UNIDAD N 7

GEOMETRIA ANALITICA

Coordenadas Rectangulares

Distancia entre 2 puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este

eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus

abscisas.

Ejemplo:

d = 5 unidades

Rectas paralelas

Son aquellas rectas que se encuentran en un mismo plano, presentan la misma pendiente y que no

presentan ningn punto en comn, esto significa que no se cruzan, ni tocan y ni siquiera se van a cruzar sus

prolongaciones.

Si r=s

1=2

m1 = m2

Rectas perpendiculares

Rectas perpendiculares son las que al cortarse forman cuatro ngulos iguales.

Las rectas m y n son perpendiculares porque al cortarse forman 4 ngulos de

90.

1 2

Determine los ngulos que se forman las rectas: Y=2X-1 Y= -2/3X+1/5 m1=2

m2= -2/3

Pendientes

Hallar Pendiente a la recta y=3x+1

m=3 b=4 y=3x+4

Determine si el punto 2,2 est sobre la reta 5x+4y-7=0

5x+4y-7=0

5(2)+4(2)-7=0 11=0 ANGULOS

El ngulo formado entre la recta l1 (inicial) y l2 (final) es el cual es medido en sentido

antihorario y cuyo ngulo suplementario es . Por geometra elemental sabemos que:

Tomando la tangente de ambos miembros la expresin queda de la siguiente manera:

tg = tg()

Aplicando la formula trigonomtrica de adicin y sustraccin en el segundo miembro de la

ecuacin:

Recordando el concepto de pendiente de una recta tenemos que la tangente del ngulo es

la pendiente de la recta l2 y la tangente del ngulo es la pendiente de la recta l1, que

reemplazados en la expresin anterior resulta:

El ngulo no es mas que el complemento de por la que la primera expresin se puede

expresar de la siguiente manera:

= + ( )

Aplicando en esta ltima expresin la misma metodologa se obtiene:

Estas dos expresiones determinan el ngulo entre las dos rectas y la nica diferencia es

simplemente el signo.

LINEA RECTA

Analticamente la lnea recta es una ecuacin lineal con 2 variables

Formas de la ecuacin de la lnea recta

a) Punto pendiente

La ecuacion de la recta que pasa por el punto P1 (X1,Y1), cuya pendiente sea m es :

Y-Y1=m(X-X1)

b) Forma pendiente- ordenada al origen

La ecuacin de la recta de pendiente m y que corta al eje y en el punto (0,b)

siendo b la ordenada en el origen es

Y= mx+b

Encuentra la ecuacion de la recta,cuya interseccion con el eje "Y" es 4 y su pendiente es -3

SOLUCION : los datos son M =-3 y B = 4,al sustituir se obtiene :

Y = MX+B

Y = -3x+4

3x+Y-4 = 0

c) Cartesiana

La ecuacion de la recta que pasa por los puntos P1(x1-y1) y P2(x2-y2)

1

1=1 2

1 2

d) Reducida o abscisa y ordenada en el origen

La ecuacion de la redcta que corta a los ejes coordenadas x e y en los puntos (0,0) siendo

la abscisa en el origen y (0,b) la ordenada en el origen respectivamente

=

= 1

e) General

Una ecuacion lineal o de primer grado en las variables x e y es de la forma Ax+By+C=0, en

dodne A B y C son constantes arbitrarias. La pendiente de la recta escrita en esta forma es

=

LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es una lnea curva cerrada cuyos puntos estn todos a la misma distancia de un

punto fijo llamado centro.

Ecuacin de Circunferencia con centro en el origen

Ejemplos:

hallar la ecuacion de la circunferencia con centro en el origen cuyo radio es 7m

Circunferencia con centro fuera del origen

Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro est dado por C (2, 3), con radio r = 5 que se muestra

en la figura

(x 2)2 + (y 3)2 = 52

(x 2)2 + (y + 3)2 = 52

(x 2)2 + (y + 3)2 = 25

FORMULA GENERAL

PARABOLA

PARBOLA CON VRTICE EN EL ORIGEN.

Tipo Ecuacin Foco Directriz

Vertical X2=4PY F(0,P) D=Y= -P

Horizontal Y2=4PX F(P,0) D=X= -P

PARBOLA CON VRTICE FUERA EN EL ORIGEN.

(y - k)2 = 4p(X - h)

Hallar la ecuacin de la parbola de vrtice en el origen y foco en el punto ( 9,0 )

HIPERBOLA

Una hiprbola es una seccin cnica, una curva abierta de dos ramas obtenida al

cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetra con ngulo menor que

el de la generatriz.

Ecuacin analtica de la hiprbola

Ecuacin analtica de la hiperbola con centro en (p,q)

Si el eje focal de la hiprbola es paralelo al eje x , y si el centro de la hiprbola es el

punto c(h,k)

Si Si el eje focal de la hiprbola es paralelo al eje Y

EJEMPLOS

2 2

2 21

x y

a b

2 2

2 21

x h y k

a b

ELIPSE

Supongamos para simplificar que los focos estn situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos

un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la suma de las distancias entre PF y PF'

es igual a 2a , entonces tendremos que :

Resolviendo:

+ + + =

Elipse con eje paralelos a OX y sin centro en el

origen

Elipse con centro en el origen

Ejemplo

Representa grficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vrtices y la

excentricidad de las siguientes elipses.

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