo hàm cấp n

Giả sử :f U → và :g U → là hai hàm khả vi cấp n trên U. Khi đó 1 2 , .c f c f f g+ là những hàm khả vi cấp n trên U, trong đó 1 2,c c ∈ và

( ) ( ) ( )1 2 1 2) ( ) ( ) ( ) ( )n n ni c f c g x c f x c g x+ = + (4.5.2)

( ) ( ) ( )

0)( . ) ( ) ( ). ( )

nn k k n k

nk

i i f g x C f x g x−

=

= ∑ . (4.5.3)

Công thức (4.5.3) còn gọi là công thức Leibnitz.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số 3 siny x x=

Đặt 3, sinf x g x= = . Khi đó (3) (3) (2) (2) (3). 3 . 3 . .y f g f g f g f g′ ′= + + +

hay (3) 3 2sin 9 sin 18 cos 6sin .y x x x x x x x= − − + +

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số sau

( ) 3 ( )y xf x a f a x′= − + − trong đó a là hằng số.

Đặt 3, ( ), ( ), ( )u x v f x a v f a x v f a x′ ′ ′′ ′′= = − = − − = − , (3) (4)( )v f a x=− − ,

khi đó (3) (3) (4) (3)

(3) (4)

3 ( ) ( ) 3 ( ) hay( ).

y f a x xf a x f a xy xf a x

= − − − − −

= − −

4.5.3 Vi phân cấp cao

Cho U mở trong và f là hàm khả vi cấp n trên tập mở U. Ta gọi vi phân cấp hai của hàm f, ký hiệu là d2f là biểu thức d2f=d(df). Một cách tổng quát, ta gọi vi phân cấp n của hàm f là vi phân của vi phân cấp n−1 của hàm f:

1( ).n nd f d d f−= (4.5.4)

Khi tính vi phân cấp cao ta chú ý rằng dx là một số tuỳ ý và không phụ thuộc x ( dx x= Δ ), nên khi lấy vi phân theo x phải xem nó là hằng số. Trong trường hợp đó ta sẽ có

2 2( ) ( ) ( )d y d dy d y dx dy dx y dx dx y dx′ ′ ′′ ′′= = = = = . 3 2 2 3( ) ( )d y d d y d y dx y dx′′ ′′′= = = .

Bằng cách quy nạp ta chứng minh được rằng ( )n n nd y y dx= .

Do đó

98

98

( )n

nn

d yydx

= . (4.5.5)

Như vậy, ký hiệu trên có thể xem như một phân số. Nhờ công thức (4.5.5) ta dễ dàng biến đổi công thức Leibnitz thành công thức của vi phân. Nhân cả hai vế của (4.5.3) với dxn ta sẽ được

0( ) .

nn k n k k

nk

d fg C d f d g−

=

= ∑ (4.5.6)

Chú ý trong công thức (4.5.6) ta sẽ xem 0 0,d f f d g g= = .

Ví dụ 3: Cho y=f(x2) với f là hàm khả vi. Tính d2y.

Ta có: 22 ( )dy f x xdx′= ,

Lấy vi phân lần thứ hai ta được 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 ( ) 2 ( ) ( ( ))

2 ( ) ( ).2

2 2 ( ) ( ) .

d y d f x x dx f x dx xd f x dx

f x dx xf x xdx dx

d y x f x f x dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′= = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤′ ′′= +⎣ ⎦⎡ ⎤′′ ′= +⎣ ⎦

Ví dụ 4: Xét hàm y = arctgx. Ta hãy tính y(n) theo y.

Vì x = tgy nên 22

1 cos cos sin( )21

y y y yx

π′ = = = ++

Lấy đạo hàm lần thứ hai theo x (và nhớ rằng y là hàm của x) ta được

sin .sin( ) cos .cos( ) .2 2

y y y y y yπ π⎡ ⎤′′ ′= − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2cos .cos(2 ) cos .sin(2 )

2 2 2

cos .sin 2( ).2

y y y y

y y

π π π

π

= + = + +

= +

Lấy đạo hàm lần nữa ta được

(3) 2

3 3

2sin cos .sin 2( ) 2cos cos2( ) .2 2

2cos cos(3 2. ) 2cos sin 3( )2 2

y y y y y y y

y y y y

π π

π π

⎡ ⎤ ′= − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

= + = +

Một cách tổng quát

( ) ( 1)!cos .sin ( )2

n ny n y n y π= − + .

4.6 Công thức Taylor

99

99

Trước đây, ta đã biết nếu hàm f(x) khả vi tại điểm 0x U∈ , trong đó U là tập mở trong , thì ta có thể biểu diễn số gia của hàm số dưới dạng

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f x h f x f x h hο′+ − = +

trong đó ( )hο là vô cùng bé bậc cao hơn so với h.

Công thức này cho biết cách tính giá trị của f(x) trong lân cận của điểm x0 khi biết giá trị f(x0) và đạo hàm 0( )f x′ . Vấn đề đặt ra là nếu biết thêm các đạo hàm cấp cao của hàm f(x) tại x0, ta có thể biết chính xác hơn giá trị của hàm f(x) trong lân cận x0 hay không?

4.6.1 Công thức Taylor

Định lí 4.6.1 Cho [ ]: ,f a b → . Nếu hàm f(x) khả vi (n+1) lần trong khoảng (a,b), thì với bất kì điểm ( , ), ( , )c a b x a b∈ ∀ ∈ mà x c≠ ta luôn có

2

( ) ( 1)1

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ...1! 2!

( ) ( ) ( ) ( )! ( 1)!

n nn n

f c f cf x f c x c x c

f c f cx c x cn n

++

′ ′′= + − + − + +

+ − + −+

(4.6.1)

trong đó c là một số nằm giữa x và c.

Chứng minh: Trước hết ta hãy tìm đa thức ( )nP x sao cho

( ) ( )( ) ( ); ( ) ( );...; ( ) ( )n nn n nP c f c P c f c P c f c′ ′= = = . (6.4.2)

Thật vậy đa thức ( )nP x phải tìm được viết dưới dạng

20 1 2( ) ( ) ( ) ... ( )n

n nP x a a x c a x c a x c= + − + − + + − (4.6.3)

khi đó 0( )nP c a= và

11 2( ) 1. 2 ( ) ... . ( )n

n nP x a a x c n a x c −′ = + − + + −

12

2 3

2

( 1)1

( )

( ) 2.1. 3.2. ( ) ... ( 1) ( )( ) 2!

.................

( ) ( 1)( 2)...2.1. ( 1)...3.2.1. ( )

nn

n n

n

nn n n

P c a

P x a a x c n n a x cP c a

P x n n a n n a x c

−

−−

′ =

′′ = + − + + − −′′ =

= − − + − −

( )( ) !nn nP c n a=

Thay các hệ số a0, a1, …, an vào (4.6.3), đa thức P(x) phải tìm có dạng ( )

2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )1! 2! !

nn

nf c f c f cP x f c x c x c x c

n′ ′′

= + − + − + + −

(4.6.4)

Bây giờ ta đặt ( ) ( ) ( )n nR x f x P x= − (4.6.5)

100

100

Theo giả thiết ( )( ) ( ) ( ) ... ( ) 0nn n n nR c R c R c R c′ ′′= = = = =

(4.6.6)

Mặt khác, nếu đặt 1( ) ( )nG x x c += − (4.6.7)

thì cũng có ( )( ) ( ) ( ) ... ( ) 0nG c G c G c G c′ ′′= = = = = và ( 1)( ) ( 1)!nG x n+ = +

Giả sử ( , ), ,x a b x c∈ ≠ từ (4.6.6) và (4.6.7) ta có

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

n n nR x R x R cG x G x G c

−=−

Áp dụng định lí Cauchy vào tỉ số trên ta được

1

1

( ) ( )( ) ( )

n nR x R cG x G c

′=

′

với c1 nằm giữa x và c

Cũng từ các hệ thực (4.6.6) và (4.6.7) ta có

1 1 2

1 1 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

n n n nR c R c R c R cG c G c G c G c′ ′ ′ ′′−

= =′ ′ ′ ′′−

với c2 nằm giữa c1 và c

Như vậy, áp dụng (n+1) lần định lí Cauchy ta được ( 1)

( 1)( ) ( )( ) ( )

nn n

nR x R cG x G c

+

+=

Theo định nghĩa của hàm G(x) ta có 1( ) ( 1)!,nG x n+ = + do đó 1( ) ( 1).nG c n+ = +

Từ đây suy ra ( 1)

1( )( ) ( )

( 1)!

nnn

nR c

R x x cn

++= −

+. (4.6.9)

Từ (4.6.5) 1 1 ( 1) ( 1)( ) ( ) ( ) ( ).n n n n

n nR x f x P x f x+ + + += − =

Từ đây ta nhận được ( 1)

( 1)( )( ) ( )( 1)!

nn

nf cR x x cn

++= −

+. (4.6.10)

Cuối cùng

101

101

2

( ) ( 1)1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...

1! 2!( ) ( ) ( ) ( )! ( 1)!

n n

n nn n

f x P x R xf c f cf c x c x c

f c f cx c x cn n

++

= +′ ′′

= + − + − + +

+ − + −+

trong đó c là một số nằm giữa x và c, định lí được chứng minh.

Người ta thường gọi công thức (4.6.1) là công thức Taylor và biểu diễn một hàm số f(x) dưới dạng (4.6.1) là khai triển Taylor của hàm số f(x) tại điểm x = c.

4.6.2 Khai triển Maclaurin

Ta thấy khi c = 0, thì (4.6.1) có dạng ( ) ( 1)

2 1(0) (0) (0) ( )( ) (0) ...1! 2! ! ( 1)!

n nn nf f f f cf x f x x x x

n n

++′ ′′

= + + + + ++

(4.6.11)

trong đó c nằm giữa x và 0.

Đặt c x= θ , trong đó 0 1θ< < , khi đó (4.6.11) trở thành ( ) ( 1)

2 1(0) (0) (0) ( )( ) (0) ...1! 2! ! ( 1)!

n nn nf f f f xf x f x x x x

n nθ+

+′ ′′= + + + + +

+ (4.6.12)

Công thức (4.6.12) gọi là khai triển Maclaurin của hàm f, trong đó 1

1( )R ( ) .( 1)!

nn

nf xx xn

θ++=

+

Chú ý:

a) Trong định lý Taylor ta thường viết x = c + h, khi đó công thức (4.6.1) có dạng

2

( ) ( 1)1

( ) ( )( ) ( ) ...1! 2!

( ) ( ) .! ( 1)!

n nn n

f c f cf c h f c h h

f c f c hh hn n

θ++

′ ′′+ = + + + +

++ +

+

(4.6.13)

b) Bây giờ trong công thức trên, nếu thay h bởi dx và nhớ rằng 2 2 ( )( ) ( ), ( ) ( ),..., ( ) ( )n n nf c dx df c f c dx d f c f c dx d f c′ ′′= = =

và ( 1) 1 1( ) ( )n n nf dx d fξ ξ+ + += , ta có thể biểu diễn khai triển trên dưới dạng

2 11 1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )2! ! ( 1)!

n nf c df c d f c d f c d fn n

ξ+Δ = + + + ++

(4.6.11)

trong đó . , 0 1c hξ θ θ= + < < .

Ví dụ 1: Trước hết hãy xét f(x) = ex với x∈

Khi đó ta có:

102

102

( ) *

( ) 0 ( ) *

( ) .

(0) 1, ( ) .

k x

k k x

f x e k

f e f x e kθθ

= ∀ ∈

= = = ∀ ∈

Theo công thức (4.6.12) 2 1

1 ...1! 2! ! ( 1)!

n nx xx x x xe e

n nθ

+

= + + + + ++

với x∈ và 0 1θ< <

hay 2

1 ... ( )1! 2! !

nx nx x xe x

nο= + + + + + với x∈ . (4.6.15)

Ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = sin x với x∈ .

Ta thấy ( )( ) sin( )2

k kf x x π= + với k∈ , do đó

(2 )(0) 0, (0) sin 0nf f nπ= = =

(2 1) 1

11( 1)

(0) sin( ) ( 1) ( 1,2,3,...)2

| ( )| ( ) .( 1)! ( 1)!

m m

nnn

n

f m m

xxR x f xn n

ππ

θ

− −

+++

= − = − =

= ≤+ +

Vì vậy bằng cách đặt trong công thức (4.6.12) n = 2m, ta được 3 5 2 1

12sin ... ( 1)

1! 3! 5! (2 1)!

mm

mx x x xx R

m

−−= − + + + − +

− (4.6.16)

trong đó 2

2 ( )(2 )!

m

mx

R xm

≤

hay 3 2 1

1 2sin ... ( 1) ( )3! (2 1)!

nn nx xx x x

n

−−= − + + − + ο

−.

Ví dụ 3: Tương tự ta có 2 2

2 1cos 1 ... ( 1) ( )2! (2 )!

nn nx xx x

nο += − + + − + . (4.6.17)

trong đó 2 1

2 1( ) cos(2 1)!

nn xx x

nθ

++ο =

+ với 0 1θ< < .

Ví dụ 4: Xét khai triển của hàm 1( )1

f xx

=+

với 1x ≠ −

Ta thấy ( )

11 !( 1)

1 (1 )

nn

nn

x x +

⎛ ⎞⎟⎜ = −⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠+ +, từ đó ta có

2 ( )(0) 1, (0) 1, (0) ( 1) 2!,..., (0) ( 1) !n nf f f f n′ ′′= = − = − = −

103

103

Sử dụng công thức (4.6.12) ta được:

21 1 ... ( 1) ( )1

n n nx x x xx

ο= − + − + − ++

(4.6.18)

trong đó 1 11

1( ) ( 1)(1 )

n n nnx x

xθ+ +

+ο = −+

.

Ví dụ 5: Khai triển f(x) = ln(1+x) với x>−1

Ta nói rằng

11

1 !(0) 0, ( ) , ( ) ( 1)1 (1 )

n nn

nf f x f xx x

++

′= = = −+ +

Do đó 2 3

1ln(1 ) ... ( 1) ( )2 3

nn nx x xx x x

n−+ = − + − + − + ο

trong đó 11

1 1( ) ( 1) .1 (1 )

n n nnx x

n xθ+

+ο = −+ +

.

Ví dụ 6: Xét khai triển ( ) (1 ) , , 0f x x α α α= + ∈ ≠ .

Tương tự như trên, ta có thể chứng minh được rằng

2( 1)(1 ) 1 ...2!

( 1)...( 1) ( ).!

n n

x x x

n x xn

α α αα

α α α

−+ = + + + +

− − ++ + ο

(4.6.20)

4.7 Qui tắc L’hospital để khử dạng vô định

Trước hết ta xét giới hạn ( )l im( )x c

f xg x→

trong trường hợp f(x) và g(x) dần tới 0 khi x c→ .

Trường hợp đặc biệt của giới hạn này là:

Nếu như f liên tục tại điểm x0, tức là

0 00 0l im ( ( ) ( )) l im ( ) 0

x x x xf x f x x x

→ →− = − =

thì ta gọi giới hạn 0

0

0

( ) ( )l imx x

f x f xx x→

−−

, nếu tồn tại, là đạo hàm 0( )f x′ . Cho nên ta hy vọng rằng

bằng cách sử dụng những định lý về đạo hàm ta có thể khử được một số dạng vô định của giới hạn. Các quy tắc sau đây gọi chung là quy tắc L’Hospital.

4.7.1 Dạng vô định 00

Hãy xét dạng vô định ( )l im( )x c

f xg x→

, trong đó l im ( ) 0 l im ( )x c x c

f x g x→ →

= = ,

với c có thể vô hạn hoặc hữu hạn.

104

104

Định lý 4.7.1 Giả sử

i) f và g là các hàm liên tục trên [a,b] và ( , )c a b∈ sao cho f(c) = g(c) = 0

ii) Nếu trong một lân cận nào đó của điểm c (có thể trừ điểm c) tồn tại các đạo hàm ,f g′ ′ với ( ) 0g x′ ≠ .

iii) Ngoài ra tồn tại ( )l im( )x c

f xg x→

′′

hữu hạn.

Khi đó ( ) ( )l im l im( ) ( )x c x c

f x f xg x g x→ →

′=

′. (4.7.1)

Chứng minh: Theo định lí Cauchy

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

f x f x f c fg x g x g c g

ξξ

′−= =

′− trong đó ξ nằm giữa c và x

Khi x c→ thì cξ → , suy ra

( ) ( ) ( )l im l im lim( ) ( ) ( )x c c x c

f x f f xg x g g xξ

ξξ→ → →

′ ′= =

′ ′.

Chú ý: Nếu cả hai đạo hàm f ′ và g′ vẫn tiến tới 0 khi x c→ và chúng là các hàm khả vi trong lân cận của c thì ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital một lần nữa, một cách tổng quát:

( )

( )( ) ( ) ( )l im l im ... l im( ) ( ) ( )

n

nx c x c x c

f x f x f xg x g x g x→ → →

′′= = =

′′.

Ví dụ 1: 0 0

l im lim 21ln( 1)

1

x x x x

x x

e e e ex

x

− −

→ →

− += =

++

Ví dụ 2: 2

20 0

sin (cos 1) 1l im limarcsin 1 1x x

x x x xx x x→ →

− − −= =

− − −

220 0

22

0 0

(cos 1)l im 1 lim1 1

sin 1l im 1 lim 1.

x x

x x

xxx

x xxx

→ →

→ →

−= − =

− −

− −= − = −

Chú ý: quy tắc được phát biểu trên vẫn đúng cho cả giới hạn phải, giới hạn trái mà việc chứng minh được làm tương tự.

Ví dụ 3: Tìm giới hạn 2

2

cosl im( )

2x

xIx

π π→=

−

Trước hết ta thấy theo quy tắc L’Hospital

2

sinl im2( )

2x

xIx

π π→

−=

−.

105

105

Mặt khác 2 2

sin sinl im , l im2( ) 2( )

2 2x x

x x

x xπ ππ π− +→ →

− −= +∞ = −∞

− −,

suy ra giới hạn I không tồn tại.

Quy tắc L’Hospital còn đúng cho trường hợp ( ) 0,f x → ( ) 0g x → khi x → +∞ hay .x → −∞ Ta xét trường hợp khi x → +∞ .

Định lí 4.7.2 Giả sử f và g là những hàm xác định trên (a,+∞ ) sao cho:

i) l im ( ) l im ( ) 0,x x

f x g x→+∞ →+∞

= =

ii) f và g khả vi trên (a,+∞ ) và ( ) 0g x′ ≠ khi x đủ lớn,

iii) ( )l im( )x

f x Ag x→+∞

′=

′.

Khi đó

( )l im( )x

f x Ag x→+∞

= . (4.7.2)

Chứng minh: Đặt 1xy

= , ta thấy khi x → +∞ thì 0y +→

Ta có

1( )( )

1( ) ( )

ff x yg x g

y

= .

Nếu đặt 1 11 1( ) ( ), ( ) ( )f y f g y gy y

= = thì 1

1

( )( ) .( ) ( )

f yf xg x g y

=

Suy ra 1 1

0 01 1

( ) ( )( )l im lim lim( ) ( ) ( )x y y

f y f yf xg x g y g y+ +→+∞ → →

′= = =

′

2

0 02

1 1( )( )( )l im l im

1 1 ( )( )( )y y

fy f xy A

g xgy y

+ +→ →

′ −′

= = =′′ −

,

Do đó ( )l im( )x

f x Ag x→+∞

= , điều phải chứng minh.

4.7.2 Dạng vô dịnh ∞∞

Định lí 4.7.3 Giả sử

i) Điểm ( , )c a b∈ và trong lân cận nào đó của điểm c (trừ điểm c) các hàm f, g khả vi và ( ) 0g x′ ≠ .

ii) l im| ( )|x c

f x→

= +∞ và l im| ( )|x c

g x→

= +∞ .

106

106

iii) ( )l im( )x c

f x Ag x→

′=

′.

Khi đó

( )l im( )x c

f x Ag x→

= . (4.7.3)

Chứng minh:

Do ( , )c a b∈ và ( )l im( )x c

f x Ag x→

′=

′ nên với 0ε > tuỳ ý cho trước, ta có thể tìm được một số

0δ > sao cho

( )( )

f tA Ag t

ε ε′

− < < +′

khi t cδ δ− < − < hay khi c t cδ δ− < < +

Chọn 0x c δ= + thì

( )( )

f tA Ag t

ε ε′

− < < +′

khi 0c t x< < . (4.7.4)

Mặt khác, với ( , )x a b∈ sao cho 0c x x< < , khi áp dụng định lí Cauchy ta có

0

0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

f x f x fg x g x g

ξξ

′−=

′− với 0x xξ< < . (4.7.5)

Hơn nữa 0

0

00

( )1( ) ( ) ( ) ( ).

( )( ) ( ) ( ) 1( )

f xf x f x f x f x

g xg x g x g xg x

−−

=− −

,

suy ra

0

0

00

( )1( ) ( )( ) ( ).

( )( ) ( ) ( ) 1( )

g xf x f xf x g x

f xg x g x g xf x

−−

=− −

. (4.7.6)

Từ (4.7.5) và (4.7.6) ta thấy

0

0

( )1( ) ( ) ( ).

( )( ) ( ) 1( )

g xf x f g x

f xg x gf x

ξξ

−′

=′ −

. (4.7.7)

Vì 0c x xξ< < < nên

( )(

fA Agξε εξ

′− < < +

′ (4.7.8)

Bây giờ cho x c→ , theo giả thiết l im| ( )| ,x c

f x→

= +∞ l im| ( )|x c

g x→

= +∞

suy ra

107

107

0

0

( )1( )l im 1,( )1( )

x c

g xg xf xf x

→

−=

− (4.7.9)

nên ta có thể viết

0

0

( )1( ) 1 ( ),( )1( )

g xg x xf xf x

δ−

= +−

(4.7.10)

trong đó ( ) 0xδ → khi x c→

Theo hệ thức (4.7.7), ta có

( )( )(1 ( )) ( )(1 ( ))( )

f xA x A xg x

ε δ ε δ− + < < + + . (4.7.11)

Do ε nhỏ tuỳ ý, nên ( )l im( )x c

f x Ag x→

= . Định lí được chứng minh.

Ví dụ 4:

2 20 0 0

ln 1 lnl im l im limcot1 cot 1x x x

x xgxx gx x+ + +→ → →

= =+ +

2

2 20 0 0 02

11 1 sinl im . l im lim . l im 0.

11 1sin

x x x x

xxxx x

x

+ + + +→ → → →= = =

+ +−

Chú ý: Quy tắc L’Hospital có thể dùng để khử các dạng vô định khác 0;0. ; ;1∞∞ − ∞ ∞ ∞ .

Ví dụ 5: Tính 0

l im lnx

I x xα+→

= do 0α > .

10 0 0

1ln 1l im lim l im 0

x x x

x xI xx x

αα α αα+ + +− − −→ → →

= = = − =−

do 0α > .

Ví dụ 6: Tính 2 20

1 1l im( )sinx

Ix x→

= −

2 2

2 2 2 20 0

sin 2sin cos 2lim limsin 2 sin 2 sin cosx x

x x x x xx x x x x x x→ →

− −= =

+

2 20

sin 2 2lim2 sin sin 2x

x xx x x x→

−=

+

2 20

2

2 2

2 os2 2lim2sin 4 sin 2 2 cos2

2sin l imsin 2 sin 2 cos2

x

c xIx x x x x

xx x x x x

→

−=

+ +

= −+ +

108

108

20

2 2

2 1l im3sin 2 cos21 2

sin sinx x x xx

x x→

= − = −+ +

.

Ví dụ 7: ln 0

0 0) l im l im 1,x x x

x xa x e e

+ +→ →= = =

1 ln1 1

1 1) l im l im .

xx x

x xb x e− −

→ →=

Ta thấy 1 1

1lnl im lim 1

1 1x x

x xx→ →

= =−

, nên 1

11

l im xx

x e−→

= .

Cuối cùng ta hãy xét độ tăng của các hàm , vµ logx maa x x

Ví dụ 8: Cho a>1 và nếu m là số tuỳ ý, thì

l imx

mx

ax→+∞

= +∞ (4.7.12)

Do 2 1

2 1ln ln ln ln1 ...1! 2! ! ( 1)!

n x nx n na a a a aa x x x x

n n

θ ++= + + + + +

+.

Bây giờ ta hãy chọn số tự nhiên n sao cho n>m. Với x>0, từ (4.7.13) ta thấy

ln ,!

nx naa x

n> hay ln

!

x nn m

ma a x

nx−> .

Từ đây suy ra l imx

mx

ax→+∞

= +∞ .

Ví dụ 9: cho a>1 và m>0, logl im 0amx

xx→+∞

= (4.7.14)

Thật vậy, đặt log . log ,m y ma ax a y x m x= ⇒ = = khi x → +∞ thì y → +∞ . Do đó

log 1 ,am y

x ymx a

= theo ví dụ trên log 1l im lim 0am yx y

x ymx a→+∞ →+∞

= = , điều phải chứng minh.

Từ các ví dụ trên ta thấy khi x → +∞ , hàm ax với a>1 tăng nhanh hơn bất cứ hàm luỹ thừa nào của x. Khi x → +∞ , hàm log , 1a x a> tăng chậm hơn bất kỳ hàm luỹ thừa xm với số mũ dương.

4.8 Khảo sát hàm số

4.8.1 Khảo sát đường cong cho dưới dạng phương trình hiện

Xét hàm số ( ), ( , )y f x x a b= ∈ . (4.8.1)

109

109

Ở trường phổ thông, để khảo sát sự biến thiên của hàm số ta thường tìm cực đại, cực tiểu của hàm số theo qui tắc I và quy tắc II và tìm điểm uốn của đồ thị.

Ví dụ 1: Ta hãy xét hàm số 2( )1

xf xx

=+

.

Miền xác định của hàm số là ( , )Df = −∞ +∞ .

Ta có 2 2

2 2 2 31 2 ( 3)( ) , ( )

( 1) ( 1)x x xf x f x

x x− −′ ′′= =+ +

.

Theo dấu của đạo hàm f’(x) ta thấy rằng hàm số tăng trong khoảng (−1,1), giảm trong các khoảng ( ,1−∞ ) và (1,+∞ ). Do đó tại điểm –1 hàm số đạt cực tiểu, tại điểm 1 hàm số đạt cực đại:

1 1( 1) , (1)2 2

f f− =− = .

Đạo hàm cấp hai âm trong khoảng ( , 3−∞ ) và trong khoảng (0, 3 ), dương trong khoảng (– 3 ,0) và ( 3 ,+∞ ).

Do đó những điểm (− 33,4

− ); (0,0); ( 3 , 34

) là những điểm uốn của đồ thị. Ngoài ra

ta chú ý rằng

2 2l im 0 vµ l im 01 1x x

x xx x→+∞ →−∞

= =+ +

.

Sau đây chúng ta sẽ giới thiệu hai định lí khi f(x) có đạo hàm cấp cao mà phần chứng minh của nó độc giả có thể đọc trong cuốn [1].

Định lí 4.8.1 Giả sử trong lân cận của điểm x = c hàm f(x) có đạo hàm cấp n và đạo hàm cấp n tại điểm x = c liên tục. Ngoài ra giả sử

( ) ( )( ) 0 ví i 1 vµ ( ) 0.k nf c k n f c= ≤ < ≠ Khi đó

i) Nếu n chẵn, ( )( ) 0nf c > , thì hàm f(x) đạt cực tiểu địa phương tại x = c

ii) Nếu n chẵn, ( )( ) 0nf c < , thì hàm f(x) đạt cực đại địa phương tại x = c

iii) Nếu n lẻ thì hàm f(x) không đạt cực trị tại x = c.

Định lí 4.8.2 Giả sử trong lân cận điểm x = d hàm f(x) có đạo hàm cấp m và đạo hàm cấp m tại điểm x = d liên tục. Ngoài ra giả sử ( ) ( )( ) 0 ví i 1 , nh- ng ( ) 0k mf d k m f d= ≤ < ≠ . Khi đó nếu m lẻ thì (d, f(d)) là điểm uốn của đồ thị.

Kết hợp hai định lí trên ta có điều cần nhớ sau đây:

Nếu 0 0( ) 0, ( ) 0f x f x′ ′′= ≠ thì hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0 (đạt cực tiểu nếu

0( )f x′′ >0, cực đại nếu 0( )f x′′ <0

Nếu 0( )f x′′ = 0, (3)0( ) 0f x ≠ thì điểm (x0, f(x0)) là điểm uốn.

Ví dụ 2 Hãy tìm cực trị địa phương và điểm uốn của hàm số

110

110

7 6 5 41 1 1 1( )7 6 5 4

f x x x x x= + − − .

Ta có 6 5 4 3 3 3 2 3 2

2 2 21 2

1 1 11 6 3 6 1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ),

f x x x x x x x x x x x xf x x x x x x x x xα α

′ = + − − = + − − = + −

′′ = + − − = + − −

trong đó 1 21 11 73 1 73

12 12( ), ( ).α α= + = −

Do 1 25 10 8 7

12 12 12 12; α α< < − < < − , cho nên 2 11 0 1.α α− < < < <

Ngoài ra (3) 4 3 2( ) 30 20 12 6 .f x x x x x= + − −

Phương trình ( ) 0′ =f x có nghiệm x= 0, –1, 1 và phương trình ( ) 0′′ =f x có nghiệm x = 0, –1, 1 2,α α .

Ta thấy 3 40 0 0 0 0 0( )( ) ( ) ( ) , ( ) ;f f f f′ ′′= = = < 31 0 1 0( )( ) , ( ) ;f f′′ − = − >

1 0 1 0( ) , ( ) .f f′ ′′= >

Cho nên hàm số đạt cực đại tại x = 0, cực tiểu tại x = 1, điểm uốn tại x = –1, 1 2, .α α

Chú ý đối với hàm số này ta có thể tìm cực đại, cực tiểu theo qui tắc I và xét dấu đạo hàm cấp hai để tìm điểm uốn.

4.8.2 Đường cong cho dưới dạng tham số

Cho hệ hai phương trình( )

, ( , )( )

x x tt

y y tα β

=⎧∈⎨ =⎩

. (4.8.2)

Khi đó với mỗi giá trị ( , )α β∈t hệ phương trình (4.8.2) cho ta một điểm M(x,y) tương ứng trong mặt phẳng Oxy và khi t biến thiên trong ( , )α β điểm M vạch nên một đường cong Γ nào đó trong mặt phẳng, vì thế ta gọi hệ phương trình (4.8.2) là hệ phương trình tham số của đường cong Γ , trong đó t là tham số.

Ví dụ 3: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(a,c) và B(b,d) là

, x mt a

ty nt b= +⎧

∈⎨ = +⎩ (4.8.3)

trong đó m = b − a, n = d − c.

Ví dụ 4: Phương trình tham số của ellip 2 2

2 2 1x ya b

+ = là

0 2cos

ví i [ , ]sin

x a tt

y b tπ

=⎧∈⎨

=⎩. (4.8.4)

Để khảo sát đường cong cho dưới dạng tham số ta cần thực hiện các bước sau đây:

111

111

a) Tìm tập xác định của các hàm số x = x(t), y= y(t)

b) Xét chiều biến thiên của x, y theo t

c) Tìm các đường tiệm cận:

i ) Nếu 0

( )

l imt tt

y→→±∞

= ±∞ và 0

( )

l imt tt

x a→→±∞

= (hữu hạn)

thì đường cong có tiệm cận đứng là x = a.

ii) Nếu 0

( )

l imt tt

x→→±∞

= ±∞ và 0

( )

l imt tt

y b→→±∞

= (hữu hạn)

thì đường cong đó có tiệm cận ngang là y = b.

iii) Nếu 0

( )

l imt tt

x→→±∞

= ∞ , 0

( )

l imt tt

y→→±∞

= ∞ , và nếu

0 0

( ) ( )

l im , l im ( )t t t tt t

ya b y axx→ →

→±∞ →±∞

= = −

thì đường cong có tiệm xiên là y = ax+b.

Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đường cong axtrôit 2 2 23 3 3 0, x y a a+ = > . Dễ thấy phương trình tham số của đường cong nói trên là

3

30

cos, ( , ),

sinx a t

t ay a t

⎧ =⎪ ∈ −∞ +∞ >⎨=⎪⎩

. (4.8.5)

Trước hết, ta thấy đường cong y không có tiệm cận. Hơn nữa x,y là các hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π nên ta chỉ cần khảo sát đường cong đã cho trong đoạn [0,2 ]π .

2

2

33 0 0 22 2

33 0 0 22 2

( ) cos .sin khi ; ; ; ;

( ) sin .cos khi ; ; ; ; .

x t a t t t

y t a t t t

π ππ π

π ππ π

′ = − = =

′ = = =

Cuối cùng ta nhận xét rằng đối với đường cong axtrôit ta có 2

2

3 tg3

sin coscos sin

t

t

ydy a t t tdx x a t t

′= = = −

′ −.

Do đó 0dydx

= tại 0 2; ;t π π= và tại các điểm này tiếp tuyến thẳng đứng (xem hình 4.8.1).

112

112

Hình 4.8.1

Ví dụ 6: Khảo sát và vẽ đường cong cho bởi phương trình 3 3 3 0 0, x y axy a+ − = > . (4.8.6)

Ta thấy rằng khi thay x bởi y và y bởi x thì phương trình (4.8.6) không thay đổi. Do đó, đồ thị của nó đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.

Ta đặt y = tx và thay vào phương trình trên ta được 3 3 3 23 0x x t ax t+ − = , từ đây suy ra

2

3 3

3 31 1

, at atx yt t

= =+ +

với 1t ≠ − . (4.8.7)

Lấy vi phân ta thu được 3

3 2 3

1 2 1( ) 3 ; ( ) 0 khi vµ(1 ) 2

tx t a x t tt

−′ ′= = =+

113

113

33

3 22( ) 3 ; ( ) 0 khi 2

(1 )ty t at y t tt−′ ′= = =+

.

Khi 1t → − thì x, y đều dẫn tới ∞ và

1 1l im l im 1t t

ya tx→− →−

= = = −

3

3 31 1

3 3l im( ) l im[ ]1 1t t

at atb y axt t→− →−

= − = + =+ +

2

3 21 1

1 ( 1)3 l im 3 lim1 ( 1)( 1)t t

t t ta a at t t t→− →−

+ += = = −

+ + − +.

Vậy tiệm cận xiên của đường cong là y = − x − a. Từ các kết quả trên ta có bảng biến thiên.

Cuối cùng ta hãy chú ý thêm rằng 3

3(2 )1 2

dy t tdx t

−=

−

Do đó 33

10 khi 0, 2, khi ,2

dy dyt t t tdx dx

= = = = ∞ = ∞ = .

Các tiếp tuyến của đường cong ứng với hai giá trị = 0,t = 3 2t song song với trục Ox.

Các tiếp tuyến ứng với hai giá trị = ∞ =3

1 vµ 2

t t song song với trục Oy (xem hình 4.8.2)

114

114

Hình 4.8.2 Hình 4.8.3

4.8.3 Khảo sát đường cong trong tọa độ cực

a) Hệ tọa độ cực

Trong mặt phẳng chọn một điểm O cố định và tia Ox đi qua điểm O. Ta gọi điểm O là cực, tia Ox gọi là trục cực. Hệ tọa độ xác định bởi cực và trục cực gọi là hệ tọa độ cực. Gọi OP là véc tơ đơn vị nằm trên tia Ox. Vị trí của điểm M trong mặt phẳng được xác định bởi véc tơ OM , nghĩa là xác định bởi góc ϕ = ( , )OP OM và =| |r OM , ϕ được gọi là góc cực, r được gọi là bán kính cực. Góc gọi là góc định hướng, lấy giá trị dương nếu chiều quay OP đến trùng với OM ngược chiều kim đồng hồ và lấy giá trị âm nếu ngược lại.

Cặp số có thứ tự ϕ( , )r gọi là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng.

b) Mối liên hệ giữa tọa độ Descartes vuông góc và tọa độ cực

Bây giờ ta lấy trục hoành trùng với trục cực và trục tung ứng với tia πϕ =2

ta được hệ tọa

độ Descartes vuông góc.

Gọi (x,y) và ϕ( , )r lần lượt là tọa độ của điểm M nói trên trong hệ tọa độ Descartes vuông góc và hệ tọa độ cực. Khi đó, ta có

cosví i 0 2 , 0

sinx r

ry r

ϕϕ π

ϕ=⎧

≤ < ≥⎨=⎩

Cho hàm số ( )r f ϕ= . Trước khi khảo sát hàm số ta có nhận xét sau. Giả sử cho điểm M(x,y) nằm trên đồ thị. Gọi β là góc dương giữa véctơ OM và véctơ chỉ phương của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm M. Gọi là góc dương giữa trục cực và tiếp tuyến, ta có.

α ϕβ α ϕ βα ϕ−

= − =+

tg tg, tg1 tg tg

. (4.8.8)

Mặt khác theo ý nghĩa hình học của đạo hàm

115

115

' sin costg' cos sin

dy r rdx r r

ϕ ϕαϕ ϕ+

= =−

,

trong đó

' drrdϕ

= (4.8.9)

Thay vào (4.8.9) vào (4.8.8) ta được

Hình 4.8.4

' sin cos sin' cos sin costg 'sin cos sin1

' cos sin cos

r rr r

r rr r

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕβ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

+−

−=+

+−

Sau các phép biến đổi đơn giản tg'

rr

β = . (4.8.10)

Ví dụ 7: Hãy vẽ đường xoắn ốc lôgarit có phương trình:

, 0, 0br ae a bϕ= > > . (4.8.11)

Ta thấy hàm số r xác định với mọi ϕ . Khi ϕ tăng r cũng tăng, khi 0ϕ = thì r = a, khi ϕ → +∞ thì r → +∞ , khi ϕ → −∞ thì 0r → và khi đó đường cong quấn vô hạn quanh cực O; O được gọi là điểm tiệm cận của đường cong. Theo công thức (4.8.9) ta có

1tg'

rr a

β = = ,

Do đó véc tơ chỉ phương của tiếp tuyến với đường cong luôn luôn tạo với OM một góc không đổi (xem hình 4.8.5).

116

116

β

Hình 4.8.5

Ví dụ 8: Hãy vẽ đường hoa hồng ba cánh có phương trình sin 3 , 0r a aϕ= > . Ở đây r là một

hàm tuần hoàn với chu kì 23π vì thế chỉ cần khảo sát hàm số trong một đoạn có độ dài bằng

chu kì, chẳng hạn đoạn [0, 23π ].

Ta có ' 3 cos3 ; ' 0 khi , ,6 2

r a r π πϕ ϕ ϕ= = = =

1tg tg3' 3

rr

β ϕ= = .

Đồ thị ứng với khoảng [0, 23π ] gồm hai cánh, sau đo cho đồ thị quay các góc quanh cực ta sẽ

có toàn bộ đồ thị (xem hình 4.8.6)

Hình 4.8.6

117

117

4.9 Bài tập chương 4

4.1 Cho hàm 1( )1 x

xf xe

=

+

với 0x ≠ và f(0)=0. Chứng minh rằng hàm f(x) liên tục tại

mọi điểm, nhưng (0) 0,f+′ = (0) 1f−′ = .

4.2 Chứng minh rằng hàm 1( ) sinf x xx

= với 0x ≠ , và f(0)=0 liên tục tại x = 0, nhưng

không có đạo hàm bên trái và bên phải tại x = 0.

4.3 Chứng minh rằng hàm 2 nÕu lµ h÷u tØ( )

0 nÕu v« tØx xf x

x

⎧⎪= ⎨⎪⎩

chỉ có đạo hàm tại x=0.

4.4 Dựa vào định nghĩa hãy tính f’(a) nếu

( ) ( ) ( ),f x x a xϕ= −

trong đó ( )xϕ liên tục tại x=a.

4.5 Cho hàm y=sgnx được định nghĩa sau

1 nÕu 0,sgn 0 nÕu 0,

1 nÕu 0.

xx x

x

− <⎧⎪= =⎨⎪ >⎩

Chứng minh rằng |x|=xsgnx

4.6 Tính đạo hàm của các hàm số sau

1) y=|x|

2) y=x|x|

3) y=ln|x| với 0x ≠ .

4.7 Tính đạo hàm các hàm sau

1) y x x x= + +

2) 2 3| ( 1) ( 1) |y x x= − + .

4.8 Tính y’ nếu

1) y=f(x2)

2) y=f(sin2x)+ f(cos2x)

3) y=f(f(f(x))), trong đó f(x) là hàm khả vi.

118

118

4.9 Chứng minh rằng hàm

2 1sin nÕu 0( )

0 nÕu 0

x xf x x

x

⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

có đạo hàm gián đoạn.

4.10 Tính đạo hàm các hàm sau

1) y=xx

2) y=xslnx, trong đó s là hằng số.

4.11 Tính đạo hàm y’x nếu hàm số y được cho dưới dạng 2 2 2 2cos , sint tx e t y e t= = .

4.12 Xác định miền tồn tại hàm ngược x = x(y) và tìm đạo hàm của nó nếu

1) y=x+lnx (x>0) 2) y=x+ex

4.13 Đưa về dạng F(x,y) = 0 (hay y = f(x)) phương trình các đường cong cho dưới dạng tham số.

1) x = acost, y = bsint 2) x = acos3t, y = asin3t

3) , 2 2

t t t te e e ex y− −+ −

= = 4) x = tgt, y = cos2t.

4.14 Cho hàm f(x)=x3−2x+1. Hãy xác định (1)fΔ và (1)df nếu 0,1xΔ = .

4.15 Tìm vi phân của hàm

1) ( arctg )a xdx a+ , a là hằng số

2) (1 cos )d u−

3) ( )btd bt e−− , b là hằng số.

4.16 Hãy tính

1) 3 6 92 ( 2 )

( )d x x x

d x− −

2) 2sin( )

( )d x

xd x

3) (tg )(cot g )d x

d x

4.17 Hãy tìm hàm ( , )x xθ θ= Δ sao cho ( ) ( )f x x f x+ Δ − = = '( ),xf x xθΔ + Δ (0 1)θ< < nếu

1) 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠

2) ( ) xf x e= .

119

119

4.18 Cho hàm (1)( , )f C∈ −∞ +∞ và hệ thức ( ) ( ) . '( )f x h f x h f x+ − = được nghiệm đúng , x h R∀ ∈ .

Chứng minh rằng

( )f x ax b= + trong đó a,b là hằng số.

4.19 Cho hàm số 3( ) , [ 1,1]f x x x= ∈ − . Hỏi có thể tìm được hai số 1 2, ( 1,1)x x ∈ − sao cho 2 1

2 1

( ) ( ) '(0)f x f x fx x

−=

− hay không?

4.20 Cho hàm f(x) khả vi trên đoạn 1 2[ , ]x x , trong đó 1 2. 0x x > . Chứng minh rằng

1 2

1 21 2

1 ( ) ( )( ) ( )

x xf f

f x f xx xξ ξ ξ′= −

−, trong đó 1 2x xξ< < .

4.21 Cho hàm f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm tại mọi điểm ( , )x a b∈ . Chứng minh rằng bằng cách áp dụng định lí Rolle đối với hàm

( ) 1( ) ( ) 1

( ) 1

x f xx b f b

a f aφ = ta sẽ thu được định lí Lagrange

4.22 Cho :f → chứng minh rằng nếu ( 1)(0) '(0) (0) ... (0) 0nf f f f −′′= = = = =

thì ( )( ) ( )

!

n

nf x f x

nxθ

= trong đó 0 1θ< < .

4.23 Tìm đạo hàm cấp 2 của các hàm sau

1) cosxy e x=

2) 3xy a x=

3) 2 siny x x= .

4.24 Tìm đạo hàm cấp 3 của các hàm sau

1) sinxy e x−=

2) 2 lny x x=

3) cosy x x= .

4.25 Cho ( )xaf x xe= . Tìm (4) ( ) ( )( ), ( ), (0)n nf x f x f

4.26 Cho ( )1

xf xx

=+

. Chứng minh rằng với 2n ≥

( ) 11

1.3.5...(2 3)(0) ( 1)2

n nn

nf n−−

−= − .

120

120

4.27 Cho 21( )

1f x

x=

−. Chứng minh rằng

( ) ! khi 2(0)

0 khi 2 1.n n n m

fn m=⎧

= ⎨= −⎩

4.28 Cho hàm số 2( ) , 0xaf x x e a

−= ≠ . Chứng minh rằng

( )2

( 1)( 1)(0)n

nn

n nfa −

− −= .

4.29 1) Cho *( ) ,nf x x n N= ∈ . Chứng minh rằng ( )(1) (1) (1)(1) ... 2

1! 2! !

nnf f ff

n′ ′′

+ + + + =

2) Cho ( sin ), (1 cos )x a t t y a t= − = − . Tính 2

2d ydx

3) Cho = =2 3, 3t tx e y . Tính 2

2d ydx

.

4.30 Cho đa thức Legendre:

2 ( )1( ) [( 1) ] ( 0,1,2...)2 . !

m mm mP x x m

m= − =

Chứng minh rằng ( )mP x thỏa mãn phương trình

2(1 ) ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) 0.m m mx P x xP x m m P x′′ ′− − + + =

4.31 Cho đa thức Lague: ( )( ) ( )x m x m

mL x e x e−=

thỏa mãn phương trình

( ) (1 ) ( ) ( ) 0m m mxL x x L x mL x′′ ′+ − + =

4.32 Chứng minh công thức:

1

1( ln ) !(ln )n n

nn

k

d x x n xkdx =

= +∑ với x>0.

4.33 Khai triển hàm 22( ) x xf x e −= đến số hạng chứa x5.

4.34 Khai triển hàm ( )1x

xf xe

=−

đến số hạng chứa x4.

4.35 Tìm 3 số hạng đầu tiên của khai triển Taylor trong lân cận của điểm x=0.

1) (sinx)2

2) cos x .

121

121

4.36 Cho n số 1 2, ,..., na a a . Xác định x sao cho hàm số.

2

1( ) ( )

n

kk

x a xϕ=

= −∑ có giá trị bé nhất.

4.37 Tìm 3 số hạng của khai triển hàm ( )f x x= theo các lũy thừa nguyên dương của hiệu x−1.

4.38 Khai triển hàm f(x)=xx−1 theo các lũy thừa nguyên dương của nhị thức (x−1) đến số hạng chứa (x−1)3.

4.39 Áp dụng qui tắc L’hospital để tìm các giới hạn sau:

1) 1

1 1l im( )ln 1x x x→

−−

2) 21

0

sinl im( )xx

xx→

3) 20

2 ln(1 2 )l im2x

x xx→

− + 4) 2

20

1 2l im2

x

x

e xx→

− − .

4.40 Hãy tìm giới hạn sau, xét xem có thể áp dụng qui tắc L’hospital hay không

1) 2

0

1sinl im

sinx

xx

x→ 2) sinl im

sinx

x xx x→∞

−+

3) sin

1 sin cosl im( sin cos ) xx

x x xx x x e→∞

+ ++

.

4.41 Tìm các giới hạn sau:

1) 0

1 1l im( )1xx x e→

−−

2) 0

ln(sin )l imln(sin )x

axbx→

3) 2 2

40l im

sin

x

x

e xx→

− 4) 0

l im(sin )tgx

xx

→

5) 1

2 10

l im(1 ) xe xx

x − −

→+ 6) 2cos

2

l im( ) x

xtgx

π→

.

4.42 Chứng minh rằng khi 0x → ta có

1) 3

arctg3xx x− ∼ 2) ~ lnx x aa b x

b−

3) 2 21 2 ~ 2xe x x− − 4) 22 ln(1 2 ) ~ 2x x x− + .

4.43 Cho hàm 6 1( ) sing x xx

= với 0; (0) 0x g≠ = và 6( ) 2 ( ).f x x g x= +

Xét cực trị địa phương của các hàm g, f tại điểm x=0.

4.44 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2

2

( 1)1

xyx−

=+

.

122

122

4.45 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

ln .xyx

=

4.46 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 xy x e−= .

4.47 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 21 1y x x= + + − .

4.48 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1 2cosr ϕ= + .

123

123

Chương 5

Tích phân không xác định

5.1 Tích phân không xác định

Trong nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật, ta cần tìm hàm số khi biết đạo hàm của nó. Ví dụ như biết gia tốc a=a(t) của chuyển động, ta cần tìm vận tốc v=v(t) của chuyển động biết

rằng dvadt

= . Sau đó khi biết vận tốc v, ta cần tìm quãng đường s=s(t) của chuyển động, biết

rằng dsvdt

= .

5.1.1 Định nghĩa nguyên hàm

Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên tập D, nếu cả hai hàm cùng được xác định trên tập D và

( ) ( ) , F x f x x D D′ = ∀ ∈ ⊂ . (5.1.1)

5.1.2 Các tính chất

Ta có các tính chất sau mà có thể dễ dàng thu được từ định nghĩa.

a) Nếu F và G là các nguyên hàm của hàm f và hàm g tương ứng trên tập D, thì F Gα β± trong đó vµ α β là các hằng số, là nguyên hàm của hàm f gα β± trên tập D.

b) Nếu F là nguyên hàm của hàm f trên tập D, thì hàm F+C, trong đó C là hằng số tuỳ ý cũng là nguyên hàm của hàm f trên tập D.

Ta gọi biểu thức F(x) + C, trong đó C là hằng số tuỳ ý, là họ nguyên hàm của hàm f trên tập D.

5.1.3 Định nghĩa tích phân không xác định

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm f trên một khoảng I nào đó được gọi là tích phân không xác định của hàm này trên khoảng I và được kí hiệu là ( ) :f x dx∫

( ) ( )f x dx F x C= +∫ . (5.1.2)

5.1.4 Các tính chất của tích phân không xác định

a) ( ) ( )Af x dx A f x dx=∫ ∫ trong đó A là hằng số (5.1.3)

124

124

b) 1 2 1 2( ( ) ( )) ( ) ( )f x f x dx f x dx f x dx± = ±∫ ∫ ∫ . (5.1.4)

Việc tìm mọi nguyên hàm của một hàm số được gọi là phép lấy tích phân của hàm đó và bài toán này là bài toán ngược của phép tính vi phân.

5.1.5 Bảng các tích phân cơ bản

1

1) 0 ,

2) ( 1, )1

du C dx x C

uu du C Rα

α α αα

+

= = +

= + ≠ − ∈+

∫ ∫

∫

3) ln| |

4) u u

du u Cu

e du e C

= +

= +

∫∫

5) cos sinudu u C= +∫

6) sin cosudu u C= − +∫

2

17) cos

du tgu Cu

= +∫

2

18) cot gsin

du u Cu

= − +∫

9) ch shudu u C= +∫

10) sh chudu u C= +∫

2

111) thch

du u Cu

= +∫

2

112) cthsh

du u Cu

= − +∫

2

arcsin113) arccos1

u Cdu

u Cu

+⎧= ⎨

− +− ⎩∫

2

arctgdu14) arccotg .1

u Cu Cu

+⎧= ⎨

− ++ ⎩∫

Để thuận tiện cho việc áp dụng, ta bổ sung vào bảng trên các công thức sau:

4 ) ( 0, 1)ln

uu aa a du C a a

a= + > ≠∫

2 2

arcsin13 )

arccos

⎧ +⎪⎪= ⎨− ⎪− +

⎪⎩

∫u C

du aaua u Ca

125

125

2 2

1 arctgdu14 )

1 arcotg

⎧ +⎪⎪= ⎨+ ⎪− +

⎪⎩

∫u C

a aaua u C

a a

2 2

du 115) ln2

a u Ca a ua u

+= +

−−∫

2

2

du16) ln .u u a Cu a

= + + ++

∫

5.2 Cách tính tích phân không xác định

5.2.1 Dựa vào bảng các tích phân cơ bản

Ví dụ 1:

a) Tính 2

1 (1 )I x dx= +∫ .

Bởi vì 2(1 ) 1 2 , nªnx x x+ = + + 12

1

322

2

(1 2 ) 2

4 1 2 .3 2 3 22

I x x dx dx x dx xdx

x xx C x x x x C

= + + = + +

= + + + = + + +

∫ ∫ ∫ ∫

b) Tính 2 2 2sin cosdxIx x

= ∫ .

Bởi vì 2 2

2 2 2 2 2 2

1 sin cos 1 1sin cos sin cos cos sin

x xx x x x x x

+= = +

nên 2 2 2 2 2

1 1 1 1cos sin cos sin

I dx dx dxx x x x

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫

tg cot gx x C= − + .

c) Tính 23 6sin

2xI dx= ∫

3 3(1 cos ) 3( sin )I x dx x x C= − = − +∫

d) Tính 4 21x

x eI e dxx

−⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

24 2

1

1 .

x x

x

I e dx e dx x dxx

e Cx

−⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − +

∫ ∫ ∫

126

126

5.2.2 Tính tích phân nhờ phép đổi biến

Giả sử cần tính tích phân ( )f x dx∫ . Ta hãy đưa vào biến mới ( )x uϕ= hay ( )u xψ= , trong đó các hàm ( )uϕ , ( )xψ là các hàm số ngược của nhau

a) Phép đổi biến thứ nhất

Sử dụng ( )x uϕ= , khi đó ( )dx u duϕ′= và nhận được công thức

( ) [ ( )]. ( ) ( )f x dx f u u du g u duϕ ϕ′= =∫ ∫ ∫ (5.2.1)

trong đó ( ) [ ( )]. ( )g u f u uϕ ϕ′=

b) Phép đổi biến thứ hai Giả sử hàm f(x) được viết dưới dạng

( ) [ ( )]. ( ) .f x g x x dxψ ψ ′=

Khi đó

( ) [ ( )]. ( ) ( )f x dx g x x dx g u duψ ψ ′= =∫ ∫ ∫ (5.2.2)

trong đó ( )u xψ= .

Nếu ( ) ( ) , th×g u du G u C= +∫

( ) ( ) ( )f x dx g u du G u C= = +∫ ∫ (5.2.3)

Ví dụ 2:

1 2

21

arcsina) TÝnh 1

1arcsin (arcsin ) (arcsin ) .2

xI dxx

I xd x x C

=−

= = +

∫

∫

2

2

) TÝnh tg

sin (cos ) (cos )cos cos cos

ln| cos | .

b I xdx

x x d xI dx dxx x x

x C

=

′= = − = −

= − +

∫

∫ ∫ ∫

3 2

3 2

) ( 2 2)arctg( 1)

[( 1) 1]arctg( 1)

dxc Ix x x

dxIx x

=+ + +

=+ + +

∫

∫

3 2

§ Æt 1, , ta cã(arctg ) ln| arctg | .arctg(1 )arctg

u x du dxdu d uI u C

uu u

= + =

= = = ++∫ ∫

2

24 2

2) 1

x

x

xe dxd Ie

=+∫

127

127

2

2

2

22

4 2

4 2 2

Do , ®Æt ta cã1

arctg1 ( ) 1 ( )

x

x

u ux

u u

e dxI u xe

e du deI e Ce e

= =+

= = = ++ +

∫

∫ ∫

10

5) (1 )e I x dx= +∫

2§ Æt 1+ ( -1) , 2( 1) .x = u, x = u dx u du= −

Khi đó

( )10 11 105 2 ( 1) 2I u u du u du u du= − = −∫ ∫ ∫

12 11

212 11u uI C

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

111 (11 12)66

u u C= − +

111 (1 ) (11 1) .66

x x C= + − +

5.2.3 Phương pháp tính tích phân từng phần

Theo qui tắc lấy đạo hàm một tích:

( )d uv udv vdu= + .

Lấy tích phân cả hai vế ta được

.uv udv vdu= +∫ ∫

Từ đây ta có công thức sau

udv uv vdu= −∫ ∫ . (5.2.4)

Công thức (5.2.4) gọi là công thức tích phân từng phần.

Ví dụ 3: a) Tính tích phân 3 21 lnI x xdx= ∫

đặt 2lnu x= 12 lndu x dxx

=

3dv x dx= 4

4xv =

4 4 42 2

112

4 4 4ln ln lndx x xI x x x dx

x= = −∫ ∫

4

2 314 2

ln lnx x x xdx= − ∫4 4

2 14 2 4

ln lnx dxx x= − ∫

128

128

4 4 42

11 1

4 2 4 4ln lnx x xI x x dx

x⎡ ⎤

= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫4

2 4 41 14 8 32

ln lnx x x x x C= − + + .

b) Tính 2 arcsinI xdx= ∫

Đặt u = arcsinx, dv = dx, ta được

2

11

du dxx

=−

v x=

2 21arcsin xI x x dx

x= −

−∫

22 1arcsinI x x x C= + − + .

c) Tương tự

23

1arctg arctg ln(1 )2

I xdx x x x C= = − + +∫

d) 24I x bdx= +∫

đặt u = 2x b+ , dv = dx ⇒ v = x. Ta có

24 2

22

2

22

xI x x b x dxx b

x b bx x b dxx b

= + −+

+ −= + −

+

∫

∫

22

4 2 2

2 2 2ln( ) .2

x b dxI x x b dx bx b x b

bx x b x bdx x x b C

+= + − +

+ +

= + − + + + + +

∫ ∫

∫

Suy ra

2 2 2ln( ) .2 2x bx bdx x b x x b C+ = + + + + +∫

Ví dụ 4:

a) Tính cosaxI e bxdx= ∫

đặt u = cosbx, du = −bsinx

dv = eaxdx, 1 axv ea

=

cos cos sinax ax

axe e bI bxd bx e bxdxa a a

= = +∫ ∫ (5.2.5)

Mặt khác

129

129

sin sinax

ax ee bxdx bxda

=∫ ∫ sin cosax

axe bbx e bxdxa a

= − ∫ (5.2.6)

Thay (5.2.6) vào (2.2.5), sau một vài phép biến đổi đơn giản, ta được

2 2

cos sincosax axa bx b bxe bxdx e Ca b

+= +

+∫ (5.2.7)

b) Tương tự

2 2

sin cossinax axa bx b bxe bxdx e Ca b

−= +

+∫ . (5.2.8)

5.2.4 Công thức truy hồi

a) Xét tích phân cosnnI xdx= ∫ với *n N∈ .

Ta có 1 1cos cos cos cos sinn n nxdx x xdx xd x− −= =∫ ∫ ∫

1 2 2

1 2

1

1 1

cos sin ( ) cos sin

cos sin ( ) cos ( ) cos .

n n

n n n

x x n x xdx

x x n xdx n xdx

− −

− −

= + −

= + − − −

∫∫ ∫

Từ đây chúng ta nhận được công thức truy hồi

1 21 1( )cos cos sin cosn n nnxdx x x xdxn n

− −−= +∫ ∫ . (5.2.9)

Công thức này cho phép giảm số mũ của luỹ thừa của hàm dưới dấu tích phân mỗi lần 2 đơn vị cho đến khi ta nhận được tích phân tuỳ theo n là lẻ hay chẵn:

haycos sin .xdx x C dx x C= + = +∫ ∫

Tương tự ta nhận được công thức truy hồi

1 21 1sin sin cos sinn n nnxdx x x xdxn n

− −−= − +∫ ∫ . (5.2.10)

b) Xét tích phân 2 2( )n n

dxJx a

=+∫ với 0* , n N a∈ ≠

Ta biết 1 2 2

1 arctgdx xJ Ca ax a

= = ++∫ .

Để xây dựng công thức truy hồi cho tích phân Jn, ta hãy xét

2 2 11 2 2 1

2 22 2 1 1 2

( )( )

( )( )( )

nn n

nn

dxJ x a dxx a

x x n x a xdxx a

− +− −

−−

= = ++

= − − + ++

∫ ∫

∫

hay 2

1 2 2 1 2 22 1( )( ) ( )n n n

x xJ n dxx a x a− −= + −

+ +∫

130

130

2 2 2

1 2 2 1 2 2

21 12 2 1

2 1

2 1

( )( ) ( )

( )[ ]( )

n n n

n n nn

x x a aJ n dxx a x a

xJ n J a Jx a

− −

− −−

+ −= + −

+ +

= + − −+

∫

Suy ra

212 2 12 1 2 3( ) ( )

( )n nn

xn a J n Jx a −−− = + −

+

hay 12 2 1 2 2

2 32 1 2 1

( )( )( ) ( )n nn

x nJ Jn x a a n a −−

−= +

− + − (5.2.11)

5.3 Tích phân các phân thức hữu tỉ

5.3.1 Tích phân các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất

Các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất là các phân thức có dạng

2 2I ) , I I ) , I I I ) , IV )( ) ( )k k

A A Mx N Mx Nx a x a x px q x px q

+ +− − + + + +

trong đó A,M,N,p,q là các số thực, k = 2,3,4…, còn tam thức bậc hai không có nghiệm thực, tức là p2 – 4q < 0 . Bây giờ ta hãy khảo sát tích phân các phân thức hữu tỉ trên.

a) Tích phân dạng I

ln| |A dx A x a Cx a

= − +−∫ .

b) Tích phân dạng II

1

1 11

( )( ) ( )k k

A Adx C kkx a x a −= − + ≠−− −∫ .

c) Tích phân dạng III

2 2

22 2

( ) ( )M Mpx p NMx N dx dxx px q x px q

+ + −+=

+ + + +∫ ∫

2 2

22 2

( )M x p Mp dxdx Nx px q x px q

+= + −

+ + + +∫ ∫ . (5.3.3)

Ta hãy xét tích phân thứ hai ở vế phải (5.3.3). Đặt 2

2

2 4, , ,p px t q dx dtα+ = − = =

2 2 2 22

2 4( )

dx dx dtx xp q p p tx q α

= =+ + +

+ + −∫ ∫ ∫

2 2 2

1 2 2arctg arctg4 4

.dx t x pC Cx xp q q p q pα α

+= + = +

+ + − −∫

131

131

Cuối cùng ta có

2

++ +∫

Mx N dxx px q

2

2 2

2 2arctg2 4 4

ln( ) .− += + + + +

− −

M N Mp x px px q Cq p q p

(5.3.4)

d) Tích phân dạng IV

2 2

22 2

( ) ( )

( ) ( )k k

M Mpx p NMx NI dx dxx px q x px q

+ + −+= =

+ + + +∫ ∫ (5.3.5)

Tích phân ở vế phải trong (5.3.5) được tách thành hai tích phân. Để tính tích phân thứ nhất ta đặt 2x px q t+ + =

1 2

2, ( )

+= =

+ +∫k k

x pJ dxx px q

1 2 1

1 11 1( ) ( )( )k k k

dtt k t k x px q− −= = =

− − + +∫ (5.3.6)

Còn tích phân thứ hai, kí hiệu bằng 2,kJ , ta có

2 2 2 2, ( ) ( )k k k

dx dtJx px q t α

= =+ + +∫ ∫

trong đó 2

,pt x= + 2

2

4pqα = − (5.3.7)

Ví dụ 1: Tính 2

6 54 9

xI dxx x

+=

+ +∫

Giải: Ta có 2 24 9 2 5( ) .x x x+ + = + + Đặt x+2 = t, x = t−2, dx = dt, ta nhận được

2 2

6 5 6 2 52 5 5

( )( )

x tI dx dtx t

+ − += = =

+ + +∫ ∫

2 2 2

2

6 7 23 75 5 5

73 5 arctg5 5

ln( ) .

t t dtdt dtt t t

tt C

−= = − =

+ + +

= + − +

∫ ∫ ∫

Trở về biến x, ta nhận được

22

6 5 7 23 4 9 arctg2 5 5 5

ln( )( )

x xdx x x Cx

+ += + + − +

+ +∫

Ví dụ 2: Tính 2 2

1( 1)

xI dxx x

+=

+ +∫

Giải:

2 2 2 2 2 2

1 1(2 1) 1 (2 1) 1 12 22 2( 1) ( 1) ( 1)

x xI dx dx dxx x x x x x

+ + += = +

+ + + + + +∫ ∫ ∫

132

132

Ta có

1 12 2 2

2 2 22 2

(2 1) 1( 1) 1

11 3( 1) [( ) ]2 4

xJ dx Cx x x x

dxJ dxx x x

+= = − +

+ + + +

= =+ + + +

∫

∫ ∫

Đặt 1 ,2

t x dt dx= + = ta có

2 2 22 2 2 2

1 1 ,3 3 32 2( )4 4 4

dt t dtJa at t t

= = ++ + +

∫ ∫

trong đó 2 34

a =

2 22

2 2 1 2arctg33 3 3 34

t tJ Ct

= + ++

2 22

12 2 1 2 12. . arctg3 31 3 3

x xJ Cx x

+ += + +

+ +

Do đó

2 2

1 1 1 2 1 1 2 1. . .arctg2 61 1 3 3 3

x xI Cx x x x

+ += − + + +

+ + + +.

5.3.2 Tích phân của các phân thức hữu tỉ

Xét phân thức hữu tỉ ( )( )( )

m

n

P xf x

Q x= (5.3.8)

trong đó ( )mP x và ( )nQ x là các đa thức hữu tỉ bậc m,n tương ứng là: 1

1 1 0( ) ... ( 0)m mm m m mP x b x b x b x b b−

−= + + + + ≠

và 11 1 0( ) ... ( 0)n n

n n n nQ x a x a x a x a a−−= + + + + ≠

với *,m n N∈ còn ,i ib a là các số thực.

Nếu n = 0, thì (5.3.8) là đa thức bậc m.

Nếu m < n, thì phân thức hữu tỉ (5.3.8) được gọi là phân thức hữu tỉ thực sự.

Nếu m n≥ , ta hãy sử dụng mệnh đề sau để đưa phân thức nói trên về dạng phân thức hữu tỉ thực sự.

Mệnh đề 5.3.1 Nếu cho hai đa thức ( )mP x và ( )nQ x ( m n≥ ), thì đa thức ( )mP x có thể được viết dưới dạng

133

133

1( ) ( ) ( )m m n n mP x D Q x R x−= + (5.3.9)

trong đó ( )m nD x− và 1( )mR x là các đa thức, đồng thời: m1< n

Ví dụ như 4 3 2 33 3 10 16 ( 3)( 3 4) (3 4)x x x x x x x x− + − + = − + − + + .

Từ (5.3.9), bằng cách chia tử số cho mẫu số ta được

1( )( )( ) ( )

( ) ( )mm

m nn n

R xP xf x D xQ x Q x−= = + (5.3.10)

trong đó 1( )( )

m

n

R xQ x

là phân thức hữu tỉ thực sự.

Định lí 5.3.1 Đa thức bất kì 1

1 1 0( ) ... ( 0)n nn n n nQ x a x a x a x a a−

−= + + + + ≠ có thể biểu diễn dưới dạng

1 12 21 1 1( ) ( ) ...( ) ( ) ...( )k ls ts t

n n k l lQ x a x c x c x p x q x p x q= − − + + + + (5.3.11)

trong đó 1 1... 2( ... ) ,k l is s t t n c+ + + + + = là các số thức và 2 4 0j jp q− < với i=1,…, k; j=1,…, k.

Ví dụ như 4 2 21 ( 2 1)( 2 1),x x x x x+ = + + − + 3 2 22 7 4 4 2( 2) ( 0,5).x x x x x− + + = − +

Định lí 5.3.2 (Định lí khai triển)

Một số phân thức hữu tỉ thực sự với mẫu số ( )nQ x (an=1) có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phân thức đơn giản dạng I, II, III, IV nói trên. Cụ thể

1

1

1 22

1 1 1

( )( ) ... ...( ) ( ) ( )

sms

n

AP x A Af xQ x x c x c x c

= = + + + + +− − −

1 22 ...

( ) ( )k

k

ss

k k k

BB Bx c x c x c

+ + + +− − −

1 12

1 1

C x Dx p x q

++ +

1 1

1

2 22 2 2

1 1 1 1

... ...( ) ( )

t tt

C x DC x Dx p x q x p x q

+++ + + +

+ + + +

1 12

l l

M x Nx p x q

++

+ +2 2

2 2 2...( ) ( )

l l

l

t tt

l l l l

M x NM x Nx p x q x p x q

+++ + +

+ + + + (5.3.12)

Các hệ số

1 1 11 2 1 2 1 1 2 2, ,..., ;...; , ,..., ; , , , ,..., , ,...;ks s t tA A A B B B C D C D C D

1 1, ,..., ,l lt tM N M N được tìm bằng phương pháp hệ số bất định.

134

134

Định lí trên cho phép kết luận rằng việc lấy tích phân một phân thức thực sự dần đến việc lấy tích phân một trong bốn dạng I,II, III, IV đã nêu ở trên.

Ví dụ 3: Tính 2 2 1( )( )dx

x x x+ +∫ .

Giải: Trước hết hãy phân tích hàm dưới dấu tích phân thành tổng các phân thức đơn giản. Theo định lí khai triển, ta có thể viết

2 2 2 2

1 111 1 1 1( )( ) ( )( )

A B Cx Dx xx x x x x x x

+= = + +

++ + + + +

Từ khai triển trên suy ra 2 21 1 1 1 1( )( ) ( ) ( ) ( )A x x Bx x Cx D x x= + + + + + + + (5.3.13)

cho x = 0 ta được A = 1

cho x = −1 ta được B = 12

−

cho x = i ta được 1 = −C−D+i(D−C).

Từ đây suy ra C = D = 12

−

Do đó 2 2 2

1 1 1 1 12 1 21 1( )( )( )

xx xx x x x

+= − −

++ + +

và

2 2 1( )( )dx

x x x=

+ +∫

21 1 11 1 arctg2 4 2

ln| | ln| | ln( )x x x C= − + − + − +x .

5.4 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác và các hàm hypebol

5.4.1 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác

Giả sử ta cần tính tích phân

R(sin ,cos ) ,I x x dx= ∫

trong đó R là hàm hữu tỉ của hai đối số. Ta có thể hữu tỉ hoá tích phân trên bằng cách đặt

tg2

,xt xπ π= − < < .

Thật vậy 2

2 2 2

2 1 22arctg1 1 1

sin , cos , ,t t dtx x x t dxt t t

−= = = =

+ + +.

Do đó, có thể đưa ra tích phân I về dạng

135

135

2

2 2 2

2 1 2R1 1 1

, . .t t dtIt t t

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠∫ (5.4.1)

Ví dụ 1: Tính 2 1

.sin cos

dxIx x

=− −∫

Giải: Đặt tg2

,xt xπ π= − < < .

Khi đó 2

22arctg1

,x t dx dtt

= =+

.

2

2

2 2

21

2 12 12 11 1

dt dttItt t

t t

+= =−−

− −+ +

∫ ∫

1 12 1 2 12 2 2

ln| | ln| tg |xI t C C= − + = − + .

Khi tính tích phân các biểu thức lượng giác, trong một số trường hợp, không đòi hỏi phải

hữu tỉ theo kiểu thực hiện phép đổi biến tổng quát tg2xt = . Chẳng hạn khi tính tích phân dạng

R(sin ,cos )n mx x dx∫

nếu m hoặc n lẻ, ta hãy đặt t = sinx hoặc t=cosx,

nếu m, n cùng chẵn, ta hãy đặt t = tgx.

Ví dụ 2: a) Tính 3 2sin cosdxIx x

= ∫

1 3 2 3 21cos sin .

sin cos sin ( sin )x d xI dx

x x x x= =

−∫ ∫ Đặt t = sinx

1 3 2 3

2

1 1 1 12 1 2 11

1 1 1 11 12 2 2

( ) ( )( )

ln| | ln| | ln| | .

dtI dtt t tt t t

t t t Ct

⎡ ⎤= = + + − =⎢ ⎥− +− ⎣ ⎦

= − + − − − + +

∫ ∫

Trở về biến x ta được

1 2

1 2

1 1 1 122

12

ln| sin | ln( sin )( sin )sin

ln| tg | .sin

I x x x Cx

I x Cx

= − + − − + +

= − + +

b) Tính 3

2 2sin

cosxI dx

x=

+∫

2

21

2( cos )sin

cosx xI dx

x−

=+∫ . Đặt t = cosx

136

136

2 2

21 32 2 3 22 2 2

( ) ln| |t tI dt t dt t t Ct t−

= = − + = − + + ++ +∫ ∫ .

Trở về biến x ta được

22

1 2 3 22

cos cos ln(cos )I x x x C= − + + + .

Ví dụ 3: a) Tính 1 41 sindxI

x=

−∫ 1 2 21( sin )cosdxI

x x=

+∫

Đặt 2

22 2 2

2

1 1 1tg11 g 11

, , sin ,cos cot

tt x dt dx xx x t

t

= = = = =+ ++

22

2

2 111

sin .txt

++ =

+

Ta có

2

1 2 22

1 1 1 1 11 112 22 1 2 1 22

( )( )

tI dt dt dtt t t

⎡ ⎤⎢ ⎥+

= = + = + =⎢ ⎥+ + ⎢ ⎥+⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

1 1 1 1arctg 2 tg arctg 2tg2 22 2

( ) ( )t t C x x C⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

b) Tính 2 2 2 2 2 0 0( , )cos sin

dxI a ba x b x

= ≠ ≠+∫

2 2 2 2 2 , ®Æt tg ,cos ( tg )

dxI t = xx a b x

=+∫

2 2 2 2 2 2 22

2

1 1 arctg( ( ))dt dt b bI t Ca aa b t b a bt

b

= = = ++

+∫ ∫

1 arctg tg( ) .b x Cab a

= +

Ví dụ 4: Tính 3

2

1 cotsin

gxI dx

x+

= ∫ .

Đặt 21 cot ,sin

dxt gx dtx

= + = −

1 4 43 3 33 3 (1 cot ) .

4 4I t dt t C gx C= − = − + = − + +∫

5.4.2 Tích phân các biểu thức chứa hàm hypebol

137

137

Ví dụ 5: Tính 2 2(1 ) 1

dxIx x

=− +

∫ .

Đặt sh , ch ,x t dx tdt= = 21 chx t+ = .

2

2 2

2

(cth )sh11 sh 2 cth1

sh

dtdt d ttI

t tt

−= = = =

− − +−∫ ∫ ∫

ch21 2 cth 1 shln lnch2 2 2 cth 2 2 2sh

tt tC C

ttt

++= + = +

− −

2

2

1 1 2ln .2 2 1 2

x x Cx x

+ += +

+ −

Ví dụ 6: Tính 2 2I a x dx= +∫ .

Đặt sh , ch , arsh( )xx a u dx a udu ua

= = =

2 2 2 2 2 2 1 ch2sh ch ch2

uI a a u a u du a udu a du+= + = =∫ ∫ ∫

2 2 2 2sh2( ) (arsh )2 2 2a u a x x a xu C C

a a a+

= + + = + +

arsh2

2 2

2 2a x xI a x C

a= + + + .

5.5 Tích phân một vài lớp hàm vô tỉ

5.5.1 Tích phân dạng ( , )max bI R x dxcx d

+=

+∫

(với m nguyên dương)

Đặt m

mm

ax b dt bt xcx d ct a

+ −= ⇒ =

+ − + và ta có công thức

( , )( )m m

m mdt b dt bI R t dtct a ct a

− − ′=− + − +∫ (5.5.1)

Ví dụ 1: Tính 23 ( 1)( 1)

dxIx x

=− +

∫

138

138

3

33

1 11 11 ( 1)

1

dx xI dxx xx x

x

+= =

− +−+

+

∫ ∫

Đặt 3 2

33 3 2

1 1 6,1 1 ( 1)

x t tt x dx dtx t t+ +

= ⇒ = = −− − −

, từ đây

3 21 23 ( )11 1

dt tI dttt t t− +

= − = +−− + +∫ ∫

2

21 1 2 1ln 3arctg2 ( 1) 3

t t tI Ct+ + −

= + +−

trong đó 311

xtx+

=−

.

5.5.2 Tích phân dạng ,( ) ,( ) ,p rq sax b ax bI R x dx

cx d cx d

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥=+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

trong đó ,p rq s

là các phân số tối giản.

Gọi m là bội số chung nhỏ nhất của q và i, đặt .max btcx d

+=

+

Ví dụ 2: Tính 31 1

xdxIx x

=+ + +∫

Giải: Đặt 6 3 231 1 , 1x t x t x t+ = ⇒ + = + = 6 5

8 7 6 5 4 33 2

( 1)6 6 ( )t tI dt t t t t t t dtt t−

= = − + − + −+∫ ∫

9 8 7 6 5 4

6( )9 8 7 6 5 4t t t t t tI C= − + − + − + trong đó 6 1t x= + .

5.5.3 Tích phân các nhị thức vi phân

( )m n pI x a bx dx= +∫ , trong đó a,b là hăng số, m,n,p là hữu tỉ

Trước hết đặt 1 1 11,n n nx z x z dx z dz

n−

= ⇒ = = và

1 11( ) ( ) ( )m

m n p p n nR x x a bx dx a bz z z dzn

−= + = +

1 11( ) ( ) .m

p nR x a bz z dzn

+ −= +

Đặt 1 1m qn+

− = . Ta thấy p, q là cá số hữu tỉ và

139

139

1 ( )p qI a bz z dzn

= +∫

Ta hãy xét các trường hợp sau:

a) Nếu q hữu tỉ, p nguyên. Giả sử rqs

= , hãy đặt 1st z= hay sz t=

b) Nếu q nguyên, p hữu tỉ. Giả sử rps

= , hãy đặt 1

( )st a bz= + hay sa bz t+ =

c) Nếu p+q nguyên: Ta viết lại tích phân trên như sau

1 ( ) 1 ( )p

p q p q pp

a bz a bzI z dz z dzn n zz

+ ++ += =∫ ∫

Giả sử rps

= , đặt 1

( ) .sa bztz+

=

Ví dụ 3: Tính 4 4

.1

dxIx

=+

∫

Giải: Ta thấy 1 10, 4, , 04

mm n p pn+

= = = − + = là số nguyên.

Đặt 1 3

4 4 414

z x x z dx z dz−

= ⇒ = ⇒ = .

3 144 4

1 1 1 14 4 11 ( )

dzI dzz zz z

z

= =+

+∫ ∫

Đặt 1 34

4 4 21 1 4( ) ,

1 ( 1)z tt z dz dt

z t t+ −

= ⇒ = =− −

4 3 2

4 2 4

2 2 2

1 1 4.4 ( 1) 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( )2 2 2 1 11 1 1

t t tI dz dtt t t

dt dtt tt t t

− −= = − =

− −

⎡ ⎤= − + = − + −⎢ ⎥− ++ − +⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

1 1arctg (ln| 1| ln| 1| )2 2

t t t C⎡ ⎤= − + − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1 1arctg ln| |2 2 1

tI t Ct−⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟+⎝ ⎠

với 144

41( )xt

x+

= .

5.6 Tích phân các biểu thức dạng 2R( , )x ax bx c+ + với 0a ≠

140

140

Trước hết ta thấy rằng nếu đồng thời a < 0 và D = b2− 4ac ≤ 0 thì tích phân 2R( , )x ax bx c dx+ +∫ không có ý nghĩa. Trong các trường hợp còn lại biểu thức dưới dấu

tích phân đang xét được hữu tỉ hoá nhờ các phép thế Euler.

5.6.1 Phép thế Euler thứ nhất

Phép thế này áp dụng cho trường hợp a > 0.Ta đặt 2ax bx c ax t+ + = ± + (5.6.1)

Bình phương hai vế ta có 2 2 22ax bx c ax axt t+ + = ± + .

Giả sử trong (5.6.1) lấy dấu – trước a , ta được 2

2t cx

b at−

=+

. (5.6.2)

Khi đó 2

2

2at bt c aax bx c

at b+ +

+ + =+

và

2

22

(2 )at bt c adx dt

at b+ +

=+

.

Ví dụ 1: Tính 2 1

dxIx x x

=+ +

∫

Trong trường hợp này a=1>0. Ta đặt 2 1x x x t+ + = + , bình phương hai vế, suy ra 2 2

21 1, ,1 2 1 2t t tx ax bx c x t

t t− − + −

= + + = + =− −

2

22( 1)

(1 2 )t tdx dt

t− + −

=−

. Thay các biểu thức này vào tích phân trên, ta thu được

22 1ln| | .

11dt tI C

tt−

= = ++−∫

Do đó 2

2 2

1 1ln| | .1 1 1

dx x x xI Cx x x x x x

+ − + += = +

+ + − + + +∫

5.6.2 Phép thế Euler thứ hai

Phép thế này áp dụng cho trường hợp c > 0. Ta đặt 2ax bx c xt c+ + = ± (5.6.3)

Bình phương hai vế và rút gọn 2 2ax b xt c t+ = ± .

141

141

Giả sử lấy dấu + trước c , ta có 22 ,ct bx

a t−

=−

22

2ct bt cax bx c xt c

a t− +

+ + = + =−

(5.6.4)

2

2 22( )

ct bt cadx dta t− +

=−

. (5.6.5)

Ví dụ 3: Tính 2( 1) 1

dxIx x x

=+ + −

∫

Giải: Do c =1>0, ta đặt 21 1x x tx+ − = −

2 2 22

2 11 2 1 ,1

tx x t x tx xt+

⇒ + − = − + ⇒ =+

2 22

2 2 21 2( 1)1 ,

1 ( 1)t t t tx x dx

t t+ − − + −

+ − = =+ +

2 2( 1)2 2 2arctg( 1)

2 2 ( 1) 1dt d tI t C

t t t+

= − = − = − + ++ + + +∫ ∫

Thay 21 1 x xt

x+ + −

= ta được

21 12arctg .x x xI Cx

+ + + −= − +

5.6.3 Phép thế Euler thứ ba

Phép thế này áp dụng cho từng trường hợp tam thức bậc hai 2ax bx c+ + có hai nghiệm phân biệtα ,β :

2 ( )( )ax bx c a x xα β+ + = − − (5.6.6)

Đặt 2 ( )ax bx c t x α+ + = − . Bình phương hai vế ta được 2

2 22( )( ) ( ) t aa x x t x x

t aα βα β α −

− − = − ⇒ =−

(5.6.7)

22

2 2( ) ( )t a a aax bx c t x t tt a t a

α β β αα α− − ++ + = − = − = =

− −

2( )a tt aα β−

=−

(5.6.8)

và

2 22 ( )( )a tdx dtt aβ α−

=−

(5.6.9)

142

142

Ví dụ 4: Tính 2 2

dxIx x

=+ −

∫

Giải:

Đặt 2

22

22 ( 1) ,2

tx x x t xt+

+ − = − ⇒ =− 2 2

6 ,( 1)

tdtdxt

= −−

2232 .

1tx x

t+ − =

−Thay vào tích phân trên ta được

212 ln11

dt tI Ctt+

= − = +−−∫

hay

2

2

2 2

2 1 2 11ln ln2 2 11

1

x xx x xxI C C

x x x x xx

+ −+ + − + −−= + = +

+ − + − − +−

−

.

5.6.4 Tích phân eliptic

Khác với phép tính vi phân, trong phép tính tích phân tồn tại những hàm số sơ cấp mà tích phân không xác định của nó không thể biểu diễn được qua một số hữu hạn các hàm sơ cấp khác. Những tích phân như vậy được gọi là tích phân eliptic. Ví dụ như

2 2 2sin cos, , , , sin , cosln

x dx x xe dx dx dx x dx x dxx x x

−∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Ngoài ra khi tính tích phân nhị thức ( ) ,m n px a bx dx+∫ trong đó a, b là tuỳ ý, còn m, n, p là các số hữu tỉ, đồng thời a, b, n khác không, nhà toán học vĩ đại Trêbưsep đã chứng minh được rằng tích phân này chỉ biểu diễn được theo các hàm sơ cấp khi và chỉ khi một trong

những số 1 1, ,m mp pn n+ +

+ là nguyên.

143

143

5.7 Bài tập chương 5

5.1 Tính các tích phân sau: 2

21)

2x dxx −

∫ 2 22)(1 )

xdxx+∫

2 333) 1x x dx+∫ 3

84)2

x dxx −∫

5) x x

dxe e−+∫

26)

1 x

dxe+

∫ .

5.2 Tính các tích phân sau:

1)shdx

x∫ 2)chdx

x∫

23) sh xdx∫ 24) ch xdx∫

2 25)sh ch

dxx x∫

5.3 Tính tích phân sau

31)

1 3xdx

x−∫ 3 232) 1x x dx+∫ .

5.4 Tính các tích phân sau

1) ln ( 1)nx xdx n ≠ −∫ 32) ch3x xdx∫

23) shx xdx∫ 4) sin l n(tg )x x dx∫

5.5 Tính các tích phân sau 4

6sin1)cos

x dxx∫ ∫ 3 5

2)sin cos

dxx x

.

233)

cos sindx

x x∫ 4)

tgdx

x∫

35)

tgdx

x∫ .

5.6 Tính tích phân sau

241)

(1 )dxx x+∫

342)

(1 )dx

x x+∫

144

144

3)1 1

dxx x+ + +∫

1 14)

( ) ( )n nn

dxx a x b+ −− −

∫ .

5.7 Tính tích phân sau:

21)

1dxx x+ +

∫ 22) 2 2x x dx− +∫ .

145

145

Chương 6

Tích phân xác định

6.1 Định nghĩa tích phân xác định

6.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong

Cho hàm số y = ( )f x xác định, liên tục, không âm trên đoạn [a,b]. Xét hình thang cong AabB (hình 6.1.1) là hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số ( )f x (trên [a,b]), các đường thẳng x = a, x = b và trục hoành.

Hình 6.1.1

Với quan điểm của giải tích, ta hãy định nghĩa diện tích S của hình thang cong AabB. Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia 0x , 1x , 2x ..., 1nx − , nx được chọn tùy ý sao cho 0x ≡ a < 1x < 2x ... < 1ix − < ix < ... < 1nx − < nx ≡ b. Đặt ixΔ = ix – 1ix − (i = 1,2,...,n). Từ các điểm chia ix (i = 1,2,...,n) ta dựng các đường thẳng x = ix , như thế ta đã chia hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ 1iP− 1ix − ix iP (i=1, 2,...,n) . Chọn các điểm

iξ ∈[ 1ix − , ix ]. Thay mỗi hình cong nhỏ 1iP− 1ix − ix iP bằng một hình chữ nhật có cùng đáy và chiều cao là ( )ξif . Diện tích các hình chữ nhật là: 1( )ξf Δ 1x , 2( )ξf Δ 2x , ..., ( )ξnf Δ nx .

Hiển nhiên tổng các diện tích của n hình chữ nhật biểu diễn gần đúng diện tích cần tìm S

của hình thang cong AabB đã cho. Nói một cách khác, ta có thể viết: S~1

( )n

i ii

f xξ=

Δ∑ .

146

146

Ta nhận thấy nếu số đoạn chia càng nhiều sao cho độ lớn của các đọan chia càng nhỏ thì

tổng 1

( )n

i ii

f xξ=

Δ∑ càng gần giá trị đúng S.

Từ đó ta có thể nói rằng khi chuyển giới hạn n→∞ sao cho ixΔ →0 (i = 1,n ) thì giá trị

giới hạn của tổng 1

( )n

i ii

f xξ=

Δ∑ chính là diện tích cần tìm S của hình thang cong đã cho:

S=0 1

lim ( )ξΔ →

=

Δ∑i

n

i imax x if x . (6.1.1)

6.1.2 Bài toán tính khối lượng

Cho một đoạn thẳng vật chất [0,S] và giả thiết là ta biết tỉ khối δ ở tại mỗi điểm của đoạn ấy. Hãy tính khối lượng của cả đoạn thẳng. Nếu tỉ khối δ không đổi trong cả đoạn thẳng, thì khối lượng m sẽ bằng tích của tỉ khối với độ dài đoạn thẳng, tức là m = δ .S. Trong trường hợp tổng quát δ là một hàm liên tục của độ dài s:

δ = ( )sδ , với s ∈[0,S].

Việc tìm khối lượng của đoạn sẽ tiến hành như sau: Ta hãy chia đoạn thẳng ra làm n phần bởi các điểm chia:

0s =0, 1s , 2s ,..., 1is − , is ,..., 1ns − , ns = S.

và giả thiết rằng trên một đoạn nhỏ [ 1is − , is ] vật chất được phân phối đều, tức là tỉ khối không đổi trên mỗi đoạn nhỏ và bằng tỉ khối tại mút trái δ = 1( )δ −is . Khi đó, khối lượng tương ứng của cả đoạn [0,S] sẽ bằng:

0 1 0 1 2 1 1 1( )( ) ( )( ) ... ( )( ) ...n i i im s s s s s s s s sδ δ δ − −= − + − + + − + +

1 1( )( ),n n ns s sδ − −+ −

hay nm =1

0( )

n

i ii

s sδ−

=

Δ∑ , trong đó: isΔ = 1is + - is (i=1,n ).

Khi n tăng vô hạn sao cho max 0isΔ → , thì độ dài của các đoạn chia dẫn đến không và khối lượng phân phối “đều từng khúc” sẽ dẫn đến khối lượng phải tìm:

m = 1

1

( ) 0 0lim ( )δ+

−

− →=

Δ∑i i

n

i imax S S is s . (6.1.2)

Như vậy từ việc tính diện tích, khối lượng ta đi đến một cách tự nhiên việc khảo sát giới hạn của các tổng có dạng (6.1.1) hay (6.1.2).

6.1.3 Định nghĩa tích phân xác định

147

147

Cho hàm y = ( )f x xác định trên [a,b]. Trước hết chia đoạn [a,b] thành n phần bởi các điểm chia: a = 0x < 1x < 2x <... < 1nx − < nx = b. Đặt kxΔ = kx − 1kx − và d = maxΔ kk

x , với

k=1,n

Ta gọi bộ các điểm chia T = { kx } là một phân hoạch của đoạn [a,b] và đại lượng d gọi là đường kính phân hoạch. Trên mỗi đoạn chia [ 1kx − , kx ] chọn điểm tùy ý kξ , tính giá trị ( )kf ξ và lập tổng:

1( )

n

n k kk

f xσ ξ=

= Δ∑ . (6.1.3)

Ta thấy tổng (6.1.3) phụ thuộc vào phân hoạch T = { kx } và vào cách chọn các điểm kξ và được gọi là tổng tích phân Riman của hàm ( )f x theo phân hoạch { kx } của đoạn [a,b].

Bây giờ hãy thay đổi phân hoạch { kx } và tìm giới hạn của tổng tích phân (6.1.3) khi d → 0.

Định nghĩa Nếu tổng tích phân Riman (6.1.3) có giới hạn I khi d→0 không phụ thuộc vào phân

hoạch { kx } của đoạn [a,b] và cách chọn các điểm 1ξ , 2ξ , ..., nξ tức là 0ε∀ > , 0δ∃ > sao cho:

| I− nσ |< ε (6.1.4)

với bất kì phân hoạch { kx } của đoạn [a,b] sao cho đường kính d< δ và với mọi cách chọn

các điểm kξ ∈[ 1kx − , kx ] ,( k=1,n ), thì giới hạn I được gọi là tích phân xác định ( theo định

nghĩa Riman) của hàm ( )f x trên [a,b] và được kí hiệu là: ( )b

a

f x dx∫ . Như vậy , theo định

nghĩa ta có:

( )b

a

f x dx∫ = 0 1

lim ( )ξ→

=

Δ∑n

k kd kf x . (6.1.5)

Trong trường hợp này hàm f được gọi là khả tích theo Riman trên [a,b]. Số a và b được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân, hàm f - hàm dưới dấu tích phân và biểu thức

( )f x dx - biểu thức dưới dấu tích phân.

Trong định nghĩa trên thực chất ta đã giả thiết rằng a <b. Chúng ta hãy mở rộng khái niệm tích phân xác định trong trường hợp a = b và a > b.

Khi a > b, theo định nghĩa, ta có:

( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx= −∫ ∫ .

(6.1.6)

Khi a = b, theo định nghĩa, ta có:

148

148

( )a

a

f x dx∫ = 0. (6.1.7)

Đẳng thức (6.1.7) nghĩa là tích phân xác định với các cận bằng nhau bằng 0. Bởi vì tổng tích phân (6.1.3) không phụ thuộc vào chữ cái dùng để kí hiệu đối số của hàm đã cho, nên giới hạn của nó, tức là tích phân xác định không phụ thuộc vào kí hiệu biến số tích phân:

( )b

a

f x dx∫ = ( )b

a

f t dt∫ = ( )b

a

f z dz∫ ,v.v...

(6.1.8)

Ví dụ 1: Cho ( )f x = 1, x∀ ∈[a,b].

Với mọi phân điểm T = { kx } của đoạn [a,b] và với mọi cách chọn kξ , ta có:

1( )σ ξ

=

= Δ∑n

n k kk

f x = 11.

=

Δ∑n

kk

x = b−a

Suy ra: 0

lim ndσ

→ = b − a.

Do đó: b

a

dx∫ = b− a.

6.1.4 Ý nghĩa hình học của tích phân xác định

Theo định nghĩa tích phân xác định vừa nói trên, diện tích hình thang cong được tính theo công thức:

S = ( )b

a

f x dx∫ . (6.1.9)

Bây giờ ta hãy đưa ra điều kiện cần và đủ để hàm khả tích.

6.2 Điều kiện khả tích

6.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích

Định lí 6.2.11 Nếu hàm f khả tích trên đoạn [a,b] thì nó bị chặn trên đoạn này.

Chứng minh: Ta giả sử ngược lại rằng hàm f không bị chặn trên [a,b]. Bởi vì hàm f không bị chặn trên [a,b] nên với phân điểm T bất kì của đoạn [a,b], hàm f không bị chặn ít nhất trên một đoạn con nào đó. Để đơn giản cho việc chứng minh, ta giả sử nó không bị chặn trên [ 0x , 1x ]. Khi đó trong các đoạn còn lại [ 1x , 2x ], [ 2x , 3x ], …, [ 1nx − , nx ] ta hãy chọn các điểm tùy ý 1ξ , 2ξ , …, 2ξ và kí hiệu:

2 2 3 3' ( ) ( ) ... ( )n nf x f x f xσ ξ ξ ξ= Δ + Δ + + Δ . (6.2.1)

Do f không bị chặn trên đoạn [ 0x , 1x ], nên với mọi M>0, ta chọn được 1ξ ∈[ 0x , 1x ] sao cho:

149

149

| 1( )f ξ |≥1

| ' || |

Mx

σ +Δ

. (6.2.2)

Khi đó,| 1( )f ξ |. 1| |xΔ ≥ | ' | Mσ + và tổng tích phân tương ứng

1 1| | | ( ) ' |n f xσ ξ σ= Δ + ≥ 1 1|| ( ) || | | ' ||f xξ σΔ − ≥ M (6.2.3)

Do đó, tổng tích phân nσ không thể có giới hạn hữu hạn, điều này nghĩa là tích phân xác định của hàm f không tồn tại.

Nhận xét: Định lí trên chỉ là điều kiện cần mà không phải điều kiện đủ để hàm số là khả tích, nghĩa là tồn tại hàm số bị chặn mà không khả tích. Ví dụ, ta hãy xét hàm Dirichlet D: → được cho dưới dạng:

1 nÕu h÷u tØ( )

0 nÕu v« tØx

D xx

⎧= ⎨⎩

Với a ≠ b, hàm D không khả tích trên [a,b], bởi vì với phân điểm T = { }kx tùy ý:

11

1 1 21

1 11

( )( )

( ) ,nÕu , ,..., h÷u tØ

0.( ) 0,nÕu ... v« tØ.

n

n k k kk

n

k k nkn

k k nk

D x x

x x b a

x x

σ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ

−=

−=

−=

= − =

⎧− = −⎪

⎪= ⎨⎪ − =⎪⎩

∑

∑

∑

Do đó tổng tích phân nσ không thể tiến đến giới hạn hữu hạn.

6.2.2 Các tổng Darboux

Giả sử hàm f xác định và bị chặn trên [a,b]. Khi đó tồn tại các hằng số m và M sao cho:

m ≤ ( )f x ≤ M, x∀ ∈ [a,b] .

Ta xét phân điểm T = { }kx của đoạn [a,b]. Kí hiệu:

km =1[ , ]

inf ( )k kx x xf x−∈

, kM =1[ , ]

sup ( )k kx x xf x−∈

, kω = kM − km . Đại lượng kω gọi là dao động của f trên

1[ , ]k kx x− . Tổng

nS = k=1

n

k km xΔ∑ , nS = k=1

n

k kM xΔ∑ (6.2.4)

lần lượt gọi là tổng tích phân Darboux dưới và tổng tích phân Darboux trên của hàm ( )f x trên đoạn [a,b] tương ứng với phân điểm T của đoạn [a,b].

Nếu { }kx là một phân điểm của đoạn [a,b], ta có bất đẳng thức sau:

nS ≤ nσ ≤ nS . (6.2.5)

150

150

6.2.3 Các tính chất của tổng tích phân Darboux

Tính chất 1: Tổng tích phân Darboux trên (dưới) tương ứng với phân điểm { }kx của đoạn [a,b] là cận trên (dưới) đúng của các tổng tích phân Riman tương ứng với cách chọn các điểm khác nhau kξ ∈ [ ]1,k kx x− , k = 1,n , tức là:

nS = 1 2( , ,..., )

supn

nξ ξ ξ

σ , nS = 1 2( , ,..., )inf

n

nξ ξ ξ

σ . (6.2.6)

Do bất đẳng thức (6.2.5) ta chỉ cần chứng minh rằng có thể tìm được: *1ξ , *

2ξ ,..., *nξ sao

cho:

*

1( )

n

k kk

f xξ=

Δ∑ > nS − ε .

Thật vậy, theo định nghĩa các số kM , ta có thể tìm được *kξ ∈ [ ]1,k kx x− sao cho:

( * )kf ξ > kM − b aε−

.

Khi đó: *

1( )

n

k kk

f xξ=

Δ∑ > 1

n

k kk

M x=

Δ∑ − b aε− 1

n

kk

x=

Δ∑ = nS − ε

suy ra phần đầu của tính chất 1 được chứng minh. Phần thứ hai được chứng minh tương tự.

Tính chất 2: Khi tăng số điểm chia trong phân điểm T = { }kx thì tổng tích phân Darboux dưới tăng lên và tổng trên giảm đi.

Chứng minh: Giả sử T’ nhận được từ T bởi thêm điểm chia 'ix [ ]1,i ix x−∈ . Khi đó:

nσ = #

( )j jj i

f xξ Δ∑ + ( )i if xξ Δ .

Theo định nghĩa:

( )nS T = #

j jj i

m xΔ∑ + 1( )i i im x x −− ,

trong đó: [ ]1 ,inf

i i

ix x

m f−

= .

( )nS T ′ = #

j jj i

m xΔ∑ + 1* ( ' ) ** ( ' )i i i i i im x x m x x−− + −

trong đó: [ ]1 , '

* infi i

ix x

m f−

= , [ ]' ,

** inf=i ix x

m f .

Do *im ≥ im , **im ≥ im nên:

( ')nS T ≥#

j jj i

m xΔ∑ + 1( ' ) ( ' )i i i i i im x x m x x−− + − = ( )nS T .

Tương tự, ta chứng minh: ( ') ( )n nS T S T≤ .

151

151

Tính chất 3: Gọi 11,S S là tổng dưới, tổng trên ứng với phân điểm 1T và 22 ,S S là tổng dưới,

tổng trên ứng với phân điểm 2T . Khi đó: 21S S≤ .

Chứng minh:

Gọi T phân điểm thứ ba có được bằng cách hợp tập các điểm chia của phân điểm 1T và

của phân điểm 2T . Gọi S , S lần lượt là tổng trên tổng dưới của phân điểm T. Khi đó:

21S S S S≤ ≤ ≤ .

Suy ra:

21S S≤ .

Từ tính chất 2 và tính chất 3 suy ra rằng tập hợp các tổng tích phân dưới { }nS ứng với các phân điểm T khác nhau của đoạn [a,b] là một tập hợp bị chặn trên, (ví dụ bởi tổng tích phân trên bất kì) nên có cận trên đúng hữu hạn:

{ }* *sup ,n nI S I S= ≥ . (6.2.7)

Tương tự tập hợp các tổng trên { }nS bị chặn dưới, nên nó có cận dưới đúng:

{ }* * **inf ,n nI S I S I I= ≤ ≥ vµ (6.2.8)

Hiển nhiên ta có bất đẳng thức:

** nnS I I S≤ ≤ ≤ . (6.2.9)

6.2.4 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định

Định lý 6.2.4 Để hàm bị chặn ( )f x khả tích trên đoạn [a,b] điều kiện cần và đủ là:

max kkd x= Δ , ( )

0lim 0n nd

S S→

− = . (6.2.10)

Điều kiện (6.2.10) nghĩa là:

0, ( ) 0ε δ δ ε∀ > ∃ = > , sao cho nếu δ<d thì:

ε− <n nS S . (6.2.11)

không phụ thuộc vào cách chọn các điểm 1,ξ −⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦k k kx x .

Chứng minh:

Điều kiện cần: Giả sử ( )f x khả tích trên [a,b], khi đó tồn tại giới hạn:

0limσ

→=n

dI { }∀ = kT x , 1,k k kx xξ −⎡ ⎤∀ ∈⎣ ⎦ , 1,k n=

tức là 2ε

∀ , 0δ∃ > sao cho nếu d δ< thì

152

152

2 2nI Iε εσ− < < + T∀ (6.2.12)

1 2, ...,ξ ξ ξ∀ n .

Từ tính chất 1 và tính chất 2

11,

n[ , ]

inf sup2 2ξξ

ε εσ σ−− ∈⎡ ⎤∈⎣ ⎦

− ≤ ≤ ≤ +k k kk k k

nx xx x

I I (6.2.13)

2 2ε ε

− ≤ ≤ ≤ +n nI S S I . (6.2.14)

Từ (6.2.13) và (6.2.14)

0 ε≤ − <n nS S ∀T sao cho δ<d suy ra

( )0

lim 0n ndS S

→− = .

Điều kiện đủ: Giả sử: ( )0

lim 0n ndS S

→− = . (6.2.15)

Khi đó tồn tại giới hạn:

0 0lim lim nnd d

S S→ →

= (6.2.16)

Từ đây với (6.2.9) suy ra: **I I=

Đặt: I = **I I=

Ta nhận được: nnS I S≤ ≤ (6.2.17)

Mặt khác: nn nS Sσ≤ ≤ ∀ [ ]1,k k kx xξ −∈ (6.2.18)

Suy ra:

( )n nn nnS S I S Sσ− − ≤ − ≤ − { }kT x∀ = , [ ]1,k k kx xξ −∀ ∈

Theo (6.2.16) ta thu được 0

limσ→

=ndI , tức là tích phân xác định tồn tại.

6.3 Các lớp hàm khả tích

Trong phần này chúng ta xét một vài lớp hàm khả tích, tức là các hàm mà tích phân xác định của nó tồn tại. Trước hết ta hãy viết điều kiện (6.2.10) dưới dạng khác.

Ký hiệu k k kM mω = − , ta có

( )1 1

n n

n n k k k k kk k

S S M m x xω− −

− = − Δ = Δ∑ ∑ .

Từ đây ta suy ra điều kiện (6.2.10) có dạng:

10lim 0n

k k kdxω=→

∑ Δ = . (6.3.1)

153

153

Định lí 6.3.1 Nếu ( )f x liên tục trên [a,b] thì ( )f x khả tích trên [a,b].

Chứng minh: Do ( )f x liên tục trên [a,b] nên liên tục đều trên [a,b], tức là: 0ε∀ > , 0δ∃ >

, [a,b]x x′ ′′∀ ∈ sao cho x x δ′ ′′− < thì ( ) ( )f x f x ε′ ′′− < .

Vì thế, 0ε∀ > , có thể tìm được 0δ > sao cho nếu chia đoạn [a,b] thành những đọan nhỏ có độ dài kxΔ <δ ( 1, )k n= , thì tất cả:

k b aεω <−

( 1, )k n= .

Từ đây đối với phân điểm bất kì { }kx với đường kính d<δ ta có:

1

n

k kk

xω=

Δ∑ <b aε− 1

n

kk

x=

Δ∑ =b aε−

(b a− ) =ε .

Theo định lí 2 6.2.2 hàm ( )f x khả tích trên [a.b].

Điều kiện của định lí 1 là quá khắt khe đối với hàm dưới dấu tích phân. Chúng ta hãy phát biểu( không chứng minh) các định lí yêu cầu những điều kiện tồn tại yếu hơn của tích phân xác định.

Định lí 6.3.2 Hàm bị chặn và có cùng lắm một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một trên [a,b] thì khả tích trên [a,b].

Ví dụ 1: Xét hàm số

1 khi 00 khi 0

1 khi 0

⎧⎪= ⎨⎪−⎩

x >y x =

x <

trên đoạn [–1,1] (Hình 6.3.1)

Hàm số y chỉ có một điểm gián đoạn loại một x = 0. Theo định lí trên nó khả tích. Về phương diện hình học rõ ràng rằng:

I=1

2 11

0ydx S S−

= − =∫ .

Hình 6.3.1

154

154

Từ ví dụ trên, ta thấy rằng tính liên tục của hàm số dưới dấu tích phân không phải là điều kiện cần để hàm số khả tích.

Định lí 6.3.3 Hàm ( )f x đơn điệu, bị chặn trên [a,b] thì khả tích trên đoạn này .

Ví dụ 2: Tính tích phân I =b

x

a

e dx∫ (0 < a < b).

Giải: Bởi vì hàm f = xe liên tục trên [a,b], nên theo định lí 6.3.1 tích phân trên tồn tại. Để tính tích phân ta hãy chia đoạn [a,b] thành n phần bằng nhau.

ib ax x

n−

Δ = = Δ .

Khi đó max 0ixΔ → khi n →∞ , ta chọn

1 a xξ = + Δ , 2 2a xξ = + Δ ,..., i a i xξ = + Δ ,…,

( )1 1n a n xξ − = + − Δ ,

n a n xξ = + Δ

và lập tổng tích phân: 1 1

0 0( )

n na i x

n i ii i

f x e xσ ξ− −

+ Δ

= =

= Δ = Δ∑ ∑

( )( )12 ... a n xa a x a xx e e e e + − Δ+Δ + Δ= Δ + + + +

nσ = ( )( )11 ... n xa xe x e e − ΔΔΔ + + + = 11

b aa

x

ee xe

−

Δ

−Δ

−

do b axn−

Δ =

nσ =11

b aa

x

ee xe

−

Δ

−Δ

− =

1

a b

x

e exeΔ

−Δ

−.

Theo định nghĩa:

( ) ( )( )0

lim 11

bx a b a b

xxa

xe dx e e e eeΔΔ →

Δ= − = − −

−∫

hay b

x

a

e dx∫ = ( )b ae e− .

6.4 Các tính chất cơ bản của tích phân

6.4.1 Các tính chất của tích phân xác định

155

155

Định lí 6.4.1 (Tính chất tuyến tính): Nếu f, g là hai hàm khả tích trên [a,b] thì f gα β+ , trong đó ,α β = const, cũng khả tích trên [a,b] và:

( )( ) ( ) ( ) ( )α β α β+ = +∫ ∫ ∫b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx . ( 6.4.1)

Chứng minh: Với phân điểm T bất kì và với cách chọn tùy ý ( [ ]1,k k kx xξ −∈ ) ta có

[ ] ( )0 1

( ) ( ) lim ( )α β α ξ β ξ→

=

+ = + Δ⎡ ⎤⎣ ⎦∑∫b n

k k kd ka

f x g x dx f g x

0 01 1

lim ( ) lim ( )n n

k k k kd dk kf x f xα ξ β ξ

→ →= =

= Δ + Δ∑ ∑

Do f, g khả tích trên [a,b] nên:

[ ]( ) ( )b

a

f x g x dxα β+∫ = ( ) ( )b b

a a

f x dx g x dxα β+∫ ∫ , đpcm.

Định lí 6.4.2 Nếu f. g là hai hàm khả tích trên [a,b] thì tích của hai hàm g. f cũng khả tích trên [a,b].

Định lí 6.4.3 (Tính chất cộng của tích phân): Cho ba đoạn [a,b], [a,c] và [c,b]. Nếu ( )f x khả tích trên đoạn có độ dài lớn nhất thì nó cũng khả tích trên hai đoạn còn lại và

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ . (6.4.2)

Chứng minh: a) Trước hết giả sử a < c < b và ( )f x khả tích trên [a,b]. Xét phân điểm T trong đó c được chọn làm điểm chia. Khi đó:

b c b

k k k k k ka a c

x x xω ω ωΔ = Δ + Δ∑ ∑ ∑ . (6.4.3)

Vì 0, 0k k k kM m xω = − > Δ > nên vế trái của (6.4.3) tiến tới không kéo theo hai tổng ở vế phải cũng dẫn tới không. Do đó f khả tích trên [a,c] và [c,b] .

Mặt khác:

( ) ( ) ( )b c b

k k k k k ka a c

f x f x f xξ ξ ξΔ = Δ + Δ∑ ∑ ∑

Trong cả hai vế của đẳng thức trên cho 0d → ta được

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ .

b) Giả sử b< a < c và ( )f x khả tích trên [b,c]. Khi đó theo chứng minh trên ( )f x khả tích trên [b,a], và [a,c], ta có

156

156

( ) ( ) ( )c a c

b b a

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ .

Chuyển vế ta được.

( ) ( ) ( )a c c

b b a

f x dx f x dx f x dx− = − +∫ ∫ ∫

hay ( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ , (đpcm).

Định lí 6.4.4: Tính khả tích và giá trị của tích phân không thay đổi nếu ta thay đổi giá trị của nó tại một số hữu hạn điểm.

Định lí 6.4.5: Giả sử ( )f x khả tích trên [a,b]

a) Nếu ( )f x 0≥ x∀ ∈[a,b], a<b , thì ( ) 0b

a

f x dx ≥∫ 6.4.4)

b) Nếu ( )f x >0 x∀ ∈[a,b], a<b , thì ( )b

a

f x dx∫ >0. (6.4.5)

Chứng minh: Ta hãy chứng minh tính chất a)

Xét tổng tích phân bất kì của hàm ( )f x trên [a,b].

1( )

n

n k kk

f xσ ξ=

= Δ∑

Bởi vì ( ) 0kf ξ ≥ , 1 0k k kx x x −Δ = − > , k=1,2,…,n

nên 0

lim 0ndσ

→≥ và ta có ( ) 0

b

a

f x dx ≥∫ .

Định lí 6.4.6 (Tính đơn điệu):

Nếu [ ]( ) ( ), ,f x g x x a b≤ ∀ ∈ thì

( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx≤∫ ∫ . (6.4.6)

Chứng minh: Theo giả thiết ( )g x − ( )f x ≥ 0 x∀ ∈[a,b] ta có [ ]( ) ( ) 0b

a

g x f x dx− ≥∫ .

Mặt khác theo tính chất tuyến tính

[ ]( ) ( )b

a

g x f x dx−∫ = ( )b

a

g x dx∫ − ( )b

a

f x dx∫ ≥ 0.

Từ đây suy ra điều phải chứng minh.

157

157

Định lí 6.4.7 Nếu ( )f x khả tích trên [a,b], thỡ ( )f x khả tích trên [a,b] và

( ) ( )b b

a a

f x dx f x dx≤∫ ∫ . (6.4.7)

Chứng minh: Trước hết ta hãy chứng minh ( )f x khả tích. Do

( ) ( ) ( ) ( )f x f y f x f y− ≤ − , [a,b]x y∀ ∈ , nên

( )[ ]

[ ]( )

1

1

k,

k,

, ( ) sup ( ) ( )

sup ( ) ( ) ,

ω

ω−

−

≤ −

≤ − =k k

k k

x x

x x

T f x f x f x

f x f y T f

suy ra:

( ) ( ) ( ) ( )k k1 1

, , , ,n n

k kk k

T f T f x T f x T fω ω ω ω= =

= Δ ≤ Δ =∑ ∑

Từ đây ta thấy:

( ) ( )0 lim , lim , 0T f T fω ω≤ ≤ = , nên ( )lim ,T fω =0.

Vậy f khả tích trên [a,b]

Hơn nữa ( ) ( ) ( )f x f x f x− ≤ ≤

Theo định lí 6.4.6. Ta nhận được

( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x dx f x dx f x dx− ≤ ≤∫ ∫ ∫

⇒ ( ) ( )b b

a a

f x dx f x dx≤∫ ∫ (đpcm).

Định lí 6.4.8 (Đánh giá tích phân xác định): Nếu m và M tương ứng là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm ( )f x trên [a,b], a < b, thì:

m(b–a)≤ ( )b

a

f x dx∫ ≤M(b–a). (6.4.8)

Chứng minh: Theo giả thiết ( )m f x M≤ ≤ [ ],x a b∀ ∈

Suy ra: mb

a

dx∫ ≤ ( )b

a

f x dx∫ ≤Mb

a

dx∫

Hay m(b–a)≤ ( )b

a

f x dx∫ ≤ M(b – a).

158

158

Ví dụ: Chứng minh 2

1

0

1 1xe dxe

−≤ ≤∫ .

Giải: Do f =2xe− đơn điệu giảm trên [0,1] nên

21 0xe e e− −≤ ≤

hay 21 1xe

e−≤ ≤ .

Từ bất đẳng thức (6.4.8) ta nhận được.

( ) ( )21

0

1 1 0 1 1 0xe dxe

−− ≤ ≤ −∫ .

6.4.2 Các định lí giá trị trung bình

Định lí giá trị trung bình thứ nhất: Giả sử ( )f x là khả tích trên [a,b], (a<b) và [ ]a,binfm f= ,

[ ],s up .=

a bM f Khi đó μ∃ , m Mμ≤ ≤ sao cho

( )( )b

a

f x dx b aμ= −∫ . (6.4.9)

Chứng minh: Theo giả thiết ( ) 0− ≥M f x và ( ) 0− ≥f x m x∀ [a,b]∈ ta có

( )( ) 0− ≥∫b

a

M f x dx và ( )( ) 0− ≥∫b

a

f x m dx

Suy ra ( ) ( )( )b

a

m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫

Hay 1 ( )b

a

m f x dx Mb a

≤ ≤− ∫ .

Đặt 1 ( )b

a

f x dxb a

μ =− ∫ . (6.4.10)

Từ đây ta thấy m Mμ≤ ≤ và ( )( )b

a

f x dx b aμ= −∫ . Số μ được xác định bởi công thức

(6.4.10) được gọi là giá trị trung bình của hàm ( )f x trên [a,b].

Hệ quả: Nếu ( )f x liên tục trên [a,b] thì c∃ ∈ [a,b] sao cho

( )( )( )b

a

f x dx f c b a= −∫ . (6.4.11)

159

159

Từ công thức (6.4.11) suy ra rằng giá trị trung bình của hàm ( )f x liên tục trên [a,b] bằng giá trị ( )f c của hàm dưới dấu tích phân, trong đó c là điểm nào đó, c thuộc đoạn [a,b].

Định lí giá trị trung bình thứ hai: Giả sử

a) ( )f x và tích ( )f x ( )g x khả tích trên [a,b], a<b

b) ( )m f x M≤ ≤ [ , ],x a b∀ ∈

c) ( )g x không đổi dấu trên [a,b] .

Khi đó với m Mμ≤ ≤

( ) ( ) ( )b b

a a

f x g x dx g x dxμ=∫ ∫ (6.4.11)

Đặc biệt nếu ( )f x liên tục trên [a,b] thì với c∈[a,b]

( ) ( )b

a

f x g x dx∫ = ( )f c ( )b

a

g x dx∫ . (6.4.12)

Chứng minh:

Giả sử ( )g x ≥ 0 với a< b.

Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )mg x f x g x Mg x≤ ≤ ,

Suy ra: m ( )b

a

g x dx∫ ≤ ( ) ( )b

a

f x g x dx∫ ≤M ( )b

a

g x dx∫ . (6.4.13)

Ngoài ra do ( )g x ≥ 0 nên ( )b

a

g x dx∫ ≥ 0.

a) Nếu ( )b

a

g x dx∫ =0, công thức (6.4.11) hiển nhiên đúng

b) Nếu ( )b

a

g x dx∫ >0, chia cả hai vế (6.413) cho ( )b

a

g x dx∫ ta được

1 ( ) ( )( )

b

ba

a

m f x g x dx Mg x dx

≤ ≤∫∫

.

Đặt ( ) ( )

( )

b

ab

a

f x g x dx

g x dxμ =

∫

∫, ta có m Mμ≤ ≤ suy ra điều phải chứng minh

6.5 Nguyên hàm và tích phân xác định

160

160

Trong ví dụ 1 của mục 6.1 và và ví dụ 2 của mục 6.3 ta thấy rằng nếu chỉ dùng định nghĩa để tính tích phân xác định thì khối lượng tính toán rất cồng kềnh. Trong mục này ta sẽ đưa ra cách tính tích phân thuận tiện hơn.

6.5.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1 Cho hàm f: [a,b] →

Hàm số khả vi F: [a,b] → gọi là nguyên hàm của ( )f x trên [a,b] nếu

( ) ( )F x f x′ = x∀ ∈ [a,b] (6.5.1)

Tập hợp tất cả các nguyên hàm của ( )f x , kí hiệu là

( )f x dx∫ (6.5.2)

gọi là tích phân không xác định của ( )f x .

Định nghĩa 2 Cho ( )f x khả tích trên [a,b], khi đó x∀ ∈ [a,b] hàm ( )f x khả tích trên [a,x] (hình 6.5.1). Ta có thể xét hàm sốφ :[a,b] → cho bởi

( ) ( )x

a

x f t dtφ = ∫ . (6.5.3)

Hàm ( )xφ gọi là tích phân xác định như hàm của cận trên.

Hình 6.5.1

6.5.2 Tích phân xác định như hàm của cận trên

Định lí 6.5.1 Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì φ là một nguyên hàm của f, tức là

( )xφ′ = ( )f x x∀ ∈ [a,b]. (6.5.4)

Chứng minh: Cho x∈ [a,b], với h đủ bé theo định lý trung bình thứ nhất ta có

( ) ( ) ( ) ( )φ φ+

+ − = −∫ ∫x h x

a a

x h x f t dt f t dt ( )+

= ∫x h

x

f t dt

[ ]( ) ( ) ( ) .φ φ+ − =x h x f c h h (6.5.5)

161

161

trong đó [ ]( ) ,c h x x h∈ +

Suy ra ( ) ( )0 0

( )( ) lim lim

h h

x h xx f c h

hφ φ

φ→ →

+ −′ = = =⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )f x (khi ( )0,h c h x→ → )

Vậy ( )xφ là nguyên hàm của ( )f x .

Định lí 6.5.2 Nếu ( )f x khả tích trên [a,b] thì ( )xφ liên tục trên [a,b]

Chứng minh: Lấy x tùy ý, x∈[a,b] . Cho x một số gia tùy ý x hΔ = sao cho x + h∈[a,b]. Khi đó theo định nghĩa ta có:

( )x hφ + ( )x h

a

f t dt+

= ∫ = ( )x

a

f t dt∫ + ( )x h

x

f t dt+

=∫ ( )xφ + ( )x h

x

f t dt+

∫

Theo định lí giá trị trung bình:

( )x hφ + − ( )xφ ( )+

= ∫x h

x

f t dt = hμ (6.5.6)

trong đó m Mμ′ ′≤ ≤ với [ ]in′ =

x,x+hm f ,

[ ]sup′ =x,x+h

M f

Gọi [ ] [ ], ,in , sup= =a b a b

m f M f . Hiển nhiên m Mμ≤ ≤ . Bây giờ cho 0h → , hiển nhiên có:

( )x hφ + ( )φ− x 0→ , hay là ( )x hφ + → ( )xφ , điều này chứng tỏ tính liên tục của ( )xφ .

Định lí 6.5.3 Giả sử ( )f x liên tục trên [a,b], còn ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x . Khi đó:

( )b

a

f x dx∫ = ( ) ( ) ( )− = b

aF b F a F x (6.5.7)

Chứng minh: Ta thấy ( )xφ = ( )x

a

f t dt∫ là một nguyên hàm của f. Do đó: ∃ ∈C sao cho

( )x

a

f t dt∫ ( )F x= +C. (6.5.8)

Thay x = a vào (6.5.8) ta được C =− ( )F a . Do đó

( )x

a

f t dt∫ ( ) ( )F x F a= − . (6.5.9)

Thay x = b vào (6.5.9) ta có

( )b

a

f x dx∫ = ( ) ( )F b F a−

Công thức (6.5.7) gọi là công thức Newton – Leibnitz.

Ví dụ 1:

162

162

1 12

2 00

1 1 2 11

ln ln( ) lndx x xx

= + + = + −+

∫ 1 2ln( )= + .

Ví dụ 2: Tìm giá trị trung bình của hàm y = sinx trên đoạn [ ]0,π , ta có

( )0

0

1 1 2( ) sin osf c xdx cπ

π

π π π= = − =∫ x .

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của tích phân sau

a) 2sinx

a

d t dtdx ∫ b) 21

b

a

d t dtda

+∫ c) 2sinb

a

d x dxdx ∫ .

Giải: a) 2sinx

a

d t dtdx ∫ = 2sin x .

b) 21bd t dt

da a+∫ = 2 21 1

a

b

d t dt ada

⎛ ⎞− + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ .

c) 2sinb

a

d x dxdx ∫ = 0.

6.6 Tính tích phân xác định

6.6.1 Phép đổi biến trong tích phân xác định

Giả sử để tính tích phân ( )b

a

f x dx∫ , trong đó ( )f x liên tục trên [a,b] ta cần đưa vào biến số

mới

( )x tϕ= , [ ],t α β∀ ∈ (6.6.1)

trong đó ( )tϕ là hàm khả vi liên tục trên [ ],α β và ( ) aϕ α = , ( ) bϕ β = .

Giả sử ( )F x là nguyên hàm của ( )f x , tức là ( )f x dx∫ ( )F x= +C.

Sử dụng phép đổi biến (6.6.1) ta được dx = ( )t dtϕ′ và

[ ] [ ]( ) ( ) ( )f t t dt F t Cϕ ϕ ϕ′ = +∫ .

Sử dụng công thức Newton – Leibnitz ta được

( )b

a

f x dx∫ = ( ) b

aF x = ( ) ( )F b F a− (6.6.2)

và [ ] [ ]( ) ( ) ( )f t t dt F tβ

β

αα

ϕ ϕ ϕ′ =∫

163

163

= [ ] [ ]( ) ( )F Fϕ β ϕ α− = ( ) ( )F b F a− (6.6.3)

Từ (6.6.2) và (6.6.3) suy ra công thức

( )b

a

f x dx∫ = [ ]( ) ( )β

α

ϕ ϕ′∫ f t t dt . (6.6.4)

Ví dụ 1: a) Tính tích phân 2 2 21

0

a

I x a x dx= −∫

Đặt: .sin , . ostdtx a t dx a c= =

( )4 42 2 2

4 2 2 2

0 0 0

I=a sin os sin 2 1 os4t4 8a atc tdt tdt c dt

π π π

= = − =∫ ∫ ∫

=4 42

0

sin 48 4 16

π

π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

a t at .

b) 2

22

0

s inx.cosI xdx

π

= ∫ .

Ta thấy 10 1 32

2 22

0 1 0 0

1os dcos3 3

π

= − = − = = =∫ ∫ ∫uI c x x u du u du .

c) Tính ( )

23

3 2

4

1 tg1 tg

π

π

+=

+∫xI dx

x

đặt 2

1tg arctgu, d =1+u

= ⇒ =u x x x du

( ) ( )

33 32

3 2 2211 1

1 11 11 1

u du duIu uu u

+= = = −

+ ++ +∫ ∫

1 1 2 32 23 1

−⎡ ⎤= − − =⎢ ⎥+⎣ ⎦.

d) Tính 2

40 2 os +3

π

= ∫dxI

c x. Đặt tg

2=

xt 2arctg ,⇒ =x t 2

2d =1+

xt

1 12

4 2 20 0

2

221

1 52 31

tI dt dtt tt

+= =− +++

∫ ∫

164

164

1

0

2 2 1arctg arctg5 5 5 5

t= =

e) Tính 2

5 2 2 2 20 sin os

dxIa x b c x

π

=+∫ (a,b>0)

5I( )

2

2 2 2 20 cos tg

π

=+∫

dxx a x b

2 2

22 2 2 220 0

2

tg 1 tgbtg +b tg +

π π

= =∫ ∫d x d x

a x a xa

2

2

0

1 1 tg 1. .arctg 02 2

π

π π⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

xb ba ab aba a

.

6.6.2 Phép lấy tích phân từng phần

Giả sử ( )u x và v( )x là hai hàm khả vi liên tục trên [a,b]. Ta có ( )v v v′ ′ ′= +u u u Từ đây

v ( v) v′′ ′= −u u u .

Lấy tích phân hai vế của công thức này từ a đến b ta nhận được

( )v v v′′ ′= −∫ ∫ ∫b b b

a a a

u dx u dx u dx .

hay

v v v= −∫ ∫b b

b

aa a

ud u du . (6.6.5)

Công thức (6.6.5) được gọi là công thức tích phân từng phần.

Ví dụ 2: a) Tính 4

1 30

s incos

π

= ∫x xI dx

x

Đặt

-33 3 2

s in s in 1, cos cos =os cos 2cos

= = ⇒ = = −∫ ∫x xu x dv dx v dx xd x

c x x x

444

1 2 2 00 0

1 1 1 1tg2cos 2 cos 4 2 4 2

ππππ π

= − = − = −∫xI dx x

x x.

b) Tính 1

20

( )I xf x dx′′= ∫

165

165

1 11 1

2 0 00 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ ′ ′ ′= = − = −∫ ∫I xd f x xf x f x dx f x f x

(1) (1) (0)f f f′= − + .

c) Tính 1

43

0

arcsinI xdx= ∫

Đặt arcsin sin , ostdtt x x t dx c= ⇒ = =

2 24 4

30 0

ost dsinI t c dt t t

π π

= =∫ ∫2

4 320

0

sin 4 sint t t tdt

ππ

= − ∫

4 2 34 cos16 0

π

π= + ∫ t d t

4 42 23 2 22

3 00 0

4 ost 3 ost 12 sin16 16|

π πππ π

⎡ ⎤⎢ ⎥= + − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫I t c t c dt t d t

4 42 22 2

00 0

12 sin 2 sin 3 24 os16 16

π π

ππ π π⎡ ⎤⎢ ⎥= − − = − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫t t t tdt tdc t

4 42 22 22

00 0

3 24. cos ost 3 24 ost16 16

π πππ ππ π

⎡ ⎤⎢ ⎥= − − − = − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫t t c dt c dt

4

23 3 24

16π π= − +I

Ví dụ 3: Tính tích phân ( )2 2a

n

a

I x a dx−

= −∫ với n nguyên dương

Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) 111

+

− −

= − + = − ++∫ ∫

a an n n n

a a

I x a x a dx x a d x an

( ) ( ) ( ) ( )1 1 111

+ + −

−−

⎡ ⎤= − + − + −⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

∫aan n n n

aa

x a x a n x a x a dxn

( )( ) ( ) ( )1 2

1 2− +

−

−= − +

+ + ∫a

n n

a

nI x a d x an n

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 211 2

− + + −

−−

⎡ ⎤−= − + − − + −⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦

∫aan n n n

aa

n x a x a n x a x a dxn n

166

166

………………………………………………………………….

( ) ( )( )( ) ( )

2 1

1 !1 2 ... 2 1

+

−

+= −

+ + +

ann

a

x an

n n n

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2 1 2 2 12 1 ! 21 !

1 2 ... 2 1 2 1 !

+ +−= − =

+ + + +

n n nn a n a

I nn n n n

.

Ví dụ 4: Xây dựng công thức truy hồi cho các tích phân

2

0

sinnnI xdx

π

= ∫ và 2

0

osnnJ c xdx

π

= ∫ .

Giải: Trong tích phân nJ ta sử dụng phép đổi biến

2

x t dx dtπ= − ⇒ = − , ta có

0 2

02

os sin2

n nn nJ c t dt tdt I

π

π

π⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

Vì lí do đó ta chỉ xây dựng công thức truy hồi cho tích phân nI

2 21 1

0 0

sin sin sin cosn nnI x xdx xd x

π π

− −= = −∫ ∫

( )2

1 220

0

sin cos 1 cos sin cosn nnI x x n x x xdx

ππ

− −

⎡ ⎤⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

( ) ( )2

2 2

0

1 sin 1 sin

π

−= − −∫ nn x x dx

Suy ra: ( ) ( )21 1n n nI n I n I−= − − − hay 21

n nnI I

n −−

=

Từ đây ta nhận được công thức:

2 22

0 0

1sin sinn nnxdx xdxn

π π

−−=∫ ∫ với n>1. (6.6.6)

Áp dụng liên tiếp công thức (6.6.6) đối với tích phân ở vế phải ta được

167

167

2 22

0 0

2 1 2 3 3 1sin . ... .2 2 2 4 2

m m mxdx dxm m

π π

− −=

−∫ ∫

2 22 1

0 0

2 2 2 4 2sin . ... . sin2 1 2 1 5 3

m m mxdx xdxm m

π π

+ −=

+ −∫ ∫

22

0

2 1 2 3 3 1sin . ... . .2 2 2 4 2 2

π

π− −=

−∫ m m mxdxm m

(6.6.7)

Và 2

2 1

0

2 2 2 4 2sin . ... .2 1 2 1 5 3

m m mxdxm m

π

+ −=

+ −∫ . (6.6.8)

Ví dụ 5: Xây dựng công thức truy hồi cho tích phân:

2a

0

sin

π

= ∫ x nnI e xdx .

Giải: Ta thấy 2

a

0

1 sin

π

= ∫ n xnI xde

a

2a a 12

00

1 sin sin os

ππ

−

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫n x x nxe n e xc xdxa

2a 1 a22

0

1 sin os

ππ

−= − ∫ n xne xc xdea a

a21

=π

I ea ( )

2a 1 a 2 2 12

2 00

sin os 1 sin cos sin sin

ππ

− − −

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤− − − −⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

∫x n x n nn e xc x e n x x x x dxa

= ( )2 2a a 2 2 a2

2 20 0

1 1 sin os sin

π ππ

−+ − −∫ ∫x n x nn ne n e xc xdx e xdxa a a

( ) ( )2a a 2 22

20

11 sin 1 sin

ππ

−−= + −∫ x n

n

n nI e e x x dx

a a

2a

20

sin

π

− ∫ x nn e xdxa

( ) 2a a 222

0

11 sin

ππ

−−= + −∫ x n

n

n nI e e xdx

a a ( ) 2 2

a a2 2

0 0

1sin sin

−−∫ ∫

π π

x n x nn n ne xdx e xdxa a

168

168

Từ đây suy ra:

( )a2

22 2

11n n n

n n nI e I Ia a a

π

−

−= + −

hay ( )2 a2

22 2

111n n

n nnI e Ia a a

π

−

−⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )a2

22 2 2 2

1.n n

n naeI Ia n a n

π

−

−= +

+ +

Do đó

( )a2 22a a 2

2 2 2 20 0

1sin sin

π ππ

−−= +

+ +∫ ∫x n x nn naee xdx e xdxa n a n

(6.6.9)

6.6.3 Tính gần đúng tích phân xác định

Trong thực tế ta thường gặp phải những tích phân không thể tính theo công thức Newton-Leibnitz. Do đó một vấn đề đặt ra là hãy tìm cách tính gần đúng tích phân xác định miễn là đạt được độ chính xác thích hợp và cách tính đơn giản.

A) Công thức hình thang

Giả sử cần tính tích phân ( )b

a

I f x dx= ∫ , trong đó ( )f x là một hàm số xác định và liên tục

trên [a,b] .Chia đoạn [a,b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các điểm chia:

0 1, ,..., ,...,k nx a x a h x a kh x b= = + = + = ,

1 , 1, .−

−= Δ = − = =k k k

b ah x x x k nn

Tại các điểm chia ta tính ( )f x và đặt ( )k ky f x= , 1,k n= (xem hình 6.6.1 )

Hình 6.6.1

169

169

x 0a x= 1x ... kx ... nx b=

y 0y 1y ... ky ... ny

Ta có: 1 2

0 1 1

( ) ( ) ( ) ... ( )n

n

xx xb

a x x x

f x dx f x dx f x dx f x dx−

= + + +∫ ∫ ∫ ∫ .

Trong mỗi đoạn con hàm ( )f x được thay bằng một đường thẳng nối các giá trị tại các đầu nút. Kết quả là:

( )1

0

0 1 0 11 0( )

2 2

x

x

y y y yf x dx x x h+ += − =∫ .

Tương tự: 2

1

1 2( )2

x

x

y yf x dx h +=∫ ,…,

1

1( )2

k

k

xk k

x

y yf x dx h−

− +=∫ …

1

1( )2

n

n

xn n

x

y yf x dx h−

− +=∫

Cộng các tích phân nói trên lại với nhau ta được:

0 1 2 11 1( ) ...2 2

b

n na

f x dx h y y y y y−⎡ ⎤≈ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ (6.6.10)

trong đó b ahn−

=

Gọi biểu thức ở vế phải của (6.6.10) là TI ta có công thức:

01 2 1...

2n

T ny yI I h y y y −

+⎡ ⎤≈ = + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦. (6.6.11)

Công thức (6.6.11) gọi là công thức hình thang .

Nếu hàm dưới dấu tích phân ( )f x có đạo hàm cấp 2 liên tục trên [a,b], công thức trên mắc phải sai số là:

( ) ( )3

222212 12

Tn T

b a MR I I M h b an−

= − ≤ = − , (6.6.12)

trong đó [ ]2 ,

max ( )∈

′′=x a b

M f x .

Ví dụ 1: Tính gần đúng tích phân 5

2

1

I x dx= ∫ theo công thức hình thang với cách phân đoạn

lấy tích phân thành 8 phần bằng nhau. So sánh kết quả nhận được với giá trị chính xác của tích phân tính theo công thức Newton-Leibnitz.

170

170

Giải: Theo công thức Newton-Leibnitz 55 3

2

1 1

124 41,33.3 3xI x dx= = = =∫

Ta hãy chia đoạn [1,5] thành 8 phần bằng nhau, khi đó 5 1 0,58

h −= = .

Hoành độ các điểm chia và tung độ tương ứng của hàm dưới dấu tích phân được cho trong bảng sau.

k 0kx x kh= + 2k ky x=

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

1

2,25

4

6,25

9

12,25

16

20,25

25

Theo công thức (6.6.11) ta nhận được:

0 81 2 3 4 5 6 70.5

2+⎡ ⎤= + + + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

T y yy yI y y y y y

1 250.5 2, 25 4 6, 25 9 12, 25 16 20, 25 41,50

2+

= + + + + + + + =⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

B. Công thức Simpson: Chia đoạn [a,b] thành 2n khoảng bằng nhau bởi các điểm chia:

0 1 2 2... ...k na x x x x x b= < < < < < = = ,

kx a kh= + , 2

b ah xn−

= = Δ

Tại các điểm chia ix ta tính ( )if x và đặt ( )i if x y= . Khi đó ta có:

2 1 21 2

0 1 2 2 2 1

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )n n

n n

x xx xb

a x x x x

I f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx−

− −

= = + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

22 4

0 2 2 2

( ) ( ) ... ( )n

n

xx x

x x x

I f x dx f x dx f x dx−

= + + +∫ ∫ ∫ .

171

171

Để tính 2

0

( )x

x

f x dx∫ ta thay ( )f x bằng parabôn được đưa khớp vào các điểm có hoành

độ: 0 1 2, , 2 .x a x a h x a h= = + = +

Để thuận tiện ta tịnh tiến song song trục Oy đến trùng với đường thẳng 1x x= và xấp xỉ f(x) bằng parabon 2 .y x xα β γ= + + đi qua các điểm ( ) ( ) ( )0 1 2, , 0, , ,A h y B y C h y−

Ta được (xem hình vẽ 6.6.2):

( )2

0

3 22( )

3 2

hx h

x h h

x xf x dx x x dx xα β γ α β γ− −

⎛ ⎞≈ + + = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

( )3 22 2 2 63 3

hh h hα γ α γ= + = + (6.6.13)

Bởi vì parabon đi qua 3 điểm A,B,C nên: 2

0 α β γ= + +y h h , 21 2,y y h hγ α β γ= = + + (6.6.14)

Từ (6.6.14) suy ra: 20 1 24 2 6y y y hα γ+ + = + (6.6.15)

Từ đây và (6.6.13) suy ra:

( )2

0

0 1 2( ) 43

x

x

hf x dx y y y≈ + +∫ (6.6.16)

Hình 6.6.2

Cũng làm tương tự như vậy đối với hai dải sau ta thu được:

( )4

2

2 3 4( ) 43

x

x

hf x dx y y y≈ + +∫ (6.6.17)

2

2

2 2 2 1 2( ) ( 4 )3

n

n

x

n n nx

hf x dx y y y−

− −≈ + +∫ . (6.6.18)

Đối với hai dải sau cùng ta thu được:

172

172

( )b

Sa

f x dx I≈ =∫

( ) ( ) ( )0 2 1 3 2 1 2 4 2 24 ... 2 ...3 − −= + + + + + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦n n nh y y y y y y y y

với 2

b ahn−

= (6.6.19)

Công thức (6.6.19) gọi là công thức Simpson. Người ta cũng chứng minh được rằng:

với ( )(4)4 x [a,b]

max∈

=M f x , ( )4

4 180Sn S

hR I I M b a= − ≤ − (6.6.20)

Ví dụ 2: Tính tích phân 5 2

1I x dx= ∫ theo công thức Simpson với cách phân đoạn lấy tích

phân thành 8 phần bằng nhau.

Giải ở đây 2n = 8 ⇒n = 4. Ta có:

( ) ( )5 2

0 8 1 3 5 7 2 4 614 2x dx y y y y y y y y y≈ + + + + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦∫

Theo bảng trên: 5 2

1x dx ≈∫

16

[1+25+4(2,25+6,25+12,25+20,25)+2(4+9+16)]=41,33.

6.7 Một số ứng dụng hình học, vật lý của tích phân xác định

6.7.1 Tính diện tích hình phẳng

A. Trong hệ tọa độ Descartes a) Từ bài toán tính diện tích hình thang cong, ta đã biết diện tích của hình thang cong giới

hạn bởi các đường thẳng 0y = , x=a, x=b và đường cong liên tục y=f(x), f(x)≥0 trên đoạn [a,b] cho bởi công thức:

( )b

a

S f x dx= ∫ . (6.7.1)

Nếu: ( ) 0, [a,b]f x x≤ ∀ ∈ thì:

( )b

a

S f x dx= −∫ (6.7.2)

173

173

Hình 6.7.1 Hình 6.7.2

Do đó trong mọi trường hợp với ( )f x liên tục trên [a,b], ta có (xem hình 6.7.1)

( )b

a

S f x dx= ∫ (6.7.3)

b) Trong trường hợp hình phẳng được giới hạn bởi các đường ,x a x b= = , y=f1(x),

2 ( )y f x= với 1 2( ), ( )f x f x là hai hàm số liên tục trên [a,b] thì (xem hình 6.7.2)

1 2( ) ( )= −∫b

a

S f x f x dx

c) Nếu đường cong cho dưới dạng ( )ϕ=x y , với ( )ϕ y liên tục trên [c,d], thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y=c, y=d, x=0 và đường cong ( )ϕ=x y (xem hình 6.7.3) được tính theo công thức:

( )ϕ= ∫d

c

S y dy (6.7.5)

Hình 6.7.3

174

174

Hình 6.7.4 Hình 6.7.5

Ví dụ 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2

1, ,y x yx

= = 0, 3y x= =

(xem hình 6.7.4)

Giải: Ta có thể phân hình thang cong đã cho bằng đường x=1 thành hai phân diện, tích của mỗi phần có thể dễ dàng tính theo công thức:

31 3

1 2 210 1

1 1 1 2, ,2 3

S xdx S dxx x

= = = = =∫ ∫

Dựa vào tính chất cộng của diện tích ta có:

1 276

S S S= + = .

Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường , 2, 0y x y x= = = (Hình 6.7.5)

Giải: Ta chú ý rằng nếu bổ sung vào hình phẳng đã cho hình thang cong phía dưới ta được hình chữ nhật diện tích là 8 vì thế:

4

0

883

S xdx= − =∫

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 1y x= và 22 2y x= − (Hình

6.7.6)

Hình 6.7.6

175

175

Giải: Cận tích phân là hoành độ giao điểm của các đồ thị đã cho, tức là nghiệm của hệ phương trình:

{ 2 2

y xy x== −

Giải hệ trên ta thấy:

1 22, 1x x= − = ,

( )1

2

2

922

S x x dx−

⎡ ⎤= − − =⎣ ⎦∫ .

d) Nếu đường cong cho dưới dạng tham số ( ) ,x tϕ= ( )ψ=y t với [ , ]t α β∈ , trong đó ( )ϕ t , ( )ψ t , (t)ϕ′ là các hàm liên tục trên [ , ]α β .

Diện tích hình cong cũng được tính theo công thức (6.7.3) trong đó y= ( )f x được thay đổi ( )ψ=y t , dx được thay đổi bởi dx = (t)ϕ′ dt, còn hai cận a,b được thay đổi bởi hai cận mới lần lượt là nghiệm của các phương trình ( ), ( )ϕ α ϕ β= =a b .

( ). ( )β

α

ψ ϕ′= ∫S t t dt . (6.7.6)

Ví dụ 4: Tính diện tích của hình elip

2 2

2 2 1x ya b

+ ≤ (6.7.7)

Xét phương trình tham số của đường elip (xem hình 6.7.7)

cos , sin , 0 2π= = ≤ ≤x a t y b t t

Khi x trong đoạn [0,a] thì tham số t thay đổi từ 2π đến 0. Ta có:

( )( )0 2

21

02

4 4 | sin asint | 4 sin

π

π

π= = − = =∫ ∫S S b t dt ab tdt ab .

r r ( )= ϕ

αβ

ρ

Hình 6.7.7 Hình 6.7.8

176

176

B) Trong hệ tọa độ cực Giả sử đường cong giới hạn hình phẳng cho trong hệ tọa độ cực, người ta gọi hình quạt

cong là một hình giới hạn bởi hai tia đi qua cực và đường cong, mà mọi tia đi qua cực cắt đường cong không quá một điểm. Bây giờ ta hãy tính diện tích của hình quạt cong giới hạn bởi hai tia , ( )ϕ α ϕ β α β= = < và cung AB của đường cong ( )ϕ=r r trong đó ( )ϕr là một hàm số liên tục trên [ , ]α β (xem hình 6.7.8).

Chia góc AOB thành n góc nhỏ được kí hiệu là , 1,ϕΔ =i i n . Như vậy hình quạt cong

được chia thành n hình quạt cong nhỏ có diện tích , 1,Δ =iS i n .

Giả sử OKL là hình quạt nhỏ thứ i, diện tích của nó xấp xỉ bằng diện tích hình quạt tròn có cùng góc ở tâm ϕΔ i và có bán kính là ( )ϕ′= ir r , trong đóϕ ϕ ϕ ϕ′≤ ≤ + Δi i i i , nghĩa là:

21 ( )2

ϕ ϕ′Δ ≈ Δi i iS r .

Do đó diện tích hình quạt cong đã cho xấp xỉ bằng:

( )2

1

12

ϕ ϕ=

′ Δ∑n

i ii

r .

Xấp xỉ càng tốt nếu n càng lớn sao cho ϕΔ i càng nhỏ, do đó diện tích S của hình quạt theo định nghĩa tích phân xác định là:

( )212

β

α

ϕ ϕ= ∫S r d . (6.7.8)

Ví dụ 5: Tính diện tích của hình tròn bán kính R. Phương trình của đường tròn trong tọa độ cực là r = R: (xem hình 6.7.9)

Hình 6.7.9

Giải: Dùng công thức (6.7.7) ta được

22 2

10

14 4.2

π

ϕ π= = =∫S S R d R .

Ví dụ 6: Tính diện tích của hình giới hạn bởi đường os2η ϕ= a c (xem hình 6.7.10)

177

177

Giải:

14= =S S 14.2

42 2

0

os2 d

π

ϕ ϕ =∫ a c a .

Hình 6.7.10

6.7.2 Tính độ dài đường cong phẳng

a) Cho cung AB xác định bởi phương trình ( )=y f x , trong đó f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a,b] (Hình 6.7.11).

Hình 6.7.11

Lấy trên cung AB những điểm ( )( )0 0, 0 ,M x f x ( )1 1, 1( ) ,M x f x ( ),..., ( ) ,i i iM x f x

( ),..., ( )n n nM x f x với 0 ,=x a ..., =nx b .

Độ dài l của cung AB là giới hạn của độ dài đường gẫy khúc 0 1 1... ...−i i nM M M M M , khi số cạnh của đường gấp khúc tăng vô hạn sao cho độ dài cạnh lớn nhất của nó tiến tới không, tức là:

178

178

10 1limλ −→

=

= ∑n

i ii

l M M trong đó 11 i nmax ,λ −≤ ≤

= i iM M

2 21 ( ) ( )− = Δ + Δi i i iM M x y

với ( ) ( )1 1,− −Δ = − Δ = −i i i i i ix x x y f x f x

Theo công thức Lagrange:

( ) ( )1( ) ξ−′ ′Δ = − = Δi i i i iy f x f x f x , với 1 ξ− ≤ ≤i i ix x Suy ra:

( )21 1 ξ− ′= + Δi i i iM M f x và ( )2

0 1

lim 1λ

ξ→

=

′= + Δ∑n

i ii

l f x .

Theo định nghĩa tích phân xác định:

21 ( )′= +∫b

a

l f x dx . (6.7.9)

b) Nếu đường cong cho dưới dạng tham số ( ), ( )= =x x t y y t với [ , ]α β∈t .

Thay ( )′=dx x t dt , ( )′=dy y t dt , ( )( )( )′

′ = =′

dy y tf xdx x t

vào (6.7.8), ta có công thức:

2 2( ) ( )β

α

′ ′= +∫l x t y t dt . (6.7.10)

Nếu đường cong cho trong toa độ cực ( )ϕ=r r trong đó hàm ( )ϕr và đạo hàm của nó ( )ϕ′r liên tục trên [ , ]α β .

Sử dụng công thức chuyển từ tọa độ cực sang tọa độ Descartes ( ) os , ( )sinϕ ϕ ϕ ϕ= =x r c y r . Theo công thức (6.7.9)

[ ] [ ]2 2( ) os ( )sin ( ) os ( )sinβ

α

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ′ ′= − + +∫l r c r r c r d ,

Từ đây:

[ ] [ ]2 2( ) ( )β

α

ϕ ϕ ϕ′= +∫l r r d . (6.7.11)

Ví dụ 7: Tính độ dài đường cong cycloide có phương trình

( sin )(1 ost)

= −⎧⎨ = −⎩

x a t ty a c

với 0 2π≤ ≤t (xem hình 6.7.12)

Theo công thức (6.7.9)

179

179

2 22 2

0 0

(1 ost) sin 2 sin 82

π π

= − + = =∫ ∫tL a c tdt a dt a

Hình 6.7.12

Hình 6.7.13 Hình 6.7.14

Ví dụ 8: Tính độ dài của đường (1 cos )ϕ= −r a (Hình 6.7.13)

Do tính đối xứng ta chỉ cần tính độ dài 1l của nửa đường cong. Cụ thể:

( )0

22 2 212 2 sin 1 os= = + −∫

π

ϕ ϕ ϕl l a a c d0 1 os4

2π

ϕ ϕ−= ∫

ca d0

4 sin 82π

ϕ ϕ= =∫a d a .

Chú ý: Lấy điểm ( ), ( )M x f x trên cung AB , độ dài của cung AM bằng (xem hình 6.7.14)

21 ( )x

a

l f t dt′= +∫ .

Đạo hàm theo cận trên ta được:

21 ( )dl f xdx

′= + hay 21 ( )dl f x dx′= + (6.7.11)

180

180

Vì ( ) dyf x ydx

′ ′= = nên có thể viết (6.7.11) dưới dạng:

( ) ( ) ( )2 2 2dl dx dy= + . (6.7.12)

Công thức (6.7.12) được gọi là công thức vi phân cung.

6.7.3 Tính thể tích vật thể

a) Tính thể tích vật thể khi biết diện tích thiết diện ngang:

Cho một vật thể giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng x=a, x=b, (a<b) (Hình 6.7.15)

Hình 6.7.15

Giả sử chúng ta biết diện tích của S của thiết diện của vật thể trên một mặt phẳng vuông góc với trục Ox là ( )S S x= , trong đó x là hoành độ của giao điểm của mặt phẳng cắt trục Ox.

Giả sử ( )S x là một hàm số liên tục trên đoạn [a,b].

Chia đoạn [a,b] thanh n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

0 1 1... ...i i na x x x x x b−= < < < < < < = . Qua mỗi điểm chia ix , 0,i n= ta dựng một mặt phẳng vuông góc với trục Ox, các mặt phẳng đó chia vật thể thành n vật thể nhỏ. Trên mỗi đoạn [ ]1,i ix x− , lấy một điểm iξ tùy ý, dựng hình trụ đứng giới hạn bởi các mặt phẳng x= 1ix − , x= ix và mặt trụ có đường sinh song song với trục Ox đi qua biên của thiết diện v. Thể tích của hình trụ đó là ( )i iS xξ Δ trong đó ixΔ = ix − 1ix − . Tổng thể tích của tất cả các hình trụ đó là:

( )1

n

n i ii

V S xξ=

= Δ∑ .

Giới hạn của tổng trên khi n →+∞ sao cho max 0ixΔ → được gọi là thể tích của vật thể

đã cho. Theo định nghĩa của tích phân xác định, giới hạn đó là ( )b

a

S x dx∫ . Cuối cùng thể tích

của vật thể nói trên được tính theo công thức:

181

181

( )b

a

V S x dx= ∫ . (6.7.13)

Ví dụ 9: Tính thể tích hình nón bán kính đáy R và chiều cao h (xem hình 6.7.16).

Giải: Ta đặt hình nón sao cho trục đối xứng của nó trùng với trục Ox và đỉnh của nó trùng với gốc tọa độ.

y

x

z

S(x)

x

r (x)R

h

0

Hình 6.7.16

Gọi tiết diện của hình nón tại điểm có hoành độ ( )r x , là ( )S x . Gọi bán kính thiết diện là

( )r x .Theo tính chất đồng dạng ( ) ( )r x x Rr x xR h h

= ⇒ = .

Do đó: 2

2 22( ) ( ) xS x r x R

hπ π= = .

Theo công thức ( 6.7.13) 2

2 22

0 3

h x hV R dx Rh

π π= =∫ .

b) Thể tích vật thể tròn xoay: Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên [a,b].

Bây giờ ta hãy tìm thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong AabB giới hạn bởi đường cong ( )y f x= , x∈ [a,b], trục Ox, các đường thẳng x=a, x=b quanh trục Ox (xem hình 6.7.17).

182

182

Hình 6.7.17

Ta thấy một thiết diện vuông góc với trục Ox đều là mặt tròn có tâm nằm trên trục Ox và có bán kính ( )f x , nên diện tích của thiết diện ứng với hoành độ x là:

2( ) ( )S x f xπ= .

Khi sử dụng công thức (6.7.13) ta suy ra công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay:

2 ( )b

a

V f x dxπ= ∫ . (6.7.14)

Hình 6.7.18

Tương tự, nếu hình thang cong CcdD giới hạn bởi đường cong ( ),x y yϕ= ∈ [c,d], ( )yϕ liên tục trên [c,d], trục Oy và các đường thẳng y=c, y=d (hình 6.7.18), thì thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi hình thang cong đó khi quay nó quanh trục Oy được tính theo công thức:

2 ( )d

c

V y dyπ ϕ= ∫ . (6.7.15)

Ví dụ 8: Tìm thể tích vật thể nhận được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường

y b= ± và 2 2

2 2 1− =x ya b

quay quanh trục Oy ( Hình 6.7.19) .

Giải: Do tính đối xứng của vật thể quay đối với mặt phẳng xoz ta chỉ cần tính nửa 1V của toàn bộ thể tích:

22 2 2

1 20 0

82 2 2 13

b b yV V x dy a dy a bb

π π π⎛ ⎞

= = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ .

183

183

Hình 6.7.19

6.7.4 Diện tích mặt tròn xoay

a) Cho cung AB xác định bởi phương trình ( )y f x= , x∈ [a,b] trong đó ( )f x , ( )f x′

liên tục. Cho cung AB quay quanh trục Ox, mặt tạo thành gọi là mặt tròn xoay (Hình 6.7.20).

Lấy trên cung ( )f x′ những điểm ( )0 , ( ) ,M A a f a≡ ( )1 1 1, ( )M x f x ,

( )1 1 1..., , ( ) ,i i iM x f x− − − ... ( ), ( ) ,nM B b f b≡ .

Khi quay quanh trục Ox dây cung 1iM − iM sinh ra mặt nón cụt có diện tích xung quanh là:

[ ] ( ) ( ) ( )21 1 1( ) ( ) 1i i i i i i iM M f x f x f x f x f xπ π ξ− − −′+ = + Δ +⎡ ⎤⎣ ⎦ .

0

y

x

0M A≡nM B≡

a xi-1 xi b

MiM i-1f(xi-1)f(xi)

Hình 6.20

Diện tích mặt tròn xoay sinh ra bởi đường gấp khúc A 1M 2M …B, khi nó quay quanh trục Ox bằng:

( ) [ ]21

1

1 ( ) ( )n

i i i ii

f f x f x xπ ξ −=

′+ + Δ∑ .

184

184

Giới hạn của tổng trên khi max ixΔ 0→ gọi là diện tích mặt tròn xoay. Theo định nghĩa tích phân xác định:

22 ( ) 1 ( )b

a

S f x f x dxπ ′= +∫ .

Nếu f(x) có dấu bất kì ta định nghĩa:

22 ( ) 1 ( )b

a

S f x f x dxπ ′= +∫ . (6.7.16)

b) Trong trường hợp đường cong có phương trình ( )x yϕ= , ( )yϕ liên tục trên [c,d], diện tích mặt tròn xoay khi quay cung đó quanh trục Oy là:

22 ( ) 1 ( )d

c

S y y dyπ ϕ ϕ′= +∫ . (6.7.17)

Ví dụ 9: Tìm diện tích của mặt cầu bán kính R.

Giải: Mặt cầu có thể xem là mặt được sinh ra khi quay nửa đường tròn quanh trục Ox. Phương trình của đường tròn bán kính R có dạng 2 2 2x y R+ = , nên phương trình của nửa đường tròn phía trên là:

2 2y R x= − , 2 2

xyR x

′ = −−

Khi đó ta có:

22 2

2 22 1R

R

xS R x dxR x

π−

= − +−∫ 22 4

R

R

Rdx Rπ π−

= =∫

Ví dụ 10: Tìm diện tích của mặt sinh ra khi quay quanh trục Oy phần parabon ( )2

02xy x= ≥

bị cắt bởi đường thẳng 32

y = (xem hình 6.7.21).

Giải: Ta có

12 ,2

x y xy

′= =

185

185

Hình 6.7.21

Sử dụng công thức (6.7.17) ta có: 32

0

12 2 12

S y dyy

π= + =∫32

0

142 2 13

y dy ππ + =∫ .

Cuối cùng ta hãy trình bày một vài ví dụ ứng dụng vật lý của tích phân xác định:

Ví dụ 11: Lực đẩy giữa hai điện tích cùng dấu 1 2,e e đặt cách nhau một khoảng r được cho bởi

công thức: 1 22

e eFr

= .

Giả sử điện tích 1e được đặt cố định tại gốc tọa độ 0. Hãy tính công của lực đẩy F sinh ra do điện tích 2e di chuyển từ điểm M1 có hoành độ 1x đến 2M có hoành độ trên 2x trục Ox.

Gọi ( )A x là công của lực đẩy F sinh ra do 2e di chuyển từ 1M đến M có hoành độ x (Hình 6.7.22).

Hình 6.7.22

Cho x một số gia khá bé dx. Vì dx khá bé nên trong đoạn [x, x+dx] có thể coi lực đẩy F

không đổi và bằng 1 22

e ex

. Do đó công của lực đẩy làm cho 2e di chuyển từ x đến x+dx là vi

phân công 1 22

e edA dxx

= . Vì vậy công của lực đẩy F sản ra khi 2e di chuyển từ 1M đến 2M là:

22 2

11 1

1 21 2 1 22

1 2

1 1 1A= =rr r

rr r

e edA dx e e e ex x r r

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ .

186

186

Ví dụ 12: Một dòng điện xoay chiều 02sini I tTπ ϕ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠chạy qua một đoạn mạch có điện tử

thuần R. Hãy tính nhiệt lượng Q tỏa ra trên mạch đó trong thời gian một chu kì T.

Nhiệt lượng tỏa ra trong thời gian một chu kì T tính theo công thức:

T

2

0

Q Ri dt= ∫

T 2

2 2 00

0

2sin2

RIQ RI t dt TTπ ϕ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ .

Ví dụ 13: Đặt vào một đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều 02sinu U tTπ

= . Khi đó trong

mạch có dòng điện xoay chiều , 02sini I tTπ ϕ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠, với ϕ là độ lệch pha giữa dòng điện và

hiệu điện thế. Hãy tính công của dòng điện xoay chiều thực hiện trên đoạn mạch đó trong thời gian một chu kì T.

Công của dòng điện nói trên được tính theo công thức:

0 00 0

0 0

2 2sin .sin os2

T T U IA uidt U I t t dt TcT Tπ π ϕ ϕ⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ .

6.8 Tích phân suy rộng

Khi định nghĩa tích phân ( )b

a

f x dx∫ ta đã giả thiết rằng:

a) Đoạn [a,b] hữu hạn

b) Hàm dưới dấu tích phân ( )f x bị chặn trong đoạn [a,b]. Nếu một trong hai điều kiện trên không được thỏa mãn thì tích phân được gọi là tích phân suy rộng. Nếu điều kiên a) không được thỏa mãn thì tích phân được gọi là tích phân suy rộng loai 1 (hay tích phân với cận vô hạn). Nếu điều kiện b) không được thỏa mãn , tức là hàm dưới dấu tích phân có gián đoạn vô hạn trong [a,b], thì tích phân được gọi là tích phân suy rộng loại 2 (hay tích phân của hàm không bị chặn).

6.8.1 Tích phân suy rộng loại 1

6.8.1.1 Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f(x) xác định trong khoảng mở [ , )a +∞ và khả tích trong mọi đoạn hữu hạn [a,A] với A>a.

Xét tích phân: ( ) ( )A

a

A f x dxφ = ∫

Nếu

187

187

lim ( ) lim ( )A

A Aa

A f x dxφ→+∞ →+∞

= ∫ (6.8.1)

tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng loại một của hàm ( )f x

trong khoảng [ , )a +∞ và kí hiệu là: ( )a

f x dx∞

∫

Khi đó ta cũng nói rằng tích phân ( )a

f x dx∞

∫ hội tụ và viết:

( )a

f x dx∞

∫ = lim ( )A

Aa

f x dx→+∞ ∫ (6.8.2)

Nếu giới hạn (6.8.1) không tồn tại hoặc vô hạn thì ta nói rằng tích phân ( )a

f x dx∞

∫ phân kì.

Tương tự ta có định nghĩa:

( ) lim ( )a a

AA

f x dx f x dx′→−∞

′−∞

=∫ ∫ (6.8.3)

và ( ) lim ( )A

AAA

f x dx f x dx∞

→+∞′−∞ ′→−∞

=∫ ∫ (6.8.4)

với A, A’ là các biến độc lập với nhau.

Hiển nhiên cả hai tích phân ( )a

f x dx−∞∫ và ( )

a

f x dx∞

∫ với a R∈ cùng hội tụ thì:

( )f x dx∞

−∞∫ = ( )

a

f x dx−∞∫ + ( )

a

f x dx+∞

∫ . (6.8.5)

Không giảm tính tổng quát sau đây ta chỉ cần xét ( )a

f x dx∞

∫ .

Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của tích phân 1

a

I dxxλ

∞

= ∫ với a> 0

Giải: Khi 1λ ≠ , xét tích phân:

11 1

1 1 1 1 1( )1 1

AA

aa

A dx xx A a

λλ λ λφ

λ λ−

− −

⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟− − ⎝ ⎠∫

1

1 1 khi 1lim ( ) 1

khi 1

λ λφ λ

λ

−

→+∞

⎧ ⎛ ⎞− >⎪ ⎜ ⎟= − ⎝ ⎠⎨⎪+∞ <⎩

AA a

188

188

Khi: 1λ = , 1( ) ln lnA

a

A dx A ax

φ = = −∫

( )lim ( ) lim ln lnA A

A A aφ→+∞ →+∞

= − = +∞

Vậy tích phân 1

a

dxxλ

∞

∫ với a>0, hội tụ khi 1λ > và phân kì khi 1λ ≤ . (6.8.6)

Ví dụ 2: Tính tích phân 21

dxIx x

∞

=+∫

Giải: Ta có theo định nghĩa:

2 21 1

lim∞

→+∞=

+ +∫ ∫A

A

dx dxx x x x 1 1

lim1

A A

A

dx dxx x→+∞

⎡ ⎤= −⎢ ⎥+⎣ ⎦

∫ ∫

1

1lim ln lim ln ln ln 21 1 2→+∞ →+∞

⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

A

A A

x Ax A

.

Do đó tích phân đã cho hội tụ và bằng ln2.

Ví dụ 3: Tính tích phân 2 2

2 1dxI

x x

∞

=−

∫

Giải: Ta có 2 2 2 2

2 2

lim1 1

A

A

dx dxx x x x

∞

→+∞=

− −∫ ∫

Đặt 1xt

= ta có 2

dtdxt

= − và 1tx

= ; nếu x =2 thì 12

t = và x = A thì t = 1A

.

Khi đó:

1

2 21 22

2 22

lim lim1 11 1

→+∞ →+∞

−=

− −∫ ∫A A

A A

dx dtx x t

t t

( )20 0

2 21 12 2

11 2 32 21 1

d ttdtt t

− −= − =

− −∫ ∫ .

Ví dụ 4: Tính 21dxI

x

∞

−∞

=+∫ .

Giải: 0

2 2 201 1 1

∞ ∞

−∞ −∞

= ++ + +∫ ∫ ∫dx dx dx

x x x.

Ta có: 0 0

02 2lim lim arctgx

1 1 ′′ ′→−∞ →−∞′−∞

= =+ +∫ ∫ AA A

A

dx dxx x

( )lim arctg2A

A π′→−∞

′= − = .

189

189

2 2 00 0

lim lim arctg lim arctg =1 1 2

AA

A A A

dx dx x Ax x

π∞

→+∞ →+∞ →+∞= = =

+ +∫ ∫

Vậy 21dx

x

∞

−∞ +∫ = 2π +

2π = π .

Ví dụ 5: Cho một điểm M có khối lượng m đặt tại gốc tọa độ hút một điểm 1M có khối lượng 1 đặt cách M một khoảng cách x trên trục Ox. Khi đó lực hút F được xác định bởi công thức

2

mF kx

= , trong đó k là một hằng số, và công thực hiện khi dịch chuyển điểm M1 từ điểm

x η= đến điểm x = a ( a >η > 0) được xác định bởi:

A = − 2

1 1a mk dx kmx aη η

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ .

Ta chú ý rằng trước tích phân có dấu “−” vì hướng của lực ngược với hướng chuyển động của điểm M, cũng vì vậy nên công âm. Nếu a = +∞ thì:

2

mA k dxxη

∞

= − =∫mkη

− .

Do đó nếu điểm 1M rơi từ vô cực đến điểm x η= , thì lực hút Newton sẽ thực hiện một công dương:

mA kη

= ,

nó bằng thế năng tích lũy tại điểm x η= . Người ta gọi nó là thế năng của lục hút của chất điểm M tại điểm x η= .

Ta thường gặp những tích phân suy rộng của những hàm số mà ta không thể biểu diễn nguyên hàm của nó theo những hàm số cấp quen biết. Khi đó muốn biết những tích phân đó hội tụ hay phân kỳ, ta cần phải đưa ra những dấu hiệu hội tụ mà không cần biết nguyên hàm của nó.

Định lí 6.8.1 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy): Tích phân ( )a

f x dx∞

∫ hội tụ khi và chỉ khi

00, ε∀ > ∃ >A a sao cho:

0( ) ( ) . ,A A

a a

f x dx f x dx A A Aε′

′− < ∀ >∫ ∫ . (6.8.7)

Chứng minh: Xét hàm số ( ) ( )A

a

A f x dxφ = ∫ . Theo định nghĩa tích phân ( )a

f x dx∞

∫ hội tụ khi và

chỉ khi lim ( )A

Aφ→+∞

tồn tại và hữu hạn. Theo tiêu chuẩn Cauchy 00. A aε∀ > ∃ > sao cho

( ) ( )A Aφ φ′ − ε< 0,A A A′∀ > ,

hay:

190

190

( ) ( )A A

a a

f x dx f x dx′

−∫ ∫ ε<

6.8.1.2 Các dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng loại 1 của các hàm dương

Giả sử ( ) 0f x ≥ với [a,+ )x∈ ∞ . Khi đó A > a hàm ( ) ( )A

a

A f x dxφ = ∫ là hàm đơn điệu tăng

của A, nên có giới hạn hữu hạn nếu ( )Aφ bị chặn trên. Từ đây ta có định lí sau.

Định lí 6.8.2 Điều kiện cần và đủ để tích phân suy rộng hội tụ là tích phân ( )Aφ bị chặn trên, tức là ∃L>0 sao cho

( )A Lφ ≤ A a∀ > hay ( )A

a

f x dx L≤∫ A a∀ > . (6.8.8)

Định lí 6.8.3 Giả sử các hàm f, g khả tích trên mọi đoạn [a,A], A > a và 0 ( ) ( )f x g x≤ ≤ x a∀ ≥ . Khi đó:

a) Nếu ( )a

g x dx∞

∫ hội tụ thì ( )a

f x dx∞

∫ hội tụ.

b) Nếu ( )a

f x dx∞

∫ phân kì thì ( )a

g x dx∞

∫ phân kì.

Chứng minh: a) với A> a ta có:

( ) ( )A A

a a

f x dx g x dx≤∫ ∫ . (6.8.9)

Suy ra lim ( ) lim ( )A A

A Aa a

f x dx g x dx→+∞ →+∞

≤∫ ∫ . Vì vậy nếu ( )a

g x dx∞

∫ hội tụ, theo định nghĩa

lim ( )A

Aa

g x dx→+∞ ∫ là hữu hạn, do đó lim ( )

A

Aa

f x dx→+∞ ∫ cũng hữu hạn và ( )

a

f x dx∞

∫ hội tụ .

b) Ngược lại nếu lim ( )A

Aa

f x dx→+∞ ∫ = +∞ , theo (6.8.9)

lim ( )A

Aa

g x dx→+∞ ∫ = +∞ .

Vậy tích phân ( )a

g x dx∞

∫ phân kì.

191

191

Hệ quả: a) nếu tồn tại các hằng số M > 0 và λ > 1 sao cho ( ) Mf xxλ≤ 0x a∀ ≥ > thì

tích phân ( )a

f x dx∞

∫ hội tụ .

b) Nếu tồn tại hằng số M > 0 và 1λ ≤ sao cho ( ) Mf xxλ≥ 0x a∀ ≥ > , thì tích phân

( )a

f x dx∞

∫ phân kì .

Ví dụ 6: a) Xét sự hội tụ của tích phân 1 2 31 1 1

dxIx x

∞

=+ +

∫

Giải: Do 21 x x+ > , 3

31 x x+ > nên

3 22 3

1 1 1.1 1 xx x

<+ +

[1,+ )x∀ ∈ ∞ .

Tích phân 21

dxx

∞

∫ hội tụ nên tích phân 1I hội tụ .

b) Nghiên cứu sự hội tụ của tích phân 2 332 1

dxIx

∞

=−

∫ .

Giải: Hiển nhiên 33

1 1

1 xx>

− với x > 2.

Bởi vì 1

dxx

∞

∫ phân kì nên tích phân 2 332 1

dxIx

∞

=−

∫ cũng phân kì .

Ví dụ 7: Xét sự hội tụ của tích phân Poisson 2

0

xe dx∞

−∫ .

Giải: Đồ thị của hàm dưới dấu tích phân 2xy e−= là đường cong Gauss, ta có:

2 2 21

0 0 1

x x xe dx e dx e dx∞ ∞

− − −= +∫ ∫ ∫ .

Tích phân thứ nhất ở vế phải là tích phân xác định thông thường, nó bằng diện tích của

đường cong Gauss trên đoạn [0,1]. Ta hãy xét tích phân 2

1

xe dx∞

−∫ . Hiển nhiên 2

0 x xe e− −< <

khi x >1 .Ta có:

1 1

1limA

x x

Ae dx e dx

e

∞− −

→+∞= =∫ ∫ .

192

192

Bởi vì tích phân 1

xe dx∞

−∫ hội tụ nên tích phân 2

1

xe dx∞

−∫ hội tụ.

Người ta đã chứng minh được rằng 2

0

xe dx∞

−∫2

2= .

Định lí 6.8.4 Giả sử f(x), g(x) khả tích trên mọi đoạn [a,A], A>a và ( )f x >0, ( )g x >0 x a∀ ≥ . Ngoài ra giả sử:

→+∞=

( )l im( )x

f x kg x

.

Nếu 0 < k < +∞ thì các tích phân suy rộng ( )a

f x dx∞

∫ và ( )a

g x dx∞

∫ có cùng tính chất,

nghĩa là cùng hội tụ hoặc cùng phân kì.

Chứng minh: Thật vậy theo định nghĩa giới hạn 00, ε∀ > ∃ >A a ta luôn có:

( )( )

f xk kg x

ε ε− < < + ∀ x> 0A .

Suy ra ( ) ( )(2) (1)

( ) ( ) ( )k g x f x k g xε ε− < < + .

Nếu ( )a

g x dx∞

∫ hội tụ, thì từ bất đẳng thức (1) suy ra ( )a

f x dx∞

∫ hội tụ.

Nếu ( )a

g x dx∞

∫ phân kì, thì từ bất đẳng thức (2) suy ra ( )a

f x dx∞

∫ phân kì

Hệ quả: Giả sử khi x →+∞ hàm số ( )f x là vô cùng bé bậc 0λ > so với 1x

, tức là:

( )lim lim ( )1( )x x

f x f x x C

x

λ

λ→+∞ →+∞= = , (6.8.10)

trong đó 0 <C < +∞ , C = const

thì tích phân ( )a

f x dx∞

∫ hội tụ khi 1λ > và phân kì khi 0 1λ< ≤ .

Ví dụ 8: a) Xét sự hội tụ của tích phân

32

1 20 1

xI dxx

∞

=+∫ .

b) Xét sự hội tụ của tích phân 2 21 1

dxIx x

∞

=+

∫ .

193

193

Giải: a) Ta thấy

32

122

1lim :1x

xx x

→+∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

=1 và 1 12

λ = < nên tích phân 1I phân kì .

b) Ta thấy 22

1 1lim :1x xx x→+∞

⎛ ⎞⎜ ⎟

+⎝ ⎠ =1 và 2λ = nên tích phân 2I hội tụ.

6.8.1.3 Tích phân suy rộng loại 1 của các hàm có dấu tùy ý

a, Trước hết ta xét sự hội tụ của các tích phân suy rộngvới cận vô hạn, trong đó hàm dưới

dấu tích phân có dạng tích của hai hàm số, tức là các tích phân có dạng ( ). ( )a

f x g x dx∞

∫ .

Định lí 6.8.5 (Định lí Abel): Giả sử các hàm f(x) và g(x) xác định trong khoảng [ , )α +∞ sao cho:

i) Tích phân ( )a

f x dx∞

∫ hội tụ.

ii) Hàm g(x) đơn điệu giảm và bị chặn trong khoảng [ , )α +∞ , tức là 0L∃ > sao cho

| ( ) | [ , )g x L x α≤ ∀ ∈ +∞

Khi đó tích phân ( ) ( )a

f x g x dx∞

∫ hội tụ.

Ví dụ 9: Xét tích phân

2

0

1sin

1

xexI dx

x

−∞

=+∫

Ta thấy 211

arctg |2 4 41

dx xx

π π π∞ ∞

= = − =+∫ , còn hàm số

2 1( ) sinxg x ex

−= đơn điệu và bị chặn

bởi 1, nên theo dấu hiệu Abel tích phân trên hội tụ.

Định lí 6.8.6 (định lí Dirichlet): Giả sử ( )f x , ( )g x là các hàm xác định trong khoảng [a,+∞ ) sao cho:

i, Hàm số khả tích trong mọi đoạn hữu hạn [a,A], a<A và tích phân ( )A

a

f x dx∫ bị chặn,

tức là 0M∃ > sao cho ( )A

a

f x dx M≤∫ A a∀ > .

ii, Hàm ( )g x đơn điệu về không khi x →+∞ .

Khi đó tích phân ( ) ( )a

f x g x dx∞

∫ hội tụ.

Ví dụ 10: Xét sự hội tụ của tích phân:

194

194

1a

sin xI dxxλ

∞

= ∫ và 2a

osc xI dxxλ

∞

= ∫ với a >0, 0λ > .

Giải: Ta thấy ( ) s in os osa - cosAA

A

aa

A xdx c x cφ = = − =∫ .

nên ( ) 2Aφ ≤ A a∀ > . Hơn nữa hàm 1( )g xxλ= với 0λ > là hàm đơn điệu về không

khi x →+∞ . Do đó theo dấu hiệu hội tụ Dirichlet tích phân 1I hội tụ. Tương tự tích phân 2I cũng hội tụ.

b) Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ

Định lí 6.8.7 Nếu tích phân ( )a

f x dx∞

∫ hội tụ, thì ( )a

f x dx∞

∫ hội tụ.

Chứng minh: Theo giả thiết tích phân ( )a

f x dx∞

∫ hội tụ, nên theo định lí 6.8.1 0ε∀ > ,

0A a∃ > , sao cho ( )A

A

f x dx ε′

<∫ , 0A A A′∀ > > .

Do đó ( ) ( )A A

A A

f x dx f x dx ε′ ′

≤ <∫ ∫ 0A A A′∀ > > .

Vậy, cũng theo định lí 6.8.1 tích phân ( )a

f x dx∞

∫ hội tụ.

Định nghĩa Nếu ( )a

f x dx∞

∫ hội tụ, khi đó ta nói rằng ( )a

f x dx∞

∫ hội tụ tuyệt đối.

Nếu ( )a

f x dx∞

∫ , hội tụ nhưng tích phân ( )a

f x dx∞

∫ phân kì thì ta nói rằng tích phân

( )a

f x dx∞

∫ bán hội tụ (hay không hội tụ tuyệt đối).

Ví dụ 11: Xét sự hội tụ của tích phân 21

sin xI dxx

∞

= ∫ .

Hiển nhiên 2 2

sin 1xx x

≤ 1x∀ ≥ .

Bởi vì tích phân 21

1 dxx

∞

∫ hội tụ nên 21

sin x dxx

∞

∫ hội tụ.Do đó tích phân 21

sin xdxx

∞

∫ hội tụ

tuyệt đối.

195

195

Chú ý: Nếu ( )a

f x dx∞

∫ hội tụ, thì chưa chắc ( )a

f x dx∞

∫ hội tụ. Ví dụ sau đây minh họa điều

này.

Ví dụ 12 Xét sự hội tụ của tích phân a

sin xdxx

∞

∫ với a > 0.

Giải: Trước hết theo định lí Dirichlet tích phân a

sin xdxx

∞

∫ hội tụ.Tuy nhiên tích phân

a

sin xdx

x

∞

∫ không hội tụ. Thật vậy do

2sin sin 0x x

x x≥ ≥ [a,+ ]x∀ ∈ ∞ .

Mặt khác 2sin x

x=1 os2x

2c

x− nên:

2

a

sin xdxx

∞

∫ = 12 a

dxx

∞

∫ −12 a

os2xc dxx

∞

∫ .

Tích phân thứ nhất phân kì, tích phân thứ hai hội tụ. Vậy tích phân 2

a

sin xdxx

∞

∫ phân kì,

suy ra a

sin xdx

x

∞

∫ phân kì.

6.8.2 Tích phân suy rộng loại 2

6.8.2.1 Định nghĩa: Giả sử ( )f x xác định trong khoảng [a,b), a b−∞ < < < +∞ nhưng không bị chặn tại b và trên mọi đoạn [ ],a b η− , 0 b aη< < − hàm ( )f x khả tích.

Nếu 0

lim ( )b

a

f x dxη

η

−

→ ∫ (6.8.11) tồn tại và hữu hạn, thì ta gọi giới hạn hữu hạn đó là tích phân

suy rộng loại 2 của hàm ( )f x và kí hiệu là ( )b

a

f x dx∫ .

Khi đó ta cũng nói rằng tích phân ( )b

a

f x dx∫ hội tụ và viết:

0

( ) lim ( )bb

a a

f x dx f x dxη

η

−

→=∫ ∫ . (6.8.12)

196

196

Nếu giới hạn (6.8.11) không tồn tại hoặc vô hạn thì ta nói rằng tích phân ( )b

a

f x dx∫ phân

kì.

Tương tự, nếu hàm ( )f x xác định trên khoảng (a,b] không bị chặn tại a và khả tích trên mọi đoạn [ ], ,a bη′+ 0 η′< < −b a thì:

( )b

a

f x dx∫ = 0

lim ( )b

a

f x dxη

η′→

′+∫ . (6.8.13)

Ví dụ 13 Xét sự hội tụ của tích phân ( )λ−∫

b

a

dxb x

với b>a và 0λ > .

Giải: Ta thấy

( )1η

λ

−

−∫b

a b x = ( ) 11

1 1 1 khi 11

ln khi 1.

λλ λλ η

λη

−−

⎧ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟− ≠

⎜ ⎟−⎪ −⎝ ⎠⎨⎪ −

=⎪⎩

b a

b a

Từ đây ( )0

limη

λη

−

→ −∫b

a

dxb x

( )11 khi 0 11

khi 1

λ λλ

λ

−⎧− − < <⎪= −⎨⎪∞ ≥⎩

b x.

Tóm lại, theo định nghĩa, tích phân ( )λ−∫

b

a

dxb x

(b>a) hội tụ khi 0 1λ< < , phân kì khi

1λ ≥ (6.8.14)

Tương tự ( )

b

a

dxx a λ−∫ (a<b) hội tụ khi 0 1λ< < , phân kì khi 1λ ≥ (6.8.15)

Định lí 6.8.8 Để tích phân ( )b

a

f x dx∫ , với điểm kì dị là b, hội tụ, điều kiện cần và đủ là

0, 0ε δ∀ > ∃ > sao cho ,η η′∀ thoả mãn 0 ,0η δ η δ′∀ < < < < thì

( )b

b

f x dxη

η

ε−

′−

<∫ . (6.8.16)

Chứng minh: Xét tích phân ( )φ η = ( )b

a

f x dxη−

∫ . Để tích phân ( )b

a

f x dx∫ hội tụ, theo định nghĩa,

cần và đủ là giới hạn 0

lim ( )η

φ η→

tồn tại và hữu hạn. Khi đó theo tiêu chuẩn Canchy

0. 0ε δ∀ > ∃ > sao cho ( ) ( )φ η φ η′− ε< 0 ,0η δ η δ′∀ < < < < .

hay ( ) ( ) ( )b b b

a a b

f x dx f x dx f x dxη η η

η

ε′− − −

′−

− = <∫ ∫ ∫ .

197

197

Hệ quả: Nếu ( )b

a

f x dx∫ hội tụ thì ( )b

a

f x dx∫ hội tụ.

Tương tự như với tích phân suy rộng loại 1 ta cũng có định nghĩa sau. Nếu ( )b

a

f x dx∫ hội

tụ, khi đó ta nói rằng tích phân ( )b

a

f x dx∫ hội tụ tuyệt đối.

6.8.2.2 Các dấu hiệu hội tụ

Định lí 6.8.9 Giả sử [ )0 ( ) ( ), ,≤ ≤ ∀ ∈f x g x x a b và các hàm ( )f x và ( )g x không bị chặn tại b. Khi đó:

i, Nếu tích phân ( )b

a

g x dx∫ hội tụ, thì ( )b

a

f x dx∫ cũng hội tụ.

ii, Nếu tích phân ( )b

a

f x dx∫ phân kì, tích phân ( )b

a

g x dx∫ cũng phân kì.

Trong thực tế ta thường sử dụng hai dấu hiệu sau mà về thức chất nó là các hệ quả của định lí 7.

Hệ quả 1: i, Nếu 0M∃ > và 0 1λ< < sao cho:

( )( ) Mf x

b x λ≤−

với 0 a x b< ≤ < (6.8.17)

thì tích phân ( )b

a

f x dx∫ hội tụ.

ii, Nếu 0M∃ > và 1λ ≥ sao cho

( )( ) Mf x

b x λ≥−

với 0 a x b< ≤ < (6.8.18)

thì tích phân ( )b

a

f x dx∫ phân kì.

Hệ quả 2: Nếu

( )

( )0 0

( )lim lim ( ) 01x b x b

f x b x f x c

b x

λ

λ

→ − → −= − = >

−

. (6.8.19)

Khi đó ( )b

a

f x dx∫ hội tụ khi 0 1λ< < và phân kì khi 1λ ≥ .

198

198

Ví dụ 14: a) Xét sự hội tụ của tích phân 1

1 40 1

xI dxx

=−

∫ .

Giải: Hàm số dưới dấu tích phân không bị chặn khi x = 1.

Hiển nhiên 4

111

xxx

≤−−

với [0,1)x∈ .

Bởi vì tích phân 1

0

11

dxx−∫ hội tụ nên tích phân 1I hội tụ.

b) Xét sự hội tụ của tích phân

( )1

2 20 sin 1

dxIx

=−∫ .

Giải: Ta thấy ( )2 2

1 1 [0,1)sin 1 (1 )

xx x

> ∀ ∈− −

nên tích phân 2I phân kì.

c) Xét sự hội tụ của tích phân 1

3 420 1

=−

∫dxI

x.

Giải: Hàm số dưới dấu tích phân không bị chặn khi x = 1.

Ta thấy ( )f x = ( )

4 4 14

1

1 1 1− + −

dx

x x x∼ .

Mặt khác ( )

1

10 4

1

1dx

x−∫ hội tụ, nên 3I hội tụ.

Ví dụ 15: Xét sự hội tụ của tích phân 1

0 cos=

−∫ x

dxIe x

.

Giải: Hàm dưới dấu tích phân không bị chặn khi x = 0.

Bởi vì osxxe e c x≥ − với x∈(0,1], nên 1 1cos

≥−xe x xe

với x∈(0,1].

Do tích phân 1

0

dxxe∫ phân kì, nên tích phân I phân kì.

Ví dụ 16: Xét sự hội tụ của tích phân 1

0 1

axI dxx

∞ −

=+∫ với 0<a<1.

Giải: Ta thấy tích phân I có điểm kì dị là 0 và có cận vô hạn. Để xét sự hội tụ của tích phân trên ta viết tích phân I thành tổng của hai tích phân:

I =1 1

0 1

ax dxx

−

+∫1

1 21 1

ax dx I Ix

∞ −

+ = ++∫

199

199

Ta thấy

1

01

1lim 11+

−

→

−

+ =

a

xa

xx

x

và 1 1λ = − <a nên tích phân 1I hội tụ.

Mặt khác

1

2

1lim lim 11 1

a

x x

a

xxx

xx

−

→+∞ →+∞

−

+ = =+

và do a <1, 2 1aλ = − > , nên 2I hội tụ. Vậy tích phân

I hội tụ.

Ví dụ 17: Xét sự hội tụ của tích phân:

1

0

p xI x e dx∞

− −= ∫ với 0 < p <1.

Giải: Ta thấy tích phân I có điểm kì dị là 0 và có cận vô hạn. Để xét sự hội tụ ta hãy phân tích tích phân I thành tổng của hai tích phân:

11 1

0 1

p x x pI x e dx e x dx∞

− − − −= +∫ ∫ = 1 2I I+ .

Do 1

1 1

0 01

lim lim 11+ +

− −− − −

→ →

−

= =p x

p x p

x xp

x e x e x

x

và 1λ = − p , 0 1λ< < nên tích phân 1I hội tụ.

Mặt khác do 1 1

lim lim 01

p x p

xx x

x e xe

x

λ

λ

− − − +

−→+∞ →+∞= = nếu 1λ > nên 2I hội tụ. Do đó tích phân I

hội tụ.

Ví dụ 18: Xét sự hội tụ của tích phân ( )1

11

0

1 −−= −∫baI x x dx .

Với a<1 tích phân có điểm kì dị 0, với b<1 tích phân có điểm kì dị là 1. Phân tích tích phân trên thành tổng hai tích phân , chẳng hạn:

11 12

10 02

= +∫ ∫ ∫

Bởi vì hàm dưới dấu tích phân khi 0x → là vô cùng lớn bậc 1−a, nên tích phân thứ nhất tồn tại chỉ với điều kiện 1−a<1, tức a>0. tương tự, tích phân thứ hai tồn tại với b>0. Như vậy tích phân trên hội tụ trong và chỉ trong trường hợp nếu đồng thời a>0 và b>0.

6.8.3 Thay biến số trong tích phân suy rộng

Ta thấy rằng các quy tắc thay biến số trong tích phân xác định thông thường vẫn còn đúng đối với những tích phân suy rộng hội tụ. Ví dụ như để tính tích phân:

200

200

2

0

∞−∫ xxe dx ta đưa vào biến mới x = t . Ta có:

( )2

00 0

1 1 1 10 12 2 2 2

+∞∞ ∞− − −= = − = − − =∫ ∫x t txe dx e dt e .

Bây giờ ta ta hãy xét sự hội tụ của các tích phân Frenel

21

0

sin( )F x dx∞

= ∫ và 22

0

os( )F c x dx∞

= ∫

Sử dụng phép đổi biến 2t x= , ta được:

1F =0

1 sin2

∞

∫tdt

t và 2F =

0

1 os2

∞

∫c tdt

t

Áp dụng tiêu chuẩn Dirichlet ta thấy tích phân 1F , 2F hội tụ. Những tích phân Frenel chứng tỏ rằng tích phân suy rộng có thể hội tụ ngay cả trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân không tiến tới không khi →+∞x .

6.9 Bài tập chương 6

6.1 Tính các tích phân sau bằng cách lập tổng tích phân và chuyển qua giới hạn.

1, 2

2

-1∫ x dx 2,

1

0∫ xa dx

3, 2a∫b dx

x (0<a<b) 4,

a

bmx dx∫ (0<a<b), 1≠ −m .

6.2 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz, tính các tích phân sau

1, 20 1 2sin

π

+∫dx

x 2,

2 1

2 20

−

−∫

na

n

n

x dxa x

(a>0, n∈ ).

6.3 Hãy giải thích tại sao việc ứng dụng hình thức công thức Newton – Leibnitz sẽ dẫn đến kết quả không đúng đối với các tích phân sau:

1, 2

-2∫

dxx

2, 1

-1

1arctgd dxdx x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ .

6.4 Tìm các giới hạn sau:

1, 1 1 1lim ......1 2→∞

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠n n n n n

2, ( )2 2 2 22

1 1 1 1lim ......0 1 4 1→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟+ + + +⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠

n n n n n n

201

201

3, 1

1 2 3 ......limn

nn

α α α α

α+→∞

+ + + , trong đó α là số thực bất kì lớn hơn –1.

6.5 Chứng minh rằng: ! 1lim2

nnn

nn→∞

= .

6.6 Tính các tích phân sau bằng cách đổi biến số:

1, 20

s inx1 os

π

+∫x dx

c x 2,

1 2

412

11++∫

x dxx

.

6.7 Chứng minh rằng nếu ( )f x liên tục trên [0,1] thì:

1, 2 2

0 0

(sin ) (cos )f x dx f x dx

π π

=∫ ∫ 2, 2

0 0

(sin ) (sin )2

xf x dx f x dx

πππ

=∫ ∫ .

6.8 Chứng minh rằng nếu ( )f x liên tục trên đoạn [a,b] thì ta có:

1, ( )( )b b

a a

f x dx f a b x dx= + −∫ ∫ 2, ( ) ( ) ( )

1

0+ −⎡ ⎤⎣ ⎦

= −∫ ∫b

x a b a xa

f dx b a f dx

6.9 Giả sử ( )f x liên tục trên đoạn [−a,a]. Chứng minh rằng:

−

⎧⎪= ⎨⎪⎩

∫∫ 0

2 ( ) , nÕu ( ) lµ hµm ch½n ( )

0 nÕu ( ) lµ hµm l Î

aa

a

f x dx f xf x dx

f x

6.10 Tính các tích phân sau:

1, 2 2

1

1

x tg xxe dx−

−∫ 2,

2

12

1 1sin x dxx x

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫

3, 4

13

1

os2xxx e c dx−

−∫ .

6.11 Chứng tỏ rằng nếu ( )xf là hàm liên tục, tuần hoàn chu kì T thì:

0

( ) ( )a T T

a

f x dx f x dx+

=∫ ∫ a∀ .

6.12 Tính tích phân: 100

0

1 os2I c xdxπ

= −∫ .

6.13 Tính các tích phân sau phương pháp tích phân từng phần:

1, 2

1

cos(ln )e

x dx

π

∫ 2, 1

lne

e

x dx∫

202

202

3, 2

0

( s in )x x dxπ

∫ 4, 0

*

1

, n xx e dx n N−

∈∫

6.14 Tính các tích phân:

1, 6

7 4

0

cos 3 sin 6t tdt

π

∫ 2, 1

2 2

0

1x x dx−∫

3, 1 3

2 2 2

0

(1 )x x dx−∫ .

6.15 Tính các vi phân:

1, 2

2

0

1xd t dt

dx+∫ 2,

os2

sin

os( )c x

x

d c t dtdx

π∫ .

6.16 Tìm các giới hạn sau:

1,

2

0

0

coslim

x

x

x dx

x→

∫ 2,

2

02

(arctg )lim

1

x

x

x dx

x→+∞ +

∫.

6.17 Chứng minh rằng:

2 2

0

lim 0x

x t

xe e dt−

→+∞=∫ .

6.18 Hãy xác định dấu của các tích phân sau (không cần tính các kết quả cụ thể của tích phân):

1, 1

2

12

lnx xdx∫ 2, 2

0

sinx xdxπ

∫

3, 2

0

sin x dxx

π

∫ .

6.19 Không tính tích phân, hãy so sánh các tích phân sau:

1, 2

10

sinI xdx

π

= ∫ , 2

20

I xdx

π

= ∫ , 2

30

2xI dx

π

π= ∫

2, 1

40

xI e dx= ∫ , ( )1

50

1I x dx= +∫ .

6.20 Chứng minh các bất đẳng thức:

1, 10

30

516 6

xdxx

<+∫ 2,

221

24

0

2 2x xe e dx e− −≤ <∫ .

203

203

6.21 Chứng minh các đẳng thức sau:

1, 1 n

0

lim 01n

x dxx→∞

=+∫ 2,

2n

0

lim sin 0n

xdx

π

→∞=∫ .

6.22 Tính gần đúng tích phân: 1

0 1dxI

x=

+∫ (n = 8).

Theo công thức hình thang, Simpson và đánh giá phần dư.

6.23 Tính gần đúng tích phân: 1

30 1

dxIx

=+∫ ( n=12 ).

Theo công thức hình thang , Simpson và đánh giá phần dư.

6.24 Tính diện tích của hình giới hạn bởi đường cong sau cho trong hệ tọa độ vuông góc: 2

2

41 xy hb

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠, y = 0 với h > 0 , b > 0.

6.25 Tính diện tích giới hạn bởi đường cong cho dưới dạng tham số:

( )ost+tsintx a c= , ( )sin osty t tc= − , 0 2t π≤ ≤ .

6.26 Tính diện tích của đường cho trong tọa độ cực ( )1 osr a c ϕ= + ( hình quả tim ), r,ϕ là các tọa độ cực.

6.27 Bằng cách đưa phương trình về dạng tham số, hãy tính diện tích giới hạn bởi đường Astroit:

2 2 23 3 3x y a+ = .

6.28 Tính độ dài đường cong cho dưới dạng phương trình hiện:

( )2 1 ln 1

4 2xy x x e= − ≤ ≤ .

6.29 Tính độ dài đường cong cho dưới dạng tham số:

( )ost+tsintx a c= , ( )sin osty a t tc= − , 0 2t π≤ ≤ .

6.30 Tính độ dài cung cho trong tọa độ cực: m.r a e ϕ= ( )0,0m r a> < ≤ .

6.31 Tính độ dài cung cho trong tọa độ cực:

3sin3

r a ϕ= .

204

204

6.32 Tính độ dài cung của đường Astroit: 2 2 23 3 3x y a+ = .

6.33 Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay miền phẳng giới hạn các đường sau:

1, xy e−= , y = 0 ( )0 x≤ < +∞

a, Quanh trục Ox

b, Quanh trục Oy.

2) 2 2 2x xy y a− + = quanh trục Ox.

6.34 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền phẳng giới hạn bởi đường: 3 3asin , cosx t y b t= = ( 0 2t π≤ ≤ )

1, Quanh trục Ox

2, Quanh trục Oy.

6.35 Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay các đường cong sau:

1, 3y x= ( )0 1x≤ ≤ quanh trục Ox.

2, ( )229 3y x x= − ( )0 3x≤ ≤ quanh trục Ox.

3, ( )sinx a t t= − , ( )1 osty a c= − , 0 2t π≤ ≤ quanh trục Oy

4, 3cosx a t= , 3cosx a t= (Astroit) quanh trục Ox.

6.36 Tính các tích phân sau:

1, 40 1

xdxx

∞

+∫ 2, ( )

1

0 1dx

x α−∫ ( )0α >

3, 1

20 1

dxx−

∫ 4,

12

0 lndx

x x∫ .

6.37 Xét sự hội tụ hay phân kì của tích phân sau:

1, ( )2exp -x dx∞

−∞∫ 2,

41 1

dxx

∞

+∫

3, 2 20 1 sin

xdxx x

∞

+∫ 4, 1

340 1

dx

x−∫ .

6.38 Tính các tích phân:

1, 0

xxe dx∞

−∫ 2, 0

osbxaxe c dx∞

−∫ (a>0)

6.39 Khảo sát sự hội tụ của các tích phân:

205

205

1, 0

osax1 p

c dxx

∞

+∫ 2, 0

sinxp q

dxx x

∞

+∫ ( ), 0p q ≥

6.40 Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các tích phân sau:

1, 0

s inxdxx

∞

∫ 2, 0

x osx100c dx

x

∞

+∫

6.41 Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các tích phân sau:

1, 1

cosxdxxα

∞

∫ với 0α > 2, 1

sinxdxxα

∞

∫ với α >0.

206

206

Chương 7

Hàm số liên tục trong n

7.1 Tập hợp trong n

7.1.1 Khoảng cách trong n

a) Khoảng cách giữa hai điểm trong n

Cho không gian n và điểm M∈ n . Nếu 1 2 n, ,...,x x x là các toạ độ của điểm M trong hệ toạ độ Descartes vuông góc, ta thường viết 1 2 n( , ,..., )M x x x

Cho n và một hàm số n n:ρ × → . Ta nói rằng ρ là khoảng cách trong n nếu thoả mãn các tính chất sau:

i) ( ) 0ρ ≥M,N n∀ ∈M,N

ii) ( )= ( )ρ ρM,N N,M n∀ ∈M,N

iii) ( ) ( )+ ( )ρ ρ ρ≤M,P M,N N,P ∀M,N,P ∈ n

Giả sử 1 2 n( , ,..., )M x x x và 1 2 n( , ,..., )N y y y là hai điểm trong n . Khoảng cách giữa hai điểm M,N được cho bởi công thức:

1n 2

2

i=1

( )= ( )ρ ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ i iM,N x y (7.1.1)

Có thể chứng minh được rằng khoảng cách cho bởi công thức (7.1.1) thoả mãn 3 tính chất nói trên. Thật vậy tính chất i) và ii) hiển nhiên được thoả mãn. Ta chứng minh tính chất iii). Giả sử n

1 2 n( , ,..., )∈P z z z , ta có theo công thức (7.1.1):

n n2 22

i=1 i=1( )= ( ) ( )ρ − = − + −∑ ∑i i i i i iM,P x z x y y z

n2

i=1

( )i i i ix y y z≤ − + −∑

n n n2 2

i=1 i=1 i=12i i i i i i i ix y x y y z y z= − + − − + −∑ ∑ ∑

1 1n n n n2 22 2 2 2

i=1 i=1 i=1 i=1

2i i i i i i i ix y x y z y y z⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ − + − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑

theo công thức (7.1.1)

207

207

[ ]

2 2

2

( )+2 ( ). ( )+ ( )

= ( )+ ( )

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ

= M,N M,N N,P N,P

M,N N,P

suy ra: ( ) ( )+ ( )ρ ρ ρ≤M,P M,N N,P .

Ví dụ như khoảng cách ρ giữa những điểm M(1,0,1) và N(2,1,0) trong không gian 3 là:

2 2 2(1 2) (0 1) (1 0) 3ρ = − + − + − = .

b) Khoảng cách giữa hai tập hợp

Cho n , ,⊂ ≠∅ ≠∅A,B A B . Ta gọi số:

{ }( )=inf ( , ); ,ρ ρ ∈ ∈A,B x y x A y B (7.1.2)

là khoảng cách giữa hai tập hợp A và B. Từ định nghĩa ta thấy ( ) 0ρ ≥A,B , ( )= ( ).ρ ρA,B B,A Hiển nhiên nếu ∩ ≠∅A B thì ρ (A,B)=0. Tuy nhiên có những trường hợp ∩ ≠∅A B , nhưng ρ (A,B)=0. Ví dụ như =( ,0), =(0,+ )−∞ ∞A B , ta thấy =∩ ∅A B và ρ (A,B)=0. Thật vậy:

{ }0 ( )=inf ( , );ρ ρ≤ ∈ ∈A,B x y x A, y B

*

*

1 1 1 1inf ( , ); , ,

2inf , 0

ρ⎧ ⎫≤ − − ∈ ∈ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭⎧ ⎫= ∈ =⎨ ⎬⎩ ⎭

A B nn n n n

nn

c) Đường kính của tập hợp

Cho n ,⊂ ≠∅A A . Đường kính của tập hợp A là số:

{ }( )=sup ( , ); ,δ ρ ∈ ∈A x y x A y A . (7.1.3)

Nếu A là tập hợp một điểm thì ( )=0δ A .

Ví dụ như đường kính của khoảng (−1,1) là 2. Giả sử n , ⊂ ≠∅A A . Ta nói rằng A là tập hợp bị chặn nếu ( )δ ∈A , nói cách khác tập A được gọi là bị chặn nếu như A được chứa trong một hình cầu nào đó.

7.1.2 Lân cận của một điểm

a) ε - lân cận

Cho n0 ∈M . Người ta gọi ε -lân cận của điểm 0M , kí hiệu là 0O ( )ε M , là tập hợp tất

cả những điểm n∈M sao cho khoảng cách từ M tới 0M bé hơn ε , tức là:

{ }n0 0O ( ) ; ( , )ε ρ ε= ∈ <M M M M .

Ví dụ 1 a) Với n=1. Cho 10 ∈x . Các điểm x sao cho

208

208

0 0 0 0( , )x x x x x x xρ ε ε ε= − < ↔ − < < + .

Vậy 0O ( )xε là khoảng ( )0 0,x xε ε− +

b) Với n=2. Cho 20 0 0( , )∈M x y , xét các điểm M(x,y) sao cho

( )2 20 0 0( , )= ( )ρ ε− + − <M M x x y y

( )2 2 20 0( )x x y y ε↔ − + − < .

Vậy 0O ( )ε M là hình tròn tâm M0(x0,y0) bán kính ε .

c) Với n=3. Cho 30 0 0 0( , , )∈M x y z , xét các điểm M(x.y.z) sao cho

( )2 2 20 0 0 0( , )= ( ) ( )ρ ε− + − + − <M M x x y y z z

( )2 2 2 20 0 0( ) ( )x x y y z z ε− + − + − < .

Vậy 0O ( )ε M là hình cầu tâm 0M bán kính ε .

b) Lân cận của một điểm

Ta gọi lân cận của một điểm 0M là mọi tập hợp chứa một ε - lân cận nào đó của 0M , tức là tập con nU ⊂ là lân cận của điểm 0M nếu:

0 ε∃ > sao cho 0O (M )ε ⊂U. Ta thấy theo định nghĩa:

α ) nếu U là lân cận của điểm 0M , thì mọi tập hợp n1 1U ,U U⊂ ⊃ cũng là lân cận của

điểm 0M .

β ) Nếu 1 2U ,U là lân cận của 0M thì 1 2 1 2U U ,U U∩ ∪ cũng là lân cận của điểm 0M

7.1.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ của tập hợp

a) Điểm trong

Cho A là một tập hợp trong n . Điểm ∈M A được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại một ε -lân cận nào đó O ( )ε M nằm hoàn toàn trong A (Hình 7.1.1).

209

209

Hình.7.1.1

b) Điểm biên

Điểm n∈N được gọi là điểm biên của tập hợp A mọi ε -lân cận của N đều chứa những điểm thuộc A vừa chứa những điểm không thuộc A. Điểm biên của tập hợp A có thể thuộc A cũng có thể không thuộc A.

Tập hợp những điểm biên của A được gọi là biên của tập hợp A. Tập hợp các điểm biên của tập hợp A kí hiệu là ∂A .

Ví dụ 2: Cho

( ){ }21 2 1 2, ; ,= ∈ < < ≤ ≤A x y a x a b y b (xem hình 7.1.2)

Các điểm 1 1( , )N x b với 1 2< <a x a nằm trên đường thẳng y = 1b và các điểm 2 2( , )N x b với 1 2< <a x a nằm trên đường y = 2b là các điểm biên của tập A. Các điểm biên này thuộc tập hợp A. Các điểm 3 1( , )N a y với 1 2≤ ≤b y b và các điểm 4 2( , )N a y với 1 2≤ ≤b y b y cũng là các điểm biên của tập hợp A. Các điểm biên này không thuộc tập hợp A.

c) Điểm tụ

Cho n⊂A và n∈M . Điểm M gọi là điểm tụ của A nếu mọi lân cận của A đều chứa ít nhất một điểm của A. Tập hợp các điểm tụ của A kí hiệu là A’ và gọi là tập dẫn xuất của A.

210

210

b2

y

o a1 a2

b1

Hình.7.1.2

Ví dụ 3

Cho n1 1 1 1 1 1(1,1),( , ), ( , ),..., ( , ),...;n2 2 3 3 n n

⎧ ⎫= ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

A

Dễ thấy O(0,0) là điểm tụ của A.

Ví dụ 4

Giả sử tập hợp ( ){ }2= ; 1, 1∈ < ≤A x, y x y . Ta thấy tất cả các điểm của tập hợp

( ){ }21 ; 1, 1= ∈ < <A x, y x y ⊂ A đều là điểm trong của tập A.

7.1.4 Tập mở, tập đóng

Cho n⊂A , tập A được gọi là mở nếu mọi điểm M của A đều là điểm trong của A.

Tập n⊂A được gọi là đóng nếu A chứa mọi điểm biên của A. Hiển nhiên n⊂A là đóng trong n , thì n \A là tập mở trong n .

Ví dụ 5: Cho 20 0 0( , )∈M x y . Tập hợp:

( ) ( ){ }22 2 20 0 0( , )= , ; ( )∈ − + − <B M r M x y x x y y r

là tập mở. Tập hợp:

( ) ( ){ }22 2 20 0 0( , )= , ; ( )∈ − + − ≤K M r M x y x x y y r

là tập đóng.

7.1.5 Tập liên thông

Tập A gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kì 1 2M ,M của A bởi một đường cong liên tục hoàn toàn nằm trong A( xem hình 7.1.3).

211

211

Tập hợp đơn liên Tập hợp không liên thông Tập hợp đa liên (2 liên)

Hình 7.1.3

Tập hợp liên thông được gọi là đơn liên nếu nó được giới hạn bởi một mặt kín, là đa liên nếu nó được giới hạn bởi nhiều mặt kín rời nhau.

Ví dụ 6: Tập hợp nào trong các tập sau là tập liên thông

a) ( ){ }21 ; 1= ∈ + ≤E x, y x y

b) ( ){ }2 2 22 ;| | | | 1= ∈ + ≠E x, y x y

Giải: a) Do 1E là phần bên trong (kể cả biên) của hình vuông giới hạn bởi các đường ± y=± x+1, nên 1E là liên thông.

b) 2E là tâp hợp các điểm của 2 , trừ ra các điểm nằm trên đường tròn 2 2 1+ =x y . 2E không phải là tập hợp liên thông.

7.2 Sự hội tụ trong n , các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số

7.2.1 Sự hội tụ trong n

Trong không gian n cho dãy ( ){ }k k k k1 2 n, ,...,M x x x , k=1,2,...,n

Dãy { }kM được gọi là hội tụ tới 0 10 20 n0( , ,..., )M x x x nếu:

0, k( ) 0ε ε∀ > ∃ > sao cho k

0O ( )ε∈M M , ( )ε∀ ≥k k (7.2.1).

hay tương đương với k

0( , )ρ ε<M M , ( )ε∀ ≥k k (7.2.1)’,

tức là: ( )122k

i i01

ε=

⎡ ⎤− <⎢ ⎥⎣ ⎦∑

n

i

x x , ( )ε∀ ≥k k (7.2.1)”.

Khi đó ta viết: k0lim

→+∞=

kM M hay k

0→M M khi k→+∞

212

212

Định lí 7.2.1 Dãy ( ){ }k k k k1 2 n, ,...,M x x x hội tụ tới 0 10 20 n0( , ,..., )M x x x khi và chỉ khi dãy các

thành phần { }k1 ,x { } { }k k

2 n,...,x x hội tụ tới 10 20 n0, ,...,x x x tương ứng.

Chứng minh;

Do { }k0→M M nên: 0, ( )ε ε∀ > ∃k sao cho

k 2 k 2 k 21 10 2 20 n n0( ) ( ) ... ( ) ε− + − + + − <x x x x x x , ( )ε∀ ≥k k (7.2.2)

Cho nên: k

1 10

k2 20

kn n0

.....................

ε

ε

ε

⎧ − <⎪⎪ − <⎪⎨⎪⎪ − <⎪⎩

x x

x x

x x

( )ε∀ ≥k k .

Từ đấy suy ra { } { } { }k k k1 10 2 20 n n0, ,...,→ → →x x x x x x khi k→+∞ .

Bạn đọc tự chứng minh phần ngược lại.

7.2.2 Dãy cơ bản

Dãy { }k n⊂M được gọi là dãy cơ bản (hay Cauchy) nếu:

k p

k,plim ( , ) 0ρ→+∞

=M M (7.2.3)

tức là 0, ( )ε ε∀ > ∃k sao cho k p( , ) , ( )ρ ε ε< ∀ ≥M M k, p k (7.2.4)

Định lí 7.2.2 Để dãy { }kM hội tụ, điều kiện cần và đủ là nó là dãy cơ bản.

Chứng minh

a) Điều kiện cần

Giả sử dãy { }kM hội tụ tới 0M , ta hãy chứng minh nó là dãy cơ bản.

Thật vậy, theo giả thiết:

0, ( )ε ε∀ > ∃k >0 sao cho k0( , )

2ερ <M M , ( )ε∀ ≥k k ,

Từ đây suy ra:

k p k p0 0( , ) ( , ) ( , ) ,

2 2ε ερ ρ ρ ε≤ + < + =M M M M M M

( )ε∀ ≥k, p k . Vậy dãy { }kM là dãy cơ bản.

b) Điều kiện đủ:

213

213

Giả sử dãy { }kM là dãy cơ bản, ta phải chứng minh nó hội tụ.

Thật vậy, do { }kM là dãy cơ bản, nên:

0, ( )ε ε∀ > ∃k >0 sao cho k p( , ) , ( )ρ ε ε< ∀ ≥M M k, p k hay:

k p 2 k p 2 k p 21 1 2 2 n n( ) ( ) ... ( ) ε− + − + + − <x x x x x x , ( )ε∀ ≥k, p k .

Từ đây suy ra: k p

1 1

k p2 2

k pn n

.....................

x x

x x

x x

ε

ε

ε

⎧ − <⎪⎪ − <⎪⎨⎪⎪ − <⎪⎩

, ( )ε∀ ≥k, p k ,

tức là các dãy { } { } { }k k k1 2 n, ,...,x x x là các dãy cơ bản. Theo định lí Cauchy các dãy trên

hội tụ, nên tồn tại: k k k

10 1 20 2 n0 nk k klim , lim ,..., limx x x x x x→∞ →∞ →∞

= = = và do đó:

( )k k k k1 2 n 0 10 20 n0M , ,..., M ( , ,..., )x x x x x x→ .

Ví dụ 7 Xét dãy các điểm: 2

k2

1 kM ,1+k 1+k

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

, k=1,2,...,n

Ta thấy dãy k0M M (0,1)→ , bởi vì:

k0 2 2 2

1 1( , ) 0(1+ ) (1+ )

ρ = + →M Mk k

khi →+∞k .

7.2.3 Nguyên lí Canto

Dãy hình cầu đóng { } nO ⊂k gọi là thắt dần nếu:

+1O O , 1⊂ ∀ ≥k k k (7.2.5)

và các bán kính 0→kr khi →+∞k . Tương tự như trong 1 , ta có các định lí sau:

Định lí 7.2.3 (Nguyên lí Canto):

Mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất.

Định lí 7.2.4 (Bolzano-Weierstrass)

Mọi dãy bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ.

7.2.4 Chú ý

214

214

Trong lí thuyết tô pô trên n ta có các khẳng định sau (Xem [2]):

Mệnh đề 1 Điểm M là điểm tụ của tập hợp n⊂A khi và chỉ khi trong A có một dãy điểm phân biệt kM hội tụ tới M khi →+∞k .

Mệnh đề 2 Tập n⊂A là tập đóng khi và chỉ khi mọi dãy { } , ⊂ →k kM A M M khi →+∞k thì ∈M A .

7.2.5 Tập hợp compact

Tập n⊂A được gọi là tập compact nếu mọi dãy { }kM trong A đều chứa một dãy con

{ }kM hội tụ tới một điểm thuộc A.

Tương tự như trong 1 , ta cũng có định lí sau:

Định lí 7.2.5 Tập n⊂A là compact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn.

7.2.6 Định nghĩa hàm nhiều biến số

Cho không gian Euclide n chiều n và tập hợp nD ⊂ . Gọi ánh xạ:

f:D→

xác định bởi:

( ), ,...,1 2 nx= x x x D∈ → , ,..., )1 2 nu=f(x)=f(x x x ∈

là hàm số của n biến số xác định trên D. Tập hợp D được gọi là tập xác định (hay là miền xác định) của hàm số f và , ,...,1 2 nx x x được gọi là các biến số độc lập.

Nếu xem , ,...,1 2 nx x x là các toạ độ của một điểm nào đó n∈M trong hệ toạ độ Descarter vuông góc thì ta có thể viết u=f(M).

Trong trường hợp n=2 hay n=3 ta có hàm hai hay ba biến số và thường được kí hiệu là z = f(x,y) hay u = f(x,y,z).

7.2.7 Tập xác định của hàm nhiều biến số

Nếu hàm u được cho bởi biểu thức u=f(M) (mà không có chú ý gì thêm về tập xác định của nó) thì tập xác định của hàm u được hiểu là tập hợp những điểm M sao cho biểu thức f(M) có nghĩa.

Ví dụ 8: Hàm số 1- - 42 2u= x y xác định khi 4 12 2x + y ≤ hay 114

22 y x + ≤ . Miền xác định của

hàm số là miền được giới hạn bởi elip với các bán trục a=1, b= 12

(kể cả biên, xem hình

7.2.1).

215

215

Hình 7.2.1 Hình 7.2.2

Ví dụ 9: Hàm số 19 4

2 2x yu= - + xác định khi 1 09 4

2 2x y- + ≥ 19 4

2 2x y⇒ − ≤ . Miền xác định

của hàm số là miền giữa hai nhánh của hypebon với các bán trục a=3, b=2 (Xem hình 7.2.2).

Ví dụ 10: Hàm số 12 2u=

x y+ xác định khi 02 2x y+ ≠ . Miền xác định là toàn bộ mặt phẳng

trừ gốc toạ độ.

Ví dụ 11: Hàm số u=ln(x+y) xác định khi x+y > 0. Vậy miền xác định của hàm số là miền nằm phía trên đường thẳng y=−x (xem hình 7.2.3)

Hình 7.2.3 Hình 7.2.4

Ví dụ 12: Hàm số arcsin yu=x

xác định khi 1,y x 0x≤ ≠ . Vậy miền xác định của hàm số là

một phần mặt phẳng nằm giữa các đường thẳng y=± x trừ ra gốc toạ độ (xem hình 7.2.4).

7.2.8 Đường mức và mặt mức

Cho hàm u = f(x,y). Ta gọi tập hợp những điểm của miền xác định của hàm số sao cho tại đó hàm số có giá trị không đổi c là đường mức của hàm số. Phương trình của đường mức ứng với giá trị u = c là:

f(x,y) = c (7.2.5).

Tương tự như vậy, đối với hàm ba biến số độc lập ta có khái niệm mặt mức.

216

216

Mặt mức của hàm số u = f(x,y,z) là một mặt trong không gian Oxyz, mà trên đó hàm số có giá trị không đổi c. Phương trình của mặt mức ứng với giá trị u = c là:

f(x,y,z) = c. (7.2.6).

Ví dụ 13: Tìm đường mức của các hàm số sau:

a) 2 2

2 2

y=1− −xua b

.

Phương trình đường mức u = c⇔ 12 2

2 2

x y ca b

+ = − . Đường mức là đường elip khi c <1, là

gốc toạ độ khi c = 1.

b) 2

yu=x

Phương trình đường mức u=c⇔ 2

yx

=c hay y=c 2x . Đường mức là một parabol với mọi

giá trị c.

c) u = y−2 2x .

Phương trình đường mức u = c ⇔ y = c+2 2x . Vậy với mọi c đường mức là các parabol có đường trục đối xứng là trục Oy và có đỉnh tại điểm (O,c).

7.3 Giới hạn của hàm số trong n

Để dễ hình dung ta hãy xét giới hạn của hàm hai biến số. Mọi kết quả được mở rộng cho hàm có số biến nhiều hơn.

7.3.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 1: Giả sử 2D ⊂ và f:D→ , , )0 0 0M (x y là điểm tụ của tập D. Ta nói rằng hàm f(x,y) có giới hạn l tại 0M và viết:

( , ) , )lim

0 0x y (x yf(x,y)=l

→ hay lim

0M Mf(M)=l

→

nếu 0, 0ε δ∀ > ∃ > sao cho ( ) D∀ ∈M x,y thoả mãn ( )0M,Mρ δ< thì

( ) - ε<f M l (7.3.1)

Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau.

Định nghĩa 2: Hàm z = f(M) có giới hạn l khi 0M M→ nếu với mọi dãy điểm ( )n n nM x ,y (khác 0M ) thuộc lân cận V của điểm 0M dần đến 0M ta đều có:

lim ( n nnf x ,y )=l

→∞. (7.3.2)

Khi đó ta viết ( , ) , )

lim (0 0x y (x y

f x,y)=l→

hay lim (00

x xy y

f x,y)=l→→

.

217

217

Ta còn gọi giới hạn trên là giới hạn kép hay là giới hạn theo tập hợp các biến.

Chú ý: Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm một biến số. Chẳng hạn:

( 2 2

1f x,y)=x y

→+∞+

khi ( ) (0,0)x,y → .

Ví dụ 1: Tìm lim ((x,y) (0,0)

f x,y)→

với (2 2

xyf x,y)=x y+

.

Giải: Hàm số được xác định trên { }2 \ (0,0) .

Vì:

( ( ) (0,0)2 2

x yf x,y) y x,y

x y= ≤ ∀ ≠

+,

nên: 0 00 0

0 lim ( lim 0x xy y

f x,y) y→ →→ →

≤ ≤ = ,

do đó: 00

lim ( 0→→

xy

f x,y)= .

Ví dụ 2: Tìm 00

lim ( ) = 0→→

xy

f x,y với ( ) 2 2

xyf x,y =x y+

.

Nếu cho (x,y)→ (0,0) theo phương của đường thẳng y = kx, ta có:

( )1 2

kf x,kx =+k

khi x≠ 0.

Do đó 0

lim ( )1 2x

kf x,kx =+k→

.

Khi k khác nhau, (x,y)→(0,0) theo phương khác nhau, f(x,y) dần tới những giới hạn khác nhau. Do đó giới hạn trên không tồn tại.

7.3.2 Giới hạn lặp

Cho hàm z = f(x,y) xác định trên tập 2D ⊂ .

Với y cố định, gọi:

{ }1D ;( ) Dx x, y= ∈ ∈ .

Giả sử 0x là điểm tụ của tập 1D và xét giới hạn lim ( )0x x

f x,y→

. Rõ ràng giới hạn này phụ

thuộc vào y, kí hiệu:

( ) lim ( )0x x

g y = f x,y→

.

218

218

Gọi 2D ={y R∈ |giới hạn lim ( )0x x

f x,y→

tồn tại}. Giả sử 0y là điểm tụ của 2D . Ta xét tiếp

giới hạn:

lim ( ) lim lim ( )0 0 0y y y y x xg y = f x,y

→ → →

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.3.3)

Hoàn toàn tương tự, ta có thể xét giới hạn:

lim lim ( )0 0x x y y

f x,y→ →

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

. (7.3.4)

Ta gọi các giới hạn (7.3.3) và (7.3.4) nếu chúng tồn tại là giới hạn lặp của hàm f tại ( )0 0x , y .

Ví dụ 3: Xét hàm số 2 2

sin (cos 1)( )1

x y+z=f x,y =x y+ +

.

Tìm 0 0

lim lim ( )y x

f x,y→ →

và 0 0

lim lim ( )x y

f x,y→ →

.

∀ y≠ 0 ta có 0

lim ( ) = 0x

f x,y→

, suy ra 0 0

lim lim ( )y x

f x,y→ →

=0.

Mặt khác ∀ x≠ 0, 2 2 20 0

sinx(cosy+1) 2sinxlim f(x,y)= lim1 x y 1+xy y→ →

=+ +

suy ra:

0 0lim lim ( )x y

f x,y→ →

=0

2sinlim 01 2x

x+x→

= .

Ta thấy trong trường hợp này hai giới hạn lặp tồn tại và bằng nhau.

Ví dụ 4: Tìm giới hạn lặp của hàm số:

cos( )2

x+y yf x,y =x+y

tại (x,y)=(0,0).

∀ x≠ 0, ta có 0 0

cos 1lim ( ) lim2 2y y

x+y yf x,y =x+y→ →

= ,

suy ra 0 0

lim lim ( )x y

f x,y→ →

= 12

.

Mặt khác, ∀ y≠ 0 ta có 0

lim ( ) cosx

f x,y = y→

, suy ra:

0 0 0lim lim ( ) lim cos 1y x y

f x,y = y→ → →

= .

Trong trường hợp này, các giới hạn lặp tồn tại nhưng không bằng nhau.

7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp

219

219

Định lí 7.3.1 Cho hàm z = f(x,y) xác định trên tập hợp D và ( )0 0x ,y là điểm tụ của D. Giả sử tồn tại giới hạn

( )( )lim ( )

0 0x,y x ,yl f x,y

→= . Khi đó nếu tồn tại giói hạn lặp nào của hàm số tại

( )0 0,x y thì giới hạn đó cũng bằng l .

Chứng minh: Giả sử tồn tại giới hạn

0 0

' lim lim ( )x x y y

l f x,y→ →

= (7.3.5)

Ta hãy chứng minh 'l l= .

Đặt

0

( )= lim ( )y y

F x f x, y→

(7.3.6).

Khi đó theo giả thiết (7.3.5) ta có:

0

lim F(x)= 'x x

l→

(7.3.7)

Bởi vì

( )0 0(x,y) x ,ylim f(x,y)=l→

(7.3.8)

nên 0, 0ε δ∀ ≥ ∃ > sao cho ( )∀ x,y thoả mãn 2 20 0( ) ( ) δ− + − <x x y y thì

( , ) ε− <f x y l (7.3.9).

Trong (7.3.9) cho 0y y→ ta được:

lim ( , ) ε→

− ≤0y y

f x y l ∀ ∈x

thoả mãn 00< x-x δ< , tức là: ∀ ∈x sao cho 0< 0x - x δ< thoả mãn

( ) ε− ≤F x l (7.3.10)

Trong (7.3.10) cho 0x x→ , ta được ' 0ε ε− ≤ ∀ >l l . Do ε là tuỳ ý nên ' =l l .

7.3.1 Chú ý

a) Sự tồn tại các giới hạn lặp kể cả khi chúng bằng nhau không suy ra được sự tồn tại giới hạn của hàm theo tập hợp các biến.

Ví dụ 5: Xét hàm số ( ) −=

x yf x,yx+y

.

Ta thấy 0

lim ( ) = 1x

f x,y→

−0 0

lim lim ( ) = 1y x

f x,y→ →

⇒ − và 0

lim ( ) = 1y

f x,y→

0 0

lim lim ( ) = 1x y

f x,y→ →

⇒ .

Bây giờ ta xét giới hạn ( )

lim ( )(x,y) 0,0

f x,y→

.

Trước hết ta thấy ( )n n1, ( ,0) (0,0)n

x y = → khi n +→ ∞ thì 1( ,0) 1 khi f nn

→ →+∞ .

220

220

Mặt khác dãy ( )n n1' , ' (0, )n

x y = (0,0)→ khi n +→ ∞ , nhưng 1f (0, ) 1n

→− . Vậy giới hạn

theo tập hợp các biến ( )

lim ( )(x,y) 0,0

f x,y→

không tồn tại.

b) Sự tồn tại giói hạn theo tập hợp các biến không suy ra được sự tồn tại các giới hạn lặp.

Ví dụ 6: Cho hàm 1( ) ( )sinf x,y = x+yxy

.

Do 10, 0 ( )sinx,y x+yxy

∀ ≠ ≤ 0x+y x y≤ ≤ + → khi ( , ) (0,0)x y → .

Suy ra ( , ) (0,0)

lim ( ) 0x y

f x,y =→

. Tuy nhiên dễ dàng thấy rằng cả hai giới hạn lặp đều không tồn

tại.

Ví dụ 7: Tìm giới hạn khi ( , ) (0,0)x y → của hàm số:

( )2 2

2 2

x yf x,y =x +y− .

a) Ta thấy với dãy 1 1( , ) (0,0) khikz = k +k k

→ → ∞ , dãy tương ứng:

1 1( , ) 0 0 khi kz f kk k

= = → →+∞ .

Mặt khác với dãy 2 1( ) , ) (0,0) khik kx' ,y' =( k +k k

→ → ∞ , nhưng dãy tương ứng:

32 1 3 3( , ) 5 5 5

2

k

2

kz' f k k

k

= = = → khi +k → ∞ .

Vậy hàm số không có giới hạn khi ( , ) (0,0)x y → .

b) Dễ dàng thấy 0 0 0

lim lim ( ) lim( 1) 1y x y

f x,y→ → →

= − = − ,

0 0 0lim lim ( ) lim1 1x y x

f x, y→ → →

= = .

Ví dụ 8: Tìm giới hạn khi (x,y)→ (0,0) của hàm số

arctg yz xx

= .

a) Ta có 0 arctg 02

yz x xx

π≤ = < → khi ( ) (0,0)x, y → . Vậy

(x,y) (0,0)lim =0z→

b) Dễ thấy 0 0 0

lim lim = lim 0 0y x y

z→ → →

= và 0 0 0

lim lim = lim 0 0x y y

z→ → →

= .

221

221

Ví dụ 9: Tìm giới hạn khi (x,y)→(0,0) của hàm số 3 3

2 2

x +yz=x +y

.

a) 3 3 3 3

2 2 2 2

x +y x yz

x +y x +y+

= ≤3 3

2 2 2 2

x yx +y x +y

= + 0x y≤ + → khi ( ) (0,0)x,y → .

Vậy (x,y) (0,0)lim 0z→

= .

b) Dễ thấy 0 0 0

lim lim lim 0y x y

z y→ → →

= = và 0 0 0

lim lim lim 0x y x

z x→ → →

= = .

Ví dụ 10: Tìm giới hạn khi (x,y)→(0,0) của hàm số

1 (1 cos= −2 2

2

+x +yz y)y

.

a) Ta thấy 22(1 )sin2 2

2

y+x +y2z

y= , nên

(x,y) (0,0)

1 1lim 2.4 2

z→

= = .

b) Dễ thấy

2

20 0 0

1+lim lim lim (1 cos )y x y

yz yy→ → →

= − =2 2

20

2(1+ )sin 1 12lim 2.4 2y

yy

y→= =

và 2

0 0 0

1 1lim lim lim2 2x y x

x→ → →

+= = .

7.4 Hàm số nhiều biến số liên tục

7.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm

Giả sử 2⊂D và : →f D .

Định nghĩa 1: Hàm số f(x,y) gọi là liên tục (theo tập hợp các biến) tại 0 0 0( , )∈M x y D nếu >0, >0ε δ∀ ∃ sao cho ∀ ∈M D mà 0( , )<ρ δM M thì

0( ) ( ) ε− <f M f M (7.4.1)

Ta có các định nghĩa tương đương sau.

Định nghĩa 2: Hàm số f(x,y) gọi là liên tục tại 0 ∈M D nếu:

0

0lim ( )= ( )→M M

f M f M (7.4.2)

Nếu D là tập hợp đóng, 0M là một điểm biên của D thì 0

lim ( )→M M

f M được hiểu là giới hạn

của f(M) khi M dẫn tới 0M ở bên trong của D.

222

222

Định nghĩa 3: Hàm số f(M) liên tục tại 0 0 0( , )∈M x y D nếu với mọi dãy

{ }k k k( , ) ⊂M x y D , k 0→M M khi →∞k ta đều có:

k 0( ) ( )→f M f M hay k k 0 0( , ) ( , )→f x y f x y . (7.4.3)

Hàm f(M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D.

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x,y) xác định trong 2 được cho bởi biểu thức; 32

( ) (0,0)( )

0 ( ) (0,0)

2 2

xy x,yf x,y = x +y

x,y =

⎧⎪⎪ ≠⎨⎪⎪⎩

nÕu

nÕu

ta thấy ( )12

2 2xy x +y≤ ( )( )

3210 ( )

2

2 2

2 2

x +yf x,y

x +y⇒ ≤ ≤

= ( )1 0 khi ( ) (0,0)2

2 2x +y x,y→ → .

Vậy hàm số liên tục tại (0,0).

Ví dụ 2: Trong 2 xét hàm số f(x,y) được xác định bởi:

)⎧⎪ ≠⎨⎪⎩

2 2

xy (x,yf x,y = x +y

x,y

nÕu (0,0)( )

0 nÕu ( ) = (0,0).

Ta thấy dãy n n1 1( , ) ( , ) (0,0)= →x yn n

khi n→+∞ nhưng n n( , )2

= → +∞nf x y khi

+→ ∞n . Vậy hàm số không liên tục tại điểm (0,0).

7.4.2 Hàm số liên tục đều

Định nghĩa 4: Hàm số f(M) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu: >0, >0ε δ∀ ∃ sao cho với mọi cặp điểm 1 2, ∈M M D mà 1 2( , )ρ δ<M M ta đều có:

1 2( ) ( ) .ε− <f M f M (7.4.4)

Ví dụ 3: Xét hàm số 2 2z x +y= trên 2 .

Với mọi cặp điểm ( , ) ( , )1 1 1 2 2 2M x y , M x y ta có:

( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2

x x x x y y y yx +y x +y

x +y x +y

− + + − +− ≤

+

Do 2 2 2 21 1 2 2 1 2x +y x +y x x+ ≥ +

223

223

và 2 2 2 21 1 2 2 1 2x +y x +y y y+ ≥ + ,

nên ( )2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2x +y x +y x x y y− ≤ − + −

( ) ( )2 22 1 2 1 2x x y y≤ − + −

Từ trên ta có: 1 2 1 2( ) ( ) 2 ( , )ρ− ≤f M f M M M . Do đó:

21 20, , ,

2εε δ∀ > ∃ = ∀ ∈M M mà 1 2( , )ρ δ<M M thì 1 2( ) ( ) ε− <f M f M .

Vậy hàm số liên tục đều trên 2 .

Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm một biến số liên tục. Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong tập compac (đóng và bị chặn) thì nó bị chặn trong miền ấy, nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất trong miền ấy, nó liên tục đều trong miền ấy.

7.4.3 Liên tục theo từng biến

Định nghĩa 5: Cho hàm z = f(x,y) xác định trên tập 2⊂D

a) Ta nói rằng hàm z = f(x,y) liên tục theo biến x tại điểm 0 0 0( , )∈M x y D nếu hàm một biến 0f( , )x y liên tục tại điểm 0x , tức là:

lim ( ) ( )0

0 0 0x xf x,y f x ,y

→= . (7.4.5)

b) Ta nói rằng hàm z = f(x,y) liên tục theo biến y tại điểm 0 0 0( , )∈M x y D nếu hàm ( )0f x ,y liên tục tại điểm 0y , tức là:

lim ( ) ( )0

0 0 0y yf x ,y f x ,y

→= (7.4.6)

c) Nếu hàm z = f(x,y) liên tục theo biến x và y tại điểm 0M , ta nói rằng nó liên tục theo từng biến tại 0M .

Định lí 7.4.1: Nếu hàm z = f(x,y) liên tục tại 0 ∈M D (liên tục theo tập hợp các biến) thì nó liên tục theo từng biến tại 0M .

Chứng minh: Giả sử f(x,y) liên tục tại điểm 0 0 0( , )∈M x y D . Khi đó >0, >0ε δ∀ ∃ sao cho∀ ∈M D mà 0( , )ρ δ<M M thì 0( ) ( ) ε− <f M f M , hay là:

>0, >0ε δ∀ ∃ sao cho ( )∀ ∈x, y D mà ( ) ( )2 20 0x x + y y δ− − < thì

( ) ( , )0 0f x,y f x y ε− < (7.4.7)

Bây giờ ta xét các điểm ( )∈M x, y D mà 0 0,x - x y = yδ< . Rõ ràng rằng 2 2

0 0 0 0( , ) ( ) +( ) | |ρ δ= − − = − <M M x x y y x x nên theo (7.4.7) ta có:

224

224

0 0 0( ) ( ) ( ) ( , )0f M f M f x,y f x y ε− = − < , từ đấy suy ra hàm số liên tục theo biến x tại

0x .

Tương tự, hàm z = f(x,y) liên tục theo biến y tại 0y .

Chú ý rằng điều ngược lại chưa chắc đã đúng, tức là nếu hàm f(x,y) liên tục theo từng biến thì chưa thể kết luận nó liên tục theo tập hợp các biến.

Ví dụ 4: Xét hàm

0( )

0

2 22 2

2 2

xy x +y x +yz=f x,y =

x +y =

⎧ ≠⎪⎨⎪⎩

nÕu

0 nÕu

Bởi vì f(x,0)=0, Rx∀ ∈ nên 0

lim f( ,0) = 0 = f(0,0)x

x→

, tức là hàm số liên tục theo biến x tại

(0,0).

Tương tự f(x,y) liên tục theo biến y tại (0,0). Tuy nhiên f(x,y0) không liên tục tại (0,0), bởi vì dãy

( )n n1 1, ( , ) (0,0)= →x yn n

khi +→ ∞n ,

nhưng dãy 1 1 1( , )2

→ fn n

≠ 0 = (0,0)f .

Vậy liên tục theo tập hợp các biến mạnh hơn liên tục theo từng biến.

Ví dụ 5: Xét hàm:

1 4 khi 4 1( )

khi 4 1

2 2 2 2

2 2

x y x + yf x,y =

c x + y >

⎧ − − ≤⎪⎨⎪⎩

trong đó c là hằng số.

Rõ ràng tại các điểm M(x,y) mà 4 < 12 2x + y và 4 12 2x + y > hàm số liên tục. Xét điểm

0 0 0( , )M x y thoả mãn 2 20 0+4 =1x y , ta thấy khi 0 0 0( ( , )→M x, y) M x y thì

f(x,y) 2 20 01 4 0x y→ − − = . Do đó để hàm liên tục trên 2 thì c = 0.

7.5 Phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số

7.5.1 Đạo hàm riêng và vi phân cấp một

7.5.1.1 Đạo hàm riêng

Cho hàm số z = f(x,y) xác định trong miền 2D ⊂ và điểm 0 0 0M ( , )x y là một điểm của D. Cho 0x một số gia tuỳ ý xΔ và 0y một số gia tuỳ ý yΔ với xΔ , yΔ đủ bé sao cho

0 0+ Δ Δ ∈(x x, y + y) D và lập biểu thức:

( ) ( , ),x 0 0 0 0f= f x x,y f x yΔ + Δ −

225

225

( ) ( , ).y 0 0 0 0f= f x ,y + y f x yΔ Δ −

Đại lượng x fΔ , y fΔ gọi là số gia riêng của hàm f(x,y) theo biến x, y tương ứng tại điểm

0 0 0( , )M x y , còn đại lượng:

) ( , )Δ + Δ + Δ −0 0 0 0f = f(x x, y y f x y gọi là số gia toàn phần của f(x,y)tại 0 0 0( , )M x y .

Định nghĩa 1: Đạo hàm riêng của hàm f(x,y) theo biến x tại điểm 0M và kí hiệu ( , )0 0f x yx∂∂

là

giới hạn:

0 0

( ) ( , )( , ) lim limx 0 0 0 00 0 x x

f f x x,y f x yf x yx x xΔ → Δ →

Δ + Δ −∂= =

∂ Δ Δ (7.5.1)

Tương tự, đạo hàm riêng của hàm f(x,y) theo biến y tại điểm 0M là giới hạn:

0 0

( ) ( , )( , ) lim limy 0 0 0 00 0 y y

f f x ,y + y f x yf x yy y yΔ → Δ →

Δ Δ −∂= =

∂ Δ Δ (7.5.2)

Đạo hàm riêng của hàm z = f(x,y) theo biến x tại điểm ( , )0 0 0M x y còn được kí hiệu là:

xf ′ ( , ), ( , ), ( , )0 0 0 0 x 0 0zx y x y z' x yx∂∂

Đạo hàm riêng của hàm z = f(x,y) theo biến y tại điểm 0 0 0M ( , )x y còn được kí hiệu là:

( , ), ( , ), ( , )y 0 0 0 0 y 0 0zf x y x y z' x yy∂′∂

.

Tổng quát muốn tính đạo hàm riêng theo biến kx của hàm ( , ,..., )1 2 nz= f x x x tại điểm , ,..., ) n

0 10 20 n0M (x x x ∈ ta tính đạo hàm theo một biến kx của hàm:

10 ( -1)0 ( 1)0 0) ,..., , , ,..., )ϕ =k k k k+ n(x f(x x x x x

và xem các biến khác là tham số cố định.

Ví dụ 1: Cho 2 3 23 2 1 sin( )= + + − +z x y x y xy

2 26 2 cos( )∂= + +

∂z xy y xyx

,

2 2 23 3 2 cos( )∂= + +

∂z x y xy xyy

.

Chú ý rằng ta không được xem các kí hiệu zx∂∂

, zy∂∂

là những phân số. Để thấy rõ diều

này ta hãy xét ví dụ sau.

Ví dụ 2: Xét phương trình Mendeleev-Claplyron: pv = RT.

Ta có: 2

RT RT( )pv v v v∂ ∂

= = −∂ ∂

,

226

226

RT R( )T Tv

p p∂ ∂

= =∂ ∂

,

T p( )R Rv v

p p∂ ∂

= =∂ ∂

.

Tích của ba đạo hàm riêng này là một hệ thức quan trọng trong nhiệt động lực học:

2

T RT RT R

∂ ∂ ∂⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

∂ ∂ ∂p v vv p v p

RT 1pv

= − = − .

Nếu như các kí hiệu của các đạo hàm riêng là những phân số thì ta được 1 chứ không phải là −1.

Nếu hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục trên tập U, ta nói rằng f(x,y) thuộc lớp 1( )C U và kí hiệu 1( ) ( )∈f x, y C U .

7.5.1.2 Vi phân toàn phần

Định nghĩa 2: Cho z = f(x,y) xác định trong D và 0 0 0( , )∈M x y D . Nếu ta có thể biểu diễn số gia toàn phần Δf dưới dạng:

= . + . + . +α βΔ Δ Δ Δ Δf A x B y x y . (7.5.3)

trong đó A, B là hằng số chỉ phụ thuộc ,0 0x y , còn α , β dần tới 0 khi 0→M M , thì hàm f(x,y) khả vi tại điểm 0 0 0( , )M x y .

A. +B.x yΔ Δ (7.5.4)

gọi là vi phân toàn phần của z = f(x,y) tại 0M và được kí hiệu là dz hay df.

Hàm số z = f(x,y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền D.

Đặt ( ) ( )2 2= x + yρ Δ Δ , ta có thể viết (7.5.3) dưới dạng:

f =A. +B. +o( )x y ρΔ Δ Δ . (7.5.3)’

trong đó 0

lim o( )S

ρ→

=0.

Chú ý 1: Nếu hàm số f(x,y) khả vi tại 0M , thì từ (7.5.3) suy ra rằng: 0fΔ → khi

0, 0x yΔ → Δ → , tức là f(x,y) liên tục tại 0M . Vậy hàm số f(x,y) khả vi tại 0M thì liên tục tại

0M .

Chú ý 2: Đối với hàm một biến số y = f(x), nếu tại x = 0x tồn tại đạo hàm hữu hạn 0( )′f x , thì ta có:

( ) ( ) ( )0 0 0y=f x x f x f x x+ . xα′Δ + Δ − = Δ Δ ,

trong đó 0α → khi 0xΔ → , tức là hàm khả vi tại x = 0x .

227

227

Đối với hàm nhiều biến số z = f(x,y) sự tồn tại của các đạo hàm riêng tại 0 0 0M ( , )x y chưa đủ để hàm khả vi tại 0M .

Thật vậy, ta hãy xét hàm số sau:

( )( )

( )

2 2

xy x,yx +yf x,y =

x,y =

⎧ ≠⎪⎨⎪⎩

nÕu (0,0)

0 nÕu (0,0)

Ta có:

0 0

( ) (0,0) ( 0)(0,0) lim limΔ → Δ →

Δ Δ′ =Δ Δx x x

f x,0 -f f x,f =x x 0

0lim 0x xΔ →

= =Δ

,

Tương tự: (0,0)=0′yf .

Các đạo hàm riêng ′f x , ′f y tại (0,0) đều tồn tại, nhưng hàm số f(x,y) không liên tục tại (0,0), nên không khả vi tại (0,0).

Sau đây ta hãy chứng minh định lí về điều kiện đủ để hàm z=f(x,y) khả vi tại 0 0 0M ( , )x y .

Định lí 7.5.1 Nếu hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng trong lân cận của điểm 0 0 0M ( , )x y và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại điểm 0M , thì f(x,y) khả vi tại 0M và ta có công thức:

x ydz f x f y′ ′= Δ + Δ . (7.5.5)

Chứng minh: Ta có thể viết vi phân toàn phần fΔ dưới dạng

( ) ( , )0 0 0 0f= f x x,y y f x yΔ + Δ + Δ −

[ ]( ) ( , )0 0 0 0f x x,y y f x y y= + Δ + Δ − + Δ [ ]( ) ( , )0 0 0 0f x ,y y f x y+ + Δ − . (7.5.6)

Áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm một biến số ta được:

1( ) ( , ) ( , )0 0 0 0 x 0 0f x x,y y f x y y f x x y y xθ′+ Δ + Δ − + Δ = + Δ + Δ Δ (7.5.7)

2( ) ( , ) ( , )0 0 0 0 y 0 0f x ,y y f x y f x y y yθ′+ Δ − = + Δ Δ (7.5.8)

trong đó 0< 1θ <1, 0< 2θ <1.

Ngoài ra, do ,x yf f′ ′ liên tục tại 0 0 0M ( , )x y nên:

1( , ) ( , )x 0 0 x 0 0f x x y y f x yθ α′ ′+ Δ + Δ = + (7.5.9)

2( , ) ( , )y 0 0 y 0 0f x y y f x yθ β′ ′+ Δ = + (7.5.10)

trong đó 0α → , 0β → khi x 0, y 0Δ → Δ → . Do đó:

( , ) ( , )x 0 0 y 0 0f f x y x f x y y . x yα β′ ′Δ = Δ + Δ + Δ + Δ (7.5.11)

vậy theo định nghĩa hàm số z = f(x,y) khả vi tại 0M và ta có công thức (7.5.5).

Chú ý 3: Ta thấy rằng đối với f(x,y) = x, ta có:

228

228

1 0f f, x y∂ ∂

= =∂ ∂

, do đó theo định nghĩa x ydf = f' x+f' yΔ Δ suy ra:

dx= xΔ .

Tương tự đối với f(x,y)=y ta có dy= yΔ .

Do đó nếu x,y là các biến số độc lập thì xΔ =dx, yΔ =dy và ta có thể viết:

x ydf f dx f dy′ ′= + . (7.5.12)

Chú ý 4: Theo định nghĩa (7.5.3) và công thức (7.5.11), khi xΔ , yΔ khá bé ta có thể xem fΔ ≈df, tức là:

) ( , ) f ( , ) ( , )0 0 0 0 x 0 0 y 0 0f(x x,y y f x y x y x+f x y y′ ′+ Δ + Δ ≈ + Δ Δ

(7.5.13)

Ví dụ 3: Tính gần đúng 1,02arctg0,95

.

Xét hàm số arctg=yzx

. Ta thấy 2 2 2 2' , '−= =

+ +x yy xz z

x y x y.

Coi 0x =1, 0y =1 và xΔ =−0,05, yΔ =0,02. Theo công thức (7.5.13) ta có:

1,02arctg0,95

= z(1−0,05,1+0,02)≈ z(1,1)+1.0,02+1.0,052

= arctg1+0.035=4π +0,035=0,82 rad.

7.5.1.3 Đạo hàm riêng của hàm số hợp

Cho 2 1D,G ,⊂ Δ∈ và ánh xạ : D Gϕ → được xác định như sau:

Với (x,y)∈D, ( ) ( ( ) ( )x,y = u x,y ,v x,y Gϕ ∈ .

Hơn nữa cho ánh xạ f: G →Δ được xác định, với (u,v) G∈ , f(u,v)=z∈ Δ .

Ánh xạ tích, kí hiệu F = foϕ, xác định bởi:

F(x,y) = (foϕ)(x,y) =f[ ( )x, yϕ ]=f[u(x,y),v(x,y)]= z,

gọi là hàm hợp của các biến số x, y. Ta có định lí sau mà phần chứng minh của nó độc giả có thể đọc trong [1].

Định lí 7.5.2 Nếu f(x,y) có các đạo hàm riêng ,f fu v∂ ∂∂ ∂

liên tục trong miền G và nếu tồn tại các

đạo hàm riêng , , ,u u v vx y x y∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

trong miền D, thì tồn tại các đạo hàm riêng ,F Fx y

∂ ∂∂ ∂

và ta có

công thức:

229

229

F f u f vx u x v x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂, (7.5.14)

F f u f vy u y v y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂. (7.5.15)

Các công thức (7.5.14) và (7.5.15) có thể viết dưới dạng ma trận:

( , ) ( , )

u u x yF F f fv vx y u v x y

∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟=⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

. (7.5.16)

Ma trận

u u x yv v x y

∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

gọi là ma trận Jacôbi của biến u, v đối với x, y, còn định thức của ma

trận được gọi là định thức Jacôbi của u,v đối với x,y và được kí hiệu là ( )( )

D u,vD x,y

.

Chú ý 5: Trong các tính toán người ta không phân biệt f và F. Nên ta có thể viết công thức (7.5.14) và (7.5.15) dưới dạng:

. .f f u f vx u x v x∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

, (7.5.14)’

. .f f u f vy u y v y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

. (7.5.15)’

Ví dụ 4: Cho sin( )xy 2 2z=e x y+ , tính zx∂∂

và zy∂∂

.

Đặt u=xy, v= 2 2x y+ , ta có z= sinue v . Khi đó:

. .z z u z vx u x v x∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

sin cos 2u ue v.y+e v. x=

= sin( ) 2 cos( )xy 2 2 2 2e y x +y + x x +y⎡ ⎤⎣ ⎦

. .z z u z vy u y v y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

sin cos 2u ue v.x+e v. y=

= sin( ) 2 cos( )xy 2 2 2 2e x x +y + y x +y⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Chú ý 6:

a) Nếu z = f(x,y), y = y(x) thì z là hàm hợp của x, z=f(x,y(x)). Khi đó ta có:

. ( )z f f y' xx x y∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂

. (7.5.17)

230

230

b) Nếu z = f(x,y), x = x(t), y = y(t) thì z là hàm số hợp của t thông qua hai biến trung gian x,y. Khi đó ta có:

( ) . ( )dz f fx' t y' tdt x y

∂ ∂= +∂ ∂

. (7.5.18)

Ví dụ 5: Cho cos( )sin( )z= t+ tτ τ− , tính zt∂∂

và zτ∂∂

.

Đặt x= cos( )t+τ , y= sin( )t τ− , khi đó z=xy. Ta có:

z z x z yt x t y t∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

sin( ) cos( )y t+ +x t-τ τ= −

sin( )sin ) cos( )cos( )= t+ (t + t+ tτ τ τ τ− − − =cos2t .

Tương tự:

sin( cos( ) cos2z y t+ ) x t =τ τ ττ∂

= − − − −∂

.

Chú ý 7: (Vi phân của hàm hợp) Cho z = f(u,v) có các đạo hàm riêng liên tục. Giả sử u = u(x,y), v = v(x,y), khi đó z=f[u(x,y),v(x,y)] là hàm của x,y. Nếu giả thiết rằng u,v có các đạo

hàm riêng liên tục, thì từ (7.5.14)’ và (7.5.15)’ suy ra rằng ,f fx y∂ ∂∂ ∂

liên tục. Do đó nếu xem z

là hàm của x,y thì z là khả vi. Ta có

f fdz= dx + dyx y∂ ∂∂ ∂

. (7.5.19)

Bây giờ thay ,f fx y∂ ∂∂ ∂

theo công thức (7.5.14)’ và (7.5.15)’ vào (7.5.19) ta được;

f f f. . . .f u v u vdz= dx + dyu x v x u y v y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

f u u f v v= dx + dy + dx+ dyu x y v x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Theo công thức vi phân của các hàm u,v, ta có thể viết:

f fdz= du + dvu v∂ ∂∂ ∂

. (7.5.20)

Vậy vi phân toàn phần của hàm số z = f(u,v) có cùng một dạng cho dù u, v là các biến độc lập hay u, v là các hàm của các biến số độc lập khác. Do đó vi phân toàn phần của hàm nhiều biến số cũng có dạng bất biến như vi phân của hàm một biến số. Do đó các công thức

d(u v)=du dv,± ± ( )d uv udv + vdu= , 2

u vdu udvdv v

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

cũng đúng khi u, v là các hàm số

của các biến số khác.

7.5.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao

231

231

7.5.2.1 Đạo hàm riêng cấp cao

Cho hàm số hai biến số z = f(x,y) xác định trong miền 2D ⊂ . Các đạo hàm riêng ( , ), ( , )x yf x y f x y′ ′ là những hàm của x và y. Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một,

nếu tồn tại, được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai. Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai được kí hiệu như sau:

2

2

( )

( )

22 x

xy

f f f x,y ,x x x

f f f x,y ,y x x y

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ′′= =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ′′= =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2

( ,y),yxf f f x

x y y x⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ′′= =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2

( )22 y

f f f x,y .y y y⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ′′= =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(7.5.21)

Ví dụ 6: Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2 của hàm sau: 33 3 2 2z=x +y x y− .

3 6 , 3 62 2 2 2z zx xy y x yx y∂ ∂

= − = −∂ ∂

,

( )2

3 6 122 2z x xy xyx y y∂ ∂

= − = −∂ ∂ ∂

,

( )2

3 6 122 2z y x y xyy x x∂ ∂

= − = −∂ ∂ ∂

,

2 2

6 6 , 6 62 2 2 2

z zx y y xx y∂ ∂

= − = −∂ ∂

.

Trong các ví dụ trên ta thấy 2 2z z

x y y x∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

. Vấn đề đặt ra là trong trường hợp khác liệu

điều đó có còn đúng không? Ta thừa nhận định lí quan trọng sau đay.

Định lí 7.5.3 (Định lí Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của điểm ( , )0 0 0M x y hàm số z=f(x,y) có các đạo hàm riêng xy yxf , f′′ ′′ và nếu các đạo hàm ấy liên tục tại 0M thì tại đây:

xy yxf =f′′ ′′ .

7.5.2.2 Vi phân cấp cao

Xét hàm số z=f(x,y) xác định trong miền 2D ⊂ . Ta đã biết vi phân toàn phần của nó:

( ) ( )x ydz=f x,y dx + f x,y dy′ ′ .

Nếu dz tồn tại, thì nó cũng là hàm số của x, y. Vi phân toàn phần của dz nếu tồn tại, được gọi là vi phân toàn phần cấp hai của z và được kí hiệu là 2d z . Vậy:

232

232

( ) ( )2x yd z=d dz =d f dx + f dy′ ′ . (7.5.22)

Tiếp tục như vậy ta có các vi phân toàn phần cấp cao hơn:

( )3 2d z=d d z ,

…………….

( )n n-1d z=d d z . (7.5.22)

Bây giờ ta hãy xây dựng biểu thức cuả vi phân cấp cao. Giả sử x, y là các biến số độc lập. Khi đó dx= x, dy= yΔ Δ là những hằng số và ta có thể viết:

( ) ( ) ( )2x y x x y yd z=d dz = f dx + f dy dx+ f dx + f dy dy′ ′ ′ ′ ′ ′

( )2 22 2

xy yxx y=f dx f f dxdy + f dy′′ ′′ ′′ ′′+ + .

Giả sử rằng ′′ ′′xy yxf , f liên tục, khi đó chúng bằng nhau, vì vậy:

22 22 2 2

xyx yd z=f dx f dxdy f dy′′ ′′ ′′+ + (7.5.21)

hay 2 2 2

22 2 22 2

f f fd z= dx dxdy+ dyx x y y

∂ ∂ ∂+

∂ ∂ ∂ ∂. (7.5.21)’

Ta thường kí hiệu (7.5.21) dưới dạng: 2

.2d z= dx dy fx y

⎛ ⎞∂ ∂+⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

(7.5.22)

Tiếp tục quá trình trên, ta có công thức sau: n

nd z= dx dy fx y

⎛ ⎞∂ ∂+⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

. (7.5.23)

Cuối cùng ta chú ý rằng nếu x,y không phải là biến số độc lập, mà là hàm của các biến số độc lập s,t khác. Khi đó dx,dy không phải là các hằng số mà phụ thuộc vào s,t. Do đó:

( ) ( )2x yd z=d dz =d f dx + f dy′ ′ .

Sử dụng công thức vi phân của một tổng, một tích hai hàm số:

( ) ( ) ( ) ( )2x x y yd z=d f dx+f d dx +d f dy+f d dy′ ′ ′ ′

22 2 2

xy xxd z=f dx f dxdy+f d x+′′ ′′ ′+ 2

2 2yx yy

f dy f dydx+f d y′′ ′′ ′+

22 22 2 2 2

xy x yx y=f dx f dxdy+f dy f d x+f d y′′ ′′ ′′ ′ ′+ + . (7.5.24)

Ví dụ 7: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 và vi phân cấp 2 của hàm ln( )2z= x +y .

2 ,2 2

z x z 1x x +y y x +y∂ ∂

= =∂ ∂

,

233

233

( )

2

22 2( )2 2

z x xx y y x +y x +y

∂ ∂= = −

∂ ∂ ∂,

( )

2

22

2 2

z 1 xy x x x +y x +y

⎛ ⎞∂ ∂= = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠

,

( )

2

222

2 2 2

z 2x y-xx x x +y x +y

⎛ ⎞∂ ∂= =⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

,

( )

2

21 1( )2 2 2

zy y x +y x +y

∂ ∂= = −

∂ ∂.

Từ đây ta có thể tính vi phân cấp 2 của hàm z: 2 2 2

22 2 22 2

f f fd z= dx dxdy+ dyx x y y

∂ ∂ ∂+

∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )2 2 24 12

22 2

2 2 2

y x xdxdydx dyx +y x +y x +y

−= − − .

Ví dụ 8: Xét hàm số:

( )khi ( ) (0,0)

0 khi ( ) = (0,0).

2 2

xy x,yx +yf x,y x,y

⎧ ≠⎪= ⎨⎪⎩

Trong phần đầu của tiết này ta đã biết (0,0)=0xf ′ và ( )2( )

3 2

x 2 2

y x yf x,y =x +y

−′ . Do đó ta có hàm

số mới:

( )2 khi ( ) (0,0)( )

0 khi ( ) (0,0).

3 2

2 2x

y x y x,yf x,y = x +y

x,y =

⎧ −≠⎪

′ ⎨⎪⎩

Bây giờ ta hãy tính (0,0)xyf ′′ . Theo định nghĩa:

( )2

(0, ) (0,0) 1(0,0) lim limx xxy y 0 y 0

f y ff =y yΔ → Δ →

′ ′Δ −′′ =Δ Δ

không tồn tại.

Do đó theo định nghĩa đạo hàm (0,0)xyf ′′ không tồn tại.

7.6 Đạo hàm của hàm số ẩn

7.6.1 Khái niệm về hàm số ẩn một biến số

234

234

Cho hệ thức giữa hai biến số x, y có dạng

F(x,y)=0 (7.6.1)

trong đó F(x,y) là hàm hai biến số được xác định trong tập 2D ⊂ .

Hàm số y=f(x) gọi là được xác định một cách ẩn bởi hệ thức (7.6.1) nếu khi thế y=f(x) vào (7.6.1) ta được một đồng nhất thức.

Ví dụ 1: Từ hệ thức

12 2

2 2

x y+a b

= (7.6.2)

ta được 2 2by= a xa

± − . Vậy hệ thức (7.6.2) xác định hai hàm ẩn trong [−a,a].

Ví dụ 2: Từ mỗi phương trình: 2y− 3x = 0, 02 2x y− = , có thể xác định y như là hàm ẩn của x được xác định trong 1 .

Tuy nhiên không phải từ (7.6.1) lúc nào cũng giải hiển được y theo x, ví dụ như từ hệ thức:

ln(xye x+y)= với x+y>1.

a) Sự tồn tại của hàm số ẩn Ta thừa nhận định lí sau về sự tồn tại, liên tục, khả vi của các hàm số ẩn.

Định lí 7.6.1 Giả sử ( ) 00 0F x ,y = . Nếu hàm số F(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của điểm ( )0 0 0M x ,y và nếu ( ) 0y 0F' M ≠ , thì từ hệ thức (7.6.1) có thể xác định duy nhất một hàm số ẩn y = f(x) xác định trong lân cận nào đó của 0x sao cho ( ( )) = 0 ( )0 0F x,f x ,y =f x . Hơn nữa hàm số ẩn đó liên tục và có đạo hàm liên tục trong lân cận nói trên.

Ví dụ 3: Xét hàm số ( ) ln( )xyF x,y =e x+y− với x+y >1 và điểm 0M (0,e).

Ta thấy F(0,e)=0, xyx

1F' yex+y

= − , 1xyyF' xe

x+y= − và 1(0, 0yF' e)=

e− ≠ .

Vậy trong lân cận của điểm 0 =0x , từ hệ thức F(x,y)=0 có thể xác định được duy nhất hàm ẩn y = y(x).

Ví dụ 4: Xét hệ thức:

( ) ( ) ( ) 02 2 2 2 2 2F x,y x y 2a x y= + − − = và điểm 0M (0,0) .

Ta thấy:

4 ( ) 4 4 ( ) 42 2 2 2 2 2x yF x x +y a x, F y x +y + a y′ ′= − = .

Khi x=0, y=0 thì F(x,y) =0, xF ′=0 và yF ′=0.

Vậy từ hệ thức F(x,y)=0 không tồn tại hàm ẩn trong lân cận điểm 0M (0,0) .

b) Đạo hàm của hàm số ẩn

235

235

Giả sử các giả thiết của định lí 1 vừa trình bày được thoả mãn , khi ấy hệ thức (7.6.1) xác định một hàm số ẩn y=f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trong một khoảng nào đó. Ta có thể viết:

F(x,y)=0 trong đó y=f(x). (7.6.3)

Lấy đạo hàm hai vế (7.6.3) theo x ta được:

0x ydyF' F'dx

+ = .

Từ đây suy ra:

x

y

F'dydx F'

= − . (7.6.4)

Ví dụ 4: Xét hệ thức ( ) 1 02 2

2 2

x yF x,y = +a b

− = .

Ta thấy 2 2,x y2 2

x yF' F'a b

= = .

Vậy 0y∀ ≠ từ hệ thức trên ta có thể xác định được hàm ẩn y = f(x) xác đinh trong [−a,a] và đạo hàm của hàm số ẩn này là:

2

2

b xy'=a y

− ⋅ .

c)Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số ẩn

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm 0 0 0M ( , )x y , trong đó ( )0 0y f x= có phương trình:

( ) ( )( )

x 0 00 0

y 0 0

F' x ,yy y x xF' x ,y

− = − −

hay ( ) ( ) ( ) ( ) 00 x 0 0 0 y 0 0x x F' x ,y + y y F x ,y′− − = . (7.6.5)

Ví dụ như, tiếp tuyến tại điểm 0 ( )0 0M x ,y của elip 1 02 2

2 2

x y+a b

− = có phương trình:

2 2( ) ( ) 00 00 02 2

x yx x y ya b

− + − = .

Với sự chú ý đến 2 2

10 02 2

x ya b

+ = ta có phương trình:

1 00 02 2

xx yya b

+ − = .

7.6.2 Khái niệm hàm số ẩn của hai biến số

Tương tự như trên, ta tìm điều kiện để từ hệ thức giữa ba biến số x, y, z dạng:

236

236

F(x,y,z)=0 (7.6.6)

có thể xác định hàm số ẩn.

a) Sự tồn tại của hàm số ẩn

Định lí 7.6.2: Cho hệ thức F(x,y,z)=0 và điểm 0 0 0 0( )M x ,y ,z với 0 0 0( ) 0F x ,y ,z = . Nếu hàm số F(x,y,z) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận điểm 0 0 0 0( , , )M x y z và nếu 0( ) 0zF' M ≠ , thì từ hệ thức (7.6.6) ta xác định được một hàm số ẩn z = f(x,y) trong lân cận nào đó của điểm

0 0( )x ,y thoả mãn ( )0 0 0z f x ,y= . Hơn nữa hàm số đó liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận nói trên.

b) Đạo hàm của hàm số ẩn hai biến số

Với các giả thiết của định lí 7.6.2, từ (7.6.6) ta có thể xác định được hàm z=f(x,y). Do đó ta có thể viết:

F(x,y,z)=0 với z=f(x,y). (7.6.7)

Lấy đạo hàm hai vế (7.6.7) lần lượt đối với x, y ta được:

. 0x z xF' F' z'+ = , . 0y z yF' F' z'+ = .

Theo giả thiêt 0zF' ≠ , từ đây suy ra:

, yxx y

z z

F'F'z' z'F' F'

= − = − . (7.6.8)

Ví dụ 5 Cho ( ) 3 1 0z 3 3 3F x,y,z =e +x +y +z xy =− − .

Ta thấy 3 3 3 0,2 2 z 2x y zF' x 3y,F' y 3x,F' e z z= − = − = + ≠ ∀ .

Do 0zF' ≠ , z∀ , nên hệ thức trên xác định một hàm số ẩn z = f(x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục, ngoài ra:

3 33 3

2 2

x yz 2 z 2

x 3y y 3xz' , z'e z e z

− −= − = −

+ +.

c) Mặt phẳng tiếp xúc

Gọi S là đồ thị hàm số ẩn z = f(x,y) mà ta vừa trình bày. Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với S tại điểm 0 0 0 0( , , )M x y z là:

y ( )( )( ). ( )( ) ( )

0 0 0x 0 0 00 0 0

z 0 0 0 z 0 0 0

F' x ,y ,zF' x ,y ,zz z x x y yF' x ,y ,z F' x ,y ,z

−−− = − + − ,

hay dưới dạng đối xứng hơn:

( ) ( ) ( ) ( )

+( ) ( ) 0.0 x 0 0 0 0 y 0 0 0

0 z 0 0 0

x x F' x ,y ,z + y y F' x ,y ,z

z z F' x ,y ,z =

− −

− (7.6.9)

Chẳng hạn, mặt phẳng tiếp xúc với elipxoit

237

237

1 02 2 2

2 2 2

x y z+a b c

+ − =

tại điểm 0 0 0 0( , , )M x y z của nó có phương trình là;

( )2 2 2( ) ( ) 00 0 00 0 02 2 2

x y zx x y y z za b c

− + − + − = ,

hay là:

1 00 0 02 2 2

xx yy zza b c

+ + − = .

7.7 Đạo hàm theo hướng

7.7.1 Đạo hàm theo hướng

Định nghĩa 1: Cho hàm số u=u(x,y,z) xác định trong miền 3G ⊂ . Qua điểm

0 0 0 0( , , ) GM x y z ∈ cho đường thẳng định hướng l có véc tơ đơn vị là l (Hình 7.7.1).

Lấy một điểm M bất kì trên đường thẳng đó. Gọi ρ là độ dài của véc tơ 0M M . Khi đó:

0M M lρ= .

l

Hình 7.7.1

Nếu khi 0ρ → (tức là khi 0M M→ theo hướng l ) tỉ số:

0( ) ( )u M u Muρ ρ

−Δ=

dẫn tới một giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số u theo

hướng l tại 0M và được kí hiệu là ( )0u Ml

∂∂

:

( ) 00 0

( ) ( )lim u M u Mu Ml ρ ρ→

−∂=

∂. (7.7.1)

Chú ý: Nếu l trùng với véc tơ đơn vị i của trục Ox thì:

( ) 0 0 0 0 0 00 0

( , , ) , , )lim u x + y z u(x y zu Ml ρ

ρρ→

−∂=

∂

= 0 0 0( , , )u x y zx∂∂

.

238

238

Vậy đạo hàm ux∂∂

chính là đạo hàm của hàm u theo hướng của trục Ox. Tương tự uy∂∂

là

đạo hàm của hàm u theo hướng của trục Oy, uz∂∂

là đạo hàm của hàm u theo hướng của trục

Oz.

Định lí 7.7.1: Nếu hàm số u=u(x,y,z) khả vi tại điểm M0(x0,y0,z0) thì tại điểm ấy nó có đạo hàm theo mọi hướng l và ta có công thức:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0cos cos cosu u u uM M M Mx y zl

α β γ∂ ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂∂

, (7.7.2)

trong đó cos ,cos ,cosα β γ là các cosin chỉ phương của vectơ l .

7.7.2 Gradien

Cho u = u(x,y,z) là hàm số có các đạo hàm riêng tại 0 0 0 0( , , )M x y z . Gọi gradien của hàm

u tại 0M là véc tơ có các thành phần là ( ) ( ) ( )0 0 0, ,u u uM M Mx y z∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

và kí hiệu

là ( )0grad u M . Như vậy:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0grad u u u u M M i M j M kx y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

(7.7.3)

trong đó , ,i j k là các véc tơ đơn vị của trục Ox,Oy,Oz.

Theo công thức (7.7.2):

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0grad . grad cos(grad , )u M u M l u M u M ll

∂= =

∂.

Do ( )0cos(grad , ) 1u M l ≤ nên ( )0u Ml

∂∂

đạt giá trị lớn nhất bằng ( )0grad u M khi l

cùng phương với grad u .

Ví dụ 1: Cho 33 3 3u=x +y +z + xyz .

Tính grad u và ul

∂∂

tại 0M (1,2,−1), trong đó l là véc tơ đơn vị của 0 1M M với 1M

(2,0,1).

Giải: Ta thấy:

grad 3 3( 3(2 2 2u= (x +yz)i y +zx) j z +xy)k+ +

( )0grad 3( 3 3 ) u M i j k= − + + .

Vì 0 1M M =(1, 2,2)− nên 1 2 2cos ,cos ,cos3 3 3

α β γ−= = = và ta có:

239

239

( )0u 1 2 2M ( 3) 9( ) 9( )

3 3 3l∂ −

= − + +∂

=−1−6+6= −1.

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm 2 2u 2x 3y= − tại điểm P(1,1) theo hướng gradien của hàm này tại P.

4 , 6u ux yx y∂ ∂

= = −∂ ∂

. ( )grad {4, 6}u P = − , véc tơ đơn vị của ( )grad u P

là: 02 3n { , }13 13

= − .

Do đó theo (7.7.2):

0

u 2 3(P) 4. 6( ) 2 13n 13 13∂

= − − =∂

.

Ta cũng có thể thấy theo (7.7.4):

0

u (P) grad u(P) 16 36 52 2 13n∂

= = + = =∂

.

7.8 Công thức Taylor. Cực trị của hàm số nhiều biến số

7.8.1 Công thức Taylor

Trong phần này ta hãy mở rộng công thức số gia giới nội, công thức Taylor đối với hàm số một biến số cho hàm số nhiều biến số.

Định lí 7.8.1: Giả sử hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp (n+1) liên tục trong một lân cận nào đó của điểm 0 0 0( , )M x y . Ngoài ra cho 0x một số gia xΔ , 0y một số gia yΔ sao cho điểm 0 0 0( , )M x x y y+ Δ + Δ cũng nằm trong lân cận nói trên. Khi đó ta có công thức:

0 0 0 0( , ) ( , )f=f x x y y f x yΔ + Δ + Δ −

0 0 0 0 0 01 1 1( , ) ( , ) ... ( , )1! 2! !

2 ndf x y d f x y d f x yn

= + + +

0 01 ( , )1)!

n 1d f x x y y(n+

θ θ++ + Δ + Δ , (7.8.1)

trong đó 0 1θ< < . (7.8.2)

Công thức (7.8.1) gọi là công thức Taylor đối với hàm z=f(x,y).

Chứng minh: Đặt 0 0( ) ( , )F t =f x t x y t y+ Δ + Δ , t [0,1]∈ .

Ta thấy (1) (0)f=F FΔ − . Vì f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp (n+1) liên tục, nên hàm số F(t) có các đạo hàm liên tục đến cấp (n+1) trong đoạn [0,1]. Theo công thức Taylor đối với hàm một biến số F(t) ta có:

1 1 1(1) (0) (0) (0) ( )2! ! ( 1)!

(n) (n+1)F F =F' + F"(0)+...+ F Fn n+

θ− + ,

240

240

trong đó 0 1θ< < (7.8.1)

nhưng 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x yF'(0)=f ' x y x+f ' x y y=df x yΔ Δ ,

……………………………………………………..,

0 0(0) ( , )(n) nF d f x y= ,

0 0( ) ( , )(n+1) n+1F d f x x y yθ θ θ= + Δ + Δ . (7.8.3)

Thế các đẳng thức (7.8.3) vào (7.8.2) ta đựơc công thức (7.8.1).

Chú ý 1: Sử dụng các công thức luỹ thừa tượng trưng để biểu diễn vi phân cấp cao ta có thể viết công thức Taylor như sau:

0 0 0 0( , ) ( , )f f x x y y f x yΔ = + Δ + Δ −

1 ( ) ( )n

k0

k=1x+ y f M

k! x y∂ ∂

= Δ Δ∂ ∂∑ 1 ( ) ( )

( )n+1

1x+ y f Mn+1 ! x y

∂ ∂+ Δ Δ

∂ ∂ (7.8.4),

trong đó 1M nằm trên đoạn thẳng nối điểm 0M với M.

Chú ý 2: Nếu trong công thức (7.8.1) cho n=0, ta được:

0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )f x x y y f x y df x x y yθ θ+ Δ + Δ − = + Δ + Δ (7.8.4)

hay 0 0 0 0( , ) ( , )f x x y y f x y+ Δ + Δ − =

0 0( ) ( , )x+ y f x x y yx y

θ θ∂ ∂= Δ Δ + Δ + Δ

∂ ∂. (7.8.4)’

Ví dụ 1: Khai triển hàm ( ) 2 6 3 52 2f x,y = x xy y x y+− − − − theo công thức Taylor trong lân cận điểm A(1,−2).

Giải: Hàm số đã cho có đạo hàm riêng đến cấp bất kì. Mặt khác ta thấy các đạo hàm riêng cấp cao hơn hai đều bằng 0, nên số hạng dư bằng 0 và ta có công thức:

21( , ) ( ) ( ) ( )2!

= + +f x y f A df A d f A , hay

(1, 2) (1, 2)( , ) (1, 2) ( 1) ( 2) ...

1 (1, 2) (1, 2) (1, 2)( 1) ( 1)( 2) ( 2) .2!

∂ − ∂ −= − + − + + + +

∂ ∂

⎡ ⎤∂ − ∂ − ∂ −− −⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

2 2 22 2

2 2

f ff x y f x yx y

f f fx + x y+ + y+x x y y

Ta thấy: 4 6∂= − −

∂f x yx

, 2 3∂= − − −

∂f x yy

,

2 2 2

2 24, 1, 2∂ ∂ ∂= = − = −

∂ ∂ ∂ ∂f f f

x x y y, nên

f(1,−2)=5, (1, 2) (1, 2)0, 0∂ − ∂ −= =

∂ ∂f f

x y,

241

241

2 2 2

2 2

(1, 2) (1, 2) (1, 2)4, 1, 2∂ − ∂ − ∂ −= = − = −

∂ ∂ ∂ ∂f f f

x x y y.

Thay các đạo hàm riêng vừa tìm được vào công thức trên ta được: 2 2( , ) 5 2( 1) ( 1)( 2) ( 2)= + − − − + − +f x y x x y y .

7.8.2 Cực trị của hàm nhiều biến số

a) Điều kiện cần của cực trị

Giả sử: f:D → và D là tập mở trong 2 . Điểm 0 0 0( , )M x y là điểm cực trị địa phương của hàm f(x,y) nếu tồn tại 0δ > sao cho: ( , )0M B M Dδ∀ ∈ ∩

0 0( ) ( , ).f x,y f x y≤ (7.8.5)

trong đó M=M(x,y) và 0( , )B M δ là hình tròn tâm M0 bán kính δ.

Điểm 0 0 0( , )M x y là điểm cực tiểu địa phương của hàm f nếu tồn tại 0δ > sao cho: ( , )0M B M Dδ∀ ∈ ∩

0 0( ) ( , ).f x,y f x y≥ (7.8.6)

Để biểu thị cực đại, cực tiểu ta dùng một danh từ chung là cực trị. Trước hết ta hãy chứng minh định lí về điều kiện cần để tồn tại cực trị.

Định lí 7.8.2: Giả sử hàm z=f(x,y) đạt cực trị tại điểm 0 0 0M (x , y ) và tại đó các đạo hàm riêng

0 0( , )f x yx∂∂

và 0 0( , )f x yy∂∂

tồn tại thì các đạo hàm riêng này bằng không.

Chứng minh: Cố định 0y và xét hàm một biến số z=f(x, 0y ). Theo giả thiết hàm số z=f(x,

0y ) đạt cực trị tại x= 0x , nên theo định lí Fecma: 0 0( , ) 0xf x y′ = .

Tương tự: 0 0( , ) 0yf x y′ = .

Trong thực tế có những hàm số liên tục đạt cực trị tại 0 0( , )x y nhưng không có đạo hàm

riêng tại 0 0( , )x y . Ví dụ như hàm số 2 2z= x +y đạt cực tiểu tại gốc toạ độ O(0,0), nhưng tại điểm này hàm số không có đạo hàm riêng. Thật vậy:

0

( 0) (0,0)(0,0) limx

f f x, fx xΔ →

∂ Δ −=

∂ Δ

0 0

1 khi lim lim

1 khi .

+2

-x x

x 0xxx x x 0Δ → Δ →

⎧ Δ →ΔΔ ⎪= = = ⎨Δ Δ − Δ →⎪⎩

Vậy (0,0)fx∂∂

không tồn tại. Tương tự (0,0)fy∂∂

không tồn tại.

242

242

b) Điểm tới hạn: Cho hàm số z=f(x,y) xác định trong tập mở 2D ⊂ . Những điểm mà tại đó fx∂∂

và fy∂∂

triệt tiêu, hoặc fx∂∂

, hoặc fy∂∂

không tồn tại gọi là những điểm tới hạn của hàm số.

c) Điều kiện đủ của cực trị Giả sử hàm z=f(x,y) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng cấp một, cấp hai liên tục

trong khoảng nào đó của điểm dừng 0 0 0( , )M x y , tức là các điểm thoả mãn điều kiện:

0 0( , )f x yx∂∂

=0 và 0 0( , )f x yy∂∂

=0. (7.8.7)

Xét số gia:

0 0 0 0 0 01( ) ( , ) ( , ) ( , )1!

f ff=f x,y f x y x y x+ x y yx y

⎡ ⎤∂ ∂Δ − = Δ Δ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

2 2 22 2 2

0 0 0 0 0 02 2

1 ( , ) 2 ( , ) ( , ) o( )2!

f f fx y x + x y x y x y yx x y y

⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ Δ Δ Δ + Δ + ρ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

trong đó 2 2x yρ = Δ + Δ .

Với các điều kiện (7.8.7) ta có:

0 0( ) ( , )f=f x,y f x yΔ − =

=2 2 2

20 0 0 0 0 02 2

1 ( , ) 2 ( , ) ( , )2!

2f f fx y x + x y x y x y yx x y y

⎡ ⎤∂ ∂ ∂Δ Δ Δ + Δ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

2o( )ρ+ .

Đặt2 2 2

0 0 0 0 0 0( , ), ( , ), ( , )2 2

f f f= x y = x y = x yx x y y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

A B C ,

khi đó:

2 2 21 2 o( )2!

f= x + x y y ρ⎡ ⎤Δ Δ Δ Δ + Δ +⎣ ⎦A B C . (7.8.8)

α )Trường hợp 1

Nếu 00( 0)

2⎧ − >⎨

> >⎩

AC BA C

Khi đó dạng toàn phương là xác định dương, nên fΔ cũng dương, tức là hàm đạt cực tiểu tại điểm 0 0(x , y ) .

β ) Trường hợp 2

Nếu 2 0

0( 0)⎧ − >⎨

< <⎩

AC BA C

Trong trường hợp này dạng toàn phương xác định âm, nên <0fΔ tức là hàm đạt cực đại tại điểm 0 0( , )x y .

γ ) Trường hợp 3

243

243

Nếu 2 0− <AC B .

Khi đó với giá trị tuỳ ý của xΔ và yΔ tam thức: 2 22x + x y yΔ Δ Δ + ΔA B C có thể lấy giá trị dương, cả những giá trị âm. Trong trường hợp này hàm số không có cực trị.

δ ) Trường hợp 4

Nếu 2 0− =AC B .

Trong trương hợp này ta không thể nói gì về tính chất của các điểm dừng, nó có thể là điểm cực trị, cũng có thể không. Để giải quyết bài toán ta cần phải xét các đạo hàm cấp cao hơn.

Ví dụ 2: Xét hàm số 2 2 4 2 2z x+ y x y= + − − .

Ta thấy hệ phương trình:

2 2 0

4 2 0

z x=xz yy

∂⎧ = −⎪∂⎪⎨∂⎪ = − =∂⎪⎩

có nghiệm x=1, y=2.

Do đó hàm số đã cho chỉ có một điểm dừng 0M (1,2). Giá trị tương ứng của hàm là z=7.

Bây giờ ta tính các đạo hàm riêng cấp hai:

2 2(1,2) 2, (1,2) 0, (1,2) 2.xyx y=z =z =z′′ ′′ ′′= − = = −A B C

Như vậy 2 4 0− = >AC B , A=−2 < 0. hàm số đạt cực đại tại 0M (1,2).

Ví dụ 3: Xét hàm số z=xy.

Ta có A=0, B=1, C=0. Do 2 1 0− = − <AC B , nên hàm số không có cực trị tại (0,0).

Ví dụ 4: Xét hàm số 4 4 2 22z x y x xy y= + − − −

Trước hết ta tính các đạo hàm riêng 3 3' 4 2 2 , ' 4 2 2 .x yz x x y z y x y= − − = − −

Các điểm dừng tìm được từ hệ 3

3

4 2 2 0

4 2 2 0.

x x y

y x y

⎧ − − =⎪⎨

− − =⎪⎩

Hệ này có 3 nghiệm: x1=0, y1=0; x2=−1, y2=−1; x3=1, y3=1. Để kiểm tra điều kiện đủ của cực trị địa phương, ta tính các đạo hàm riêng cấp hai.

2 212 2, 2, 12 2xx xy yyz x z z y′′ ′′ ′′= − = − = − .

Tại điểm (−1, −1) ta có A=10, B=−2, C=10, 2 0Δ = − >AC B , nên tại điểm này hàm đạt cực tiểu, CTz 2= −

Tại điểm (0,0) ta có A=−2, B=−2, C=−2, 2 0Δ = − =AC B . Để tìm hiểu sự tồn tại cực trị, ta hãy xét số gia của hàm tại điểm (0,0):

244

244

4 4 2 2(0,0) ( , ) (0,0) 2 .z z h k z h k h k khΔ = − = + − − −

Nếu k h= và 302

h< < thì

4 2 4 2 2 2 3(0,0) 2 4 2 3 2 ( ) 02

z h h h h h hΔ = − < − = − <

Nếu k=−h và h>0 thì 4 4 2 2 2 4(0,0) 2 2 0z h h h h h hΔ = + − − + = >

Ta thấy số gia (0,0)zΔ nhận các giá trị có dấu khác nhau, bởi vậy tại x1=0, y1=0 hàm số không có cực trị.

Tại điểm (1,1) ta có A=10, B=−2, C=10, 2 0Δ = >AC - B nên tại điểm này hàm đạt cực tiểu, zCT=−2.

7.8.3 Giá lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số trên compac

Ta biết rằng mọi hàm số nhiều biến số liên tục trên tập compac (đóng và bị chặn) D đều đạt giá trị lớn nhất,nhỏ nhất trên tập D. Nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất tại một điểm trong của tập D, thì điểm ấy phải là điểm cực trị của hàm số, do đó nó phải là điểm tới hạn. Hàm số cũng có thể đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên biên của tập D. Do đó muốn tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số trên tập D, ta phải tìm các điểm tới hạn của nó ở trong tập D, tính giá trị của hàm số tại các điểm ấy và so sánh chúng với những giá trị của hàm số trên biên của tập D.

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số 8 3 1 (2 1)2 2 2 2 2z= x + y + x +y +− trên tập đóng D xác định bởi 12 2x +y ≤ .

Ta thấy z liên tục trên D nên nó đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên tập D.

Ta có 8 (1 2 ) 2 (1 4 2 )2 2 2 2z zx x y , y x yx y∂ ∂

= − − = − −∂ ∂

.

Hệ phương trình: 0

0

zxzy

∂⎧ =⎪∂⎪⎨∂⎪ =∂⎪⎩

Có các nghiệm 1 10 = 0 0 ; , 0.2 2

x= ,y ; x= ,y= x= y± ± =

Vậy ta có 5 điểm tới hạn là O(0,0), 11A (0, ),2 2

1A (0, ),2

− 31A ( ,0),2 4

1A ( ,0).2

−

Các điểm này đều nằm trong D. Giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn:

1 2 3 41(0)=0, (A ) (A ) , (A ) (A ) 1.4

z z z z z= = = =

Bây giờ ta xét hàm số trên biên của tập D. Trên biên này ta có:

245

245

1 12 2 2 2x +y y x= ⇒ = − ,

do đó:

3(1 ) 1 (2 1 1) (1 )2 2 2 2 2 2 2z=8x + x + x + x + =x x− − − − với 1 1x− ≤ ≤ .

Hiển nhiên z 0≥ ; z = 0 khi (1 )2 2x x− =0 hay khi x=0( y= 1± ) và = 1x ± (y=0).

Mặt khác 22 2

2 2+1 1 1 1; = khi =1 hay khi = .2 4 4 2

x xz z x x x⎛ ⎞−

≤ = − ±⎜ ⎟⎝ ⎠

So sánh tất cả các giá trị đã tính, ta thấy rằng hàm số đạt giá trị nhỏ nhất m=0 tại O(0,0);

(0,+1); (0,−1); (1,0); (−1,0) và giá trị lớn nhất M=1 tại 1( ,0);2

1( ,0)2

− .

7.9 Cực trị có điều kiện

7.9.1 Định nghĩa:

Cho hàm số z=f(x,y) được xác định trong tập mở 2D ⊂ . Trong tập hợp D cho một đường cong γ có phương trình là ( 0x,y)ϕ = . Người ta gọi cực trị của hàm số

z=f(x,y) (7.9.1)

trong đó các biến số x,y bị ràng buộc bởi hệ thức:

( 0x,y)ϕ = (7.9.2)

là cực trị có điều kiện.

Cụ thể ta nói rằng hàm f(x,y) đạt cực đại(hay cực tiểu) có điều kiện tại 0 0 0( , )M x y γ∈ nếu tồn tại lân cận V D⊂ của điểm 0 0 0( , )M x y sao cho:

0 0 0 0( ) ( , ) ( ) ( , )) ( )f x,y f x y (hay f x,y f x y M x,y V γ≤ ≥ ∀ ∈ ∩ (7.9.3).

7.9.2 Phương pháp tìm cực trị

A. Phương pháp thứ nhất

Giả sử rằng từ điều kiện ( ) 0x,yϕ = ta xác định được một cách duy nhất hàm số y = y(x) đơn trị, khả vi của biến số x. Khi đó hàm z = f(x,y) trở thành: z = f(x,y(x)) =g(x). (7.9.4)

Vì vậy việc tìm cực trị có điều kiện được đưa về việc tìm cực trị thông thường đối với hàm hợp một biến z= g(x).

Ta chú ý rằng phương pháp này không phải bao giờ cũng áp dụng được và nó đòi hỏi phải giải phương trình ( ) 0x,yϕ = đối với một biến số nào đó.

B. Phương pháp thứ hai (Phương pháp nhân tử Lagrange)

Giả sử 0 0 0( , )M x y là điểm cực trị của hàm số f(x,y) với điều kiện ( ) 0x,yϕ = . Khi đó ( ) 00 0x ,yϕ = . Ta giả thiết thêm rằng:

246

246

i) Các hàm f(x,y), ( )x,yϕ có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong lân cận nào đó của điểm 0 0 0( , )M x y .

ii) 0 0( , ) 0x yyϕ∂

≠∂

.

Theo định lí về hàm ẩn trong một lân cận V nào đó của điểm 0 0( , )x y tồn tại duy nhất một hàm khả vi y = y(x) sao cho 0 0( )y y x= . Khi đó hàm g(x) = f(x,y(x)) xác định và có đạo hàm liên tục trong một lân cận nào đó của điểm 0x . Hơn nữa tại điểm x= 0x hàm số g(x) = f(x,y(x)) đạt cực trị địa phương. Do đó:

0 0 0 0 0 0 0 0( ) ( , ( )) ( , ( )). ( ) 0x ydg x f x y x + f x y x y xdx

′ ′ ′= = ,

hay: 0 0 0 0( , ) ( , ) 0f fx y dx + x y dy=x y∂ ∂∂ ∂

. (7.9.5)

Mặt khác ta cũng có:

0 0 0 0( , ) ( , ) 0d x y dx + x y dy=x yϕ ϕϕ ∂ ∂

=∂ ∂

. (7.9.6)

Nhân (7.9.6) với λ rồi cộng từng vế đẳng thức nhận được với (7.9.5) ta được:

0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0f fx y x y dx+ x y x y dy=x x y y

ϕ ϕλ λ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(7.9.7).

Đẳng thức (7.9.7) thoả mãn với mọi λ do đó nếu ta chọn λ sao cho

0 0 0 0( , ) ( , )f x y x yy y

ϕλ∂ ∂+

∂ ∂=0 (7.9.8)

thì ta có: 0 0 0 0( , ) ( , )f x y x yx x

ϕλ∂ ∂+

∂ ∂=0. (7.9.9)

Số λ được chọn như vậy được gọi là nhân tử Lagrange.

Như ta đã biết (7.9.8) và (7.9.9) là điều kiện cần của cực trị thông thường tại điểm 0 0 0( , )M x y của hàm số: ( ) ( )f x,y + x,yλϕ .

Do đó muốn tìm những điểm có thể là điểm cực trị của hàm z = f(x,y) thoả mãn điều kiện ( ) 0x,yϕ = ta hãy lập hàm phụ: F(x,y) = ( ) ( )f x,y + x,yλϕ (

7.9.10)

rồi tìm các điểm dừng của nó. Hệ phương trình:

( ) ( ) 0( ) ( ) 0

( ) 0

x x x

y y y

F f x,y + x,y =F f x,y + x,y =

x,y =

λϕλϕ

ϕ

′ ′ ′⎧ =⎪ ′ ′ ′=⎨⎪⎩

(7.9.11)

cho ta λ và các toạ độ của những điểm có thể là điểm cực trị. Phương pháp này gọi là phương pháp thừa số không xác định Lagrange.

247

247

Giả sử 0 0 0, ,x y λ là nghiệm của hệ (7.9.11). Khi đó ( )x,y γ∀ ∈ , ( ) 0x,y =ϕ , ta xét:

0 0 0 0( , ) ( ) ( , )F x y F x,y F x yΔ = − =

[ ]0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( , ) ( , )=f x,y + x,y f x y x yλ ϕ λ ϕ− +

0 0( , )F x yΔ [ ]0 0 0 0 0( ) ( , ) ( ) ( , )f x,y f x y x,y x yλ ϕ ϕ= − + −

0 0 0 0( ) ( , ) ( , )f x,y f x y f x y= − = Δ .

Vậy nếu 0 0( , )x y là điểm cực trị của hàm F(x,y), thì 0 0( , )x y cũng là điểm cực trị có điều kiện của hàm f(x,y). Do đó ta hãy tìm cực trị của hàm F(x,y). Hàm F(x,y) được xác định bởi hệ thức (7.9.10) gọi là hàm Lagrange.

Mặt khác 0 0( , )x y là điểm cực trị của hàm F(x,y) hay không tuỳ thuộc vào dấu của biểu thức:

2 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) , , ) 2 ( , , )2 22

F Fd F x y (x y dx x y dxdyx x y

λ λ λ∂ ∂= +∂ ∂ ∂

2

0 0 0( , , ) 22

F+ x y dyy

λ∂∂

(7.9.12)

Do: 0 0 0 0( , ) ( , )x y dx+ x y dy=0x yϕ ϕ∂ ∂∂ ∂

, (7.9.13)

hay 0 0

0 0

( , )

( , )

x yxdy= dx

x yy

ϕ

ϕ

∂∂−∂∂

. (7.9.14)

Thay biểu thức này vào 0 0 0( , , )2d F x y λ ta được:

0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , )2 2d F x y G x y dxλ λ= . (7.9.15)

Cho nên nếu:

a) 0 0 0( , , ) 0G x y λ > thì 0 0( , )x y là điểm cực tiểu có điều kiện.

b) 0 0 0( , , ) 0G x y λ < thì 0 0( , )x y là điểm cực đại có điều kiện.

Ví dụ 1: Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi l , hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Giải: Ta hãy tìm cực trị của hàm z = xy thoả mãn điều kiện 2x+2y= l .

Phương pháp thứ nhất: Từ điều kiện của bài toán 22

l xy= − . Ta có hàm z là hàm một

biến:

22 1( ) ( 2 )2 2

l xz x x lx−= = − + , với 0

2lx< < .

248

248

Dễ thấy hàm này đạt cực đại khi 4lx = , từ đây

4ly = .

Vậy trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông là hình có diện tích lớn nhất.

Phương pháp nhân tử Lagrange

Hàm Lagrange: (2 2 )F xy x y lλ= + + − .

Hệ phương trình:

' 2 0' 2 0

2 2

x

y

F yF x

x y l

λλ

⎧ = + =⎪ = + =⎨⎪ + =⎩

có nghiệm , , .8 4 4l l l x yλ = − = =

Ta thấy 2 2" 0, " 1, " 0xyx yF F F= = = ,

nên: 0 0 0( , , ) 22d F x y dxdyλ = .

Mặt khác từ điều kiện ( ) 2 2 0x,y = x+ y lϕ − = , suy ra hệ thức:

0 0 0 0( , ) ( , ) 0x y dx+ x y dy=x yϕ ϕ∂ ∂∂ ∂

,

có dạng 2dx+2dy=0→ dy=−dx.

Do đó: 2 20 0 0( , , ) 2 0d F x y dxλ = − < .

Vậy hàm z(x,y) đạt cực đại có điều kiện khi 4lx = ,

4ly = . Tức là trong số các hình chữ

nhật có cùng chu vi, hình vuông là hình có diện tích lớn nhất.

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm z = xy trên vòng tròn bán kính 1 với tâm tại gốc toạ độ.

Giải: Ta phải tìm cực trị của hàm z = xy thoả mãn điều kiện 2 2 1 0x y+ − = .

Hàm Lagrange: 2 2( ) ( 1)F x,y xy x yλ= + + − .

Xét hệ phương trình:

2 2

2 0 2

2 02

1 0

x

y

F y x y xxF x y y

x y

λ λ

λλ

′ = + = ⇒ = −⎧⎪⎪ ′ = + = ⇒ = −⎨⎪⎪ + − =⎩

Từ hai phương trình đầu suy ra 12

λ = ± .

Với 12

λ = hệ có nghiệm 22

x = , y=− 22

và x=− 22

, y= 22

.

249

249

Với 12

λ = − hệ có nghiệm x= 22

, y= 22

và x=− 22

, y=− 22

.

a) Với 12

λ = hàm Lagrange trở thành:

2 21( , ) ( 1)2

= + + −F x y xy x y , nó có hai điểm dừng: 12 2( , )

2 2−A và 2

2 2( , )2 2

−A .

Mặt khác: 1, 1, 12 2x y xyx yF' x+y, F' x+y, F" F" F"= = = = = .

Khi đó:

1( , ) ( )2

2 2 2 21d F A dx +2dxdy+dy = dx+dy= .

Mặt khác từ điều kiện 1 02 2x +y − = ta được:

2xdx + 2ydy = 0.

Tại 1A đẳng thức trên trở thành

2 2 02 2dx dy dx dy2 2

− = ⇒ = . Từ đây 2 21( , ) 421d F A dx= .

Vậy hàm đạt cực tiểu có điều kiện tại 1A và giá trị cực tiểu bằng z( 1A )=− 12

.

Tương tự hàm đạt cực tiểu có điều kiện tại 2A và giá trị cực tiểu bằng z( 2A )=− 12

.

b) Với 12

λ = −

Hàm Lagrange 1( ) ( 1)2

2 2F x,y =xy x +y− − có hai điểm dừng 32 2( , )

2 2A và

42 2( , )

2 2− −A . Ta có:

1, 1, 12 2x y xyx yF y-x, F x y, F" F" F"′ ′= = − = − = = − .

Khi đó: 21( , ) 2 ( )2

2 2 23d F A dx dxdy dy dx dy− = − + − = − − .

Mặt khác từ điều kiện 1 02 2x +y − = ta được

2xdx + 2ydy = 0.

Tại 3A đẳng thức này trở thành

2 2 2 2 02 2

dx+ dy= dx= dy⇒ − và 1( , ) 42

2 23d F A dx− = − .

250

250

Vậy hàm đạt giá trị cực đại có điều kiện tại 3A và có giá trị cực đại là z( 3A )= 12

.

Tương tự hàm đạt cực trị có điều kiện tại 4A và có giá trị cực đại là 41( )2

z A = .

c.Chú ý: Phương pháp nhân tử Lagrange cũng được mở rộng cho hàm n biến số ( 3n ≥ ).

Muốn tìm cực trị của hàm số u=f(x,y,z) với điều kiện ( ) 0x,y,zϕ = , ta hãy lập hàm Lagrange:

( ) ( ) ( )F x,y,z =f x,y,z x,y,zλϕ− .

Toạ độ điểm dừng của hàm F(x,y,z) và λ là nghiệm của hệ:

( , , ) ' ( , , ) 0( , , ) ' ( , , ) 0

( , , ) ' ( , , ) 0( , , ) 0.

x x

y y

z z

f x y z x y zf x y z x y z

f x y z x y zx y z

λϕλϕ

λϕϕ

′ + =⎧⎪ ′ + =⎪⎨

′ + =⎪⎪ =⎩

.

7.10 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

7.10.1 Tiếp tuyến của đường cong

Giả sử γ là một đường cong trong 3được cho bởi phương trình tham số: x = x(t), y = y(t), z = z(t), [ ]t ,α β∈ , trong đó x(t), y(t), z(t) là những hàm khả vi trong đoạn [ , ]α β (khi đó γ được gọi là đường cong trơn).

Giả sử M là một điểm thuộc γ (xem hình 7.10.1). Khi đó M có toạ độ là (x(t), y(t), z(t)) và véc tơ OM , trong đó O là gốc toạ độ, có các thành phần là: { }( ) ( ) ( )x t , y t , z t .

Hình 7.10.1

Lấy một điểm 0M γ∈ , ( ( ), ( ), ( )) ( )0 0 0 0 0M x t y t z t M t= = .

Đặt ,0 0 0t=t t OM OM OM M MΔ − Δ = − = . Ta thấy vectơ 0M M có các thành phần là

{ }( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0x t x t y t y t ,z t z t− − − .

251

251

Xét véc tơ:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( , , )0 0 00

x t x t y t y t z t z tOM M Mt t t t t

− − −Δ= =

Δ Δ Δ Δ Δ.

Khi 0 , 0t t t→ Δ → thì M(t) dần tới 0 0( )M t M= và cát tuyến 0M M dần tới tiếp tuyến của đường cong tại 0M .

Mặt khác ta có:

{ }lim ( ), ( ), ( ) ( ).00 0 0 0t 0

M M x' t y' t z' t v ttΔ →

= =Δ

Véc tơ 01t

M MΔ

nằm trên phương cát tuyến 0M M nên khi 0tΔ → véc tơ ( )0v t nằm

trên phương của tiếp tuyến của đường cong γ tại 0M . Do đó véc tơ

{ }0 0 0 0( ) '( ), '( ), '( )v t x t y t z t= gọi là véc tơ chỉ phương của tiếp tuyến của đường cong γ tại điểm 0M . Từ đấy suy ra phương trình của tiếp tuyến của đường cong γ tại 0M là:

0 0 0

0 0 0'( ) '( ) '( )x x y y z zx t y t z t− − −

= = (7.10.1)

trong đó 0 0 0 0 0 0( ), ( ), ( )x x t y y t z z t= = = .

7.10.2 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong

Giả sử S là mặt cong trong không gian được cho bởi phương trình f(x,y,z)=0 (xem hình 7.10.2), trong đó f(x,y,z) là hàm số khả vi.

Cho 0 0 0( , , )0M x y z là một điểm nào đó nằm trên mặt S và γ là một đường cong trơn bất kì nằm trên mặt S và đi qua 0M . Giả sử rằng đường cong γ có phương trình tham số:

γ : x=x(t), y=y(t), z=z(t), t [ , ]α β∈ .

Ngoài ra giả sử: 0 0( ),x x t= ( ), ( )0 0 0 0y y t z z t= = trong đó x(t), y(t), z(t) là những hàm khả vi trong [ , ]α β .

Vì γ nằm trên mặt S nên:

f(x(t),y(t),z(t)=0, [ , ]t α β∀ ∈ .

γ

252

252

Hình 7.10.2

Ta có:

'( ) '( ) '( ) 0, [ , ]df f f fx t y t z t tdt x y z

α β∂ ∂ ∂= + + = ∀ ∈∂ ∂ ∂

(7.10.2)

Kí hiệu 0 0 0 0grad ( ) ( ), ( ), ( )f f ff M M M Mx y z

⎧ ⎫∂ ∂ ∂= ⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎩ ⎭

, còn véc tơ

{ } 0( ) ( ), ( ), ( ) ( )0 0 0 0v t x' t y' t z' t v M= = là véc tơ chỉ phương của tiếp tuyến của đường cong γ tại 0M . Theo công thức của tích vô hướng:

0 0 0 0 0 0 0 0grad ( ). ( ) ( ). '( ) ( ). '( ) ( ) '( )f f ff M v t M x t M y t M z tx y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

(7.10.3)

Điều này có nghĩa là véc tơ 0gradf( )M vuông góc với tiếp tuyến của γ tại 0M . Vì γ là

đường cong bất kì nằm trên S và đi qua điểm 0M , nên ta suy ra véc tơ 0gradf( )M vuông góc với mọi tiếp tuyến của các đường cong γ nằm trên S và đi qua điểm 0M . Nói cách khác tất cả các tiếp tuyến tại điểm 0M của mọi đường cong γ nằm trên mặt S đi qua điểm 0 SM ∈

đều cùng nằm trong một mặt phẳng (P) vuông góc với véc tơ 0gradf( )M . Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong S tại điểm 0M .

Như vậy một điểm M(x,y,z) nằm trên mặt phẳng tiếp xúc khi và chỉ khi véc tơ 0M M trực

giao với véc tơ 0gradf( )M , tức là khi và chỉ khi:

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

( , , )( ) ( , , )( )

( , , )( ) 0

f fx y z x x x y z y yx y

f x y z z zz

∂ ∂− + −

∂ ∂∂

+ − =∂

(7.10.4)

trong đó 0 0 0, ,x x y y z z− − − là các thành phần của véc tơ 0M M .

Do đó (7.10.4) là phương trình của mặt phảng tiếp xúc của mặt S tại 0M .

Đường thẳng đi qua 0M cùng phương với 0gradf( )M được gọi là pháp tuyến của mặt S tại điểm 0M . Phương trình của pháp tuyến của mặt S tại điểm 0M là:

0 0 0

0 0 0' ( ) ' ( ) ' ( )x y z

x x y y z zf M f M f M− − −

= = . (7.10.5)

Ví dụ 1: Viết phương trình của pháp tuyến và mặt phẳng tiếp xúc của mặt 2 2 2 0x y z+ − = tại điểm 0M (3,4,5).

Ta có f(x,y,z)= 2 2 2x y z+ − , 2 , 2 , 2x y zf x f y f z′ ′ ′= = = − .

Phương trình của pháp tuyến của mặt S tại 0M là:

253

253

3 4 56 8 10

x y z− − −= =

−

và phương trình của mặt phẳng tiếp xúc của mặt S tại 0M là: 6(x−3)+8(y−4) −10(z−5)=0 hay là 3x+4y−5z=0.

7.10.3 Độ cong

a) Độ cong của đường cong phẳng

Cho đường cong γ không tự giao nhau. Trên γ chọn một hướng làm hướng dương, tiếp tuyến của γ tại M ứng với hương dương của γ được gọi là tiếp tuyến dương (xem hình 7.10.3).

Định nghĩa 1: Cho M và M’ là hai điểm trên đường cong γ , MT và M’T’ là hai ttiếp tuyến

dương. Ta gọi độ cong trung bình của cung MM ′ , kí hiệu tbC ( ')MM , là tỉ số của góc giữa hai

tiếp tuyến dương MT và M’T’ với độ dài của cung MM ′ :

tbC (MM')MM'

=α (7.10.6)

trong đó ( , ' ')MT M Tα = .

Hình 7.10.3

Định nghĩa 2: Người ta gọi độ cong của đường γ tại M, kí hiệu C(M), là giới hạn (nếu có)

của độ cong trung bình tbC ( ')MM khi M’ dần tới M trênγ :

tbM' MC( )= lim C ( ')M MM

→. (7.10.7)

Ví dụ 1: Trên đường thẳng tbC ( ') 0MM = trên mọi đoạn MM’, do đó:

C(M)=0, M∀ .

Ví dụ 2: Trên đường tròn bán kính R, ta có:

254

254

tb1C ( ')

R R'MM

MMα α

= = =α

với mọi cung MM’. Do đó (xem hình 7.10.4): C(M)=

1R

, M∀ .

M

T’

T

M’α

α

Hình 7.10.4

b) Công thức tính

a) Giả sử đường cong γ có phương trình trong hệ toạ độ Descartes vuông góc là y=f(x). Người ta chứng minh được công thức tính độ cong của đường γ như sau:

32

( )(1 )2

y"C M =

y′+. (7.10.8)

b) Nếu γ được cho bởi phương trình tham số x=x(t), y=y(t) thì:

32

( )( )2 2

x y" y x"C M =

x y

′ ′−

′ ′+. (7.10.9)

c) Nếu γ được cho bởi phương trình trong toạ độ cực ( )r f ϕ= thì:

32

( )( )

2 2

2 2

r +2r rrC M =

r r'

′ ′−

+. (7.10.10)

Ví dụ 3: Tính độ cong của đường dây xích ( )ach 0xy aa

= > tại một điểm bất kì.

Ta có: 2sh , 1 ' chx x yy ya a a

′ = + = = , 2

1 ch x yya a a

′′ = = . Thay vào công thức (7.10.8) ta

được: 3

2 3 2

y a aCa y y

= ⋅ = .

255

255

Ví dụ 4: Tính độ cong của đường cycloit:

x=a(t−sint), y=a(1−cost) với a>0.

Ta có x’=a(1−cost), y’=asint, x”=asint, y”=acost. Thay vào (7.10.9) ta được:

cos 1= =

−

t-

taa t

32

1C

4 sin2 (1 cos )2

.

Chú ý độ cong chỉ xác định tại các điểm ứng với ≠ πt 2k .

Ví dụ 5: Tính độ cong của đường ϕ= br ae (a>0, b>0).

Ta có: ϕ ϕ′ ′′= =b br abe r ab e2, . Thay và công thức (7.10.10) ta được:

=+

Cb r2

1

1 ..

c) Độ cong của đường trong không gian

Cho đường cong γ trong không gian có phương trình tham số là: x=x(t), y=y(t), z=z(t).

Tương tự như trong mặt phẳng,người ta chứng minh được công thức tính độ cong của đường γ như sau:

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦=+ +

x y y z z xx y y z z x

Cx y z

12 2 2 2' ' ' ' ' '

'' '' '' '' '' ''

32 2 2 2( ' ' ' )

. (7.10.11)

7.10.4 Bao hình của một họ đườngcong

Giả sử f(x,y,c) là hàm khả vi của hai biến độc lập x,y và tham số c. Nếu phương trình f(x,y,c)=0 (7.10.12) biểu diễn một đường cong với mỗi giá trị của tham số c, thì tập hợp của những đường cong này gọi là họ (một tham số ) những đường cong phụ thuộc vào tham số c.

Họ những đường cong phụ thuộc vào tham số c có thể được cho dưới dạng:

( ) ( )x t,c , y ψ t,cϕ= = , ví dụ như họ những đường tròn đồng tâm 2 2 2x y c+ = có thể biểu diễn dưới dạng tham số: cos sinx c t, y c t= = .

Ta có định nghĩa sau

Định nghĩa: Nếu mọi đường cong của họ (7.10.12) đều tiếp xúc với một đường cong E và ngược lại tại mỗi điểm của đường cong E có một đường cong của họ (7.10.12) tiếp xúc với E tại điểm ấy, thì E gọi là bao hình của họ đường cong (7.10.12).

256

256

Hình 7.10.5

Ví dụ 6: Phương trình 2 2( ) 1x c y− + = , trong đó c là tham số, biểu diễn một ho đường tròn có bán kính bằng 1 và có tâm trên trục Ox (xem hình 7.10.5). Bao hình của đường tròn này là hai đường thẳng song song 1y = ± .

Ví dụ 7: Phương trình cos sin 1 0x yα α+ − = trong đó α là tham số biểu diễn một họ đường thẳng mà khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng ấy bằng 1. Bao hình của họ đường thẳng ấy là đường tròn tâm O bán kính 1.

Ví dụ 8: Tuy nhiên có những họ đường cong phụ thuộc vào một tham số không có bao hình. Ví dụ như họ đường thẳng song song y=x+C, hay họ các đường cong tích phân

( )y f x dx C= +∫ không có bao hình.

Định lí 7.10.1: Cho họ đường cong

( ) 0f x,y,c = (7.10.12)

phụ thuộc vào tham số c. Nếu tại tất cả các điểm của mỗi đường cong ấy ( , , ), ( , , )x yf x y c f x y c′ ′ không đồng thời bằng không, (tức là ( , , ) ( , , ) 02 2

x yf x y c +f x y c′ ′ ≠ ) thì phương trình của bao hình E của họ đường cong nói trên được xác định bằng cách khử c từ hệ:

( , , ) 0( , , ) 0c

f x y cf x y c

=⎧⎨ ′ =⎩

(7.10.13)

Chứng minh: với mỗi giá trị của tham số c có một đường cong cL của họ (7.10.12) tiếp xúc với E, do đó có một tiếp điểm cM của cL với E. Bao hình E là quỹ tích những điểm cM ấy. Gọi toạ độ của điểm cM là ( ), ( )x c y c . Vì điểm ( ( ), ( ))Μ ∈c cx c y c L nên

( )( ), ( ), 0f x c y c c = . Lấy đạo hàm hai vế đối với c ta được:

( ( ), ( )). ( )xf x c y c x c′ ′ +

( ( ), ( ), ). ( ) ( ( ), ( ), ) 0y cf x c y c c y c f x c y c c′ ′ ′+ = (7.10.14)

Mặt khác tại cM các đường E và cL tiếp xúc nhau. Hệ số góc của tiếp tuyến cuả E tại

cM là:

257

257

( )( )1

y ck

x c′

=′

.

Theo giả thiết ( theo định lí về đạo hàm hàm ẩn) hệ số góc của cL tại cM là:

( , , )( , , )

x2

y

f x y ckf x y c′

= −′

.

Vì 1 2k k= nên ta được:

( ( ), ( ), ). ( ) ( ( ), ( ), ). ( ) 0x yf x c y c c x c f x c y c c y c′ ′ ′ ′+ = (7.10.15)

Từ (7.10.14) và (7.10.15) suy ra ( )c , ,f x y c′ =0. Vậy toạ độ những điểm cM của bao hình phải thoả mãn hệ (7.10.13)

Ví dụ 9: Cho họ đường tròn 2 2 2( )x c y− + = .

Xét hệ: 2 2 2( )

2( ) 0x c y

x c⎧ − + =⎨− − =⎩

.

Khử c từ hệ này ta được y = ± . Vậy bao hình của họ đường tròn là: y = ± .

Ví dụ 10: Xét họ các quỹ đạo của viên đạn bắn ra với vận tốc ban đầu 0v theo một góc α với đường nằm ngang. Tìm phương trình của bao hình.

Chọn hệ trục toạ độ như hình 7.10.6, gốc toạ độ tại điểm ban đầu. Ta xem viên đạn là một chất điểm và không kể đến sức cản của không khí. Gọi oxv và oyv là các hình chiếu của vận tốc ban đầu 0v lên các trục toạ độ: 0 cos ,oxv v α= 0 sinoyv v α= . Khi ấy các hình chiếu của vận tốc của viên đạn ở thời điểm t là:

0

0

cos,

sinx

y

v vv v gt=⎧⎪

⎨ = −⎪⎩

αα

do đó

( )

0

0

cossin

dx v dtdy v gt dt

=⎧⎪⎨ = −⎪⎩

αα

, nghĩa là phương trình tham số của quỹ đạo viên đạn là:

0

2

0

cos

sin2

x v t

gty v t

=⎧⎪⎨

= −⎪⎩

α

α

258

258

α

Hình 7.10.6

Khử t từ hai phương trình này ta được:

22 2

0

tg2 cos

gy x xv

= −αα

.

Đặt tgα= c ( tgα là hệ số góc của quỹ đạo ở điểm gốc 0) ta đựoc họ parabol phụ thuộc vào tham số c:

2 22

0

(1 )2

gy cx c xv

= − + .

Lấy đạo hàm hai vế theo c ta được: 22

02

0

0 vgxx c cv gx

= − ⇒ = .

Thế vào phương trình trên ta được: 2

202

02 2v gy x

g v= − .

Đó là phương trình của bao hình của họ quỹ đạo, ta gọi nó là parabol an toàn. paraboloid tròn xoay tạo bằng cách quay parabol an toàn xung quanh trục của nó, chia không gian ra hai phần: những điểm nằm giữa mặt đất và paraboloid có thể đạt được với vận tốc ban đầu đã cho, những điểm ở ngoài Paraboloid thì không thể đạt được với vận tốc ban đầu đã cho và với bất cứ góc nghiêng nào.

7.11 Bài tập chương 7

7.1 Chứng minh rằng tập hợp

( ){ }2 2, ; , 02x y R x y c cΕ = ∈ + < > là tập hợp mở.

7.2 Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp liên thông:

1) ( ){ }2, R ; 1x y x yΕ = ∈ + ≤

259

259

2) ( )2 2 2

32 2 2, ; 1z x yx y R

c a b⎧ ⎫

Ε = ∈ − − ≥⎨ ⎬⎩ ⎭

7.3 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1) 2 2

11

ux y

=+ −

2) 2 2sin( )u x y= +

3) 2ln( )u x y= + 3) 2 2 2

2 2 2

1

1u

x y za b c

=

+ + −

.

7.4 Chứng minh rằng đối với hàm: 2 2

2 2 2( )( )

x yf x,yx y x y

=+ −

.

Các giới hạn { } { }0 0 0 0lim lim ( ) , lim lim ( )x y y x

f x,y f x,y→ → → →

tồn tại và bằng nhau, tuy nhiên không tồn

tại( , ) (0,0)

lim ( )x y

f x,y→

.

7.5 Cho: ( ) sin2

xf x,yx y

=+

π .

Tìm lim lim ( ), lim lim ( )y x x y

f x,y f x,y→∞ →∞ →∞ →∞

.

7.6 Tìm các giới hạn:

1) ( ) ( ), 0,2

sinlimx y

xyx→

2) ( ) ( ) 2 2, 1,0

ln( )limy

x y

x ex y→

+

+

7.7 Tìm điểm gián đoạn của các hàm số sau:

1) 2 2

1ux y

=+

2) 3 3

x yux y+

=+

7.8 Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 và vi phân toàn phần của chúng:

1) 3 2 2u x y xy= + − 2) ( )2 2lnu x x y= + +

3) arctg yux

= 4) yu x=

5) ( )2u ch x y shy= + 6) ( )u sh x y= + .

7.9 Tìm đạo hàm của hàm hợp theo biến t và τ :u x y= + trong đó , lntx e y tτ+= = .

7.10 Tìm các đạo hàm riêng và vi phân cấp 2 của hàm sau: 22u xy y= + .

260

260

7.11 Kiểm tra đẳng thức 2 2u u

x y y x∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

nếu:

1) 2 22 3u x xy y= − − 2) arccos xuy

= .

7.12 Tìm đạo hàm và vi phân cấp 2 của hàm hợp:

1) ( ) , ,u f , ax byξ η ξ η= = = .

2) ( ) , ,u f , x y x yξ η ξ η= = + = − với giả thiết rằng ( )f ,ξ η có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 theo các biến số cuả nó.

7.13 Chứng minh rằng các hàm:

1) arctg yux

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2) ( ) ( )2 2lnu x a y b= − − + −

thoả mãn phương trình Lapplace 2 2

2 2 0u ux y∂ ∂

+ =∂ ∂

7.14 Tìm y’,y” và y”’ nếu 2 2 3x xy y+ + =

7.15 Tìm y’, y” và y”’tại x=0, y=1 nếu: 2 22 1 0x xy y x y− + + − − =

7.16 Các hàm u,v của các biến x,y được cho bởi hệ các hàm ẩn:

( , ) 0( , ) 0

x u vy u v− =⎧

⎨ − =⎩

ϕψ

.

Tìm , , ,u u v vx y x y∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

.

7.17 Tìm ,z zx y∂ ∂∂ ∂

nếu cos , sin ,x u v y u v z cv= = = trong đó u=u(x,y), v=v(x,y), c=const.

7.18 Tìm đạo hàm của hàm z= 2 2x y− tại điểm M(1,1) theo hướng l lập với chiều dương của trục Ox một góc o60α = .

7.19 Tìm đạo hàm của hàm:

z= 2 2x xy y− + tại điểm M(1,1) theo hướng l lập với chiều dương của trục Ox một góc α . Theo hướng nào thì hàm đó

1) Có giá trị lớn nhất 2) Có giá trị nhỏ nhất

3) bằng 0.

7.20 Tìm đạo hàm của hàm z=ln( 2 2x y+ ) tại điểm M( 0 0,x y ) theo hướng vuông góc với đường mức đi qua điểm đó.

261

261

7.21 Tìm đạo hàm của hàm u=xyz tại điểm M(1,1,1) theo hướng {(cos cos ,cos ,cosα β γ }. Độ lớn gradien của hàm tại điểm đó bằng bao nhiêu.

7.22 Tìm góc lập bởi gradien của hàm sau với các trục toạ độ:

1) 3u x y= + 2) 3u x y= +

7.23 Khai triển theo công thức Taylor trong lân cận điểm (0,0) các số hạng đến bậc 3 của hàm:

f(x,y)= sinxe y .

7.24 Khai triển theo công thức Taylor trong lân cận điểm (1,–1) các số hạng đến bậc 3 của hàm:

f(x,y) = x ye + .

7.25 Nghiên cứu cực trị của hàm số sau:

z= 2 2( 2) 2x y− + .

7.26 Nghiên cứu cực trị của hàm số sau:

( 2) 22 2z= x y− − .

7.27 Nghiên cứu cực trị của hàm số sau: 4 4 2 2z=x +y 2x +4xy 2y− − .

7.28 Tìm cực trị của hàm số sau:

22 2u=x +y +z xy+x z− − .

7.29 Tìm cực trị của hàm số sau:

1 2 2z= x +y− .

7.30 Tìm giá trị lớn nhất(nếu có) của hàm số sau:

0 1,0 12 2 1,1 2

≤ ≤ ≤ ≤⎧⎨

− ≤ ≤ ≤ ≤⎩

nÕu( nÕu

1 x yz=

y) 0 x y

7.31 Tìm giá trị lớn nhất(nếu có) của hàm số sau:

( 1, 1)2

2 2

x +yz= x yx +y +1

≤ ≤ .

7.32 Tìm các điểm cực trị có điều kiện của các hàm sau:

1) z=xy nếu x+y=1

2) x yz=a b+ nếu 2 2x +y =1 và a>0, b>0.

3) z= 2 2x +y nếu x ya b+ =1

262

262

7.33 Tìm cực trị của hàm u=xyz nếu 32 2 2x +y +z = .

7.34 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc của các mặt sau:

1) 2 2 22 3 21x + y + z = tại điểm ( 3,0,6) .

2) 2 2 2

2 2 2 1x y z+ + =a b c

tại điểm ( )0 0 0x ,y ,z của nó.

7.35 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt 2 2 22 3 1x y z+ + = sao cho mặt phẳng tiếp xúc song song với mặt phẳng 4 6 0x y z+ + =

7.36 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc và pháp tuyến của mặt 3 33xyz z a− = tại điểm (0, , )a a− .

7.37 Tìm bao hình của họ các đường cong phẳng phụ thuộc một tham số sau:

1) cos sin ( const)x y p pα α+ = =

2) 2

2 2( )2ax a y− + =

3) ( const)ay kx ak

= + =

4) 2 22y px p= +

7.12 Hướng dẫn giải bài tập và đáp số

Chương 1

1.1. Giả sử a + r =b là số hữu tỉ. Khi đó vì b, r là số hữu tỉ nên a = b – r là số hữu tỉ, trái với giả thiết a là số vô tỉ.

1.2. Hiển nhiên khẳng định 1),2),3) đúng, ta hãy chứng minh 4). Thật vậy: ( ), = − =d a c a c

= ( ) ( ) ( ) ( )| a b b c | | a b | | b c | d a,b d b,c− − − ≤ − + − = +

1.3. Theo giả thiết do M bị chặn nên ∃m,n sao cho n x m≤ ≤ , x M∀ ∈

Đặt { }ax m ,r m n= . Do m , nr r≤ ≤ , Nên:

r m rr n r

− ≤ ≤⎧⎨− ≤ ≤⎩

Suy ra: r x r− ≤ ≤ , x M∀ ∈ . 1) Nếu tập X bị chặn trên, thì tập hợp ( )X− bị chặn dưới. Thật vậy, giả sử *sup = mX ,

nghĩa là * x m x M≤ ∀ ∈ và 0, x Xε ′∀ > ∃ ∈ sao cho * *m x mε ′− < ≤ . Nhưng khi đó *x m− ≥ − ( )x X∀− ∈ − và * *m x m ε′− ≤ − < − +

263

263

trong đó: ( )x X′− ∈ −

Từ đây suy ra: *inf( ) supX m X− = − = − .

2) Giả sử *inf X n= , nghĩa là: *x n≥ x X∀ ∈ và 0, x Xε ′∀ > ∃ ∈ sao cho * *n x n ε′≤ < +

Khi đó: *x n− ≤ − và * *n x n′− − < − ≤ −ε với ( )x X′− ∈ −

Do đó: ( ) *sup infX n X− = − = −

1.4. 2, Ta hãy chứng minh công thức ( )inf inf +infX +Y X Y=

Thật vậy, trước hết ta hãy chứng minh sự tồn tại của ( )inf X+Y .

Giả sử inf X = *n và *1inf Y n= .Bởi vì

*x n≥ x X∀ ∈ ; *1y n≥ . y Y∀ ∈ nên

* *1x y n n+ ≥ + , x y∀ + ∈ X+Y .

Từ đây ta suy ra sự tồn tại của inf( )X Y+ .

Rõ ràng rằng: * *1x y n n+ ≥ + , x y∀ + ∈ X+Y .

Hơn nữa 0, x Xε ′∀ > ∃ ∈ sao cho * *

2n x n ε′≤ < + và y Y′∃ ∈ sao cho

* *1 1 2

n y n ε′≤ < + .

Suy ra: x y′ ′∃ + ∈ X+Y .

sao cho * * * *1 1n n x y n n ε′ ′+ ≤ + < + +

Do đó inf( )X Y+ = * *1n n+ =inf infX Y+

Đẳng thức đối với cận trên được chứng minh tương tự.

3, Ta hãy chứng minh công thức sup( ) (sup ).(sup )XY X Y=

Giả sử *sup X m= và *1supY m= ,

Vì x > 0,y > 0 nên * *1m mxy ≤ , suy ra sự tồn tại của ( )sup XY

Từ các bất đẳng thức * *

1m x mε ′− < ≤ , * *1 2 1m y mε ′− < ≤

Suy ra * * * * * *1 1 1 2 1 2 1m m m m x y m mε ε ε ε ′ ′− − + < ≤ .

Vì đại lượng * *1 1 2 1 2m mε ε ε ε+ − có thể nhỏ tùy ý,nên dẳng thức trên được chứng minh.

1.6. Đặt infa N= . Do M\N bị chặn dưới, nên tồn tại cận dưới đúng. Đặt inf \b M N= . a, Nếu b < a ,khi đó: inf inf M b a N= < =

264

264

b, Nếub a≥ , khi đó: inf inf M a N= = Các hệ thức còn lại chứng minh tương tự.

1.7. 1) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ( )))f g h x f g h x f g h x= = , x A∀ ∈ và ( )( ) ( ( )) ( ( ( )))f g h x f g h x f g h x= = , x A∀ ∈ 2) ( )( ) ( ( )) ( )f i x f i x f x= = , x A∀ ∈

1.8. 1) 1, 2x x A∀ ∈ ,ta thấy

1 2 1 2( ) ( ) ( ( )) ( ( ))f g x f g x f g x f g x= ⇒ =

1 2( ) ( ),g x g x⇒ = ( do *f F∈ )

1 2x x⇒ = (do *g F∈ )

Suy ra điều phải chứng minh. 2) Ta thấy x A∀ ∈ , theo định nghĩa:

1 1( ) ( ( ))f f x f f x− −=

Đặt: 1( )f x y− = , theo định nghĩa ánh xạ ngược, ta có: ( )f y x=

Thay vào đẳng thức trên ta được: 1( ) ( ) ,f f x f y x− = = suy ra 1f f i− = .

Chương 2

2.1. 1) Với 0ε > tùy ý cho trước ta có:

111 1

nn n

ε− = <+ +

khi 1 1nε

> −

Lấy 1 1( ) 1 1N ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ε

ε ε.

2) Rõ ràng rằng 0ε > tùy ý, ta có: 1( 1) 1n

n nε

+−= < khi 1n

ε>

Lấy: 1( ) 1N ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦ε

ε.

3) Tương tự: 3 3 2

2 2 21

n nn n n

ε< = <+

khi 2nε

>

Lấy: 2( ) 1N⎡ ⎤

= +⎢ ⎥⎣ ⎦

εε

4) Ta có: 1

1 1 1 1 1! ! 1.2... 1.2.2...2 2nn n n

ε−= = < = <

265

265

Giải bất phương trình cuối cùng ta được:

111 lg lg 2nε

−> +

Lấy:

1ln2

ln 2N ε

⎡ ⎤⎢ ⎥

= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

5) ( 1) 0,999 0.999n n n− = < ε , suy ra: lg 0,999 lgn ε< . Vì lg 0,999 0< nên lg 0,999 12330lg

lgn

ε ε> =

Lấy: 12330lg 1Nε

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦.

2.2. 1) Ta có: ( )1 n n n− =

Đặt ( ) [ ] 1N Eε = + . Ta thấy với 0E > tùy ý, ( )n N ε> , ta có: nx E> .

2) Bằng cách giải bất phương trình: 2 n E>

ta được: ( ) ( )2 2lg lg 2n E −>

Đặt: ( ) ( ) ( )2 2lg lg 2 1N Eε −⎡ ⎤= +⎣ ⎦

3) Bằng cách giải bất phương trình:

( ) ( )ln ln ln lnn n E= >

ta đựơc: Een e>

Đặt: ( ) 1EeN e⎡ ⎤= +⎣ ⎦ε

2.3. 1) Không tồn tại. 2) 0; 3) 2; 4) 0

2.4. 1) 12

; 2) 0

3) Do: 1 1 1...1 2 2n

nSn n n n

= + + + >+

,

nên lim 0nnS

→∞=

4) Đặt: ( ) ( )2 22

1 1 1...1 2

nSn n n

= + + ++

Ta thấy: 20 nnSn

< < mặt khác 1lim 0n n→∞

= nên lim 0nnS

→∞=

5) Đặt: 2 2 2

1 1 1...1 2

nSn n n n

= + + ++ + +

266

266

Do: 2 2 1

nn nS

n n n< <

+ +

và 2 2

lim lim 11n n

n nn n n→∞ →∞

= =+ +

nên lim 1nnS

→∞= .

2.5. Để cho tổng 1

0k

ii

a=

=∑ ,thì trong tổng phải có một số hạng ia mang dấu âm,một số hạng

ja mang dấu dương. Không mất tính tổng quát ta có thể xem rằng 1 2, ,..., 0ma a a ≤ và

1 2, ,..., 0m m ka a a+ + ≥ .

Do đó ta có thể viết:

1 1 1

k m k

i i ii i i m

a n i a n i a n i= = = +

+ = + + +∑ ∑ ∑

1 11

k m

i ii m i

n k a n a= + =

≤ + + +∑ ∑

(Do 1 2 ...n m n m n k+ + < + + < < +

và 1 2 ...n n n m+ < + < < + ), cho nên:

1=

+∑k

ii

a n i

1 1 1 1

1= + = = =

≤ + + + − + + +∑ ∑ ∑ ∑k m m m

i i i ii m i i i

n k a n k a n k a n a

( )1 1

1m m

i ii i

n k a a n n k= =

= + + + − +∑ ∑

( ) ( )1

10 0

1

k

ii

n n ka

n n k=

+ − += + →

+ + +∑ khi n →∞

Mặt khác ta có thể viết:

1

k

ii

a n i=

+∑ ≥1 1

1m k

i ii i m

a n m a n m= = +

+ + + +∑ ∑ 0→

khi n →∞ Suy ra điều phải chứng minh.

2.6. 1) Chú ý rằng:

( )1 1 1 1 1 1 1 1... 1 ...

1.2 1.3 1 2 2 3 11 =1 .

1

n n n n

n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = − + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−+

Do đó:

( )1 1 1lim ... 0

1.2 1.3 1n n n→∞

⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

267

267

2) Do: 1 1 1 1... 12 4 2 2

12

22 22

n n

nnS

+ + + −= = =

Nên: lim 2nnS

→∞=

3) ( ) ( ) ( )

21 12 11 1 1 ... 1

2 2

nn

n n n nn n n n nn

= = < =− − −+ + + + >

Ta thấy: 21n

ε<−

với 0ε < tùy ý nên 21nε

> + , nghĩa là lim 02nn

n→∞

=

4) Đặt: ( )3 32 1 1 3 ... 2 1 n

nS n− = + + + −

( ) ( )2 22 2 2 21 2 ... 2 2 4 ... 2n n⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )22 2 2 2 2 2 21 2 ... 2 2 1 2 3 ...n n⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + − + + + +⎣ ⎦⎣ ⎦

( )( ) ( )( ) ( )22

4 12 2 1 4 1 1 2 12

6 6 3n nn n n n n n −+ + + +

= − = .

Suy ra giới hạn cần tìm bằng 43

.

5) Đặt 2 3

1 3 5 2 1...2 2 2 2n n

nS −= + + + +

Khi đó:

2 2 3 3

1

1 1 3 1 5 32 2 2 2 2 2

2 1 2 3 2 1 ...2 2 2

n n

n n n

S S

n n n+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− − −⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1 1

1 1 1 1 2 1...2 2 2 2 2n n

n+ +

−⎛ ⎞= + + + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1 1 2 11 1 ...2 2 2n n n

nS −

−= + + + + −

Với: 1

2

11 2 1 1 2 121 31 2 2 212

n

n n n

n n−

−

− − −= + − = − −

−

Suy ra: lim 3nnS

→∞=

6) Với 2n k=

21 2 ... 2

2kkS

k− + − −

=

268

268

( ) ( )1 3 ... 2 1 1 2 ...2

k kk

+ + + − − + + +=

= ( ) ( )1 2 1 1 122.2 2.2 2

k k k kk k

+ − +− = −

Suy ra: 21lim2kk

S→∞

=

Mặt khác, với 2 1n k= +

( )2 1

1 2 3 ... 2 2 12 1k

k kS

k+

− + − − + +=

+

( ) ( )1 3 ... 2 1 2 1 2 ...2 1

k kk

+ + + + − + + +=

+

( )( )( )

( )( )

1 1 2 1 1 122 2 1 2 2 1 2 1

k k k k kk k k

+ + + + += − =

+ + +

Suy ra: 2 11lim2kk

S +→∞= . Do đó giới hạn cần tìm bằng 1

2.

2.7. 1) Ta thấy rằng: 2 22 4 4 1 2 1 2 1k k k k k= > − = − +

Nên: 2 1 2 1 2 102 2 12 1 2 1k k k

k kk k− − −

< < =+− +

Do đó: 1 3 2 10 . ...2 4 2

nn−

<1 3 2 1 1. ...3 5 2 1 2 1

nn n−

< =+ +

Từ đây cho n →∞ ta thu kết quả cần tìm. 2) Nếu q = 0 thì kết quả là hiển nhiên.

Ta hãy xét giả thiết 0q ≠ . Khi đó: 1 1q>

Đặt 1 1q

α= + với 0α > , do đó:

( )1 1 1 1 ... 1n nnn

n nq q

α α α α= = + = + + + > + .

Vì vậy: 11

nqnα

<+

.

Từ đây ta suy ra lim 0n

nq

→∞= , do đó lim 0n

nq

→∞= .

3) a, Trước hết ta hãy chứng minh giới hạn:

lim 0nn

na→∞

= nếu 1α > .

269

269

Đặt 1a α= + với 0α > , ta có

( ) ( ) ( )2 21 11 1 ...

2 2nn nn n n n

a nα α α α α− −

= + > + + + + >

Vì vậy: 2

20( 1)n

nnα α

< <−

Cho n →∞ ta thu đựoc kết quả cần tìm.

b, Ta thấy 1

nn n

n nnqb

q

= = , với 1 1bq

= >

Theo phần a) lim lim 0nnn n

nnqb→∞ →∞

= = .

4) Do: 22 2 2 2 2 2 9 20 . . ... 2

! 1 2 3 3 2 3

n nn

n n

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞< = < =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Và giới hạn 2lim 03

n

n→∞

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

khi n →∞ , suy ra điều phải chứng minh.

5) Vì ( )lim 0 1nn

n bb→∞

= > nên 1 1n n

nb b

< < khi n đủ lớn.

Đặt b aε= trong đó 1a > và ε tùy ý . Khi đó theo bất đẳng thức trên ta có: 1 1n n

na aε ε< < hay 1 nn aε< < . Lấy loga hai vế bất đẳng thức này ta được 0 loga n n< < ε

Suy ra log0 a nn

< < ε khi n đủ lớn, suy ra điều phải chứng minh.

6) Ta có bất đẳng thức:

2( 1)1 ( 1) 1 ( 1) ( 1)2

( 1) ... ( 1)2

nn n n

n n

n nn n n n n

n nn

−⎡ ⎤= + − = + − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦−

+ − >

Từ đây 0ε > tùy ý:

211

nn

nε− < <

− khi 21 2n ε −> +

2.8. 1) Giả sử cho trước 0ε > tùy ý. Khi đó: ( ) ( ) ( )

1 2

sin 1 sin 2 sin...

2 2 2n p n n n n p

n n n px x+ + + +

+ + +− = + + +

( ) ( ) ( )1 2

sin 1 sin 2 sin...

2 2 2n n n p

n n n p+ + +

+ + +≤ + + +

270

270

1

1

11 1 12... ... 12 2 21

2

n

n n p n ε+

+ +≤ + + + = = <−

khi 2logn ε> −

với mọi số tự nhiên p. 2) Với 0ε > tùy ý và với mọi số tự nhiên p, ta có:

cos( )! cos( )! ( )!...( )( 2) ( )( 3) ( )( 1)n p n

n+1 n+2 cos n+px xn+1 n n+2 n n+p n p+ − = + + +

+ + + +

1 1 1...( 1)( 2) ( 2)( 3) ( )( 1)n+ n n n n+p n p

≤ + + ++ + + + +

1 1 1 1 1 1...( 1) ( 2) ( 2) ( 3) ( ) ( 1)n+ n+ n+ n+ n+p n+p+

= − + − + + −

1 1 1( 1) ( 1) 1n+ n+p+ n+

ε= − < < , 1nε

∀ > −1.

2.9. 1) Giả sử ( )0,1ε ∈ , vì

1 1 1......( 1) ( 2) ( ) ( )n p n

px xn+ n+ n+p n+p+ − = + + + > , nên khi p = n ta có

12n p nx x ε+ − > > n∀ , vậy dãy phân kì

2) Dãy phân kì do: 1 1 1 1...

ln( 1) ln(n 2) ln( ) ln( ) ( ) 2n p np px x

n+ n+p n+p n+p+ − = + + + > > =+

khi p = n

2.10. 1) Hiển nhiên dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên 3nx < n∀ , nên dãy hội tụ.

2) Bởi vì 11 11 0

10n

n n n nn

px x x x++ ++− = ≥ ⇒ ≥ là dãy tăng. Mặt khác

0 02

9 9 9...... ... 110 10 10n nx p p≤ + + + + + = + ,

suy ra dãy bị chặn trên. Do đó dãy có giới hạn hữu hạn. 3) Trước hết ta thấy

11

11 12

nn

n

xx+

+= + > , do đó dãy tăng.

Mặt khác

1 1 1 1 1 1ln ln 1 ln 1 ... ln 1 ...2 4 2 2 4 2n n nx ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + < + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

271

271

1 1 1 1 1...... ...... . 112 4 2 2 12

n< + + + + = =−

suy ra nx e< , do đó dãy hội tụ và có giới hạn hữu hạn.

2.11

Trước hết ta thấy 0 0x > và 11 1 12n n

n

x x nx+

⎛ ⎞= + ≥ ∀ ⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠ dãy bị chặn dưới . Mặt khác , do

1nx ≥ nên

1 1 1 122n n n n

n n n

x x x xx x x

⎛ ⎞≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Hay 1n nx x +≥ n∀ suy ra dãy đơn điệu giảm. Do đó dãy có giới hạn hữu hạn. Gọi

lim nnx a

→∞= , 1a ≥ . Qua giới hạn trong đẳng thức 1

1 12n n

n

x xx+

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ ta được

21 1 1 12

a a a aa

⎛ ⎞= + ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( a = –1 loại ).

2.12

Dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ. Suy ra lim lim 1n nnnx x

→∞→∞= =

2.13 Ta thấy

2 1 2 2 1 23 32 2 ,

2 1 2 1n n n nx x x xn n− −= + = − − >− −

Dãy { }2 1nx − đơn điệu giảm, còn dãy { }2nx đơn điệu tăng.

Do đó 2 1lim lim 2n nn nx x −→∞ →∞= =

vớià 2lim lim 2n nnnx x

→∞→∞= = − .

2.14 Theo giả thiết 0, 0n nx y≥ ≥ .

Mặt khác 1 12n n

n n n nx yy x y x+ +

+= ≥ = ,

{ }21n n n n n nx x y x x x+ = ≥ = ⇒ là dãy số tăng,

{ }1 2 2n n n n

n n nx y y yy y y+

+ += ≤ = ⇒ là dãy số giảm.

Tóm lại { }0n n nx y y x≤ ≤ ⇒ tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.

{ }0n n ny x x y≥ ≥ ⇒ giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn.

272

272

Gọi lim , limn nn nx a y b

→∞ →∞= = .Từ hệ thức

1 2n n

nx yy +

+= cho n →∞ ta được

2a bb a b+

= ⇒ = .

2.15

1) 1 2x− ≤ ≤ ; 302

y≤ ≤ .

2) 52 2 , ; lg3,3 3

k x k k z yπ ππ π+ < < + ∈ −∞ < ≤

3) , 0x y π−∞ < < +∞ ≤ ≤ .

4) 1 100, 2 2

x yπ π≤ ≤ − ≤ ≤ .

2.16 1) 2 2k x kπ π π< < + 2) 1 x e< < 3) 0, ( 0,1, 2...)x x k k> ≠ = .

2.17 m =0, M = 1

2.18 Đặt Tk a= , khi đó ( ) ( )Tf x T a f x+ = , suy ra

( ) ( )T Tx xa x T a a x+ + =ϕ ϕ

Hay ( )x Tϕ ϕ ϕ+ = ⇒ là hàm tuần hoàn với chu kỳ T.

2.19 1) Giả sử T là chu kỳ ( T > 0 ) , theo định nghĩa

( ) ( )f x T f x x D+ = ∀ ∈

cho x = 0 ta được

2tg 3tg 02 3T T− = . Đặt

6T α= , ta có phương trình sau 2tg3 3tg2 0α α− =

Lại đặt tgt α= ta thu được

( )( )( )

3 23

2 2 2 2

2 53 22 3 0 0 01 3 1 1 1 3

t tt t t tt t t t

+−− = ⇒ = ⇒ =

− − − −

,k k Zα π⇒ = ∈ Thay vào trên ta được 6T kπ= , k Z∈ . Vậy chu kỳ của hàm số là 6T π= 2) 2T π= 3) Ta hãy chứng minh hàm số không tuần hoàn. Thật vậy, giả sử ngược lại 0T∃ > là chu

kì, khi đó ( ) ( )sin sin sin( ) sinx T x T x xα α+ + + = +

273

273

os x+ sin os x+ sin 02 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

T T T Tc c αα

Cho 2Tx = − , ta thu được

sin sin 02 2T Tα+ = (1)

Cho2 2Tx π

= − + , ta thu được

os sin 02 2

Tc απ α= (2)

Ta xét (2)

Nếu os 02 2 2

c kαπ απ π π α= ⇒ = + ⇒ là hữu tỉ, vô lí;

Vậy os 02

c απ≠ .

Từ (2) suy ra sin 0 , 2 2T T k k Zα α π= ⇒ = ∈ (3)

Thay vào (1) ta được sin 02T=

2T

⇒ ,k k Z′ ′= ∈π (4)

Từ (3) vào (4) ta suy ra kk

α =′ là số hữu tỉ, vô lí

4) 2

T π=

5) Không tuần hoàn 6) Không tuần hoàn.

2.20 Với mọi số hữu tỉ T > 0, ta thấy: Nếu x hữu tỉ thì x + T hữu tỉ, vàà Nếu x vô tỉ, thì x + T vô tỉ, do đó ( ) ( )x T x x+ = ∀ ∈χ χ .

2.21

( ) 1 111

1

xf f xx

x

−= =⎡ ⎤⎣ ⎦

−−

với 0x ≠

Tương tự ( ){ }f f f x x=⎡ ⎤⎣ ⎦ với 0x ≠ .

2.22

( )2

2 2 2

2

11 21

1

xxxf x

x xx

+= =+

++

Giả sử ( )21

nxf xnx

=+

, ta hãy chứng minh ( )( )1 21 1

nxf x

n x+ =

+ +

274

274

Thật vậy

( ) ( )( )( )

2

1 2 2

2

11 11

1

n n

xxnxf x f f x

x n xnx

++= = =

+ ++

+

Do đó ( )21

nxf xnx

=+

.

2.23 1) a) 3y− − với 3 y≤ < +∞

b, 3y − với 3 y≤ < +∞

2) 11

yy

−+

với 1y ≠ −

3) a) 31 y− − với 0 1y≤ ≤

b, 31 y− với 0 1y≤ ≤

2.24 Hàm ngược của hàm số f là

( )3

khi 0

khi 0

x xg xx x

⎧ ≤⎪= ⎨>⎪⎩

2.25

1) Đặt ( ) ( )* 1 1,11

xy y yx

= ⇒ < ⇒ ∈ −+

Vậy với ( )1,1y∈ − phương trình ( )* luôn có nghiệm

a) Nếu 1 0y− < < , theo ( )* ta thấy x < 0 .

Do đó 1

xyx

=−

suy ra 1

yxy

=+

.

b) Nếu y = 0 thì x = 0. c) Nếu 0 < y < 1. từ ( )* ta suy ra x > 0.

Do đó 1

xyx

=+

, suy ra 1

yxy

=−

Tóm lại 1

yxy

=−

đổi tên ta có hàm ngược.

( )1

xg xx

=−

với ( )1,1x∈ − .

2) Theo giả thiết ( ) ( ) 1 111

x f x fx x

⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ −⎝ ⎠ (1)

275

275

Thay x bằng 1x

vào (a) ta được:

( ) 1 1 11 1 1f x f

x xx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −

(2)

Nhân (1) với 1 1x

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

rồi cộng với (2) ta thu được:

( ) ( )1 11 1 11

xx f xx x x

⎡ ⎤⎛ ⎞− − + = −⎜ ⎟⎢ ⎥ −⎝ ⎠⎣ ⎦ (3)

Từ (3) suy ra ( ) 11

f xx

=−

.

2.26. Theo đầu bài ( ) ( ) ( )2 osyf x y f x y f x c+ + − = (1)

Ta hãy thay các cặp (x,y) với x = 0, y = t; x = ,2

tπ+ = ;

2y π x = , y =

2 2tπ π

+ .

Lần lượt thay vào (1) ta được: ( ) ( ) ( )2 0 ostf t f t f c+ − = (2)

( ) ( )f +t 2 os 02 2

f t f t cπ ππ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3)

( ) ( )+t 2 os 2 sin2 2 2

f f t f c t tπ π ππ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4)

Cộng (2) với (3) sau đó trừ đi cho (4) ta được:

( ) ( )0 ost+f sin2

f t f c tπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

đặt: ( )0 ,2

f a f bπ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Ta thu được ( ) ost + bsintf t ac= .

2.27.

1) Đặt 1

t = x mn , khi đó giới hạn phải tìm được thay bằng giới hạn: 1

1lim1

n

mt

t nt m→

−=

−

2) sin1 osx 1 osxlim lim

sinx 1 osx s inx 1 osxx x

xc cIc cπ π+ +→ →

+ −=

− −

12

I −=

3) ( ) ( )( )( )

2

4

osx-sinx osx-sinx osx+sinxlim

osx-sinxx

c c cI

cπ→

− −=

276

276

( )4

lim 2 osx 2x

cπ

→= − = − .

2.28.

1) Đặt ( )arcsin 1-2xy = , khi 12

x → thì 0y → , ta có giới hạn:

( )( )0

1limsin 2 sin 2y

yIy y→

= = −− −

2) Đặt 2x y− = suy ra 2x y= + , khi 2x → thì 0y → ta có giới hạn sau:

( )2

1

0

sin 1lim 24 4

y

y

yIy y

−

→

⎡ ⎤= + =⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

3) 1 .2

− HD: Đặt ( )arcsin x+2y = , khi 2x →− thì 0y →

( )2

20

sin 1 sinx osxlim

1 sinx-cosx

x x cI

x x→

+ +=

+.

4) ( )

0

sin 1 sinx osxlim

sinxx

x x c

x→

+ +=

+

( )

0

sin 1 s in coslim 1s in1x

x x x xx

xx

→

+ += =

+

2.29.

1) 14

2) 2

2

4

s in sinlimosx

x xIc xπ

→

−=

Đặt 2

x yπ= − , 0y →

22

2 20 0

2cos sincos cos 12lim limsin sin 2x y

yyy yI Iy y→ →

−= = = =

2.30.

1) 3; 2) 2; 3)–1; 4) 0; 5)12

.

2.31.

1) Đặt 1xy

= và [ ]y y r= + , trong đó 0 1r≤ < .

277

277

Ta thấy [ ]1 yx

⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ và ta có:

0

1lim lim 1x y

y rxx y→ →∞

−⎡ ⎤ = =⎢ ⎥⎣ ⎦

2) Biểu diễn hàm ( )x ax axx a

ϕ −=

− dưới dạng tổng của hai hàm:

( ) ( ) ( )1 2

x a a ax a x ax x xx a x a

ϕ ϕ ϕ− −= + = +

− −.

( )( ) ( )

( )

ln lnln ln

1

1 1ln

ln

x a x x a xa x a xe e e ex x

x a x a xϕ

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =− −

.

Khi x a→ thì ln lnx a→ , lna x ae a→ , ( )

( )

ln 1 1ln

x a xex a x

− −→

−, ( )1 lnax a aϕ →

còn ( )2

1 1 1 11.

a aa ax a x aa a

a ax x a x a aa

a a

ϕ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =

− −.

Khi x a→ thì ( )2ax aϕ →

Do đó ( ) ( )lim ln 1 lna a a

x ax a a a a aϕ

→= + = + .

2.32. 1) ( ) ( )2 2lim sin 1 lim sin 1n n

n n n nπ π π π→+∞ →+∞

⎡ ⎤+ = + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )2

2lim 1 sin 1 lim 1 sin 0

1

n n

n nn n

n n

ππ→+∞ →+∞

= − + − = − =+ +

.

2) ( ) ( )2 2 2 2lim sin lim sinn n

n n n n n nπ π π π→+∞ →+∞

⎡ ⎤+ = + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

( )2 2lim sinn

n n nπ π→+∞

= + −

2

2lim sin

n

nn n nπ

→+∞=

+ +

2lim sin 111 1

n

n

π→+∞

= =+ +

.

3) Ta có 2

2

sinlim 1

n

kan

kan

→+∞= ( Do khi n →∞ thì 2 0ka

n→ )

Do đó ( )2 2 2

1 1

. 1lim sin lim lim

2 2

n n

n n nk k

a n nka ka an n n→+∞ →+∞ →+∞

= =

+= = =∑ ∑ .

278

278

2.33 Ta th�y 1 cos 1xπ− ≤ ≤ x∀ và cos 1xπ = ± khi x Z∈

1) N�u x Z∈ .

2(cos ) 1 1mma xπ= = → khi m →∞

2) N�u x Z∉

Ta th�y 1 cos 1xπ− ≤ ≤ x∀ .

2 2 2 210 (cos ) (cos ) (cos )m m

m ma x x x aπ π π−−≤ = = <

Dãy {am} ��n �i�u gi�m và b� ch�n d��i nên có gi�i h�n:

21lim lim (cos )m mm m

a a xπ−→∞ →∞=

hay 2 2(cos ) 0 (do (cos ) 1 )l l x l x xπ π= ⇒ = < ∀ .

2.34.

1) a) Giả sử s in 0x ≥

Đặt na s insin...sinx= .

Ta thấy n n-1 n-10 a sin a a 1≤ = ≤ ≤ , nghĩa là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn.

Đặt nlim an

l→+∞

= và qua giới hạn trong đẳng thức n n-1a sin a= ta được phương trình

sin 0l l l= ⇒ = .

b) Giả sử s in <0x , đặt sin = sinu x− , ta lại quay về trường hợp trên.

Tóm lại, trong cả hai trường hợp giới hạn phải tìm bằng 0.

2) a) Nếu x là số hữu tỉ, ta có thể biểu diễn = pxq

trong đó p và q là các số nguyên tố

cùng nhau.

Do đó ! ! pn x nq

= là số nguyên khi n>q và khi n đủ lớn, n>q thì ( )os n! xc π = 1± suy ra

giới hạn bằng 1 nếu x là hữu tỉ. b) Nếu x là vô tỉ thì !n x không phải là só nguyên, do đó ( )1 os n! x 1c π− < < suy ra giới

hạn bằng 0. Tóm lại: 2 1 khi m

n mn x

→+∞ →+∞

⎧⎡ ⎤ = ⎨⎣ ⎦ ⎩π

x x

lµ h ÷ u tØlim l im cos( ! )

0 khi lµ v« tØ.

Chương 3 Hàm liên tục một biến số

3.1. Trước hết chọn 1δ < . Khi | 1|x δ+ < thì | 1| 1x + < 1 1 1x⇒ − < + < 2 0x⇒ − < < . Khi đó

1 3 3x< + < 1| 3 | 1 1| 3 |

xx

⇒ + > ⇒ <+

.

279

279

Xét hiệu 1 2 1 1( )2 3 2

xf xx+⎛ ⎞− − = +⎜ ⎟ +⎝ ⎠

5( 1) 5 22( 3) 2 5

xx

εδ ε δ+= < < ⇒ <

+

Tóm lại, nếu lấy 2min{ ,1}5εδ = , khi | 1|x δ+ < thì 1( )

2f x ε⎛ ⎞− − <⎜ ⎟

⎝ ⎠ ta có điều phải

chứng minh.

3.3. 1) Gián đoạn khi x=−1 2) Liên tục trên 3) Liên tục trên .

3.4. Không liên tục tại x=1

3.5. a=1 3.6. Liên tục khi a=0, gián đoạn khi a≠0 3.7. 1) x=−2 và x=1 là các điểm gián đoạn khử được 2) x=0 là điểm gián đoạn loại hai 3) x=0 là đểm gián đoạn loại hai 4) x=0 là điểm gián đoạn khử được và x=1 là điểm gián đoạn vô cực 3.8. Xét tính liên tục của hàm số tại 0x ∈ . 1) Nếu x0 là số nguyên, khi đó f(x0)=sinπx0=0. Mặt khác với x bất kì, ta có

00

0 0 ( ) ( )

sin sin x

f x f xx x xπ π

−⎧− = ⎨

−⎩

nÕu v« tØnÕu h ÷ u tØ

Hơn nữa 0 00| sin sin | 2 | cos sin |

2 2x x x xx xπ π π π+ −

− =

002 | sin | | |

2x x x xπ π−

≤ ≤ −

Do đó với mọi x ta có thể viết 0 0| ( ) ( ) | | |f x f x x xπ− ≤ − , suy ra khi 0x x→ thì 0( ) ( )f x f x→ . Vậy f(x) liên tục tại x0.

2) Nếu x0 không phải là số nguyên. Khi đó f(x0)=sinπx0≠0. Ta hãy xét dãy vô tỉ bất kì xn→x0. Khi đó f(xn)=0→0, nhưng f(x0) ≠0, nghĩa là f(xn)→/ f(x0). Vậy f gián đoạn tại x0.

3.9. Hãy sử dụng định lí giá trị trung gian, phương trình có nghiệm thực.

3.10. Bởi vì f(ϕ(0))=2 và f(ϕ(x))=0 với x≠0. Hàm số không liên tục bên phải, cũng như bên trái tại điểm x=0. 3.11. Giả sử i i1 1

min{ ( )}, M= max{ ( )}i n i n

m f x f x≤ ≤ ≤ ≤

=

Khi đó [ ]1 21 ( ) ( ) ... ( )nm f x f x f x Mn

< + + + ≤

Theo định lí Bolzanô - Cauchy thứ hai, ( , )a bξ∃ ∈ sao cho

1 21( ) [ ( ) ( ) ... ( )].nf f x f x f xn

ξ = + + +

280

280

3.12. Giả sử lim ( )=A. 0, 0x

f x Eε→+∞

∀ > ∃ >Khi ®ã sao cho | ( ) | f x A x Eε− < ∀ > .

Từ đây suy ra rằng | ( ) | f x A x Eε< + ∀ >

Kí hiệu max{|A|+ , sup | ( ) |}a x E

M f xε≤ ≤

= , ta có

| ( ) | f x M x a≤ ∀ ≥

3.13. Hiển nhiên f(x) liên tục trên (0,1) và | ( ) | 1f x ≤ (0,1)x∀ ∈ . Tuy nhiên với 1nx

n= và

21 2nx

n′ =

+ thì 1| | 0

(1 2 )n nx xn n

′− = →+

khi n →∞ , nhưng

01| ( ) ( ) | |1 0 | 1 .2n nf x f x′ − = − = > =ε

3.14. Do u=x2 liên tục trên R và y=sinu cũng liên tục trên R nên theo tính chất liên tục của hàm hợp hàm f(x)=sinx2 liên tục trên R.

Hiển nhiên |f(x)|<1 Rx∀ ∈ .

Tuy nhiên với nx nπ= và 2nx nπ π′ = + thì 1| | 0

2

n nx xn n

′− = →+ +

ππ π khi

n →∞ , nhưng 01| ( ) ( ) | 1 .2n nf x f x ε′− = > =

3.15. Dễ dàng thấy rằng hàm số f(x)=x+sinx không bị chặn trên R. Ta hãy chứng minh nó liên tục đều trên R. Thật vậy 0ε∀ > ta có

| ( ) ( ) | | sin ( sin ) |f x f x x x x x′ ′′ ′ ′ ′′ ′′− = + − +

| | 2 | sin | . | cos | 2 | |2 2

x x x xx x x x ε′ ′′ ′ ′′− +′ ′′ ′ ′′≤ − + ≤ − <

, Rx x′ ′′∀ ∈ thoả mãn đẳng thức | |< =2

x x εδ′ ′′− .

3.16. 1) Dễ thấy hàm y1=x liên tục, y2=4−x2 liên tục và khác 0 trên [−1,1], suy ra f(x) liên tục trên [−1,1]

2) Với 12nx

nπ′ = và 1

(2 1)nxn π

′′ =+

, ta có

1| | 02 (2 1)n nx x

n n π′ ′′− = →

+ khi n →∞ , nhưng

11

(2 1)2| ( ) ( ) | 2nnn nf x f x e e ππ +′ ′′− = + → khi n →∞ .

Vậy hàm số không liên tục đều trên (0,1). 3) 0ε∀ > ta có

281

281

| | 1| ( ) ( ) | | | | |2

x xf x f x x x x xx x

ε′ ′′−′ ′′ ′ ′′ ′ ′′− = − = ≤ − <′ ′′+

, 1x x′ ′′∀ ≥ thoả mãn bất đẳng thức | | 2x x δ ε′ ′′− < = .

3.17. Hàm số y=arctgx xác định Rx∀ ∈ và có tập giá trị là ( , ).2 2π π

−

Hàm số 1 1 1arctg( )1 2

yx x x

= + +− −

gián đoạn tại các điểm x=0, x=1 và x=2.

3.18. 1)

1 khi 0 1,1 khi 1,20 khi 1.

x

y x

x

≤ <⎧⎪⎪= =⎨⎪

>⎪⎩

Hàm gián đoạn về hai phía tại điểm x=1. 2) a) Khi x<0, ext→0 khi t→+∞ và ta có

ln(1 )lim 0ln(1 )

xt

tt

eye→+∞

+= =

+

b) Khi x=0, ta có ln 2lim 0

ln(1 )tty

e→+∞= =

+

c) Khi x>0, ext→0 khi t→+∞, 1+ ext~ ext và 1+et~et khi t→+∞ và ta có lnlimln

xt

tt

ey xe→+∞

= = .

Tóm lại 0 khi 0

khi 0 x

yx x

≤⎧= ⎨ >⎩

Hàm số liên tục trên toàn bộ trục số

3.19. Xét hàm số f(x) = xex−1.

Dễ thấy f(x) liên tục trên [0,1] và f(0)= −1, f(1)=e−1>0. Sử dụng định lý Cauchy, suy ra điều phải chứng minh.

3.20. 1) 5105 100 5 10 1100

= + = +

10(1 0,025) 10,25≈ + =

2) 1632 40,4≈

3) 50,31 0,36 0,05 0,6 136

= − = −

0,6(1 0,069) 0,558≈ − =

282

282

3.21. Xét hàm số ( ) s inxf xx

= trên (0,1). Ta hãy xét hàm số phụ:

1

1 khi = 0s in( ) khi 0 < < 1

sin khi = 1.

xxf x x

xl x

⎧⎪⎪= ⎨⎪⎪⎩

Hàm ( )1f x liên tục trên [0,1] nên nó liên tục đều trên (0,1). Suy ra hàm số ( ) sin xf x

x= liên

tục trên (0,1). Tương tự, hàm số ( )f x liên tục trên (−1,0). Tuy nhiên với bất kì ( )' 0 ' 0n nx x→ <

và ( )" 0 " 0n nx x→ > nhưng ( ) ( ) 2n nf x f x′ ′′− → , nên hàm số ( )f x không liên tục đều trên

( ) ( )1,0 0,1− ∪ .

3.22. 1) Giả sử 0x là một số tùy ý { }nx là dãy số hữu tỷ còn { }nx′ là dãy số vô tỷ cùng hội tụ

đến { } { }0 0 0, ,n nx x x x x′→ → . Vì ( )lim 1nnf x

→∞= còn ( )lim 0nn

f x→∞

′ = , nên 0x là điểm gián đoạn.

Vậy hàm số gián đoạn tại mọi giá trị x.

2) a) Nếu 0x #0 tùy ý và dãy hữu tỷ { } 0nx x→ và dãy vô tỷ { } 0nx x′ → .

Khi đó: ( ) 0lim limn nn nf x x x

→∞ →∞= = và ( )lim 0nn

f x→∞

′ = . Suy ra x0 là điểm gián đoạn.

b) Nếu 0x =0. Khi đó

( ) ( ) ( )0 0 f x f f x x x R≤ − = ≤ ∀ ∈ .

Cho nên: ( ) ( )0

lim 0 0x

f x f→

= = . Vì vậy x=0 là điểm liên tục duy nhất của hàm số.

Chương 4

4.1. Do ( )f x x≤ nên ( ) ( )0

lim 0x

f x f→

= , hàm liên tục tại x = 0.

Hơn nữa, khi 0x ≠ ,hàm số là hàm sơ cấp nên liên tục.

( )1

10 0

110 lim lim 01

x

x xx

x

efx e

+ +

Δ

+Δ → Δ →

Δ

Δ

+′ = = =Δ

+,

10

101

xx

fe

−−Δ →

Δ

′ =+

( ) l im .

4.2. Do ( )f x x≤ nên ( ) ( )0

lim 0x

f x f→

= , hàm liên tục tại x = 0

283

283

Tỉ số ( ) (0) 1siny f x fx x x

Δ Δ −= =

Δ Δ Δ, rõ ràng giới hạn của tỉ số này không tồn tại khi

0x +Δ → và cả khi 0x −Δ → .

4.3. a) Đạo hàm tại x = 0

Tỉ số ( ) ( ) ( ) 00 0

x xf x f f xx x x

⎧−= = ⎨− ⎩

nÕu lµ sè h ÷ u tØnÕu lµ sè v« tØ

Do đó ( ) ( )0

0lim 0

0x

f x fx→

−=

− và ( )0 0f ′ =

b) Tại 0 0x x= ≠ với 0x là số hữu tỉ

Xét dãy vô tỉ { } 0nx x→ ta có

( ) ( ) 20 0

0 0

n

n n

f x f x xx x x x− −

=− −

suy ra

( ) ( ) 00

0 0

khi lim

khi nn

n n

x xf x f xx x x x

−

+

⎧+∞ →− ⎪= ⎨− −∞ →⎪⎩

Vậy hàm số không có đạo hàm tại số hữu tỉ 0x ≠ c) Tại 0 0x x= ≠ với 0x là số vô tỉ

Xét dãy số hữu tỉ { } 0nx x→ , ta có:

( ) ( ) 200

0 0 0

khi

+ khi nn n

n n n

x xf x f x xx x x x x x

−

+

⎧−∞ →− ⎪= → ⎨− − ∞ →⎪⎩

Vậy hàm số không có đạo hàm tại số vô tỉ 0x ≠ .

4.4. ( ) ( ) ( ) ( )0 0

lim limx x

f a xf a a x a

xϕ ϕ

Δ → Δ →

+ Δ′ = = + Δ =

Δ

4.6. 1) Dễ thấy hàm số không có đạo hàm tại x = 0 sgny x′ = với 0x ≠

2) 2y x′ =

3) 1yx

′ = với 0x ≠

4.7. 1) 1 2 4

8

x x x xyx x x x x x

+ + +′ =+ + + +

2) ( )( )2 1 5 1 1y x x x′ = − − + .

4.8. 1) ( )22y xf x′ ′=

2) ( ) ( )2 2sin 2 sin cosy x f x f x⎡ ⎤′ ′ ′= −⎣ ⎦

284

284

3) ( ) ( )( ) ( )( )( ). .y f x f f x f f f x′ ′ ′ ′= .

4.9. Ta thấy ( ) 1 12 sin cosf x xx x

′ = − khi 0x ≠

Xét giới hạn

( ) ( ) ( )0 0

0 1lim lim sin 0 0 0x x

f x fx f

x xΔ → Δ →

Δ −′= Δ = ⇒ =

Δ Δ

Ta có thể viết:

( )1 12 sin cos khi 0

0 khi = 0

x xf x x x

x

⎧ − ≠⎪′ = ⎨⎪⎩

Dễ thấy khi 0x ≠ , đạo hàm ( )f x′ liên tục. Ta hãy xét sự liên tục của ( )f x′ tại x = 0.

Ta thấy dãy 1 0nxnπ

= → khi n →∞ , nhưng ( ) ( ) 11 nnf x −′ = − không có giới hạn , vậy

đạo hàm của hàm số gián đoạn tại x = 0.

4.10. 1) ( )ln 1xy x x′ = +

2) ln sincos lns x xy x x xx

⎛ ⎞′ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

4.11. tg .tg4xy t t π⎛ ⎞′ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

4.12. 1) 1y

xxx

′ =+

2) 11yx

y x′ =

+ −

4.13. 1) 2 2

2 2 1x ya b

+ = 2) 2 2 23 3 3x y a+ =

3) 2 2 1x y− = 4) 2

11

yx

=+

.

4.14. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 31 1 1 3f f x f x x xΔ = + Δ − = Δ + Δ + Δ

( ) ( )1 1df f x x′= Δ = Δ

Khi Δx=0,1 ta thu được: ( )1 0,131fΔ = và ( )1 0,1df = .

4.15. 1) ( )

3

2 2 2

a dxx a x−

+ 2) sin udu .

3) ( )1 btb e dt−+ .

4.16. 1) 3 61 4 3x x− − 2) 2

1 sincos2

xxx x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

285

285

3) 2tg x−

4.17. 1) Ta thấy

( ) ( ) ( )22f x x f x ax x a x b x+ Δ − = Δ + Δ + Δ (1)

( ) 2 2f x x ax a x bθ θ′ + Δ = + Δ + (2)

Từ (1) và (2) suy ra

( ) ( )22 2 2ax x a x b x x ax a x bθΔ + Δ + Δ = Δ + Δ + (3)

Suy ra 12

θ = .

2) ( ) ( ) x x xf x x f x e eθ+ Δ+ Δ − = − (1)

( ) x xf x x e θθ + Δ′ + Δ = (2)

Từ (1) và (2) suy ra x x x x xe e xe θ+Δ + Δ− = Δ (3) chia hai vế cho xe ta được:

1 .x xe x eθΔ− = Δ hay 1xx ee

xθ

ΔΔ −=

Δ

Từ đây suy ra: 1 1lnxe

x xθ

Δ −=Δ Δ

.

4.18. Do hệ thức trong giả thiết của bài toán được nghiệm đúng ,x h R∀ ∈ , ta có thể lấy x = 0. Khi đó ta được ( ) ( ) ( )0 0f h f hf ′− =

( ) ( ) ( )0 . 0f h f h f′⇒ = +

hay ( ) ( ) ( )0 . 0f x f x f′= +

Đặt ( ) ( )0 , 0a f b f′= = , ta thu được: ( )f x ax b= + .

4.19. Ta thấy lấy bất kỳ ( )1 2, 1,1x x ∈ − với 1 2x x≠ ta có

( ) ( ) 3 32 1 2 22 1

1 1 2 22 1 2 1

0f x f x x x x x x x

x x x x− −

= = + + >− −

.

Mặt khác ( ) ( )23 , 0 0f x x f′ ′= = . Vậy không tồn tại ( )1 2, 1,1x x ∈ − thỏa mãn yêu cầu bài

toán.

4.20. Xét hai hàm ( ) ( )1

f xh x

x= khả vi trên [ ]1 2,x x và ( )2

1h xx

= khả vi trên [ ]1 2,x x . Ta

thấy

( ) ( ) ( ) ( )1 22 2

1,xf x f x

h x h xx x

′ −′ ′= = −

Theo định lý Cauchy ta có

286

286

( ) ( )( ) ( )

( )( )

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

h x h x hh x h x h

ξ

ξ

′−=

− ′ với 1 2x xξ< <

hay

( ) ( ) ( ) ( )1 22

1 2

21 2

1 1 1

f x f x f fx x

x x

ξ ξ ξξ

ξ

′ −−

=− −

hay ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2

2 1

x f x x f xf f

x xξ ξ ξ

−′= −

− với 1 2x xξ< <

4.21. ( )( )( )( )

1 0

b 1

a 1

f x

x f b

f a

φ

′

′ =

Do ( ) ( )a bφ φ= , theo định lý Rolle, ( ),c a b∃ ∈ sao cho ( ) 0cφ′ = .

Suy ra ( )( )( )

1 0

0 b 1

a 1

f c

f b

f a

′

=

Hay ( ) ( ) ( ) ( )0 f b af c bf c f a′ ′= + − −

( ) ( ) ( )( )f b f a f c b a′⇒ − = − .

4.22. Xuất phát từ ( ) ( ) ( ) ( )1

11

00n n n

f x f x f f cx x nc −

′−= =

− với 1c nằm ở khoảng giữa 0 và x.

( ) ( )1 21 2

1 2

0 ( )0 ( 1)n n

f c f f cnc n n c− −

′ ′− ′′= =

− − với 2c nằm ở khoảng giữa 0 và 1c

( )( )( )

11

1

...1 2 ...

nn

n

f cn n n c

−−

−

= =− −

( )( )

!

nf xnθ

=

trong đó 0 1θ< < .

4.23. 1) 2 s inxe x−

2) ( )2 2a ln 6 ln 6xx x a x a+ +

3) 22s in 4 os s inx xc x x x+ −

4.24. Sử dụng công thức ( )( ) ( ) ( )3 3 3uv 3 3u v u v u v uv′′ ′ ′ ′′= + + +

1) ( )2 s in + cosxe x x− 2) 2x

287

287

3) s in 3cosx x x−

4.25. Sử dụng công thức Leibnitz, ta thu được

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 n n3 1

3 , , 0xa

n n

x a x na nf x e f x fa a a −

+ += = = .

4.26. Đặt 1 ,1

u v xx

= =+

, ta có

( )121u x −= + , ( ) ( )

3 52 2

1 1 31 , 1 ,...2 2 2

u x u x− −⎛ ⎞′ ′′= − + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )2 111 2

1

1.3.5... 2 31 1

2

nnnn

nu x

−− −−

−

−= − +

( ) ( )( ) ( ) ( )2 11

21.3.5... 2 1

1 12

nnnn

nu x

+− −−

= − +

Và ( ), 1, 0nv x v v′= = = với 2n ≥

Theo công thức Leibnitz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 10 0 1

1.3.5... 2 31

2nn n n n

x x x o x o n

nf u v nu v nu n−− −

= = = = −

−′= + = = −

4.27.

2

1 1 1 1 1 1 11 2 1 1 2 1 1x x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( )( ) ( )1 1

! 1 112 1 1

nnn n

nf xx x+ +

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

Suy ra:

a, Nếu n chẵn thì: ( ) ( )0 !nf n=

b, Nếu n lẻ thì ( ) ( )0 0nf = .

4.28. Áp dụng công thức Leibnitz

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2

2 10 2 2

2

n n nx x xn a a a

n nf e x n e x e

− −− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−

= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( )( )1( ) 21 2

1 111 . 1 .2nx x x

n nn a a an n n

n nnf e x e x ea a a

− − −−

− −

− −= − + − +

Suy ra: 2

( )2 2

( 1)( 1) ( 1)( 1)(0)n n

nn n

n n n nfa a

−

− −

− − − −= =

4.29.

1) Ta thấy ( ) ( )( ) !, ( ) 0n kf x n f x= = khi 1k n≥ + .

288

288

Khai triển Taylor tại điểm x = 1, ta được ( )

2(1) (1) (1)( ) (1) ( 1) ( 1) ... ( 1)1! 2! !

nnf f ff x f x x x

n′ ′′

= + − + − + + −

Thay x = 2 vào khai triển trên ta được ( )(1) (1) (1)(1) ... 2

1! 2! !

nnf f ff

n′ ′′

+ + + + =

2) 4

1

4 sin2ta

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3) 34 te

4.30. Đặt 2( 1)mu x= − suy ra 2( 1) 2x u mxu′− = (1)

Đạo hàm (1) hai vế (m +1) lần ta được 2 ( 2) ( 1) ( )( 1) 2( 1) ( 1)m m mx u m xu m mu+ +− + + + +

( ) ( )1 ( )2 2 1m mmxu m m u+= + +

Đơn giản hai vế ta thu được

2 ( 2) ( 1) ( )(1 ) 2 ( 1) 0m m mx u xu m m u+ +− − + + = (2)

Mặt khác theo giả thiết

( )1( )2 !

mm mP x u

m=

Suy ra

( 2) 2 ! ( )m mmu m P x+ ′′= (3)

( 1) 2 ! ( )m mmu m P x+ ′= (4)

( ) 2 ! ( )m mmu m P x= (5)

Thay (3), (4), (5) vào (2), ta thấy ( )mP x thỏa mãn phương trình đã cho.

4.31. Đặt m xu x e−= , Khi đó ( )( ) x mmL x e u= .

Ta thấy

( ) ( )1m mx xL e u e u +′ = +

( ) ( ) ( )1 22m m mx x xL e u e u e u+ +′′ = + +

Thay L′ và L′′ vào phương trình đã cho.

( ) (1 ) ( ) ( ) 0m m mxL x x L x mL x′′ ′+ − + = (1)

Ta thu được phương trình

( 2) ( 1) ( )(1 ) (1 ) 0m m mxu x u m u+ ++ + + + =

289

289

Để chúng minh ( )mL x thỏa mãn (1), ta hãy chứng minh u(x) thỏa mãn phương trình (2). Thật vậy

1m x m xu mx e x e− − −′ = −

hay m

x m xx uu m e x e m ux x

− −′ = − = −

hay ( )xu m x u′ = − (3)

Sử dụng công thức Leibnitz, đạo hàm cấp (m + 1) hai vế của (3) , suy ra hàm u(x) thỏa mãn phương trình (2).

4.32. Ta chứng minh công thức

( )1

1ln ! lnn n

nk

d x x n xdx k=

⎛ ⎞′′ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ với 0x > (1)

a, Với n = 1 ta có

( )ln ln 1d n x xdx

= + ⇒Công thức (1) đúng

b, Giả sử công thức (1) đúng với (n −1)

( )1 1

11

1

1ln ( 1)! lnn n

nn

k

d x x n xdx k

− −−

−=

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (2)

Khi đó

( ) ( )1ln lnn nn n

d dx x xx xdx dx

−= =

( ) ( )( ) ( 1)0 (0) 1 1 1( ) ln ( ) lnn nn n

n nC x x x C x x x−− −′= +

1

1

1 1( 1)! ( 1)! lnn

k

x n n n xx k

−

=

⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

1 1

1 1

1 1 1( 1)! ! ln ! lnn n

k k

n n x n xk k n

− −

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑

1

1

1! lnn

k

n xk

−

=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ .

4.33. 2

2 2 2 2 3 2 42 2 (2 ) (2 ) (2 )1

1! 2! 3! 4!x x x x x x x x x xe − − − − −

= + + + +

2 5(2 ) ...

5!x x−

+ +

Suy ra

290

290

( )22 2 3 4 5 52 5 11 2 03 6 15

x xe x x x x x x− = + + − − − + .

4.34. 2 3 2 3

1( )1 ... 1 1 ...

2! 3! 2 6 24

xf xx x x x xx

= =⎛ ⎞+ + + + − + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

22 3 2 3

1 ... ...2 6 24 2 6 24x x x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − + + + + + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

32 3

...2 6 24x x x⎛ ⎞

− + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 441 0( )

2 12 729x x x x− + − + .

4.35. 1) 33 5

2 2 4 6 61 2(sin ) ... 0( )3! 5! 3 45x xx x x x x x

⎛ ⎞= − + + = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

2)

12 4 2

cos 1 ...2! 4!x xx

⎛ ⎞= − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 32 4 2 4 2 41 11 ... ... ... ...2 2! 4! 8 2! 4! 2! 4!

x x x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − − − + − + − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 4

41 0( )4 96x x x= − − + .

4.36. 1

( ) 2( )n

kk

x a xϕ=

′ = − −∑

( )xϕ′ khi 1

10

n

knk

kk

aa nx x

n=

=

− + = ⇒ =∑

∑

Mặt khác ( ) 0x nϕ′′ = > , vậy hàm số đạt cực tiểu khi 1

n

kk

ax

n==∑

4.37. 2

21 ( 1)1 1 1 0(( 1) )2 8

x xx x x− −= + − = + − + −

4.38. ln( ) 1x xf x e= −

( )ln( ) ln 1x xf x e x′ = +

ln 2 1( ) ln 2ln 1x xf x e x xx

⎛ ⎞′′ = + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

291

291

( ) ( )3 ln 2

ln2

1( ) ln 1 ln 2ln 1

1 2 1 2 ln

x x

x x

f x e x x xx

e xx x x

⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠

Ta thấy (3)(1) 0, (1) 1, (1) 2, (1) 3f f f f′ ′′= = = = . Thay các giá trị trên vào công thức

2

3 3

(1) (1)( ) (1) ( 1) ( 1)1! 2!

(1) ( 1) 0(( 1) )3!

f ff x f x x

f x x

′ ′′= + − + −

′′′+ − + −

ta được 2 3 311 ( 1) ( 1) ( 1) 0(( 1) )2

xx x x x x− = − + − + − + − .

4.39. 1) 12

; 2) 16e

−;

3) 1; 4) 1.

4.40. 1) Không áp dụng được quy tắc L’hospital. Tính theo cách khác, giới hạn bằng 0 2) Không áp dụng được. Giới hạn bằng 1. 3) Không áp dụng được. Giới hạn không tồn tại .

4.41. 1) 12

; 2) 1;

3) 12

; 4) 1.

HD: Ta hãy viết ( )lnsincotsin

xtgx gxx e= .

Mặt khác:

( )0 0 0

2

1 coslnsin sinlim lim lim sin cos 01cotsin

x x x

xx x x xgx

x→ → →

= = − =−

.

5) 2e ; 6) 1.

4.42. 1) Do 2

3 2 20 0 0

11arctg 11lim lim lim 11

3x x x

x x xx x x→ → →

−− += = =+

,

suy ra điều phải chứng minh. Các phần 2),3),4) chứng minh tương tự.

4.43. a) 5 41 1( ) 6 sin cosg x x xx x

′ = − với 0x ≠

Ta thấy g’ triệt tiêu vô số lần và đồng thời đổi dấu. Hàm g không có cực trị tại x=0.

292

292

b) Hàm f đạt cực tiểu tại x=0.

4.45. Hàm số tăng trong khoảng (0,e) và giảm trong khoảng ( ),e +∞ .

Tiệm cận đứng x=0. Tiệm cận ngang y=0.

4.46. Bởi vì hàm số liên tục trên toàn trục số nên không có tiệm cận đứng.

Tiệm cận ngang y=0.

4.47. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận xiên y=2x khi x →+∞ và y=−2x khi x → −∞ . Hàm số không có điểm dừng.

4.48. r là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π , vì thế chỉ cần xét hàm số trong [ ],π π− .

Do 0r ≥ nên

ϕ 23π

− 0 23π

r’ + −

r

3

0 0

tgγ 0 ∞ 0

11 2cos 0 cos .2

ϕ ϕ+ ≥ ⇒ ≥ −

Nên tập xác định của hàm số là:

2 23 3π πϕ− ≤ ≤ .

Ta thấy 2sinr ϕ′ = − , 0r′ = khi 0ϕ = .

Suy ra (0) 3CDr r= = .

Gọi γ là góc dương giữa vecto OM và vecto chỉ phương của tiếp tuyến với đồ thị tại M,

tg rr

γ =′.

Đồ thị là đường cong kín đối xứng nhau qua trục cực.

Chương 5

5.1. 1) 2

22 ln 22

x x x x−+ + − .

293

293

2) 2

12(1 )x

−+

.

3) 4

3 31 (1 )4

x+ .

4) 4

4

1 2ln8 2 2

xx−+

.

5) arctg xe .

6) ( )2ln 1 1xx e− + + .

5.2. 1) ln th2x⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2) 2arctg xe .

3) 1 sh22 4x x− + .

4) 1 sh22 4x x+ .

5) 2cth2x− .

5.3. 1) 231 2 (1 3 )

10x x+

− − .

2) 4

2 233 (1 ) (4 3)56

x x+ − .

5.4. 1) 1 1 ln1 1

nx xn n

+ −⎛ ⎞+⎜ ⎟+ +⎝ ⎠.

2) 3 32 2sh3 ch3

3 9 3 27x x xx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

3) 2ch 2 sh 2chx x x x x− + .

4) ln tg cos ln tg2x x x− .

5.5. 1) 5tg5

x.

2) 322 cot tg

3gx x− +

.

3) 3 3 2

3 3

1 (1 ) (1 ) 3 1ln arctg4 (1 ) (1 ) 2 3

t t tt t t

+ + −−

− −

294

294

trong đó 3

sint x= .

4) 2

22

1 2 1 1 2ln arctg12 2 2 1 2

z z zzz z

+ +−

−− + trong đó z= tgx .

5) 2 2 2

4 2

1 ( 1) 3 2 1ln arctg4 1 2 3

z zz z

+ −+

− + trong đó z= 3 tgx .

5.6. 1) ( )4

4

4 4ln 11

xx

− + ++

.

2) ( )4 42

2 4

(1 ) 1x x−

+ +.

3) ( )1 2 (1 ) ln 12

x x x x x x⎡ ⎤+ − + − + +⎣ ⎦ .

HD: Nhân tử số và mẫu số của biểu thức trong dấu tích phân với biểu thức 1 1x x+ − − .

4) n

n x bb a x a

−− −

.

5.7. 1) 2ln 1 2 2 1x x x+ + + + .

2) 2 21 12 2 ln 1 2 22 2

x x x x x x−− + + − + − + .

Chương 6

6.1. 1) 3

2) 1lna

a− .

3) b aab− . HD: Đặt 1+=i i ix xξ .

4) 1 1

1

m mb am

+ +−+

. HD: Chọn các điểm chia sao cho tọa độ ix của chúng lập thành

cấp số nhân.

6.2. 1) 3π

2) 6nπ . HD:

2

2 20

1an

n

n

dxIn a x

=−

∫ , đặt t= nx , ta có 2

2 20

1a

dtIn a t

=−

∫ , sau đó đặt: sint a z= .

6.4. 1) ln2

295

295

HD: đặt 1 1 1......1 2na

n n n n= + +

+ + +.

Xét hàm y= 1x

trên đoạn 1 2x≤ ≤ . Phân đoạn này thành n phần bằng nhau và lập tổng

tích phân. Tổng tích phân sẽ là biểu thức cần tìm giới hạn.

2) 2π . HD:

Đặt 2 2 2 2 2

1 1 1 1...0 1 4 ( 1)

nbn n n n n

= + + + +− − − − −

so sánh các số hạng của biểu

thức bn với giá trị của hàm 2

1 1 2 1( ) , 0, , ,...,1

nnf x x x x x

n n nx−

= = = = =−

.

3) 11 α+

6.5. Trước hết dựa vào định nghĩa của tích phân hãy tính: !lim ln nn

nn→∞

=

1 1 2 1lim ln1 ln 1 ln 1 ... ln 1n

nn n n n→∞

⎡ − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

6.6. 1)2

4π

. HD: đặt t xπ= − .

2) 1 32 2 2

arctg . HD: Đặt 1t xx

= − , 2

11dt dxx

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

6.7. 1) Đổi biến 2

x tπ= − .

2) Đổi biến: x tπ= − .

6.10. 1) 0 2) 0.

HD: đặt 1 2

1 21 12

I I I= + = +∫ ∫ , trong tích phân 2I đặt t= 1x

.

3) 0.

6.12. 200 2 . HD: ta viết

100

0

2 sin= ∫I x dxπ 2 3 100

0 2 99

......π π π π

π π π

= + + + +∫ ∫ ∫ ∫ .

296

296

Do hàm siny x= tuần hoàn chu kì π nên tích phân trên bằng 0

100 2 sinI x dxπ

= ∫ .

6.13. 1) 2 12

eπ

− 2) 12(1 )e−−

3)3

6 4π π

− 4) 1 1

1

1( 1) ! 1!

nn

k

n e ek

− −

=

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ .

6.14. 1) 122

1.3.5.7.9.11.13 2)

16π

3)32π

.

6.15. 1) 42 1x x+ 2) ( ) ( )2sin cos cos sinx x xπ− .

6.16. 1) 1 2) 2

4π

.

6.17. Sử dụng quy tắc Lôpitan.

6.18. 1) − 2) − 3) +

6.19. 1) 3 1 2I I I< < 2) 4 5I I≥ .

6.22. Ở đây ( )0,1,...88kkx k= =

a) Theo phương pháp hình thang:

[ ]0 1 7 81 ( ) 2 ( ) ......2 ( ) ( )

16I f x f x f x f x≈ + + + ≈0,6941.

Phần dư: 8TR ≤ 2

1 2 1.8 12 384

= ≤ 0,0027.

b) Theo phương pháp Simpson:

[ ]0 1 2 3 7 81 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ...4 ( ) ( )24

I f x f x f x f x f x f x≈ + + + + +

0,6935≈

Phần dư: 5 448 4 5.10 10

4 .2880− −≤ ≤ ≤S MR .

6.23. a) Theo phương pháp hình thang I ≈ 0,8352 với phần dư 12 0,004TR ≤ .

a) Theo phương pháp Simpson: I ≈ 0.83565 với phần dư: 512 4

10 102880.6

sR −≤ ≤ .

6.24. 23bhS = .

6.25. 22 aπ

6.26. 23

2aπ

297

297

6.27. 23

8aπ

.

6.28. 2 14

e +

6.29. 22 aπ

6.30. 21a mm

+

6.31. 3

2aπ

6.32. 6a

6.33. 1) a) 2π

b) 2π ; 2) 28

3aπ

.

6.34. 1) 2 232105

a bπ ; 2) 2 232105

a bπ .

6.35. 1) 3210 1

27π ⎡ ⎤

−⎢ ⎥⎣ ⎦

2) 3π 3) 2 216 aπ 4) 2125

aπ

6.36. 1) 4π

2) 1

1 α− khi 0 1α< < , ∞ khi 1α ≥ .

3) 2π 4) ∞

6.37. 1) Hội tụ 2) Hội tụ

3) Phân kì. HD: ( )22 2 2

0 0

1 ln 11 sin 1 2

A Axdx xdx Ax x x

> = ++ +∫ ∫ .

4) Hội tụ.

6.38. 1) 1 2) 2 2

aa b+

6.39. 1) Nếu a ≠ 0 hội tụ khi p>0, nếu a=0 hội tụ khi p>1. 2) Hội tụ nếu p>0 hoặc q>0.

6.40. 1) Hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối. 2) Hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối.

6.41. Các tích phân hội tụ tuyệt đối khi α >1 ( khi 0 1α< ≤ không hội tụ tuyệt đối)

Khi 0 1α< ≤ các tích phân bán hội tụ.

Chương 7

298

298

7.2. 1) Liên thông 2) Không liên thông

7.3. 1) 2 2 1x y+ >

2) 2 22 (2 1)k x y kπ π≤ + ≤ + với k ∈Z.

3) Phần mặt phẳng nằm ngoài parabol 2y x= − . 4) Miền ngoài của elipxoit.

7.4. 0 0 0 0

lim{lim ( , )} lim{lim ( , )} 0x y y x

f x y f x y→ → → →

= =

7.5. lim lim ( , ) 1y x

f x y→∞ →∞

= , lim lim ( , ) 0x y

f x y→∞ →∞

=

7.6. 1) 2; 2) ln2.

7.7. 1) (0,0) là một điểm gián đoạn vô cực.

2) Các điểm của đường thẳng y=−x là điểm gián đoạn khử được, còn (0,0) là điểm gián đoạn vô cực.

7.8. 1) 23 2xu x y′ = − , 2 2yu y x′ = − ,

2(3 2 ) 2( )du x y dx y x dy= − + −

2)2 2

1xu

x y′ =

+,

( )2 2 2 2yyu

x y x x y′ =

+ + +,

( )2 2 2 2 2 2

dx ydydux y x y x x y

= ++ + + +

3) 2 2xyu

x y−′ =+

, 2 2yxu

x y′ =

+ , 2 2

ydx xdydux y

− +=

+.

4) 1yxu yx −′ = , lny

yu x x′ = , 1 lny ydu yx dx x xdy−= +

5) ( ) ( ) ( )2 2 2sh sh .2 , ch .sh shx yu x y y xy u x y x y y′ ′= + = + + ,

( ) ( )2 22 ch sh shdu xydx x y dy x y y⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦

6) ( )chxu x y′ = + , ( )chyu x y′ = + ,

( ) ( )ch .du x y dx dy= + +

7.9. 1

2 ln

+ −

+

∂ +=

∂ +

t

t

u e tt e t

τ

τ ,

2 ln

+

+

∂=

∂ +

t

t

u ee t

τ

ττ

7.10. ( )

2

2

32 22

x

yuxy y

−′′ =+

, ( )

32 22

xyxyu

xy y′′ =

+,

299

299

2

2

32 2(2 )

y

xuxy y

−′′ =+

, 2

23

2 2

( )

(2 )

ydx xdyd uxy y

−= −

+.

7.12 1) 2 2

22 2 .u f a

x ξ∂ ∂

=∂ ∂

, 2 2u fab

x y ξ η∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

, 2 2

22 2

u fby η∂ ∂

=∂ ∂

,

2 22 2 2 2 22d u a f dx abf dxdy b f dyξηξ η

′′ ′′ ′′= + +

2) 2 2 2 2

2 2 22u f f fx ξ ξ η η∂ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

, 2 2 2

2 2

u f fx y ξ η∂ ∂ ∂

= −∂ ∂ ∂ ∂

,

2 2 2 2

2 2 22u f f fy ξ ξ η η∂ ∂ ∂ ∂

= − +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 22 2 2 2 2

2 2

2( ) ( ) ( )f f fd u dx dy dx dy dx dyξ ξ η η∂ ∂ ∂

= + + − + −∂ ∂ ∂ ∂

.

7.14. 22

dy x ydx x y

− +=

+,

2

2 3

18( 2 )

d ydx x y

−=

+,

3

3 5

162( 2 )

d y xdx x y

−=

+( 2 )x y≠ −

7.16. ( , )( , )

u vDxD u v

ψ

ϕ ψ

∂∂ ∂=∂

, ( , )( , )

u vDyD u v

ϕ

ϕ ψ

∂−∂ ∂=

∂,

( , )( , )

v uDxD u v

ψ

ϕ ψ

∂−∂ ∂=∂

, ( , )( , )

v uDyD u v

ϕ

ϕ ψ

∂∂ ∂=∂

7.17. sinz c vx u∂

= −∂

, osvz c cy u∂

=∂

.

7.18. ( ) 1 3z Ml∂

= −∂

.

7.19. 1) 4πα =

2) 54πα =

3) 34πα = và 7

4πα = .

300

300

7.20. 2 20 02 2

0 0

2 ( 0)x yx y

+ ≠+

7.21. os +cos +cosz cl

α β σ∂=

∂ , u( ) 3grad M =

7.22. 1) ,6 3π πα β= = , 2) ,

3 6π πα β= = .

7.23. 2 31 (3 )3!

y xy x y y+ + − .

7.24. 2 3( ) ( )1

1! 2! 3!x y x y x y+ + +

+ + + .

7.25. Điểm (2,0 ) là điểm cực tiểu, 0CTZ = .

7.26. Điểm dừng (2,0), 2 8 0AC B− = − < , hàm số không có cực trị.

7.27. Tại điểm ( 2, 2)( 2, 2)− − hàm số đạt cực tiểu địa phương. Tại điểm (0,0) ta có A=−4, B=4, 2 0AC B− = , ta phải xét tiếp tục. Ta thấy số gia của hàm trên đường thẳng y=0:

4 2( ,0) (0,0) 2 ( 2) 0f f x f x xΔ = Δ − = Δ Δ − < khi 2xΔ < . Số gia của hàm số trên đường

thẳng y=x. 4( , ) (0,0) 2 0f f x x f xΔ = Δ Δ − = Δ > . Vậy tại điểm (0,0) hàm số không có cực trị.

7.28. 43CTu = − đạt được khi 2 1, , 1

3 3x y z= − = − = .

7.29. Ta thấy hệ ' 0' 0x

y

zz

=⎧⎪⎨ =⎪⎩

vô nghiệm. Mặt khác ta thấy tại điểm M(0,0) các đạo hàm riêng

cấp 1 không tồn tại. Thật vậy, các tỉ số ( ,0) (0,0) xZ x Zx x

ΔΔ −=

Δ Δ, (0, ) (0,0) yZ y Z

y yΔΔ −

=Δ Δ

không có giới hạn. Vì vậy điểm (0,0) có thể là điểm cực trị, Bởi vì: 2 2(0,0) ( , ) (0,0) 0Z Z x y Z x yΔ = Δ Δ − = − Δ + Δ < , nên tại điểm (0,0) hàm đạt cực trị, đồng

thời 1CDZ = .

7.30. Hàm số không có giá trị lớn nhất , supZ=2. Hàm số gián đoạn.

7.31. Miền { }1, 1x y≤ ≤ là miền đóng, hàm Z liên tục trên miền này nên nó có giá trị lớn

nhất. ( )0, 1± là các điểm dừng, ( ) 10, 12

Z ± = ± . Trên biên của hình vuông tại các điểm

1, 3 1x y= ± = ± − hàm đạt giá trị lớn nhất bằng 1 32+ .

7.32. 1) 14CDZ = khi 1 1,

2 2x y= = .

301

301

2) 2 2

CTa bZ

ab+

= − khi 2 2 2 2

,b ax ya b a b

= − = −+ +

,

2 2

CDa bZ

ab+

= khi 2 2 2 2

,b ax ya b a b

= =+ +

.

3) 2 2

2 2CDa bZ

a b=

+ khi

2

2 2=+

abxa b

, y= 2

2 2

a ba b+

.

7.33. Hàm u đạt cực đại tại các điểm 1M (1,1,1) , 2M (1, −1, −1) , 3M (−1,1, −1), 4M (−1, −1, +1). Tại các điểm này CDu =1. Hàm u đạt cực tiểu tại các điểm M5=(−1, −1, −1) 6M (−1,1,1) , 7M (1, −1,1), 8M (1,1, −1) và 1CTu = − .

7.34. 1) 6 3 37 3 0+ − =x z .

2) 0 0 02 2 2 1x x y y z z

a b c+ + = .

7.35. 4 6 21x y z+ + = ± .

7.36. 0,1 0 1x y a z ax z a − +

+ + = = = .

7.37. 1) 2 2 2x y p+ = .

2) y x= ± .

3) 2 4axy =

4) Không có bao hình.

302

302

Tài liệu tham khảo

1 G.M Phichitengon. Cơ sở giải tích toán học, Tập 1,2 (Bản dịch tiếng Việt), NXB ĐH và THCN Hà Nội, 1975)

2 Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn, Giáo trình giải tích, Tập 1,2,3, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002.

3 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đỉnh, Nguyễn Hồ Quỳnh. Toán học cao cấp, Tập 2,3, NXB Giáo dục, 2004.

4 G.J Silov, Giải tích toán, NXB KH Matscova, 1965.

5 Y.Y Liasko, A.C Boiatricc, I.A.G.Gai,G.P Golovac, Giải tích toán học, Các ví dụ và bài tập, NXB ĐH và THCN Hà Nội, 1979.

6 Jean, Maric Moner, Giáo trình toán, Tập 7 (Bản dịch tiếng Việt), NXB Giáo dục, 1999.

7 Jon Mathews, R.L Walker, Toán dùng cho Vật Lý (Bản dịch tiếng Việt), NXB Khoa học và Kĩ thuật Hà Nội, 1971.

8 B.P Đêmiđôvic, Bài tập giải tích toán học (Đặng Huy Ruận, Lê Đình Thịnh dịch và hướng dẫn cách giải), NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1975.

9 Đỗ Đình Thanh, Phương pháp toán lý, NXB Giáo dục 2002.

10 Lê Văn Trực, Giáo trình toán dùng cho vật lý, Đại học tổng hợp Hà Nội, 1984.

11 Andrew Browder, Mathematical Analysis: An Introduction, Springer, 1995.

12 Bourguignon, Le calcul variotionel Ellipses Marketing 2000.

13 Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis, Springer, 2004.