UNIDAD N 7
GEOMETRIA ANALITICA
Coordenadas Rectangulares
Distancia entre 2 puntos
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este
eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
abscisas.
Ejemplo:
d = 5 unidades
Rectas paralelas
Son aquellas rectas que se encuentran en un mismo plano, presentan la misma pendiente y que no
presentan ningn punto en comn, esto significa que no se cruzan, ni tocan y ni siquiera se van a cruzar sus
prolongaciones.
Si r=s
1=2
m1 = m2
Rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son las que al cortarse forman cuatro ngulos iguales.
Las rectas m y n son perpendiculares porque al cortarse forman 4 ngulos de
90.
1 2
Determine los ngulos que se forman las rectas: Y=2X-1 Y= -2/3X+1/5 m1=2
m2= -2/3
Pendientes
Hallar Pendiente a la recta y=3x+1
m=3 b=4 y=3x+4
Determine si el punto 2,2 est sobre la reta 5x+4y-7=0
5x+4y-7=0
5(2)+4(2)-7=0 11=0 ANGULOS
El ngulo formado entre la recta l1 (inicial) y l2 (final) es el cual es medido en sentido
antihorario y cuyo ngulo suplementario es . Por geometra elemental sabemos que:
Tomando la tangente de ambos miembros la expresin queda de la siguiente manera:
tg = tg()
Aplicando la formula trigonomtrica de adicin y sustraccin en el segundo miembro de la
ecuacin:
Recordando el concepto de pendiente de una recta tenemos que la tangente del ngulo es
la pendiente de la recta l2 y la tangente del ngulo es la pendiente de la recta l1, que
reemplazados en la expresin anterior resulta:
El ngulo no es mas que el complemento de por la que la primera expresin se puede
expresar de la siguiente manera:
= + ( )
Aplicando en esta ltima expresin la misma metodologa se obtiene:
Estas dos expresiones determinan el ngulo entre las dos rectas y la nica diferencia es
simplemente el signo.
LINEA RECTA
Analticamente la lnea recta es una ecuacin lineal con 2 variables
Formas de la ecuacin de la lnea recta
a) Punto pendiente
La ecuacion de la recta que pasa por el punto P1 (X1,Y1), cuya pendiente sea m es :
Y-Y1=m(X-X1)
b) Forma pendiente- ordenada al origen
La ecuacin de la recta de pendiente m y que corta al eje y en el punto (0,b)
siendo b la ordenada en el origen es
Y= mx+b
Encuentra la ecuacion de la recta,cuya interseccion con el eje "Y" es 4 y su pendiente es -3
SOLUCION : los datos son M =-3 y B = 4,al sustituir se obtiene :
Y = MX+B
Y = -3x+4
3x+Y-4 = 0
c) Cartesiana
La ecuacion de la recta que pasa por los puntos P1(x1-y1) y P2(x2-y2)
1
1=1 2
1 2
d) Reducida o abscisa y ordenada en el origen
La ecuacion de la redcta que corta a los ejes coordenadas x e y en los puntos (0,0) siendo
la abscisa en el origen y (0,b) la ordenada en el origen respectivamente
=
= 1
e) General
Una ecuacion lineal o de primer grado en las variables x e y es de la forma Ax+By+C=0, en
dodne A B y C son constantes arbitrarias. La pendiente de la recta escrita en esta forma es
=
LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es una lnea curva cerrada cuyos puntos estn todos a la misma distancia de un
punto fijo llamado centro.
Ecuacin de Circunferencia con centro en el origen
Ejemplos:
hallar la ecuacion de la circunferencia con centro en el origen cuyo radio es 7m
Circunferencia con centro fuera del origen
Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro est dado por C (2, 3), con radio r = 5 que se muestra
en la figura
(x 2)2 + (y 3)2 = 52
(x 2)2 + (y + 3)2 = 52
(x 2)2 + (y + 3)2 = 25
FORMULA GENERAL
PARABOLA
PARBOLA CON VRTICE EN EL ORIGEN.
Tipo Ecuacin Foco Directriz
Vertical X2=4PY F(0,P) D=Y= -P
Horizontal Y2=4PX F(P,0) D=X= -P
PARBOLA CON VRTICE FUERA EN EL ORIGEN.
(y - k)2 = 4p(X - h)
Hallar la ecuacin de la parbola de vrtice en el origen y foco en el punto ( 9,0 )
HIPERBOLA
Una hiprbola es una seccin cnica, una curva abierta de dos ramas obtenida al
cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetra con ngulo menor que
el de la generatriz.
Ecuacin analtica de la hiprbola
Ecuacin analtica de la hiperbola con centro en (p,q)
Si el eje focal de la hiprbola es paralelo al eje x , y si el centro de la hiprbola es el
punto c(h,k)
Si Si el eje focal de la hiprbola es paralelo al eje Y
EJEMPLOS
2 2
2 21
x y
a b
2 2
2 21
x h y k
a b
ELIPSE
Supongamos para simplificar que los focos estn situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos
un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la suma de las distancias entre PF y PF'
es igual a 2a , entonces tendremos que :
Resolviendo:
+ + + =
Elipse con eje paralelos a OX y sin centro en el
origen
Elipse con centro en el origen
Ejemplo
Representa grficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vrtices y la
excentricidad de las siguientes elipses.
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