FUNGSI DAN LIMIT
2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Fungsi
Sebuah fungsi π adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek π₯ dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik π(π₯) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (jelajah) fungsi tersebut.
Notasi Fungsi
Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti π (atau πΉ). Maka π(π₯) yang dibaca βπ dari π₯β atau βπ pada π₯β, menunjukkan nilai yang diberikan oleh π kepada π₯.
Jadi, jika π π₯ = π₯3 β 4.
π 2 = 23 β 4 = 4
π β1 = (β1)3β4 = β5
π π = π3 β 4
π π + π = (π + π)3β4 = π3 + 3π2π + 3ππ2 + π3 β 4
Daerah Asal dan Daerah Hasil
Daerah Asal adalah himpunan elemen-elemen pada mana fungsi itu mendapat nilai.
Daerah Hasil adalah himpunan nilai-nilai yang diperoleh secara demikian.
Contoh :
Cari daerah asal mula (natural) π π₯ = 1/(π₯ β 3)
Solusi :
Daerah asal mula untuk π adalah π₯ β β . Ini dibaca βhimpunan π₯ dalam β (bilangan riil) sedemikian sehingga π₯ tidak sama dengan 3β. Kita kecualikan 3 untuk menghindari pembagian oleh 0.
Grafik Fungsi
Jika daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan riil, maka kita dapat menggambarkan grafiknya pada bidang koordinat. Grafik fungsi π adalah grafik dari persamaan π¦ = π π₯ . Contoh :
Buatlah sketsa grafik dari π π₯ = 2/(π₯ β 1). Solusi :
Jika π₯ mendekati, nilai-nilai π π₯ membesar tanpa batas (misalnya, π 0,99 = β200 dan π 1,001 = 2000).
Garis tegak putus-putus disebut asimtot, pada π₯ = 1 dan pada sumbu π₯. (Garis asimtot pada grafik tersebut bukan merupakan bagian dari grafik). Daerah asal fungsi *π₯ β β βΆ π₯ β 1+, daerah hasil *π¦ β β βΆ π¦ β 0+.
Fungsi Genap dan Ganjil
Digunakan untuk memperkirakan kesimetrian
grafik dan fungsi.
Jika π βπ₯ = π π₯ Simetri thd sumbu π¦
(Fungsi Genap)
Jika π βπ₯ = βπ π₯ Simetri thd titik asal
(Fungsi Ganjil)
Dua Fungsi Khusus
a. Fungsi Nilai Mutlak
π₯ = π₯ ππππ π₯ β₯ 0βπ₯ ππππ π₯ < 0
b. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar
π₯ = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil
atau sama dengan π₯
Jadi, β3,1 = 3,1 = 3,1, sedangkan
β3,1 = β4 dan 3,1 = 3
2.2 Operasi pada Fungsi
Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi,
Pangkat. Misal fungsi-fungsi π dan π
dengan rumus-rumus
π π₯ =π₯ β 3
2, π π₯ = π₯
Komposisi Fungsi Jika π bekerja pada π₯ untuk menghasilkan π(π₯) dan kemudian π bekerja pada
π(π₯) untuk menghasilkan π(π π₯ ), dikatakan bahwa kita telah menyusun π
dengan π. Fungsi yang dihasilkan disebut komposit π dengan π, dinyatakan
oleh
π β π π₯ = π(π(π₯))
Contoh :
Translasi (Penggeseran)
Contoh :
Katalog Sebagian dari Fungsi
a. Fungsi Konstan
Fungsi berbentuk π π₯ = π, dengan π konstanta (bilangan riil).
b. Fungsi Identitas
Fungsi berbentuk π π₯ = π₯.
c. Fungsi Polinom
Fungsi yang diperoleh dari fungsi konstan dan dan fungsi identitas dengan memakai operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian. Fungsi ini berbentuk
π π₯ = πππ₯π + ππβ1π₯
πβ1 + β―+ π1π₯ + π0
d. Fungsi Linear
Fungsi berderajat satu. Fungsi ini berbentuk
π π₯ = ππ₯ + π
e. Fungsi Kuadrat
Fungsi berderajat dua. Fungsi ini berbentuk
π π₯ = ππ₯2 + ππ₯ + π
f. Fungsi Rasional
Fungsi yang diperoleh dari hasil bagi fungsi-fungsi polinom. Fungsi ini berbentuk
π π₯ =πππ₯π+ππβ1π₯
πβ1+β―+π1π₯+π0
πππ₯π+ππβ1π₯πβ1+β―+π1π₯+π0
g. Fungsi Aljabar Eksplisit
Fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi identitas melalui lima operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar.
Contohnya : π π₯ =π₯+2 π₯
π₯3+ π₯2β13
2.3 Fungsi Trigonometri
Kesamaan-Kesamaan Penting
2.4 Pendahuluan Limit Pemahaman Secara Intuisi
Pandang Fungsi yang ditentukan oleh rumus
π π₯ =π₯3 β 1
π₯ β 1
Perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisikan pada π₯ = 1 karena di titik ini π(π₯) berbentuk
0
0 , yang tanpa arti. Tetapi kita masih dapat menanyakan apa yang
terjadi pada π(π₯) bilamana π₯ mendekati 1.
Kesimpulannya :
π(π₯) mendekati 3
bilamana π₯
mendekati 1. Kita
tuliskan,
limπ₯β1
π₯3 β 1
π₯ β 1= 3
Dibaca :
βlimit dari π₯3 β 1 /π₯ β 1 untuk π₯
mendekati 1 adalah
3.
Definisi Limit
(Pengertian limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa
limπ₯βπ
π π₯ = πΏ berarti bahwa bilamana π₯ dekat tetapi berlainan dari π,
maka π(π₯) dekat ke πΏ.
Limit-Limit Sepihak
2.5 Pengkajian Mendalam Tentang
Limit Definisi Limit
(Pengertian persis tentang limit). Mengatakan bahwa
limπ₯βπ
π π₯ = πΏ berarti bahwa untuk tiap > 0 yang diberikan (betapapun
kecilnya), terdapat πΏ > 0 yang berpadanan sedemikian sehingga
π π₯ β πΏ < asalkan bahwa 0 < π₯ β π < πΏ; yakni,
0 < π₯ β π < πΏ β π π₯ β πΏ <
Contoh Bukti Limit
Limit-Limit Satu Pihak
2.6 Teorema Limit
2.7 Limit melibatkan Fungsi
Trigonometri
2.8 Limit-limit pada Tak
Berhingga, Limit-limit Tak Hingga
2.9 Kekontinuan Fungsi
Kekontinuan Fungsi yang Banyak
Dikenal
Kekontinuan Fungsi yang Banyak
Dikenal
Top Related